Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математическое обоснование применения кусочно постоянного управления автономных многосвязных систем 20
1.1. Основные определения. Расчетная устойчивости системы дифференциальных уравнений возмущенного движения 20
1.2. О моделировании управлений многосвязной динамической системы 26
1.3. Синтез двухуровневого управления многосвязной динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями 38
1.4. Об устойчивости движения относительно части переменных линейной системы с кусочно-постоянным управлением 46
1.5. Выводы 54
ГЛАВА 2. Моделирование управлений нестационарных многосвязных непрерывно-дискретных систем 55
2.1. Моделирование кусочно-постоянных управлений линейной нестационарной системы 55
2.2. Управление многосвязной непрерывно-дискретной нестационарной системы 63
2.3. Выводы 70
ГЛАВА 3. Моделирование непрерывно-дискретных систем с периодическими матрицами коэффициентов 71
3.1. Моделирование кусочно-постоянных управлений линейной динамиче ской системы с периодической матрицей з
3.2. Моделирование кусочно-постоянного управления многосвязной системы с периодической матрицей 85
3.3. Синтез кусочно-постоянных управлений динамической системы второго порядка 88
3.4. Выводы 100
ГЛАВА 4. Алгоритмы и комплекс программ для реализации методов синтеза кусочно-постоянных управлений непрерывно-дискретных систем 101
4.1 Задача о стабилизации углового движения летательного аппарата с помощью кусочно-постоянного управления 101
4.2 Синтез кусочно-постоянного управления в задаче перемещения схвата манипулятора по заданной траектории в пространстве 111
4.3. Выводы 122
Заключение 123
Список литературы
- О моделировании управлений многосвязной динамической системы
- Управление многосвязной непрерывно-дискретной нестационарной системы
- Моделирование кусочно-постоянного управления многосвязной системы с периодической матрицей
- Синтез кусочно-постоянного управления в задаче перемещения схвата манипулятора по заданной траектории в пространстве
О моделировании управлений многосвязной динамической системы
Теорема 2[26] (первая теорема Ляпунова). Если для системы (1.1.1) существует определенно-положительная функция v(t,x)eC \D), полная
производная которой на решениях системы (1.1.1) является знакопостоянной отрицательной функцией, то положение равновесия системы (1.1.1) устойчиво. Теорема 3 [26]. (вторая теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Если для системы (1.1.1) существует определенно-положительная функция к(/,х)ес ()), допускающая бесконечно малый высший предел при - 0и имеющая отрицательно-определенную производную по времени t на решениях системы (1.1.1), то положение равновесия системы (1.1.1) асимптотически устойчиво.
Далее приведем определения расчетной устойчивости и расчетной асимптотической устойчивости. Следует отметить, что впервые расчетную устойчивость и расчетную асимптотическую устойчивость ввел Дж. Ла Салль [105]. Эти виды устойчивости он называл эвентуальными.
Введем определения устойчивости движения относительно системы (1.1.1). Отметим, что при этом х = 0 может быть решением, а может и не быть. Определение 8 [38]. Положение равновесия х = 0 системы (1.1.1) называется расчетным (эвентуально) устойчивым, если для каждого є 0 найдутся такие г(є) 0 и S(s) 0, что для всякого t0 т(г) и любого х0, удовлетворяющего условию х0 5(є) при всех t t0 справедливо неравенство X(?,?Q,XQJ Є. Теорема 4 [38]. Пусть положение равновесия х = 0 относительно системы (1.1.1) расчетно устойчиво и для всех достаточно малых є 0 выполняется соотношение r(s) = Т0 = const 0 .Тогда при всех t Т0 движение х = 0 реализуется в рассматриваемой системе (1.1.1).
Справедлива и обратная теорема.
Теорема 5[38]. Если система (1.1.1) автономна и имеет решение х = 0, то расчетная устойчивость движения х = 0 этой системы эквивалентна равномерной устойчивости по Ляпунову. Теорема 6 [38]. Для того, чтобы положение равновесиях = 0 относительно решений системы (1.1.1) было расчетно устойчивым, необходимо и достаточно существование такой заданной на множестве Q. скалярной функции V(t,x) чтобы выполнялись следующие условия: скалярная положительно-определенная функция допускает бесконечно малый высший предел и, кроме того, не возрастает при t t0
Примечание. Если функция V{t,x) допускает полную производную по времени на решения системы (1.1.1), то условие невозрастания функции V{t,x) на решениях системы (1.1.1), можно заменить условием
Далее введем определение расчетной асимптотической устойчивости. Определение 9[38]. Положение равновесиях = 0 системы (1.1.1) называется расчетно асимптотически устойчивым, если оно расчетно устойчиво и, кроме того, для любого х0, удовлетворяющего условию JC0 б(є), и любого t0 г(є) где 5(є) и г(є) выбраны по числу 8, о є h, в соответствии с определением расчетной устойчивости справедливо следующее соотношение limx(/,0,x0) =0.
Имеет место следующая теорема. Теорема 7 [38]. Для того, чтобы положение равновесиях = 0 относительно системы (1.1.1) было расчетно асимптотически устойчивым необходимо и достаточно существование такой заданной на множестве Q скалярной функции v{t, х), что для нее выполняются условия Предположим, что корни характеристического уравнения det(A-XE)=0 имеют отрицательные вещественные части, т.е. ReX \А) 0, а функции rs (/) (л1 = 1, п) удовлетворяют условию (1.1.3) или условию (1.1.4). Тогда положение равновесия х = 0 системы (1.1.2) соответственно расчетно устойчиво или расчетно асимптотически устойчиво. 1.2 О моделировании управлений многосвязной динамической системы. где XGR",UGR,A - постоянная матрица размерности п х п, Ь- постоянный вектор размерности п (пх\). Управление и здесь зависит от дискретных моментов времени и представляет собой кусочно-постоянную функцию, т. е. u(t) = u(ph), t є(рк, (p + l)h\. Здесь h 0- некоторая постоянная (шаг квантования), р = 0,1,2,.. х(о) = х0- начальное условие, характеризующее начальное отклонение от программного режима.
Будем считать, что матрица А допускает представление ч xs = A xs + 2-i sjXj s = 4i где xs є R"s, As- постоянные матрицы размерности ns xns; A - постоянные матрицы размерности ns х и .. Тогда заменим управление u(t) = u(ph) на управляющие воздействия, которые «воздействуют» только на подсистемы (1.2.3) системы q xs = Axs + bsus{ph)+ Y.ASjxr s = l q C1-2-2)
После синтеза локального стабилизирующего управления необходимо проверить устойчивость полной системы, так как локальное управление было выбрано на уровне подсистем, а не на основании исходной системы.
С целью доказательства возможности стабилизации с помощью кусочно-постоянного управления положения равновесия х = 0 системы (1.2.2) воспользуемся методом векторных функций Ляпунова [54, гл. 2 и 5].
В качестве функции Ляпунова для системы (1.2.2) выбирается векторная функция V(x)=(y1(x1lV2(x2l...,Vq(xq)J, где Vs{xs\ s = l,q- функции Ляпунова, решающие вопрос об асимптотической устойчивости подсистем (1.2.6). Так как подсистемы (1.2.6) суть линейные системы дифференциальных уравнений, то функции Ляпунова для подсистем являются квадратичными формами вида [54]: выбора коэффициентов усиления ks (s = \,q) всегда можно обеспечить асимптотическую устойчивость [33, гл. 1] системы (1.2.6). Коэффициенты усиления ks \s = \,q) выбираются таким образом, что матрица А удовлетворяла условиям Севастьянова-Котелянского [21, с. 206]. Следует также отметить, что выбором коэффициентов усиления ks \s = \,q), помимо отмеченного, можно обеспечить, чтобы матрица А имела характеристические корни с простыми элементарными делителями.
Управление многосвязной непрерывно-дискретной нестационарной системы
В данном разделе рассматривается линейная нестационарная непрерывно-дискретная система дифференциальных уравнений вида — = A(t)x + B(t)u, (2.1.1) dt где х є Rn, її є R, A{t) и B{t)- матрица и вектор размерности соответственно пхп и их1. Предполагается, что элементы матриц A(t) и B(t) - непрерывные функции. Управление й здесь зависит от дискретных моментов времени и представляет собой кусочно-постоянную скалярную функцию, т. е. и(V) = u(ph), t є (ph, (р + l)h]; h 0- некоторая постоянная, определяющая шаг квантования, /7 = 0,1,2,..., х(о) = х0- начальное условие, характеризующее начальное отклонение от программного режима.
Помимо системы (2.1.1) рассмотрим линейную нестационарную систему, описываемую системой дифференциальных уравнений dt где матрицы A{t) и 5(?)те же, что и в системе (2.1.1), а управление и есть непрерывная по совокупности переменных скалярная функция u{x,t). В работе [46] изложен подход к получению достаточных условий стабилизируемое непрерывных систем управления и отысканию стабилизирующего скалярного управления u(x,t) для систем вида (2.1.2), основанный на использовании аппарата функций Ляпунова. Здесь в качестве функции Ляпунова используется определенно-положительная квадратичная форма v{x,t) = x P(t)x, где P(t)- определенно положительная симметрическая матрица и, кроме того, выполняется где w{x,t) = xTQ{t)x является определенно-положительной функцией. При этом в качестве управления выбирается функция u = CT(t)x, где C\t) есть «-мерный функциональный вектор.
Будем предполагать, что система (2.1.2) удовлетворяет условиям ста-билизируемости [46, с. 94], а значит, выполняются условия следующей теоремы.
Из теоремы следует, что при достаточно малых г1 и є2 система (2.1.2) может быть стабилизирована [46, с. 95]. При этом стабилизирующее управление должно удовлетворять условию вида (2.1.3), где C(t) = C0 - постоянный вектор P(A0+B0Ci) + (A0+B0C )TP = -Q0-AQ0., где Q0 и AQ0 - определенно положительные симметрические матрицы. Отметим здесь, что пара А0, В0 считается управляемой, а вектор С0 выбирается таким образом, что матрица Д, + 50С0Г будет гурвицевой.
Далее будем считать, что стабилизирующее управление для системы (2.1.2), удовлетворяющее условиям предыдущей теоремы, найдено. В этом случае имеет место следующая теорема.
Теорема 2.1. Если векторы В0, AQBQ,...,A 1BQ линейно независимы и, кроме того, система (2.1.2) стабилизируема в целом управлением вида и = CQX , то существуют коэффициенты усиления С = {сн }.=г и предельный шаг квантования А0 такие, что нулевое решение системы (2.1.1) будет расчетно асимптотически устойчивым. Управление й = C x(ph) при этом будет стабилизировать непрерывно-дискретную систему (2.1.1) при всех /г / (/ 0- предельный шаг квантования).
Управление многосвязной непрерывно-дискретной нестационарной системы Рассмотрим непрерывно-дискретную многосвязную систему, состоящую из q подсистем, связанных между собой, т.е. Здесь xs є R"s, As (t) и Asj (t) - функциональные матрицы размерности соответственно nsxns и ns х rij; bs (t) - функциональный вектор-столбец размерности ns, s,j = \,q. В качестве управления us выберем кусочно-постоянную скалярную функцию, зависящую от дискретных моментов времени, т. е. us(t) = us(ph\ t є(рк,(р + \)к]. Здесь h 0 - шаг квантования, p = 0,1,2,...xs(о) = xs0 - начальное условие (s = l,q), характеризующее начальное отклонение от программного режима.
Отметим, что ни одна из компонент вектора xs не является одновременно компонентой какого-либо вектора х другой подсистемы, т.е. есть рассматривается случай неперекрывающихся декомпозиций, где j ns =п Будем предполагать, что матрицы As(t) и векторы bs(t) могут быть представлены в виде As (t) = Л + Мя (0, bs (0 = Ъ + Abs (0, (2.2.2) где As и bs - соответсвенно постоянные матрицы и векторы, а AAs(t) и Abs (t) - функциональные матрица и вектор такие, что для всех t t0 О выполняются неравенства \\AAs(t]\ 8lsn\\Abs{t)\ e2s, (2.2.3) где єь 0и82$ 0- достаточно малые числа, s = \,q . Управления us формируются на только основании измерения переменных xs, s = l,q в моменты квантования ph и составлятся по правилу
За счет выбора коэффициентов усиления cs (s = \,q) линейной управляемой системы (2.2.8) всегда можно обеспечить ее асимптотическую устойчивость [33, гл. 1]. Это означает, что коэффициенты усиления должны быть выбраны так, чтобы выполнялось условие ReX, А 0; s,j = \,q . Отметим также, что выбором коэффициентов усиления cs \s = \,q) можно обеспечить, чтобы матрица А имела характеристические корни с простыми элементарными делителями. Далее будем считать, что такие коэффициенты найдены. Система сравнения для системы дифференциальных неравенств (2.2.8) имеет вид
Моделирование кусочно-постоянного управления многосвязной системы с периодической матрицей
Рассмотрим задачу о стабилизации углового движения летательного аппарата с помощью кусочно-постоянного управления.
К моделям стабилизации углового движения относят системы автоматического управления, служащие для удерживания летательного аппарата в заданном угловом положении относительно некоторой опорной системы координат. К системам стабилизации, чаще всего являющимися составной части автоматизированной системы управления полетом, предъявляется ряд требований. Среди них: данные системы должны обеспечивать необходимые характеристики управляемости и устойчивость летательного аппарата на всех режимах полета.
Приведем линейную математическую модель, описывающую движение летательного аппарата: Здесь ф - угол рыскания (угол отклонения от заданного курса), ф - угловая скорость вращения вокруг вертикальной оси, 8 - угол поворота вертикального руля относительно положения равновесия, Т - постоянная времени, К -постоянный коэффициент, размерностью рад/сек [45].
Первое уравнение соответствует простейшей математической модели колебаний летательного аппарата относительно оси рыскания (модель, составленная без учета боковой аэродинамической силы), а второе - рулевой машине. Система (4.1.1) имеет порядок, равный 3 (п = 3). Приняв обозначения для переменных фазового состояния объекта запишем систему (4.1.1) в виде одного матричного уравнения с кусочно-постоянным управлением
Анализ теорем о существовании кусочно-постоянных управлений непрерывно-дискретных систем показывает, что задача нахождения данных управлений состоит из двух этапов: нахождения коэффициентов усиления кусочно-постоянного управления и определение шага квантования. Результатом первого этапа синтеза кусочно-постоянного управления является определение непрерывного управления, решающего задачу стабилизации соответствующей непрерывной линейной системы. Далее следует этап вычисления дискретного аналога найденного ранее управления, т. е. поиск предельного шага квантования. При этом, дискретное по времени управление строится, опираясь на некоторое непрерывное управление, стабилизирующее соответствующую непрерывную систему.
В большинстве методов синтеза цифровых систем предполагается, что период квантования заранее задан, и только небольшое число работ (см., например, [55, 57, 58, 103, 106, 107]) содержит какие-либо рекомендации по его выбору. Однако выбор шага квантования является важным этапом построения стабилизирующих кусочно-непрерывных управляющих воздействий систем. Очевидно, что шаг квантования должен быть достаточно малым, так как при уменьшении периода квантования ошибка приближенных методов в сравнении с точными уменьшается. Однако выбор слишком маленького шага нецелесообразен, поскольку это требует существенных вычислительные ресурсов, может приводить к эффекту нестабильного квантования и пропуска такта [122]. Кроме того, излишне малая величина h увеличивает массив измеренных значений и для их запоминания требуется больший объем памяти. В то же время при чрезмерно большом шаге квантования воспроизводимая функция будет не очень точной и сильно искаженной.
Приведем алгоритм нахождения стабилизирующего управления для модели вида (4.1.3), включающий в себя вычисление предельного шага квантования данной системы. Для системы х = [А + ВСтрс находится функция Ляпунова в виде квадратичной формы V(x) = хтНх \Н = Нт 0] и соответствующие оценки Н. Н. Красовского [44], которым должна удовлетворять найденная функция. 3. Дискретизация управления. На основании оценок Н. Н. Красовского определяется предельный шаг квантования / управлений и = С x(ph).
Для автоматизации процесса нахождения кусочно-постоянных управлений, стабилизирующих линейную систему (4.1.3), разработана программа в среде программирования MATLAB. Текст программы представлен в приложении. Данная программа включает в себя: - ввод данных, проверка условий управляемости пары (А, В); - синтез непрерывного стабилизирующего управления линейной системы х = \А + ВСТ)х, основанный на применении теории линейных матричных неравенств [87, 88]. - расчет предельного шага квантования многосвязной системы с использованием метода Ньютона; - численное решение исходной системы (4.1.3) с кусочно-постоянным управлением с помощью метода Рунге-Кутты IV порядка.
Разберем подробнее реализацию данного алгоритма. В (4.1.4) примем К = 1, Т = 1, Q = 1, С2 = 2. В качестве исходных данных для программы выступают следующие данные: 8 = 0.8, ф = 0.35, ф = 1.В этом случае матрица управляемости системы имеет ранг 3, равный порядку системы. Это указывает на возможность построения автопилота, обеспечивающего любое желаемое расположения корней системы стабилизации. Далее перед нами стоит задача синтеза непрерывной управляемой системы.
Классический подход к синтезу линейных обратных связей в пространстве состояний, во всяком случае, для управляемой пары, связан с каноническим представлением системы (4.1.3) и построением управления и = Сгх, обеспечивающего заданные собственные значения матрицы замкнутой системы. Вместе с тем, возможен альтернативный путь синтеза стабилизирующих управлений, основанный на применении теории линейных матричных неравенств и эффективных алгоритмов их решения, реализованных в пакете MATLAB [9]. в которых WP и WQ образуют базисы ядер матриц Р и Q соответственно. Последние два неравенства уже не содержат вектора коэффициентов усиления С и являются линейными матричными неравенствами относительно матрицы Н. Таким образом, сначала находится матрица Н, удовлетворяющая линейным матричным неравенствам (4.1.9), а затем найденная матрица подставляется в линейное матричное неравенство (4.1.8) и находятся коэффициенты усиления управления С.
Далее определяется предельный шаг квантования системы (4.1.3). В работах [31, 32] В. А. Земляков обосновал метод нахождения предельного шага квантования систем с дискретным управлением на основе оценки нормы разности непрерывного и дискретного управлений. Предельный шаг квантования находится как численное решение уравнения
Синтез кусочно-постоянного управления в задаче перемещения схвата манипулятора по заданной траектории в пространстве
В большинстве методов синтеза цифровых систем предполагается, что период квантования заранее задан, и только небольшое число работ (см., например, [55, 57, 58, 103, 106, 107]) содержит какие-либо рекомендации по его выбору. Однако выбор шага квантования является важным этапом построения стабилизирующих кусочно-непрерывных управляющих воздействий систем. Очевидно, что шаг квантования должен быть достаточно малым, так как при уменьшении периода квантования ошибка приближенных методов в сравнении с точными уменьшается. Однако выбор слишком маленького шага нецелесообразен, поскольку это требует существенных вычислительные ресурсов, может приводить к эффекту нестабильного квантования и пропуска такта [122]. Кроме того, излишне малая величина h увеличивает массив измеренных значений и для их запоминания требуется больший объем памяти. В то же время при чрезмерно большом шаге квантования воспроизводимая функция будет не очень точной и сильно искаженной.
Приведем алгоритм нахождения стабилизирующего управления для модели вида (4.1.3), включающий в себя вычисление предельного шага квантования данной системы. Для полученной непрерывной линейной системы строятся стабилизирующие коэффициенты усиления так, чтобы выполнялось условие Ke7 j(A + BCT) 0. Для системы х = [А + ВСтрс находится функция Ляпунова в виде квадратичной формы V(x) = хтНх \Н = Нт 0] и соответствующие оценки Н. Н. Красовского [44], которым должна удовлетворять найденная функция. 3. Дискретизация управления. На основании оценок Н. Н. Красовского определяется предельный шаг квантования / управлений и = С x(ph).
Для автоматизации процесса нахождения кусочно-постоянных управлений, стабилизирующих линейную систему (4.1.3), разработана программа в среде программирования MATLAB. Текст программы представлен в приложении. Данная программа включает в себя: - ввод данных, проверка условий управляемости пары (А, В); - синтез непрерывного стабилизирующего управления линейной системы х = \А + ВСТ)х, основанный на применении теории линейных матричных неравенств [87, 88]. - расчет предельного шага квантования многосвязной системы с использованием метода Ньютона; - численное решение исходной системы (4.1.3) с кусочно-постоянным управлением с помощью метода Рунге-Кутты IV порядка.
Разберем подробнее реализацию данного алгоритма. В (4.1.4) примем К = 1, Т = 1, Q = 1, задача синтеза непрерывной С2 = 2. В качестве исходных данных для программы выступают следующие данные: 8 = 0.8, ф = 0.35, ф = 1.В этом случае матрица управляемости системы имеет ранг 3, равный порядку системы. Это указывает на возможность построения автопилота, обеспечивающего любое желаемое расположения корней системы стабилизации. Далее перед нами стоит управляемой системы.
Классический подход к синтезу линейных обратных связей в пространстве состояний, во всяком случае, для управляемой пары, связан с каноническим представлением системы (4.1.3) и построением управления и = Сгх, обеспечивающего заданные собственные значения матрицы замкнутой системы. Вместе с тем, возможен альтернативный путь синтеза стабилизирующих управлений, основанный на применении теории линейных матричных неравенств и эффективных алгоритмов их решения, реализованных в пакете MATLAB [9]. в которых WP и WQ образуют базисы ядер матриц Р и Q соответственно. Последние два неравенства уже не содержат вектора коэффициентов усиления С и являются линейными матричными неравенствами относительно матрицы Н. Таким образом, сначала находится матрица Н, удовлетворяющая линейным матричным неравенствам (4.1.9), а затем найденная матрица подставляется в линейное матричное неравенство (4.1.8) и находятся коэффициенты усиления управления С.
Далее определяется предельный шаг квантования системы (4.1.3). В работах [31, 32] В. А. Земляков обосновал метод нахождения предельного шага квантования систем с дискретным управлением на основе оценки нормы разности непрерывного и дискретного управлений. Предельный шаг квантования находится как численное решение уравнения _
На практике процедура оптимального разделения системы на подсистемы реализуется с большими трудностями. Поэтому при выборе подсистем для конкретной механической системы нужно опираться на инженерный опыт и на конкретно стоящую задачу синтеза управления, выделяя на этой основе независимые части системы. Чаще всего подсистемы задаются самими характеристиками исследуемой модели. В частности, задание системы в виде совокупности подсистем является весьма обычной для манипуляцион-ных систем.
Манипуляционные системы, как и вообще роботы, состоят из механической части системы и приводов, обеспечивающих работу отдельных степеней подвижности механизма. Приведем краткое описание полной модели динамики манипуляционных систем [23].
