Содержание к диссертации
Введение
1. Разработка концепции системного аналитического исследования неравновесных систем 20
1.1. Применение системного анализа в неравновесных системах 20
1.2. Определение неравновесной системы 23
1.3. Закономерности целеобразования неравновесных систем 27
1.4. Информационно-управляющие аспекты в неравновесных системах 32
1.5. Системный анализ динамики неравновесных систем 34
1.6. Обзор математических моделей, применимых для моделирования неравновесных систем 37
1.7. Концепция моделирования неравновесных систем 44
1.8. Системы принятия решений 49
1.9. Выводы 53
2. Разработка метода формализация неравновесных систем 56
2.1. Общие признаки неравновесных систем 56
2.2. Применение нечетких оценок при формализации замкнутой модели неравновесной системы 60
2.3. Формализованная модель неравновесной системы 74
2.4. Разработка моделей согласования производства и потребления с помощью ограничений-квот 75
2.5. Разработка модели нечеткого равновесия «производство-потребление» 84
2.6. Модель неравновесной системы с нечеткими ограничениями-квотами 85
2.7. Выводы 89
3. Разработка и исследование модели поведения элемента потребления 92
3.1. Модель нечеткого выбора элементом потребления в условиях полного дефицита 92
3.2. Модель нечеткого выбора элементом потребления в условиях неполного дефицита 109
3.3. Оптимизационная модель поведения элемента потребления 114
3.4. Выводы 120
4. Прикладные аспекты моделей неравновесных систем «производство-потребление» 122
4.1. Метод расчета нечеткого производственного баланса 122
4.2. Метод поиска нечеткого равновесия 134
4.3. Метод оптимизации затрат при взаимодействии объединений элементов производства (цехов) 139
4.4 Метод оптимизации затрат в неравновесной системе «производство-потребление» 146
4.5. Выводы 151
Заключение 154
Список источников 161
Приложения 170
- Закономерности целеобразования неравновесных систем
- Применение нечетких оценок при формализации замкнутой модели неравновесной системы
- Модель нечеткого выбора элементом потребления в условиях неполного дефицита
- Метод оптимизации затрат при взаимодействии объединений элементов производства (цехов)
Закономерности целеобразования неравновесных систем
В рамках концепции системного аналитического исследования неравновесных систем необходимо обосновывать и структурировать цели систем в конкретных условиях целеобразования, исходя из общих принципов и закономерностей неравновесных систем.
Формулировка цели и представление о цели зависит от стадии познания объекта, и по мере развития представления о нем цель может быть скорректирована.
Аналитическое исследование неравновесных систем требует определения понятия «цель», задания условной шкалы «конечный результат деятельности неравновесной системы». Цель зависит от внешних и внутренних факторов. Цель должна учитывать взаимодействие противоречий, связи между внешними и внутренними факторами, между внутренними факторами. Формулирование обобщающей цели в неравновесных системах сводится к задаче структуризации или декомпозиции цели.
Исследование этой закономерности в рамках концепции системного аналитического исследования неравновесных систем позволяет делать важный вывод о возможности развития системы.
Закономерность зависимости способа представления целей от стадии познания неравновесной системы проявляется в том, что цели могут быть представлены в форме различных структур (сетевые графики, иерархии различного вида, в форме «страт» и «эшелонов», в матричной форме). Согласно данной закономерности цели, например, в виде сетевой модели, складываются из подцелей и позволяют получить более достоверные знания о неравновесной системе.
В иерархической структуре целей существует закономерность целостности (эмерджентности), которая проявляется на любом уровне иерархии целей. Закономерности формирования иерархических структур целей в концепции системного аналитического исследования неравновесных систем предусматривают применение следующих методов формирования целей [14]: - методы структурной декомпозиции (формирование структур «сверху») целенаправленный подход; - морфологический, лингвистический, тезаурусный, терминальный подход (формирование структур целей «снизу»). Цели на нижних уровнях выражаются в виде ожидаемых результатов функционирования неравновесных систем с указанием критериев оценки ее выполнения. На верхних уровнях критерий достижения цели (цели -направления, цели - идеала), может быть выражен в общих требованиях (например, «повысить эффективность»), либо отсутствует в формулировке цели. Для системного аналитического исследования неравновесных систем необходимо, чтобы структура целей была удобной для анализа, поэтому можно сформулировать следующие требования: - на каждом уровне иерархии целей расчленение следует делать соразмерным, а выделенные части должны быть логически независимыми; - признаки декомпозиции в пределах одного уровня должны быть едиными; - число уровней иерархии и число компонентов в каждом узле должно быть К=7 ± 2, в силу гипотезы Миллера или числа Колмогорова [27,]; - процесс развертывания обобщенной цели требует, чтобы число уровней иерархии было в переделах 5 - 12, в силу гипотезы Миллера; - целесообразно считать одним «деревом цели» ту часть структуры, которая может быть сформирована в терминах одного «языка» (политического, экономического, инженерного, технологического и т.д.). Рассмотренные закономерности необходимо учитывать при разработке методик структуризации и структур целей неравновесных систем. Известна методика, разработанная группой ученых томских вузов Ф.И.Перегудовым, В.З.Ямпольским, Л.В.Кочневым [36, 37]. Основные этапы методики в виде уровней структуризации показаны на рис. 1.2. Данная методика учитывает приведенные выше закономерности целеобразования, соответствует принципам системности и может быть применена в концепции системного аналитического исследования неравновесных систем. В методике целеобразования неравновесных систем выделим следующие уровни структуризации. На первом уровне осуществляется формирование глобальной цели неравновесной системы. Цель может быть задана руководством и ориентирована на конечные изделия (продукты), для получения которых существует или создается неравновесная система. На втором уровне осуществляется декомпозиция цели по признаку «виды конечных изделий (продуктов)» (КП). При наличии большого числа разновидностей продукции классификатор по этому признаку может быть двухуровневым. Если речь идет о производстве, то конечным продуктом является выпускаемая продукция. На третьем уровне осуществляется декомпозиция по признаку «пространство инициирования целей». Определяют подцели исследуемой неравновесной системы, требования и потребности окружающей среды, влияющей на производство конечных продуктов. Все системы, с которыми взаимодействует неравновесная система в производстве изделий (продуктов), делятся на четыре класса: - надсистема или вышестоящие системы, формулирующие главные требования к продуктам (изделиям) и потребности в нем; - нижестоящие или подведомственные системы, требования которых выступают в основном в качестве ограничений на свойства конечных изделий (продуктов), потребностей в ремонте, обслуживании материально-технической базы для производства; - среда системы, которая имеет отношение к производству конечных изделий (продуктов) проектируемой или исследуемой неравновесной системы, - исследуемая собственно неравновесная система, подцели которой инициируются собственными, внутренними потребностями, мотивами, программами и трансформирующимися в требованиях к конечным продуктам (изделиям).
Применение нечетких оценок при формализации замкнутой модели неравновесной системы
Определим замкнутую модель как модель неравновесной системы, где учтены «внутри» модели все существенные для проводимого анализа величины и их взаимосвязи [1]. Классическими моделями такого рода являются модели Вальда, Вальраса и Эрроу-Дебре [49]. Одним из примеров такой модели могут являться модели межцеховых связей на предприятии, так называемая «модель чистых обменов» (модель Гейла [5]). В диссертационной работе рассматривается замкнутая модель неравновесной системы на уровне производства-потребления, т.е. производители и потребители изделий (продуктов) находятся в одной и той же неравновесной системе. Пусть номенклатура всех изделий (продуктов) определена номерами і из множества Q так, что ієО={1,2,...,п}. Набор изделий (продуктов) определим вектором Z={Z,,Z2, ...,Zn}, в котором Z., i = l,n - нечетко задаваемое количество і-го изделий (продукта). Компонента Z. задана в виде интервала [71,72]. Интервал - это выпуклая нечеткая величина [71,72,73], функция принадлежности которой задается следующим образом: Интервалы задаются четверкой параметров M=(m,m,a,p), где m и m - соответственно нижнее и верхнее модальное значение интервала, а а и Р представляют собой левый и правый коэффициент нечеткости.
При задании интервала компоненты Z., і = 1,п могут быть применены следующие варианты: а) нижнее и верхнее модальное значение интервала совпадают, а а и Р равны нулю, тогда количество і-го изделий (продукта) ът определяется с неопределенностью равной нулю. Формально определим Zf =(Zjmi„=ZjH, Zimax=ZiH) 0 ,0), где zimin - нижнее модальное значение m , a Zjmax- верхнєє модальное значение m . В этом случае существует четкое задание количества і-го изделий (продукта), как показано на рис.2.3, где ц - значение степени принадлежности интервалу; б) количество і-го изделий (продукта) ziH определяется с неопределенностью отличной от нуля (как показано на рис. 2.4), причем Zi=(zimjn, Zjmin, 0, (3), т.е. верхнее и нижнее модальные значения интервала совпадают; в) количество і-го изделий (продукта) z-IH может быть получено из интервала [А,В] (как показано на рис.2.5) с неопределенностью равной единице, причем Z. =(A=Zimin,B=Zjmax» 0, 0), где А - нижнее модальное значение (минимально возможное значение изделия (продукта)), В - верхнее модальное значение (максимально - возможное количество изделия (продукта); г) количество і-го изделий (продукта) ziH может быть получена из интервала значений [А,С], так что в интервале [А,В] неопределенность получения равна единице (А В С). Формально определим Z.=(A=Zjmin, B=zimax, 0, Р) (как показано на рис.2.6), где 3=С-В. д) количество і-го изделий (продукта) ziH может быть получена из интервала значений [A,D], так что в интервале [В,С] неопределенность получения равна единице (A B C D). Формально определим Ъ.=(В=гт\т Для дальнейшего исследования параметров замкнутой модели неравновесной системы определим операцию суммирования для интервалов, в виде которых задаются количества і-го изделий (продукта), а также ограничения-квоты. причем f(Mj,Mi) - совокупность интервалов, вычисляется по предыдущим формулам.
Таким образом, компоненту ziH представляем в виде интервала для выполнения операции суммирования. Если не существует ограничений на производство-потребление, будем считать, то компонента ziH задается по варианту а), т.е. ZiH=(zimin,zimin,0,0). Любое производство представляет собой преобразование исходных продуктов в выпускаемые изделия (продукты), как показано на рис. 2.8. Исходные продукты назовем затратами [1], а выпускаемые изделия (продукты), которые гарантированно могут быть проданы - выпусками. При нечетком задании ограничений-квот на потребление и нечетких ограничения-квот на производство затраты и выпуска также будут описываться в виде интервалов. Определим [72] формально набор затрат в виде вектора Х=(Х,, ..., Хп), а выпуски - в виде вектора Y=( Y,, ..., Yn), где X., і = 1,п и Y., j = 1,n - нечетко задаваемое количество і-го исходного и j-ro выпускаемого изделия (продукта) соответственно. Как компонента X., так и компонента Y. заданы в виде интервалов [71]. Способы задания интервалов компонент исходного X., i = l,n и выпускаемого продукта Yj, j = 1, п аналогичны заданию интервала компоненты количества продуктов Z., і = l,n. Определение 2.1. Нечетким стационарным состоянием процесса производства (производственным процессом) изделия (продукта) называется двойка (Y, X). Г » ГЫ Г я» Определение 2.2. Разность векторов Z = Y —X называется нечетким вектором чистых выпусков. Определим операцию разности интервалов [73]. Разность двух интервалов Y=(y,y,a,P) и X=(x,x,r],A,): Y-X есть также трапециевидный интервал Z=(z,z,X 5), где где z,y,x - нижние модальные значения интервалов Z,Y,X, z,y,x - верхние модальные значения интервалов Z,Y,X соответственно. Производство представляет собой систему элементов производства неравновесной системы, занятых производством изделий (продуктов).
Определим множество P={P1,P2vPm} как множество элементов производства. Каждый элемент производства Рк, к = 1, m характеризуется технологическим множеством Gk={Gj ,G2 ,...,Gn}, k = l,m, т.е. вектором всех возможных для Рк, к = 1,ш производственных процессов, где G, - 1-ый нечеткий производственный процесс (состояние) k-го элемента производства. Определим состояние элемента производства Рк, к = 1, m в виде нечеткой двойки Yk,Xk , где Хк={ Хх ,Х2,..., Хп } - нечеткий вектор затрат (изделий продуктов, необходимых для производства), а Yk={ уk, уk,..., уk } - нечеткий вектор выпусков k-го элемента производства. Определение 2.3. Множество W Y X Y X , ..., Ym,Xm } состояний всех элементов производства Рк, к=1,...,т называется состоянием производственной части неравновесной системы.
Модель нечеткого выбора элементом потребления в условиях неполного дефицита
При исследовании функций спроса и определении их через функции выбора был использован прием установления очень высоких ограничений-квот, что, в общем, не соответствует реальным производственным и рыночным ситуациям и что равносильно снятию квот вообще. Наиболее часто встречающимися ситуациями являются такие, когда некоторые ielcQ из изделий (продуктов) входят в дефицитную номенклатуру, а на потребление других кєК=П\І изделий (продуктов) ограничения не накладываются.
Формализацию потребительского нечеткого выбора можно произвести двумя способами. Способ 1. Будем считать, что отсутствие нечеткой ограничения-квоты равносильно заданию достаточно большой нечеткой квоты Лк , кєК, а нечеткий выбор определяется заданием единственной функции f(X ) нечеткого выбора (или порождающей векторной функцией F(X ) нечеткого спроса). В этом случае для описания нечеткого выбора (нечеткого спроса) в условиях неполного дефицита применяют функции нечеткого выбора зависящие только от реально имеющихся нечетких квот на дефицитные изделия (продукты) из номенклатуры I.
Способ 2. Функции нечеткого выбора f1 и нечеткого спроса Г1 выводятся из базовых функций f(X ) и F(X ) при условии их нечеткой финитарности. Это ограничение потребовало разработки такого подхода к описанию потребительского нечеткого выбора, при котором для каждой 1-ой дефицитной номенклатуре задается своя функция f (X ) нечеткого выбора (функция F (X ) нечеткого спроса) так, что заранее не требуется, чтобы г(X ) (F (X )) зависела только от X. ,і єі. Таким заданием формулируется потребление изделий (продуктов) элементами потребления в общих нечетких состояниях. Элементу потребления представляется набор изделий (продуктов) X =(Х ,....Х ) и определено ограничение на потребление i-ых, ієі изделий (продуктов). Элемент потребления осуществляет свой выбор в пределах предоставленных нечетких ограничений - квот X", ієі. Остальные уровни возможного потребления изделий (продуктов) Хк , кєК элемент потребления может превышать. При данном подходе потребительское поведение описывается множеством функций нечеткого выбора { (Х )}, ({ (Х )} !" или множеством функций нечеткого спроса {FT(X )}, ({F X )} ", где операция « » - мощность множества функции нечеткого спроса. Для формализации понятий нечеткого выбора и нечеткого спроса в рамках первого способа будем считать, что задана нечетко финитарная функция f(X ) нечеткого выбора в условиях полной дефицитности с показателем финитарности п. Для удобства последующих преобразований и построения математических моделей неравновесных систем в условии неполной дефицитности изделий (продуктов) введем следующие обозначения для оператора подстановки значения тт. Пусть IX , I есть подмножество множества всех продуктов IcQ, есть n-мерный вектор, который будет получен из вектора Х =(Xj -"Хп) путем подстановок Хк = к Vk I. Тогда можно обозначить Теперь функцию нечеткого спроса в условиях частичной дефицитности ielcQ обозначим Fj (X) и определим, согласно (3.25), как Таким образом, получены для первого способа формализации определение (3.25) функции потребительского нечеткого выбора і (Х ), IcQ и определение (3.28) функции потребительского нечеткого спроса в условиях частичной дефицитности. Рассмотрим возможности формализации в рамках второго способа описания потребительского выбора в условиях неполного дефицита.
Определение 3.8. Универсальной функцией нечеткого выбора называется параметрическое семейство {f (X )}, заданное при IcD функций нечеткого выбора в условиях частичной дефицитности, удовлетворяющих условию: т.е. на любых наборах неотрицательных нечетких ограничений-квот функция нечеткого выбора в условии неполного дефицита будет нечетко меньше либо равна нечеткой ограничении-квоте при неполном дефиците при всех наборах изделий (продуктов) . Определение 3.9. Универсальная функция выбора f (X ), на всех наборах IcQ, при условии, что нечеткие ограничения-квоты принадлежат неотрицательному октанту X є 9?", называется нечетко нормальной, если она нечетко ограничена и непрерывна по X" є SR" при каждом Iczfi выполняется условие: если для всех ограничений-квот, являющимися нечетко неотрицательными, при условии включения наименований множества изделий (продуктов), на которые наложены потребительские квоты, в множество наименований выпускаемых изделий (продуктов) и в множество наименований всех изделий (продуктов), то ограничение-квота на выпускаемое 1-е изделие (продукт) нечетко не больше потребительского ограничения-квоты на 1-е изделие и функция нечеткого выбора j-ro изделия (продукта) нечетко не больше ограничения-квоты на J-e изделие (продукт): то функция нечеткого потребительского выбора 1-го изделия (продукта) нечетко равна функции нечеткого выбора выпускаемого J-ro изделия (продукта) Условие (3.30) и (3.31) следует рассматривать, как свойство индифферентности нечеткого выбора при сужении допустимого множества альтернатив, путем отбрасывания ненужных альтернатив.
Условием (3.30) допускается переход от допустимого множества векторов {Z є $Н" Zj С Xj } к другому допустимому вектору Можно показать, что если функция нечеткого выбора (Х ), при условии полного включения множества наименований изделий (продуктов), на которые наложены квоты, в множество всех наименований изделий (продуктов) IciQ - универсальная функция нечеткого выбора и эта функция нечетко нормальна, то набор изделий (продуктов), выбранный элементом потребления нечетко равен набору изделий (продуктов) на всем множестве изделий (продуктов), т.е. потребительский выбор будет максимально приближен ко всему наименованию изделий (продуктов) f(X )=fn(X") является нечеткой функцией нечеткого выбора в условиях полной дефицитности, а все функции нечеткого выбора f (X ) при IczQ определяются через равенство f(X")=f"(X") соотношением (3.25). Следовательно, второй способ построения параметрических функций нечеткого выбора для условий частичного дефицита приводит к тем же результатам, что и первый способ. Нормальное параметрическое семейство { (Х )} при включении вектора наименований изделий, на которые наложены квоты, в вектор всех наименований изделий (продуктов), IcQ функций нечеткого выбора полностью определено функцией нечеткого выбора f"(X ), как функция нечеткого выбора в условиях полного дефицита. Воспользовавшись определениями (3.25)-(3.28), получим соотношение порождения нечеткого выбора нечетким спросом в условиях неполного дефицита
Метод оптимизации затрат при взаимодействии объединений элементов производства (цехов)
Метод оптимизации затрат предназначен для решения задач планирования производства на многоцеховом предприятии. Сущность метода излагается на примерах с приведением конкретных числовых расчетов.
Рассмотрим пример, в котором несколько цехов изготавливают изделия (продукты). Для работы цехов поставляются материалы, как извне предприятия, так и из соседних цехов [89,90].
Пусть задано три цеха - три элемента производства Рі, Рг, Рз- Число производимых и потребляемых изделий (продуктов) равно пяти. Цехи в совокупности тратят на производство и изготавливают пять изделий (продуктов). Первый элемент производства Pi использует в процессе работы только первое и пятое изделие, второй элемент производства - первое, второе и третье изделие, третий элемент производства - первое, второе и четвертое изделие. Каждый элемент производства Р характеризуется технологическим Зададим произвольно технологическое множество для первого цеха. Составляющие технологическое множество Gi соответствуют требованиям определения 2.4.
Одной из известных моделей является модель функционирования рынка, основанная на теории общего неравновесия (так называемый процесс "нащупывания") [81,82]. В данной модели аукционист сравнивает спрос и предложение участников рынка и, повышая или снижая цены, регулирует куплю-продажу. Метод оптимизации затрат можно модифицировать в рассматриваемом аспекте. Для этого осуществим имитацию действия рыночного механизма, изучим его поведение, применив итеративный метод вычислений.
В качестве субъектов рынка, выберем два предприятия, каждое из которых, располагая одним доступным им обоим ресурсом, производит по одному виду изделий (продуктов), и одного потребителя, предъявляющего спрос на данное изделие (продукт). Обмен осуществляется через посредника - аукциониста. Цикл функционирования представлен на рис.4.5. где Y.s, i=l,2 - нечеткий объем предложения і-го изделия (продукта) і-м предприятием; Y, , i=l,2 - нечеткий объем спроса со стороны потребителя на i-oe изделие (продукт); Ls- предложение ресурса (постоянная величина); Li? i=l,2 - объем нечеткого спроса на ресурс со стороны і-го элемента производства; F., 1=1,2 - нечеткая производственная функция і-го элемента производства; U - нечеткая функция полезности элемента потребления.
В данном случае под спросом понимается нечеткое постепенное приближение к решению задачи путем обмена информацией между участниками процесса, т.е. между производителем и потребителем [87].
Пусть каждая итерация Т будет состоять из четырех шагов процесса регуляции рынка. После каждой итерации будет вычисляться размер нечеткого спроса на ресурс, нечеткого объема предложения изделий (продуктов) производства и совокупных нечетких размеров избыточного спроса.
Будем называть аукционистом эксперта, который устанавливает на рынке необходимые начальные значения цен и спроса и производит необходимые изменения.
Шаг 1. Аукционист указывает і-му элементу производства нечеткую цену на его изделие (продукт) P(t), i=l,2 и нечеткую цену ресурса W(t), а также сообщает элементу потребления цены Р;(г), ї=1,2 и цену спроса, равную предельной полезности, т.е. дифференциалу функции полезности потребителя U(Yj ,Y2) по объему предложения і-го продукта і-м предприятием Y.d в момент времени (t-1)и представляет это сочетание на рассмотрение аукциониста.
Шаг 3. Элемент потребления предъявляет нечеткий спрос на i-e изделие (продукт) следующим образом. Если на i-e изделие (продукт) спрос отсутствует или если предельная полезность потребления меньше предельных затрат, то элемент (потребления) оставляет величину спроса без изменений. В противном случае он корректирует спрос пропорционально разнице между предельной полезностью и предельными затратами и в результате указывает соответствующую величину Ytd(t), i=l,2 (см. рис.4.6).
Шаг 4. Аукционист, руководствуясь законом спроса и предложения, изменяет цены. Если спрос на продукт превышает предложение, он поднимает цену и наоборот. Однако, в том случае, если избыточный спрос отрицателен и соответствующие ему цены равны нулю, снизить цены ниже существующего уровня невозможно.
Нечеткая производственная функция и нечеткая функция полезности определяется соответственно:
