Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Модели дискретной фурье-фильтрации в нелинейно-оптических системах с обратной связью 27
1.1 Математические модели нелинейно-оптических систем с фурье-фильтрацией в контуре обратной связи 27
1.2. Дискретный подход к математическому описанию процесса фурье-фильтрации в конфокальной 4 — f системе двух тонких линз. Постановки начально-краевых задач для параболического функционально-дифференциального уравнения оптической фурье-фильтрации
1.3. Основные свойства функционального слагаемого в уравнении оптической фурье-фильтрации 39
1.4. Существование и единственность решения начально-краевых задач в энергетическом классе. Липшиц-непрерывная зависимость решения от фурье-фильтра и от начальных данных. Регулярность решения при t > to > 0 и при t > 0 45
1.5. Максимальный аттрактор эволюционного уравнения оптической фурье-фильтрации 53
1-6. Оценки сверху и снизу хаусдорфовой размерности аттрактора 62
ГЛАВА 2. Задачи оптимального управления дискретным фильтром фурье 75
2.1. Постановки задач минимизации для общих терминальных и интегральных функционалов качества на компактном и слабо компактном множествах гильбертова пространства t-i 75
2.2. Разрешимость задач оптимального управления дискретным фурье-фильтром 81
2.3. Постановка задачи оптимального управления дискретным фурье-фильтром с целевой функцией, образованной линейной комбинацией терминального и интегрального функционалов. Сопряжённая задача. Основные свойства функционального слагаемого в правой части уравнения сопряженной задачи 91
2.4. Существование и единственность обобщённого решения сопряжённой задачи в энергетическом классе. Гёльдер-непрерывная зависимость решения сопряженной задачи от управления 103
2.5. Градиент целевого функционала в задаче оптимального управления фурье-фильтром. Гельдер-непрерывпая зависимость градиента от управления 116
2.6. Решение задачи оптимизации методом условного градиента. Сходимость к стационарным точкам в задаче оптимального управления фурье-фильтром на компакте 136
ГЛАВА 3. Численное исследование задачи оптимизации фурье-фильтра для формирования заданной фазы световой волны 139
3.1. Метод условного градиента для решения задачи математического программирования на единичном параллелепипеде в пространстве С 140
3.2. Проекциоиио-разностная аппроксимация задачи оптимизации 143
3.3. Численное исследование влияния количества управляемых гармоник фильтра Фурье на результат оптимизации 147
3.4. Основные параметры модели и характер их влияния на качество оптимизации 155
Список сокращений 168
Список литературы 1С9
- Математические модели нелинейно-оптических систем с фурье-фильтрацией в контуре обратной связи
- Максимальный аттрактор эволюционного уравнения оптической фурье-фильтрации
- Разрешимость задач оптимального управления дискретным фурье-фильтром
- Численное исследование влияния количества управляемых гармоник фильтра Фурье на результат оптимизации
Введение к работе
В последние десятилетия в физической оптике активно иссле/гуются нелинейно-оптические системы с пространственно-распределенной обратной связью (ОС) [3, 4, 19, 20, 24, 29, 48, 49, 50, 51, 60, 61, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 119, 120, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130,
132, 133, 135,139, 140, 141, 142, 143] (см. также обширную библиографию в [60, 103, 106, 111]). Большой интерес к системам с ОС объясняется тем, что эти системы являются, по-существу, универсальными оптическими компьютерами для изучения процессов самоорганизации, автоволновой неустойчивости и хаоса [4]. В работах [3, 4, 24, 29, 50, 51, 60, 61, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 113, 114, 115, 116, 119, 120, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130,
133, 135, 139, 141, 142] в нелинейных системах с ОС были не только экспериментально обнаружены основные типы автоволновых процессов такие, как структуры Тыоринга-Пригожина [62], автоколебания [62, 134], ведущие центры, оптические ревербераторы, различного рода спиральные волны [3, 4, 104, 116,142] и локализованные структуры [106,133], но и исследованы новые эффекты нелинейной динамики [60, 120], а также предложены возможные теоретические подходы к объяснению таких сложных явлений, как, например, развитие вторичных неустойчивостей [113] либо сценариев перехода к пространственно-временному хаосу [4, 107]. Кроме того, возрастанию интереса к системам с обратной связью способствовало развитие идей оптической обработки информации [7, 19, 20, 21, 81, 102, 140] и практических приложений оптических систем с обратной связью, самыми известными (и успешными) из которых на сегодняшний день являются высокоразрешающая коррекция волнового фронта, которая достигается либо в результате дифракции световых волн [112, 136, 141], либо при помощи специальным образом организованной пространственной фильтрации световой волны в контуре ОС [111, 117, 122], и применение коррекции волнового фронта к различным задачам адаптивной оптики, например, к задачам астрономии (см. [19], а также
-G-
библиографию в [117]) и медицины [49].
В различных областях науки и техники под фурье-фильтрацией понимается воздействие на функцию состояния динамической системы посредством изменения её образа непрерывного или дискретного пространственного преобразования Фурье. В физической оптике широко используется свойство тонкой линзы осуществлять в своем фокусе преобразование Фурье светового поля перед линзой (см. [7, 11, 22, 81, 82, 102] и др.). Таким образом, в оптике открываются поистине уникальные возможности для пространственной фильтрации световой волны, поскольку пространство Фурье-образов оказывается напрямую доступным для наблюдения и контроля с помощью так называемых фурье-фильтров [22]. В простейшем случае фурье-фильтр состоит из конфокальной 4 — f системы двух тонких линз с общей фокальной плоскостью, в которой установлен пространственный фильтр (ПФ) [51, 60, 61, 121, 122] или жидкокристаллический пространственно-временной модулятор света (ЖК-ПВМС) [117].
Сравнительная простота экспериментальной реализации и высокая скорость выполнения операции оптической фурье-фильтрации привели к тому, что техника пространственной фильтрации получила широкое распространение в нелинейно-оптических системах с обратной связью [4, 24, 50, 51, 60, 61, 111, 115, 117, 122, 124, 139]. В таких системах в контур оптической обратной связи помещается 4 — f система с управляемым ПФ, выбор которого определяет основные качественные свойства фазово-амплитудпого преобразования, осуществляемого контуром обратной связи, и, следовательно, пространственно-временную динамику оптической системы в целом [60]. Классическая схема пассивного кольцевого резонатора, содержащего тонкий слой нелинейной среды керровского типа, а также оптическую фурье-филь-трацию и преобразование пространственных координат в контуре обратной связи, из работ [4, 60] приводится на рис. 0.1. Такая оптическая система функционирует следующим образом. Входная волна с в общем случае неоднородным по пространству (в пределах апертуры) распределением интенсив-
ности ііп{х) = \Ліп(х)\2 ф const, и неплоским волновым фронтом <р(х) падает на вход оптической системы, в которой после прохождения тонкого слоя нелинейной среды керровского типа световая волна приобретает дополнительный фазовый набег u(x,t). После этого часть энергии световой волны покидает оптическую систему, но отразившаяся от зеркала другая часть энергии световой волны заводится в контур оптической обратной связи, где подвергается различным преобразованиям: операции фурье-фильтрации с фильтром р и/или преобразованию пространственных координат. Прошедшая через контур волна обратной связи с интенсивностью Ifb{%' А\р) = \Afb{%'->t',р)\2 взаимодействует с входным полем, тем самым определяя дополнительный фазовый набег и(х, і), приобретаемый проходящей через нелинейную среду световой волной. При этом вносимая нелинейным элементом фазовая задержка и(х, і) пропорциональна падающей на керровский элемент (управляющей) интенсивности световой волны [4, 24, 29, 90, 111]. В том случае, если при сложении входного поля Ain(x) и поля обратной связи Арв(х', t;p) (здесь А(П(х) и Арв(х\ t\p) обозначают комплексные амплитуды входного поля и волны обратной связи, соответственно) не происходит интерференционных взаимодействий [G7, 111], то динамика дополнительной фазовой модуляции световой волны и(х, t) в одноироходовом приближении прописывается следующим нелинейным релаксационным уравнением Дебаевского типа [24, 67, 90, 111], учитывающего диффузию частиц нелинейной среды [4]:
rdtu(x, t) + и(х, t) - DA±u(x, t) = К [Iin(x) + IFB(x', t; p)], (0.1)
где r - характерное время релаксации нелинейности, А± = dllXl + с^2Х2 -оператор Лапласа по поперечным декартовым координатам х = (#1,0:2), D - эффективный коэффициент диффузии частиц нелинейной среды, К - параметр нелинейности. Уравнение (0.1) дополняется граничными условиями и начальным условием.
Ірв&>0
а. фазово-амгаштудное преобразование
{
+ и) -> IFB
геометрическое
преооразование X —> X*
4feO
u(x,t)
/-(*.')
Рис. 0.1. Нелинейный кольцевой резонатор с фурье-фильтрацией и преобразованием пространственных координат в контуре ОС.
Несмотря на большое количество выполненных экспериментальных и численных исследований в оптике, в строгом математическом смысле достаточно полно исследованы лишь математические модели оптических систем с преобразованием пространственных координат в контуре обратной связи (см. [69, 70, 72, 75, 77, 93, 114, 137, 143] и др.), в то время как модели оптических систем с фурье-фильтрацией остаются к настоящему времени малоисследованными [66, 67, 90]. Кроме того, характерной чертой многих физических работ [24, 50, 51, 60, 61, 125], посвященных изучению оптических систем с фурье-фильтрацией, является редукция описывающих динамику этих систем нелинейных функционально-дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа второго порядка [4, 60, 111], учитывающих диффузию зарядов частиц нелинейной среды, к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, и анализ динамики исходных нелинейных задач на основе такого приближения. Однако полученные упрощенные модели зачастую оказываются недостаточными для количественного и качественного анализа динамики исходных нелинейных систем [50]. Это обстоятельство объясняется тем, что при выводе упрощенных задач не учитывается диффузия зарядов частиц нелинейной среды, а также, как правило, рассмотрение ограничивается постулированным вполне определённым видом решения исходных нелинейных систем [24, 50, 51, 60, 61, 125], в результате чего в упрощенных моделях оказывается принципиально невозможным точно учесть происходящее в исходных задачах нелинейное взаимодействие различных гармоник решения. В отличие от описанного выше подхода, в данной работе при изучении моделей фурье-фильтрации в нелинейно-оптических системах с пространственно-распределённой обратной связью учитываются диффузионные взаимодействия частиц нелинейной среды. В частности, это позволяет исследовать сложность возникающих в таких системах пространственно-временных режимов в зависимости от эффективного коэффициента диффузии задачи, а также от выбора фильтрующего элемента.
В настоящей работе исследуются математические модели нелинейных оптических систем с управляемым фурье-фильтром в контуре обратной связи, описываемые нелинейными функционально-дифференциальными уравнениями параболического типа. В отличие от используемых в [24, 111, 140] постановок во всем пространстве R2, в данной работе рассматривается ограниченная пространственная область QcM2, что адекватно описывает конечность апертуры оптической системы [65, с. 28]. Соответствующая ограниченной области модель фурье-фильтрации характеризуется, как и в [67], вхождением дискретного фильтра в качестве мультипликатора в ряд Фурье в отличие от интеграла Фурье в [24, 111, 140]. Дискретный характер фурье-фильтра, с одной стороны, учитывает дискретность каналов управления современных пространственно-временных модуляторов света [117], а, с другой стороны, позволяет упростить сами модели фурье-фильтрации при исследовании возможности их оптимизации.
Принципиальное отличие изучаемых в данной работе математических моделей дискретной фурье-фильтрации от моделей, исследованных в работе М.М. Потапова и К.А. Чечкиной [07], состоит в следующем. Во-первых, в настоящей работе впервые изучаются решения начально-краевых задач для уравнения оптической фурье-фильтрации с оператором дискретной фурье-фильтрации в функциональном члене для начальных условий из пространства L2(Q), а также связанные с решениями этих начально-краевых задач задачи оптимального управления дискретным фурье-фильтром с общими интегральными и терминальными функционалами качества, в то время как в работе [67] решения начально-краевых задач изучаются только при начальных условиях из пространства ЯХ(Г2).
Во-вторых, в настоящей работе исследуется уравнение фурье-фильтрации, которое с помощью набора вещественных параметров Kj, j = 1,3, в правой части охватывает более широкий по сравнению с [67] класс моделей оптических систем с обратной связью. Так, например, в работе [67] при изучении моделей оптических систем с фурье-фильтрацией в контуре обратной
связи предполагалось, что входное поле А{п имеет однородное по пространству распределение интенсивности Ijn = |Л|П|2 = const. При этом предположении исследованная М.М. Потаповым и К.А. Чечкиной модель оказывается пригодной и для описания другого (не рассматриваемого в [67]) класса моделей оптических систем, построенных на основе жидкокристаллического пространственно-временного модулятора света (ЖК-ПВМС) (см. [24, 111])-Однако в случае неоднородного по пространству распределения интенсивности Iin ^ const входной волны описание оптических систем на основе ЖК-ПВМС уже выходит за рамки исследованной в [67] математической модели (см. [24, 111]). Такие оптические системы, в свою очередь, описываются изучаемым в настоящей работе обобщенным уравнением фурье-фильтрации, которое отличается от исследованного в [67] уравнения возможность путём соответствующего выбора значений вещественных параметров Kj, j = 1,3, при необходимости исключить из правой части уравнения не зависящие от искомой функции и(х, t) пространственно-неоднородные слагаемые. Указанное обстоятельство представляется существенным, поскольку в настоящее время системы на основе ЖК-ПВМС de facto стали стандартом для экспериментальных и теоретических исследований нелинейной динамики в оптике [60], а учёт в уравнении не отвечающего рассматриваемому классу моделей оптических систем пространственно-неоднородного слагаемого может существенным образом повлиять на пространственно-временную динамику решений в целом (см. [24, 111]).
Наконец, в-третьих, в отличие от работы [67], в которой изучается начально-краевая задача для уравнения фурье-фильтрации при однородных краевых условиях Неймана, соответствующих слабому уровню взаимодействия светового пучка с окружающей средой, в настоящей работе допускаются и другие варианты граничных условий: однородные краевые условия Дирихле, либо отвечающие приближению плоской волны периодические граничные условия в прямоугольнике (см. [61]). Поэтому для исследования одной задачи оптимизации дискретного фурье-фильтра в настоящей работе оказалось необхо-
димым распространить полученный в [67] результат об однозначной разрешимости в классе H2,1(Qt) начально-краевой задачи для уравнения оптической фурье-фильтрации с начальными условиями из пространства Hl(Q) на случай более общей, чем в [67], конструкции правой части уравнения фурье-фильтрации, зависящей от трёх вещественных параметров Kj, j = 1,3, а также на случай неоднородной по пространству интенсивности 1{П ^ const входного поля и различных вариантов граничных условий. Такой подход позволяет исследовать возможности оптимизации дискретного фурье-фильтра в математических моделях фурье-фильтрации, описывающих достаточно широкий класс реальных физических ситуаций, а также в определенном смысле проследить влияние на структурообразование поставленных граничных условий.
Важная особенность нелинейно-оптических систем с ОС заключается в том, что в этих системам основная роль принадлежит не амплитуде световой волны, а её фазе [4]. Методы управления фазой в адаптивной оптике изучались в работах [19,20, 29, 38,83] (см. также цитированную в них литературу). Основная идея, лежащая в основе оптических систем с фурье-фильтрацией, состоит в применении пространственного фильтра /з, осуществляющего в контуре ОС заданное фазово-амплитудное преобразование световой волны с фазовой модуляцией (ip(x) + и(х, t] р)) в модуляцию интенсивности Ifb(x, t;p), управляющую нелинейным фазовым набегом и(х, t;p) [60] (см. рис. 0.1). Таким образом, реализуется известный принцип "управления светом с помощью света" (см. [21]), при этом удачный выбор пространственного фильтра позволяет добиваться требуемой динамики оптической системы для широкого класса входных воздействий. Например, предложенный в [60, 121, 122] фильтр "фазоїшій нож" со смещённой относительно центра фурье-плоскости кромкой позволяет решать задачу подавления медленно меняющихся мелкомасштабных фазовых искажений входного поля, лежащих в определённом диапазоне пространственных частот. В [117] фазовый фильтр Цернике применялся для измерения фазы волнового фронта, а полученная при этом ин-
формация использовалась для организации адаптивного управления фазой световой волны. В работах [24, 51, 60, 111, 136] для ограничения спектра световой волны и предотвращения, таким образом, усиления фазовых искажений в контуре ОС с успехом применялись амплитудные пространственные фильтры низких частот.
Полученные благодаря применению различных методов пространственной фильтрации в оптике конкретные результаты, а также стремительный прогресс оптоэлектронных технологий, связанный с появлением новых оптических материалов и созданием более совершенных оптически-управляемых пространственных модуляторов света, указывают на необходимость перехода от выбора конкретных фурье-фильтров из известных классов к целенаправленному созданию новых фильтров и их отбору в соответствии с некоторыми критериями. В настоящей работе всюду интенсивность /гп(х) = |Л,-П(ж)|2 и стационарная фаза <р(х) входного поля Ain{x) предполагаются известными. Предлагается и исследуется следующая математическая постановка задачи оптимального управления фильтром Фурье: путём выбора дискретного фильтрующего элемента р Є її требуется так повлиять на зависящую от р через уравнение (0.1) нелинейную фазовую модуляцию и{х, t',p) световой волны, чтобы на выпуклом, замкнутом и ограниченном множестве U С 1ч минимизировать функционал качества
0(/>)->inf, peU,
синтезируя тем самым динамическую систему с заданными свойствами. В данной работе рассматриваются компактные и слабо-компактные управляемые множества It гильбертова пространства 2, а также терминальный и различные варианты интегральных критериев качества 3(р), отвечающие различным постановкам задач финального наблюдения в оптической системе пространственных структур с требуемыми свойствами, а также задачам подавления вносимых входной волной фазовых искажений. Отметим, что постановка задач управления дискретным фильтром Фурье в нелинейно-оптических системах с ОС является новой, и до работ А.В. Разгулина и автора [7G, 92, 95],
- м-
автора [94, 96, 97, 100] в математической литературе и до работы А.В. Ларичева, И.П. Николаева, А.В. Разгулина и автора [98] в физической литературе такие задачи не изучались.
Среди нелинейно-оптических систем с фурье-фильтрацией хорошо изученным к настоящему времени является класс систем, в которых в контуре ОС для преобразования фазы в интенсивность применяется один из классических пространственных фильтров, например, чисто фазовый фильтр Цернике [24,111,117] или какой-либо из вариантов схемы "фазовый нож" [51, 60,122], либо амплитудный фильтр класса методов "тёмного поля" [50, 60, 61]. Вместе с тем в фокальной плоскости 4 — f системы возможна реализация широкого класса управляемых воздействий на пространственный спектр световой волны [128].
Для успешного применения в оптических системах новых методов пространственной фильтрации, например, в задачах формирования и стабилизации оптических структур с заданными свойствами [115, 124], необходимо исследование качественных свойств математических моделей фурье-филь-трации, например, наличия или отсутствия у этих моделей пространственно-неоднородных стационарных решений. Знание свойств моделей позволяет предсказывать возможность наблюдения в реальной системе стационарных оптических структур и, что особенно ценно, выяснять в пространстве параметров задачи условия их возникновения и устойчивости. С другой стороны, ключевая роль аналитических и численных исследований в сочетании с физическим экспериментом состоит в проверке адекватности и определении границ применимости самих математических моделей при описании нелинейно-оптических систем с ОС. При этом нередко происходит расширение класса тех моделей естествознания, для которых ответ на вопрос об изменении структуры решения в результате появления и развития неустойчивостей может быть получен с помощью теории бифуркаций [25, 35, 42, 58, 59, 134].
В данной работе у начально-краевой задачи для уравнения оптической фурье-фильтрации с оператором дискретной фурье-фильтрации в функції-
ональном члене из [67, 76], описывающей динамику дополнительной фазовой модуляции световой волны в нелинейно-оптической системе на основе ЖК-ПВМС или, в приближении плоской входной волны, в системе на основе тонкого слоя нелинейной среды керровского типа с амплитудно-фазовым пространственным фильтром (ПФ) в контуре ОС доказывается существование стационарных пространственно-неоднородных структур, образующихся в результате потери устойчивости пространственно-однородного стационарного решения (бифуркация Тьюринга). Возможность реализации в исследуемой системе в случае однородных граничных условий Неймана такой бифуркационной ситуации, при которой при изменении бифуркационного параметра ровно одно простое вещественное собственное значение пересекает мнимую ось с положительной скоростью, объясняется характером зависимости собственных значений линеаризованного оператора от дискретных компонент пространственного фильтра, а также наличием редкой возможности путём выбора компонент фурье-фильтра напрямую управлять спектральными свойствами линеаризованного оператора. Отметим, что несмотря на то, что общие методы исследования бифуркаций в параболических задачах, основанные на сведении вопроса существования нетривиальных бифуркационных решений к разрешимости некоторого функционального уравнения и использовании теоремы о неявном операторе в аналитическом случае хорошо известны (см., например, книгу [134]), применение этой методики для решения каждой конкретной задачи и анализ полученных результатов являются отнюдь не тривиальной проблемой [G9, 101].
Подчеркнём, что в настоящей работе, по-видимому, впервые при исследовании моделей нелинейно-оптических систем с ОС изучается бифуркация Тьюринга в ситуации, когда бифуркационным параметром является коэффициент пропускания одной из гармоник пространственного фильтра. Ранее в работах [69, 93, 114] для моделей оптических систем с различными геометрическими преобразованиями светового поля в контуре ОС изучались задачи, в которых роль бифуркационного параметра играл коэффициент, пропорції-
ональный интенсивности светового поля в контуре ОС.
Диссертация состоит из введения, трёх глав и приложения.
В первой главе [76, 99] проводится качественное исследование математических моделей дискретной фурье-фильтрации в нелинейных оптических системах с обратной связью. В 1.1 обсуждаются модели оптических систем с установленным в контуре обратной связи пространственным фильтром. В 1.2 излагается и обобщается предложенный М.М. Потаповым и К.А. Чеч-киной в работе [67] дискретный подход к математическому описанию процесса фурье-фильтрации в 4 — f системе из двух тонких линз. Для описания динамики фазовой модуляции в нелинейно-оптических системах с таким пространственным фильтром в 1.2 ставятся начально-краевые задачи для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения второго порядка с оператором дискретной фурье-фильтрации в функциональном члене. В 1.3 устанавливаются вспомогательные утверждения, которые затем используются в 1.4 для доказательства однозначной разрешимости поставленных начально-краевых задач в энергетическом классе, а также для установления лшшшц-непрерывной зависимости решений указанных начально-краевых задач от фурье-фильтра и от начальных данных. 1.5 посвящен исследованию динамики решений начально-краевых задач при t —» -boo при всех возможных начальных данных. В этом параграфе доказывается, что уравнение оптической фурье-фильтрации обладает максимальным в смысле определения А.В. Бабина и М.И. Вишика [5] аттрактором 3Yt, для которого в 1.6 выводятся оценки сверху и снизу хаусдорфовоіі размерности в,ц(Ж). При этом обсуждается применение полученных оценок для изучения сложности пространственно-временных режимов, реализующихся в исследованных в работах [24, 50, 60, 61, 111, 122] оптических системах с фурье-фильтром в контуре обратной связи.
Во второй главе [76, 92, 94, 95, 96, 97, 100] изучаются различные задачи оптимального управлення дискретным фурье-фильтром. В 2.1 па компактном и слабо-компактном множествах пространства І2 ставятся задачи минимиза-
ции для общих терминальных и интегральных функционалов качества, связанных с решениями из энергетического класса нелинейной начально-краевой задачи для уравнения оптической фурьс-фильтрации с начальными данными щ(х) Є L2(Q), а также выясняется физический смысл предложенных постановок задач оптимизации. В 2.2 доказывается непрерывность и слабая полунепрерывность снизу исследуемых целевых функционалов, откуда в силу сильного и слабого вариантов теоремы Вейерштрасса (см., например, [17]) следует разрешимость поставленных задач оптимального управления дискретным фурье-фильтром. В 2.3 сначала ставится задача оптимального управления дискретным фурье-фильтром с функционалом качества, образованным линейной комбинацией изучавшихся в 2.1-2.2 общих терминальных и интегральных функционалов, связанных с более гладкими решениями начально-краевой задачи для уравнения оптической фурье-фильтрации с начальными условиям щ(х), выбираемыми из энергетического пространства V. Затем, в 2.3-2.6 для решения поставленной задачи оптимизации применяется подход, основанный на выводе формулы градиента целевого функционала и исследовании её свойств. Для этого в соответствии с известной методикой решения задач оптимального управления в бесконечномерных пространствах (см. [16,17]) в 2.3 выписывается сопряжённая задача, однозначная разрешимость которой, а также гёльдер-непрерывная с показателем 1/2 зависимость решений сопряжённой задачи от управления устанавливаются в 2.4. 2.5 посвящен выводу формулы градиента целевого функционала и доказательству свойства гёльдер-неирерывной с показателем 1/2 зависимости градиента целевого функционала от фурье-фильтра. Тогда в силу полученных в 2.5 свойств градиента функционала для выпуклого, замкнутого и ограниченного в 2 управляемого множества VL из общих теорем о сходимости метода условного градиента из книги А.З. Ишмухаметова [36] следует сходимость выписанных в 2.6 для решения задачи минимизации вариантов метода условного градиента с конечпошаговыми и с бесконечношаговыми внутренними алгоритмами.
В третьей главе [98] проводится численное моделирование оптимизации фурье-фильтров для решения задачи формирования на выходе оптической системы на основе ЖК-ПВМС заданного распределения фазы световой волны из излучения с изначально неплоским волновым фронтом. Для этого с помощью полученной в 2.5 формулы градиента целевого функционала в 3.1 выписывается вариант метода условного градиента с конечношаговы-ми внутренними алгоритмами (см. [10, 17, 31, 68]). В 3.2 предлагается проекционно-разностная аппроксимация задачи оптимального управления, на основе которой для организации численных расчётов в системе Microsoft Visual было создано программное обеспечение. С его помощью в 3.3 было проведено исследование минимального количества управляемых гармоник фурье-фильтра, а также структуры управляемого множества, необходимых для достижения хорошего качества приближения в результате численной оптимизации. 3.4 посвящен изучению влияния па качество численной оптимизации основных параметров модели: коэффициента передачи контура ОС и эффективного коэффициента диффузии частиц нелинейной среды. На основе проведенных численных исследований в 3.3-3.4 предлагаются практические рекомендации по выбору параметров модели для получения наилучшего качества приближения в результате оптимизации.
В приложении А в уравнении оптической фурье-фильтрации при однородных краевых условиях Неймана изучается бифуркация Тьюринга. А.1-А.4 посвящены доказательству теоремы существования стационарных пространственно-неоднородных бифуркационных решений в том случае, когда бифуркационным параметром является коэффициент пропускания первой гармоники пространственного фильтра.
В работе получены следующие основные результаты:
Разработана математическая модель процесса фурье-фильтрации в контуре обратной связи нелинейно-оптической системы, включающая несколько способов взаимодействия световых нолей. Доказана разрешимость и непрерывная зависимость решений от фурье-фильтра и начальных данных соответствующих начально-краевых задач для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения. Установлено существование компактного максимального аттрактора и получены двусторонние оценки его хаусдорфовой размерности.
Сформулированы задачи оптимального управления фурье-фильтром и доказана их разрешимость. Получена и обоснована формула градиента целевого функционала, установлена непрерывная по Гёльдеру зависимость градиента от фурье-фильтра. Разработан метод численного решения задачи управления фурье-фильтром на основе метода условного градиента и проекционно-разностиых схем аппроксимации начально-краевых задач.
Создан программный комплекс для оптимизации фурье-фильтров методом условного градиента. Решена задача оптимизации фурье-фильтра для формирования заданной фазы световой волны в модели оптической системы с жидкокристаллическим модулятором света.
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [7G, 92, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100].
В заключение автор выраэ/сает глубокую благодарность своему научному руководителю А.В. Разгулину за постановку содержательной задачи, помощь и постоянное внимание к работе, профессору А.З. Ишмухамето-ву за консультации по методам решения задач оптимизации в функциональных пространствах, профессору А.Ф. Измайлову за консультации по вопросам конечномерной оптимизации, А.В. Ларичеву и II.П. Николаеву за многочисленные плодотворные обсуждения физических аспектов задачи.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов Л» 01-01-00639 и JV5 04-01-00G19)
и Европейского отделения аэрокосмических исследований (EOARD) (грант CRDF № RP0-1391-MO-03).
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИИ
fi - ограниченная выпуклая область из пространства R2 с гладкой границей дП класса С2, либо прямоугольник с параллельными координатным осям сторонами Q = (0,аі) х (0, аг), a,j > 0, j = 1,2; \Q\ - мера Лебега множества fi; х = (х\,Х2) Є fi; Qt = fix (0,Т), Т > 0; Q - ограниченная выпуклая область из пространства или К3:
L2(Q) - гильбертово пространство вещественнозначных или комплексно-значных измеримых по Лебегу (L - измеримых) на Q функций со скалярным произведением и нормой
(v,w)l*{Q) = / vw*dQ, |M|i2(Q) = «u,v)l2(q))1/2, Q
где w* - комплексно-сопряженная к w функция; при этом символ Н используется для обозначения пространства L2(fi) со скалярным произведением и нормой
(V, W)H = {V, и))ьЦП), \\v\\h = ІМІІ*(П).
LP{Q), 1 < p < +oo - банахово пространство L - измеримых на Q функций
с нормой
\ i/p
, 1 < р < +СО
IMb(Q) = {
csssup f^(OI 5 Р — оо.
C(Q) - банахово пространство непрерывных в замкнутой области Q функций с нормой
Ck(il) (к - натуральное) - подмножество C(U), состоящее из всех функций v(x), имеющих в области fi все производные Dav = (?1*t Zl" до порядка к включительно (c*i > 0, с*2 > 0, \а\ = c*i + Q2 < к), непрерывные в ІІ.
Наделенное нормой
імісчїї)= Ema-xiDQ^)i
пространство Cfc(^) является банаховым.
C(ії) - множество всех функций, принадлежащих всем С (ft), к = О,1,...,
ffc/
с(о) = п ск{п).
Hk(Q) (к - натуральное) - пространство Соболева, состоящее из L - из-
меримых функций v(x), которые вместе со всеми своими обобщенными производными Dav = &і2*г до порядка к включительно принадлежат L2(ft). Hk(Q) - гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой
(*>.)я*(П) =^2 DQv(Daw)*dx, ||и||я*(П) = ((v,v)Hk{Q))l/2.
Hq(Q) - подпространство функций из Я1 (ft), полученное замыканием в норме Я1 (17) множества бесконечно-дифференцируемых финитных в ft функций. Яд (ft) является гильбертовым пространством со скалярным произведением и нормой
(v,w)i№) = J2 / dXjv (dXjw)*dx, |H7/i(n) = (<^^)лі(п))1/2.
Hk(Q)f k=l,2 - замыкание в норме Hk(Q) пространства к раз непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих однородному краевому условию Неймана. Снабженное нормой Hk(Q) пространство Hk(Q) является гильбертовым, всюду плотно вложенным в L2(ft).
Д_і_ = д\хХх + дх2х2 ~ оператор Лапласа по поперечным декартовым координатам х = {Х\,Х2)\
Vj_ = (дХ1,дХ2) - оператор градиента по поперечным декартовым координатам х = (2:1,2:2).
Ли = и — DAj_u, D > О - неограниченный в Я оператор с областью определения Ъ(А) = {и Є Я2(П) : ~/(и) = 0}, где граничный оператор 7(0
определяется по одной из следующих формул
' и(0,х2)-и(аі,х2), \
7(и) = иЫ, 7(w) = д»и\дп, 7(«) =
#*,«((), аг2) -5Х1и(аьа;2),
u(zi,0) -«(жьаг),
отвечающих краевым условиям Дирихле, Неймана {dv - нормальная производная), а также условию периодичности в прямоугольнике.
V - энергетическое пространство оператора Л со скалярным произведением
(и, v)v = (и, v)h + D{V±% V±v)H, Vu, v Є V,
и нормой
\Hv = (v,v)]l2.
V* - двойственное к V пространство с нормой
\\v\\v = sup 1(1/,0)1.
Il*||v Угловые скобки (v, ф) или (ф, v) в зависимости от контекста определяют значение функционала v Є V* на пробном элементе ф Є V", либо скалярное произведение в Я (в этом случае (v, ф) = (г/, ф)н). Кроме того, угловые скобки (&у(у)', 6у), внутри которых аргументы отделены ";"j используются для обозначения производной <&у(у) абстрактного отображения (3(у) в точке ?/, вычисленной на элементе 5у. 1^(0,Т\В) - банахово пространство пространство функций /(), принимающих значения из банахова пространства і?, измеримых по Бохнеру (В -измеримых) и имеющих конечную норму 1/р = < fwmwidt) , i &{0,Т\В) ess sup ||/(0Цс , р = оо. *(0,Т) C([0, T]; В) - банахово пространство непрерывных со значениями в В функций f(t) с нормой С([0,Г];5)= max ||/(0||б. іЄ[и,і J W = W(0,T) - банахово пространство функций W(Q,T) = {и: и Є L2(0, Т; V), dtu Є L2(0, Г; V*) } с нормой Hw= {j(Mv)\\2v + \\dtum\v*)dv где производная понимается в смысле распределений из пространства D'(0,T;V) (см. [54]). Заметим, что по теореме о следах из [54, гл. 1, п. 3] справедливо непрерывное вложение W <—* С([0,Т];Н) с не зависящей от конкретной функции и константой С в оценке норм ||«||С([0,П;Я) ^ C\\U\\W- H2s,s(Qt) (s - натуральное) - множество всех принадлежащих ^(Фг) функций f(x, )і У которых существуют и принадлежат /^(Фг) обобщенные производные 1+02+/3 1 dxdt Г sr dQl+a2+/V (&_ и соответствующей евклидовой нормой ll/H//2s-s(Qr) = (if>f)H2'(Qr)) - j(X —* Y) - пространство линейных ограниченных (непрерывных) операторов, действующих из банахова пространства X в банахово пространство Y. оо - банахово пространство ограниченных комплекснозначиых числовых последовательностей р = (р\, р-2,.. , Pni...) с нормой 1Ик»= sup М- П=1,+00 І2 - гильбертово пространство комплекснозначных числовых последовательностей со скалярным произведением и нормой IX - ограниченное подмножество пространства І2- $р(А) - оператор дискретной фурье-фильтрации, изменяющий ряд Фурье комплекснозначной функции А{х) по ортонормированному в Н базису { еп{х) }п=\, составленному из собственных функций еп(х) Є Т)(Л) оператора А, с помощью дискретного фильтра-мультипликатора р Є ^оо по следующему правилу +оо Зр(А){х) = ^2рп{А,еп)неп{х). П^А - оператор дискретной фурье-фильтрации Э^(Л) с вещественнознач-ным фильтром = (i,&j j fm )> компоненты которого удовлетворяют условиям $ = 1 при j = 1,..., N, , = 0 при j > N-hl. Таким образом, 1 - ортогональный в Н проектор на Ем, где через Ем обозначается ЛГ-мерное подпространство с базисом { ei(x),..., ем(х) }. 1РП(А) - ортогональный в Н проектор на еп(х), то есть 3>„(Л) = (А,еп)неп(х), где номер п Є { 1,2,... }. Уц(р) - проекция точки р Є 2 на множество U С ^2-9Л(ро) _ множество Лебега, определяемое как Ж(ро) = {реи:3(р)<3(ро)}, где функционал Я(р): VL —* 2&+, множество U С ^2- d//(3Vt) ~ хаусдорфова размерность подмножества Ж метрического пространства Е. "*" используется в зависимости от контекста для обозначения сопряженного оператора, комплексно-сопряженного значения или двойственного пространства; N(...) означает, что константа N находится под управлением, то есть зависит только от перечисленных в скобках параметров; С с различными индексами обозначают постоянные, значения которых для целей изложения не являются существенными. В первой главе [76, 99] проводится качественное исследование математических моделей дискретной фурье-фильтрации в нелинейных оптических системах с обратной связью. В 1.1 обсуждаются модели оптических систем с установленным в контуре обратной связи пространственным фильтром. В 1.2 излагается и обобщается предложенный М.М. Потаповым и К.А. Чеч-киной в работе [67] дискретный подход к математическому описанию процесса фурье-фильтрации в 4 — f системе из двух тонких линз. Для описания динамики фазовой модуляции в нелинейно-оптических системах с таким пространственным фильтром в 1.2 ставятся начально-краевые задачи для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения второго порядка с оператором дискретной фурье-фильтрации в функциональном члене. В 1.3 устанавливаются вспомогательные утверждения, которые затем используются в 1.4 для доказательства однозначной разрешимости поставленных начально-краевых задач в энергетическом классе, а также для установления лшшшц-непрерывной зависимости решений указанных начально-краевых задач от фурье-фильтра и от начальных данных. 1.5 посвящен исследованию динамики решений начально-краевых задач при t -boo при всех возможных начальных данных. В этом параграфе доказывается, что уравнение оптической фурье-фильтрации обладает максимальным в смысле определения А.В. Бабина и М.И. Вишика [5] аттрактором 3Yt, для которого в 1.6 выводятся оценки сверху и снизу хаусдорфовоіі размерности в,ц(Ж). При этом обсуждается применение полученных оценок для изучения сложности пространственно-временных режимов, реализующихся в исследованных в работах [24, 50, 60, 61, 111, 122] оптических системах с фурье-фильтром в контуре обратной связи. Во второй главе [76, 92, 94, 95, 96, 97, 100] изучаются различные задачи оптимального управлення дискретным фурье-фильтром. В 2.1 па компактном и слабо-компактном множествах пространства І2 ставятся задачи минимизации для общих терминальных и интегральных функционалов качества, связанных с решениями из энергетического класса нелинейной начально-краевой задачи для уравнения оптической фурьс-фильтрации с начальными данными щ(х) Є L2(Q), а также выясняется физический смысл предложенных постановок задач оптимизации. В 2.2 доказывается непрерывность и слабая полунепрерывность снизу исследуемых целевых функционалов, откуда в силу сильного и слабого вариантов теоремы Вейерштрасса (см., например, [17]) следует разрешимость поставленных задач оптимального управления дискретным фурье-фильтром. В 2.3 сначала ставится задача оптимального управления дискретным фурье-фильтром с функционалом качества, образованным линейной комбинацией изучавшихся в 2.1-2.2 общих терминальных и интегральных функционалов, связанных с более гладкими решениями начально-краевой задачи для уравнения оптической фурье-фильтрации с начальными условиям щ(х), выбираемыми из энергетического пространства V. Затем, в 2.3-2.6 для решения поставленной задачи оптимизации применяется подход, основанный на выводе формулы градиента целевого функционала и исследовании её свойств. Для этого в соответствии с известной методикой решения задач оптимального управления в бесконечномерных пространствах (см. [16,17]) в 2.3 выписывается сопряжённая задача, однозначная разрешимость которой, а также гёльдер-непрерывная с показателем 1/2 зависимость решений сопряжённой задачи от управления устанавливаются в 2.4. 2.5 посвящен выводу формулы градиента целевого функционала и доказательству свойства гёльдер-неирерывной с показателем 1/2 зависимости градиента целевого функционала от фурье-фильтра. Тогда в силу полученных в 2.5 свойств градиента функционала для выпуклого, замкнутого и ограниченного в 2 управляемого множества VL из общих теорем о сходимости метода условного градиента из книги А.З. Ишмухаметова [36] следует сходимость выписанных в 2.6 для решения задачи минимизации вариантов метода условного градиента с конечпошаговыми и с бесконечношаговыми внутренними алгоритмами. В третьей главе [98] проводится численное моделирование оптимизации фурье-фильтров для решения задачи формирования на выходе оптической системы на основе ЖК-ПВМС заданного распределения фазы световой волны из излучения с изначально неплоским волновым фронтом. Для этого с помощью полученной в 2.5 формулы градиента целевого функционала в 3.1 выписывается вариант метода условного градиента с конечношаговы-ми внутренними алгоритмами (см. [10, 17, 31, 68]). В 3.2 предлагается проекционно-разностная аппроксимация задачи оптимального управления, на основе которой для организации численных расчётов в системе Microsoft Visual Studio.NET было создано программное обеспечение. С его помощью в 3.3 было проведено исследование минимального количества управляемых гармоник фурье-фильтра, а также структуры управляемого множества, необходимых для достижения хорошего качества приближения в результате численной оптимизации. 3.4 посвящен изучению влияния па качество численной оптимизации основных параметров модели: коэффициента передачи контура ОС и эффективного коэффициента диффузии частиц нелинейной среды. На основе проведенных численных исследований в 3.3-3.4 предлагаются практические рекомендации по выбору параметров модели для получения наилучшего качества приближения в результате оптимизации. В приложении А в уравнении оптической фурье-фильтрации при однородных краевых условиях Неймана изучается бифуркация Тьюринга. А.1-А.4 посвящены доказательству теоремы существования стационарных пространственно-неоднородных бифуркационных решений в том случае, когда бифуркационным параметром является коэффициент пропускания первой гармоники пространственного фильтра. В том случае, если входная волна АІП имеет однородную по пространству (в пределах апертуры) модуляцию интенсивности ІІП(Х) = Лгп(х)2 = const, то для описания динамики рассматриваемой оптической системы на основе ЖК-ПВМС можно наряду с уравнением (1.3), (1.7) также применять и уравнение (1.3)-(1.4). Указанное обстоятельство объясняется тем, что не зависящее от пространственной переменной х слагаемое Лгп2 = const в определении (1.4) не оказывает существенного влияния на динамику системы, поскольку приводит к пространственно-однородному сдвигу фазы, который может быть исключен из уравнения (1.3)-(1.4) переопределением функции u(x,t) [24, 111]. В настоящей работе для исследования математических моделей изображённых на рис. 1.1-1.3 оптических систем с ОС рассматривается следующий вид правой части уравнения (1.3): где символ " " обозначает операцию взятия комплексного сопряжения, коэффициенты Kj,j = 1,3, предполагаются вещественными. Пусть К\ = Я"з = К. Тогда при Я 2 = 2 Я" для изображенной нарис. 1.1 модели оптической системы определенная в (1.8) функция F(w,p) отвечает случаю сложения нолей Ain(x) и AFB(X,tilt) с интерференционным взаимодействием, в то время как при Я 2 = 0 функция F(u;p) из (1.8) моделирует случаи специально организованного подавления интерференции при сложении полей А}п(х) и Арв(х, t; и) для приведённой на рис. 1.1 схемы, либо - полей А(х, ; и) и Арв{%- t\ и) для изображенной на рис. 1.2 конструкции оптической системы. При К\ = K i = 0, Я"з = К предложенный вид функции F(u; р) соответствует модели оптической системы на основе ЖК-ПВМС (см. рис. 1.3). Подчеркнем, что ранее в работах [67, 90] при исследовании математических моделей оптических систем с обратной связью рассматривались только правые части F(u; р) уравнения (1.3) вида (1.4) и (1.5), причем распределение интенсивности /гп входного излучения предполагалось однородным в пределах апертуры. Остановимся подробно на вопросе о том, непрерывное или дискретное пре-образование Фурье 5F следует выбрать в формуле (1.2) для описания трансформации поля /ЗА(х, t\ и) в отфильтрованную волну обратной связи Арв(х,ї,и). В работах [24, с. 20], [111, 140] процедура пространственной фильтрации описывалась интегралом типа свёртки где h(x) - функция импульсного отклика фильтра, причём поперечным сечением пучка считалась вся бесконечная плоскость Ж2. В настоящей работе мы будем следовать предложенному в работе [67] подходу, состоящему в переходе от всего пространства R2 к ограниченной области О, С К.2, что адекватно описывает конечность апертуры оптической системы, и соответствующей случаю ограниченной области интегрирования замене интеграла Фурье в (1.9) на ряд Фурье по собственным функциям некоторого дифференциального оператора. При достаточно общих предположениях об области О. и различных вариантах граничных условий существует полная ортонормированная система { еп(х) }п і нз собственных функций эллиптического оператора Ли = и — DA±u, D 0. Тогда процедура фурье-фильтрации в конфокальной 4 — f системе двух тонких линз описывается оператором дискретной фурье-фильтрации Эгр(А(х,t;u)), изменяющим пространственный спектр световой волны А(х,t;u) с помощью дискретного фильтра-мультипликатора р = с комплексными компонентами рп Є С Vn Є N по следующему правилу (см. [67]) Заметим, что в оптике конфокальная система двух тонких линз осуществляет два "прямых" преобразования Фурье светового поля перед линзой, тем самым поворачивая изображение объекта на 180 градусов. Поскольку на практике такая особенность 4 — f системы может быть скомпенсирована оптическим способом, например, с помощью призмы Дове или оптоволоконного жгута (см. [60]), то в модели дискретной фурье-фильтрации (1.10) заложено предположение о совершении такой компенсации. Конкретный выбор для модели граничных условий, формы границы дО, и геометрических размеров области Q оказывает принципиальное влияние на динамику решений. Многочисленные исследования, выполненные в оптике, гидродинамике и в других областях, показывают, что форма границы дО. определяет пространственную симметрию и направление временной эволюции решений, в то время как граничные условия задают ограничения на пространство параметров задачи. В математических моделях систем с обратной связью в случае, если на вход оптической системы поступает входная волна с гауссовым распределением интенсивности, ставятся граничные условия Дирихле. В остальных случаях наиболее физически обоснованными являются граничные условия Неймана (см., например, [24, 67, 90, 142]), соответствующие слабому уровню взаимодействия светового пучка с окружающему средой, либо отвечающие падающей на вход оптической системы плоской волне (приближение плоской волны справедливо лишь в случае малости масштаба возбуждаемых структур по сравнению с размером апертуры [50]) периодические граничные условия в прямоугольнике Q = (0, ai) х (0, аг) (см. [61]). Доказательство. Воспользуемся результатом из книги [36, 2.4, теорема 3], обосновывающим справедливость сформулированного утверждения для абстрактного функционала 3(р) и начальной точки итерационной последовательности р Є К таких, что градиент 3 (Р) Є С1 ( (Р)) причём З (р) равномерно непрерывен на 9Л(р), где 9Я(р) - множество Лебега. В силу теоремы 2.20 функционал Я(р) дифференцируем по Фреше на множестве U. Кроме того, согласно теореме 2.21 градиент З (р) гёльдер-непрерывен с показателем 1/2 на любом ограниченном в 2 множестве IX с константой Гёльдера, универсальной для каждого ограниченного множества IX. Отсюда в силу ограниченности множества Лебега 9Я(р) С U следует, что З (р) Є С1 (ЯЯ(р0)), а также равномерная непрерывность 3 {р) на множестве 9Я(р). Таким образом, все условия теоремы 3 из книги [36, 2.4] проверены. Теорема 2.22 доказана. Из теорем 2.20, 2.21 и из [36, 2.4, теорема 3] также вытекает справедливость следующего утверждения. Теорема 2.23. Пусть выполнены все условия теоремы 2.22 и IX - выпуклое, компактное в ti множество. Пусть последовательность фурьс-фильтров {рк}, определяемая методом условного градиента (2.166)-(2.168) с выбором длины шага метода по условию точного минимума (2.169) или по правилу Армихо (2.170)-(2.171), бесконечна. Тогда {рк} сильно в сходится ко мнооїсеству стационарных точек. Как было отмечено во введении, методы математического моделирования являются одними из основных инструментов при исследовании задач нелинейной оптики (см., например, [29, 38]). В тех же случаях, когда на пути к аналитическому исследованию модели встают технические, а проведению физического эксперимента препятствуют экономические трудности, численный эксперимент позволяет прояснить некоторые общие свойства задачи, стимулируя тем самым её дальнейшее исследование. В настоящей главе с помощью компьютерного моделирования изучаются возможности, открывающиеся при управлении фурье-фильтром в контуре ОС нелинейно-оптической системы, нацеленной на формирование на выходе и(х,Т;р) + р(х) системы заданного профиля щ(х) фазы световой волны. Как показали численные эксперименты, формирование оптической системой требуемого профиля фазы световой волны оказывается возможным при использовании фурье-фильтра р, адаптированного к конкретным значениям функциональных ]Д-„(ГЕ), (а;), щ(х) и скалярных / з, D параметров модели. Для численного нахождения оптимального фурье-фильтра применяется классический вариант метода условного градиента (см., например, [17, 31]). Одним из основных достоинств этого метода является универсальность, проявляющаяся в отсутствии необходимости в специальном подборе стартовой точки, а также определённые возможности в преодолении "овражности" минимизируемых функций. Платой за универсальность метода является невысокая установленная в [17] для выпуклых функций с лшипицевыми градиентами арифметическая по функционалу скорость сходимости метода, приводящая к необходимости совершения достаточно большого числа итераций. В данной главе на примере ряда серий численных экспериментов вырабатываются практические рекомендации по оптимальному выбору таких управляемых параметров задачи, как количество управляемых гармоник конечномерного фурье-фильтра, коэффициент передачи контура ОС К% и эффективный коэффициент диффузии частиц нелинейной среды D, при которых в результате оптимизации достигается наилучшее качество приближения суммарной фазы и(х,Т;р) + (р(х) к заданному фазовому профилю щ(х). На основе этих рекомендаций могут быть предприняты шаги к нахождению областей в пространстве параметров модели, для которых достигаются качественно различные результаты оптимизации. Напомним, что в 2.3-2.6 главы 2 изучен класс задач (2.33)-(2.34) оптимального управления дискретным фурье-фильтром на ограниченном управляемом множестве U пространства І2- В настоящей главе для демонстрации возможности выбором фильтрующего элемента р добиться требуемой пространственно-временной динамики нелинейно-оптических систем с ОС, численно исследуется задача финального формирования заданной фазы световой волны из излучения с изначально неплоским волновым фронтом на конечномерном управляемом множестве Ujv С С . Для этого будем рассматривать только дискретные фильтры Фурье р = (pi,. . .,/ yv /9,V+l3- . .) Є 2 для комплексных компонент рп с номерами п N + 1 которых выполняется условие: рп = 0. Таким образом, приходим к рассмотрению следующей конструкции управляемого множества В данном пункте мы воспользуемся результатами 3.3 и выберем для постановки численного эксперимента такой радиус 9\ управляемого множества iV(«) чтобы выполнялось условие (3.30). Для следующих параметров входного и целевого световых полей оказывается достаточным выбрать H = 24, тем самым оптимизация производится по N(9\) = 1793 управляемым гармоникам фурье-фильтра р. Отметим, что выбор в качестве целевого распределения фазы двумерной фазовой решетки щ(х) обоснован с физической точки зрения и является нетривиальным тестом для изучения динамики оптической системы с полученным в результате оптимизации адаптивным фильтром Фурье. Указанное обстоятельство объясняется тем, что поставленная серия оптимизационных расчётов проверяет возможность выбором в качестве целевого фазового профиля щ(х) двумерной фазовой решетки добиться заданного характерного пространственного масштаба и необходимой амплитуды распределения фазы и(х,Т\р) + (р(х) световой волны на выходе оптической системы с ОС. Зависимость качества оптимизации от параметра К$ будем исследовать для наиболее обоснованного с физической точки зрения диапазона значений параметра — К$ [0,5; 7]. Выбор таких границ диапазона объясняется тем, что при —Kz 0,5 в оптической системе реализуется, как правило, лишь небольшая часть из характерных для систем с обратной связью нелинейных динамических режимов, а значения коэффициента передачи контура ОС — Кз 7 трудно достижимы в физическом эксперименте. В отличие от 3.3 коэффициент диффузии D в исследованиях настоящего пункта выбирается равным 0,0025. Это, в свою очередь, объясняется тем, что для адекватного численного моделирования диффузионных взаимодействий необходимо, чтобы на диффузионную длину Id = y/D приходилось не менее 1,5 Ч- 2 точек сетки. Поскольку расчёты всюду в настоящей главе производятся на квадратной сетке, состоящей из 25G х 256 точек, то мы приходим к нижней границе допустимого диапазона значений коэффициента диффузии D = 0,0013. Отметим также, что в нелинейно-оптических системах с обратной связью, как и в системах типа "реакция-диффузия", богатство нелинейной динамики легче всего наблюдается при достаточно малых значениях коэффициента диффузии (см., например, [4, 29]). Кроме того, меньшим значениям эффективного коэффициента диффузии отвечает большее пространственное разрешение жидкокристаллических пространственно-временных модуляторов света [4], что, в свою очередь, приводит к более широкой области возможных практических приложений таких оптических систем. Выбор для финального наблюдения заданной оптической структуры момента времени Т = 6 обусловлен тем, что для организации в оптической системе с обратной связью эффективного управления светом с помощью света, в результате чего на выходе системы и образуется требуемое распределение фазы световой волны, для стационарной модели вносимых входной волной фазовых искажений необходимо время не меньшее, чем 3 -г- 4т (см. [60]), где т 0 - время релаксации молекул жидкокристаллического слоя (в исследованиях настоящей главы принимается г = 1). Отметим, что выбор для постановки численных экспериментов Т 15 ведёт к определённой стабилизации полученного решения; однако численное исследование стабилизации решения выходит за рамки настоящей работы. Изучаемые в настоящем пункте световые поля обладают следующими свойствами: 0,71. Кроме того, широко применяемый в адаптивной оптике для оценки степени фазовых искажений световой волны параметр, называемый числом Штреля (см., например, [19]) и вычисляемый для входного поля ЛІП(Х) согласно формуле (см. (3.28) для выбранных амплитуды и фазы поля ЛІП(Х) приблизительно равен 0,05. Это означает, что в данном пункте мы работаем с очень сильными вносимыми в оптическую систему входной волной искажениями фазы светового поля АгП(х). Как известно из [122], в том случае, если амплитуда фазовых искажений ір(х) входного поля Л(П(х) не превышает 0, 75 рад., то для их компенсации можно воспользоваться выбранным a priori ПФ, например, "фазовым ножом" со смещённой относительно центра фурье-плоскости кромкой. Тогда поскольку в рассматриваемом случае амплитуда фазовых искажений (р(х) равна 2 рад., то успешная компенсация этих фазовых искажений с одновременным формированием на выходе и(х,Т;р) + -р{х) оптической системы заданного распределения фазы световой волны щ(х) позволит сделать вывод о хороших возможностях предложенного подхода к решению задачи образования требуемого распределения фазы световой волны из излучения с изначально неплоским волновым фронтом. На рис. 3.3 приведён график значений функционала 3(р), вычисленных на полученных при расчётах для различных значений параметра К$ управлениях р = р(Кз). Суммарное распределение фазы и(х,Т;р) + р(х) до оптимизации и целевое фазовое распределение и\(х) изображены на рис. 3.4. В табл. 3.3 приведены найденные в результате оптимизации фурье-фильтры р (Кз), а также отвечающие им фазовые профили и(х,Т;р(Кз)) + р{х). Как это видно из рис. 3.3, лучшие среди проведённой серии численных экспериментов результаты оптимизации достигаются при больших по модулю значениях коэффициента передачи контура ОС Кз - полученные для значений параметра —Кз Є [0,5; 1,1] результаты оптимизации заметно уступают результатам расчётов, проведённых для —Кз 1,7.laila2rj при всех (целых и неотрицательных) Qi,a2)/^ таких, что ai + Q2 4- 2/5 < 2s. Пространство #2s'5(Qr) является гильбертовым со скалярным произведениемМатематические модели нелинейно-оптических систем с фурье-фильтрацией в контуре обратной связи
Максимальный аттрактор эволюционного уравнения оптической фурье-фильтрации
Разрешимость задач оптимального управления дискретным фурье-фильтром
Численное исследование влияния количества управляемых гармоник фильтра Фурье на результат оптимизации
Похожие диссертации на Исследование моделей управляемой фурье-фильтрации в нелинейно-оптических системах с обратной связью
