Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Исходные данные и математический аппарат для моделирования скелетной системы ОДА 11
1.1 Введение 11
1.2 Исходные данные, методы получения 12
1.2.1 Морфологические данные, компьютерная томография 12
1.2.2 Кинематические данные, системы захвата движения и гониометрия 15
1.3 Математический и механический аппарат, используемый для описания морфологии и кинематики 21
1.3.1 Морфология и сегментная кинематика 21
1.3.2 Используемые системы координат 25
1.3.3 Суставная кинематика 29
1.3.4 Представление вращений 31
Глава 2. Методы построения морфологических и кинематических моделей скелетной системы ОДА 33
2.1 Введение 33
2.2 Метод нахождения параметров суставов скелетной системы 33
2.2.1 Характеристики контактных поверхностей костей, построение их аппроксимаций 39
2.2.2 Получение регрессионных оценок 41
2.2.3 Выбор весовых коэффициентов 43
2.3 Методы регистрации морфологических и кинематических данных45
2.4 Двухшаговый метод регистрации 48
2.4.1 Масштабирование 49
2.4.2 Первый шаг регистрации, кинематика суставов 50
2.4.3 Второй шаг регистрации, оптимизация позы 52
Глава 3. Мягкие ткани ОДА, строение, способы получения экспериментальных данных 53
3.1 Введение 53
3.2 Сведения о строении мягких тканей 54
3.2.1 Типы мышц 54
3.2.2 Строение скелетных мышц, их свойства 55
3.3 Исходные данные, методы получения 58
3.3.1 Компьютерная томография 59
3.3.2 Дисекция биологического материала 60
3.4 Стереофотограмметрия 61
3.4.1 Модели камер 61
3.4.2 Калибровка фотографической камеры 66
3.4.3 Калибровка системы камер 70
3.4.4 Трехмерная реконструкция 71
3.4.5 Разработанная измерительная система, проверка, применение.73
Глава 4. Методы построения моделей мягких тканей ОДА 78
4.1 Введение 78
4.2 Существующие подходы к моделированию мягких тканей 78
4.3 Сплайновые объекты, применяемые при моделировании мягких тканей 82
4.3.1 Интерполяционные и сглаживающие сплайновые кривые и поверхности 82
4.3.2 В-сплайны как базис пространства сплайнов 88
4.3.3 В-сплайновые кривые, фигуры, поверхности и тела 90
4.3.4 Функция объема сплайнового тела, ее градиент 92
4.3.5 Сохраняющие объем деформации В-сплайновых тел 96
4.3.6 Определение ключевых точек В-сплайнов 98
4.4 Построение морфо-кинематической модели мягких тканей 100
Глава 5. Полученные результаты и их анализ 103
5.1 Введение 103
5.2 Регрессионный метод определения параметров суставов 104
5.3 Регистрация данных скелетной системы 110
5.4 Моделирование мягких тканей 119
Заключение 124
Литература 125
Приложение
- Исходные данные, методы получения
- Метод нахождения параметров суставов скелетной системы
- Сведения о строении мягких тканей
- Существующие подходы к моделированию мягких тканей
Введение к работе
Диссертация посвящена построению математических моделей опорно-двигательного аппарата (ОДА) человека, разработке методов сбора необходимых для моделирования экспериментальных данных о строении и движении ОДА человека, математических методов их обработки и анализа. Используемые данные содержат морфологическую информацию о скелетной и мышечной системе ОДА, а также сведения о движениях, собранные как для отдельных суставов, так и для всего организма в целом. В силу особенностей измерительных приборов, этических норм, а также ряда других ограничений, сбор данных осуществлялся как in vivo, так и in vitro. In vitro методы позволяют получать морфологические и кинематические данные с высокой точностью, в то время как сбор данных in vivo методами позволяет измерить двигательную активность живого человека. В диссертации, на основе методов механики и вычислительной математики, предложены и реализованы новые методы регистрации, объединяющие разнородные данные в единую, анатомически корректную математическую модель ОДА человека.
Актуальность
Для развития современных представлений о движении человека, функционировании его ОДА необходимо совершенствование измерительной аппаратуры, методов сбора, обработки и анализа разнообразных данных о морфологии, кинематике и динамике ОДА человека.
Решение этих комплексных задач может быть обеспечено лишь на базе разработки моделей, основанных на методах математики и механики, и специализированного программного обеспечения, использующего постоянно возрастающие возможности современной вычислительной аппаратуры, для визуализации и анализа результатов.
Современные измерительные приборы позволяют получать данные о морфологических, кинематических и динамических параметрах ОДА человека с высокой точностью. В силу различий в техниках измерений и особенностей аппаратуры остаются трудности в вопросах объединения таких разнородных данных для построения анатомически корректной модели скелетно-мышечной системы в целом. Кроме того, развитие моделей функционирования ОДА человека требует учета новых типов данных о строении мягких тканей, мышц и их активности при движениях, для которых не существует высокоточных техник получения информации. Необходимость такого моделирования обуславливается задачами, возникающими в медицине, в частности в ортопедии и при протезировании, что свидетельствует об актуальности задачи построения математических моделей ОДА, разработки методов сбора, регистрации и анализа морфологических и кинематических данных.
Цель работы
Целью диссертации является разработка адекватной математической модели морфологии и кинематики ОДА человека и ее программной реализации, позволяющей пользователю в интерактивном режиме регистрировать и анализировать собранные им гетерогенные данные. Результирующая модель должна объединить информацию о морфологии и кинематике скелета, моделируемого в виде системы твердых тел, и мягких тканей, мышц, моделирование которых требует рассмотрения задач кинематики деформируемых объектов.
Основные задачи
Разработка методов обработки экспериментальных данных о морфологии костей с целью аппроксимации положений и ориентации основных суставов ОДА.
Разработка математических методов регистрации морфологических и кинематических данных о скелете человека, моделируемого как система твердых тел.
Разработка методов реконструкции данных о морфологии мягких тканей ОДА человека и их регистрации с моделями скелетной системы.
Разработка протоколов для сбора и представления данных о морфологии и кинематике скелета и мягких тканей.
Разработка модулей программной системы, реализующих новые методы регистрации морфологических и кинематических данных и обеспечивающих визуализацию создаваемых моделей.
Методы исследований
В работе применяются численные методы анализа и аппроксимации экспериментальных данных, вычислительной механики систем тел, компьютерной графики и вычислительной геометрии.
Достоверность результатов и выводов
Достоверность результатов определяется строгостью используемого в работе математического аппарата, применением обоснованных численных методов и сравнительным анализом результатов, полученных в диссертации, с имеющимися экспериментальными данными и публикациями других авторов.
Научная новизна
Научную новизну составляют следующие результаты работы, являющиеся предметом защиты.
В диссертации предложен и разработан новый подход, позволивший создать морфологически адекватную и кинематически корректную математическую модель ОДА человека на основе применения группы методов вычислительной математики.
Предложен новый метод для определения позиций и ориентации основных суставов конечностей ОДА человека на основе информации о положениях пальпируемых анатомических меток.
Разработаны оригинальные методы объединения данных о морфологии костей, высокоточной кинематике суставов и движения ОДА в целом.
Разработан стереофотограмметрический метод сбора морфологических данных о строении мышечных тканей человека и их регистрации к ОДА.
Предложен метод, позволивший аппроксимировать движение мягких тканей, данные о морфологии которых получены на том же биологическом материале, что и использованный при моделировании скелетной системы.
Практическая ценность
Разработанные в диссертации методы анализа и регистрации данных, а- также программная реализация этих методов, позволяют строить адекватные модели ОДА человека с учетом морфологии и кинематики, которые применимы для решения задач ортопедии и протезирования, а также в образовательных целях. Проведенные теоретические исследования и численные эксперименты показывают преимущества разработанных методов над существовавшими ранее.
Апробация работы
Результаты работы были представлены на
Политехническом Симпозиуме, Санкт-Петербург, Россия, 2005
9-ом Симпозиуме по 3D анализу движений человека, Валенсии, Франция, 2006 (9th Symposium On 3D Analysis of Human Motion, Valenciennes, France, 2006)
5-ом Всемирном конгрессе по биомеханике, Мюнхен, Германия, 2006 (5th World Congress of Biomechanics, Munich, Germany, 2006)
21-ом Конгрессе Международного Сообщества Биомеханики, Тайпей, Тайвань, 2007 (XXI Congress of International Society of Biomechanics, Taipei, Taiwan, 2007)
8-ом Всемирном Конгрессе по Вычислительной Механике, Венеция, Италия, 2008 (VIII World Congress on Computational Mechanics, Venice, Italy, 2008)
16-ом Конгрессе Европейского Сообщества Биомеханики, Люцерн, Швейцария, 2008 (XVI Congress of European Society of Biomechanics, Lucerne, Switzerland, 2008)
Результаты работы изложены в двенадцати публикациях.
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения списка литературы и двух приложений.
Во введении обоснованы актуальность темы, научная новизна и практическая значимость диссертационной работы, сформулированы основные цели и задачи исследования, приведены сведения об апробации работы и публикациях. Здесь же кратко изложено основное содержание работы.
В диссертационной работе построение модели ОДА человека разделяется на две составляющих: задачу построения кинематической модели скелетной системы, решаемую методами моделирования систем твердых тел, и пополнение результатов первого этапа морфологически корректными моделями мягких тканей (связок, сухожилий и мышц).
В первой главе рассматриваются базовые вопросы моделирования скелетной системы ОДА. В главе представлены использованные методики сбора экспериментальных данных, проанализированы их свойства, факторы, ограничивающие возможности их применения, и существующие подходы преодоления этих ограничений. Здесь же приведено описание современного математического и механического аппарата, применяемого для представления морфологии и кинематики ОДА человека.
Вторая глава посвящена решению задач анализа и регистрации имеющихся исходных данных для построения моделей скелетной системы ОДА. Здесь предложены регрессионный метод определения характеристик суставов, а также метод двухшаговой регистрации сведений о морфологии и кинематике, позволяющий использовать все преимущества доступных измерительных методов.
Третья глава посвящена рассмотрению структуры моделируемых мягких тканей, моделями которых расширяются построенные модели скелетной системы, методов сбора информации о них. В главе представлена разработанная стереофотограмметрическая система для измерений морфологии поверхностей мягких тканей.
Четвертая глава посвящена расширению моделей ОДА, ее дополнению моделями мягких тканей на основе собранных экспериментальных данных. В главе предложен метод их регистрации с моделью скелетной системы, основанный на использовании параметризованных сплайновых кривых, поверхностей и тел, позволяющий реалистично воспроизводить кинематику мышечной системы ОДА человека.
В пятой главе представлены результаты, получаемые при использовании разработанных методов, их анализ. Эффективность регрессионного метода оценки параметров суставов доказывается проведением процедуры перекрестной проверки с последовательным исключением, анализом результатов, получаемых при его применении для оценки параметров реконструированного томографическим методом образца, а также сравнением с опубликованными в доступной литературе результатами. Работа двухшагового метода регистрации оценивается путем сравнения получаемой модели с результатами других распространенных подходов к решению такой задачи. Проанализированы различия в получаемых моделях, получаемые при их использовании значения важнейших характеристик движения сопоставлены с результатами, опубликованными в литературе. Для оценки эффективности разработанных методов моделирования мягких тканей использованы результаты сравнения получаемых моделей с проведенными измерениями и экспертные оценки результатов, получаемых в результате их работы. Экспертами выступали специалисты в области анатомии.
В заключении представлены основные результаты работы.
В приложениях приведены принципы построения и результаты разработки модулей программных систем, реализующих разработанные в диссертации методы и позволяющие визуализировать результаты их работы.
В диссертации принята тройная нумерация формул: первое число соответствует номеру главы, второе— номеру параграфа, третье — порядковому номеру формулы в параграфе. Для рисунков и таблиц используется двойная нумерация: первое число — номер главы, второе — порядковый номер рисунка или таблицы в главе.
Исходные данные, методы получения
Наиболее распространенным методом получения морфологических данных является томография, которая представляет собой метод неразрушающего послойного исследования внутренней структуры объекта посредством его многократного просвечивания. Результатом проведения такого исследования является набор изображений исследуемого объекта в параллельных срезах, используемых для последующего восстановления его формы. Измерительный комплекс, используемый для сбора данных, называется томографом, а создаваемый им набор изображений — томограммой. В основе томографии лежит принцип томографической реконструкции, позволяющий восстановить форму объекта по его проекциям в параллельных срезах [64].
Существуют различные виды томографии, классифицируемые по типу используемого излучения. Наиболее распространенными являются рентгеновские, электромагнитные и ультразвуковые системы. Области применения этих систем определяются на основании свойств излучений, характера их взаимодействия с потенциальными объектами исследований. Так как для управления современными измерительными комплексами и обработки получаемых данных широко используется вычислительная техника, метод получил название компьютеризированной, или компьютерной, томографии.
В широком смысле под компьютерной томографией подразумевается весь спектр описываемых систем, однако исторически термин "компьютерная томография" чаще всего ассоциируют с использованием рентгеновского излучения. Именно эта техника применяется для получения морфологической информации о скелетной системе человека [79, 122].
Сбор данных, использованных в диссертации, осуществлен установкой компьютерной томографии Elscint Spiral Twin Flash, позволяющей параллельное двойное сканирование глубиной слоя 0,5 мм и диаметром луча сканирования от 180 до 500 мм. Максимальная длина исследуемого образца составляет 1000 мм Использованные для сбора данных параметры приведены в табл. 1.1.
Если длина объекта, подлежащего сканированию, превышает технически возможную (для рассмотренного примера— 1000 мм), сканирование осуществляется в несколько этапов (обычно для скелетной системы человека достаточно двух). В таких случаях необходимо совмещение результатов последовательных сканирований, для чего перед проведением измерений исследуемый объект оснащается жестко связываемыми с ним контрольными метками. Эти метки должны быть представлены в каждом из получаемых фрагментов и быть легко различимыми. Для системы на основе рентгеновского излучения в качестве таких меток используются алюминиевые шарики малого диаметра.
Для последующего использования результаты сканирования преобразуются в трехмерные модели костей, чаще всего полигональные поверхности. Процесс преобразования является достаточно трудоемким и требует участия квалифицированного специалиста по анатомии, владеющего навыками использования специализированных коммерческих программных продуктов для реконструкции объектов по слайдам томографии, примером которых может служить TGS AMIRA [14].
Метод нахождения параметров суставов скелетной системы
Моделирование движений скелетной системы человека невозможно без знания ряда свойств и параметров ее суставов, к которым относятся: положение сустава, его размер, ориентация, типы движений, возможные для такой конфигурации костей, количество степеней свободы. Некоторые параметры могут быть найдены путем прямых измерений, для определения других необходимо применение более сложных методов, наиболее распространенные из которых делятся на два типа: функциональные и морфологические.
Наиболее точными являются функциональные методы, использующие результаты измерений движений для определения искомых параметров и дающие в нормальных условиях приемлемые результаты для суставов типа шаровых шарниров [33, 34, 70]. В тоже время применимость подхода часто ограничивается трудностями для пациентов в выполнении некоторых типов движений, особенно при наличии патологий [46].
Морфологические методы используют регрессионный анализ, основанный на информации о расположении пальпируемых анатомических меток, для определения морфологических параметров исследуемых суставов [22, 23, 84]. В данном случае точность существенно зависит от погрешностей пальпирования, обусловленных, в частности, подвижностью мягких тканей [71]. В этой связи техника пальпирования постоянно совершенствуется, разрабатываются подходы, позволяющие увеличить ее точность. P. Salvia в своей работе, на примере лопатки и плечевой кости, описал методику, позволяющую локализовать анатомические метки с приемлемой точностью [98]: средняя погрешность нахождения меток, которые описал S. Van Sint Jan [116], составила соответственно 8,1 мм и 3,6 мм. Большинство морфологических методов основывается на ряде упрощающих предположений о строении моделируемых суставов. A.L. Bell [23] и С. Meskers [84] в своих работах, посвященных моделированию плеча, предполагали, что центр суставной впадины лопатки совпадает с центром головки плечевой кости. Аналогичные предположения использовал и Е. Barbaix при моделировании тазобедренного сустава [22]. При таком подходе центр плечевого сустава определяется по расположению анатомических меток лопатки, что дает удовлетворительные результаты при моделировании сустава в нормальном состоянии. При наличии же патологических изменений в суставе, часто приводящих к его нестабильности [54], для определения характеристик которой необходимо проведение специальных клинических тестов [54], соотношение между положениями анатомических меток лопатки и центром головки плечевой кости нельзя считать постоянным в ходе выполнения движений. Кроме того, В. Hatzel обнаружил в плечевом суставе относительные смещения костей, не позволяющие считать его шаровым шарниром даже в нормальном состоянии [58].
При работе над диссертацией разработан метод нахождения ряда позиций и ориентации контактных поверхностей исследуемого сустава, призванный устранить недостатки существующих подходов. Предлагаемое решение аппроксимирует суставные поверхности отдельно для каждой кости, основываясь при этом только на ее анатомических метках [102, 105]. Эти исследования стали возможными после появления подробного описания меток [116], позволившего повысить увеличить точность определения их положений при пальпировании и устранить неоднозначности определения [117]. Метод разрабатывался на примере плечевого сустава. Результаты его работы, техника проверки результатов, а также сравнение с морфологическими методами, описанными в доступной литературе [84], приведены в параграфе 5.2. В качестве образцов для построения регрессии использовались сухие кости (78 образцов плечевой кости, 57 образцов лопаточной и 44 образца ключиц), взятые из остеологического собрания ULB. Каждый образец был измерен с использованием 3D дигитайзера Platinum FaroArm 4ft, конструктивная точность которого составляет 0,013 мм [9]. Полученные экспериментальные данные содержали сведения о расположении необходимых пальпируемых анатомических меток, а также большого количества точек, равномерно распределенных по исследуемым поверхностям и используемых в дальнейшем для построения их аппроксимаций: сфер и плоскостей.
Сведения о строении мягких тканей
Если скелетная система формирует основу, каркас, ОДА человека и служит его фундаментом, то мышечная система формирует законченную форму ОДА, определяет внешнюю форму тела человека, практически полностью заполняя пространство между скелетом и кожей.
Мышечная масса состоит из мышц трех видов: сердечных, гладких и скелетных. Каждый из видов мышц существенно отличается с функциональной точки зрения, однако базовые основы происходящих процессов остаются неизменными [81]. Сердечные мышцы, располагающиеся исключительно в сердце человека, выполняют роль насосов, обеспечивающих кровообращение. Гладкие мышцы окружают внутренние органы или являются их частью. Они могут быть обнаружены в желудке, печени, почках. Оба типа, сердечные и гладкие мышцы, называют непроизвольно сокращающимися мышцами, так как их деятельность не связана с осознанными движениями. В противоположность им скелетные мышцы призваны обеспечивать движения жизненной активности человека. Они крепятся к костям скелета посредством соединительных тканей и позволяют нам выполнять различные действия, создавая посредством собственного сокращения силы, определяющие движения. В рамках задач моделирования ОДА, которым посвящена диссертация, рассматриваются только скелетные мышцы.
Скелетные мышцы являются наиболее распространенными тканями в теле человека, составляющие порядка 23% массы женского и 40% массы мужского тела. Каждая мышца обслуживается нервами, соединяющими ее с головным и спинным мозгом. Нервы обеспечивают передачу производимых в мозгу команд мышцам, которые реагируют на них сокращением.
Структурно скелетная мышца состоит из красной, волокнистой, утолщенной в центре части, способной сокращаться и называемой брюшком, и белых, жилистых жестких частей на концах, называемых сухожилиями и связывающими мышцу с костями скелетной системы. Места крепления мышцы костям называются проксимальным и дистальным в соответствии с аналогичными названиями связанных костей. Сухожилия же служат и для передачи сил, производимых брюшком при сокращении, к костям скелета. Часто мышцей называют не всю описанную структуру, а только сокращающуюся часть, брюшко.
Мышечная система включает в себя порядка 600 скелетных мышц, существенно различающихся по размерам, форме, способу крепления к костям скелета. Различаются и типы сокращения мышц: их можно условно разделить на изометрические и изотонические сокращения. При изотоническом сокращении наблюдается изменение формы брюшка, чаще всего его вздутие, сопровождаемое уменьшением длины мышцы. В результате кости, к которым прикреплена сокращающаяся мышца, притягиваются друг к другу. Внутреннее напряжение мышцы при этом остается неизменным. Изменение длины мышцы при изотоническом сокращении редко превышает одну треть от длины в расслабленном состоянии. При изометрическом сокращении в мышце возрастает внутреннее напряжение, однако ее длина при этом не изменяется. В реальности обычно имеет место суперпозиция двух описанных приближений с преобладанием свойств одного из них [106].
Сухожилия состоят из неплотно упакованных пучков соединительной ткани, называемой коллагеном, расположенных параллельно друг другу и ориентированных параллельно с направлением сокращения мышцы. Брюшко состоит из групп эластичных различающихся по размеру волоконных пучков призматической формы, расположенных на основном протяжении мышцы параллельно друг другу, но имеющих тенденцию к схождению в одну точку при приближении к сухожилию. Каждый волоконный пучок покрыт оболочкой, соединяющей его с другими волокнами группы и называемой перемизием. В свою очередь группы волоконных пучков, объединенные с кровеносными сосудами, заключены в оболочку из плотной соединительной ткани, называемую эпимизием, образуя таким образом мышцу [106] (см. рисунок 3.1).
Существующие подходы к моделированию мягких тканей
Мышечная система производит силы, определяющие движения человека, поэтому ее моделирование играет существенную роль при решении задач динамики ОДА человека. Это обуславливает соответствующий подход к их моделированию: используются аппроксимации, позволяющие характеризовать способность мышц производить силы, простейшей из которых является представление в виде прямолинейных отрезков, соединяющих точки крепления мышц к скелетной системе и аппроксимирующих таким образом линии действия. Такая модель, а также ее расширение, использующее представление в виде ломаных, проходящих через промежуточные точки, использовал в своей работе S.L. Delp [44]. Эта аппроксимация позволяет получить приемлемые результаты для простых мышц с близко расположенными проксимальной и дистальной точками крепления. Для моделирования более сложных мышц простейшую модель расширяют, используя множество отрезков, линий действия. Согласно результатам исследований, которые провел F.C.T. van der Helm [115], при таком подходе можно ограничиться применением аппроксимации, составленной из шести отрезков: точность результатов оказывается сопоставима с точностью модели из двухсот элементов.
Структура мышцы, взаимное положение мышечных волокон и сухожилий определяет ее способность производить силы. Для учета этой зависимости используемые модели мягких тканей должны включать в себя такие важные свойства мышцы, как длина мышечных волокон, длина сухожилий, ориентация волокон относительно сухожилия [135]. Простейшая из таких моделей называется моделью сосредоточенных характеристик и предполагает, что все волокна плоско упорядочены и сокращаются одинаково. Хотя такие модели оказываются применимы в ряде случаев, используемое в них упрощенное представление ограничивает их возможности при предсказании поведения большинства мышц при жизненной активности человека. Как показал в своих исследованиях A. van den Bogert [114], результаты оценки моментов сил, получаемые при использовании таких моделей, не согласуются с экспериментальными данными, особенно в случае мышц со сложной структурой. Дальнейшее развитие моделей мышечной системы требует включения сведений об их форме и строении, что позволит рассматривать их взаимодействие, учитывать естественные ограничения их движений, обусловленные наличием смежных тканей. K.R.Kaufman [65], R.D. Wottiez [131] и C.J. Zuurbier [138] рассмотрели возможные способы получения важнейших свойств отдельных мышц на основе их простейших морфологических моделей.
Так как мышечная система определяет форму тела человека, практически полностью заполняя пространство между скелетом и кожей, построение аппроксимаций их морфологии и кинематики становится актуальным и при решении задач визуального моделирования, таких как построение систем виртуальной реальности, - создание виртуальных персонажей. Распространенное в компьютерной графике представление поверхностей моделируемых объектов в виде полигональных, чаще всего треугольных, геометрических сетей применимо и для аппроксимации формы. В случае построения статической модели мягких тканей такой подход дает наиболее простое и точное, с точки зрения приближения получаемых томографическим методом экспериментальных данных, решение задачи. При рассмотрении задач моделирования кинематики мягких тканей использование полигональных геометрических сетей сопряжено с большим количеством вычислений, так как требуется определение траектории для каждой вершины сети.
Альтернативой использованию полигональных геометрических сетей является параметрическое задание создаваемых морфологических моделей, то есть в виде вектор-функции х(и), каждое значение которой, соответствующее допустимому значению параметра, определяет точку описываемого объекта. В качестве параметра и могут быть использованы как скалярная величина, так и двумерные и трехмерные вектора, что соответствует описанию соответственно кривых поверхностей и тел в трехмерном пространстве. Область допустимых значений для и обычно выбирается в виде простейших компактных множеств пространства соответствующей размерности: отрезка, прямоугольника или параллелепипеда. Наиболее распространенными являются сплайновые параметрические описания объектов пространства, использованные в данной диссертации как основной инструмент моделирования мягких тканей и рассмотренные в параграфе 4.3. Преимуществами данного представления являются уменьшение числа параметров, используемых для описания объекта, возможность динамически изменять уровень используемой детализации, гладкость получаемых аппроксимаций. В тоже время при использовании такого подхода создаваемые модели получаются топологически эквивалентными прямоугольной сетке параметров, что осложняет моделирование граничных областей исследуемых тканей.
