Введение к работе
Актуальность работы. Многие современные технические системы (спутники с упругодеформируемыми элементами конструкции, облегченные быстродействующие манипуляционные роботы и др.) содержат как объекты с сосредоточенными по пространству параметрами, так и объекты с распределенными по пространству параметрами, динамически связанные через границы раздела. Их математические модели представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений и связанных с ними посредством граничных условий и условий связи уравнений в частных производных при соответствующих начальных условиях, называемые далее комбинированными динамическими системами (КДС). Уравнения движения управляемых КДС зависят от набора параметров обратных связей, а при наличии времени запаздывания в системе управления содержат обыкновенные дифференциальные уравнения с запаздывающими аргументами. Оптимизация систем управления требует параметрического синтеза, т.е. выбора значений параметров обратных связей, обеспечивающих минимальные время регулирования и ошибки в режимах стабилизации и программного управления движением.
Решению задач динамики управляемых деформируемых конструкций применительно к спутникам, космическим конструкциям и манипуляторам посвящены работы Ф.Л. Черноусько, Н.Н. Болотника, Л.Д. Акуленко, Ф.Н. Шклярчука, Э.К. Лавровского, A.M. Формальского, СИ. Злочевского, Е.П. Кубышкина, В.И. Гуляева, И.С. Ефремова, А.Г. Чернявского, O.S. Nurre, R.S. Ryan, H.N. Scofield, J.L. Sims, M. Shahinpoor, K.A. Morris, M. Vidyasagar. В работах Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К. были сформулированы и доказаны основные теоремы об устойчивости КДС. Однако параметрический синтез был выполнен лишь для одномерных КДС со скалярными входной и выходной функциями, а алгоритмы численного моделирования не были адаптированы к современным параллельным вычислительным системам. Следовательно, актуальной является задача построения и исследования математических моделей управляемых КДС, а также развитие методов и алгоритмов параметрического синтеза и моделирования динамики и устойчивости КДС.
Целью данной работы является развитие многомерных моделей управляемых КДС с отрицательными интегральными обратными связями и метода параметрического синтеза, улучшающего качество переходных процессов, а также параллельных алгоритмов численного моделирования КДС. Для достижения данной цели требуется решить следующие задачи:
построить математические модели управляемых КДС применительно к задаче о развороте космического аппарата наблюдения и задаче об управлении движением плоского двухзвенного манипулятора с ПИД-регуляторами;
доказать теоремы об устойчивых, но не асимптотически, КДС; об обобщенной степени характеристического квазимногочлена КДС при учете времени запаздывания в системе управления; о возможных границах области устойчивости управляемых КДС в пространстве параметров обратных связей;
разработать метод параметрического синтеза многомерных моделей управ-
ляемых КДС с отрицательными интегральными обратными связями, существенно уменьшающий время регулирования и ошибки в режимах стабилизации и программного управления движением;
разработать параллельные алгоритмы параметрического синтеза управляемых КДС и численного моделирования выходных вектор-функций нелинейных КДС;
с целью тестирования возможностей данных методов и алгоритмов - разработать программы для численного моделирования устойчивости, динамических процессов и параметрического синтеза ряда управляемых комбинированных динамических систем, в том числе газореактивных систем стабилизации спутников с упругими стержнями и плоских двухзвенных манипуляторов.
Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы теории интегральных преобразований, теории функций комплексной переменной, качественные и численные методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, оптимизации, уравнений математической физики. При разработке программного обеспечения использованы компилятор Intel C++ 12.1 (пробная версия), поддерживающий стандарт ОрепМР 3.1, и библиотеки поддержки численного моделирования ODEPack, LAPACK++, IMKL (пробная версия), IMSL (пробная версия).
Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются корректной физической и математической постановкой задач, а также применением апробированных методов качественного и численного анализа математических моделей.
Научная новизна работы заключается в следующих новых результатах:
развит метод математического моделирования объектов в виде управляемых КДС, основанный на модификации параметрического синтеза многомерных моделей управляемых КДС с отрицательными интегральными обратными связями, существенно уменьшающий время регулирования и ошибки в режимах стабилизации и программного управления движением;
построены математические модели управляемых КДС применительно к задаче о развороте космического аппарата наблюдения и задаче об управляемом движении плоского двухзвенного манипулятора с ПИД-регуляторами;
предложено новое, свободное от некоторых ограничений на свойства гладкости выходных вектор-функций, доказательство теоремы об устойчивых, но не асимптотически, КДС; сформулированы и доказаны теоремы об обобщенной степени характеристического квазимногочлена КДС при учете времени запаздывания в системе управления и о возможных границах области устойчивости управляемых КДС в пространстве параметров обратных связей;
предложены параллельные алгоритмы параметрического синтеза управляемых КДС и численного моделирования выходных вектор-функций в нелинейных КДС; показано их масштабирование по числу процессоров (ядер);
на основе применения разработанных моделей и программ показано, что в нелинейной управляемой КДС на основе параметрического синтеза по линеаризованной модели может быть существенно уменьшено время регулирова-
ния и ошибки в режимах стабилизации и программного управления движением.
Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы связана с обоснованием метода параметрического синтеза многомерных моделей управляемых КДС, а также созданием параллельных алгоритмов численного моделирования управляемых КДС.
Предложенный метод может быть использован при проектировании космических конструкций, робототехнических систем и других типов управляемых деформируемых конструкций, а параллельные версии алгоритмов численного моделирования адаптированы для использования на современных высокопроизводительных вычислительных системах. Результаты диссертации используются в лекционных материалах для студентов специальности «Прикладная математика и информатика».
Основные результаты и положения, выносимые на защиту:
-
Новый вариант параметрического синтеза управляемых КДС с отрицательными интегральными обратными связями, существенно уменьшающий время регулирования и ошибки в режимах стабилизации и программного управления движением.
-
Параллельные алгоритмы параметрического синтеза управляемых КДС и численного моделирования выходных вектор-функций в нелинейных КДС.
-
Теоремы об устойчивых, но не асимптотически, КДС; об обобщенной степени характеристического квазимногочлена КДС при учете времени запаздывания в системе управления; о возможных границах области устойчивости управляемых КДС в пространстве параметров обратных связей.
-
Математические модели управляемых КДС применительно к задаче о развороте космического аппарата наблюдения и задаче об управлении движением плоского двухзвенного манипулятора с ПИД-регуляторами.
-
В нелинейной управляемой КДС на основе параметрического синтеза по линеаризованной модели могут быть существенно уменьшены время моделирования и ошибка в режиме программного управления движением.
-
Проблемно-ориентированный комплекс программ численного моделирования, анализа и синтеза управляемых КДС.
Апробация работы.
Основные положения и результаты диссертации представлялись на XV и XVI Международных конференциях «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, СГУ, 2010, 2012) и на Международной конференции «Компьютерные науки и информационные технологии» (Саратов, СГУ, 2012). В законченном виде диссертация докладывалась на научном семинаре кафедры информатики и программирования и базовой кафедры математического обеспечения вычислительных комплексов и информационных систем Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского под руководством д.ф.-м.н. Д.К. Андрейченко (Саратов, 2012); на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. под руководством заслуженного деятеля науки
x(t)
"" у(^) 'Р' д.ф.-м.н., профессора В.Б. Байбурина (Сара-- тов,2012).
Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 7 работах, в том числе в одной статье в издании РАН и в двух статьях в рецензируемых журналах из перечня ВАК РФ. Список основных работ автора, отражающих существо диссертационной работы, приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация
состоит из введения, 4 глав, заключения и спис
ка использованной литературы. Работа содержит
Рис. 1. Структурная схема КДС Л г г лп or г^
^ -^ ^166 страниц, 43 рисунка, 2 таблицы. Список ис-
пользованной литературы включает 89 наименований.
