Содержание к диссертации
Введение
1. Математические модели риска и актуальные вопросы страховой математики 12
1.1 Классическая модель риска 12
1.2 Распределения выплат с тяжелыми хвостами и известные результаты 17
1.2.1 Вероятность разорения и геометрические суммы 20
1.2.2 Двусторонние оценки для функции распределения геометрической суммы 22
1.2.3 Построение нижних оценок методом пробных функций 26
1.2.4 Численные результаты 30
1.2.5 Проблема средних значений начальных капиталов в классической модели риска 33
1.3 Классическая модель риска с постоянным приростом начального капитала 34
1.3.1 Асимптотическая формула для вероятности разорения 35
1.4 Модель риска с дискретным временем и случайным финансовым риском 36
2. Асимптотические и двусторонние оценки вероятности разорения 38
2.1 Быстрый алгоритм численного интегрирования 38
2.2 Двусторонние оценки вероятности разорения в классической модели риска с постоянным приростом начального капитала 40
2.3 Оценки вероятности разорения в модели риска с дискретным временем и случайным финансовым риском 46
2.3.1 Оценки вероятности разорения на одном временном отрезке 46
2.3.2 Оценки вероятности разорения на многих отрезках времени 50
2.3.2.1 Формулировка основных результатов 50
2.3.2.2 Доказательство основных результатов 52
3. Алгоритмы вычисления вероятности разорения страховой компании 55
3.1 Решение задачи о средних значениях в классической модели риска 55
3.1.1 Единственность решения интегрального уравнения в классической модели риска 55
3.1.2 Основная идея решения задачи 56
3.1.3 Алгоритм решения задачи и его свойства 57
3.1.4 Численные оценки вероятности разорения 61
3.2 Алгоритм нахождения оценок вероятности разорения с постоянным интересом 66
3.2.1 Результаты численного эксперимента по вычислению функций 67
3.2.2 Асимптотические формулы для вычисления функции Dr(x) 70
3.2.3 Численный анализ качества асимптотик J(K) и 7&(г) 71
3.3 Численные оценки вероятности разорения в модели риска с дискретным временем и случайным финансовым риском 72
3.3.1 Оценки вероятности разорения на одном отрезке времени 72
3.3.2 Оценки вероятности разорения на многих отрезках времени 73
Заключение 76
Литература 105
- Двусторонние оценки для функции распределения геометрической суммы
- Модель риска с дискретным временем и случайным финансовым риском
- Оценки вероятности разорения на одном временном отрезке
- Результаты численного эксперимента по вычислению функций
Введение к работе
Основной целью настоящей работы являются разработка и исследование численных и аналитических методов построения оценок вероятности разорения для распределений выплат с большими хвостами, сравнение этих оценок с известными асимптотическими результатами. Толчком к проведению этой работы послужил хорошо известный страховщикам факт, который состоит в том, что некоторые из известных оценок, равно как и знаменитые асимптотические разложения, могут давать значительные ошибки. Данный факт не противоречит известным математическим результатам, но ясно показывает, что, прежде чем использовать какое-либо приближение, следует оценить его погрешность. Это естественное ограничение было принято во многих инженерных дисциплинах. Скажем, никто не станет производить механическое устройство, если допустимые ошибки размеров деталей не заданы. В теории надежности и теории массового обслуживания это требование учитывается достаточно давно. По-видимому, пришло время сделать нечто подобное и в теории страхования. Следует отметить, что создатели теории страхования ясно понимали необходимость таких оценок (достаточно вспомнить знаменитое неравенство Лундберга (см. [102]), которое дает пессимистическую границу вероятности разорения). Аналогичная картина типична для теории вероятности в целом. Например, А. Ляпунов и А. Марков уделяли большое внимание оценкам скорости сходимости в известных предельных теоремах. і В последние годы в области страховой математики получено значитель- ное количество асимптотических результатов. Известно, что асимптотические формулы для определения вероятности разорения страховой компании хорошо работают только при достаточно больших значениях начального капитала, а для некоторых асимптотик точность вообще остается неизвестной. Однако крупных капиталов у российских страховщиков зачастую просто нет. Наиболее актуальным для российского страхового рынка является случай небольших и средних начальных капиталов. В свете этого зна- & чимость численных методов исследования вероятности разорения в данной ситуации трудно переоценить, и появляется необходимость в их развитии. В свою очередь, для правильного и ресурсоэкономного применения численных методов необходимо предварительное асимптотическое исследование вероятности разорения. Таким образом, нельзя говорить о приоритете численных или строго аналитических методов для получения наиболее объективных оценок вероятности разорения, а следует признать необходимость их симбиоза для достижения наилучших результатов. Основная идея работы состоит в том, что процесс исследования вероятности разо-
2^ рения разбивается на три условных этапа. На первом этапе проходит ана-Щ литическое исследование определенной математической модели риска. На втором этапе на основе предварительно проведенного аналитического исследования модели строится гипотеза о поведении решения задачи и план вычислительного эксперимента для проверки этой гипотезы. На третьем проводится вычислительный эксперимент и с его помощью делается проверка гипотезы о поведении решения задачи, а также анализ известных результатов в страховой математике. В диссертационной работе внимание сосредоточено на задаче оценки вероятности разорения в рамках трех моделей математической теории риска: классической модели риска, классической модели риска с постоянным приростом капитала и модели риска с дискретным временем.
Прежде всего раскроем понятие вероятности разорения. Вероятность разорения представляет собой удобный показатель, характеризующий процесс коллективного риска. Такой процесс (процесс риска) удобно трактовать как изменение капитала, принадлежащего страховой компании. Существуют две причины его изменения: из-за поступления взносов от клиентов (премии) и из-за страховых выплат. Как правило (хотя и не всегда), рассматриваются модели с детерминированным процессом поступления премий. Однако процесс страховых выплат всегда считается стохастическим. Следовательно, и процесс риска является случайным. Политика страховой компании состоит в назначении размеров премий и выплат. Понятно, что при этом следует принять во внимание стохастичность процесса риска. На практике такой учет часто реализуется на основе центральной предельной теоремы. Именно, считается, что наличие достаточно большого числа выплат за некоторый промежуток времени гарантирует нормальность распределения суммарных выплат и, следовательно, дает возможность рассчитать размер премии с требуемым уровнем достоверности. Привлечение теории больших уклонений позволяет уточнить подобного рода оценки» Однако при принятии различного рода решений, в том числе и при расчете премий, целесообразно иметь критерий, который оценивает качество принимаемых решений и чувствителен к изменению параметров процесса риска. Одним из широко распространенных критериев служит вероятность разорения, трактуемая как вероятность того, что процесс риска опустится ниже определенного уровня (например, нулевого) за данный промежуток времени (конечный или бесконечный). Обычно вероятность разорения рассматривается как функция начального капитала страховой компании.
Математическое исследование вероятности разорения началось с клас сических работ Г. Крамера [32,33], результаты которых вошли во многие учебники по теории вероятностей. В последние годы данная проблематика стала чрезвычайно популярной. Возникающие задачи интересны матема тически и требуют разработки новых методов исследования. Достаточно заметить, что даже при анализе классических моделей были востребова- tijk ны факторизация Винера-Хопфа, тождество Спицера, теория мартингалов, теория марковских процессов и случайного блуждания. Желание рассматривать более реалистичные модели приводит как к учету новых факторов (инфляция, перестрахование и др.), так и к неизбежному расширению спектра применяемых методов, а также к новым качественным закономерностям. Например, асимптотика вероятности разорения (при бесконечном увеличении начального капитала страховой компании) совершенно различна в ситуациях, когда случайные размеры выплат имеют экспоненциальный момент и когда их распределения имеют тяжелые хвосты.
Нужно упомянуть несколько работ, посвященных оценкам вероятностей разорения. Следующий перечень содержит наиболее важные работы. Первая группа работ затрагивает модели страхования, когда распределения размеров выплат имеют экспоненциальный момент: Россберг и Сигель [108], Калашников [93], Фуррер и Шмидли [62]. Вторая группа работ рассматривает модели страхования, когда распределения размеров выплат имеют тяжелые хвосты: Калашников [92,93], Лин [100], Уиллмот [125], Уиллмот и Лин [126].
Невозможность получения явного вида вероятности разорения во многих моделях приводит к необходимости нахождения различных аппроксимаций. К подобным аппроксимациям можно отнести асимптотические формулы, дающие выражения для вероятностей разорения при больших значениях начального капитала. Примером может служить знаменитая формула Крамера-Лундберга (см. [59]). Другими примерами являются аппроксимации типа эвристической формулы де Вильдера (см. [120,121]) или получаемые как следствия предельных теорем, например диффузионная аппроксимация. Существенным недостатком упомянутых типов аппроксимаций является отсутствие оценок их точности. Более того, существуют примеры, когда их применение приводит к большим относительным ошибкам. В этом плане предпочтительнее иметь двусторонние оценки вероятностей разорения. Часть диссертационной работы посвящена разработке методов получения подобных оценок, которые по меньшей мере достоверно указывают область изменения искомой функции и в известном смысле согласуются с существующими асимптотическими формулами. При нахождении аппроксимаций вероятностей разорения в работе используются не только аналитические и численные методы, но и методы компьютерного моделирования. Эффективность и достоверность их использования часто требуют решения нетривиальных математических задач. Например, стандартные методы математической статистики не работают при попытке их использования для оценивания вероятности разорения на основе моделирования процессов риска просто потому, что разорение является редким событием. Это приводит к необходимости моделирования, например, процессов, получаемых из исходных процессов риска путем соответствующего преобразования вероятностной меры. Однако вид такого преобразования и его реализация на компьютере далеко не тривиальны.
В первой главе определяется случай тяжелых хвостов и приводятся примеры распределений с тяжелыми хвостами. Рассматривается классическая модель риска с однородным пуассоновским потоком платежей интенсивности А > 0 и постоянной ставкой премий с. Проводится обзор и сравнение известных аналитических и численных методов оценки вероятности разорения, а также рассматривается проблема средних значений начальных капиталов для данной модели риска. Описываются классическая модель риска с постоянным приростом начального капитала и модель риска с дискретным временем при условиях, что начальный капитал стремится к бесконечности и распределения страхового и финансового рисков имеют тяжелые хвосты.
Вторая глава содержит основную аналитическую часть работы. Здесь приводятся собственные асимптотические и двусторонние оценки для вероятности разорения в рамках двух математических моделей риска: модели риска с постоянным приростом начального капитала и модели риска с дискретным временем при условиях, что начальный капитал стремится к бесконечности и распределения страхового и финансового рисков имеют тяжелые хвосты. Главным результатом второй главы явилось доказательство нескольких теорем.
В третьей главе приводятся оригинальные алгоритмы расчета вероятности разорения страховой компании, основанные на аналитическом исследовании моделей риска, расмотренных в первой и второй главах работы. Даются оценки точности всем алгоритмам и оценка скорости сходимости одного из этих алгоритмов. Результаты работы другого алгоритма подтверждают гипотезу о существовании быстрого численного метода решения задачи о средних значениях начальных капиталов в классической модели риска. Результаты работы третьего алгоритма используются для подтверждения гипотезы о существовании контрастного изменения вероятности разорения в модели риска с дискретным временем и логарифмически устойчивым распределением финансового риска. Производится численный анализ качества известных асимптотик на основе приведенных алгоритмов и показывается, что для небольших и средних начальных капиталов асимптотические результаты существенно уступают численным.
Двусторонние оценки для функции распределения геометрической суммы
Прежде всего раскроем понятие вероятности разорения. Вероятность разорения представляет собой удобный показатель, характеризующий процесс коллективного риска. Такой процесс (процесс риска) удобно трактовать как изменение капитала, принадлежащего страховой компании. Существуют две причины его изменения: из-за поступления взносов от клиентов (премии) и из-за страховых выплат. Как правило (хотя и не всегда), рассматриваются модели с детерминированным процессом поступления премий. Однако процесс страховых выплат всегда считается стохастическим. Следовательно, и процесс риска является случайным. Политика страховой компании состоит в назначении размеров премий и выплат. Понятно, что при этом следует принять во внимание стохастичность процесса риска. На практике такой учет часто реализуется на основе центральной предельной теоремы. Именно, считается, что наличие достаточно большого числа выплат за некоторый промежуток времени гарантирует нормальность распределения суммарных выплат и, следовательно, дает возможность рассчитать размер премии с требуемым уровнем достоверности. Привлечение теории больших уклонений позволяет уточнить подобного рода оценки» Однако при принятии различного рода решений, в том числе и при расчете премий, целесообразно иметь критерий, который оценивает качество принимаемых решений и чувствителен к изменению параметров процесса риска. Одним из широко распространенных критериев служит вероятность разорения, трактуемая как вероятность того, что процесс риска опустится ниже определенного уровня (например, нулевого) за данный промежуток времени (конечный или бесконечный). Обычно вероятность разорения рассматривается как функция начального капитала страховой компании.
Математическое исследование вероятности разорения началось с клас сических работ Г. Крамера [32,33], результаты которых вошли во многие учебники по теории вероятностей. В последние годы данная проблематика стала чрезвычайно популярной. Возникающие задачи интересны матема тически и требуют разработки новых методов исследования. Достаточно заметить, что даже при анализе классических моделей были востребова tijk ны факторизация Винера-Хопфа, тождество Спицера, теория мартингалов, теория марковских процессов и случайного блуждания. Желание рассматривать более реалистичные модели приводит как к учету новых факторов (инфляция, перестрахование и др.), так и к неизбежному расширению спектра применяемых методов, а также к новым качественным закономерностям. Например, асимптотика вероятности разорения (при бесконечном увеличении начального капитала страховой компании) совершенно различна в ситуациях, когда случайные размеры выплат имеют экспоненциальный момент и когда их распределения имеют тяжелые хвосты.
Нужно упомянуть несколько работ, посвященных оценкам вероятностей разорения. Следующий перечень содержит наиболее важные работы. Первая группа работ затрагивает модели страхования, когда распределения размеров выплат имеют экспоненциальный момент: Россберг и Сигель [108], Калашников [93], Фуррер и Шмидли [62]. Вторая группа работ рассматривает модели страхования, когда распределения размеров выплат имеют тяжелые хвосты: Калашников [92,93], Лин [100], Уиллмот [125], Уиллмот и Лин [126].
Невозможность получения явного вида вероятности разорения во многих моделях приводит к необходимости нахождения различных аппроксимаций. К подобным аппроксимациям можно отнести асимптотические формулы, дающие выражения для вероятностей разорения при больших значениях начального капитала. Примером может служить знаменитая формула Крамера-Лундберга (см. [59]). Другими примерами являются аппроксимации типа эвристической формулы де Вильдера (см. [120,121]) или получаемые как следствия предельных теорем, например диффузионная аппроксимация. Существенным недостатком упомянутых типов аппроксимаций является отсутствие оценок их точности. Более того, существуют примеры, когда их применение приводит к большим относительным ошибкам. В этом плане предпочтительнее иметь двусторонние оценки вероятностей разорения. Часть диссертационной работы посвящена разработке методов получения подобных оценок, которые по меньшей мере достоверно указывают область изменения искомой функции и в известном смысле согласуются с существующими асимптотическими формулами. При нахождении аппроксимаций вероятностей разорения в работе используются не только аналитические и численные методы, но и методы компьютерного моделирования. Эффективность и достоверность их использования часто требуют решения нетривиальных математических задач. Например, стандартные методы математической статистики не работают при попытке их использования для оценивания вероятности разорения на основе моделирования процессов риска просто потому, что разорение является редким событием. Это приводит к необходимости моделирования, например, процессов, получаемых из исходных процессов риска путем соответствующего преобразования вероятностной меры. Однако вид такого преобразования и его реализация на компьютере далеко не тривиальны.
В первой главе определяется случай тяжелых хвостов и приводятся примеры распределений с тяжелыми хвостами. Рассматривается классическая модель риска с однородным пуассоновским потоком платежей интенсивности А 0 и постоянной ставкой премий с. Проводится обзор и сравнение известных аналитических и численных методов оценки вероятности разорения, а также рассматривается проблема средних значений начальных капиталов для данной модели риска. Описываются классическая модель риска с постоянным приростом начального капитала и модель риска с дискретным временем при условиях, что начальный капитал стремится к бесконечности и распределения страхового и финансового рисков имеют тяжелые хвосты.
Вторая глава содержит основную аналитическую часть работы. Здесь приводятся собственные асимптотические и двусторонние оценки для вероятности разорения в рамках двух математических моделей риска: модели риска с постоянным приростом начального капитала и модели риска с дискретным временем при условиях, что начальный капитал стремится к бесконечности и распределения страхового и финансового рисков имеют тяжелые хвосты. Главным результатом второй главы явилось доказательство нескольких теорем.
Модель риска с дискретным временем и случайным финансовым риском
Прежде всего раскроем понятие вероятности разорения. Вероятность разорения представляет собой удобный показатель, характеризующий процесс коллективного риска. Такой процесс (процесс риска) удобно трактовать как изменение капитала, принадлежащего страховой компании. Существуют две причины его изменения: из-за поступления взносов от клиентов (премии) и из-за страховых выплат. Как правило (хотя и не всегда), рассматриваются модели с детерминированным процессом поступления премий. Однако процесс страховых выплат всегда считается стохастическим. Следовательно, и процесс риска является случайным. Политика страховой компании состоит в назначении размеров премий и выплат. Понятно, что при этом следует принять во внимание стохастичность процесса риска. На практике такой учет часто реализуется на основе центральной предельной теоремы. Именно, считается, что наличие достаточно большого числа выплат за некоторый промежуток времени гарантирует нормальность распределения суммарных выплат и, следовательно, дает возможность рассчитать размер премии с требуемым уровнем достоверности. Привлечение теории больших уклонений позволяет уточнить подобного рода оценки» Однако при принятии различного рода решений, в том числе и при расчете премий, целесообразно иметь критерий, который оценивает качество принимаемых решений и чувствителен к изменению параметров процесса риска. Одним из широко распространенных критериев служит вероятность разорения, трактуемая как вероятность того, что процесс риска опустится ниже определенного уровня (например, нулевого) за данный промежуток времени (конечный или бесконечный). Обычно вероятность разорения рассматривается как функция начального капитала страховой компании.
Математическое исследование вероятности разорения началось с клас сических работ Г. Крамера [32,33], результаты которых вошли во многие учебники по теории вероятностей. В последние годы данная проблематика стала чрезвычайно популярной. Возникающие задачи интересны матема тически и требуют разработки новых методов исследования. Достаточно заметить, что даже при анализе классических моделей были востребованы факторизация Винера-Хопфа, тождество Спицера, теория мартингалов, теория марковских процессов и случайного блуждания. Желание рассматривать более реалистичные модели приводит как к учету новых факторов (инфляция, перестрахование и др.), так и к неизбежному расширению спектра применяемых методов, а также к новым качественным закономерностям. Например, асимптотика вероятности разорения (при бесконечном увеличении начального капитала страховой компании) совершенно различна в ситуациях, когда случайные размеры выплат имеют экспоненциальный момент и когда их распределения имеют тяжелые хвосты.
Нужно упомянуть несколько работ, посвященных оценкам вероятностей разорения. Следующий перечень содержит наиболее важные работы. Первая группа работ затрагивает модели страхования, когда распределения размеров выплат имеют экспоненциальный момент: Россберг и Сигель [108], Калашников [93], Фуррер и Шмидли [62]. Вторая группа работ рассматривает модели страхования, когда распределения размеров выплат имеют тяжелые хвосты: Калашников [92,93], Лин [100], Уиллмот [125], Уиллмот и Лин [126].
Невозможность получения явного вида вероятности разорения во многих моделях приводит к необходимости нахождения различных аппроксимаций. К подобным аппроксимациям можно отнести асимптотические формулы, дающие выражения для вероятностей разорения при больших значениях начального капитала. Примером может служить знаменитая формула Крамера-Лундберга (см. [59]). Другими примерами являются аппроксимации типа эвристической формулы де Вильдера (см. [120,121]) или получаемые как следствия предельных теорем, например диффузионная аппроксимация. Существенным недостатком упомянутых типов аппроксимаций является отсутствие оценок их точности. Более того, существуют примеры, когда их применение приводит к большим относительным ошибкам. В этом плане предпочтительнее иметь двусторонние оценки вероятностей разорения. Часть диссертационной работы посвящена разработке методов получения подобных оценок, которые по меньшей мере достоверно указывают область изменения искомой функции и в известном смысле согласуются с существующими асимптотическими формулами. При нахождении аппроксимаций вероятностей разорения в работе используются не только аналитические и численные методы, но и методы компьютерного моделирования. Эффективность и достоверность их использования часто требуют решения нетривиальных математических задач. Например, стандартные методы математической статистики не работают при попытке их использования для оценивания вероятности разорения на основе моделирования процессов риска просто потому, что разорение является редким событием. Это приводит к необходимости моделирования, например, процессов, получаемых из исходных процессов риска путем соответствующего преобразования вероятностной меры. Однако вид такого преобразования и его реализация на компьютере далеко не тривиальны.
Оценки вероятности разорения на одном временном отрезке
Существенным недостатком рекурсивного алгоритма Дюфресне и Гербера явилась низкая скорость работы, чтобы можно было за приемлемое время досчитать до тех значений ж, когда с допустимой точностью начинают работать асимптотические формулы.
Так, при относительной ошибке численного решения, не превосходящей є, є 0.03, этот алгоритм в случае А = 0.7 и паретовского распределения при а = 3 за машинное время 40 минут на PC Pentium 3-800 дает решение лишь при х 500. Более того, с увеличением тяжести хвоста или с ростом х время счета становится настолько большим, что дальнейшее использование данного алгоритма делается невозможным. В свою очередь, известно,что асимптотические формулы для ф(х) хорошо работают только при достаточно больших значениях начального капитала, примерно при и 104 единиц (где за единицу принимается средняя страховая премия в единицу времени), а для некоторых асимптотик точность вообще остается неизвестной. Однако таких капиталов у российских страховщиков зачастую просто нет. Наиболее актуальным для российского страхового рынка является случай небольших и средних начальных капиталов.
В результате возникает задача вычисления ф{х) при средних значениях аргумента, где не работают известные асимптотики и алгоритм Дюфресне и Гербера. Данная задача была поставлена В.В. Калашниковым, на ее важность указывал С. Асмуссен.
В последнее время особый интерес у специалистов в области страховой математики вызывает влияние новых факторов на поведение вероятности разорения. Так, в работе [16] показано, что введение ненулевого постоянного процента прироста капитала г 0 в классическую модель риска в случае больших выплат приводит к асимптотическому поведению вероятности разорения, отличающемуся от (1.2.8). Постоянный процент прироста капитала еще принято называть постоянным интересом.
Основой для полученных результатов послужила классическая модель риска с однородным пуассоновским потоком платежей интенсивности А О и постоянной ставкой премий с. Предпологаем, что времена поступления заявок составляют пуассоновский поток {N(t))t 0, который не зависит от размеров выплат {Zk)k i и обладает интенсивностью А 0. Тогда, сложный пуассоновский поток X{t) — 2к=і к предстваляет общую величину исков к концу времени t 0 с X(t) = 0, когда N(t) — 0. Пусть х 0 обозначает начальный капитал страховой компании, тогда общий доход за время t представляется величиной UT(t)y удовлетворяющей уравнению
Вероятность разорения для определенного выше процесса риска будет определятся соотношением В последнее время вероятность разорения с постоянным интересом фг{х) рассматривалась в работах Асмуссена [16], Клюппельберг и Штадтмюллера [99], Калашникова и Цициашвили [127]. Они получили асимптотические формулы, схожие с классической асимптотикой (1.2.8).
Для субэкспоненциальных распределений в [16] предложена следующая асимптотика для расчета вероятности разорения фТ{х) с постоянным положительным коэффициентом прироста капитала (постоянным интересом) г 0:
Случай r = 0 приводит к результату (1.2.8). Формула (1.3.24) лишний раз подтверждает тезис о том, что асимптотическое разложение не содержит достаточно полной информации о поведении вероятности разорения, поскольку случаи г = 0 и г О приводят к принципиально разным асимптотическим результатам. Почти одновременно Клюппельберг и Штадт-мюллер [99] использовали сложные аналитические методы для получения (1.3.24) при наличии у распределений выплат регулярно меняющихся хвостов с параметром а 1, т. е. где Ь{х) неотрицательная, медленно меняющаяся функция при х - со. Иными словами, В Є К— а, где 71-а есть класс регулярно меняющихся функций с параметром а. В работе [127] приводится простой вывод (1.3.24) в случае с субэкспоненциальными распределениями. Страховой рынок России в последнее десятилетие, в отличие от своих западных аналогов, характеризуется большей нестабильностью,влиянием дополнительных факторов риска, общей политической и экономической обстановкой в стране. Возникла объективная необходимость наряду с долгосрочными прогнозами проводить оценку ситуации и на небольших отрезках времени с учетом дополнительных рисков. В третьей главе работы приводятся асимптотические и численные оценки вероятности разорения на конечных отрезках времени в модели риска с дискретным временем при условиях, что начальный капитал стремится к бесконечности и распределения страхового и финансового рисков имеют тяжелые хвосты. Пусть случайная величина Хп характеризует страховой риск в году п, а неотрицательная случайная величина Уп определяет финансовый риск в году п. Здесь Хп разница между выплатой и доходом страховой компании в году п, аУп отношение курса валюты в начале года п к курсу валюты в конце года п. Будем считать, что случайные последовательности (Xi,..., Хп), (УЇ,..., Yn) независимы и каждая из них состоит из независимых и одинаково распределенных случайных величин со своим законом распределения, обозначим.
Результаты численного эксперимента по вычислению функций
Невозможность получения явного вида вероятности разорения во многих моделях приводит к необходимости нахождения различных аппроксимаций. К подобным аппроксимациям можно отнести асимптотические формулы, дающие выражения для вероятностей разорения при больших значениях начального капитала. Примером может служить знаменитая формула Крамера-Лундберга (см. [59]). Другими примерами являются аппроксимации типа эвристической формулы де Вильдера (см. [120,121]) или получаемые как следствия предельных теорем, например диффузионная аппроксимация. Существенным недостатком упомянутых типов аппроксимаций является отсутствие оценок их точности. Более того, существуют примеры, когда их применение приводит к большим относительным ошибкам. В этом плане предпочтительнее иметь двусторонние оценки вероятностей разорения. Часть диссертационной работы посвящена разработке методов получения подобных оценок, которые по меньшей мере достоверно указывают область изменения искомой функции и в известном смысле согласуются с существующими асимптотическими формулами. При нахождении аппроксимаций вероятностей разорения в работе используются не только аналитические и численные методы, но и методы компьютерного моделирования. Эффективность и достоверность их использования часто требуют решения нетривиальных математических задач. Например, стандартные методы математической статистики не работают при попытке их использования для оценивания вероятности разорения на основе моделирования процессов риска просто потому, что разорение является редким событием. Это приводит к необходимости моделирования, например, процессов, получаемых из исходных процессов риска путем соответствующего преобразования вероятностной меры. Однако вид такого преобразования и его реализация на компьютере далеко не тривиальны.
В первой главе определяется случай тяжелых хвостов и приводятся примеры распределений с тяжелыми хвостами. Рассматривается классическая модель риска с однородным пуассоновским потоком платежей интенсивности А 0 и постоянной ставкой премий с. Проводится обзор и сравнение известных аналитических и численных методов оценки вероятности разорения, а также рассматривается проблема средних значений начальных капиталов для данной модели риска. Описываются классическая модель риска с постоянным приростом начального капитала и модель риска с дискретным временем при условиях, что начальный капитал стремится к бесконечности и распределения страхового и финансового рисков имеют тяжелые хвосты.
Вторая глава содержит основную аналитическую часть работы. Здесь приводятся собственные асимптотические и двусторонние оценки для вероятности разорения в рамках двух математических моделей риска: модели риска с постоянным приростом начального капитала и модели риска с дискретным временем при условиях, что начальный капитал стремится к бесконечности и распределения страхового и финансового рисков имеют тяжелые хвосты. Главным результатом второй главы явилось доказательство нескольких теорем.
В третьей главе приводятся оригинальные алгоритмы расчета вероятности разорения страховой компании, основанные на аналитическом исследовании моделей риска, расмотренных в первой и второй главах работы. Даются оценки точности всем алгоритмам и оценка скорости сходимости одного из этих алгоритмов. Результаты работы другого алгоритма подтверждают гипотезу о существовании быстрого численного метода решения задачи о средних значениях начальных капиталов в классической модели риска. Результаты работы третьего алгоритма используются для подтверждения гипотезы о существовании контрастного изменения вероятности разорения в модели риска с дискретным временем и логарифмически устойчивым распределением финансового риска. Производится численный анализ качества известных асимптотик на основе приведенных алгоритмов и показывается, что для небольших и средних начальных капиталов асимптотические результаты существенно уступают численным.
