Содержание к диссертации
ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ 6
ВВЕДЕНИЕ 7
1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ И НЕКОТОРЫЕ ПРИНЦИПЫ ПРИМЕНЕНИЯ CAB 20
1.1. Основные положения теории марковских процессов 20
1.2. Классификация и обзор точных и приближенных методов статистической динамики 39
1.2.1. Точные методы 41
1.2.2. Методы упрощения исходной задачи 47
1.2.3. Методы линеаризации 50
1.2.4. Численные методы 54
1.2.5. Методы интегральных преобразований 59
1.2.6. Методы бесконечных рядов 60
1.2.7. Вариационные методы 64
1.2.8. Методы возмущений 65
1.2.9. Итерационные схемы 68
1.2.10. Методы сведения к системам ОДУ 72
1.2.11. Методы интегральных уравнений 77
1.2.12. Методы, сочетающие различные схемы 78
1.2.13. Замыкание бесконечных систем ОДУ 79
1.3. Применение систем аналитических вычислений при моделиро вании нелинейных систем со случайным входом 81
1.3.1. Компьютерная алгебра 81
1.3.2. Классификация и основные характеристики систем аналитических вычислений 83
1.3.3. CAB и статистическая динамика 87
1.4. История и пути развития математического аппарата исследова ния случайных режимов '.. 90
2. ПОСТРОЕНИЕ АППАРАТА И АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНА ЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 97
2.1. Вывод соотношений между моментами, кумулянтами и квазимо ментами случайных величин 97
2.1.1. Необходимость получения соотношений 97
2.1.2. Вывод соотношений 97
2.1.3. Пакет ProbRel 100
2.2. Применение метода полуобратной задачи при анализе некоторых стохастических систем 103
2.2.1. О стохастических системах с заданными свойствами 103
2.2.2. Необходимое условие существования стохастического потенциала полиномиального типа и его применение 109
2.3. Расчет стационарной плотности вероятности на основе принципа детального баланса 113
3. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА ОСНОВ НЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ФАЗОВЫХ ВЕК ТОРОВ 127
3.1. Системы со случайными параметрами и их моделирование 127
3.1.1. Техника и применение метода интегратора 127
3.1.2. Метод бесконечных систем 135
3.1.3. Об аппроксимации винеровского процесса в задачах моделирования стохастических систем 145
3.2. Приближенные методы анализа нелинейных систем, возмущае мых случайными шумами 152
3.2.1. Обобщение метода интегратора и техника его применения. 152
3.2.2. Метод формального представления переходной плотности и расчет статистических характеристик второго порядка 161
3.2.3. Приближенное исследование нелинейных систем с аналитическими характеристиками посредством степенных рядов 169
4. СЛУЧАЙНЫЕ РЕЖИМЫ ОБОБЩЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 183
4.1. Расширение фазового пространства в задачах анализа диффе ренциально-разностных систем со случайным входом 183
4.1.1. О явлении запаздывания в динамических системах 183
4.1.2. Постановка задачи 185
4.1.3. Метод решения 185
4.1.4. Примеры и выводы 195
4.2. Исследование стохастических систем, описываемых интегро-диф ференциальными уравнениями 198
4.2.1. Уравнения для первых моментов фазового вектора линейной интегро-дифференциальной системы 198
4.2.2. О стохастических интегро-дифференциальных уравнениях, сводимых к СДУ 201
4.2.3. Итерационный метод приближенного анализа линейных СИДУ207
4.3. Применение аналитического аппарата теории марковских про цессов к изучению динамики случайных полей ..212
4.3.1. О стохастических процессах в непрерывной среде 212
4.3.2. Методика исследования 213
4.3.3. Уравнение Гинзбурга-Ландау 214
4.3.4. Стохастическое уравнение Бюргерса 220
4.3.5. Случайные колебания колонны 221
4.4. Моделирование и анализ систем со случайным непрерывно-диск ретным входом 225
НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ДИ НАМИКИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ РЕЖИМОВ 234
5.1. Исследование вращения твердого тела под действием диссипатив-ного и случайных моментов 234
5.2. Моделирование движения транспортного средства по дороге со случайным профилем с учетом запаздывания 238
5.2.1. О проблемах изучения перемещения автомобилей по неровным дорогам 238
5.2.2. Модель транспортного средства 239
5.2.3. Схема расчетов и численные результаты 244
5.3. Расчет характеристик колебаний упругой колонны под действи ем случайной нагрузки 247
5.3.1. Об анализе случайных полей 247
5.3.2. Задача о колебании колонны 248
5.3.3. Численные результаты 252
5.4. Применение функций Христова в задачах анализа случайных полей 253
5.4.1. Вид и свойства функций системы 253
5.4.2. Оценка характеристик случайных полей, описываемых уравнениями Гинзбурга-Ландау и Бюргерса 254
5.5. Стохастическое моделирование динамики загрязнения бассейна реки 261
5.5.1. Введение в проблематику 261
5.5.2. Дискретная модель с кратными запаздываниями 262
5.5.3. О конвективном переносе загрязнений 274
5.6. CAB в задачах управления детерминированными и стохасти- тическими системами 281
5.6.1. Постановка задачи 281
5.6.2. Варианты операционного метода и их реализация с помощью систем компьютерной алгебры 283
5.6.3. О формализме метода степенных рядов 290
5.7. Анализ влияния детерминированных и случайных параметров на динамику механических систем 292
5.7.1. О стохастической теории чувствительности 293
5.7.2. Задача об оценке влияния случайных параметров на динамику старта одной сложной механической системы и мето- дика ее решения 296
5.7.3. Модельные расчеты 300
5.7.4. Расчет функций влияния 303
5.7.5. О некоторых обобщениях в задачах оценки стохастической чувствительности 307
6. АВТОМАТИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ И АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙ НЫХ ОБЪЕКТОВ 316
6.1. Автоматическое дифференцирование программ на языке Fortran и пакет DifNewR 316
6.1.1. Назначение пакета 316
6.1.2. Структура пакета 317
6.1.3. Алгоритм работы 319
6.1.4. Входная информация 320
6.1.5. Выходная информация 321
6.1.6. Об оформлении текста программ 321
6.1.7. О практическом применении пакета 322
6.2. Формирование математических моделей систем и подготовка их численного анализа с помощью ППП VMPack 322
6.2.1. Назначение пакета и его реализация 322
6.2.2. Алгоритм работы 324
6.2.3. Вход, выход и запуск пакета 326
6.2.4. Задача о моделировании динамики относительного движения цепочки твердых тел 328
6.2.5. Об оценке погрешности позиционирования робота-манипулятора 330
6.3. Пакет "Статистическая динамика" как сложный программный комплекс 336
6.3.1. Назначение пакета и принципы разработки 336
6.3.2. История разработки и проблемы реализации 338
6.3.3. Характерные особенности текущей версии пакета и его структура 342
6.3.4. Алгоритмы статистической динамики и их реализация 345
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 351
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 355
ПРИЛОЖЕНИЯ 390
П.1. Программа генерирования общих соотношений 391
П.2. Графики функций влияния 393
П.З. К описанию пакета DifNewR 394
П.4. К описанию пакета VMPack 398
П.5. Примеры к пакету "Статистическая динамика" 401
Введение к работе
Актуальность. Работа посвящена математическому моделированию и анализу случайных процессов в динамических системах различных классов, разработке и реализации методов и алгоритмов, предполагающих проведение значительных аналитических (символьных) выкладок и численных расчетов на всех этапах исследования.
Задачи вероятностного исследования процессов в нелинейных динамических системах относятся к числу важнейших как в теоретическом, так и в практическом плане. Необходимость их решения актуальна при изучении различных явлений: расчете полета летательных аппаратов под действием атмосферной турбулентности; анализе движения транспортных средств по неровной дороге; оценке перемещений высотных сооружений при ветровых и сейсмических воздействиях; исследовании качки судов при нерегулярном морском волнении; анализе технологических процессов производства; изучении отклонений элементов орбиты спутника от расчетных, возникающих из-за неточности изготовления ракеты-носителя и ошибок в работе систем управления; анализе изменения нагрузок энергосистем, зависящих от потребления энергоресурсов, флуктуационных шумов усилителя в устройствах регулирования и следящих системах, непредсказуемого спроса в экономике, шумов в радиоэлектронных устройствах; анализе нейронных систем мозга и т.д.
Моделированием сложных и масштабных явлений в стохастических системах, исследованием случайных режимов, возникающих при движении объектов различной природы, занимается интенсивно развивающаяся наука -статистическая динамика (одна из прикладных ветвей теории случайных процессов). Сходные проблемы изучаются некоторыми разделами других наук (теорией случайных колебаний, статистическими радиотехникой, физикой, механикой, термодинамикой и др.).
В настоящей работе к классу стохастических (или вероятностных, или случайных, или статистических) систем отнесены системы со случайными параметрами (в широком смысле), которые представляют собой возмущения, влияющие на поведение исследуемых объектов. Такие системы средствами математического моделирования позволяют описать функционирование реальных нелинейных систем, в которых параметры являются случайными процессами и/или величинами. Основным математическим аппаратом исследования таких систем, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями, является теория случайных марковских процессов. Используя эту теорию, в особенности, последние достижения в развитии метода уравне ния Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК-уравнения) во многих случаях удается получить интересные и важные как в теоретическом, так и практическом плане результаты.
Нелинейные детерминированные математические модели [38, 88, 90, 119, 154, 159, 182, 270] вполне оправдывают себя при решении многих прикладных задач. Однако они далеко не исчерпывают всего многообразия реальных физических явлений. Действительно, у многих технических систем разброс выходных сигналов под действием различных шумов и помех достаточно мал [23, 80, 303], что и дает возможность изучать такие объекты детерминированными методами. Но в настоящее время известно немало примеров, когда анализ объекта в чисто детерминированной постановке не является достаточным [73]. Это объясняется тем, что во всякой реальной динамической системе существуют случайные флуктуации различного характера [7] (внешние силовые и кинематические, внутренние параметрические и др.), в том или ином смысле малые по сравнению с неслучайными факторами [39], но оказывающие определенное отрицательное воздействие на работу системы [64]; случайный разброс начальных положений и скоростей, возникающий из-за неточности измерений, ошибок изготовления и др. и приводящий к стохастическим переходным режимам даже в детерминистических системах [135]. Описание таких явлений классическими методами затруднительно.
В принципе для исследования систем при наличии случайных возмущений можно применить оценки отклонения регулируемой величины от заданного значения в наихудшем случае, т.е. в случае возмущения, произвольно ограниченного по модулю. Однако, ведя расчет на максимальное значение случайного возмущения, вероятность появления которого, вообще говоря, невелика, необходимо предъявлять заведомо более жесткие требования к системе, чем это вызвано сутью дела. Поэтому к значительно лучшим и технически более приемлемым результатам приводят методы, характеризующие усредненное поведение системы при наличии случайных возмущений.
Кроме этого, использование вероятностных методов при анализе движения нелинейной системы, находящейся под действием случайных возмущений, дает возможность исследовать ее реакцию в ответ не на одно какое-нибудь конкретное воздействие, а на целую совокупность возможных случайных возмущений. К необходимости привлечения вероятностных идей приводит и естественная ситуация упрощения математической модели объекта. Неучитываемые при этом факторы имеют, как правило, случайную природу.
Случайность в нелинейных системах приводит к новым эффектам, ненаблюдаемым при детерминированной постановке задач: переходам из окрестности одного устойчивого состояния в окрестность другого под действием случайных "толчков" [73, 147]; существуют распределения случайных пара метров, при которых стационарная система оказывается нестационарной по отношению к моментам фазового вектора [80, 144]; дискретный спектр автоколебаний становится непрерывным [7, 147, 173]; при одновременном воздействии случайного и гармонического сигналов возникают элементы хаоса; статистическая связь параметрических и аддитивных шумов приводит к появлению систематической составляющей в выходном сигнале [80]; влияние параметрических шумов проявляется в уменьшении запаса устойчивости или возникновении неустойчивых режимов, в изменении резонансных частот и в других эффектах; при широкополосном спектре параметрических возмущений невозможно избежать основного резонанса, так что изучение резонансов более высокого порядка в известной степени теряет смысл [211]; несмотря на то, что движение систем с шумами и без них совпадает в среднеквадра-тическом [215], на больших интервалах времени их поведение существенно различается [39] и др.
Известно значительное число точных и приближенных методов решения задач статистической динамики. В первую очередь, к ним относятся известные алгоритмы построения решений стохастических дифференциальных уравнений, вычисления плотности вероятности, расчета характеристических функций, управляемых интегро-дифференциальными уравнениями Пугачева. Основными группами таких алгоритмов являются аналитические методы, методы упрощения исходной задачи, линеаризации, численные методы, методы интегральных преобразований, бесконечных рядов, вариационные методы, методы возмущений, итерационные схемы, методы сведения к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), методы интегральных „ - Л уравнении, сочетания различных схем и др.
Однако до настоящего времени не был разработан ни один более или менее универсальный алгоритм, пригодный для решения значительной части возникающих задач. Это приводит к тому, что список методов случайного анализа постоянно пополняется новыми алгоритмами. При этом как новые, так и известные методы случайного анализа, как правило, сложны для использования, а большая их часть требует проведения длинных математических выкладок (преобразований, приведения подобных, дифференцирований, интегрирований и др.), выполнение которых вручную является сложной и небезошибочной процедурой.
Поэтому естественными является попытки использования систем аналитических вычислений (CAB, компьютерной алгебры) при решении таких задач, уже давно предпринимаются попытки автоматизировать процесс исследования стохастических систем, как это имеет место в детерминированном случае. К сожалению, до сих пор в связи с большими техническими сложностями реализуются, в основном, методы, позволяющие находить только са мые простые числовые характеристики фазового вектора. Ситуация здесь во многом сходна с положением в других отраслях науки: современные задачи требуют новых подходов и расчетных инструментов, что не позволяет использовать имеющиеся пакеты прикладных программ, реализующие известные алгоритмы.
Использование CAB позволяет расширить круг методов, доступных для автоматизированного применения, сократить временные затраты при вводе данных об исследуемом объекте, работать с математической моделью в символьном виде, выводить уравнения в каждом конкретном случае, что может приводить к существенному сокращению затрат времени процессора ЭВМ на этапе численных расчетов и др. Существенной частью этих разработок, кроме реализации численных алгоритмов, может быть сочетание численных и аналитических расчетов; автоматизация генерирования подпрограмм вычисления правых частей ОДУ на языках высокого уровня, таких, как Fortran, С, Pascal; построение общих соотношений, связывающих искомые параметры; визуализация полученных результатов с помощью двумерной и трехмерной графики и др.
Подводя итог вышесказанному, можно сделать следующий вывод: несмотря на достаточно долгий период развития статистической динамики, анализ научной литературы показывает существование в области изучения случайных явлений в динамических системах значительного числа нерешенных задач; наличие таких задач объясняется тем, что во многих важных случаях отсутствуют как теоретический аппарат, так и соответствующие алгоритмы расчетов. Это и позволяет сделать вывод об актуальности тематики диссертации.
Цель и задачи работы состоят в создании аналитического аппарата моделирования стохастических систем различных классов, а именно, описываемых обыкновенными стохастическими дифференциальными уравнениями (СДУ) с запаздыванием и без, СДУ в частных производных (ЧП), стохастическими интегро-дифференциальными уравнениями (СИДУ), со случайным непрерывным и дискретным входом; в поиске путей построения иных математических моделей явлений, описываемых данными уравнениями, моделей, более удобных для дальнейших исследований; в разработке алгоритмов статистической динамики, реализующих построенные методики, с учетом возможностей CAB и в их применении на основе CAB при решении конкретных и содержательных задач математики, механики, физики, техники, экологии и др.; в сочетании при решении одной задачи преимуществ различных CAB; в создании программных комплексов, соединяющих аналитические, численные, управленческие и визуализационные возможности, которые, как правило, требуют для своего построения использования программных средств нескольких типов.
Цель работы достигается в рамках единого методологического подхода, основанного на разработке теоретического аппарата решения поставленных задачи, алгоритмов их практической реализации и решении различных модельных и прикладных задач с использованием CAB на всех этапах исследования.
Положения, выносимые на защиту. Применяемая методология, в рамках которой решен ряд теоретических и прикладных задач различного уровня сложности, формирует общую проблематику и позволяет выделить основные позиции, представляемые на защиту:
1. Аналитический аппарат моделирования и анализа СДУ с постоянными кратными запаздываниями, основанный на расширении фазового пространства исследуемых систем; процедуры вычисления плотности вероятности фазовых векторов, описываемых такими СДУ; алгоритмы практической реализации данного аппарата, представляющие в совокупности решение актуальной научной проблемы статистической динамики.
2. Схема, использующая переход от непрерывной модели к дискретной и обратно, вывода уравнений для первых моментов случайных полей, описываемых СДУ в ЧП, примеры прямого использования схемы и ее применения для вычисления стационарных функционалов вероятности.
3. Методика, основанная на применении формулы Фуруцу-Новикова, и результат построения системы уравнений для первых моментов фазового вектора, удовлетворяющего линейной системе СИДУ.
4. Соотношения между основными числовыми характеристиками случайных векторов (моментами, кумулянтами и квазимоментами), записанные в мультииндексной форме.
5. Необходимое условие существования стационарного потенциала полиномиального типа и применение этого условия для построения нелинейных СДУ с заданными вероятностными характеристиками.
6. Методы моделирования стохастических систем различных классов (полуобратной задачи, бесконечных линейных систем, формального разложения переходной плотности вероятности).
7. Новые элементы в теории и алгоритмизации известных методов статистической динамики (степенных рядов, интегратора, принципа детального баланса) и применения новых для вычислительной практики функций Христова.
8. Методику построения пакетов прикладных программ (ППП), компоненты которых разрабатываются с помощью существенно отличных друг от друга компьютерных приложений.
Результаты численно-аналитических расчетов, полученные при моде лировании ряда объектов математики, механики, физики и техники со случайными характеристиками.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:
- на Всесоюзной школе "Системы аналитических вычислений в механике" (Клязьма, октябрь 1987 г.);
- на III Уральской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения"(Пермь, апрель 1988 г.);
- на Республиканской конференции "Теория и численные методы решения краевых задач дифференциальных уравнений" (Рига, декабрь 1988 г.);
- на Всесоюзной конференции "Аналитические преобразования на ЭВМ в автоматизации научно-исследовательских работ" (Вильнюс, апрель 1990 г.);
- на IV Международном совещании по аналитическим вычислениям на ЭВМ в физических исследованиях (Дубна, ОИЯИ, май 1990 г.);
- на Всесоюзной научно-технической конференции "Применение статистических методов в производстве и управлении" (Пермь, сентябрь 1990 г.);
- на Научно-технической конференции "Применение ЭВМ для решения задач механики" (Севастополь, май 1991 г.);
- на семинаре, по приложениям CAB в механике (руководитель - академик Д.М.Климов, Институт проблем механики РАН, апрель 1993 г.);
- на Международном совещании "Приложения компьютерной алгебры" (International Workshop "Computer Algebra Applications", проходившей параллельно конференции International Symposium on Symbolic and Algebraic Computations, ISSAC93; Киев, Украина, июль 1993 г.);
- на Международном конгрессе по компьютерным системам и прикладной математике (International Congress on Computer Systems and Applied Mathematics, CSAM 93; Санкт-Петербург, июль 1993 г.);
- на Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизации проектирования в машиностроении (Модель-проект 95)"; Казань, июнь 1995 г.);
- на Международном совещании "Новые компьютерные технологии в системах управления" (International Workshop "New computer technologies in control systems"; Переславль-Залесский, август 1995 г.);
- на VII Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, Украина, май 1996 г.);
- на Международных симпозиумах по символьным и алгебраическим вычислениям (International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation; ISSAC-96, Цюрих, Швейцария, июль 1996 г.; ISSAC-98, Росток, Германия, август 1998 г.);
- на Международной конференции "Вычислительное моделирование и вычисления в физике" (International Conference "Computational Modelling and Computing in Physics"; Дубна, ОИЯИ, сентябрь 1996 г.);
- на Юбилейной научной конференции, посвященной 80-летию университета (Пермь, ПГУ, октябрь 1996 г.);
- на Зимних школах по механике сплошных сред (11-й - Усть-Качка, февраль-март 1997 г.; 13-й - Пермь, февраль 2003 г.);
- на Международной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (International Conference "Modelling and Investigation of Systems Stability"; Киев, Украина, май 1997 г.);
- на VII Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Абрау-Дюрсо, сентябрь 1997 г.);
- на Международной конференции "Компьютерная алгебра в научных вычислениях" (International Conference "Computer Algebra in Scientific Computing"; Санкт-Петербург, апрель 1998 г.);
- на V Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, ИПУ РАН, июнь 1998 г.);
- на Всероссийской научной конференции "Фридмановские чтения" (Пермь, сентябрь 1998 г.);
- на Международной научно-методической конференции "Университеты в формировании специалиста XXI века" (Пермь, ПГУ, май 1999 г.);
- на Пермской конференции "История физико-математических наук" (Пермь, ПГУ, октябрь 1999 г.);
- на5 4л §ж ународной конференции IMACS по приложениям компьютерной алгебры (6th International IMACS Conference on Applications of Computer Algebra; Санкт-Перербург, июнь 2000 г.);
- на 20 Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (20th Intern. Congress on Theoretical and Applied Mechanics, ICTAM2000; Чикаго, США, август 2000 г.);
- на Международных симпозиумах по системе Mathematica (International Mathematica Symposium; IV - IMS2001, Токио, Япония, июнь 2001 г.; V - IMS03, Лондон, Великобритания, июль 2003 г.);
- на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, август 2001 г.);
- на V и VI Международных конгрессах по математическому моделированию (V, VI International Congress on Mathematical Modelling; V ICMM, Дубна, октябрь 2002 г.; VI ICMM, Н.-Новгород, сентябрь 2004 г.);
- на Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (Екатеринбург, февраль 2003 г.);
- на III Всероссийском совещании-семинаре заведующих кафедрами теоретической механики вузов Российской Федерации (Пермь, июнь 2004 г.):
— научном семинаре кафедры механики и управления Пермского госуниверситета (руководитель - проф.Маланин В.В.);
- научном семинаре лаборатории N 15 Института механики сплошных сред УрО РАН (руководитель - д.ф.-м.н. Райхер Ю.Л.).
Кратко остановимся на содержании работы, которая состоит из введения, шести разделов, заключения, библиографического списка и приложений.
Первый раздел носит обзорный характер. В подразделе 1.1 приведены основания теории марковских случайных процессов, которая служит теоретической основой работы. В подразделе 1.2 предлагается классификация существующих методов статистической динамики и их обзор. В подразделе 1.3 дается понятие о компьютерной алгебре, приложениях систем аналитических вычислений и применении компьютерной алгебры для решении задач статистической динамики. В подразделе 1.4 описывается краткая история появления и развития статистической динамики.
Второй раздел работы связан с построением аналитического аппарата исследования, который применяется для точного и приближенного решения задач как в данном, так и в других разделах.
В подразделе 2.1 в мультииндексной форме выводятся соотношения, связывающие основные числовые характеристики случайных величин - начальные моменты, кумулянты (семиинварианты) и квазимоменты, наиболее часто применяемые на практике. Основные результаты сформулированы в виде одной леммы и трех следствий к ней. Вид полученных соотношения позволяет сделать вывод, что они более удобны для использования в приложениях, чем известные, так как замкнуты, не требуют перестановки индексов, а количество последних неизменно и зависит только от размерности случайного вектора. В этом же подразделе рассматривается программный пакет ProbRel, созданный на входном языке системы аналитических вычислений (CAB) Маhematica и предназначенный для облегчения практического использования построенных соотношений, приведены структура и примеры применения пакета.
В подразделе 2.2 для исследования случайных режимов в нелинейных динамических системах предлагается метод полуобратной задачи для решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Такое название метода связано с его положением: обычно в прямых задачах по заданным уравнениям разыскиваются их решения; в обратных задачах по решениям - коэффициенты уравнений. Рассматриваемый метод занимает промежуточное положение между этими двумя крайними точками: задаваясь решением ФПК-уравнения и частью его коэффициентов, можно найти остальные коэффициенты этого уравнения.
При исследовании различных систем очень часто возникают задачи о получении решений заданной структуры (периодических, автомодельных и др.), которые важны как для понимания процессов, происходящих в данных системах, так и для практических приложений. В пункте 2.2.1 рассматриваются две задачи подобного типа. Первая состоит в нахождении условий, когда уравнение уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК-уравнение) имеет решение, не зависящее от времени. Во второй определяются соотношения для коэффициентов ФПК-уравнения, которые приводят к перемещению кривой распределения без изменения формы.
В пункте 2.2.2 рассматривается задача о получении необходимых условий существования стохастических потенциалов полиномиального типа в случае, когда нелинейности коэффициентов ФПК-уравнения носят степенной характер. Эти условия существенно упрощают применение метода неопределенных коэффициентов, что и используется в сочетании с методом полуобратной задачи при решении ряда конкретных задач.
Объект исследования в подразделе 2.3 - принцип детального баланса (ПДБ) и его применение для вычисления стационарной плотности распределения фазового вектора нелинейной динамической системы, описываемой стохастическими дифференциальными уравнениями (СДУ). Исходя из ПДБ, получены соотношения, представленные в виде двух лемм и следствий к ним и позволяющие в некоторых частных случаях решить поставленную задачу в квадратурах; приведены примеры анализа конкретных систем СДУ; предложен алгоритм реализации на компьютере формализма ПДБ в символьном виде с помощью одной из систем компьютерной алгебры.
Третий раздел посвящен вопросам разработки и реализации приближенных методов анализа нелинейных динамических систем со случайным входом.
В подразделе 3.1 изучаются системы, на поведение которых влияют фаг#-торы в виде случайных параметров (не изменяемых во времени случайных величин). Важность анализа таких систем связана с тем, что при моделировании реальных технических объектов случайные параметры представляют разброс конструкционных и технологических параметров изделий в поле допуска.
В пункте 3.1.1 рассматривается метод интегратора, разработанный G.C.Looney, с коррекциями и дополнениями автора данной работы. Этот метод предназначен для численной оценки первых моментов нелинейных систем с нормально распределенными начальными условиями и случайными параметрами. При решении конкретных задач метод был реализован с помощью программ на входных языках систем аналитических вычислений Reduce и Mathematica.
В пункте 3.1.2 представлен метод бесконечных линейных систем, позво ляющии построить аппроксимацию плотности вероятности, причем в отличие от многих других алгоритмов на любом уровне замыкания оценка плотности имеет вероятностный характер
В пункте 3.1.3 рассматриваются вопросы замены винеровского процесса в задачах статистической динамики линейными комбинациями тригонометрических функций с коэффициентами - независимыми случайными величинами.
В подразделе 3.2 объектом исследования являются нелинейные динамические системы, возмущаемые белыми или цветными шумами.
В пункте 3.2.1 представлен обобщенный метод интегратора, разработанный автором в ряде работ. Этот метод является развитием метода интегратора и позволяет приближенно вычислять моменты фазового вектора до любого (разумного) порядка.
В пункте 3.2.2 рассматриваются вопросы представления переходной плотности вероятности с помощью ряда по дельта-функциям Дирака и их производным. Такое представление позволяет вычислять характеристики не только первого (моменты), но и второго порядка (характеристические и корреляционные функции).
В пункте 3.2.3 представлена модификация метода степенных рядов А.А.Красовского, рассмотрены проблемы практического использования метода и, в том числе, процедура галеркинского типа, пригодная для замыкания систем ОДУ метода степенных рядов.
В четвертом разделе изложена теория и приведены примеры применения этой теории для анализа нескольких классов систем, которые названы обобщенными динамическими. Термин "обобщенные" здесь используется в смысле, отличном от обычно употребляемого в теории стохастических дифференциальных уравнений, а фиксирует то, что для изучения рассматриваемых систем пока не существует такого ставшего уже классическим аналитического и в то же время прикладного аппарата, как теория случайных марковских процессов. Можно надеяться, что изложенные в данном подразделе результаты в какой-то мере помогут будущим исследователям построить соответствующие полные теории.
В подразделе 4-1 изложена методика исследования стохастических дифференциально-разностных систем с постоянным запаздыванием, основанная на расширении фазового пространства. Данный подход базируется на построении цепочки уравнений типа Фоккера - Планка - Колмогорова для переходных плотностей распределения фазовых векторов увеличивающейся размерности. Применение этой методики демонстрируется на примерах, приведенных в заключительной части подраздела.
В подразделе 4-2 рассматриваются вопросы анализа систем стохастиче ских интегро-дифференциальных уравнений (СИДУ).
В пункте 4.2.1 решается задача построения системы обыкновенных дифференциальных уравнений для математических ожиданий и корреляционных моментов для компонент векторного случайного процесса, удовлетворяющего системе линейных СИДУ.
В пункте 4.2.2 рассматривается проблема сведения систем СИДУ к стохастическим дифференциальным уравнениям. Представлены две точные и одна приближенная схемы такого сведения, приводятся примеры применения схем.
В пункте 4.2.3 представлена приближенная схема вычисления математических ожиданий и корреляционных моментов для компонент векторного случайного процесса, являющегося решением системы линейных СИДУ. Схема основана на итерационной процедуре аппроксимации матрицы-функции Копій ДЛЯ указанной системы.
В подразделе 4-3изложена новая методика вывода моментных уравнений для случайных полей, которые описывают поведение нелинейных распределенных систем, возмущаемых внешними и внутренними случайными полями. Показано, что в некоторых случаях эта методика позволяет строить аналитические выражения стационарных функционалов вероятности анализируемых полей. Методика демонстрируется на ряде примеров, среди которых стохастические аналоги уравнений Гинзбурга-Ландау, Бюргерса, параметрических колебаний колонны.
В подразделе 4-4 рассматривается задача анализа систем, которые подвержены совместному влиянию непрерывных и дискретных случайных воздействий, обычно описываемых белыми шумами и пуассоновскими процессами соответственно: Для решения задачи вычисления плотности вероятности случайного смещения была применена схема, основанная на построении системы ОДУ для начальных моментов и точном их решении. При этом значения плотности были приближенно восстановлены на основе отрезка ряда Эджворта, причем необходимые для построения плотности квазимоменты вычислялись с помощью соотношений представленных в подразделе 2.1.
В пятом разделе представлен ряд прикладных задач из различных областей науки.
В подразделе 5.1 рассматривается классическая задача о вращательном движении динамически симметричного твердого тела вокруг неподвижной точки под действием малого диссипативного, а также случайных аддитивного и мультипликативного моментов. Методом усреднения построена стационарная плотность распределения характеристик такого движения, приведены графики маргинальных стационарных плотностей распределения и условия их существования.
В подразделе 5.2 анализируется движение транспортного средства по неровной дороге, представляемой случайным процессом типа цветного шума. В линейной модели учитывается наличие расстояния между осями передних и задних колес. Построена и численно решена система обыкновенных дифференциальных уравнений для первых моментов вертикального перемещения и Ф угла наклона корпуса. Для решения поставленной задачи применена одна из процедур, представленных в подразделе 4.1.
В подразделе 5.3 для анализа поведения упругой колонны под действием случайной осевой нагрузки построены уравнения в частных производных для первых моментов случайного смещения точек колонны от положения равновесия, для вывода которых использовано понятие функционала вероятности. Для решения этих уравнений применен метод Галеркина.
В подразделе 5.4 для приближенного решения моментных уравнений для случайных полей применяется ортонормированная система функций Христова, приведены свойства этих функций. На примерах полей, описываемых AM уравнениями Гинзбурга-Ландау и Бюргерса, продемонстрирована техника приближенного анализа, основанная на применении символьных выкладок на компьютере и численных расчетов.
В подразделе 5.5 рассматриваются вопросы, связанные с экологическим мониторингом и оценкой уровня загрязнения речной воды.
В пункте 5.5.1 осуществляется введение в проблематику математической экологии, обосновывается необходимость решения соответствующих задач»
В пункте 5.5.2 рассматривается задача оценки характеристик загрязнения речного водного бассейна, который моделируется каскадом нескольких водных резервуаров. Такая модель приводит к необходимости применения стохастических дифференциальных уравнений с кратными запаздываниями. В данном пункте произведено распространение теории подраздела 4.1 на изу-fr чаемый класс уравнений. Затем построенная теория применяется для решения поставленной задачи, что позволило вывести и решить уравнения для первых моментов случайных характеристик загрязнения. Аналитические выкладки, расчеты и представление результатов произведены с помощью пакета Mathematica.
В пункте 5.5.3 решается задача распространения пятна загрязнения по течению реки на основе стохастической модели конвективного переноса. В процессе решения построены и решены уравнения для двух первых моментов случайной концентрации загрязнения.
В подразделе 5.6 рассматриваются принципы использования CAB Mali thematica для решения задач оптимизации по критерию обобщенной работы и на основе использования уравнения Беллмана, представлен ряд вариантов операционного метода А.А.Красовского и методика применения метода степенных рядов, предназначенные для решения указанного выше уравнения.
В подразделе 5.7 поставлена задача оценки влияния на движение объекта разброса внутри поля допуска детерминированных и случайных конструкционных параметров и технологических погрешностей, рассмотрена методика решения задачи, принципы и техника ее практической реализации. В по- т следнем пункте подраздела рассматривается новое направление применения стохастической теории чувствительности для анализа случайных процессов в нелинейных динамических системах. Данное направление связано с оценкой влияния на основные характеристики фазового вектора изменения как детерминированных, так и случайных параметров.
Шестой раздел посвящен описанию трех пакетов прикладных программ (ППП), созданных в различное время и предназначенных для целей автоматизации научных исследований и обучения.
В подразделе 6.1 представлен комплекс программ Dif NewR, позволяющий находить частные производные от правых частей последовательности алге- браических равенств, записанных в фортраноподобном виде.
В подразделе 6.2 описывается ППП VMPack, предназначенный для генерирования моделей нелинейных динамических систем с сосредоточенными параметрами в векторно-матричной форме с учетом возможности дальнейшего использования построенных моделей в задачах анализа случайных режимов.
В подразделе О рассматривается ППП "Статистическая динамика", дано описание характеристик и алгоритмов функционирования ППП.
В заключении приведены основные выводы, полученные в процессе исследований.
По теме диссертации опубликованы следующие работы: [17, 164, 166, 168, 169, 170, 171, 172, 229, 230, 232, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 40, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, і 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 432, 433, 434, 435, 436, 437, 438, 450, 451, 452, 453, 454, 455, 456, 457, 458, 459].
Автором лично проводились постановка, анализ, алгоритмизация и решение всех представленных в диссертации задач. Результаты, изложенные в единоличных публикациях, получены автором. Из совместных публикаций в диссертацию включены лишь те результаты, которые получены лично автором.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту, ректору Пермского государственного университета академику Междуна-( родной Академии Наук Высшей Школы, профессору, доктору технических наук Маланину В.В., обратившему мое внимание и поддерживавшему в течение многих лет мой интерес к задачам статистической динамики.
