Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Исследование одномерных хаотических моделей с полными ветвями на основе оператора фробениуса - перрона. метод производящих функций 12
Введение 12
1.1. Исследование некоторых кусочно-линейных отображений на основе оператора Фробениуса - Перрона с помощью метода производящих функций 14
1.1.1. Классические примеры применения метода производящих функций 15
1.1.2. Инверсный сдвиг Бернулли 22
1.1.3. Двойное пирамидальное отображение 28
1.1.4. Двойное V-образное отображение 33
1.2 Вывод модифицированной формулы Эйлера - Маклорена 38
1.2.1. Символический вывод формулы суммирования Эйлера - Маклорена 38
1.2.2. Вывод модифицированной формулы Эйлера - Маклорена на основе разложения функции по системе полиномов Бернулли 42
1.2.3. Вывод модифицированной формулы Эйлера - Маклорена на основе разложения функции по системе полиномов Эйлера 44
1.2.4. Вывод модифицированной формулы Эйлера - Маклорена на основе разложения функции по системе полиномов Бернулли и Эйлера 48
1.3. Примеры применения модифицированных формул Эйлера - Маклорена для
исследования одномерных хаотических нелинейных моделей 49
Заключение 62
ГЛАВА 2. Исследование одномерных хаотических моделей с неполными ветвями на основе оператора фробениуса - перрона:-отображения и его базового эндоморфизма 64
Введение 64
2.1. Отображение 68
2.1.1. Уравнение Фробениуса - Перрона. Оператор Фробениуса - Перрона 68
2.1.2. Инвариантная плотность
2.1.3. Модифицированный оператор Фробениуса - Перрона 76
2.1.4. Исследование спектральных свойств оператора Фробениуса - Перрона 78
2.2. Базовый эндоморфизм ф - отображения 104
2.2.1. Построение базового эндоморфизма ^-отображения 104
2.2.2. Уравнение и оператор Фробениуса - Перрона 107
2.2.3. Исследование спектральных свойств оператора Фробениуса - Перрона 110
Заключение 115
ГЛАВА 3. Автокорреляционные функции одномерных хаотических моделей 118
Введение 118
3.1. Определение автокорреляционной функции 118
3.2. Автокорреляционные функции одномерных хаотических моделей с равномерными инвариантными распределениями и их нелинейных преобразований 120
3.3. Автокорреляционные функции одномерных хаотических моделей: -отображения и его базового эндоморфизма 128
Заключение 135
Заключение 138
Список литературы 140
Публикации по теме диссертации 149
- Классические примеры применения метода производящих функций
- Вывод модифицированной формулы Эйлера - Маклорена на основе разложения функции по системе полиномов Эйлера
- Исследование спектральных свойств оператора Фробениуса - Перрона
- Автокорреляционные функции одномерных хаотических моделей: -отображения и его базового эндоморфизма
Введение к работе
Одной из важнейших задач математического моделирования является построение и анализ математических моделей нелинейных явлений. Традиционно ді нелинейные динамические системы (например, колебательные) описывали с - помощью дифференциальных уравнений. В настоящее время все чаще для этих же целей используют дискретные математические модели (отображения), за данные разностными уравнениями. Как известно, дискретные модели (например, одномерные хаотические отображения) являются одними из простейших С базовых моделей [2-7,19-24,26-33,41,46-52, 54, 73-78, 88-90]. ч Подобные хаотические модели интенсивно исследуются последние 25-30 лет. Была выявлена их теоретико-методическая ценность [63, 64, 81, 90]. Именно при исследовании их поведения и свойств были открыты и изучены явления, характерные для гораздо более сложных нелинейных систем. Например, на основе одномерных хаотических отображений открыты сценарии перехода в динамических системах от регулярного режима к хаотическому, впоследствии Ь неоднократно подтвержденные многочисленными экспериментами для систем различной природы. Это говорит о важной практической значимости дискрет ных хаотических моделей (отображений) при решении проблем в самых различных областях науки: в физике, химии, экономике, социологии и т.д. [20, 24, 45,61-66,81,90,99,100].
Приведем несколько примеров: # а) одномерные хаотические модели используются при реализации датчи \ ков псевдослучайных чисел, с заданным распределением [51, 99];
б) при описании хаотических генераторов биологических ритмов [3, 99];
в) на основе одномерных хаотических моделей разрабатываются новые ме- гм. тоды реализации схем кодирования и обработки информации [22, 36].
Важным и эффективным методом исследования хаотических моделей является операторный подход [6, 7, 37, 71, 73-78], в частности, связанный с применением оператора Фробениуса - Перрона. Оператор Фробениуса - Перрона -оператор изменения во времени распределений вероятности в системах с дискретным временем (отображениях).
Знание спектральных свойств (собственных функций и собственных чисел) оператора Фробениуса - Перрона позволяет охарактеризовать асимптотические свойства (например, скорость сходимости начального распределения к инвариантному), корреляционные свойства (вид автокорреляционных функций) одномерных хаотических моделей [28, 34, 52,101,103-105,109,110].
Вместе с тем проблемы анализа спектральных свойств оператора Фробе- г ці ниуса - Перрона пока далеки от полного решения, также не рассмотрены неко торые важнейшие базовые модели на их основе. Это определило актуальность решаемых в диссертационной работе задач.
Цель диссертационной работы - исследование одномерных хаотических S моделей на основе спектральных свойств оператора Фробениуса - Перрона; вы » явление конкретной роли собственных функций данного оператора при анали тическом расчете автокорреляционных функций, влияния собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона на скорость сходимости начального распределения к инвариантному в одномерных хаотических отображениях. В процессе работы решались следующие задачи:
1. Определение производящих функций для собственных функций операто- Ь. ра Фробениуса - Перрона одномерных кусочно-линейных хаотических отображений с полными ветвями (сдвигов Бернулли с произвольным целым коэффициентом, пирамидального, "двойного" пирамидального и др.). Исследование влияния собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона на скорость сходимости начального распределения к инвариантному.
2. Решение задачи на собственные значения и выявление структуры соб- # ственных функций для оператора Фробениуса - Перрона кусочно-линейных хаотических отображений с неполными ветвями - -отображения (частного случая отображения Реньи хп+1 = /Зхп mod 1, /3 є R, с коэффициентом, равным числу Фидия ф = ) и ему сопряженного.
3. Расчет автокорреляционных функций отображений с использованием собственных функций и собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона.
Достоверность и обоснованность научных результатов и выводов диссертации подтверждена проверочными (альтернативными) и (или) взаимно дополняющими друг друга аналитическими расчетами, а также согласованностью с данными, полученными другими авторами.
Научная новизна работы и научно-практическая значимость результатов.
Показано, что для одномерных хаотических кусочно-линейных моделей Ч1 (отображений) с полными ветвями могут быть определены аналитические
Л ("производящие") функции, которые в компактном виде содержат информацию о собственных функциях и собственных числах соответствующего оператора Фробениуса - Перрона. Подобные производящие функции построены для ряда "классических" отображений: сдвигов Бернулли, пирамидального, N - образного и инверсных отображений к данным. Выяснено, что производящие функ Л ции собственных функций эволюционных операторов для данных типов ото бражений могут быть образованы комбинацией производящих функций неортогональных полиномов двух типов - Бернулли и Эйлера.
Разработан метод последовательного построения инвариантных подпространств различной размерности для оператора Фробениуса - Перрона с целью нахождения его собственных функций. Подобным образом найдено несколько первых функций и чисел оператора Фробениуса - Перрона для кусочно v линейного ф -отображения с неполными ветвями (в качестве параметра — число Фидия = (1 + 75)/2 , заметим, что - золотое сечение), а также, для базового эндоморфизма, то есть для сопряженного ф -отображению кусочно-линейного отображения, обладающего равномерным инвариантным распределением (само сопряженное отображение построено впервые). Выведены общие соотношения для построения собственных функций и собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона.
К ч- Аналитически рассчитаны автокорреляционные функции на основе знания собственных функций и собственных чисел Фробениуса - Перрона, в том числе новых хаотических отображений, построенных в работе.
Продемонстрирована эффективность предложенных методов для нахождения собственных функций и собственных чисел операторов Фробениуса - Перрона кусочно-линейных отображений, основанных на построении производящих функций и на выявлении структуры инвариантных подпространств для данного оператора.
Апробация результатов исследований.
Основные результаты диссертации докладывались на международных научных конференциях: 6th International School on chaotic oscillations and pattern formation. (Saratov, Russia, October 2-7, 2001), Fourth IEEE International Vacuu .ц,1 Electron Sources Conference (Saratov, Russia, July 15-19, 2002); международной конференции "Physics and Control" (August 20-22, 2003, Saint-Petersburg, Russia). (5 тезисов докладов.)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ (2 статьи в t центральной печати и 12 статей в научных сборниках).
На защиту выносятся следующие положения
1. Производящие функции для собственных функций оператора Фробе- ниуса - Перрона таких одномерных кусочно-линейных хаотических отображений с полными ветвями (переводящими отдельные отрезки области определе- Ї" ния (единичного интервала) на весь единичный интервал), как сдвиги Бернул ли, пирамидальное, "двойного" пирамидального, N - образного, а так же хаотических отображений, полученных их суперпозицией, инверсией и топологическим сопряжением, могут быть представлены линейной комбинацией производящих функций полиномов Бернулли и (или) Эйлера соответствующих конкретному отображению аргументов. 2. Структура собственных функций оператора Фробениуса - Перрона од 4 номерных кусочно-линейных хаотических отображений, -отображения и ему сопряженного, обладающего равномерным инвариантным распределением, с неполными ветвями (не переводящими отдельные отрезки области определения (единичного интервала) на весь единичный интервал) представляет собой ку- , сочно-степенные функции (с одним разрывом).
3. Собственные функции и соответствующие собственные числа могут быть рассчитаны методом построения инвариантных подпространств для оператора Фробениуса - Перрона и перехода к базису, состоящему из собственных функций данного оператора. Обобщение решения задачи на собственные значения может быть получено с помощью метода неопределенных коэффициентов.
4. Вид автокорреляционных функций рассмотренных кусочно-линейных одномерных хаотических моделей (отображений) определяется конечным набором первых собственных функций оператора Фробениуса - Перрона.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Диссертация содержит 115 страниц текста, 23 иллюстрации, таблицу, список использованной литературы из ПО наименований на 12 страницах. Общий объем работы -151 страница.
Объектом исследования являются одномерные хаотические модели в форме разностных уравнений (отображения) - одни из базовых математических моделей, и вместе с тем, одни из простейших. В общем виде одномерные хаотические модели задаются с помощью итерационного соотношения: хп1 = ф(хй,Л),п = 0,1,29..., х„ е[а,Ь], (1) где (р(х) - кусочно-монотонная итерационная функция, Л - параметр.
В диссертационной работе исследовались такие модели, итерационная функция которых преобразует интервал области определения [ ,#] в себя, и при этом модель демонстрирует хаотическое поведение. Итерационная функция обладает чувствительностью к начальным условиям х0, то есть траектории (орбиты) х0,х1,х2,... рассматриваемой модели не обладают устойчивостью по
Ляпунову (соответствующие показатели Ляпунова положительны). Как следствие, одномерная модель (1) демонстрирует квазислучайное поведение (в этом контексте и говорят о "детерминированном" хаосе), что делает, в принципе, невозможным траекторное описание математической модели. В связи с этим, переходят от траєкторного описания к вероятностному, вводят плотности распределения вероятности, с помощью которых описывают вероятность попадания хп, п = 0,1,2,... в тот или иной подынтервал области определения [a,b\.
Основным математическим аппаратом описания и исследования подобных хаотических моделей является операторный подход. Строится эволюционный оператор, описывающий трансформацию плотностей вероятности во времени, на основе которого исследуются хаотические модели. В случае, когда в качестве моделей исследуются одномерные хаотические отображения, эволюционным оператором является оператор Фробениуса - Перрона, который описывает трансформацию распределений вероятности во времени [90]:
Pn x) = Upn(x) = )d{x- p{t))pn{t$ о где р„ (х) - плотность вероятности на п -м шаге итераций (начальное значение
о) Неподвижная точка оператора Фробениуса - Перрона называется инвариантной плотностью модели (1). В асимптотике, при итерациях, начальная плотность распределения стремится к инвариантной, это соотносится с понятием установления равновесного состояния модели.
Оператор Фробениуса - Перрона (знание его собственных функций и собственных чисел) позволяет исследовать одномерные хаотические модели, предсказывать их поведение во времени, а также изучать их свойства (например, исследовать скорость установления инвариантного распределения - инвариантной плотности; автокорреляционные функции).
В первой главе развивается метод построения аналитических производящих функций для нахождения собственных функций и собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона. Производящая функция имеет вид: где у/п (х) - собственная функция соответствующего линейного эволюционного оператора (Фробениуса - Перрона). Действие этого оператора на (xj) дает одновременно полный набор и собственных функций, и собственных чисел этого оператора. Метод производящих функций применим к кусочно-линейным отображениям с полными ветвями (переводящих подынтервалы области определения (единичного интервала) на всю область определения), которые можно получить с помощью комбинации преобразований (сдвиг, растяжение, отражение) из сдвигов Бернулли, а также посредством суперпозиции данных кусочно-линейных отображений.
Показано, как на основе метода производящих функций одновременно получить выражения для собственных функций и собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона для ряда хаотических кусочно-линейных отображений с полными ветвями: для сдвига Бернулли, пирамидального, "двойного" пирамидального, N - образного отображения и для отображений, инверсных вышеперечисленным.
Демонстрируется символический вывод модифицированных формул Эйлера - Маклорена. "Классическая" формула Эйлера - Маклорена применяется в основном для исследования свойств рядов и нахождения сумм [42, 43, 53, 55, 56, 82, 83, 86], "модифицированные" формулы выведены с целью получения разложения бесконечно дифференцируемой функции р(х) по системе неортогональных полиномов Бернулли Вп(х), Эйлера Еп(х) [35, 60, 82], и их комбинации [92].
Собственные функции эволюционных операторов имеют индивидуальные особенности, в связи с этим полезными оказываются различные модификации формулы Эйлера - Маклорена, использующие разложения функций не только по полиномам Бернулли, но и по системе полиномов Эйлера, а также по комбинированной системе, содержащей оба типа полиномов, упомянутых выше.
Построены два нелинейных хаотических отображения, инвариантная плотность которых отлична от равномерной и описывается экспоненциальным распределением (одно - сопряженное N - образному, другое - инверсному N - образному отображениям). Соответственно обобщена техника использования модифицированных формул Эйлера - Маклорена для подобных отображений. Получены выражения для "нестационарных" плотностей.
Во второй главе изучаются спектральные свойства эволюционных операторов - операторов Фробениуса - Перрона - -отображения [23] и ему сопряженного отображения с равномерной инвариантной плотностью - базового эндоморфизма, соответственно, а именно, построение метода нахождения собственных функций и собственных чисел для этих операторов [94, 102]. Хаотическая модель базового эндоморфизма ф -отображения построена впервые.
Поиск собственных функций оператора Фробениуса - Перрона осуществлялся по новому методу, суть которого заключается в следующем:
1. Выделение конечномерных инвариантных относительно действия оператора Фробениуса - Перрона подпространств в функциональном пространстве, ассоциированном с эволюционным оператором (с соответствующим инвариантным базисом);
2. Переход в данных подпространствах к новому базису, состоящему из собственных функций оператора.
По данным методом определены 4 собственных функции и собственных числа оператора Фробениуса - Перрона ф -отображения.
В дополнение к изучению спектральных свойств оператора Фробениуса -Перрона ф -отображения исследуются спектральные свойства так называемого модифицированного оператора Фробениуса - Перрона. Найдены собственные функции и соответствующие собственные числа модифицированного оператора Фробениуса - Перрона ф -отображения (в [23] указаны без вывода только первая и вторая собственные функции модифицированного оператора Фробениуса - Перрона с соответствующими собственными числами). Проведено обобщение, а именно, предложен новый алгоритм вычисления набора собственных функций и собственных чисел модифицированного оператора Фробениуса — Перрона на основе метода неопределенных коэффициентов.
Далее во второй главе решается несколько необычная по постановке задача сопряжения двух кусочно-линейных отображений: для -отображения с кусочно-постоянной инвариантной плотностью (она описывается ступенчатой функцией) строится базовый эндоморфизм [50, 93, 98, 102] - отображение единичного интервала с непрерывным равномерным распределением топологически эквивалентное данному.
Для базового эндоморфизма -отображения построены: итерационная функция, оператор Фробениуса - Перрона и определены его собственные функции и собственные числа по вышеописанной методике.
Таким образом, при решении задачи построения сопряженного отображения:
во-первых, определяется конкретная модель - кусочно-линейное отображение, состоящее из трех линейных ветвей, каждая из которых не переводит область своего задания в единичный интервал, но в целом характеризуется непрерывной инвариантной плотностью;
во-вторых, наглядно иллюстрируются свойства инвариантности некоторых важных характеристик хаотических отображений при нелинейной обратимой замене переменных (в частности, инвариантность собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона и показателя Ляпунова);
в-третьих, проводится точный аналитический расчет собственных функций и соответствующих собственных чисел эволюционного оператора;
в-четвертых, устанавливаются правила, по которым определяется действие линейных операторов на выражения, включающие индикаторные функции отрезков из единичного интервала.
В третьей главе демонстрируется техника расчета автокорреляционных функций одномерных хаотических отображений посредством неоднократного действия, ассоциированного с данным отображением оператора Фробениуса -Перрона на х (суть метода описана в работе [23], в диссертационной работе метод был адаптирован для одномерных хаотических моделей (в частности, исключено требование нормировки величин)). Успех подобных вычислений напрямую зависит от знания собственных функций оператора Фробениуса - Перрона. В этой главе проиллюстрирован алгоритм для аналитического расчета автокорреляционных функций простейших моделей хаотических систем - одномерных кусочно-линейных отображений, обладающих равномерным инвариантным распределением на единичном отрезке, а также для ф -отображения (с кусочно-постоянным инвариантным распределением) и для его базового эндоморфизма. Приведем примеры полученных результатов аналитического расчета автокорреляционных функций.
Личный вклад
Автором получены выражения для производящих функций собственных функций оператора Фробениуса - Перрона рассмотренных кусочно-линейных симметричных отображений с полными ветвями; представлены разложения начальных распределений в ряды по собственным функциям оператора; проведены расчеты собственных функций и собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона кусочно-линейного несимметричного ф -отображения и его базового эндоморфизма, рассчитана автокорреляционная функция базового эндоморфизма ф -отображения. Постановка задач, разработка методов их решения и корректировка расчетов осуществлялись совместно с научными руководителями.
Классические примеры применения метода производящих функций
По данным методом определены 4 собственных функции и собственных числа оператора Фробениуса - Перрона ф -отображения.
В дополнение к изучению спектральных свойств оператора Фробениуса -Перрона ф -отображения исследуются спектральные свойства так называемого модифицированного оператора Фробениуса - Перрона. Найдены собственные функции и соответствующие собственные числа модифицированного оператора Фробениуса - Перрона ф -отображения (в [23] указаны без вывода только первая и вторая собственные функции модифицированного оператора Фробениуса - Перрона с соответствующими собственными числами). Проведено обобщение, а именно, предложен новый алгоритм вычисления набора собственных функций и собственных чисел модифицированного оператора Фробениуса — Перрона на основе метода неопределенных коэффициентов.
Далее во второй главе решается несколько необычная по постановке задача сопряжения двух кусочно-линейных отображений: для -отображения с кусочно-постоянной инвариантной плотностью (она описывается ступенчатой функцией) строится базовый эндоморфизм [50, 93, 98, 102] - отображение единичного интервала с непрерывным равномерным распределением топологически эквивалентное данному.
Для базового эндоморфизма -отображения построены: итерационная функция, оператор Фробениуса - Перрона и определены его собственные функции и собственные числа по вышеописанной методике. Таким образом, при решении задачи построения сопряженного отображения: во-первых, определяется конкретная модель - кусочно-линейное отображение, состоящее из трех линейных ветвей, каждая из которых не переводит область своего задания в единичный интервал, но в целом характеризуется непрерывной инвариантной плотностью; во-вторых, наглядно иллюстрируются свойства инвариантности некоторых важных характеристик хаотических отображений при нелинейной обратимой замене переменных (в частности, инвариантность собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона и показателя Ляпунова); в-третьих, проводится точный аналитический расчет собственных функций и соответствующих собственных чисел эволюционного оператора; в-четвертых, устанавливаются правила, по которым определяется действие линейных операторов на выражения, включающие индикаторные функции отрезков из единичного интервала.
В третьей главе демонстрируется техника расчета автокорреляционных функций одномерных хаотических отображений посредством неоднократного действия, ассоциированного с данным отображением оператора Фробениуса -Перрона на х (суть метода описана в работе [23], в диссертационной работе метод был адаптирован для одномерных хаотических моделей (в частности, исключено требование нормировки величин)). Успех подобных вычислений напрямую зависит от знания собственных функций оператора Фробениуса - Перрона. В этой главе проиллюстрирован алгоритм для аналитического расчета автокорреляционных функций простейших моделей хаотических систем - одномерных кусочно-линейных отображений, обладающих равномерным инвариантным распределением на единичном отрезке, а также для ф -отображения (с кусочно-постоянным инвариантным распределением) и для его базового эндоморфизма. Приведем примеры полученных результатов аналитического расчета автокорреляционных функций.
Автором получены выражения для производящих функций собственных функций оператора Фробениуса - Перрона рассмотренных кусочно-линейных симметричных отображений с полными ветвями; представлены разложения начальных распределений в ряды по собственным функциям оператора; проведены расчеты собственных функций и собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона кусочно-линейного несимметричного ф -отображения и его базового эндоморфизма, рассчитана автокорреляционная функция базового эндоморфизма ф -отображения. Постановка задач, разработка методов их решения и корректировка расчетов осуществлялись совместно с научными руководителями.
Свойства дискретных нелинейных (в частности, кусочно-линейных) математических моделей (отображений) принято, в частности, изучать посредством исследования соотнесенных с ними эволюционных операторов, определенных на некоторых функциональных пространствах. В случае хаотических отображений оператором эволюции является оператор Фробениуса - Перрона. Введение в рассмотрение оператора Фробениуса - Перрона соответствует описанию хаотической модели, случайность в которой обусловлена случайностью начальных условий [6,10-12, 14, 54, 66, 73, 78, 80].
Исследование спектральных свойств эволюционного оператора - оператора Фробениуса - Перрона отображений, сохраняющих на единичном интервале меру Лебега, и сопряженных к ним отображений (получаемых обратимой заменой переменных в базовых эндоморфизмах), рассматривается в качестве интересной физико-математической задачи [71, 73-78, 96, 98-100, 103-105, 109, 110]. Знание собственных функций позволяет исследовать трансформационные свойства оператора Фробениуса - Перрона; находить решения нестационарного уравнения Фробениуса - Перрона в форме разложений по собственным функциям; исследовать характер сходимости начальных распределений, заданных целыми функциями, к инвариантному распределению [4, 12,48].
Нахождение собственных функций и собственных чисел эволюционных операторов - задача нетривиальная. Эффективность ее решения для отображений, каждая ветвь которых определенна на подынтервале и переходит при итеративном преобразовании в полный интервал, может быть достигнута путем построения производящих функций для полиномиальных собственных функций исследуемого оператора. Успех данной переформулировки проблемы основан, в частности, на знании некоторых базовых производящих функций, построенных для различных модификаций неортогональных на интервале (0,1) многочленов. Особо отметим то, что перед изучением действия эволюционного оператора необходимо определить функциональное пространство, в котором этот оператор рассматривается [21, 54]. В качестве такового обычно выбирают пространство целых функций экспоненциального типа [5, 9].
Было разработано два подхода к нахождению собственных функций и собственных оператора Фробениуса - Перрона хаотических отображений: метод производящих функций и метод производящих функций с применением модифицированных формул Эйлера - Маклорена. Метод производящих функций применим к кусочно-линейным отображениям, которые преобразуют подынте-валы области определения в полный интервал. В этом случае собственные функции Фробениуса - Перрона являются полиномиальными [76]. Метод производящих функций заключается в анализе действия оператора Фробениуса -Перрона на производящие функции предполагаемых собственных функций -полиномов Бернулли или Эйлера.
Вывод модифицированной формулы Эйлера - Маклорена на основе разложения функции по системе полиномов Эйлера
Отметим оригинальные моменты, представленные в данной главе. 1. Приведены выводы "классических" результатов по исследованию спектральных свойств операторов Фробениуса - Перрона для сдвигов Бернулли и пирамидального отображения методом производящих функций. 2. Были найдены собственные функции и собственные числа операторов Фробениуса - Перрона трех одномерных хаотических кусочно-линейных отображений: двойного пирамидального (впервые введено, по-видимому, в работе [4]), двойного V-образного и инверсного сдвига Бернулли методом производящих функций. 3. На основе операторного символического подхода получено выражение для разложения действительных функций, определенных на единичном интервале, по трем системам неортогональных полиномов: системе полиномов Бернулли, системе полиномов Эйлера и «смешанной» системе, состоящей из четных (нечетных) и нечетных (четных) полиномов Бернулли и Эйлера, соответственно. По своей структуре, выражения (1.85), (1.89)-(1.92) могут рассматриваться как модифицированные формулы Эйлера - Маклорена. Неортогональность введенных полных систем независимых функций отражается на виде полученных разложений. Они требуют знания производных любого порядка в граничных точках отрезка 0 и 1.
Полученные модифицированные формулы Эйлера - Маклорена (1.85), (1.89) - (1.92) полезны при решении нестационарного уравнения Фробениуса -Перрона в случае, когда возможно разложение начального распределения по полиномам Бернулли или Эйлера: позволяют исследовать скорость сходимости к инвариантному распределению, что подтверждают приведенные примеры. 4. Методом производящих функций в совокупности с модифицированными формулами Эйлера - Маклорена были найдены собственные функции и собственные числа операторов Фробениуса - Перрона двух одномерных хаотических кусочно-линейных отображений (N - образного и ему инверсного). Были получены решения нестационарных уравнений Фробениуса - Перрона этих отображений ((1.5) с итеративными функциями (1.93), (1.109), соответственно), а так же двух нелинейных отображений (1.98) с итеративными функциями (1.99), (1.112), построенных на основе данных.
Заметим, что неравенство может быть как строгим, так и нестрогим, смысл остается прежним: если х принадлежит заданному интервалу, то функция принимает единичное значение, в противном случае, она равна нулю. Впоследствии функция (2.4) будет нередко использоваться для сокращения записи.
По виду итерационной функции -отображение напоминает сдвиг Бер-нулли с целым коэффициентом G с той разницей, что коэффициент 1 ф 2 - число иррациональное. Это обуславливает существенные отличия вероятностных свойств данных отображений и появление некоторых уникальных свойств ф -отображения.
Будем исследовать спектральные свойства эволюционных операторов — операторов Фробениуса - Перрона - -отображения и его базового эндоморфизма поэтапно. Во-первых, выделим конечномерные подпространства в функциональном пространстве, ассоциированном с оператором Фробениуса - Перрона (с соответствующим базисом), во-вторых, осуществим переход в этих подпространствах к новому базису, состоящему из собственных функций эволюционного оператора. Заметим, что первая собственная функция известна из общих соображений - это инвариантная плотность, и ей соответствует собственное число 1.
Реализация первого шага связана с систематическим изучением преобразующих свойств эволюционного оператора при его действии на функции, входящие в первую очередь в определение отображения (2.1)-(2.2). Диагонализа-ция матрицы линейного преобразования осуществляется на втором этапе по стандартной методике [39, 40, 70, 72, 91]. Итогом расчетов является представление собственных функций оператора через базисные функции конечномерных подпространств.
По этой же схеме будем искать собственные функции и собственные числа модифицированного оператора Фробениуса - Перрона -отображения [23, 37], введение которого позволяет существенно упростить процедуру нахождения собственных чисел и собственных функций «классического» эволюционного оператора.
Что касается построения базового эндоморфизма (под базовым эндоморфизмом мы будем понимать эндоморфизм [49, 50], сохраняющий равномерную плотность распределения), то общая концепция и примеры построения базовых эндоморфизмов, сопряженных (топологически эквивалентных) хаотических отображений были рассмотрены для современных задач в ряде работ (например, [23, 26, 51]). Основная идея использования нелинейной связи двух отображений: получение «нового» отображения, которое принадлежит к тому же классу (эргодических и/или перемешивающих, точных отображений) хаотических отображений, и отличается от исходного важными (особенно в прикладном аспекте) характеристиками: областью определения, инвариантной плотностью, видом автокорреляционной функции и т.д. Поскольку при обратимых нелинейных преобразованиях хаотических отображений ряд характеристик остаются инвариантными (показатель Ляпунова, собственные числа оператора Фробениуса - Перрона) или легко преобразуемыми (например, собственные функции оператора Фробениуса - Перрона), то построение сопряженных отображений к новым отображениям позволяет значительно упростить задачу их аналитического описания. По-видимому, авторство первого и единственного широко цитируемого на протяжении многих лет примера построения сопряженных одномерных хаотических отображений принадлежит Станиславу Ула-му и Джону фон Нейману [31]. Именно они первыми установили взаимнооднозначную связь между логистическим отображением (для предельного значения параметра, соответствующего «чистому» хаосу) и пирамидальным. В [2] проведено обобщение этого результата и установлена топологическая эквивалентность полиномов Чебышева первого рода и обобщенного (итерированного) кусочно-линейного пирамидального отображения [7, 16]. Некоторые общие вопросы сопряжения отображений рассмотрены в работе [13]. Дополнительные примеры построения сопряженных отображений с точными инвариантными законами можно найди в [10, 11, 17, 30, 32, 87].
Исследование спектральных свойств оператора Фробениуса - Перрона
Итак, найдены первые четыре собственные функции (2.78)-(2.81) (рис.2.10) оператора Фробениуса - Перрона (2.71) базового эндоморфизма для ф - отображения. Построение собственных функций и собственных чисел может быть продолжено по выше описанной схеме, при этом следует иметь в виду, что собственные функции ф - отображения и его базового эндоморфизма связаны между собой взаимнооднозначным преобразованием.
В главе продемонстрирован метод построения инвариантных подпространств конечной размерности в функциональном пространстве оператора Фробениуса - Перрона одномерных хаотических моделей на примере ф-отображения и его базового эндоморфизма, позволяющий найти собственные функции и собственные числа данного оператора. Оператор Фробениуса - Перрона ф - отображения рассмотрен в двух формах: «классической», с инвариантной кусочно-разрывной плотностью, и «модифицированной», для которой характерна "нормировка" собственных функций и представление инвариантной функции в виде индикаторной функции единичного интервала. Найденные неортогональные базисы этих подпространств, выраженные через степенные функции независимой переменной х с постоянными коэффициентами, а также с множителем в виде индикаторной функции интервала (0,ф 1).
Осуществлен переход в инвариантных подпространствах к новому базису, который образован собственными функциями исследуемых операторов.
Математические преобразования существенно упрощаются в случае модифицированного оператора Фробениуса - Перрона, поскольку матрица преобразований оказывается нижней треугольной матрицей. Связь между собственными функциями двух разновидностей операторов Фробениуса - Перрона выражается соотношением (2.44), а соответствующие собственные числа совпадают (остаются инвариантными).
Указан общий вид собственных функций операторов Фробениуса - Перрона в случае повышения размерности инвариантных подпространств. Решение поставленной задачи в этом случае может быть найдено с помощью метода неопределенных коэффициентов или путем численного моделирования.
Построена новая дискретная математическая модель - хаотическое кусочно-линейное отображение с неполными ветвями, с равномерным инвариантным распределением, сопряженное ф - отображению. Продемонстрирован точный метод - метод построения инвариантных подпространств вычисления собственных функций и собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона данного отображения; аналитически найдены первые четыре собственные функции (с соответствующими собственными числами).
Автокорреляционные функции являются важными количественными характеристиками эволюции случайных и хаотических процессов, а также, автокорреляционные функции широко применяются для анализа физических явлений [28, 52, 74,101, 105]. Основу расчета автокорреляционной функции составляет выявление результата неоднократного действия ассоциированного с данным отображением оператора Фробениуса - Перрона на функцию, зависящую линейно или нелинейно (в общем случае) от независимой переменной х [23]. Успех подобных вычислений тесно связан со знанием собственных функций оператора Фробениуса - Перрона. Хотя, в случае некоторых симметричных отображений конечный результат определяется однократным действием оператора Фробениуса - Перрона (а, следовательно, не обязательно знание полного набора собственных функций), приводя к д - образной автокорреляционной функции. Отображения, имеющие 8 - образные автокорреляционные функции, используются для моделирования генераторов дискретного белого шума. Например, логистическое, пирамидальное отображения [13, 85]. Многие генераторы псевдослучайных чисел моделируют с помощью отображений (итеративных преобразованиях), обладающих свойствами перемешивания и эргодичности [18,19,25,93,96,99,109,110].
Автокорреляционной функцией одномерного хаотического отображения с кусочно-линейной итеративной функцией (р{х), определенной на некотором интервале (я,б), будем называть функцию R(n) [23, 28, 52, 57-60, 69], определяемую соотношением:
Автокорреляционные функции одномерных хаотических моделей: -отображения и его базового эндоморфизма
Итак, используя собственные функции оператора Фробениуса - Перрона хаотических отображений были получены соотношения для подсчета автокорреляционной функции кусочно-линейных отображений с равномерными инвариантными плотностями распределения (3.4) - (3.21); соотношения (3.24) -(3.25) и (3.29) - (3.30) для расчета автокорреляционной функции для п -ной итерации ф - отображения и его базового эндоморфизма (без показателя Ляпунова и с его использованием). Характер затухания автокорреляционных функций R(n) (3.24) - (3.25), (3.29) - (3.30) отражают рис.3.3 и рис.3.4.
Для сравнения на графиках автокорреляционной функции R(n) был построен график экспоненциальной функции у = е ы. «Колебательный» характер кривой R(n) для малых п связан с влиянием множителя перед экспонентой е Хп в (3.30). При дальнейшем увеличении п функции практически совпадают.
Показано, что точный расчет автокорреляционной функции базового эндоморфизма знания ряда первых собственных функций и собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона. Для этих целей достаточно использование нескольких первых собственных функций и соответствующих собственных чисел. Сутью, изложенного в работе алгоритма расчета автокорреляционных функций одномерных хаотических отображений, является представление независимой переменной х линейной комбинацией найденных собственных функций данного оператора. Таким образом, был адаптирован и усовершенствован подход, изложенный в работе [23], а именно, применяя алгоритма, описанный выше, нет необходимости нормировать независимую переменную, и результат п -кратного действия оператора Фробениуса - Перрона на х может быть легко найден, поскольку действие оператора Фробениуса - Перрона на линейную комбинацию собственных функций приводит к линейной комбинации тех же самых функций с измененными коэффициентами (в их формировании участвуют собственные числа оператора). Выбор собственных функций оператора Фробениуса - Перрона не является случайным, именно они образуют базис в инвариантных подпространствах данного оператора.
Исследование спектральных свойств оператора Фробениуса - Перрона занимает центральное место при изучении хаотических моделей (в частности, дискретных моделей, заданных разностными уравнениями, - одномерных кусочно-линейных отображений). Кроме того, знание собственных функций эволюционного оператора позволяет получить выражения нестационарных решений уравнения Фробениуса - Перрона, оценить скорость сходимости начального распределения к инвариантному, точно рассчитать автокорреляционную функцию.
На основании исследований, проведенных в диссертации, получены следующие основные результаты: 1. На основе операторного символического подхода получены модифици рованные формулы Эйлера - Маклорена для разложения аналитических функ ций, определенных на единичном интервале, по трем системам неортогональ ных полиномов: - на основе полиномов Эйлера Еп(х), п = 0,1,...; - на основе четных полиномов Эйлера Е2п (х), п- 0,1,... и нечетных полиномов Бернулли В2п+1 (х), п - 0,1,...; - на основе нечетных полиномов Эйлера Е2п+1 (х), п - 0,1,... и четных полиномов Бернулли В2п(х), /1 = 0,1,.... 2. Построены производящие функции для собственных функций оператора Фробениуса - Перрона одномерных хаотических кусочно-линейных моделей: сдвига Бернулли, пирамидального, V - образного, двойного пирамидального, двойного V-образного, инверсного сдвига Бернулли, N - образного, инверсного N - образного отображений, а также нелинейных отображений с экспоненциальной плотностью распределения, построенных на базе N - образных. 3. Построена новая математическая модель - одномерное хаотическое кусочно-линейное отображение, топологически эквивалентное ф - отображению -базовый эндоморфизм ф - отображения с равномерным инвариантным распределением. Выведено нестационарное уравнение Фробениуса - Перрона и получен в явном виде оператор Фробениуса - Перрона базового эндоморфизма. 4. Разработан метод нахождения собственных функций и соответствующих собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона одномерных хаотических моделей (на примере ф - отображения и его базового эндоморфизма) путем построения инвариантных подпространств для данного оператора. Оператор Фробениуса - Перрона рассмотрен в двух формах: «классической» и «модифицированной». Найдено несколько первых собственных функций и собственных чисел данного оператора (для ф - отображения - 4 для "классического" оператора Фробениуса - Перрона и 6 - для "модифицированного", для базового эндоморфизма ф - отображения - 4). Указан общий вид собственных функций и собственных чисел эволюционных операторов ф - отображения и его базового эндоморфизма в случае повышения размерности инвариантных подпространств. 5. Вычислена аналитически автокорреляционная функция базового эндоморфизма ф - отображения. Описан алгоритм точного аналитического расчета автокорреляционной функции, для которого требуется знание ряда первых собственных функций и соответствующих собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона, линейной комбинацией которых можно представить независимую переменную х. С помощью данного алгоритма найдены автокорреляционные функции одномерных кусочно-линейных отображений с равномерным инвариантным распределением.
