Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор макроскопических моделей гидродинамического типа 9
1.1 Модель Лайтхилла - Уизема - Ричардса (LWR) 9
1.2 Модель Танака 20
1.3 Модель Уизема 21
1.4 Модель Пэйнаи её обобщения 31
1.5 Модель Эйва- Раскла 38
1.6 Модель Чзана 39
1.7 Модели Сиебель-Маузера 41
1.8 Практические приложения моделей 43
2. Сетевая модель интенсивного дорожного движения в мегаполисе ; 47
2.1. Система уравнений автомобильного движения на ребре графа транспортной сети .48
2.2. Система уравнений автомобильного движения в узлах графа транспортной сети .68
3. Программный комплекс 74
3.1. Базовые интерфейсы namespace traffic sdk 74
3.2. Работа с топологией 75
3.3. Интерфейсы хранения данных namespacedata 77
3.4. Модели трафика 80 "
4. Численная реализация модели и результаты расчетов .. 83
4.1. Численная реализация модели 83
4.2. Результаты расчетов 86 ,
Заключение 101
В результате данной работы проведено обобщение макроскопических гидродинамических моделей, описывающих автомобильное движение, с помощью алгоритма построения адекватного действительности уравнения состояния, определяемого по экспериментальным измерениям (возможно, с использованием параметрических решений модельных уравнений) 101
Список литературы
- Модель Уизема
- Практические приложения моделей
- Базовые интерфейсы namespace traffic sdk
- Результаты расчетов
Введение к работе
Актуальность работы
В 50-ые годы прошлого века наблюдалось бурное развитие газовой динамики. Были найдены обобщенные решения законов сохранения, предложены устойчивые разностные схемы расчета решений. Тогда же появились первые макроскопические (гидродинамические) модели, в которых транспортный поток уподобляется потоку “мотивированной” сжимаемой жидкости (М. Лайтхилл и Дж. Уизем, П. Ричардс), и первые микроскопические модели (следования за лидером), в которых явно выписывается уравнение движения каждого автомобиля (А. Рёшель, Л. Пайпс и др.). В модели Лайтхилла – Уизема (- Ричардса) (1955), транспортный поток уподобляется потоку сжимаемой жидкости и описывается законом сохранения количества (погонной плотности) автомобилей. При этом в модели постулируется существование функциональной зависимости в виде уравнения состояния между величиной потока автомобилей (скорость x плотность) и плотностью. Эту зависимость часто называют фундаментальной диаграммой.
В последующие годы класс микро- и макромоделей был значительно расширен. В современном макроскопическом подходе (А. Эйв и М. Раскл, 2000) транспортный поток часто описывается нелинейной системой гиперболических уравнений (для плотности и скорости потока) с диффузией (Х. Пэйн, Р. Кюне, Б. Кернер и П. Конхойзер). При этом уравнение состояния входит во второе уравнение этой системы как стремление водителей двигаться с желаемой скоростью.
Несмотря на то, что с момента появления первых фундаментальных работ прошло более полувека, по мнению ряда известных специалистов в области математического моделирования дорожного движения (К. Нагель, Х. Махмасани, М. Шрекенберг и др.), проблема образования предзаторных и заторных ситуаций еще до конца не изучена (и сродни проблеме описания турбулентных течений). Используя терминологию, предложенную Б.С. Кернером, можно сказать, что на данный момент нет общепринятого подхода, описывающего поведение движения автотранспорта в области синхронизированного потока. Иначе говоря, если автомобильный поток уподобляется потоку жидкости, то наиболее сложная для моделирования ситуация – это “замерзающая жидкость”. Подтверждением вышесказанному может служить тот факт, что разные коллективы, занимающиеся моделированием транспортных потоков, как правило, используют разные модели: начиная от модели Лайтхилла – Уизема (А.Б. Куржанский и др.), заканчивая моделями, в которых каждый водитель описывается своим вариационным принципом (И.А. Лубашевский и др.). Важным атрибутом многих современных зарубежных работ, в которых предлагаются математические модели транспортного потока, является проверка предложенных моделей на возможность описания ими трех фаз Кернера транспортного потока, наблюдаемых в многочисленных эмпирических (измеренных) данных.
Из-за сильной неустойчивости решений уравнений (при достаточно больших плотностях), описывающих транспортные потоки, задача получения достоверного прогноза загрузки транспортной сети по имеющимся данным на час вперед сродни задаче получения достоверного прогноза погоды на неделю вперед. При этом вычислительные мощности современных высокопроизводительных кластеров (триллион и выше операций типа умножения чисел с плавающей точкой в секунду) позволяют просчитывать реальную ситуацию по Москве (в которой, напомним, порядка трех миллионов автомобилей) со значительным опережением реального времени. Другими словами, основной проблемой при моделировании транспортных потоков является не ограничение на вычислительные мощности (ресурсы памяти), а большая чувствительность описываемой реальной транспортной системы к входным данным (характеристикам источников и стоков автомобилей) и невозможность собрать достаточно полную информацию о входных данных.
Цель и задачи работы
Целью данной работы является обобщение макроскопических гидродинамических моделей, описывающих автомобильное движение, с помощью алгоритма построения адекватного реальным наблюдаемым условиям уравнения состояния, определяемого по экспериментальным данным (возможно, с использованием параметрических решений модельных уравнений)
Помимо достижения этой цели необходимо решение следующих задач:
-
расчет динамики транспортной системы крупного мегаполиса на основании предложенных обобщённых моделей, использования высокоточных численных методов и реализации их в виде комплекса программ;
-
всестороннее тестирование программного комплекса и его апробация на прикладных задачах;
-
разработка удобного интерфейса для представления и визуализации результатов расчетов;
-
уточнение и развитие известных математических моделей транспортных потоков и соответствующих численных методов с целью повышения их эффективности. При этом корректировке подлежит не только техническая сторона моделирования, но и общий подход к нему, а состав и структура разрабатываемого программного обеспечения должны быть детально проанализированы с целью возможности его дальнейшего развития.
Научная новизна
Для гидродинамической модели, описывающей автомобильное движение, построен алгоритм получения адекватного реальным транспортным потокам уравнения состояния, определяемого по экспериментальным данным (иногда с использованием параметрических решений модельных уравнений).
Доказано, что именно вид уравнения состояния, замыкающего систему модельных уравнений и полученного из экспериментально наблюдаемого вида фундаментальной диаграммы, - зависимости интенсивности транспортного потока от его плотности - полностью определяет все свойства исследуемой феноменологической модели.
Построен универсальный алгоритм формирования систем уравнений граничных условий в точках ветвления графа транспортной сети (во внутренних узлах или на перекрестках) и замыкания краевых условий на всем графе транспортной сети. Полученные с учетом организации дорожного движения системы уравнений в узлах графа транспортной сети обеспечивают сквозную связь рассчитываемых переменных на всех его ребрах.
Научная и практическая ценность
На основе разработанной вычислительной модели реализованы в виде комплекса программ эффективные высокоточные численные алгоритмы решения задач моделирования динамики транспортных потоков для транспортных сетей мегаполисов.
Проверена работоспособность программного комплекса на реальных дорожных данных. В качестве примера транспортной сети использовалась одна из наиболее загруженных магистралей США - автострада I-80 в районе залива Сан-Франциско. Для этого выбирался день, когда по данным системы PeMS () количество неисправных датчиков было минимальным, а качество измерений, соответственно, наилучшим. Полученные результаты показали, что разработанная модель хорошо воспроизводит реальную ситуацию на дороге.
На основе разработанного комплекса программ впервые выполнены численные расчеты динамики транспортных потоков города Москвы внутри графа Садового кольца, при изменении организации движения транспорта по Садовому кольцу с двухстороннего на одностороннее - против часовой стрелки. Проведенные расчеты показали, что наблюдается эффект увеличения пропускной способности транспортной сети внутри графа Садового кольца на 30%.
Апробация работы
Результаты работы докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях:
50-ая и 51-я научные конференции МФТИ. Москва-Долгопрудный, 2007, 2008 г.г.
XV Конференция «Математика. Компьютер. Образование». Дубна, 2008 г.
V Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых. Санкт-Петербург, 2008 г.
EUROEM – 2008, European Electromagnetics, EPFL. Lausanne, Switzerland, 2008.
Traffic and Granular Flow '11. Москва, 2011.
Публикации
По теме диссертации автором опубликовано шесть работ, три из которых [4,5,6] – в изданиях из списка, рекомендованного ВАК РФ.
Личный вклад автора.
Все научные результаты, вынесенные на защиту, получены лично автором.
Постановка задачи, результаты расчетов и результаты обсуждались с Холодовым. Я.А.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников. Объем диссертации составляет 115 страниц, список использованных источников включает 90 наименований.
Модель Уизема
Фундаментальная диаграмма. Так на рис. 1,2 отображены экспериментальные данные "Центра Исследования Транспортной Инфраструктуры г. Москвы", собранные (в течение одного дня в 2005 г.) по четырем полосам на участке третьего транспортного кольца от Автозаводской улицы до Варшавского шоссе, и сагрегированные на одну полосу. Заметим, что в действительности измерялась зависимость
Объяснить небольшой провал интенсивности потока Q(p) при плотностях р 60-115 АТС/км можно, по-видимому, тем, что при этих плотностях существенное влияние на интенсивность потока оказывают перемещения АТС с одной полосы на другую. Перестраивания АТС из одной полосы в другую полосу при этих плотностях снижают интенсивность потока. С одной стороны за счет перемещения из полосы в полосу можно двигаться быстрее (так оно и происходит при плотностях р 30-50 АТС/км), но с другой сторо ны, в среднем такие перемещения при р 50-120 АТС/км приводят к дополнительным затратам на само перестраивание, и замедление тех АТС, перед которыми встраивается новое АТС [7]. Другое объяснение этого наблюдения имеется в [8] и связано с тем, что при /7-50-120 АТС/км само понятие "фундаментальная диаграмма" не совсем корректно. Иначе говоря, при этих плотностях нет четкой зависимости величины потока (скорости) от плотности. Одному значению плотности соответствует целый промежуток возможных значений потока (скорости).
Второе предположение выразим законом сохранения Отсюда следует, что для любого прямоугольного контура Г в полуплоскости t 0, хєКсо сторонами параллельными осям (легко показать, что это соотношение справедливо для произвольного кусочно-гладкого контура Г ), выполняется: где ртяк - максимально возможная плотность (ситуация "бампер к бамперу"). Требуется определить, как по транспортному потоку будет распространяться информация о заторе впереди. Решение этой задачи позволит ответить, например, на следующий вопрос: если движение АТС с утра на Дмитровском шоссе в сторону Москвы "встало" в районе г. Долгопрудный, то, через какое время затор дойдет до г. Дмитрова.
Вернемся к соотношению (1.3). Обратим внимание, что это соотношение может быть выполнено и для,разрывной функции плотности p(t, х). Причем разрыв функции Ру,х) - есть резкое увеличение плотности, что соответствует границе затора. Пусть в момент времени t разрыв находится в точке с координатой х, и p(t,x-0) = p_, p(t,x + 0) = p+. Предположим, что на плоскости (t ,x) этому разрыву соответствует кривая L. Возьмем в окрестности точки (t,x)eL прямоугольный контур (для определенности, зададим ориентацию по часовой стрелке) так, как показано на рис. 3. Будем считать, что ширина контура Г настолько мала по сравнению с длиной, что интегралом по участкам контура Г, поперечным к L, можно пренебречь (см. рис. 3). соответствует наклону касательной к L в точке (t, х), At длина проекции контура на ось t. При At - 0 это равенство переходит в следующее условие (частный случай, условия Стокса (1848)) для скорости движения разрыва с, которое называется (во всяком случае, должно называться, согласно П. Лаксу [9]) условием Римана - Ранкина - Гюгонио
Оказывается, что уравнение (1.4) всегда имеет слабое (удовлетворяющее соотношению (1.3), и начальному условию (1.5) в слабом смысле) решение (см. [10]), но, как показывает следующий пример, оно может иметь бесконечно много решений, т.е. нет единственности.
Это условие также называют энтропийным условием О.А. Олейник, Е - условием О.А. Олейник. Заметим также, что в классе кусочно-постоянных начальных условий (аппроксимирующих класс ограниченных измеримых начальных условий) добавление Е - условия, как условия отбора возможных разрывов, к соотношению (1.3) однозначно и конструктивно определяет динамику P\t,x) (нужно также оговориться, что кусочно-гладкая функция
Работа [15] представляет собой запись курса лекций, сыгравшего важную роль в популяризации теории квазилинейных уравнений и законов сохранения, которые И.М. Гельфанд читал на мехмате МГУ в 1957 -1958 гг. Q(p) - не имеет точек сгущения нулей второй производной).
Отметим, что классический метод характеристик для решения уравнений в частных производных первого порядка может использоваться лишь локально для уравнения (1.4)» т.к. по прошествии некоторого времени характеристики могут начать пересекаться и возникнет неоднозначность: одной точке (t, х) будут соответствовать несколько, вообще говоря, разных значений р ("принесенных" по характеристикам). Собственно, там, где характеристики начинают пересекаться, и возникает разрыв у решения уравнения (1.5) [17]. Метод характеристик вкупе с условиями на разрыве был одним из первых методов исследования задачи Коши (1.4), (1.5).
Заметим также, что процесс, описываемый разрывным решением (1.4), необратим во времени (см., например, [16], [17]). Причем условие разрывности процесса существенно для необратимости. Так в примере О.А. Олейник pq\t,x) при 7 = 1 является разрывным решением (1.4), (1.5), для которого выполняется Е - условие (как строгое неравенство). Если решать (1.4)-(1.5) в обратном времени, то неравенство в Е - условии поменяется на противоположное, поэтому, если функция pq (t, х) при q = 1 удовлетворяла "прямому" Е - условию, то она точно не может удовлетворять "обратному" Е - условию. Заметим, однако, что уравнение Ошибка! Источник ссылки не найден, выглядит симметричным относительно обращения времени (/— —/), поскольку при обратном течении времени величина потока Q\P) изменяет знак на противоположный. Однако, как уже отмечалось, уравнение (1.4), понимаемое в слабом смысле, определяет эволюцию системы, вообще говоря, не единственным образом. Выделение единственного решения является необратимой по времени процедурой.
Практические приложения моделей
Гиперболическая система уравнений, описывающая автомобильное движение, представляет собой дифференциальные законы сохранения (изменения) «массы» и «импульса» на автодорогах (по аналогии с гидродинамикой) записанные в дивергентной форме. Как уже выше говорилось, за основу берется гидродинамическая модель, являющаяся обобщением модели Пэйна есть замыкающее систему (2.1) уравнение состояния (зависимость давления от плотности, см. например рис. 10), /0 - возможные источники или стоки «массы» (въезжающие на дорогу автомобили из не учитываемых явно элементов уличной сети, останавливающиеся или начинающие движение автомобили и т.п.), /J - учитывает импульс сил, действующих на систему (2.1). Термин "давление" транспортного потока р = р(р) впервые появился в работе А. Эйв и М. Раскл [59} и использовался ими для замыкания системы уравнений (1.13). Для замыкания системы уравнений (2.1) в виде (2.2), он был введен в использование впервые в работе [82]. Вид уравнений (2.1)-(2.2) широко используется при построении моделей баротропного газа, чье давление зависит только от плотности и не зависит от температуры.
В таких моделях основной проблемой является построение адекватного действительности уравнения состояния (2.2), конкретный вид которого, как и для всякой феноменологической модели, должен быть определен из экспериментальных измерений (возможно с использованием параметрических решений системы (2.1), (2.2)). Целью этой работы будет доказательство того факта, что именно вид уравнения состояния (2.2), полученного из экспериментально наблюдаемого вида фундаментальной диаграммы Q(p) полностью определяет все свойства данной феноменологической модели.
Представленные на рис. 11 a-lid для движения на одной (левой) полосе высокоскоростной автострады экспериментальные зависимости потока от плотности из [83-86] показывают (отмечены точками и соединяющими их отрезками прямых), что предельно возможная величина потока (определяемая пропускной способностью дороги, техническими характеристиками автомобилей и правилами дорожного движения) заметно превосходит реально реализуемую максимальную его величину Qf = PjVj = q\l] (в обозначениях Б.С. Кернера). По этой причине реально реализуемое движение в фазовой плоскости {p,Q} имеет своей верхней границей параболу, а не прямую (кривая № 1 на рис. 2а - 2d):
На. Аппроксимация экспериментальных данных - зависимости транспортного потока от плотности для движения по одной (левой) полосе высокоскоростной автострады, взяты из статьи [84].
Аппроксимация экспериментальных данных - зависимости транспортного потока от плотности для движения по одной (левой) полосе высокоскоростной автострады, взяты из статьи [84].
Однако при дальнейшем увеличении плотности до значений р Р/ такой однозначной зависимости как в (2.3) из представленных экспериментальных данных не наблюдается вследствие взаимодействия волн разгона и торможения при интенсивном (с закритической плотностью р pf) автомобильном движении. Скорость свободного движения потока автомобилей vQ() = (dQ(p)/dp)p =0 определяется правилами дорожного движения, техническими характеристиками автомобилей и стилем вождения участников дорожного движения и обеспечивает связь этого параметра со значениями
Предполагая существование аналогичной (2.3) однозначной зависимости потока от плотности также и при р pf, будем полагать ее линейной в области реализуемых значений при р pf (прямая № 2 на рис. 11а - 11 .d): Q(P) = Ь(р - р), Q(Pf) = c (P -Pf) = dxQf, P Pf (2.5) с обращающимся в ноль при максимальной плотности р — р потоком и с возможным его разрывом в случае d \ при критической плотности р — Pf, коэффициент разрыва d определяется из измеренных данных: d = С (р -pf)/Qf \ (2.6) Здесь Р - предельно допустимая плотность потока автомобилей (пропускная способность дороги)," соответственно с - аналог «скорости звука» при этой плотности. Зависимости Q = Q(p) из (2.3), (2.5) или аналогичных аппроксимаций экспериментально измеренных данных, вместе с первым уравнением из (2.1) также как и система уравнений (2.1)-(2.2), может непосредственно использоваться для моделирования дорожного движения. В этом случае движение автомобилей описывается одним нелинейным уравнением переноса для плотности
В работе [87] Чзан доказал теорему, определяющую свойства анизотропии или изотропии транспортного потока из конкретного вида фундаментальной диаграммы Q (р). Анизотропия транспортного потока определятся в ней достаточно просто, при решении задачи Римана с произвольными начальными данными, собственные значения матрицы Якоби для исходной системы уравнений не должны превосходить по величине скорости потока в любой его точке. Это означает, что машины, едущие сзади, никак не могут воздействовать на едущих впереди их.
У уравнения (2.7) существует только одно собственное значение, с которым возмущение распространяется вдоль транспортного потока, \P) —xZ—» соответственно анизотропным поток будет там, где откуда видно, что c(p) v(p), если плотность 0 p pt, что означает выпуклость и анизотропию фундаментальной диаграммы (2.3), (2.5). Однако если бы мы взяли какую-нибудь другую фундаментальную диаграмму, например представленную на рис. 12а, и получили бы для неё параметрическую зависимость Q\P), то она была бы не сохраняла анизотропию при тех значениях плотности 0 р р,, для которых угол «о = Q/P G\= dQ/dp 90. И это вполне согласуется с исследованиями Чзана [87], поскольку он также показал, что для многополосной автодороги анизотропное свойство транспортного потока может нарушаться.
Пример фундаментальной диаграммы, полученной по реальным данным с третьего транспортного кольца в 2005 г. для одной (агрегированной) полосы
В данной работе ставится задача - получить для произвольного вида фундаментальной диаграммы аналог уравнения состояния (зависимость давления от плотности) для заданной автодороги Р = Р(р) и использовать для решения системы (2.1). Использование одного уравнения не является достаточным для корректного описания всех фаз (состояний) транспортного потока наблюдаемых на рис. 11а - lid (см. [8]). Сделать это можно, если воспользоваться хорошо известным дифференциальными преобразованиями законов сохранения (см., например [83]).
Базовые интерфейсы namespace traffic sdk
Число граничных условий на свободных концах ветвей графа дорожной сети (входах хк = 0 и выходах хк= Хк) зависит от знаков собственных чисел матрицы Якоби А (2.19)..Их количество на входах может быть равным двум при положительных Я1,Я2 0, что полностью определяет параметры такого узла, одному при Я1 0,Л2 0 или нулю при отрицательных Я,, \ О. На выходах их число может быть равным нулю при положительных Я1,Я2 0, единице при Л, 0, Aj 0 или двум при отрицательных \, \ 0.
В соответствии с этим, на входах-выходах из дорожной сети в качестве граничных условий могут быть заданы как функции времени значение интенсивности потока автомобилей Q(t) или величина плотности потока /?(/) (при Л1 0,Я2 0), для расчета таких узлов в качестве второго уравнения привлекается одно из условий совместности (2.21) или (2.22), (2.23) вдоль идущих внутрь области интегрирования характеристик. Если необходимо задавать два граничных условия обе эти переменные задаются одновременно. Также возможно ситуация, когда граничные узлы рассчитываются через значения во внутренних точках дороги, тогда задавать граничные условия не требуется. На выходах иногда используют неотражающие граничные условия - нулевые производные: (dQ/dx) = 0, (dv/dx) = 0 (2.30) что, вообще говоря, является корректным лишь при положительных Я1,Л2 0. Помимо граничных условий, для системы (2.1), (2.2) необходимо задать также некоторые начальные условия: р(х,0) = р0(х), v(x,0) = v0(x) (2.31)
В точках ветвления графа (во внутренних узлах или на перекрестках) постановка граничных условий существенно зависит от организации движе ния (учитывается ли многополостное движение на дороге или рассматривается осредненное по направлению движение, учитывается ли наличие светофоров или рассматриваются более длительные временные масштабы и т.д.).
В каждом внутреннем узле графа транспортной сети дополнительной искомой величиной, помимо значений переменных У,„ ={Pim,v,m} в окончаниях входящих в узел / и выходящих из него т = \,...,М ветвей, является «давление» самого узла (0 При расчете таких граничных точек, в зависимости от знаков собственных чисел Я,,/ матрицы Якоби А для различных связанных с узлом / ветвей т = 1,...,М возможны различные ситуации. При Л, 0, Л, 0, т. е. при v, с, (закритическое движение), в дополнение к условиям совместности (2.21) (или (2.22), (2.23)) вдоль направленных внутрь области интегрирования характеристик (2.20), в качестве граничных условий использовались соотношения:
Здесь Р1т 0 - коэффициент сопротивления окончания w-ой ветви входящей в / узел (или выходящей из него), Plm =P(Pim) - «давление» в примыкающем к узлу / конце ветви т, связанное с плотностью р!т в этой точке уравнением состояния (2.2) (или (2.12), (2.13)). С помощью коэффициентов Rim(t,Ptm,Vim), в частности, можно воспроизводить правила проезда нерегулируемых перекрестков, работу светофоров и т. п.
Помимо аналогов закона Ома (2.32) или аналогичной формулы Пуазейля для течений в трубах, для расчета внутренних узлов графа используется равенство нулю алгебраической суммы потоков автомобилей
В (2.34) У"т является значением сеточной вектор - функции в точке пересечения характеристики (2.20), приходящей в рассчитываемую точку временного слоя t = ґ+1, со слоем t = t" для m-ой ветви. Эта величина определяется интерполяцией по данным переменных (P ,V B узлах сетки на слое t = t" для т-ой ветви. В целом, вместо (2.21) предпочтительнее использовать разностную аппроксимацию соответствующего инварианта Римана (2.22), (2.23), обеспечивающую более высокую точность расчетов. сивном движении маловероятным является докритическии режим движения непосредственно на выезде из перекрестка (во внутренних узлах графа). В этом случае использование (2.37) неявно предполагает допустимость разрывных волн ускорения («ударных волн разрежения»), что требует специальных исследований. Впрочем, возникновение таких ситуаций на перекрестках (узлах графа) с интенсивным движением маловероятно. Это замечание (об ис пользовании (2.37) вместо условий совместности (2.21)) относится также к условиям замыкания граничных условий на входах в уличную сеть.
Результаты расчетов
Для каждого из уравнений системы (4.1) существует свое уравнение совместности (2.21), разностный аналог которого может быть исследован на монотонность в точке (t" \xm) с помощью характеристического критерия [89], после чего те коэффициенты с,, которые дают наиболее точное и монотонное поведение решения, подставляются в схему (4.2). Данный подход не ограничивается в использовании выбранным нами сеточным шаблоном (tn+\xJ,(t%xm.2Ut\xm_x)At\xm),{t",xm+x),(t\xm ) и может быть легко перенесен на другие заданные сеточные шаблоны [89].
Для решения нелинейной системы уравнений (2.35) в узле графа транспортной сети используется итерационный методе Ньютона (2.36), условием сходимости которого является неравенство нулю детерминанта матрицы
Описанная выше математическая модель была реализована в виде комплекса программ, представленного в главе № 3, с использованием высокоточных численных методов и оттестирована на ряде задач. Определяющими функционирование описанной выше динамической модели уличного движения параметрами, прежде всего, являются характеристики графа уличной сети и уравнения состояния (2.2). Для оценки влияния неопределенности в их выборе (по имеющимся в литературе экспериментальным данным) были проведены тестовые расчеты автомобильного движения, примерно соответ ствующего условиям экспериментальных измерений [84],[85] с использованием уравнений состояния (2.12), (2.13) с константами из (2.26)-(2.29) (кривые a-d на рис. 10). Точное воспроизведение представленных в [84],[85] условий автодвижения принципиально невозможно из-за наличия на исследуемых участках пересечений с поперечными дорогами, по которым не приведено никаких данных, хотя их влияние на измеряемые параметры очевидно и может быть достаточно существенным, т.к. в местах пересечений обычно интенсивно происходят межполосные перестроения, что приводит к замедлению потоков, их уплотнению и даже к образованию заторов. Тем не менее, по представленным в этих работах данным на входе (без учета участников движения с прилегающих автодорог) были проведены расчеты и получены качественно сопоставимые с экспериментальными данными на выходном измерительном пункте.
В одном из серии расчетов планарный дорожный граф состоял из двух участков, на входе первого участка задавался поток как возрастающая функция времени (2.29) (в соответствии с экспериментальным данными), а на вы- 4 ходе второго участка в качестве граничных условий задавались нулевые производные от плотности и скорости (2.30) (неотражающие условия, т.к. движение на втором участке соответствовало режиму «свободного потока). Во внутреннем узле графа одной из констант расчетной модели является коэффициент сопротивления R,m 0 (2.32), который варьировался в довольно широких пределах: от нуля (когда такая граничная точка ничем не отличается от внутренних узлов разностной сетки) до очень больших его значений (соответствующих полному запиранию потока в этом месте).
На рис. 14 для одного из вариантов расчета в фазовой плоскости {Q,p} с координатами х синими точками нанесены значения зависимостей Q(t,x) от p(t,x), полученные в узлах разностной сетки первого участка дороги с координатами х в различные моменты времени /, т.е. параметры, которые нанесены в виде экспериментальных точек на рис. lib. Красными точками (постепенно сливающимися в линию) нанесены аналогичные данные для второго участка, на котором реализуется докритический («сверхзвуковой») поток. Тонкими черными линиями нанесены те же, что и на рис. lib характеристики первого семейства, а более толстыми фиолетовыми линиями - ударные адиабаты для использовавшегося в расчетах уравнения состояния с константами из (2.27), Т.к. сеточных узлов было 100, а моментов времени несколько тысяч, то различить можно лишь отдельные траектории в фазовой плоскости (самые толстые, синие линии). Однако, четко просматриваются движения потока как близкие характеристическим направлениям (с «безударным» режимом торможения), так и движения с переходом от докритиче-ского («сверхзвукового») режима к закритическому («дозвуковому») вдоль ударных адиабат. Для рассматриваемого здесь примера, зависимость плотности автомобилей (красная кривая № 1), отнесенной к ее максимально допу- стимым значениям (пропускной способности первого участка), от координаты X, а также аналогичные распределения скорости (голубая кривая № 2) и & потока (зеленая кривая № 3) в один из моментов времени показаны на рис. 15. Эти два рисунка отчетливо демонстрируют, что закритический,-(«синхронизированный») режим движения возникает в рассматриваемой здесь сугубо феноменологической модели в результате взаимодействия многочисленных волн разгона — торможения, возникающих и распространяющихся на участках дороги между локальными, замедляющими поток источниками (сужения дороги, пересечения с поперечными дорогами, различные замедляющие поток маневры, неоднородность состава автотранспортных средств и стилей вождения и т.д.).
