Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Марковские системы параллельного обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов 42
1.1 Исследование математической модели параллельного обслуживания k-кратных заявок пуассоновского потока 43
1.1.1 Математическая модель 44
1.1.2 Нахождение производящей функции при нестационарном функционировании системы 45
1.1.3 Вероятностные характеристики 49
1.1.4 Двумерное распределение вероятностей состояний системы
1.2 Исследование математической модели параллельного обслуживания неординарного пуассоновского потока разнотипных заявок 53
1.2.1 Исследование системы М7(123)/М3/ 53
1.2.2 Общий случай 57
1.3 Математическая модель страховой компании 59
1.3.1 Постановка задачи 60
1.3.2 Исследование двумерного процесса{/(),i(t)} числа пришедших за время t заявок и числа занятых приборов в системе М\М\оо 60
1.3.3 Математическое ожидание и дисперсия капитала компании для числа рисков 63
1.4 Исследование марковских систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов и повторным обслуживанием заявок 65
1.4.1 Математическая модель 66
1.4.2 Исследование двумерного потока обращений {v(),4( )} в марковской СМО с повторным обслуживанием 67
1.4.3 Производящая функция и некоторые характеристики потока повторных обращений 72
1.4.4 Производящая функция двумерного распределения числа обращений суммарного потока и количества занятых приборов 74
1.4.5 Производящая функция суммарного потока обращений 76
1.4.6 Экономико-математическая модель изменения дохода торговой компании 78
1.5 Исследование марковских систем параллельного обслуживания с повторными обращениями 79
1.5.1 Математическая модель распределенной вычислительной системы80
1.5.2 Совместное распределение числа занятых линий в системе 81
1.5.3 Исследование суммарных потоков обращений в марковской системе параллельного обслуживания с повторными обращениями 88
Резюме
Глава 2 Исследование систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов и специальными входящими потокам заявок методом моментов 97
2.1 Марковизируемые потоки событий 98
2.1.1 Модулированные пуассоновские потоки 98
2.1.2 Полумарковские потоки 100
2.1.3 ВMAP-поток. Способы задания 102
2.1.4 Распределение вероятностей числа заявок, наступивших в ВМАР-потоке 106
2.2 Исследование систем с неограниченным числом обслуживающих приборов и специальными входящими потоками методом начальных моментов 108
2.2.1 Исследование системы ВМАРM методом моментов 108
2.2.2 Исследование системы SMMoo методом моментов 113
2.3 Метод начальных моментов для исследования систем параллельного обслуживания с неограниченным числом приборов и специальными входящими потокам заявок 119
2.3.1 Исследование системы параллельного обслуживания сдвоенных заявок с входящим МАР(2)-потоком 120
2.3.2 Исследование системы параллельного обслуживания сдвоенных заявок потока марковского восстановления 128
2.4 Исследование входящего потока для GRID-системы с адаптируемым выделением вычислительных ресурсов 138
2.4.1 Постановка задачи 139
2.4.2 Математическая модель 140
2.4.3 Метод характеристических функций для исследования потока 140
2.4.4 Основные вероятностные характеристики 143
Резюме 145
Глава 3 Метод предельной декомпозиции для исследования СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов пуассоновским входящим потоком и произвольным временем обслуживания 148
3.1 Метод предельной декомпозиции систем массового обслуживания с неограниченным числом линий 148
3.2 Исследование СМО M/G/ методом предельной декомпозиции 150
3.3 Исследование потоков обращений в СМО с повторным обращением и неограниченным числом обслуживающих приборов методом предельной декомпозиции 153
3.3.1 Постановка задачи 153
3.3.2 Применение метода предельной декомпозиции 154
3.3.3 Исследование суммарного потока бесконечнолинейной СМО с повторным обращением 154
3.4 Исследование двумерного потока в системе СМО с повторным обращением и неограниченным числом обслуживающих приборов 161
3.5 Исследование систем параллельного обслуживания парных заявок с повторными обращениями 167
3.5.1 Совместное распределение числа повторных обращений к блокам. Метод предельной декомпозиции 168
3.5.2 Основные числовые характеристики 174
Резюме 176
Глава 4 Метод асимптотического анализа для исследования систем с неограниченным числом приборов, непуассоновским входящим потоком и экспоненциальным временем обслуживания 177
4.1 Метод асимптотического анализа системы ВМАР/М/ при условии растущего времени обслуживания 178
4.1.1 Асимптотика первого порядка 178
4.1.2 Асимптотика второго порядка 180
4.2 Метод асимптотического анализа для исследования параллельного обслуживания кратных заявок потока марковского восстановления 185
4.2.1 Асимптотика первого порядка 185
4.2.2 Асимптотическая характеристическая функция второго порядка 187
4.3 Метод асимптотического анализа для исследования СМО с повторными обращениями и ММРР входящим потоком заявок 193
4.3.1 Асимптотика первого порядка 195
4.3.2 Асимптотика второго порядка 196
4.4 Область применимости асимптотических результатов 198
4.4.1 Сравнение асимптотических и допредельных результатов исследование системы МАРМ 199
Резюме 200
Глава 5 Метод просеянного потока 202
5.1 Метод просеянного потока 203
5.2 Исследование системы ВМАР/GI/ методом просеянного потока 205
5.2.1 Просеянный BMAP-поток 206
5.2.2 Метод асимптотических семиинвариантов в условии растущего времени обслуживания 208
5.2.3 Асимптотика первого порядка 208
5.2.4 Асимптотика второго порядка 211
5.2.5 Асимптотика третьего порядка 216
5.2.6 Системы с детерминированным обслуживанием и область применимости асимптотических результатов 218
5.2.7 Численная реализация 220
5.3 Исследование систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок с произвольным временем обслуживания 222
5.3.1 Исследование системы MR(2)/GI2/ методом просеянного потока .223
5.3.2 Модифицированный метод просеянного потока 224
5.3.3 Исследование СМО MR2GI2 226
5.3.4 Метод асимптотического анализа в условии растущего времени обслуживания 228
Резюме 236
Глава 6 Комплекс программ для имитационного моделирования и численного анализа систем массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов 238
6.1 Численная реализация метода начальных моментов и метода асимптотического анализа 238
6.1.1 Программа вычисления характеристик системы ВМАР\М\со методом начальных моментов 239
6.1.2 Программа вычисления асимптотического распределения числа занятых приборов в системе ВМАР\М\оо 241
6.2 Имитационное моделирование СМО с произвольным временем обслуживания 242
6.2.1 Объектная модель системы имитационного моделирования СМО 243
6.2.2 Имитационное моделирование BMAP-потока 249
Резюме 252
Заключение 253
Список использованной литературы 256
- Нахождение производящей функции при нестационарном функционировании системы
- Исследование двумерного потока обращений {v(),4( )} в марковской СМО с повторным обслуживанием
- Распределение вероятностей числа заявок, наступивших в ВМАР-потоке
- Исследование потоков обращений в СМО с повторным обращением и неограниченным числом обслуживающих приборов методом предельной декомпозиции
Нахождение производящей функции при нестационарном функционировании системы
Аналогичные теоремы доказаны для систем параллельного обслуживания с входящим МАР-потоком сдвоенных заявок.
В параграфе 2.4 рассмотрена математическая модель GRID-системы с адаптируемым выделением вычислительных ресурсов. Указанная модель представлена в виде системы массового обслуживания с входящим потоком, имеющим несколько уровней интенсивности, и обслуживающими блоками, соответствующими каждому такому уровню. Получено выражение для характеристической функции многомерного распределения числа поступивших заявок на каждом из уровней интенсивности. Отдельно рассмотрена проекция входящего потока на один уровень интенсивности. Получены вероятностные характеристики системы для отдельных уровней интенсивности входящего потока: распределение вероятностей числа заявок одного уровня, а также первый момент, и общий вид систем обыкновенных дифференциальных уравнений для вычисления второго начального момента и корреляционного момента этого распределения. Полученные результаты могут быть использованы на практике при построении GRID-систем с соответствующей инфраструктурой.
В третьей главе для исследования потоков в системах с повторным обслуживанием пуассоновским входящим потоком и произвольной функцией распределения времени обслуживания заявок предлагается метод предельной декомпозиции. Разработанный метод основан на использовании свойства разделение пуассоновского потока по полиномиальной схеме и позволяет свести задачу исследования бесконечнолинейных систем к задаче анализа совокупности однолинейных СМО. Методом предельной декомпозиции исследованы потоки первичных и повторных, а также суммарный поток обращений в системе массового обслуживания М/G/ и повторным обслуживанием.
Доказаны следующие теоремы о виде производящих функций исследуемых потоков. Теорема 3.1. Производящая функция суммарного числа обращений, реализованных за время t, в бесконечнолинейной СМО имеет вид:
Показано, что результаты исследования являются обобщением рассматриваемых выше частных случаев, а именно для экспоненциального времени обслуживания.
В параграфе 3.5 проведено обобщение метода предельной декомпозиции на случай систем параллельного обслуживания кратных заявок пуассоновского потока. Рассматривается система массового обслуживания с двумя обслуживающими блоками, каждый из которых содержит неограниченное число линий. На вход системы поступает простейший с параметром поток сдвоенных заявок, то есть в момент наступления события в рассматриваемом потоке в систему одновременно поступают две заявки.
Дисциплина обслуживания определяется тем, что одна из этих заявок поступает в первый, а другая во второй блоки обслуживания и занимает любую из свободных линий, на которой выполняется ее обслуживание в течение случайного времени, распределенного по экспоненциальному закону с параметрами і и 2 соответственно. Закончив обслуживание, заявка к-го блока (=1,2) с вероятностью 1–Гк покидает систему, а с вероятностью г возвращается обратно на прибор для повторного обслуживания. Доказана следующая теорема. Теорема 3.3. Совместная производящая функция числа повторных обращений к блокам обслуживания в системе М2M2 с повторным обслуживанием в блоках имеет вид:
Из вида производящей функции следует, что потоки обращений являются зависимыми и их исследование необходимо проводить только совместно.
Четвертая глава посвящена развитию метода асимптотического анализа систем массового обслуживания СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов при условии растущего времени обслуживания, что позволяет проводить исследование систем с непуассоновскими входящими потоками и экспоненциальным временем обслуживания. Составляются уравнения Колмогорова для распределения вероятностей, частичных производящих функций или характеристических функций значений полученных многомерных марковских случайных процессов. В этих уравнениях выполняется предельный переход в некоторых предельных условиях, который позволяет получить предельные (асимптотические) уравнения. Решениями этих уравнений являются соответствующие предельные (асимптотические) распределения рассматриваемых систем обслуживания.
Исследование двумерного потока обращений {v(),4( )} в марковской СМО с повторным обслуживанием
Из вида производящей функции следует, что потоки обращений являются зависимыми и их исследование необходимо проводить только совместно. Построенная математическая модель позволяет обобщить результаты параграфа 1.4.6 на случай многопродуктовых торговых компаний. Например, в работе [31] построена и исследована экономико-математическая модель изменения дохода двухпродуктовой торговой компании при наличии различных скидок на группы товаров. В данной главе были рассмотрены различные модели марковских систем массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов.
В разделах 1.1–1.2 рассматриваются математические модели параллельного обслуживания кратных и разнотипных заявок пуассоновских потоков. Проведено исследование многомерных процессов, описывающих число приборов, занятых в блоках обслуживания разнотипных заявок, находящихся в системе. Доказаны теоремы о виде производящей функции исследуемых процессов и найдены их числовые характеристики.
В разделе 1.3 предложена математическая модель изменения числа клиентов страховой компании в виде системы массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов. Проведено исследование случайного процесса S(t) – капитала компании в момент времени t. Найдены числовые характеристики, определяющие среднее и дисперсию. В отличие от работ [19] использование исследуемых СМО в качестве моделей страховых компаний позволяет учесть такие особенности как групповое заключение договоров и различные условия страхования.
В разделе 1.4 проводится исследование систем массового обслуживания с повторными обращениями. Доказаны теоремы о виде производящих функций следующих процессов: числа занятых приборов в системе в стационарном и нестационарном режиме, числа повторных и суммарных обращений в систему за время t. Показано, что при растущем времени обслуживания поток повторных обращений в систему является пуассоновским с параметром X .
Кроме того, показано применение данных моделей к описанию процессов изменения числа клиентов торговой компании. Найдено аналитическое выражение для характеристической функции дохода торговой компании и его основные вероятностные характеристики.
Раздел 1.5. посвящен исследованию математических моделей, являющихся обобщением ранее рассмотренных, то есть системам параллельного обслуживания кратных заявок с повторным обращение к блокам.
Значительная часть результатов, представленных в данной главе, получена при выполнении научного проекта № 4761: «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи» в рамках аналитической ведомственной целевой программы (АВЦП) «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 - 2011 годы)» Федерального агентства по образованию [100].
Исследование систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов и специальными входящими потокам заявок методом моментов В настоящее время опубликовано достаточное количество работ с исследованиями реальных потоков заявок, требований, сообщений, выполненных зарубежными и отечественными специалистами в различных областях [57, 58, 146], что позволяет сделать вывод о существенной неадекватности классических моделей потоков (пуассоновских и рекуррентных) реальным данным. В реальных потоках современных информационно-вычислительных есть промежутки времени, когда трафик мал, а также промежутки в которых интенсивность резко возрастает, интервалы между моментами поступления запросов зависимы. Заявки могут поступать пачками, то есть потоки неординарные.
В данной главе проведено исследование систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов, на вход которых поступает наиболее общие из известных математических моделей ординарных потоков заявок, а именно общий МАР-поток (Markovian Arrival Process) и полумарковский поток (Semi Markovian Process), а также неординарный групповой BMAP-поток (Batch Markovian Arrival Process), а также их частные случаи: общий МАР-поток и поток Марковского восстановления. Предлагаемый метод моментов позволяет находить вероятностные характеристики исследуемых процессов. 2.1 Марковизируемые потоки событий
Следуя необходимости создания адекватных моделей различных явлений и систем, многие исследователи разработали схемы потоков событий, при по мощи которых можно учитывать различные реальные факторы, в частности, за висимость интервалов между поступлением требований. Д. Кокс [135] рассмот рел потоки однородных событий, интенсивность которых зависит от состояний управляющего потоком процесса (дважды стохастические потоки). Позже были даны общие определения таких потоков [195]. Одним из наиболее распростра ненных случаев являются МАР-потоки и его частный случай - марковски моду лированный пуассоновский поток событий (ММРР-поток). Исследованию таких потоков посвящены работы зарубежных и российских учёных [26, 181, 178, 182, 170, 159, 59].
Распределение вероятностей числа заявок, наступивших в ВМАР-потоке
Рассмотрим бесконечнолинейную систему массового обслуживания, на вход которой поступает ВМАР-поток. Продолжительности обслуживания заявок стохастически независимы, одинаково распределены и имеют экспоненциальную функцию распределения с параметром JLI. Поступившая заявка занимает любой из свободных приборов, завершив обслуживание, заявка покидает систему.
В случае экспоненциального времени обслуживания задача исследования немарковского процесса (при непуассоновском входящем потоке), определяющего число обслуживаемых заявок (число занятых приборов), решается введением дополнительных переменных таким образом, чтобы случайный процесс в расширенном фазовом пространстве становился марковским, что в некоторых работах называют «внешним» марковизированием [50].
Пусть i(t) - число заявок в системе, то есть число приборов, занятых в момент времени t. Так как i(i) - немарковский процесс, то будем рассматривать двумерный случайный процесс {i(f),k(t)}, где Щ состояния управляющей ВМАР-потоком цепи Маркова Щ) в момент времени t
Рассмотрим систему массового обслуживания с неограниченным числом приборов, на вход которой поступает полумарковский поток заявок, определяемый полумарковской матрицей А(х). Рассмотрим трёхмерный случайный процесс {s(t),z(t),i(t)}, где z(t) - длина интервала от момента времени t до момента наступления очередного события в SM-потоке, а дискретный процесс s(f) определяется следующим образом здесь - эргодическая цепь Маркова с дискретным временем и мат рицей P = [pvk ] вероятностей перехода за один шаг, процесс т(/) принимает неотрицательные значения из непрерывного множества и определяет длины интервалов в SM-потоке.
Для распределения вероятностей такого трехмерного марковского процесса P(s,z,i,t) = p{s(t) = s,z(t) z,i(t) = і) можно записать равенства определяет характеристическую функцию числа i(t) приборов, занятых в стационарном режиме в системе SMMQO, равенством
Mejui(t)=U(oo,u)E. Здесь R(z) - стационарное распределение вероятностей значений двумерного случайного процесса {s(t\z(t)} и имеет вид [59]: Z R(z)= Rj(P-A(jc))ir. Здесь A(x) - полумарковская матрица, P - стохастическая матрица вероятностей переходов вложенной цепи Маркова, R - стационарное распределение вероятностей значений вложенной цепи Маркова, величина к1 определяется
В данном параграфе проведем исследование математических моделей параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных потоков на примере марковского модулированного пуассоновского потока и потока марковского восстановления, как наиболее используемого частного случая полумарковского потока. В момент наступления событий в рассматриваемых потоках в систему одновременно поступают две заявки. Заявки каждого типа поступают в отдельные блоки обслуживания, содержащие неограниченное число обслуживающих приборов. Продолжительности обслуживания заявок стохастически независимы, одинаково распределены для каждого блока и имеют экспоненциальную функцию распределения с параметрами JLLX и JLI2 соответственно. блоками обслуживания, на вход которой поступает марковски модулированный поток сдвоенных заявок, который управляется цепью Маркова k(t) ((t)=1,2,...,K), заданный матрицей инфинитезимальных характеристик Q, набором неотрицательных чисел Хк (&=1,2,...,K) и вероятностями наступления события потока в момент изменения состояний цепи Маркова 2(1Д2=1,2,...,K) [83]. В момент наступления событий в рассматриваемом потоке в систему одновременно поступают две заявки.
Поставим задачу исследования двумерного случайного процесса характеризующего число занятых приборов в момент времени t соответственно в первом и втором блоках обслуживания. При непуассоновском входящем потоке процесс v 1vV2v)} является немарковским, но для входящего МАР(2)-потока случайный процесс { (фХф )} является трёхмерной цепью Маркова, что позволяет, применяя методы исследования марковских процессов, найти совместное распределение вероятностей P(k,h,i2,t) = P{k(t)=k,h(t)=h,i2(t) = i2l /1, z2=1,2,…, где =1,2,...,K, - состояние цепи Маркова k(t), управляющей МАР-потоком. Для распределения вероятностей P(k,i1,i2,t), применяя формулу полной вероятности, получаем равенства:
Исследование потоков обращений в СМО с повторным обращением и неограниченным числом обслуживающих приборов методом предельной декомпозиции
Определим область применимости асимптотических характеристик в допредельной ситуации. Для этого сравним характеристики, полученные с помощью метода асимптотического анализа в условии эквивалентного роста времени обслуживания в блоках и характеристики, полученных с помощью метода начальных моментов, описанного во второй главе.
Определим область применимости асимптотических характеристик в допредельной ситуации на примере MAP входящего потока (как частного случая ВМАР-потока). Для этого сравним характеристики, полученные с помощью метода асимптотического анализа в условии растущего времени обслуживания в блоках и характеристики, полученных с помощью метода начальных моментов, описанного в разделе 2.3
Очевидно, что при уменьшении параметра s асимптотические результаты приближаются к допредельным. В Таблице 4.4 приведено изменение значений относительной погрешности. Из этой таблицы видно, что относительная погрешность вычислений при отношении — = 0,1 составляет менее чем 3%, что го ворит о высокой точности применяемого метода асимптотического анализа в условии растущего времени обслуживания.
В настоящей главе рассмотрен метод асимптотического анализа и его применение к исследованию СМО различной конфигурации с экспоненциальным временем обслуживания на приборах. Проведен численный анализ, полученных результатов.
В параграфе 4.1 методом асимптотического анализа проведено исследование системы ВМАР/М/ при условии растущего времени обслуживания и предельно редких изменений управляющей потоком цепи Маркова.
В параграфе 4.2 рассмотрена система массового обслуживания кратных заявок с входящим потоком Марковского восстановления с двумя блоками об 201 служивания, каждый из которых содержит неограниченное число приборов. Получены выражения для асимптотик первого и второго порядков.
В параграфе 4.3 исследовано число занятых приборов в СМО с повторным обращением. Показано, что в стационарном режиме число занятых приборов можно аппроксимировать гауссовским распределением.
Данная глава посвящена оригинальному методу просеянного потока для исследования немарковских СМО с неограниченным числом приборов, временем обслуживания, имеющим произвольную функцию распределения и марко-визируемым входящим потоком.
Классу марковизируемых потоков принадлежат все вышеупомянутые в диссертации потоки: простейший, рекуррентный, МАР, ВМАР, а также полумарковские потоки. Впервые основная идея метода опубликована в 2006 году в монографии [83]. Предлагаемый метод заключается в просеивании заявок входящего потока таким образом, что выполняется равенство числа приборов, занятых в системе в произвольный момент времени t1 и числа событий просеянного потока, наступивших до того же момента времени t1.Показано, что просеянный поток является нестационарным с монотонно возрастающей интенсивностью от нуля до значения интенсивности входящего потока к моменту времени t1.
Метод просеянного потока позволяет исследование довольно сложных процессов изменения во времени числа приборов, занятых в системе обслуживания заменить исследованием более простых процессов изменения числа событий, наступивших в нестационарных просеянных потоках до момента времени t t1. А именно, найти распределение вероятностей как числа событий, наступивших в просеянном потоке, так и распределение вероятностей числа приборов рассматриваемой системы обслуживания, занятых в тот же момент времени. Как правило, эти распределения вероятностей определяются методом асимптотического анализа (асимптотических семиинвариантов).
Рассмотрим систему массового обслуживания с неограниченным числом приборов, на вход которой поступает марковизируемый (MMP, MAP, SM) поток событий. Продолжительности обслуживания заявок стохастически независимы, одинаково распределены и имеют произвольную (не экспоненциальную) функцию распределения В(х). Поступающая заявка занимает любой из свободных приборов. Завершив обслуживание, заявка покидает систему. Аналогично предыдущей главе, обозначим i(t) - число приборов, занятых в момент времени t, а стационарное распределение вероятностей значений процесса /() обозначим
Для рассматриваемой системы обслуживания не только процесс i(t), но также двумерный{k(t),г (t)} процессы являются немарковскими. Для исследования таких систем массового обслуживания в этой главе предложен и развит подход, который, в дальнейшем, будем называть методом просеянного потока.
На оси времени t отметим (Рисунок 5.1) моменты наступления событий этого потока (верхняя ось рисунка). Выделим некоторый момент времени t1. Будем полагать, что заявка входящего потока, поступившая в систему в момент времени t t1 = 0, с вероятностью формирует событие просеянного потока, а с вероятностью 1 - S(t) не рассматривается.
Очевидно, что заявки, не попавшие в просеянный поток, завершат обслуживание и покинут систему до момента t1, в то время как все заявки просеянного потока в момент t1 будут находиться в системе, занимая её приборы. Обозначим n(t) - число событий просеянного потока, наступивших до момента времени t. Если в некоторый начальный момент времени t0 t1 система обслуживания свободна, то есть, в ней нет обслуживаемых заявок, то для момента времени t1 выполняется равенство i(t1) = n(t1), (5.1) то есть число i(t1) приборов, занятых в рассматриваемой системе обслуживания, равно числу n(t1) событий просеянного потока, наступивших до момента времени t1.
Полагая входящий поток стационарным, для определения стационарных характеристик случайного процесса i(t1), будем рассматривать условие t0 = -х0, где х0 - такое значение аргумента х функции распределения В(х), что В(х0) = 1. В частности, возможно х0=оо. Следовательно, S(t) = 0 при всех t t0, поэтому при выполнении условия t t0 не наступают события в просеянном потоке.
Равенство (5.1) является основным для дальнейших исследований, так как проблему исследования немарковизируемой системы обслуживания с неограниченным числом приборов сводит к задаче анализа просеянного нестационарного 205 потока, определяемого процессом n(t). Найдя характеристики этого случайного процесса в произвольный момент времени t, где t0 t t1, положим t = t1, тогда, в силу равенства (5.1), его характеристики совпадают с характеристиками величины/(t).
Похожие диссертации на Разработка методов исследования математических моделей немарковских систем обслуживания с неограниченным числом приборов и непуассоновскими входящими потоками
