Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Модели механических систем с односторонними связями 26
1.1. Практический опыт и теория 27
1.2. Основная проблема теории и пути ее решения 30
1.3. Квадратичное программирование и решение основной проблемы 34
1.4. Интерпретация проблемы как линейной задачи о дополнительности 35
1.5. Выводы 40
ГЛАВА 2. Элементы теории дискретных моделей механических систем с односторонними связями 42
2.1. Гипотеза исследования 42
2.1.1. Двухсторонняя связь как частный случай односторонней связи 45
2.1.2. Очередность перехода односторонних связей в состояние «выключено»
2.1.3. Очередность перехода односторонних связей в состояние «включено» 50
2.2. Обоснование гипотезы об очередности переключения односторонних связей 51
2.3. Вариант метода последовательного выключения связей 62
2.4. Жордановы исключения в моделях механических систем с односторонними связями 68
2.5. Шаговый метод определения неотрицательного решения системы линейных уравнений 71
2.5.1. Алгоритм и его обоснование 75
2.5.2. Физическая интерпретация алгоритма 79
2.5.3. Об одной возможности уменьшения объема вычислений 81
2.5.4. Обобщение алгоритма на случай ограничений в виде системы равенств и неравенств 82
2.6. Примеры 84
2.6.1. Старт алгоритма в предположении, что односторонние связи «выключены» 85
2.6.2. Старт алгоритма в предположении, что односторонние связи «включены» 87
2.7. Соотношение объемов вычислений при анализе линейной и нелинейной моделей 93
2.8. Метод последовательного выключения связей 96
2.8.1. Пример 100
2.8.2. Оценка объема вычислений 103
2.9. Метод последовательного включения связей и алгоритм метода сил 104
2.10. Полная система уравнений для дискретных моделей механических систем с односторонними связями 106
2.11. О законе очередности в моделировании механических систем с односторонними связями 108
2.12.0 решении полной системы уравнений 110
2.13. Модель с двумя подсистемами 111
2.13.1. Истоки проблемы 111
2.13.2. Две подсистемы уравнений 113
2.13.3. Пример 115
2.14. О двух модификациях метода
последовательного выключения связей 116
2.15. Резюме: обобщенные алгоритмы метода сил, метода перемещений и смешанного метода
для моделей с односторонними связями 117
2.16. О единственности решения экстремальной задачи min Ф(Х) 119
для квадратичной положительно определенной формы Ф(х) 122
2.17. Обоснование алгоритм решения экстремальной Задачи т'тФ(Х) ХеК
2.18. Выводы 126
ГЛАВА 3. Некоторые задачи динамики систем с односторонними связями 129
3.1. Уравнения движения 130
3.2. Столкновение с жесткой преградой 133
3.3. Соударение с горизонтальной опорой 136
3.4. Сухое трение и вязкое сопротивление в односторонних связях при косом ударе 138
3.4.1. Движение без повторных соударений 142
3.6. Выводы 145
ГЛАВА 4. Модели с односторонними связями в задачах биомеханики скелетно-мышечных систем 148
4.1. О задачах биомеханики скелетно-мышечных систем 148
4.1.1. Биомеханические модели скелетно-мышечных систем 149
4.1.2. О применении биомеханических моделей скелетно-мышечных систем 151
4.1.3. Методы моделирования 153
4.1.4. Об управлении параметрами состояния сухожильно-мышечных комплексов 156
4.1.5. Проблема избыточности в биомеханике скелетно-мышечных систем 159
4.1.6. О критериях оптимальности и корректности их применения 162
4.1.7. Псевдообращение в решении проблемы избыточности 164
4.1.8. Полная система уравнений для геометрически нелинейной модели скелетно-мышечной системы 167
4.1.9. О необходимости учета геометрической нелинейности 169
4.2. Модель с односуставными мышцами 171
4.3. Двухсу ставные сухожильно-мышечные комплексы 176
4.4. Декомпозиция задачи 179
4.5. Зависимость усилий от активации мышц 181
4.6. О методике проверки гипотез об оптимальности скелетно-мышечных систем 185
4.7. Применение полученных результатов в интересах травматологии 187
4.8. Выводы 193
Заключение 196
Список литературы
- Квадратичное программирование и решение основной проблемы
- Очередность перехода односторонних связей в состояние «включено»
- Сухое трение и вязкое сопротивление в односторонних связях при косом ударе
- Об управлении параметрами состояния сухожильно-мышечных комплексов
Введение к работе
В природе и технике часто встречаются объекты, адекватными физическими моделями которых служат деформируемые системы, перемещения компонентов которых ограничены только в одном направлении. По этой причине в математическом описании таких моделей необходимыми оказываются системы неравенств.
В реальных объектах односторонние ограничения перемещений осуществляются с помощью некоторых устройств, называемых в механике односторонними, или неудерживающими, связями. Такие связи не препятствуют раздельному движению тел, но «включаются» при появлении контакта и противодействуют взаимопроникновению тел. Например, дискретное множество связей в виде некоторых податливых элементов, сопротивляющихся только сжатию, может имитировать взлетно-посадочную полосу. При взлете летательного аппарата имеет место сход с односторонних связей, при приземлении летательного аппарата эти связи включаются в работу. Другие примеры легко найти в таких областях человеческой деятельности, как строительство (ванты подвесных конструкций, балки и плиты на упругом основании, массив сыпучего грунта), машиностроение (детали механизмов и машин с неизбежными в них зазорами) и т. д.
К объектам с односторонними связями, которые встречаются буквально на каждом шагу, относятся скелетно-мышечные системы. В биомеханических моделях роль односторонних связей, сопротивляющихся только растяжению, играют сухожильно-мышечные комплексы, в которых согласованное по величине и времени изменение натяжения и расслабления приводит в движение компоненты скелета. Сухожильно-мышечные комплексы являются односторонними внутрен ними связями биомеханической модели опорно-двигательного аппарата позвоночного. Перемещение же позвоночного в пространстве возможно, если существует нечто, известное как твердь и моделируемое системой односторонних внешних связей, сопротивляющихся только надавливанию.
В отличие от обычной двухсторонней связи, для которой возможно единственное состояние «включено», односторонняя связь существует в одном из двух своих возможных состояний — «связь включена» или «связь выключена». Подобный принцип функционирования компонентов часто встречается в природных и технических системах. К числу таких компонентов могут быть отнесены гидравлический клапан, диод в электротехнике и т. д. Отличительная особенность рассматриваемых механических систем - их податливость (хотя отдельно взятые компоненты системы могут быть абсолютно жесткими), вследствие чего изменение параметров состояния (реакций связей и совместных с ними перемещений) описывается кусочно-линейными зависимостями. Точки перелома на графиках этих зависимостей соответствуют моментам перехода односторонних связей из состояния «включено» («выключено») в состояние «выключено» («включено»).
Обобщая, можно сказать, что односторонние связи встречаются в природе и технике едва ли не чаще, чем двухсторонние связи. Однако данное обстоятельство не имеет адекватного отражения в литературе по моделированию механических систем. Безусловно, теория механических систем с односторонними связями в значительной мере базируется на результатах, полученных при изучении систем с двухсторонними связями. Очевидно, однако, что системы с односторонними связями нуждаются в более полном изучении. Такую исторически сложившуюся ситуацию можно объяснить сложностью задач анализа напряженно-деформированного состояния механических систем с большим числом односторонних связей. Ускоренное развитие методов решения подобных задач стало возможным с появлением высокоскоростных компьютеров, совершенствованием методов прикладного анализа и, главное, с осознанием математического моделирования как методологии, которая играет важную синтезирующую роль, не подменяя собой математику, механику и другие научные дисциплины, но опираясь на их методы [149].
В выполненном исследовании роль методологии математического моделирования проявилась в оказавшемся весьма эффективным синтезе результатов анализа физических и формальных аспектов основной проблемы теории механических систем, в которых наличие односторонних связей влечет за собой появление нелинейности (имеет место так называемая конструктивная нелинейность [107, 125]). Эффективность такого синтеза в выполненном исследовании подтверждена тем, что с опорой на методологию математического моделирования удалось разработать новый шаговый алгоритм решения линейной задачи о дополнительности, который в задачах рассматриваемого класса оказался более эффективным по сравнению с другими известными методами решения таких же задач. Данный алгоритм составил основу эффективных в вычислительном отношении математических моделей механических систем с односторонними связями. Это позволило на завершающем этапе исследования рассмотреть модель произвольной скелетно-мышечной системы как объект с односторонними связями и обосновать эффективный в вычислительном отношении подход к биомеханическому анализу таких систем. Данный подход имеет достаточно строгое математическое обоснование (разделы 2.16,2.17,4.1.6,4.1.9).
Сложность задач моделирования механических систем с односторонними связями объясняется быстрым ростом числа возможных состояний механической системы при увеличении числа таких связей. Если в механической системе имеется п односторонних связей, то возможны 2" вариантов состояния, из которых осуществляется только один вариант, отвечающий принципу минимума потенциальной энергии [125, 135]. Переменный характер внешних воздействий влечет соответствующее изменение наборов включенных и выключенных односторонних связей, что при большом их числе усложняет задачу инженера по анализу напряженно-деформированного состояния конструкции с целью обеспечения надежности при достаточной ее экономичности. Основная проблема теории рассматриваемых механических систем заключается в определении осуществляющегося состояния системы односторонних связей Не менее сложными являются и задачи биомеханики скелетно-мышечных систем, необходимость решения которых существует в травматологии [224], спорте [66] и в других областях [67, 131, 218]. Решение обозначенных задач невозможно без использования соответствующих математических моделей, алгоритмов и программных комплексов. Актуальность разработки и совершенствования таких моделей и алгоритмов обусловлена необходимостью прогнозирования сил в суставах при лечении переломов [ПО], сил в мышцах при выполнении движений в спорте, в трудовых процессах [10] и т.д. В этих случаях адекватная математическая модель является важнейшим инструментом прогнозирования и анализа внутренних сил, поскольку невозможны прямые измерения сил в мышцах in vivo. Заметим, что известные измерения сил in vivo [194, 229, 327] остаются в настоящее время уникальными экспериментами, результаты которых могут быть использованы при тестировании соответствующих математических моделей биомеханических систем.
Трудности, с которыми разработчикам программных комплексов приходится сталкиваться в осуществлении компьютерного анализа механических и биомеханических систем с односторонними связями, быстро растут с увеличением числа таких связей в системе, что уже отмеалось. Граница, за которой получение точного решения задачи о действительном состоянии системы односторонних связей становится процедурой технически невозможной или катастрофически неэффективной в вычислительном отношении, достигается быстро даже при использовании высокоскоростных компьютеров [261, 297, 298]. Эти затруднения были неизбежным следствием отсутствия адекватного математического описания такого физического явления, как переход системы односторонних связей в альтернативное состояние. Мы говорим «были», поскольку в предпринятом исследовании сделан очередной шаг в изучении этого явления, а именно, установлен закон очередности перехода односторонних связей в альтернативное состояние [82]. Полученный результат составил основу разработанных методов и соответствующих алгоритмов решения задачи о напряженно-деформированном состоянии механической системы с односторонними связями [83, 84]. Наибольшее практическое значение имеет предложенный в работе обобщенный алгоритм метода перемещений.
Метод прост в компьютерной реализации. Его осуществление сводится к несложным модификациям известных программных комплексов линейного, например, конечно-элементного, расчета конструкций. При этом ограничения на число односторонних связей диктуются теми же причинами, что и ограничения на число двухсторонних связей в указанных программных комплексах. Иначе говоря, предложено обобщение и построен метод, одинаково пригодный к анализу механических систем с односторонними и двухсторонними связями. При этом, что любопытно, наличие односторонних связей при использовании предложенного алгоритма численного анализа ме ханической системы с учетом конструктивной нелинейности не усложняет расчет по сравнению с однократным линейным расчетом аналогичной системы с двухсторонними связями.
В предложенном методе двухсторонняя связь с ее единственно возможным состоянием «включено» естественным образом интерпретируется как частный случай односторонней связи, которая существует в одном из двух своих взаимоисключающих состояний - «включено» или «выключено».
Данное исследование появилось в связи с необходимостью компьютерного анализа напряженно-деформированного состояния биомеханических двухкомпонентных систем «кость - фиксатор», которые создаются хирургами-травматологами при оперативном лечении переломов бедренной кости [72, 110]. В таких системах металлические фиксаторы играют роль несущей конструкции при нагрузках, идентичных таковым для неповрежденной кости в повседневных движениях. Фиксаторы предназначены для обеспечения стабильного, анатомически правильного положения фрагментов кости в период послеоперационной реабилитации. Травматологи обозначают данное качество системы термином «стабильность». Двухкомпонентная система «кость - фиксатор» в период послеоперационной реабилитации функционирует как составная часть более сложной биомеханической многокомпонентной системы, каковой является скелетно-мышечная система с имплантированным фиксатором [110] или эндопротезом в других случаях [72]. Создание адекватной математической модели для количественной оценки стабильности оказалось весьма сложной задачей, решение которой потребовало разработки нового подхода к анализу сил, действующих в сухожильно-мышечных комплексах и в суставах при заданной конфигурации скелета.
Эмпирические и теоретические аспекты, связанные с развитием математического моделирования скелетно-мышечных систем, обсуждаются в публикациях, которые образуют непрерывный поток, где определяющее значение принадлежит статьям, публикуемым в журналах «Journal of Biomechanics», «Biological Cybernetics», «Computers in Biology and Medicine», «Gait and Posture», «Физиология человека». В публикациях, включая Интернет-ресурсы, накоплен огромный материал, но только немногие исследования получили широкое признание специалистов или изменили представление о функционировании биомеханических систем [224]. Многие вопросы требуют дальнейшего изучения. Анализ литературы выявил актуальность не только хорошо известной проблемы избыточности в биомеханике скелетно-мышечных систем [67], но и других вопросов, происхождение которых и пути их решения требуют специального рассмотрения, выходящего за рамки данной работы. Камнем же преткновения на пути создания адекватных биомеханических моделей скелетно-мышечных систем оказалась проблема создания эффективного в вычислительном отношении метода определения действительного состояния односторонних связей при большом их числе в деформируемой механической системе.
Таким образом, попытка решения задачи о стабильности остео-синтеза натолкнулась на весьма сложную проблему. В итоге предпринятое исследование приобрело комплексный характер, что предполагает использование некоторых данных из смежных областей. Необходим, кроме того, учет интересов потенциальных пользователей создаваемой математической модели, в данном случае — травматологов. Решение появляющихся проблем не является прерогативой одного специалиста. В этих условиях методология математического моделирования [149] позволяет найти эффективный путь к цели между «рифами» эклектики, избыточной формализации, ограниченности эмпи рики.
Изучение литературы по теме работы позволило обосновать актуальность поисков решения проблем, определивших цель исследования: уменьшение объема вычислений при моделировании дискретных механических и биомеханических систем с жесткими и податливыми односторонними связями. Достижение данной цели предполагает:
(1) выявление и осуществление новых возможностей в моделировании механических систем с односторонними ограничениями параметров состояния и создание более эффективных в вычислительном отношении методов и алгоритмов решения задачи о действительном состоянии механической системы с большим числом односторонних жестких и податливых связей;
(2) развитие методов математического описания и численного анализа биомеханических моделей скелетно-мышечных систем как объектов с большим числом односторонних связей.
Достижение цели исследования предполагает анализ предшествующего опыта, формулировку гипотез, их верификацию.
При выборе и корректировке пути к достижению указанной цели автор стремился следовать часто цитируемым в литературе методологическим принципам, которые в XIV веке сформулировал Уильям Ок-кам [48, 53]. Согласно одному из принципов, решение задачи не должно быть избыточно сложным по сравнению с самой задачей. В современной вычислительной математике, по существу, применяется принцип минимальной сложности моделей, методов, алгоритмов [149]. Минимальная сложность модели может быть достигнута, если, в соответствии с принципом Оккама, не умножать сущностей без необходимости. В этом случае результат также будет соответствовать принципу Оккама: «Чем ближе мы находимся к некоторой истине, тем проще оказываются основные законы, ее описывающие».
В данной работе представлена попытка решения достаточно актуальных проблем с опорой на перечисленные принципы, конкретизацией которых в интересующей нас области исследований является методология математического моделирования [149].
В первой главе внимание акцентировано на актуальности совершенствования математических моделей механических систем с односторонними связями. Кратко описана история развития подходов, применяемых при построении исследуемых моделей. Тенденцией развития математического описания математических моделей механических систем является упрощение используемых методов и алгоритмов с целью повышения их вычислительной эффективности. Выявлены затруднения, возникающие при компьютерной реализации известных моделей. Затруднения выражаются в часто неприемлемо большом времени счета и обусловлены несовершенством математических моделей, используемых при решении основной проблемы теории механических систем с односторонними ограничениями перемещений.
По результатам анализа литературы установлено, что отсутствие метода анализа больших механических систем, обладающего достаточно высокой вычислительной эффективностью, затрудняет решение ряда важных задач, прежде всего в области машиностроения и биомеханики. Исходя из этого определена главная задача исследования, заключающаяся в разработке пути решения основной проблемы теории механических систем с односторонними связями, более эффективного в вычислительном отношении по отношению к известным методам решения проблемы при моделировании стержневых систем с большим числом жестких и податливых односторонних связей.
Во второй главе представлены новые элементы теории дискретных механических систем с односторонними связями. Введено в рассмотрение понятие порога переключения односторонней связи. С уче том данного понятия реальная двухсторонняя связь может толковаться как частный случай односторонней связи. Выполнен анализ физических и формальных аспектов основной проблемы теории механических систем с односторонними связями. На основе анализа сформулирована гипотеза об очередности перехода односторонних связей из текущего их состояния в альтернативное состояние. Правомерность гипотезы доказана с использованием принципа минимума потенциальной энергии деформации, а на уровне формального рассмотрения -с использованием аппарата жордановых исключений.
Полученные результаты теоретического исследования основной проблемы теории механических систем с односторонними связями послужили основой для создания нового подхода и соответствующих алгоритмов анализа напряженно-деформированного состояния рассматриваемых стержневых систем. Разработанные алгоритмы имеют достаточное теоретическое обоснование и могут рассматриваться как обобщения известных алгоритмов метода сил, метода перемещений и смешанного метода на случай стержневых систем с односторонними связями и жесткими компонентами. В моделируемой механической системе могут быть как двухсторонние, так и односторонние связи произвольного вида.
Разработанные алгоритмы имеют ограничения на общее количество связей. Природа ограничений не отличается от той, которая имеет место в случае использования метода Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений, а также в конечно-элементных моделях, реализованных в известных программных комплексах численного анализа механических систем .
Во второй главе рассмотрены примеры, которые показывают, что применительно к моделированию стержневых систем такое усовершенствование не требует дополнения известных программных ком плексов сложными процедурами. При этом объем вычислений, сопровождающих анализ конструктивно-нелинейной механической системы с 2п неизвестными параметрами состояния по одному из предложенных алгоритмов не превышает объема вычислений при однократном решении системы п уравнений методом Гаусса. Данный результат может быть воспринят как парадоксальный, но лишь на первый взгляд.
Приведены доказательства формулируемых предложений, численные примеры и графические иллюстрации. Выявлены, в частности, новые возможности повышения вычислительной эффективности и универсальности алгоритмов, открываемые предложенной методикой применения жордановых исключений и исключений по методу Гаусса в математическом описании механических систем с односторонними связями. Ключевая роль в обеспечении высокой вычислительной эффективности предлагаемых методов и алгоритмов принадлежит выявленной в диссертации очередности перехода односторонних связей в альтернативное состояние.
Разработанная шаговая схема решения задачи сводится к поиску координат точки условного минимума с ограничениями в виде системы равенств и нестрогих неравенств. Эта же схема может рассматриваться и как поиск неотрицательного решения системы п линейных алгебраических уравнений с 2п неизвестными. Найдены условия, при выполнении которых на очередном шаге одно из нестрогих неравенств гарантированно осуществляется в виде равенства. Доказано, что при установлении однопараметрического воздействия механическая система с односторонними связями не возвращается в ранее пройденное состояние. Данное обстоятельство использовано в целях повышения вычислительной эффективности алгоритма.
Материалы второй главы (разделы 2.16, 2.17) теоретически обос новывают одно из направлений в моделировании стержневых систем с односторонними связями, которое (направление) появилось исторически первым, но не получило необходимого развития.
Разработка достаточно эффективных в вычислительном отношении методов и алгоритмов анализа состояния механических систем с односторонними ограничениями перемещений создает новые возможности для развития способов решения задач динамики таких систем с использованием подходящих шаговых процедур. Данное положение также нашло отражение в выполненном исследовании.
Приложение разработанных алгоритмов к некоторым задачам динамики механических систем с односторонними связями рассмотрено в третьей главе. С точки зрения методологии данного исследования движение механической системы с односторонними связями интерпретируется как очередность состояний этой системы, упорядоченных во времени и в пространстве. Это методологическое положение реализовано на уровне математической модели аппроксимацией дифференциального уравнения движения его конечно-разностным аналогом с шагом по времени. Эффективность дискретной модели продемонстрирована при решении тестовых задач о столкновении системы двух тел с жесткой преградой и о соударении с горизонтальной опорой.
Достоверность результатов численного моделирования подтверждена их совпадением с аналитическими решениями, известными в теории механических соударений. Реалистичные результаты получены также при решении представленной в третьей главе задачи о косом ударе деформируемого тела без учета его вращения. При моделировании учтено изменение в процессе соударения сил сухого трения в области пятна контакта и вязкого сопротивления в односторонней связи, которая (связь) в процессе движения неоднократно переходит из со стояния «включено» в состояние «выключено».
Полученные результаты позволили расширить круг задач и с использованием численных методов рассмотреть на примерах некоторых закономерности движения того же тела без повторных соударений. Результаты численного моделирования согласуются с описанными в литературе данными.
В четвертой главе внимание концентрируется на другой области применения результатов выполненного исследования, которая связана с анализом биомеханических аспектов в травматологии, в частности -с прогнозированием стабильности остеосинтеза при лечении переломов проксимального метаэпифиза бедра. В появляющихся в этой связи задачах требуется, прежде всего, достаточно достоверное определение сил в суставах и в мышцах травмированной конечности. Представляя собой с точки зрения механики естественную систему с односторонними связями, костно-мышечная система травмированной конечности является очевидным объектом математического моделирования с использованием разработанных во второй главе методов и алгоритмов. И потому неудивительно, что в области построения математического описания биомеханических моделей скелетно-мышечных систем существовала проблема, которая не могла быть решена без использования достаточно универсальных и экономичных по времени счета алгоритмов. Такие алгоритмы, базирующиеся на использовании полной системы уравнений, разработаны и представлены в четвертой главе. Их применение иллюстрируется решением примеров.
В четвертой главе показана неправомерность расширительного толкования известной гипотезы об оптимальности управления состоянием мышц со стороны центральной нервной системы и некорректность использования известных критериев оптимальности взамен геометрических и физических соотношений.
Рассмотрен известный по литературе способ учета геометрической нелинейности в биомеханической модели скелетно-мышечной системы с использованием полной системы уравнений, записанных в дифференциальной форме. Выявлена неадекватность такого подхода, приводящая к неоправданному увеличению объема вычислений. Показана достаточность более простых геометрически линейных соотношений в математическом описании исследуемых моделей, предназначенных для прогнозирования внутренних сил по заданному движению.
Предложена записанная в виде матричных дробно-рациональных функций модель зависимости усилий в системе сухожильно-мышечных комплексов от уровня активации мышц.
Рассмотрены тестовые примеры, анализ результатов решения которых подтверждает адекватность моделей и алгоритмов, разработанных с использованием выдвинутых положений.
В заключительной части формулируются общие выводы по работе.
В приложении 1 приведено известное описание итерационного метода Лемке и решение двух тестовых примеров по разработанному в диссертации шаговому алгоритму, который является более эффективной в вычислительном отношении альтернативой указанному методу при решении задач рассматриваемого класса.
Приложение 2 включает в себя иллюстрации и некоторые комментарии к биомеханической модели костно-мышечной системы тазобедренных узлов человека, разработанной с использованием полученных в диссертации результатов.
Научная новизна работы определяется следующим. 1. Сформулирована и обоснована гипотеза об очередности перехода односторонних связей в действительное состояние при установле ний воздействия на механическую систему. С применением выявленного закона очередности разработан эффективный в вычислительном отношении подход к моделированию механических систем с односторонними связями. Раскрыты причины зацикливания и отсутствия сходимости алгоритма расчета рассматриваемых систем, появившегося исторически первым, но не имевшего математического и достаточного физического обоснования.
2. Найден и математически обоснован новый алгоритм решения линейной задачи о дополнительности в случае положительно определенной матрицы коэффициентов. На основе этого алгоритма разработаны обобщения известных методов для моделирования систем с ограничениями параметров состояния в виде нестрогих неравенств. Предложен метод последовательного выключения связей, который требует для расчета конструктивно-нелинейной механической системы с 2п неизвестными параметрами состояния не большего объема вычислений, чем однократное решение системы п линейных алгебраических уравнений
3. Разработана методика использования полученных результатов при численном решении отдельных задач динамики с учетом переменных сил сухого трения и вязкого сопротивления в односторонних связях.
4. На основе методологии математического моделирования выполнен анализ известных подходов к решению задач биомеханики ске-летно-мышечных систем. Установлена неадекватность использования критериев оптимальности в известных подходах. Найдено и на уровне алгоритма реализовано решение проблемы избыточности в биомеханике (в задаче определения сил в сухожилиях и в суставах по заданным координатам жестких звеньев скелета). С учетом выявленного закона очередности разработан подход к построению биомеханических моделей скелетно-мышечных систем произвольного вида.
5. Разработаны в соавторстве с д. м. н., проф. Р.И. Мельцером конструктивные решения фиксаторов, предназначенных для использования при лечении переломов шейки бедра. Новизна технических решений подтверждена авторскими свидетельствами на изобретения.
Достоверность результатов моделирования механических систем с односторонними связями при статическом и динамическом воздействиях подтверждена совпадением полученных в диссертации численных решений тестовых задач с известными по литературе точными решениями [125]. Адекватность результатов моделирования биомеханической системы с односторонним связями, а именно - скелетно-мышечной системы тазобедренных суставов человека подтверждена их соответствием опубликованным в статье [194] данным физических измерений сил в тазобедренных суставах, а также данным электромиографии [34, 35] и клинических наблюдений [110]. Практическая значимость:
1. Построены эффективные в вычислительном отношении алгоритмы компьютерного анализа конструктивно нелинейных систем с жесткими и податливыми односторонними связями. Предложен алгоритм, который требует для расчета конструктивно-нелинейной механической системы с 2п неизвестными параметрами состояния не большего объема вычислений, чем однократное решение системы линейных алгебраических уравнений с п неизвестными.
2. Предложено обобщение алгоритма метода перемещений, не требующее для компьютерного осуществления создания принципиально новых комплексов программ. Необходима лишь надстройка для управления очередностью стандартных преобразований линейных уравнений в соответствии с установленным критерием.
3. С применением разработанных алгоритмов построена биомеханическая модель костно-мышечной системы тазобедренных узлов человека. Модель, реализованная в виде программы, использована в исследованиях биомеханических аспектов стабильности остеосинтеза переломов бедра. Обоснована избыточность учета геометрической нелинейности в математических моделях скелетно-мышечных систем, предназначенных для прогнозирования внутренних сил по заданному движению. Данный результат позволил существенно упростить математическое описание биомеханической модели скелетно-мышечной подсистемы, обеспечить адекватность и вычислительную эффективность компьютерной версии модели.
4. Полученные результаты нашли применение при разработке новых конструкций остеофиксаторов, а также в научно-исследовательской работе по совершенствованию методик лечения переломов и в процессе подготовки специалистов в Петрозаводском государственном университете.
Положения, выносимые на защиту.
1. Алгоритм решения линейной задачи о дополнительности с положительно определенной матрицей коэффициентов. Элементы теории, относящиеся к выявленному пути решения основной проблемы в моделировании деформируемых систем с односторонними связями. Гипотеза об очередности перехода односторонних связей в альтернативное состояние, ее физическое и математическое обоснование.
2. Обобщенный алгоритм метода перемещений для моделирования механических систем с односторонними связями..
3. Базирующийся на методологической основе математического моделирования подход к построению алгоритмов биомеханического анализа скелетно-мышечных систем.
4. Результаты практического применения предложенных моделей, алгоритмов и их компьютерной версии при разработке технических решений остеофиксаторов, новизна и полезность которых подтверждены авторскими свидетельствами на изобретения.
Апробация работы. Материалы диссертации были представлены на следующих конференциях, съездах и семинарах: » VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);
? 20-ая Международная конференция «Математические модели механики сплошных тел. Методы конечных и граничных элементов» (Санкт-Петербург, 2003);
? X и XII международные конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам (Переславль-Залесский, 1999; Владимир, 2003);
? семинар академика Н. Ф. Морозова (С-Петербург, 2004);
? III-VII Всероссийские конференции по биомеханике (Н. Новгород, 1996, 1998, 2000, 2002, 2004);
? Междисциплинарная конференция с международным участием «Новые биокибернетические и телемедицинские технологии XXI века для диагностики и лечения заболеваний человека» (Петрозаводск, 2003);
? Международная научно-методическая конференция «Университеты в образовательном пространстве региона» (Петрозаводск, 1999);
« Научная конференция "Современные технологии в травматологии и ортопедии" (Москва, ЦИТО, 1999);
- VI съезд травматологов-ортопедов Прибалтийских республик (Таллинн, 1990;
семинар в Институте прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН (Петрозаводск, 2004);
• семинар по перспективам развития эргономической биомеханики (Севастополь, 1990);
? семинары кафедр механики и математического моделирования систем управления Петрозаводского госуниверситета (1998-2004).
? ряд региональных конференций, доклады на которых перечислены в автореферате диссертации.
Публикации. Результаты исследования представлены в 39 публикациях, основными из которых являются одна монография и 9 статей, включая описания к двум авторским свидетельствам на изобретения.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, раздела с основными выводами, списка литературы (327 наименований) и приложений. Общий объем работы 267 страниц.
Квадратичное программирование и решение основной проблемы
Известно, что к одной и той же цели могут вести пути различной сложности. Тенденция развития заключается в уменьшении сложности алгоритмов решения одной и той же задачи [26]. Об исторически первом направлении в теории рассматриваемых механических систем сказано выше. На ином направлении и только через 45 лет после постановки проблемы появился математически обоснованный метод [49], в котором расчет конструкции с односторонними связями сведен к задаче квадратичного программирования. В этом случае определяются координаты точки минимума функции энергии F(X) = -XTAX + XTB С1-4) при ограничениях Y 0; Х 0; YTX = 0; (1.5) Y = AX + B, где А - симметричная положительно определенная матрица. Переменные ХІ и Yi являются параметрами состояния механической системы и представляют собой силы и перемещения. Методам решения задач квадратичного программирования посвящена обширная литература, известны достаточно универсальные алгоритмы решения таких задач (см., например, [1, 100, 141]).
Но указанный подход [49], современное состояние которого отражено в книге [125], не мог появиться раньше своих «родителей». Для его появления оказались необходимыми условия, обозначенные в истории науки крупнейшими событиями [100]: (1) открытие эпохи линейного программирования (Л. В. Канторович, 1939 г.); (2) появление теоремы Куна-Таккера и возникновение нелинейного программирования (примерно 1951 г.); (3) развитие теории математического программирования и его прикладных аспектов в работах Т. Рокафеллара, Ф. Вулфа, Р. Котла, комментарии к которым можно найти, например, в [100, 141, 215]. Ставший широко известным названный выше подход [49, 125]
своим появлением дал старт очередному этапу в развитии теории механических систем с односторонними связями и методов их моделирования [135]. Данный подход может рассматриваться как одно из эффективных приложений математического программирования. Сведение расчета конструкций с односторонними связями к задаче квадратичного программирования позволяет воспользоваться, например, универсальным алгоритмом Вулфа, что обеспечивает сходимость к единственному решению. Однако соответствующие алгоритмы воспринимаются инженерами как избыточно сложные для рассматриваемой задачи, и в этой связи на эмпирическом уровне предпринимались оказавшиеся безуспешными попытки усовершенствования этих алгоритмов, о чем говорится в книге [125].
Только новая теория, синтезировав известный опыт, могла привести к новым методам. К таким методам относится общий метод решения задач специального класса, называемых задачами о дополнительности [120, 141]. Этот класс задач включает в себя задачи как линейного, так и квадратичного программирования [130].
Интерпретация проблемы как линейной задачи о дополнительности
Поиски более простых решений рассматриваемой проблемы привели к появлению новой области исследований. Речь идет о работах по негладкой механике [120], создавших основу для математических мо делей очередного поколения [211, 297, 298]. Важным и необходимым элементом новой теории является принцип дополнительности, в отношении законов физики микромира сформулированный Н. Бором в 1927 г. [48].
По используемому в механике определению, свойством дополнительности обладают две величины, одна из которых обязательно равна нулю, вследствие чего их произведение всегда равно нулю. Таким свойством обладают все односторонние контакты. Если реакция отлична от нуля, то равно нулю совместное с реакцией перемещение, и наоборот, если перемещение не равно нулю, то равна нулю реакция.
Как отмечается в обзорной части статьи [298], идеи анализа механических систем с односторонними ограничениями перемещений можно найти в работах Фурье (1798), в лекциях Больцмана начала XX века и, несколько позже, в работах Синьорини, который предложил используемое в настоящее время условие отсутствия взаимопроникновения в форме линейной задачи о дополнительности.
Очередность перехода односторонних связей в состояние «включено»
Если односторонние связи находятся в состоянии «выключено», то в роли порога переключения выступает перемещение. Физически очевидно, что в данном случае односторонние связи переходят в состояние «включено» в порядке достижения ими порога включения, детерминированного величиной зазора (см. рис. 1.1).
По определению [135], с некоторой односторонней связью к совместно перемещение Yk 0. Односторонняя связь находится в состоянии «выключено», если Yk 0. Если Yk = 0, то односторонняя связь находится в состоянии «включено». В реальных, например, машиностроительных, конструкциях перемещения ограничены величиной зазора, т.е. ограничены как сверху, так и снизу.
Обозначим верхний и нижний пороги включения односторонней связи к соответственно iik и ик. По определению, перемещение Yk положительно, если его направление совпадает с направлением реакции односторонней связи к. Очевидно, состоянию «выключено» отве чают условия ик Yk Uk. Выход величины перемещения Yk на границу области допустимых значений означает переход односторонней связи в альтернативное состояние. При выполнении условий Yk =тіпУ;; Yk =ик или Yk =тахУ;.; Yk =ик, i = \,2,...,n, (2.1) односторонняя связь к находится в состоянии «включено». Если ик = 0; и к = оо, то нестрогое неравенство вида Yk О осуществляется в виде равенства. Здесь п - число реакций односторонних связей.
Согласно известному разъяснению Эйлера, полностью процитированному в книге [156, с. 44], «... в мире не происходит ничего, в чем не был бы виден смысл какого-нибудь максимума или минимума». Задача определения напряженно-деформированного состояния упругой механической системы с двухсторонними связями может быть сведена к поиску минимума функционала потенциальной энергии. Аппроксимация функций, например, с использованием метода конечных элементов или иных методов, позволяет рассматривать функционал как функцию F(X) многих переменных [328]. Тогда задача сводится к определению координат точки безусловного минимума функции, (Х) = -ХТАХ + ХТВ, (2.2) если рассматривается механическая система с двухсторонними связями. Алгоритмы формирования матрицы коэффициентов А и вектора перемещений В хорошо известны [142]. Элементами вектора X являются искомые реакции связей механической системы.
Рассмотрим, однако, упругую линейно деформируемую систему с односторонними связями. Пусть при установившемся воздействии на механическую систему некоторые односторонние связи находятся в состоянии «включено». В таком состоянии они неотличимы от двухсторонних связей, и для данного состояния может быть записана соответствующая функция (2.2) Если воздействие изменится, то некоторые односторонние связи перейдут в альтернативное состояние и фактически появится новая конструкция. По этой причине появится функция вида (2.2) с новым набором переменных.
Функция (2.2) представляет собой сумму линейной функции (которая является и выпуклой, и вогнутой) и квадратичной формы с положительно определенной по условию задачи матрицей. Необходимое и, в данном случае, достаточное условие существования безусловного экстремума функции (2.2) записывается в виде системы уравнений АХ + В = 0. В точке экстремума имеет место минимум, т.к. вторые производные по независимым переменным равны диагональным коэффициентам матрицы А, которые положительны по физическому смыслу задачи [142].
Координаты стационарной точки представляют собой решение системы линейных алгебраических уравнений, которая может быть записана в форме одного из методов строительной механики [47, 142]. Заметим, что для определения напряженно-деформированного состояния конструкции значение минимума как такового не требуется. Необходимы лишь координаты точки минимума, представляющие собой значения параметров состояния механической системы.
Сухое трение и вязкое сопротивление в односторонних связях при косом ударе
Поверхность реального физического тела обладает некоторым микрорельефом. Шероховатость поверхностей является причиной появления касательных напряжений при относительном движении тел. Результаты исследований по соударению шероховатых тел, охватывающие период от появления трудов Амонтона (1699), Кулона (1781) и Герца (1882) до наших дней, представлены, например, в книгах [23, 70, 122].
Рассмотрим движение тела при косом ударе о шероховатую горизонтальную плоскость. Вращение тела во внимание не принимается. Сопротивление движению тела в фазе полета отсутствует. Два этих фактора могут быть учтены в численной модели при решении конкретных задач.
При косом ударе появляется сила сухого трения Т, пропорциональная нормальной составляющей давления на опору N. Если V -скорость движения в плоскости, ортогональной к направлению давления N, то сила сухого трения T = -f\N\sgnV. (ЗЛО)
Нормальную и касательную составляющие силы сопротивления движению при соударении можно интерпретировать как реакции некоторых односторонних податливых связей. Кроме сухого трения в этих связях имеет место вязкое сопротивление движению тела, как по нормали к плоскости, так и по касательному направлению.
При соударении тело деформируется, площадь контакта увеличивается и, как следствие, возрастает жесткость S односторонней связи при сжатии. С целью проверки реалистичности результатов численного моделирования решен ряд примеров. В рассматриваемых далее модельных примерах зависимость жесткости S от деформации U2, измеренной по нормали к плоскости контакта, принята в виде S = S0(\ + \U2\/UmJ. (3.11)
В данном случае ,S0 = 104; Umax = 0,5. Коэффициент трения в законе Кулона принят равным 0,5. Диагональные элементы матрицы л в (3.2) равны: ЛП=Л22=100. Кроме того, МИ=М22=10; Sn=S22=5;g = 9,81. Результаты вычислений с шагом по времени г = 0,01 по формуле (3.4) приведены на рис. 3.10-3.13.
При численном моделировании предполагалось, что вследствие появления деформаций тел при их соударении получаемые зависимости будут достаточно гладкими. Правомерность такого предположения обусловлена как физическими соображениями, так и результатами численного моделирования, в частности, теми, которые представлены на рисунках.
Результаты решения примеров, представленные в предыдущих разделах, представляются вполне реалистичными. Полученные зависимости адекватны известным результатам исследований аналогичных задач, которые выполнены с использованием уравнений Лагран-жа и вспомогательной замены переменных [70, с. 205-209]. Замена переменных в [70] выполнена с целью непрерывного представления механической системы с ударами в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Однако такой подход имеет ряд ограничений, указанных автором книги. В той же книге [70, с. 209] отмечается привлекательность физически прозрачных моделей, обеспечивающих устранение парадоксов, присущих аксиоматическим моделям. Автор книги (А.П. Иванов) заключает, что «возможности дискретных методов в теории систем с ударами раскрыты далеко не в полной мере». Вполне соглашаясь с этим выводом, отражающим актуальность изучения и создания дискретных моделей механических систем с односторонними связями, рассмотрим пример решения задачи о движении такой системы без повторных соударений.
Как и в рассмотренных выше случаях, задачу решим, не прибегая к использованию дополнительных предположений о траектории движения, коэффициентах восстановления и т.д.
В представленном выше примере (рис. 3.10 — 3.13) приземление сопровождалось повторными ударами. Повторные удары нежелательны в таких часто встречающихся ситуациях, как посадка летательного аппарата, приземление в прыжках с трамплина, захват роботом-манипулятором предмета и т.д. [70, 121, 122, 297, 298]. Исследование любой из этих задач выходит за рамки предпринятого исследования. Мы лишь демонстрируем на тестовых примерах один из инструментов решения задач такого класса.
Пример. Приведем решение примера из раздела 3.3, изменив только вертикальную скорость. Предположим, что горизонтальная и вертикальная скорости в момент приземления равны соответственно Vx - 5 и V2 = -0,5. Результаты вычислений с использованием конечно-разностного алгоритма представлены на рис. 3.14 — 3.16.
Об управлении параметрами состояния сухожильно-мышечных комплексов
Число скелетных мышц достаточно велико и больше числа степеней свободы скелетной системы. По этой причине скелетно-мышечная система представляет собой с точки зрения механики статически неопределимую систему с изменяющимися во времени параметрами состояния. Применяя дискретную модель, рассмотрим возможный механизм управления параметрами состояния на достаточно малых отрезках времени.
Объектами управления являются мышцы. Их состояние в известных пределах контролируется центральной нервной системой. Если в какой-либо ситуации величина мышечной силы недостаточна, то за счет активации мышечных волокон и мышечного сокращения сила может быть увеличена. Расслабление мышцы уменьшает эту силу. Эти процессы сопровождаются сложными взаимодействиями. Эмпирически установлено, что для определения зависимости силы от длины достаточно точной оказывается линейная аппроксимация [51, с. 196-197; 166, с. 138]. Принимая во внимание данный факт, мы можем оправданно использовать в биомеханических моделях скелетно-мышечных систем линейные соотношения, рассмотренные во второй главе работы.
Для формирования управляющих импульсов необходима некоторая информация о текущем значении силы, генерируемой каждой из мышц. Эти силы передаются на кости через сухожилия, и потому достаточно измерить силу натяжения сухожилия, чтобы получить представление о суммарной активации мышечных волокон и о величине мышечного сокращения. Как известно, важный шаг в развитии представлений о механизмах управления мышечным сокращением был сделан в 1870-1883 гг., когда Гольджи описал главный рецептор сухожилий, позже названный его именем. Сам Гольджи называл его «нервный сухожильно-мышечный орган» [51, с. 64]. Сухожильный орган был обнаружен в сухожилии у границы между мышечной и сухожильной тканями. Сухожильные органы занимают подобное положение у обоих концов мышцы. Сухожильные органы находили и изучали у всех групп позвоночных. В сухожилиях наиболее толстые нервные волокна идут к рецепторам Гольджи. По этим волокнам проходят быстро распространяющиеся импульсы от рецепторов, чувствительных к натяжению сухожилия [51]. Эти импульсы обеспечивают исходную информацию, анализ которой осуществляется в центральной нервной системе.
По результатам анализа центральная нервная система формирует управляющие импульсы, которые передаются к мышечным волокнам. Активация мышечных волокон и мышечное сокращение изменяются. Как результат, изменяется натяжение сухожилий, что регистрируется сухожильными рецепторами. Импульсы от рецепторов поступают в центральную нервную систему и т.д. На самом деле процесс весьма сложен, в нем участвуют и другие рецепторы [51]. Однако мы рассматриваем только часть процесса (рис. 4.2). При этом нас интересует только информация о силах в сухожилиях. Именно эти силы определяют конфигурацию скелетной системы и движение позвоночного.
С учетом сказанного в предыдущих главах ясно, что силы в сухожилиях могут быть определены в результате решения полной системы уравнений, рассмотренных во второй главе работы. Единственно возможный набор этих сил устанавливается, как и в инженерных конструкциях, в соответствии с принципом минимума потенциальной энергии. В отличие от многих инженерных конструкций параметры состояния скелетно-мышечной системы, находясь под управлением центральной нервной системы, непрерывно изменяются, реагируя на воздействия в процессе жизнедеятельности.
К числу таких воздействий относятся, например, движение крови и дыхание [210]. Реагируя на эти воздействия, центральная нервная система пытается их компенсировать. Поскольку скелетно-мышечная система является с точки зрения механики статически неопределимой системой, то изменение активации мышц, а значит, и их жесткости, приводит к перераспределению сил в сухожилиях и в суставах, а также к изменению длины сухожильно-мышечных комплексов. В итоге механические параметры состояния позвоночного непрерывно изменяются. Имеет место состояние динамического равновесия организма.
Похожие диссертации на Дискретные модели механических и биомеханических систем с односторонними связями
