Математические модели и методы исследования систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных потоков Синякова, Ирина Анатольевна

Введение к работе

Актуальность работы. Системы массового обслуживания (CMO) с неограниченным числом обслуживающих приборов, являются универсальными математическими моделями и могут служить как для описания социально-экономических процессов, так и для функционирования реальных распределенных вычислительных систем. Исследованием таких CMO занимаются А.Н. Дудин, В.И. Клименок, А.А. Назаров, В.А. Ив- ницкий, П.П. Бочаров, А.В. Печинкин, В.В. Рыков, Е.В. Морозов, D. Baum, L. Breuer и многие другие. Можно отметить работы Федоткина М.А., Зорина А.В., М.Г. Носовой, И.Р. Гарайшиной, А.С. Морозовой, И.А. Захорольной, посвященные математическому моделированию транспортных потоков, демографических процессов и процессов изменения численности клиентов пенсионных фондов, торговых и страховых компаний.

Одной из модификаций CMO с неограниченным числом приборов являются системы параллельного обслуживания, которые применяются для описания процессов в мультисервисных сетях связи и телекоммуникационных системах. Системы массового обслуживания с параллельно функционирующими блоками можно встретить в статьях Г.П. Башарина, К.Е. Самуйлова, A. Movaghar, С. Knessl, J. A. Morrison, D. G. Down, N. Bain- bos, G. Michailidis и многих других. В этих работах рассматриваются системы параллельного обслуживания различной конфигурации: однолинейные CMO с конечным и бесконечным буфером, приоритетным обслуживанием, нетерпеливыми заявками и общим ординарным входящим потоком; CMO с двумя и более блоками обслуживания с конечным числом приборов и общей конечной очередью. Характерно то, что все системы имеют пуассоновский входящий поток и экспоненциальное время обслуживания.

Однако пуассоновский поток не всегда адекватно описывает реальные потоки в мультисервисных сетях связи и телекоммуникационных системах. Как считают А.Г. Ложковский и В.М. Колчар, применение пуассоновского потока для расчета характеристик качества обслуживания в реальных системах дает большую погрешность. В их работах показано, что функция распределения длин интервалов между моментами наступления событий лучше аппроксимируется распределениями, обладающими «длинным хвостом», а для описания трафика же характерна неравномерность интенсивности поступления заявок.

Обоснованность адекватности применения непуассоновских потоков (марковски модулированного пуассоновского потока и рекуррентного потока) для описания информационных потоков в мультисервисных сетях связи и телекоммуникационных системах следует из работ таких ученых, как W.E. Leland, M.S. Taqqu, W. Willinger, V. Pax- son, S. Floyd, SH. Kang, YH. Kim, A. Klemm, C. Lindemann, M. Lohmann.

На основе вышеизложенного, можно сделать вывод о том, что существует необходимость обобщения исследуемых моделей массового обслуживания на случай непуассоновских входящих потоков с произвольной функцией распределения времени обслуживания и разработке методов их исследований.

В настоящей работе предлагается исследование систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных входящих потоков (общего марковски модулированного пуассоновского потока (МАР⁽²⁾) и рекуррентного потока (GI⁽²⁾)), как обобщение результатов исследования аналогичных систем с пуассоновскими входящими потоками и экспоненциальным временем обслуживания, впервые описанных в работах украинских ученых Е.А. Лебедева, А.А. Чечельницкого и О.В. Кучеренко.

Целью диссертационной работы является построение математических моделей параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных входящих потоков и разработка методов их исследования, а именно развитие метода асимптотического анализа в условии эквивалентного роста времени обслуживания в блоках и модификация метода двумерного динамического просеивания для исследования систем с произвольной функцией распределения времени обслуживания.

Научная новизна:

1. Построены математические модели параллельного обслуживания сдвоенных заявок в виде CMO с двумя блоками, каждый из которых содержит неограниченное число обслуживающих приборов, являющиеся обобщением аналогичных марковских систем, на случай входящих общего марковски модулированного пуассоновского потока и рекуррентного потока.

2. Впервые для марковских систем параллельного обслуживания получено аналитическое выражение двумерного распределения вероятностей числа занятых приборов в каждом блоке, которое предложено называть двумерным пуассоновским распределением зависимых случайных величин.

3. Впервые метод начальных моментов применен для вычисления стационарных характеристик двумерных процессов, описывающих состояния систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок мар⁽²⁾ и gi ' входящих потоков с экспоненциальным временем обслуживания. Данный метод позволяет последовательно находить в допредельном случае вектор средних значений, матрицу ковариаций, а также другие моменты.

4. Выполнено развитие метода асимптотического анализа на случай нового предельного условия, а именно эквивалентного роста времени обслуживания в блоках, что позволяет проводить исследование систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных потоков с экспоненциальным временем обслуживания и неограниченным числом обслуживающих приборов. Показано, что для систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок процесс, характеризующий число занятых приборов в блоках можно аппроксимировать двумерным гауссовским распределением.

5. Разработан метод двумерного динамического просеивания, являющийся модификацией метода просеянного потока, который заключается в формировании двумерного просеянного потока, события которого определяются заявками, находящимися на обслуживании в блоках системы в момент времени T. Применение метода позволяет проблему исследования немарковских систем параллельного обслуживания (с произвольными функциями распределения времени обслуживания) свести к задаче анализа двумерного просеянного нестационарного потока. Дальнейшее исследование методом асимптотического анализа в условии эквивалентного роста времени обслуживания показало, что число занятых приборов в блоках также можно аппроксимировать двумерным гауссовским распределением.

Положения и результаты, выносимые на защиту:

5. 1. Математические модели параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных входящих потоков в виде CMO с двумя блоками обслуживания, каждый из которых содержит неограниченное число приборов.

   2. Метод начальных моментов для вычисления стационарных характеристик двумерных процессов, описывающих состояния системы параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных входящих потоков с экспоненциальным временем обслуживания.

   3. Метод двумерного динамического просеивания для исследования систем параллельного обслуживания случайных потоков с неограниченным числом приборов и произвольным временем обслуживания.

   4. Развитие метода асимптотического анализа в условии эквивалентного роста времени обслуживания в блоках для исследования систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных потоков с неограниченным числом приборов, экспоненциальным и произвольным временем обслуживания.

   5. Теоремы о том, что в условии эквивалентного роста времени обслуживания число занятых приборов в блоках можно аппроксимировать двумерным гауссовским распределением, параметры которого определяются функцией распределения времени обслу живания и характеристиками входящего потока.

   6. Комплекс программ, реализующий имитационное моделирование и численный анализ вероятностно-временных характеристик рассматриваемых систем. Данный комплекс включает в себя программы последовательного нахождения допредельных моментов и ковариационной матрицы, а также программы вычисления допредельного и асимптотического двумерного распределения вероятностей числа занятых приборов в системе.

   Методы исследования. Для исследования рассмотренных моделей систем параллельного обслуживания используется аппарат теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, теории дифференциальных уравнений.

   Для процессов, характеризующих состояния систем параллельного обслуживания пуассоновского входящего потока и экспоненциального времени обслуживания заявки на приборе, применяется At -метод составления уравнений Колмогорова, решение которых находится с помощью метода производящих функций. Для систем с непуассо- новскими входящими потоками применяется метод начальных моментов, и метод асимптотического анализа в условии эквивалентного роста времени обслуживания заявок в каждом блоке. Для исследования систем с произвольной функцией распределения времени обслуживания предложен модифицированный метод двумерного динамического просеивания. Обработка результатов имитационного моделирования проводится методами математической статистики.

   Теоретическая значимость работы заключается в построении математических моделей параллельного обслуживания сдвоенных заявок непуассоновских входящих потоков с экспоненциальным и произвольным временем обслуживания в блоках и разработке методов исследования. С помощью предложенных методов исследования, реализован переход от изучения одномерных процессов к двумерным, что позволяет расширить круг решаемых задач в теории массового обслуживания и в последующем позволит проводить исследования систем параллельного обслуживания с произвольным числом блоков.

   Практическая ценность. Результаты, полученные в работе, могут быть применены для анализа характеристик реальных объектов в различных предметных областях. В частности, для структурной и параметрической оптимизации реальных вычислительных и телекоммуникационных системах, для определения величины капитала и вероятности разорения страховых компаний при различных условиях страхования, для определения маркетинговой политики торговых компаний с целью оптимизации дохода.

   Достоверность и обоснованность всех полученных в диссертации результатов подтверждается строгим математическим аппаратом с использованием методов теории вероятностей, случайных процессов, теории массового обслуживания, дифференциального и интегрального исчисления. Совпадение результатов исследования частных случаев рассматриваемых систем с известными ранее, является косвенным подтверждением достоверности и обоснованности используемых в работе методов.

   Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. Постановка изложенных в диссертации задач была сделана научным руководителем аспиранта, к.т.н., доцентом С.П. Моисеевой. Доказательство и обоснование полученных в диссертации результатов, математические выкладки, численные расчеты выполнены лично автором. В совместных публикациях научному руководителю С.П. Моисеевой принадлежат постановки задач и указания основных направлений исследований, а основные результаты, выкладки и численные расчеты выполнены диссертантом.

   Апробация работы. Основные положения работы и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

   1. VIII Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро- Судженск, 2009 г.

   -62. XIV Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск, 2010 г.

   5. 5. 1. VIII Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур». Томск, 2010 г.

         2. IX Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро- Судженск, 2010 г.

         3. XV Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск, 2011 г.

         4. Российская научная конференция с участием зарубежных исследователей «Моделирование систем информатики». Новосибирск, 2011 г.

         5. X Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро- Судженск, 2011 г.

         6. XVI Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск, 2012 г.

         7. Международная конференция «Теория вероятностей и ее приложения», посвященная 100-летию со дня рождения Б.В. Гнеденко. Москва, 2012 г.

         8. XI Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро- Судженск, 2012 г.

         9. Международная научная конференция «Современные вероятностные методы анализа, проектирования и оптимизации информационно - телекоммуникационных сетей». Минск, 2013 г.

         10. XVII Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск, 2013 г.

         Исследования выполнены при поддержке:

         1. 2009-2011 гг. Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 - 2011 годы)» Федерального агентства по образованию, проект № 4761: «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи».

         2. 2012 г. Гранта РФФИ № «12-01-16038-моб_з_рос» на поездку в г. Москва для участия на Международной конференции «Теория вероятностей и её приложения», посвященной 100-летию со дня рождения Б.В. Гнеденко (Москва, 26-30 июня 2012 г.).

         3. 2012 и 2013 гг. Стипендии Президента Российской Федерации для аспирантов очной формы обучения, обучающихся по специальностям, соответствующим приоритетным направлениям модернизации и технологического развития российской экономики.

         Публикации. По результатам выполненных исследований автором опубликовано 20 печатных работ, в том числе 4 в изданиях, рекомендованных списком ВАК, 1 в международной базе цитирования IEEE, 7 в материалах зарубежных конференций.

         Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 140 наименований. Общий объем работы составляет 147 страниц, в том числе основной текст - 128 страниц.

         Похожие диссертации на Математические модели и методы исследования систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных потоков

         

         Исследование математических моделей потоков в системах с неограниченным числом линий методом предельной декомпозицииЗахорольная, Ирина Алексеевна

         МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНВЕКТИВНЫХ ПОТОКОВ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ В СИСТЕМАХ ОХЛАЖДЕНИЯ УСТРОЙСТВ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИЕрмолаев, Игорь Анатольевич

         

         Разработка методов исследования математических моделей немарковских систем обслуживания с неограниченным числом приборов и непуассоновскими входящими потокамиМоисеева Светлана Петровна

         

         Модели и метод исследования приоритетных систем массового обслуживания с вероятностным выталкивающим механизмомИльяшенко Александр Сергеевич

         МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМАХ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯБУБНОВ, ВЛАДИМИР ПЕТРОВИЧ

         Инволютивные методы исследования моделей, описываемых системами алгебраических и дифференциальных уравненийБлинков Юрий Анатольевич

         

         Качественные и численные методы исследования математических моделей динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с почти периодическими коэффициентамиПронькин Валентин Семенович

         

         Разработка моделей и методов исследования распределенной системы управления телекоммуникационными услугамиЯковлев Сергей Владимирович

         Аналитически-численный метод исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрамиШумаков, Александр Александрович

         

         Спектральные методы исследования математических моделей электромеханических систем, включающих звенья с распределенными параметрамиПирожков Станислав Леонидович