Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модель системы выбора компромиссного режима свободно-радикального стресса, вызванного применением регуляторов митотического цикла при подготовке опухолевых клеток к лучевой терапии 20
1.1. Описание математической модели компромиссного режима 22
1.2. Описание имитационной модели компромиссного режима 38
1.3. Анализ результатов компьютерного моделирования 42
Глава 2. Модель системы выбора компромиссного режима свободно-радикального стресса, вызванного поведенческими причинами индивидуумов в однородной популяции 47
2.1. Описание математической модели компромиссного режима 50
2.2. Описание имитационной модели компромиссного режима 56
2.3. Анализ результатов имитационного моделирования 60
Глава 3. Модель системы выбора компромиссного режима свободно-радикального стресса, генетически обусловленного уровнем супероксиддисмутазы в ходе эволюционного отбора 65
3.1. Описание математической модели выбора компромиссного режима 67
3.2. Описание имитационной модели выбора компромиссного режима 76
3.3. Анализ результатов имитационного моделирования 79
Заключение и выводы 83
Литература 85
Приложение 99
- Описание имитационной модели компромиссного режима
- Описание имитационной модели компромиссного режима
- Описание имитационной модели выбора компромиссного режима
- Анализ результатов имитационного моделирования
Введение к работе
Актуальность темы. Новые области приложения математики во многом связаны с исследованиями биологических явлений математическими методами. Еще в 1925 – 1926 гг. А. Лотка и В. Вольтерра предложили математическую модель совместного существования двух биологических популяций типа "хищник - жертва". В современной биологии активно используются методы теории вероятностей и случайных процессов. Это обусловлено тем, что детерминистское описание биологических процессов организма часто оказывается невозможным. Одним из новых и актуальных инструментов в исследовании биологических процессов является использование математических и стохастических имитационных моделей, позволяющих выявить и исследовать механизмы воздействий внешних или внутренних факторов на изучаемый объект.
Многие работы посвящены изучению динамических характеристик биологических объектов методами математического моделирования, включающими в себя, в частности, стохастическое описание и компьютерную имитацию,,. В них биологический объект представляется совокупностью систем, зависящих как друг от друга, так и от действия случайных внешних факторов.
В настоящей диссертационной работе в качестве объекта исследования рассматривается опухолевая ткань или человеческий организм, а в качестве воздействующего фактора свободно-радикальный стресс,. Его воздействие может быть позитивным (активные формы кислорода активизируют гены пролиферации, уничтожают пораженные вирусом клетки и бактерии) и негативным (снижение энергетического запаса организма, повреждение ДНК, развитие опухолей, ускоренное старение как следствие этого). В связи с этим возникают некоторые компромиссные уровни свободных радикалов, обуславливающие наилучшие условия существования популяции или индивидуума. Особый интерес вызывает изучение образования точек компромисса при разнонаправленных влияниях стресса на организм, которые дали бы представление о наиболее подходящем уровне свободных радикалов для изучаемого биологического объекта с целью увеличения средней продолжительности жизни. Разработка методов нахождения таких уровней на основе стохастического имитационного моделирования является предметом исследования.
В диссертационной работе разработаны и исследуются математические и стохастические имитационные компьютерные модели явлений канцерогенеза и старения в условиях свободно-радикального стресса. В моделях учитываются процессы накопления повреждений и разрушений, процессы энергетического истощения, внешние воздействия на систему. Данное моделирование позволит улучшать методы прогнозирования, диагностики нарушений и отклонений в работе биологических процессов, а также исследовать оптимальные схемы лечения с целью увеличить среднюю продолжительность жизни.
В качестве статистического материала в прикладной части диссертационной работы рассматриваются экспериментальные данные лабораторных исследований.
Цель работы. Целью диссертационной работы является определение компромиссных уровней свободных радикалов аналитическими методами и на основе результатов стохастического и имитационного моделирования биологических систем с тремя основными типами режимов стресса. Для достижения поставленной цели исследования рассматриваются соответствующие модели. Так первая модель строится в предположении, что свободно-радикальный стресс вызван лекарственными препаратами по воле исследователя, изучающего характеристики процессов канцерогенеза для определения оптимальной дозы лекарства. Данные препараты синхронизируют опухолевые клетки в определенной фазе митотического цикла. Максимальное скопление клеток на одной из стадий деления позволило бы затем наиболее эффективно уничтожать их лучевой терапией.
Вторая модель основывается на том, что свободно-радикальный стресс обусловлен поведенческими причинами индивидуумов популяции, являясь фактором, существенно влияющим на среднюю продолжительность жизни.
Третья модель объясняет зависимость продолжительности жизни от свободно-радикального стресса, генетически определяемого уровнем супероксиддисмутазы (СОД), установившимся в ходе природного эволюционного отбора в популяции.
Методы исследования. В диссертационной работе используются методы математического моделирования стохастических систем, теории случайных процессов и объектно-ориентированного программирования. Математические модели разрабатываются в семимартингальных терминах, численные методы строятся на основе дискретизации по времени точечных процессов. Выбор параметров моделей осуществляется исходя из анализа экспериментальных данных. Определение неизвестных коэффициентов проводится с использованием модифицированных методов Монте-Карло. Для программной реализации алгоритмов применяется аппарат численного математического моделирования и пакеты прикладных программ.
Научная новизна. Основные результаты настоящей диссертационной работы являются новыми и актуальными. В работе предложены новые модели трех систем выбора оптимальных режимов свободно-радикального стресса. Доказаны новые теоремы об оптимальных параметрах моделей компромиссных режимов свободно-радикального стресса.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Математическая модель компромисса при свободно-радикальном стрессе, вызванном применением регуляторов клеточного цикла при подготовке опухолевых клеток к лучевой терапии;
-
Теорема об изменении количества клеток в фазах митотического цикла под воздействием регулятора клеточного цикла;
-
Теорема об оптимальном уровне концентрации регулятора клеточного цикла;
-
Математическая модель компромисса при свободно-радикальном стрессе, вызванном поведенческими причинами индивидуумов в однородной популяции;
-
Математическая модель компромисса при свободно-радикальном стрессе, генетически определяемом уровнем СОД;
-
Разработанный комплекс программ для имитационного исследования созданных моделей и рассматриваемой статистики.
Достоверность результатов. Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановок задач и доказательств теорем, использованием аналитических и численных методов расчета, методов математического моделирования и применением современных методик анализа экспериментальных данных. Подтверждением адекватности разработанных моделей является то, что прикладные результаты диссертационной работы содержат новые выводы, обосновывающие и обобщающие экспериментальные данные лабораторных исследований.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Методы, результаты и программные процедуры численного моделирования работы могут найти применение в медико-биологических исследованиях канцерогенеза и старения.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на:
Международной молодежной научной конференции «XV Туполевские чтения» (Казань, 9-10 ноября 2007 г.);
Международной научной конференции «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании» (Екатеринбург, 22-24 ноября 2007 г.);
Всероссийской конференции с международным участием «Медико-физиологические проблемы экологии человека». (Ульяновск, 22-25 сентября 2009 г.);
Всероссийской конференции с элементами научной школы для молодежи «Инновационные технологии ранней диагностики и лечения в медицинской практике» (Ульяновск, 21-23 октября 2009 г.);
Семинаре НИИ ММ им. Н.Г. Чеботарева Казанского (Приволжского) Федерального университета (31 марта 2010 г.).
Личный вклад автора. Постановка задач осуществлялась научным руководителем профессором Бутовым А.А. Доказательство теорем и утверждений, разработка стохастических моделей и их компьютерное исследование, анализ полученных результатов и выводы из них выполнены автором самостоятельно.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ, в том числе 4 в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК, их список помещён в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 97 наименований источников отечественных и зарубежных авторов, а также приложений. Общий объем диссертации составляет 98 страниц.
Описание имитационной модели компромиссного режима
Для создания компьютерной программы построим дискретный аналог математической модели. Переход к дискретной модели разбивается на два этапа. На первом этапе заменим непрерывную область 0 t T на дискретную - совокупность конечного числа точек N є N, Г є R . Рассмотрим совокупность точек - целая часть числа N). Тогда такое множество представляет собой равномерную разностную сетку с шагом дискретизации А = —. При этом N обязательно выполнение условия для всех точечных процессов комплекса программ: где v - интенсивность процесса. Для уменьшения времени вычислений данных возможна смена значения дискретности как в большую, так и в меньшую сторону, при условии выполнения неравенства (1.20). Если после воздействия лекарства интенсивность v уменьшилась, то при прочих равных условиях увеличивается дискретность.
На втором этапе перехода от непрерывной модели строятся дискретные аналоги дифференциальных уравнений (замена производных соответствующими конечными разностями). Таким образом, для каждого к происходит моделирование всех дискретных аналогов построенных процессов. Дискретный аналог (1.8-1.9) примет следующий вид (т.н. инфинитезимальные соотношения, служащие основой для аналитических исследований и для имитационного моделирования СМО в терминах точечных процессов): В качестве генератора равномерно распределенной величины используется датчик случайных чисел, основанный на линейно-конгруэнтной последовательности с периодом повторения 248: На основе приведенного описания математической и имитационной моделей разработан комплекс программ, общие принципы работы которого для рассматриваемого в этой главе явления представлены на Блок-схеме 1.1. Текст компьютерной программы написан на языке программирования Borland Delphi версии 7.0, фрагмент которого представлен в Приложении 1 (Листинг 2). Блок-схема 1.1 состоит из нескольких подпрограмм. Первая подпрограмма (блоки 1-6 Блок-схемы 1.1) описывает общий подход к реализации математических моделей на языке программирования [44]. Более подробно рассмотрена реализация численных алгоритмов (блоки 7-9 Блок-схемы 1.1) на Блок-схеме 1.2.
В настоящее время влияние свободных радикалов на старение живых организмов - наиболее популярная тема научных дискуссий и обсуждений в научной литературе [51, 52, 69, 71, 72]. Обоснование идеи о причинной связи развития более шестидесяти видов заболеваний с повреждающим действием свободных радикалов на организм человека [70, 71] получило название свободно-радикальной теории, которой руководствуются многие современные исследователи в объяснении причин старения организма. Свободно-радикальный (или оксидативный) стресс разновидность стресса, опосредованная свободными радикалами, которые оказывают разрушительное воздействие на клеточные мембраны. Свободные радикалы - нестабильные молекулы с неспаренным электроном на внешней орбите, очень легко вступающие в химические реакции. Сталкиваясь с другими молекулами, они отнимают у них электрон, в результате чего "обделенные" молекулы, в свою очередь, становятся свободными радикалами, и — в сравнительно короткое время развивается опасная для нормальной жизнедеятельности организма цепная реакция, приводящая к повреждению белков, нуклеиновых кислот (ДНК) и мембранных липидов. Результат этого разрушительного воздействия и есть оксидативный стресс. Он провоцирует воспалительные процессы и способствует развитию бронхиальной астмы, сахарного диабета, артрита, сердечных и онкологических и других заболеваний [8]. Свободные радикалы образуются в процессе жизнедеятельности организма и присутствуют в организме в небольших количествах. Около 95% от всего потребляемого кислорода клетки восстанавливается в митохондриях до воды в процессе окислительного фосфорилирования. До 5% кислорода в результате различных реакций, в основном ферментативных, превращаются в активные формы кислорода (АФК). Также свободные радикалы образуются при многих заболеваниях, патологических процессах, протекающих в организме, при воздействии неблагоприятных факторов окружающей среды, например при тепловом стрессе или радиации.
При повышении температуры тела в крови накапливаются продукты перекисного окисления липидов, что сопровождается повышением активности каталазы, снижением уровня активности супероксиддисмутазы, защищающей внутриклеточные структуры, а также пероксидазы. Под действием высокой концентрации свободных радикалов повреждается генетический аппарат клетки. Здоровый организм, как правило, контролирует уровень свободных радикалов. Для нейтрализации АФК в клетке работает несколько ферментов: супероксиддисмутаза, каталаза, глутатионпероксидаза, и низкомолекулярных антиоксид антов: витамин С, глутатион, мочевая кислота, содержание которых в клетке зависит от метаболической активности.
Описание имитационной модели компромиссного режима
В уравнениях (2.11, 2.12) є - последовательность независимых случайных гауссовских величин с нулевыми средними и 1 „ дисперсиями —. Их генерация осуществляется по следующей схеме: если /А ,у = 1, ..., 12 — последовательности равномерно распределенных на [0,1] псевдослучайных величин, то 1 12 гк\ k =-7==( Е Щ 6) - приближение гауссовских случайных yJN j=i J величин с нулевыми средними и дисперсиями —. В качестве (к) генератора величин r\\ J используется датчик случайных чисел, описание которого дано в Главе 1, разделе 1.2 (текст компьютерной программы представлен в Приложении 1, Листинг 1). На основе приведенного описания математической и имитационной моделей разработан комплекс программ, общие принципы работы которого для рассматриваемого в этой главе явления представлены на Блок-схеме 2.1. Текст компьютерной программы написан на языке программирования Borland Delphi версии 7.0, фрагмент которого представлен в Приложении 1 (Листинг 3). Блок-схема 2.1 состоит из нескольких подпрограмм.
Первая подпрограмма (блоки 1-4 Блок-схемы 2.1) описывает общий подход к реализации математических моделей на языке программирования [44]. Более подробно рассмотрена реализация численных алгоритмов (блоки 5-7 Блок-схемы 2.1) на Блок-схеме 2.2. В ходе имитационного компьютерного моделирования было рассмотрено несколько вариантов частоты повышений активных форм кислорода, которое вызывает резкое увеличение числа свободных радикалов: 1) при 77 = 0,5 частота воздействия уменьшается в течение жизни; 2) при TJ = 1,1 частота воздействия постоянна в течение жизни; 3) при г/ = 1,8 частота воздействия увеличивается в течение жизни. Выбор значений параметров d , d определялся видом частоты 1 2 повышения свободных радикалов и d = 9.28, d = -7.68. Воздействие производилось в течение определенного промежутка времени Т=100 с заданной силой р. В результате компьютерного имитационного моделирования получены соответствующие случайные моменты времени (моменты смерти), на основе которых строились модельные функции дожития. В модели предполагается, что внешнее воздействие на организм эквивалентно действию тепловых процедур (например, нагреву в бане) или периодическому поднятию температуры тела организма (например, при гриппе) [4]. Установлено, что в состоянии покоя человек делает 16 вздохов в минуту и объем потребляемого кислорода составляет 0,25 л/мин. За 10-15 минут пребывания в бане частота дыхания увеличивается до 20 вздохов в минуту, то есть объем потребляемого кислорода возрастает до 0,31 л/мин.
Так как 5% от потребляемого кислорода идет на образование свободных радикалов, то, следовательно, их уровень возрастает на 25%. Результаты трех кривых дожития Gt с разными частотами повышения свободных радикалов представлены на Рис.2.1. 1. Количество подъемов температуры тела постепенно увеличивается. В таком случае кривая дожития имеет наиболее затяжной характер из всех представленных, а значит, выбранный режим является наиболее удачным при заданных условиях. Ет = 83; 2. Воздействие обратно первому: количество подъемов температуры тела постепенно уменьшается. Кривая дожития в данном случае практически идентична первой, но сдвинута влево на 10-15 лет. Яг = 80; 3. Регулярное воздействие: количество подъемов температуры тела постоянно. Кривая дожития имеет ректангулярныи вид, и потому данный режим является наименее удачным из всех рассмотренных. Ет = 78. Если предположить, что внешнее воздействие является более сильным и разрушающим (р=100), например эквивалентно действию радиации, то графики кривых дожития представлены на Рис. 2.2.
Описание имитационной модели выбора компромиссного режима
В настоящей главе строится математическая модель компромисса при свободно-радикальном стрессе, генетически определяемом уровнем супероксиддисмтазы, установившимся в ходе природного эволюционного отбора в человеческой популяции (у больных синдромом Дауна концентрация супероксиддисмутазы в организме заметно выше, чем у контрольной группы). Естественный эволюционный отбор — процесс, приводящий к выживанию и преимущественному размножению более приспособленных к данным условиям среды особей, обладающих полезными наследственными признаками. При этом из популяции выбраковывается подавляющее большинство особей, несущих признаки, резко снижающие жизнеспособность при данных условиях среды. В модели в качестве признака индивидуумов рассматривается концентрация супероксиддисмутазы в их кровеносной системе, которая, согласно предположениям модели, может быть а) стандартной, (б) пониженной и (в) повышенной (крайние варианты). Соответственно рассматриваются три популяционные группы: (а) контрольная группа, (б) предполагаемая группа с заниженной концентрацией СОД, (в) люди, больные синдромом Дауна.
Даунизм - одна из форм геномной патологии, при которой чаще всего хромосомы 21-й пары, вместо нормальных двух, представлены тремя копиями. При синдроме Дауна возможно значительное увеличение активности супероксиддисмутазы [67] (далее - СОД), поскольку ее ген СОД располагается в 21 хромосоме. Супероксиддисмутаза - металлофермент, который защищает мембраны клеток от повреждающего действия свободных радикалов, образующихся при активации перекисного окисления липидов, и является одним из основных антиоксидантов в организме человека [2, Приведем одну из возможных математических формализации явления эволюционного отбора. В первом приближении можно считать, что зависимость уровня свободных радикалов /3 = (fit)t 0 от концентрации супероксиддисмутазы описывается следующим уравнением: где а 0, Ь 0, SOD = (SODt ) Q - концентрация СОД во время t . При этом предполагается (в соответствии с экспериментальными данными [82], см.
Приложение 2, Табл. 3.2), что SODf - кусочно-постоянная функция, а именно где данные по времени представлены в годах. Согласно математической модели старения, которую создал Гомперц [29, 68] в 1825 г., жизнеспособность организма - это обратная величина смертности, и она снижается пропорционально ей самой в каждый момент, что для смертности соответствует экспоненциальному нарастанию с возрастом. «Жизненная сила» K = (Kf)( Q по Гомперцу описывается уравнением Поскольку на ранних стадиях вирусных заболеваний (до момента образования антител [65]) свободные радикалы убивают инфицированные клетки, то чем больше концентрация супероксиддисмутазы SODt , тем выше смертность по инфекционным причинам. И наоборот, чем ниже концентрация SODt , тем больше вырабатывается свободных радикалов для уничтожения вирусов, что влечет уменьшение смертности [53, 93]. Таким образом, в первом приближении относительная смертность (количество погибших особей за единицу времени в расчете на один индивидуум или на 1000 особей [74]) по причинам инфекционных заболеваний R-{Rt)t 0 описывается следующим выражением (т.е. низкий уровень свободных радикалов jBf. является причиной высокой смертности по инфекционным заболеваниям).
С другой стороны, пониженная концентрация SODt (следовательно, завышенный уровень свободных радикалов Pt ) является причиной большого количества повреждений ДНК, и следовательно, ускоренного старения, а также повышенного риска опухолевых образований. Поэтому модель необходимо учитывает компоненты, отвечающие смертности по причинам, отличным от инфекционных заболеваний. Они включают в себя новообразования, кардиологические причины, случайные инциденты и т.д. Пусть относительная смертность по этим причинам обратно пропорциональна «жизненной силе» индивидуума
Анализ результатов имитационного моделирования
В имитационной модели время Т = 100, при этом 1 год жизни равен 100 шагам компьютерного эксперимента. Имитационное моделирование проводилось для трех групп индивидуумов человеческой популяции. В качестве экспериментальных данных для группы людей с синдромом Дауна и контрольной группы по концентрации СОД выбирались (средние) результаты медицинских исследований, представленные в Таблице 3.2 Приложения 2 [82]. Исходные данные по уровню супероксиддисмутазы для третьей предполагаемой группы людей устанавливались меньше, чем для контрольной (Табл. 3.1): В результате компьютерного имитационного моделирования построены графики функций дожития Gt для групп популяций с различной концентрацией СОД (Рис.3.2). С изменением давления окружающей среды, в частности, с уменьшением смертности по инфекционным заболеваниям Rf, продолжительность жизни увеличивается, что показано на Рис. 3.3 в Приложении 3. На Рис. 3.5 - Рис. 3.7 Приложения 3 представлены графики кривых дожития для разных параметров аиЬ. На Рис. 3.4 представлены графики кривых дожития, соответствующие реальным экспериментальным данным последних десяти лет. Таким образом, результаты имитационного компьютерного моделирования подтверждают построенную математическую модель и отражают то обстоятельство, что природа в ходе эволюции определила наиболее удачный компромиссный режим свободно-радикального стресса. Так продолжительность жизни людей с синдромом Дауна ниже, чем у людей с парной 21-й хромосомой, поскольку они в раннем возрасте более подвержены инфекционным заболеваниям. Индивидуумы с пониженной концентрацией СОД имеют низкую смертность на ранних стадиях жизни, но в период возможности деторождения их смертность резко увеличивается за счет необратимых повреждений организма, вызываемых свободным радикалами. Данный факт объясняет, почему эволюционно был выбран существующий компромиссный уровень свободно радикального стресса у здоровых индивидуумов человеческой популяции.
Т.е. кривая дожития контрольной группы близка к оптимальной: смертность по инфекционным причинам в ранних возрастах и смертность в поздних периодах жизни сбалансированы [41]. Для проверки адекватности полученных кривых дожития использовалась метрика Леви-Прохорова [39]. Эта метрика, эквивалентная МНК для класса непрерывных функций распределений, позволяет избежать чувствительности к смещениям во временах моментов разрывов функций распределений, т.е. и при компьютерном моделировании L(G3Mn, GMO ) = 0.01, при этом на установление оптимальных параметров потребовалось провести 100 итерации. В диссертационной работе исследовались три класса математических моделей систем выбора режимов свободно-радикального стресса на основе классификации причин, его вызвавших. Инструментом для исследования служили имитационные модели, разработанные в соответствии с математическим описанием в семимартингальных терминах, которые реализовывались как комплекс компьютерных программ. В работе также осуществлялась проверка адекватности предлагаемых математических и имитационных компьютерных моделей реальным статистическим данным, относящимся к конкретным предметным областям биологических явлений.
При математическом и имитационном моделировании различных рассматриваемых в работе биологических процессов применялся единообразный подход, основанный на семимартингальном описании точечных процессов. Основные результаты, полученные в диссертационной работе: 1. Сформулированы и доказаны теоремы об изменении количества клеток в фазах митотического цикла под воздействием лекарственного препарата - регулятора клеточного цикла и об оптимальном уровне его концентрации. 2. Разработаны математические модели развития свободно-радикального стресса для основных ситуаций выбора его компромиссных режимов; 3. Реализован комплекс программ для исследования созданных моделей и рассматриваемой статистики. Проведенная работа не исчерпывает все аспекты проблем в данной конкретной предметной области биологических явлений (свободно-радикальный стресс). Полученные в работе результаты могут быть обобщены на более широкий класс биологических систем и явлений. В частности, вопросы анализа компромиссных режимов свободно-радикальных стрессов на основе описаний в семимартингальных терминах могут получить свое дальнейшее развитие при изучении управляемых процессов, процессов с разладками и др.
Также необходимо отметить, что вопросы идентификации функциональных зависимостей и параметров целевых функций могут выходить за рамки определения коэффициентов в их линейном приближении. Полученные результаты могут быть полезны и применимы не только при исследовании биологических систем, но и для явлений другой природы и уровня сложности, в частности, при изучении проблем компьютерной безопасности. Примером тому может служить анализ распространения вирусных программ и сбоев в больших компьютерных сетях, в которых может происходить неконтролируемый рост областей, подверженных действию компьютерного вируса.
