Содержание к диссертации
Актуальность темы
Динамические системы, возмущаемые внешним шумом, являлись предметом интенсивного изучения в математике, физике, химии, биологии на всем протяжении 20 века. Важной математической конструкцией, широко используемой для изучения разнообразных эффектов воздействия случайных возмущений на динамическую систему, является стохастическое уравнение Ито, описывающее поведение случайного процесса с непрерывными фазовыми траекториям. Основы теории устойчивости стохастических систем, базирующиеся на методике использования функций Ляпунова, были заложены в работах Красовского Н.Н., Каца И.Я., Хасьминского Р.З., Гихмана И.И, Кушнера X.. Данная методика получила в дальнейшем широкое развитие. Ей посвящены работы Милынтей-на Г.Н., Колмановского В.Б., Воронова А.А., Пакшина П.В., Ряшко Л.Б..
Основная литература по стохастическим системам посвящена анализу динамики в окрестности точек покоя. Случай точки покоя представляет собой достаточно глубоко разработанную теорию и рассматривался в работах Вентцеля А.Д., Фрейдлина М.И., Lud-wig D., Matkowsky В.J., Schuss Z., Nahe Т., Klosek M. и др. Изучение воздействия шума на предельный цикл было начато Понтрягиным Л.С. и продолжено в многочисленных работах исследователей, например - Стратоновича Р.Л., Ibrahim R.A., Soong Т.Т, Grigoriu М., Baras F., Mangel M., Kurrer С, Schulten К., Deissler R.J..
Первоначально флуктуации рассматривались как дезорганизующее воздействие на систему, "разрушающее" порядок. В работах Crutchfield J.P., Huberman В.A., Nauen-berg М., Rudnick J., Shraiman СЕ. показано, что влияние аддитивного шума приводит к тому, что последовательность бифуркаций удвоения периода становится конечной. Воздействие мультипликативного шума на периодические режимы различных динамических систем рассматривалось в работах Неймана А.Б., Анищенко B.C., Billings L., Schwartz LB., Gao J.В., Hwang S.K., Liu J.M. и др.
В последние несколько десятков лет при исследовании неравновесных явлений в различных областях науки была обнаружена организующая роль шума. Было показано, что флуктуации способны индуцировать гораздо более богатое (в сравнении с детерминированными системами) разнообразие режимов. Первое описание так называемых индуцированных шумом переходов (noise-induced transitions) было дано в конце 50х - начале бОх годов 20 века в работах Кузнецова П.И., Стратоновича Р.Л., Тихонова В.И., Ланды П.С Изучению данных явлений посвящены работы Horsthemke W. и Lefever R., May R.M., Halm H.S. и др. В конце 70х годов 20 века большое развитие получила теория стохастических бифуркаций, изучающая качественные изменения в поведении динамических систем под воздействием случайных возмущений. Большой вклад в этом направлении внесен в работах Arnold L., McClintock P.V.E., Moss F., Turner J., Crauel H., Flandoli F., Leng G., Namachchivaya N., Bleckert G., Kuske R..
Наиболее общее вероятностное описание воздействия шума на динамическую систему дается уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова. Прямое использование этого уравнения даже в простейшем случае нелинейного стохастического осциллятора с одной степенью свободы является затруднительным. Аналитически стационарная плотность распределения может быть получена только для одномерных систем. Для двумерных динамических систем достичь этого, как правило, не удается. Для трехмерных динамических систем получение численного решения представляет значительные вычислительные трудности.
В последние 10 лет при исследовании стохастической динамики активно применяется новый подход, связанный с использованием некоторой функции, получившей название квазипотенциала. Данная функция появилась в работах Вентцеля А.Д. и Фрейдлина М.И. в связи с решением задачи о выходе случайной траектории из окрестности устойчивой точки покоя. При помощи функции квазипотенциала удается предсказывать тонкие эффекты воздействия внешних помех на рассматриваемую систему. Метод квазипотенциала в анализе стохастической чувствительности предельных циклов рассматривался в работах Naeh Т., Dykman M.I., Graham R., Smelyanskiy V.N., Maier R.S., Милынтейна Г.Н., Ряшко Л.В..
В публикациях Ряшко Л.В., Башкирцевой И.А. разработана методика анализа стохастической чувствительности предельного цикла. Данная методика базируется на аппроксимации квазипотенциала и построении функции стохастической чувствительности (ФСЧ), являющейся естественной количественной характеристикой, характеризующей реакцию стохастического цикла на малые внешние возмущения. Одномерный случай, равно как и двумерный (цикл на плоскости) являются достаточно хорошо исследованными. Изучение стохастической чувствительности 31)-циклов динамических систем имеет особый интерес и проводится сравнительно недавно. Представляемая диссертационная работа продолжает исследования в этой области. В диссертационной работе излагаются методики анализа стохастической чувствительности предельного цикла с помощью аппарата ФСЧ. Проведен подробный анализ стохастической чувствительности циклов классиче ской 3-мерной модели нелинейной динамики - системы Ресслера, описывающей химическую периодическую реакцию Белоусова-Жаботинского.
Целью работы является разработка аппарата математического моделирования, включая теорию, численные алгоритмы и программную реализацию, для анализа стохастических циклов нелинейных динамических систем.
Методы исследования диссертационной работы можно условно разделить на две группы. Первая (эмпирическая) группа методов опирается на численное моделирование случайных траекторий динамической системы и предполагает дальнейшую обработку эмпирической статистики. Вторая группа методов опирается на использование теоретических конструкций аппарата функций стохастической чувствительности (ФСЧ). Приведенные в представляемой работе численные алгоритмы реализованы в разработанном с использованием среды Delphi 7.0 программном комплексе. Для построения З-О-модели стохастического цикла применялась графическая библиотека OpenGL.
Научная новизна работы
1. Для 3-мерного случая разработана методика геометрического анализа стохастической чувствительности цикла с использованием аппарата ФСЧ. Построена З-О-модель стохастического цикла в виде доверительного тора, дающего полное представление о форме и пространственной ориентации стохастического цикла. Исследовано воздействие случайных возмущений на циклы системы Ресслера.
2. Предложен общий механизм анализа обратных стохастических бифуркаций (ОСБ) последовательного уменьшения кратности стохастического цикла при увеличении интенсивности шума. Разработана схема эмпирического анализа ОСБ цикла динамической системы в рамках эмпирического подхода на основе метода прямого моделирования. Подробно исследованы первые ОСБ циклов системы Ресслера на интервале удвоения периода.
3. Разработана методика теоретического анализа ОСБ с использованием аппарата ФСЧ. Построена аппроксимация плотности распределения в сечении цикла как для первой ОСБ, так и для старших ОСБ. Проведен детальный теоретический анализ первой ОСБ циклов системы Ресслера. Получены теоретические оценки критических значений шума старших ОСБ многооборотных циклов.
4. Проведен детальный анализ стохастической чувствительности циклов системы Ресслера, находящейся под воздействием случайных возмущений различной интенсивности. Обнаружен экспоненциальный рост стохастической чувствительности циклов в цепи би фуркаций удвоения периода, ведущих к хаосу.
5. Разработан программный комплекс, позволяющий проводить численное моделирование и детальный анализ стохастических циклов динамических систем в рамках как эмпирического подхода, так и с использованием аппарата ФСЧ.
Теоретическая и практическая ценность работы
Теоретическая ценность представляемой диссертационной работы заключается в предложенных методиках использования аппарата ФСЧ для анализа предельного цикла, возмущаемого шумом различной интенсивности.
Практическую ценность работы составляют численные алгоритмы исследования стохастической динамики, входящие в состав разработнного программного комплекса. Реализовано построение визуализационной 31)-модели стохастического цикла.
Апробация работы
Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на 34-ой, 35-ой, Зб-ой и 37-ой региональных молодежных школах-конференциях (г. Екатеринбург, 2003, 2004, 2005, 2006); на международной конференции "Динамический хаос в классической и квантовой физике" (г. Новосибирск, август 2003); на XXXII международной конференции "Advanced Problems in Mechanics" (г. Санкт-Петербург, июнь 2004); на международной конференции "Dynamical System Modelling and Stability Investigation" (г. Киев, май 2005); на международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (г. Москва, июнь 2006).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в [1] - [10].
Структура и объем диссертации
Основной текст диссертационной работы состоит из введения, трех глав, двух приложений и списка литературы, содержащего 142 название. Диссертационная работа занимает 131 машинописную страницу и содержит 86 рисунков.
Введение к работе
Актуальность темы
Динамические системы, возмущаемые внешним шумом, являлись предметом интенсивного изучения в математике, физике, химии, биологии на всем протяжении 20 века. Важной математической конструкцией, широко используемой для изучения разнообразных эффектов воздействия случайных возмущений на динамическую систему, является стохастическое уравнение Ито, описывающее поведение случайного процесса с непрерывными фазовыми траекториям. Основы теории устойчивости стохастических систем, базирующиеся на методике использования функций Ляпунова, были заложены в работах Красовского Н.Н., Каца И.Я., Хасьминского Р.З., Гихмана И.И, Кушнера X.. Данная методика получила в дальнейшем широкое развитие. Ей посвящены работы Милынтей-на Г.Н., Колмановского В.Б., Воронова А.А., Пакшина П.В., Ряшко Л.Б..
Основная литература по стохастическим системам посвящена анализу динамики в окрестности точек покоя. Случай точки покоя представляет собой достаточно глубоко разработанную теорию и рассматривался в работах Вентцеля А.Д., Фрейдлина М.И., Lud-wig D., Matkowsky В.J., Schuss Z., Nahe Т., Klosek M. и др. Изучение воздействия шума на предельный цикл было начато Понтрягиным Л.С. и продолжено в многочисленных работах исследователей, например - Стратоновича Р.Л., Ibrahim R.A., Soong Т.Т, Grigoriu М., Baras F., Mangel M., Kurrer С, Schulten К., Deissler R.J..
Первоначально флуктуации рассматривались как дезорганизующее воздействие на систему, "разрушающее" порядок. В работах Crutchfield J.P., Huberman В.A., Nauen-berg М., Rudnick J., Shraiman СЕ. показано, что влияние аддитивного шума приводит к тому, что последовательность бифуркаций удвоения периода становится конечной. Воздействие мультипликативного шума на периодические режимы различных динамических систем рассматривалось в работах Неймана А.Б., Анищенко B.C., Billings L., Schwartz LB., Gao J.В., Hwang S.K., Liu J.M. и др.
В последние несколько десятков лет при исследовании неравновесных явлений в различных областях науки была обнаружена организующая роль шума. Было показано, что флуктуации способны индуцировать гораздо более богатое (в сравнении с детерминированными системами) разнообразие режимов. Первое описание так называемых индуцированных шумом переходов (noise-induced transitions) было дано в конце 50х - начале бОх годов 20 века в работах Кузнецова П.И., Стратоновича Р.Л., Тихонова В.И., Ланды П.С Изучению данных явлений посвящены работы Horsthemke W. и Lefever R., May R.M., Halm H.S. и др. В конце 70х годов 20 века большое развитие получила теория стохастических бифуркаций, изучающая качественные изменения в поведении динамических систем под воздействием случайных возмущений. Большой вклад в этом направлении внесен в работах Arnold L., McClintock P.V.E., Moss F., Turner J., Crauel H., Flandoli F., Leng G., Namachchivaya N., Bleckert G., Kuske R..
Наиболее общее вероятностное описание воздействия шума на динамическую систему дается уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова. Прямое использование этого уравнения даже в простейшем случае нелинейного стохастического осциллятора с одной степенью свободы является затруднительным. Аналитически стационарная плотность распределения может быть получена только для одномерных систем. Для двумерных динамических систем достичь этого, как правило, не удается. Для трехмерных динамических систем получение численного решения представляет значительные вычислительные трудности.
В последние 10 лет при исследовании стохастической динамики активно применяется новый подход, связанный с использованием некоторой функции, получившей название квазипотенциала. Данная функция появилась в работах Вентцеля А.Д. и Фрейдлина М.И. в связи с решением задачи о выходе случайной траектории из окрестности устойчивой точки покоя. При помощи функции квазипотенциала удается предсказывать тонкие эффекты воздействия внешних помех на рассматриваемую систему. Метод квазипотенциала в анализе стохастической чувствительности предельных циклов рассматривался в работах Naeh Т., Dykman M.I., Graham R., Smelyanskiy V.N., Maier R.S., Милынтейна Г.Н., Ряшко Л.В..
В публикациях Ряшко Л.В., Башкирцевой И.А. разработана методика анализа стохастической чувствительности предельного цикла. Данная методика базируется на аппроксимации квазипотенциала и построении функции стохастической чувствительности (ФСЧ), являющейся естественной количественной характеристикой, характеризующей реакцию стохастического цикла на малые внешние возмущения. Одномерный случай, равно как и двумерный (цикл на плоскости) являются достаточно хорошо исследованными. Изучение стохастической чувствительности 31)-циклов динамических систем имеет особый интерес и проводится сравнительно недавно. Представляемая диссертационная работа продолжает исследования в этой области. В диссертационной работе излагаются методики анализа стохастической чувствительности предельного цикла с помощью аппарата ФСЧ. Проведен подробный анализ стохастической чувствительности циклов классиче ской 3-мерной модели нелинейной динамики - системы Ресслера, описывающей химическую периодическую реакцию Белоусова-Жаботинского.
Целью работы является разработка аппарата математического моделирования, включая теорию, численные алгоритмы и программную реализацию, для анализа стохастических циклов нелинейных динамических систем.
Методы исследования диссертационной работы можно условно разделить на две группы. Первая (эмпирическая) группа методов опирается на численное моделирование случайных траекторий динамической системы и предполагает дальнейшую обработку эмпирической статистики. Вторая группа методов опирается на использование теоретических конструкций аппарата функций стохастической чувствительности (ФСЧ). Приведенные в представляемой работе численные алгоритмы реализованы в разработанном с использованием среды Delphi 7.0 программном комплексе. Для построения З-О-модели стохастического цикла применялась графическая библиотека OpenGL.
Научная новизна работы
1. Для 3-мерного случая разработана методика геометрического анализа стохастической чувствительности цикла с использованием аппарата ФСЧ. Построена З-О-модель стохастического цикла в виде доверительного тора, дающего полное представление о форме и пространственной ориентации стохастического цикла. Исследовано воздействие случайных возмущений на циклы системы Ресслера.
2. Предложен общий механизм анализа обратных стохастических бифуркаций (ОСБ) последовательного уменьшения кратности стохастического цикла при увеличении интенсивности шума. Разработана схема эмпирического анализа ОСБ цикла динамической системы в рамках эмпирического подхода на основе метода прямого моделирования. Подробно исследованы первые ОСБ циклов системы Ресслера на интервале удвоения периода.
3. Разработана методика теоретического анализа ОСБ с использованием аппарата ФСЧ. Построена аппроксимация плотности распределения в сечении цикла как для первой ОСБ, так и для старших ОСБ. Проведен детальный теоретический анализ первой ОСБ циклов системы Ресслера. Получены теоретические оценки критических значений шума старших ОСБ многооборотных циклов.
4. Проведен детальный анализ стохастической чувствительности циклов системы Ресслера, находящейся под воздействием случайных возмущений различной интенсивности. Обнаружен экспоненциальный рост стохастической чувствительности циклов в цепи би фуркаций удвоения периода, ведущих к хаосу.
5. Разработан программный комплекс, позволяющий проводить численное моделирование и детальный анализ стохастических циклов динамических систем в рамках как эмпирического подхода, так и с использованием аппарата ФСЧ.
Теоретическая и практическая ценность работы
Теоретическая ценность представляемой диссертационной работы заключается в предложенных методиках использования аппарата ФСЧ для анализа предельного цикла, возмущаемого шумом различной интенсивности.
Практическую ценность работы составляют численные алгоритмы исследования стохастической динамики, входящие в состав разработнного программного комплекса. Реализовано построение визуализационной 31)-модели стохастического цикла.
Апробация работы
Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на 34-ой, 35-ой, Зб-ой и 37-ой региональных молодежных школах-конференциях (г. Екатеринбург, 2003, 2004, 2005, 2006); на международной конференции "Динамический хаос в классической и квантовой физике" (г. Новосибирск, август 2003); на XXXII международной конференции "Advanced Problems in Mechanics" (г. Санкт-Петербург, июнь 2004); на международной конференции "Dynamical System Modelling and Stability Investigation" (г. Киев, май 2005); на международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (г. Москва, июнь 2006).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в [1] - [10].
Структура и объем диссертации
Основной текст диссертационной работы состоит из введения, трех глав, двух приложений и списка литературы, содержащего 142 название. Диссертационная работа занимает 131 машинописную страницу и содержит 86 рисунков.
