Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Исследование потоков в СМО с неограниченным числом линий с повторными обращениями 29
1.1. Метод предельной декомпозиции систем массового обслуживания с неограниченным числом линий 30
1.2. Исследование потоков обращений в системе MGIoo с повторным обслуживанием заявок 1.2.1. Математическая модель потоков клиентов коммерческой организации 33
1.2.2. Исследование суммарного потока обращений в системе 35
1.2.3. Исследование двумерного потока обращений в системе 44
1.2.4. Основные характеристики дохода коммерческой организации в условиях проведения акции «Подарок за покупку» 54
1.3. Исследование потоков заявок в двухфазной СМО с неограниченным числом линий и реализацией повторных обращений к фазам 57
1.3.1. Математическая модель потоков различных категорий покупателей коммерческой организации 58
1.3.2. Исследование суммарного потока заявок в системе 60
1.3.3. Совместная производящая функция числа обращений к фазам 74
1.3.4. Основные характеристики дохода торговой компании при предоставлении скидок по категориям покупателей 91
Резюме по главе 1 93
Глава 2. Исследование СМО с неограниченным числом фаз и линий
2.1. Исследование потоков обращений в системе MGIoo с повторным обслуживанием с учетом номера попытки 95
2.1.1. Математическая модель потоков клиентов коммерческой организации с учетом числа обращений 96
2.1.2. Производящая функция суммарного числа обращений в системе 97
2.1.3. Совместная производящая функция числа обращений в системе с учетом номера попытки 105
2.1.4. Исследование процесса изменения прибыли таксопарка в условии проведения акции «Каждая 1-ая поездка бесплатно» ИЗ
2.2. Исследование математической модели финансовых потоков процедуры пожизненной ренты 115
2.2.1. Математическая модель финансовых потоков процедуры пожизненной ренты 116
2.2.2. Совместная производящая функция потоков заявок в системе с неограниченным числом фаз и линий 118
2.2.3. Определение функции дожития 125
2.2.4. Процесс изменения прибыли 126
Резюме по главе 2 131
Глава 3. Исследование систем параллельного обслуживания парных заявок с повторными обращениями 133
3.1. Математическая модель распределенной вычислительной системы 133
3.2. Исследование системы М2М2оо с повторными обращениями
3.2.1. Совместное распределение числа занятых линий в системе 135
3.2.2. Совместное распределение числа повторных обращений к блокам. Метод предельной декомпозиции 141
Резюме по главе 3 147
Глава 4. Имитационная модель СМО с неограниченным числом линий, повторным обслуживанием и непуассоновским входящим потоком 149
4.1. Алгоритм имитационного моделирования MAP и SM потоков 149
4.2. Алгоритм имитационного моделирования СМО с неограниченным числом линий и повторным обслуживанием 152
Резюме по главе 4 157
Заключение 159
Список литературы
- Математическая модель потоков клиентов коммерческой организации
- Математическая модель потоков клиентов коммерческой организации с учетом числа обращений
- Исследование математической модели финансовых потоков процедуры пожизненной ренты
- Алгоритм имитационного моделирования СМО с неограниченным числом линий и повторным обслуживанием
Введение к работе
Актуальность работы. В последние годы появляется все больше работ, посвященных исследованию систем массового обслуживания (СМО) с большим и неограниченным числом линий. Начало исследований таких СМО положили Кокс, Б. А. Севастьянов, Такач, Кифер и Вольфовиц, рассматривавшие СМО со многими приборами и простейшим входящим потоком или показательным законом распределения времени обслуживания. Исследованию многофазных и многолинейных СМО с ошибками в обслуживании и отказами приборов посвящены работы А.Н. Дудина, А.В. Пе- чинкина, В.В. Чаплыгина. Многоканальные СМО с очередью и неординарным входящим потоком рассматриваются в работах А.А. Боровкова. В работах В. А. Ивницкого проводится исследование многолинейной СМО с конечным числом источников требований. СМО с отрицательными заявками рассматриваются в работах П.П. Бочарова, В.И. Клименок. В работах В.И. Клименок также рассматриваются СМО с групповым входящим потоком и повторными вызовами на одной из фаз обслуживания. Исследований СМО с неограниченным числом линий проводилось гораздо меньше, им посвящены работы Г.П. Башарина, А.А. Назарова, Д. Баума, Л. Броера. Эти СМО не учитывали возможности повторного обслуживания заявок и потоки, формируемые в связи с этим, не исследовались.
Исследование СМО с неограниченным числом линий в работах этих авторов сводилось к исследованию стационарных характеристик системы, а именно числа заявок в системе, количества занятых линий и т.д. Для их изучения широко применяют методы асимптотического анализа, имитационного моделирования и численного анализа. Эти методы не позволяют получать точные аналитические выражения для вероятностных характеристик системы.
Целью работы является построение и исследование математических моделей случайных потоков, возникающих в различных предметных областях, объекты которых рассматриваются в виде СМО с неограниченным числом линий обслуживания.
В рамках указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:
-
Разработать метод исследования потоков в СМО с неограниченным числом линий.
-
Построить математическую модель потоков клиентов коммерческой организации в виде потоков в одно- и двухфазной СМО с неограниченным числом линий и повторными обращениями к фазам, количественными характеристиками которых являются доход компании и число клиентов компании различной категории (новые, постоянные, VIP - клиенты).
-
Исследовать вероятностные характеристики потоков в указанных СМО, когда входящий поток клиентов является простейшим, а время обслуживания произвольное.
-
Построить и исследовать экономико-математическую модель влияния параметров проводимых маркетинговых акций (размер предоставляемых скидок, бонусов постоянным покупателям) на доход компании.
-
Построить математическую модель финансовых потоков процедуры пожизненной ренты в виде потоков в системе с неограниченным числом фаз и линий и исследовать вероятностные характеристики этой модели.
-
Построить математическую модель параллельной вычислительной системы (ПВС) в виде системы параллельного обслуживания парных заявок с повторными обращениями.
-
Исследовать характеристики указанной системы при входящем потоке парных заявок и экспоненциальном времени обслуживания в блоках.
-
Построить имитационную модель потоков в СМО с неограниченным числом приборов и повторным обслуживанием, позволяющую получать характеристики этих потоков, в случае, когда входящий поток заявок не является пуассоновским и метод предельной декомпозиции не применим.
Научная новизна результатов проведенных исследований:
-
-
Разработан метод предельной декомпозиции, позволяющий получать точные вероятностно-временные характеристики потоков в СМО с неограниченным числом фаз и линий, повторным обслуживанием и произвольной функцией распределения времени обслуживания на приборе. Применяемые ранее для решения подобных задач методы производящих и характеристических функций допускали исследование подобных систем лишь для экспоненциального времени обслуживания на приборе, что существенно ограничивало область применения полученных результатов.
-
Впервые предложены математические модели потоков клиентов коммерческой организации в виде потоков СМО с неограниченным числом линий, одной, двумя или неограниченным числом фаз и повторными обращениями, с произвольной функцией распределения времени обслуживания на фазах. Существовавшие ранее модели были разработаны лишь для экспоненциального времени потребления товара. С помощью разработанного метода предельной декомпозиции получены вероятностно- временные характеристики исследуемых потоков в системе. Построенные модели позволяют определять доход коммерческой организации и параметры проведения маркетинговых акций с целью расширения рынка сбыта.
-
Впервые построена математическая модель процедуры пожизненной ренты в виде СМО с неограниченным числом фаз и линий. С помощью разработанного метода предельной декомпозиции получены вероятностно- временные характеристики финансовых потоков в этой системе и процесса изменения прибыли плательщика ренты, получена функция изменения прибыли компании в зависимости от величины рентных выплат и затрат на привлечение клиентов.
-
Построена математическая модель ПВС в виде системы параллельного обслуживания парных заявок с повторными обращениями к блокам. С помощью разработанного метода предельной декомпозиции получены вероятностно-временные характеристики исследуемых потоков в системе. Построенная модель позволяет определять не количество задач в системе, как в других существующих моделях в виде СМО, а количество требований на повторное выполнение решения подзадач, что позволяет оценить эффективность этого решения.
-
Разработан комплекс проблемно-ориентированных алгоритмов и программ имитационного моделирования СМО с неограниченным числом линий и повторным обслуживанием, а также МАР- и БМ-потоков, поступающих на ее вход.
Положения, выносимые на защиту:
-
-
-
Метод предельной декомпозиции для исследования потоков в СМО с неограниченным числом фаз и линий, повторным обслуживанием и произвольной функцией распределения времени обслуживания на приборе.
-
Математические модели потоков клиентов коммерческой организации в виде потоков в СМО с неограниченным числом линий, одной, двумя или неограниченным числом фаз и повторными обращениями, с произвольной функцией распределения времени обслуживания на фазах. Вероятностно-временные характеристики потоков в СМО с неограниченным числом линий, одной, двумя или неограниченным числом фаз и повторными обращениями, с произвольной функцией распределения времени обслуживания на фазах.
-
Математическая модель процедуры пожизненной ренты в виде СМО с неограниченным числом фаз и линий и вероятностно-временные характеристики финансовых потоков.
-
Математическая модель ПВС в виде системы параллельного обслуживания парных заявок с повторными обращениями к блокам и вероятностно-временные характеристики потоков в системе.
-
Комплекс проблемно-ориентированных алгоритмов и программ имитационного моделирования СМО с неограниченным числом линий и повторным обслуживанием, а также МАР- и БМ-потоков, поступающих на ее вход.
Методы исследования. Для исследования СМО с неограниченным линий, пуассоновским входящим потоком и произвольным временем обслуживания был разработан метод предельной декомпозиции.
Исследование всех построенных математических моделей проводилось также методами анализа марковизируемых систем, методами теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, теории интегральных и дифференциальных уравнений в частных производных.
Все численные расчеты проводились с использованием стандартных, опробованных и протестированных методов и процедур.
В случае, когда входящий поток в исследуемых СМО отличен от пу- ассоновского, метод предельной декомпозиции становится не применим. Для анализа потоков в таких СМО в работе предложен алгоритм имитационного моделирования СМО с неограниченным числом линий, повторным обслуживанием и непуассоновским входящим потоком и реализован с использованием пакета Mathcad 13.0.
Теоретическая значимость работы заключается в развитии теории массового обслуживания, состоящем в разработке метода исследования потоков в СМО с неограниченным числом линий, применимого для анализа широкого класса математических моделей.
Практическая ценность: Построенные в работе математические модели потоков клиентов коммерческой организации могут быть использованы при расчете параметров маркетинговых акций и ожидаемого дохода компании на этапе формирования ценовой политики при расширении ранка сбыта. Математическая модель финансовых потоков процедуры пожизненной ренты может быть рекомендована для расчета размера рентного платежа, позволяющего одновременно поднять содержание клиента на более высокий уровень и сделать процедуру пожизненной ренты экономически выгодным предприятием.
Достоверность и обоснованность всех полученных в диссертации результатов подтверждается строгим математическим исследованием с использованием методов теории вероятностей, случайных процессов, теории массового обслуживания, дифференциального и интегрального исчисления.
Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. Постановка изложенных в диссертации задач была сделана научным руководителем аспиранта, д.т.н., проф. А.А.Назаровым. Доказательство и обоснование полученных в диссертации результатов, математические выкладки, численные расчеты выполнены лично автором. В совместных публикациях научному руководителю А.А. Назарову принадлежат постановки задач и указания основных направлений исследований, а основные результаты, выкладки и численные расчеты выполнены диссертантом.
Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:
-
-
-
-
VII-X Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск. АСФКемГУ. 2008-2011 гг.
-
VIII-X Международная конференция «Финансовая математика и смежные вопросы». Красноярск, КГТЭИ. 2009-2011 гг.
-
XIII-XV Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск. АСФКемГУ. 2009-2011 г.
-
VIII Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур». Томск, ТГУ. 5-8 октября 2010 г.
-
XLIX Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск. НГУ. 16-20 апреля 2011 г.
-
Российская научная конференция с участием зарубежных исследователей «Моделирование систем информатики». Новосибирск, СГУТиИ. 8-11 ноября 2011 г.
-
Международная научная конференция «Современные математические методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей». Минск. 2010, 2011 гг.
Публикации. По результатам проведенных исследований автором опубликовано 19 печатных работ, в том числе 5 статей, из которых 3 в изданиях, рекомендованных списком ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 116 наименований. Общий объем работы составляет 170 страниц, в том числе основной текст - 159 страниц.
Математическая модель потоков клиентов коммерческой организации
Рассмотрим систему массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов, простейшим входящим потоком заявок, произвольным временем обслуживания на приборах и реализацией повторного обслуживания заявок с заданной вероятностью.
Указанную СМО можно рассматривать как математическую модель потоков клиентов некоторой коммерческой организации.
В общем случае, всех клиентов некоторой торговой компании можно разделить на два типа: - покупателей, впервые обращающихся в данную компанию с целью приобретения некоторых товаров или услуг; - покупателей, обращающихся в данную организацию повторно и формирующих поток постоянных клиентов компании. Так как клиенты в общем случае обращаются в компанию независимо друг от друга и их количество достаточно велико, то будем считать, что поток клиентов, впервые совершивших покупку в торговой компании, является простейшим с параметром X.
Совершив покупку, клиент некоторое время в подобном товаре или услуге не нуждается и обдумывает, обращаться ли ему в следующий раз повторно в эту компанию или выбрать другую. Будем считать, что продолжительности интервалов времени между моментами совершения покупок клиентов являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с произвольной функцией распределения В(х). По истечении этого времени, клиент вновь решает совершить покупку и с вероятностью г повторно обращается в данную торговую компанию, а с вероятностью 1 - г выбирает другую компанию.
Вероятность возвращения клиента в компанию зависит от ряда факторов, многие из которых являются относительно постоянными, например, расположение торгового зала, эксклюзивность товара, уровень сервиса, наличие конкурентов и т.д. [116]. Эти факторы не мешают рассчитать для конкретной торговой компании вероятность возвращения ее клиентов. Однако вероятность возвращения можно существенно увеличить путем предоставления скидок, подарков или иных мероприятий по стимулированию сбыта [52]. В этом случае и вероятность возвращения, и количество продаж за определенный промежуток времени, и доход компании будут зависеть от величины предоставляемой скидки, величины подарка или иных параметров проводимых маркетинговых акций.
Таким образом, в качестве математической модели процесса изменения числа клиентов торговой компании, рассмотрим систему массового обслуживания MGIoo с повторным обслуживанием заявок (рис. 1.1 на стр. 31).
Количество клиентов, обратившихся в компанию за время t, можно рассматривать как двумерный случайный процесс {v(/), n(f)}, где v(f) - число клиентов, впервые обратившихся в компанию за время t, n{t) - число повторных обращений клиентов компании.
Количество всех совершенных за время t покупок в компании будем рассматривать как случайный процесс m{t)=v(f)+n{i), равный сумме обращений всех покупателей за указанный период времени.
Распределение вероятностей этих случайных процессов необходимо, например, для определения оптимальной величины скидки постоянным покупателям, приносящей максимум прибыли компании или привлекающей максимальное количество клиентов, или для определения средней стоимости подарка покупателю при совершении им покупки в данной компании. 1.2.2. Исследование суммарного потока обращений в системе
Рассмотрим систему массового обслуживания (СМО) с неограниченным числом обслуживающих приборов, на вход которой поступает простейший с параметром X поток заявок. Время обслуживания на каждом приборе имеет произвольную функцию распределения В(х) одинаковую для всех приборов. Заявка, завершившая обслуживание, с вероятностью 1 - г покидает систему, а с вероятностью г обращается к системе для повторного обслуживания, формируя тем самым поток повторных обращений (рис. 1.1 на стр. 31). Введем обозначения: v(t) - число обращений, наступивших во входящем потоке за время t, n(t) - число повторных обращений в системе, реализованных за время t, m(t)=v(t)+n(t) - число суммарных обращений в системе. Ставится задача исследования суммарного потока обращений в рассматриваемой системе и нахождения производящей функции случайного процесса m(t).
Математическая модель потоков клиентов коммерческой организации с учетом числа обращений
В том случае, когда торговая компания практикует разделение постоянных клиентов на две категории: обычных и так называемых VIP-клиентов, путем выдачи «золотой карты» при совершении покупок на сумму, превышающую некоторую пороговую величину, возникает необходимость рассматривать модификацию математической модели процесса изменения числа клиентов компании, изложенной в разделе 1.2.1.
Пусть поток клиентов, впервые совершивших покупку в торговой компании, по прежнему моделируется простейшим потоком с параметром X. Совершив покупку, клиент некоторое время в подобном товаре или услуге не нуждается и реализует интервал времени до следующего обращения. Будем считать, что продолжительности этих интервалов времени являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с произвольной функцией распределения В х). По истечении этого времени, клиент вновь решает совершить покупку и с вероятностью гх повторно обращается в данную торговую компанию, а с вероятностью 1 - гх выбирает другую компанию и уходит из рассмотрения.
На момент возвращения клиента в компанию, с вероятностью \-q уже совершенные клиентом покупки в сумме не превышают некоторую заданную величину. В этом случае клиент является клиентом первой категории и вероятность возвращения в компанию у него остается та же, гх. Если же сумма покупок клиента в данной компании превышает эту заданную пороговую величину, а произойдет это с вероятностью q, то такой клиент становится клиентом второй категории, и вероятность возвращения в компанию и время обдумывания для него меняются на г2 и В2(х) соответственно. Интервалы времени обдумывания для клиентов каждой категории стохастически независимы и одинаково распределены.
Таким образом, модель изменения числа клиентов некоторой торговой компании можно представить в виде двухфазной системы массового обслуживания с неограниченным числом линий, произвольным временем обслуживания на фазах, с повторными обращениями (рис. 1.5).
Количество клиентов, обратившихся в компанию за время t, можно рассматривать как трехмерный случайный процесс {v(f), щ(і), n2(t)}, где v(t) -число клиентов, впервые обратившихся в компанию за время t ,щ(і) - число повторных обращений, совершенных за время t всеми клиентами первой категории, n2{i) - число повторных обращений, совершенных за время t всеми клиентами второй категории.
Количество всех совершенных за время t покупок в компании будем рассматривать как случайный процесс n{t) = v(t) + n\{f) + n2{t), равный сумме обращений всех покупателей за указанный период времени.
Распределение вероятностей этих случайных процессов необходимо, например, для определения оптимальных величин скидок постоянным покупа телям обеих категорий, приносящих максимум прибыли компании или привлекающей максимальное количество клиентов, или для определения средней стоимости подарка любому покупателю при совершении им покупки в данной компании.
Рассматривается двухфазная система массового обслуживания с неограниченным числом линий, на вход которой поступает простейший с параметром А, поток заявок. Поступившая заявка занимает одну из свободных линий, начиняя обслуживание с первой фазы. Линия считается занятой, если занята любая из её фаз. Завершив обслуживание на первой фазе, с вероятностью 1 - г\ заявка покидает систему, а с вероятностью г\ обслуживается повторно: с вероятностью 1 - q на той же первой фазе, а с вероятностью q на второй. Завершив обслуживание на второй фазе, заявка с вероятностью 1 - г2 покидает систему, а с противоположной вероятностью г2 обслуживается на этой фазе вновь. Продолжительности фаз обслуживания стохастически независимы и определяются функциями распределения В\{х) и В2(х) для первой и второй фазы соответственно. Процессы обслуживания для различных линий одинаковы и стохастически независимы. Таким образом, формируются потоки повторных заявок, описываемые случайными процессами щ{і), n2(t), где rif i) - число повторных обращений к &-ой фазе, реализованных за время наблюдения t (рис. 1.5).
Ставится задача исследования суммарного случайного процесса n(t)=v{t)+n\{i)+n2(f) в рассматриваемой системе, где v(t) - число первичных обращений к системе, и нахождения его производящей функции.
Производящая функция G(x,t) суммарного числа обращений n(t) в двухфазной системе с неограниченным числом линий и повторными обращениями к фазам имеет вид: G(x, t) = ехр (х - 1Н Xt + rx J /j (x, s)ds +r2 J f2 {x, s)ds I l о 0 где функции fk{x,t) определяются обратными преобразованиями Фуръе-Стилтьеса от функций вида a,x) = )e dJl(xj) = r r Ax-\Y (а) , l-rfi-q) l-xrfi-q)Bt (а) ф2 (а, х) = jejatdtf2 (х, t) = X qyx -1) (\-r2\\-rfi-q)) + хг ц х(а,х) B2\a) J-xr2B2 (а) где Bk (a) = \ejatdBk{t) - преобразование Фуръе-Стилтьеса от функциирас о пределения Bk(t), k=l,2. Доказательство.
Исследование суммарного потока обращений и нахождение его производящей функции будем осуществлять с помощью изложенного в разделе 1.1 метода предельной декомпозиции. Реализуя суть этого метода, перейдем к рассмотрению однолинейной двухфазной системы обслуживания с потерями (рис. 1.6). \ЛуГ ш Ж ) В2(х) - {1 Ч)П - Г2 Л/WV) - - Рис. 1.6. Однолинейная двухфазная СМО с повторными обращениями к фазам. В указанной однолинейной системе будем рассматривать соответствующий случайный процесс n{t,N) = v(t,N)+nx(t,N)+n2(t,N) - суммарное число обращений, реализованных за время t. Здесь v(t,N), nx(t,N), n2{t,N) -процессы изменения числа первичных обращений и повторных обращений к первой и второй фазе соответственно в однолинейной СМО. Поскольку рассматриваемый процесс n(t,N) не является марковским, введем в рассмотрение дополнительные переменные: процесс k(t) - состояние линии обслуживания, то есть k(t) = к когда занята &-ая фаза, к = 1,2 и k(t) = 0 когда линия свободна; z(t) - длина интервала от момента времени t до момента окончания текущего обслуживания, если линия занята. Полученный трехмерный процесс {k(t),n(t,N),z(f)} является марковским. Его распределение вероятностей обозначим следующим образом: P0(n,t,N) = P{k(t) = 0,n(t,N) = n} - вероятность того, что в момент времени t линия свободна и за это время к системе обратилось п заявок; Pk(n,z,t,N) = P{k(t) = k,n(t,N) = n,z(t) z} - вероятность того, что в момент времени t в системе: суммарное число обращений равно п, занята к-ая фаза, и до конца обслуживания остается времени меньше z. Для распределения вероятностей трехмерного марковского процесса {Щ), n{t,N), z(t)} составим прямую систему дифференциальных уравнений Колмогорова.
Исследование математической модели финансовых потоков процедуры пожизненной ренты
В настоящей главе проводится исследование потоков обращений в системах массового обслуживания с неограниченным числом фаз и линий.
СМО MGIoo с повторным обслуживанием с учетом номера попытки рассматривается в разделе 2.1. Проводится исследование суммарного потока обращений в системе (разд. 2.1.2) и многомерного потока первичных обращений и повторных обращений заявок, ранее осуществивших обслуживание в данной системе заданное число раз (разд. 2.1.3).
Потоки заявок в такой СМО можно использовать, например, в качестве математической модели потоков клиентов таксопарка.
В разделе 2.2 системой массового обслуживания с неограниченным числом фаз и линий моделируется формирование финансовых потоков процедуры пожизненной ренты. С точки зрения фирмы, осуществляющей коммерческую деятельность путем заключения договоров пожизненной ренты с населением, основные потоки финансовых средств соответствуют трем случайным потокам однородных событий, моменты наступления которых являются соответственно: моментами заключения новых договоров пожизненной ренты; моментами выплат рентных платежей при истечении некоторого интервала времени, определяемого договором для регулярной выплаты ренты; моментами получения прибыли от реализации недвижимости клиента, в связи с окончанием договорных обязательств.
Рассматривается система массового обслуживания с неограниченным количеством обслуживающих приборов, на вход которой поступает простейший с параметром к поток. В системе реализуется многократное обслуживание заявок. Заявка, выполняющая к-о& по счету обслуживание, называется к - заявкой. Первичные заявки, то есть заявки входящего простейшего потока, являются 1- заявкой. Завершив обслуживание, -заявка с вероятностью \-rk покидает систему, а с вероятностью гк возвращается на прибор для повторного обслуживания, становясь (к +1)-заявкой. Время обслуживания -заявки имеет произвольную функцию распределения Вк(х) (рис. 2.1).
В некоторых случаях в торговых компаниях фиксируется история обращений отдельного покупателя. Чаще всего это осуществляется путем выдачи именных карт. Рассмотрим потоки клиентов в такой организации.
Имеется поток новых клиентов, впервые решивших воспользоваться услугами данной компании. Эти клиенты обращаются в компанию независимо друг от друга и их количество достаточно велико, так что будем полагать, что этот поток является простейшим с параметром X. Совершив покупку, клиент некоторое время в подобном товаре или услуге не нуждается и реализует интервал времени между моментами совершения покупок. По истечении этого времени клиент вновь желает совершить покупку. При (+1)-ой попытке он с вероятностью rk повторно обратится в данную компанию, а с вероятностью 1— rk предпочтет пользоваться услугами другой торговой компании. При этом к - это количество покупок, уже совершенных данным клиентом в этой компании. То есть, как логично предположить, вероятность обратиться вновь в эту компанию зависит от того, сколько раз клиент уже обслуживался этой организацией. Будем полагать, что время обслуживания независимо и одинаково распределено для всех клиентов и имеет функцию распределения Bk(x), так же зависящую от числа предыдущих обращений в компанию.
Таким образом, в качестве математической модели потоков клиентов такой коммерческой организации рассмотрим систему массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов и повторными обращениями с учетом номера попытки (рис.2.1).
Количество клиентов, обратившихся в компанию за время t, в этом случае можно рассматривать как случайный вектор {щ{і), n2(t),...} с неограниченным в общем случае числом компонент, где ndj) - число клиентов компании, совершивших свою к-ую покупку, то есть клиентов к-ои категории, обратившихся за время наблюдения t. Количество всех совершенных за время t покупок в компании будем рассматривать как случайный процесс m(t)= nk(t), равный сумме обращены ний покупателей всех категорий за указанный период времени. Распределение вероятностей этих случайных процессов необходимо, например, для определения оптимальных величин скидок постоянным покупателям определенных категорий, приносящих максимум прибыли компании или привлекающей максимальное количество клиентов, или для определения средней стоимости подарка любому покупателю при совершении им покупки в данной компании. Кроме того это позволяет решать задачу определения оптимального в том же смысле номера бесплатной поездки в случае, когда речь идет о компании-таксопарке.
Алгоритм имитационного моделирования СМО с неограниченным числом линий и повторным обслуживанием
Построим доверительные интервалы для точечных оценок распределения вероятностей числа повторных обращений в системе. Для этого воспользуемся правилом трех сигм, так как оценки вероятностей Pt были получены посредством суммирования большого числа взаимно независимых случайных величин Nt, соответствующих числу интервалов длины t=\, на которых поступило ровно / заявок, и количество таких интервалов достаточно велико. Обозначим М,- - оценки вероятностей Р[. Полученные доверительные интервалы изображены на графике (рис. 4.3).
В настоящей главе был предложен комплекс алгоритмов и программ имитационного моделирования: МАР-потока заявок для использования в качестве модели потока, поступающего на вход СМО; SM-потока заявок для использования в качестве модели потока, поступающего на вход СМО; СМО с неограниченным числом приборов и повторным обслуживанием для нахождения распределения вероятностей числа повторных обращений в системе за заданное время t; Проведено сравнение теоретической и эмпирической функций распределения числа повторных обращений в системе, в том случае, когда это возможно, то есть когда входящий поток заявок является простейшим.
Построены доверительные интервалы для оценок распределения вероятностей числа повторных обращений, полученных с помощью имитационной модели системы с неограниченным числом линий, повторным обслуживанием и входящим МАР-потоком, исследование которой не удается провести аналитически.
В работе построены математические модели потоков клиентов коммерческой организации в виде потоков в одно- и двухфазной системах массового обслуживания с неограниченным числом линий и повторными обращениями к фазам. Проведено исследование таких количественных характеристик, как доход и число клиентов компании различной категории (новые, постоянные, VIP - клиенты), что позволило построить и исследовать экономико-математическую модель влияния параметров проводимых маркетинговых акций (размер предоставляемых скидок, бонусов постоянным покупателям) на доход компании.
Построена математическая модель финансовых потоков процедуры пожизненной ренты в виде потоков в системе с неограниченным числом фаз и линий и проведено исследование вероятностных характеристик этой модели.
Построена математическая модель распределенной вычислительной системы в виде системы параллельного обслуживания парных заявок с повторными обращениями и проведено исследование ее вероятностных характеристик при входящем потоке парных заявок и экспоненциальном с параметрами Ці и х2 времени обслуживания в блоках.
В работе предложен метод предельной декомпозиции как аналитический метод исследования потоков в системах массового обслуживания с неограниченным числом линий, простейшим входящим потоком и произвольным временем обслуживания. С помощью этого метода проведено исследование и найдены характеристики потоков заявок в следующих системах массового обслуживания:
В ходе проведенного исследования показано, что предложенный метод предельной декомпозиции действительно позволяет аналитически исследовать потоки в достаточно сложных системах массового обслуживания с неограниченным числом фаз и линий, с процедурами повторного обслуживания в линиях в условиях произвольного времени обслуживания с функцией распределения общего вида В(х).
Кроме того, будучи применен к исследованию потоков в подобных системах с экспоненциальным временем обслуживания, этот метод позволяет существенно упростить аналитические выкладки по сравнению, например, с методами непосредственного решения уравнений для производящих и характеристических функций для потоков в системах с неограниченным числом линий.
Недостатком метода является его неприменимость, в случае если входящий поток заявок отличен от пуассоновского. Однако СМО с повторным обслуживанием и неограниченным числом линий является хорошей математической моделью реальных процессов из различных предметных областей, в том числе и из таких, где входящий поток не может быть аппроксимирован пуассоновским.
В связи с этим, в настоящей работе предложен комплекс проблемно-ориентированных алгоритмов и программ, моделирующих такие СМО для непуассоновского входящего потока. В частности предложены модели МАР-и SM-потоков.
Результат сравнения полученных в ходе исследования теоретической и эмпирической функций распределений вероятностей числа повторных обращений в системе с неограниченным числом линий и повторным обслуживанием говорит о достаточно хорошей аппроксимации, что позволяет применять построенную имитационную модель для нахождения характеристик системы когда ее аналитическое исследование провести не удается, то есть при непуассоновском входящем потоке.
Похожие диссертации на Исследование математических моделей потоков в системах с неограниченным числом линий методом предельной декомпозиции
-
-
-
-
-
-
