Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическая модель системы «трубопровод-датчик давления» для трубопровода конечной длины
1. Динамика упругого элемента датчика, расположенного на торцевой стенке трубопровода
1.1. Математическая модель 12
1.2. Решение аэрогидродинамической задачи методом Фурье 13
1.3. Решение уравнения для деформации 15
1.4. Численный эксперимент в задачах о динамике упругого элемента .22
1.5. Исследование динамики элемента с учетом теплового воздействия. 37
1.6. Исследование динамики упругого элемента в трубопроводе,
на конце которого расположен поршень 43
2. Динамика упругого элемента датчика, расположенного на боковой стенке трубопровода 2.1. Математическая модель 46
2.2. Решение аэрогидродинамической задачи методом Фурье 47
2.3. Решение уравнения для деформации 48
2.4. Численный эксперимент в задачах о динамике упругого элемента .50
2.5. Решение аэрогидродинамической задачи с помощью методов ТФКП v 57
2.6. Исследование динамики упругого элемента в трубопроводе, на конце которого расположен поршень. 61
Глава 2. Математическая модель системы «трубопровод-датчик давления» для бесконечно длинного трубопровода
1. Динамика упругого элемента датчика, расположенного на торцевой стенке трубопровода
1.1. Математическая модель 65
1.2. Решение аэрогидродинамической задачи методами ТФКП 66
1.3. Решение уравнения для деформации 68
1.4. Численный эксперимент в задачах о динамике упругого элемента .71
1.5. Исследование динамики элемента с учетом теплового воздействия. 76
1.6. Исследование динамической устойчивости вязкоупругого элемента датчика давления 79
2. Динамика упругого элемента датчика, расположенного на боковой стенке трубопровода
2.1. Математическая модель 85
2.2. Решение аэрогидродинамической задачи методами ТФКП 85
2.3. Решение уравнения для деформации 88
2.4. Численный эксперимент в задачах о динамике упругого элемента .90
2.5. Исследование динамики элемента с учетом теплового воздействия. 96
2.6. Исследование динамической устойчивости упругого элемента датчика давления 97
Глава 3. Математические модели с датчиком давления, расположенным в полости трубопровода
1. Уравнение колебаний упругого элемента датчика, расположенного в
полости трубопровода конечной длины
1.1. Математическая модель 103
1.2. Вывод уравнения колебаний элемента... Г: 104
2. Уравнение колебаний упругого элемента датчика, расположенного в полости трубопровода бесконечной длины
2.1. Математическая модель ПО
2.2. Вывод уравнения колебаний элемента 111
3. Уравнение колебаний жесткого подвижного элемента датчика давления
3.1. Математическая модель 117
3.2. Вывод уравнения колебаний элемента 119
Глава 4. Осесимметричная модель системы «трубопровод — датчик давления»
4.1. Постановка задачи расчета динамики пластины с учетом теплового и гидродинамического воздействий 123
4.2 Выбор базисных функций для прогиба пластины 125
4.3. Решение аэрогидродинамической задачи 127
4.4 Вывод начальных условий 134
4.5.Численное исследование динамики упругого элемента 136
Заключение 145
Библиографический список
- Решение аэрогидродинамической задачи методом Фурье
- Решение аэрогидродинамической задачи методами ТФКП
- Уравнение колебаний упругого элемента датчика, расположенного в полости трубопровода бесконечной длины
- Выбор базисных функций для прогиба пластины
Введение к работе
Повышение надежности и продление сроков службы конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости или газа, является важной народнохозяйственной проблемой во многих отраслях техники. Такая проблема, в частности, возникает в приборостроении, авиаракетостроении, при проектировании антенных установок, датчиков давления, камер сгорания, трубопроводных систем, гидротехнических и высоких наземных сооружений, и т.д.
Существенное значение имеет исследование динамики и устойчивости колебаний деформируемых элементов конструкций, так как воздействие потока может приводить к значениям амплитуды и(или) скорости колебаний, не позволяющим осуществлять их надежную эксплуатацию и обеспечивать необходимую функциональную точность.
Давление, как и температура, скорость или расход, входит в качестве одной из переменных величин в описание явлений, связанных с поведением жидких или газообразных сред. В гидравлических, тепловых, ядерных и других установках, поставляющих механическую, тепловую или электрическую энергию, необходимо наблюдение за давлением, чтобы оно находилось в заданных пределах, ибо превышение давления может повлечь за собой повреждение конструкций, не говоря уже о риске, связанном с их разрушением, и авариях. Давление является важным параметром систем контроля и управления производственных процессов.
Все эти устройства требуют создания приборного оборудования, в котором первичным звеном являются датчики давления. Они поставляют данные о давлении сжатого воздуха, газа, пара, масла или других жидкостей, определяющих надлежащее функционирование машин, механизмов или систем, обеспечивающих протекание процесса.
Такая задача, в частности, возникает при проектировании датчиков давления, связанных с камерой сгорания двигателя трубопроводом, и служащих для определения рабочего давления в двигателе. Задача состоит в получении
уравнений, связывающих закон изменения рабочей среды на входе в трубопровод (на выходе из камеры сгорания двигателя) и деформацию упругого элемента датчика, и предназначенных по величине деформации элемента рассчитать давление в двигателе. Особенное значение имеет задача определения давления в двигателе в режиме взлета или посадки летательного аппарата, когда режим работы двигателя является существенно нестационарным.
Динамика упругих тел, взаимодействующих с потоком жидкости или газа, является предметом большого количества исследований. Исследования в этом направлении изложены как в отечественных (Белоцерковский СМ. [16], Скрипач Б.К., Табачников В.Г. [15], Болотин В.В. [18], Вольмир А.С. [46], Галиев Ш.У. [48], Ильюшин А.А. [60], Мовчан А.А. [74], Григолюк Э.Г. [54,55], Пановко Я.Г. [79], Горшков А.Г. [52], Тарлаковский Д.В. [53], Шклярчук Ф.Н. [113] и др.), так и в зарубежных работах (Бисплингхофф Р.Л., Эшли X., Халфман Р.Л. [17], Доуелл Е.Х. [114], Фын Я.Ц. [110] и др.).
Проблемам, связанным с описанием колебаний и распространением волн в оболочке, находящейся в газожидкостной среде или содержащей ее, в частности, анализ динамических явлений в камерах сгорания, посвящены работы Буйвола В.Н. [19], Ильгамова М.А. [59], Рапопорта И.М. [89], Фролова К.В., Антонова В.Н. [8] и др.
Исследованию задач гидроупругости поплавковых приборов с упругими элементами конструкции посвящены работы Андрейченко К.П., Могилевича Л.И. [3,76] и др.
В работах Мовчана А.А. [75], Светлицкого В.А. [94], Томпсона Дж.М.Т. [107], Феодосьева В.И. [109], Челомея СВ.[112] и др. исследуется динамика трубопроводов.
Описанию датчиков измерительных систем посвящены работы Аша Ж. с соавторами [10], Андреевой Л.Е. [2], Джагунова Р.Г., Ерофеева А.А. [57], Петунина А.И. [80] и др..
Исследования, проведенные в диссертации, являются развитием исследований по хоздоговорным работам, проводившимся на кафедре «Высшая
математика» Ульяновского государственного технического университета (НИИ интегральных датчиков, г. Ульяновск, х/д НИР №7-87/90 «Исследование динамики упругих элементов датчиков с- учетом теплового и гидродинамического воздействия» (номер гос. регистрации 01900062844); СКБ «Пульс», г.Ульяновск, х/д НИР № 7-26/91 «Динамика упругих элементов емкостных датчиков давления с учетом теплового воздействия» (номер гос. регистрации 01910051734); ЭОКБ «Сигнал», г.Энгельс Саратовской области, х/д №7-51-92 «Разработка математической модели динамической системы «трубопровод - емкостной датчик давления» (номер гос. регистрации 01920017123)).
Рассматриваемые в диссертации модели могут быть также использованы для расчета давления в газопроводах, нефтепроводах, когда давление в трубопроводах определяется режимом работы компрессорных станций.
Особенностью рассматриваемых в диссертации задач является то, что модели описываются связанными системами дифференциальных уравнений в частных производных для двух неизвестных функций — потенциала скорости жидкости, которая заполняет трубопровод, и деформации упругого элемента датчика давления, что не позволяет разделить решение соответствующих задач гидроупругости на две отдельные задачи: а) расчета движения жидкости и определения гидродинамического давления, б) расчета динамики упругого элемента при воздействии этого давления.
В связи с вышеизложенным возникает актуальная задача разработки специальных методов исследования динамики и устойчивости упругих элементов конструкций (в частности, датчиков давления), взаимодействующих с жидкостью.
Целью диссертационной работы является' создание математических моделей системы «трубопровод - датчик давления» и разработка на их основе математических методов исследования динамики упругого элемента датчика давления рабочей среды в трубопроводе.
Для достижения этой цели решаются следующие задачи:
Построение математических моделей в задачах о динамике упругого элемента датчика давления, являющегося составной частью механической системы «трубопровод — датчик давления».
Разработка методик решения задач аэрогидродинамики, позволяющих свести решение соответствующих задач аэрогидроупругости к исследованию уравнений для деформации элемента.
3. Разработка аналитических и численных методов решения задач
аэрогидроупругости о динамике упругого элемента датчика давления.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.
Первая глава посвящена исследованию динамики упругого элемента датчика давления рабочей среды, расположенного на торцевой или боковой стенках трубопровода конечной длины с прямолинейными стенками.
Задачи решаются в линейной постановке, соответствующей малым возмущениям потенциала скорости рабочей среды и малым прогибам упругого элемента. Под рабочей средой понимается идеальный несжимаемый газ (жидкость), поле скоростей предполагается плоским.
В первой главе исследовалась также динамика пластины, расположенной на боковой или торцевой стенках трубопровода, на одном конце которого расположен поршень произвольной формы, движущийся по заданному произвольному закону.
Во второй главе исследуются модели механической системы «трубопровод-датчик давления» в случае бесконечно длинного трубопровода с прямолинейными стенками. Представленные модели отличаются расположением упругого элемента датчика давления: на торцевой стенке и на боковой стенке.
Проводилось также исследование динамической устойчивости по Ляпунову упругого элемента датчика давления на основе построения функционала для интегро-дифференциального уравнения с частными производными, описывающего динамику пластины. Получены условия устойчивости для параметров механической системы.
В третьей главе рассмотрены модели механической системы «трубопровод - датчик давления», в которых датчик расположен в полости трубопровода. Модели различаются формой трубопровода, -способом закрепления и механическими свойствами элемента датчика давления (упругая закрепленная на концах пластина или абсолютно жесткий подвижный элемент). Для указанных моделей с помощью методов теории функций комплексного переменного (с использованием интеграла Кристофеля-Шварца, формулы Сохоцкого) потенциал скорости выражается через функцию прогиба, что позволяет получить уравнение, связывающее давление на входе в трубопровод и прогиб (деформацию) упругого элемента датчика давления.
Четвертая глава посвящена исследованию динамики упругого элемента датчика давления рабочей среды, выполненного в виде круглой пластины (осесимметричный трубопровод).
В приложении 1 дается постановка задачи о динамике пластины с учетом теплового и гидродинамического воздействий.
В приложении 2 приведены некоторые результаты численного
моделирования.
Основным результатом диссертации является создание численно-аналитического метода решения задачи, включающего следующие этапы:
Построение математической модели.
Сведение задачи к исследованию уравнения для функции деформации упругого элемента на основе метода Фурье или методов ТФКП.
Решение уравнения для деформации методом Галеркина.
Численное моделирование динамики упругого элемента.
В диссертационной работе используются методы теории функций комплексного переменного, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, численные методы, методы математического моделирования.
В каждой главе принята тройная нумерация формул. Первая цифра номера формулы указывает номер главы, вторая - номер параграфа, третья - номер формулы в параграфе.
Достоверность полученных результатов вытекает из математической строгости постановки задач и аналитических выкладок, согласования аналитических результатов с результатами численного эксперимента, оценки погрешностей численного моделирования, а также сравнения с результатами других авторов.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Построены новые и усовершенствованы некоторые известные математические модели механической системы «трубопровод-датчик давления».
Разработана методика решения класса плоских задач аэрогидромеханики, позволяющая исключить потенциал скорости жидкости и свести решение задач к исследованию интегро-дифференциальных уравнений для функций прогиба упругого элемента.
Разработан численно-аналитический метод, позволяющий проводить исследование динамики упругого элемента датчика давления с учетом-взаимодействия с рабочей средой в трубопроводе.
Практическая ценность работы заключается4 в том, что разработанные модели и методы позволяют усовершенствовать теоретическую базу современного проектирования взаимодействующих с потоком жидкости или газа упругих элементов и соответствующих технических устройств, приборов, конструкций (в частности, датчиков давления). Это позволяет сократить время и средства, затрачиваемые на натурные эксперименты, а в некоторых случаях заменить их аналитическими оценками или проведением компьютерных исследований.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных и межвузовских конференциях: Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2003); международная школа-конференция «Лобачевские
чтения» (Казань, 2004, 2005); пятая, шестая международные конференции
«Математическое моделирование физических, экономических, технических,
социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2003,2005); 12-ая Саратовская
зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения»
(Саратов, 2004); международные конференции «Континуальные алгебраические
логики, исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике»
(Ульяновск, 2003-2006); международная «Конференция по логике,
информатике, науковедению» (Ульяновск, 2007); Всероссийские научные
конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004,
2005); the 30-th, 31-th International Conference "Application of mathematics in
engineering and economics" (Созопол, Болгария, 2005, 2006); the 13-th International
Conference on Applied and Industrial Mathematics. (Питести, Румыния, 2005);
XXXVII-XXXIX научно-технические конференции профессорско-
преподавательского состава УлГТУ (Ульяновск, 2003-2007).
Реализация результатов работы. Исследования, представленные в диссертации, внедрены в рамках НИР «Разработка математических методов исследования динамики и устойчивости тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии» (заказ-наряд Федерального агентства по образованию, 2004г.), а также в рамках г/б НИР «Исследования по дифференциальным уравнениям, математической физике и приложения в механике, технике и естествознании».
Решение аэрогидродинамической задачи методом Фурье
Рассматривается задача о динамике упругого элемента конструкции, представляющей собой модель механической системы «трубопровод-датчик давления». Поле скоростей рабочей среды (идеального несжимаемого газа или жидкости) предполагается плоским, длина трубопровода - конечной (рис. 1.1).
Пусть на одном конце трубопровода задан закон изменения давления рабочей среды (например, на выходе из камеры сгорания двигателя), а на другом расположен датчик, предназначенный для измерения этого давления и содержащий в качестве составного элемента упругую пластину. Рис. 1.1. Трубопровод конечной длины с упругим элементом на торцевой стенке На рис. 1.1: 1 — двигатель, 2 - трубопровод, 3 - датчик, 4 - рабочая среда, 5 - пластина (упругий элемент). Предлагаемая математическая модель определяется следующими уравнениями и граничными условиями: Р« + = (x,y)eG = {(x,y):0 x x0,0 y y0), (1.1.1) ру(х,0, і) = сру( ,у0,0 = 0, х є (0,х0), (1.1.2) px(0,y,t) = J)(y,t), ує(а,Ь), 0 a b y0, (1.1.3) px(0,y,t) = 0, уе(0,а)и(Ь,у0), (1.1.4) P -p pt(x0,y,t) = R(y,t), ує{0,у0), (1.1.5) L(co) = Мё + Dco + NcOyy + adt + j3cb + yu) = (1.1.6) = P0(y,t)-P + pq t(0,y,t), у є (a,b). Здесь (1.1.1)- уравнение Лапласа, описывающее движение рабочей среды в трубопроводе; (1.1.2)-(1.1.4) - условия непротекания среды через соответствующие границы; условие (1.1.5) задает закон изменения давления на входе в трубопровод; (1.1.6)- уравнение динамики пластины; х,у - декартовы координаты, t - время; cp{x,y,t) - потенциал скорости среды; co(y,t) - прогиб упругого элемента; Р - давление рабочей среды в трубопроводе в состоянии покоя; р - плотность среды; Р,(.у,0 - закон распределения давления среды в сечении х = х0 (на выходе из двигателя); P0(y,t) — распределенная внешняя нагрузка, действующая на упругий элемент; х0,у0 - продольный и поперечный размеры трубопровода; а,Ь — координаты концов упругого элемента; М, D — погонная масса и изгибная жесткость пластины; N - сжимающее (растягивающее) пластину усилие; а - коэффициент внутреннего демпфирования; /? и у - коэффициенты демпфирования и жесткости основания; нижние индексы x,y,t обозначают частные производные по x,y,t, точка - частную производную по /. 1.2. Решение аэрогидродинамической задачи методом Фурье Потенциал скорости, описывающий движение среды, представим функцией, являющейся решением уравнения Лапласа (1.1.1) , ,o= o+ (o+i;k,(o + „aK ]cos( ), (1.1.7) п=\ Y171 где Я = —, a (f), 7(0 Фи(0 „(0 произвольные функции времени. Уо Заметим, что функция p(x,y,t) представлена в виде разложения по полной системе функций {cos Лпу}"=0. Подставим (1.1.7) в условия (1.1.3), (1.1.4). В результате получим невязку ,0 = /7(0 + ЕЯи[Фп(0- „(0]со8С )- ,0, (1.1.8) n=l зшА 1 ye(a,b) [О, уєф,а)и(Ь,у0). Из условия ортогональности невязки S{y,t) к системе функций {cos 4, Л \8{y,t)cos{Xmy)dy = Q, /я = 0,1,2,... (1.1.9) о следует Фл(0- (0 = -Й 0со8(Яп , (1.1.10) /7(0 = —КУ,0Ф- (1.1.11) Подставляя (1.1.7) в условие (1.1.5) и проводя аналогичную ортогонализацию невязки, будем иметь 2 Ф„(0 л + (0 0 = \P.(y,t)cos(Any)dy, (1.1.12) /Уо о Г 1 1 Уо Р-р[Ш + х№)\=— fi(y,t)dy. (1.1.13) Л о Дифференцируя по t (1.1.10) и (1.1.11), получим Фи(0- (0 = 7 -Й 0со8(Ял , (1.1.14) fj{t) = )cd{y,t)dy. (1.1.15) У 0 а Из системы уравнений (1.1.12), (1.1.14) находим е " 0 ь 1 Уо »(0 = 1 ZTi—\№(y 0s(Any)dy -j-—г \Pt(y,t)cos{lny)dy, (1.1.16) КУо СЧЛА ) а ру0 ch{Anx0) 0J Л0 = -- г? -Jco(y,t)cos{\y)dy -j-— ]P.(y,t)cos{\y)dy, (1.1.17) а из (1.1.13), (1.1.15) Р X Л Уо i(t) = ---±jcd(y,t)dy \R{y,t)dy. (1.1.18) Р Уо а РУО 0 Подставляя (1.1.16)-(1.1.18) в (1.1.6), получим уравнение, связывающее закон изменения давления P (y,t) рабочей среды на входе в трубопровод (х = х0) и функцию прогиба а (у, t) упругого элемента датчика, расположенного в сечении х - 0: L(o) = P0(y,t) 2pfcos(Any) у0 „=ісЬ(Я„х0) Уо \т{у, t)dy j . (у, t)dy - Уо а Уо О У] УЛ cos(Zny)dy + Й )&{у, /) zos{Xny)dy п Р Л„ (1.1.19) где оператор L{co) определяется, согласно (1.1.6), выражением L{co) = Мсд + Da + Nm + ad) + (3(Ь + у(а. Шарнирное закрепление концов упругого элемента Для построения решений уравнения (1.1.19) можно применить метод т Галеркина, задавая решение уравнения в виде a (y,t) = Ta k(t)gk(y), где {gk(y)Yk=x - полная на [а,Ь] система базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям, соответствующим условиям закрепления пластины. В частности, для шарнирного закрепления концов пластины (0 = 0,0 ,=0 при y = a,y-b) можно положить со(у,і) = а)к(t)sinJ3k(у-а), где (Зк . ы\ Ъ — а Проведем процедуру метода Галеркина для т приближений. Невязка имеет вид
Решение аэрогидродинамической задачи методами ТФКП
Считая t параметром, введем в рассмотрение комплексный потенциал W = f{z,t) = (p + iy/, где z = x + iy, y/ = \f/{x,y,t) - функция тока. Функция = ch— конформно отображает полуполосу G на верхнюю полуплоскость Уо комплексного переменного С, = % +іт] со следующим соответствием точек: 2 = оо - ( = оо} z = 0 - = l, z = iy0 г = -1. Упругому элементу (отрезку [а,Ь] оси Оу) в "-плоскости соответствует отрезок [ fi,2] оси » гДе . лЪ г па gj=cos—, 2=cos—. Уо Уо Для аналитической в верхней полуплоскости функции fz(z(),t)= px -i(py имеем согласно (2.1.2) - (2.1.4) следующие краевые условия Im/r = - ру = О, є (-00,-1) и (1,+оо), КЄЛ= =І0, e(-l,ft)u(&,l Полагая = %, z = iy в формуле = ch —, находим = ch—— = cos—, 7о Уо Уо следовательно, = Ж) = — arccos , #є(-1,1). (2.1.8) Таким образом, для аналитической функции fz{z(),i) имеем смешанную краевую задачу в верхней полуплоскости. Решение этой задачи, ограниченное в точках " = ±1 и удовлетворяющее условию (2.1.5), запишем по формуле Келдыша-Седова [71] /МЫ)-ЩШ %. (2Л.9) т 4IR(T){T-C) гдеі?(О = 2-1 0приС = 1. JTT CLt- 7Г TEE 7Г I Далее, поскольку " = ch —, то - - =—sh— =—-j2-l. Тогда с Уо dz Уо Уо Уо учетом (2.1.9) будем иметь ж г dz у f У о ЫХМ) dT WZ =Jz --JZ= r-z - Jz = 2 i" ж-]С -1 z Tt1 Vi-r2 T C Интегрируя по полученное выражение, найдем комплексный потенциал ш = Ц)?ЩйНт-С) т + С(», (2.1.10) где С(0 - произвольная комплексная функция. Перейдем в (2.1.10) к пределу при "- є(,,2), при этом z— /у, 7 є (я, 6). Согласно предельным формулам для интеграла с логарифмическим ядром [49] имеем Уо КК 0Д , ... , JMy(T),t) \ 0 (&т(л,(т\ А І т(л,(т\ А Л Отсюда, отделяя вещественную часть и дифференцируя ее по t, получим pt(0,yj) = Y{ hl\n\T- \dr + A(t), (2.1.11) я" ft VI -т2 где = cos -, A(t) = RQC (t). Уо Подберем произвольную пока функцию A(t) так, чтобы выполнялось условие (2.1.6). С этой целью продифференцируем (2.1.10) по / и отделим вещественную часть. В результате будем иметь rfr + A(t), (2.1.12) у 4 іп я2 й л/і-г2 При -» оо (х - +со) из (2.1.12) и (2.1.6) получаем ДО = [Р - Л (0J/p Формулу Я5 (2.1.11), сделав в интегральном слагаемом подстановку r = cos —, можно Уо теперь записать в виде p-p (t) p 1 (pt(0,y,t) = —lcd(s,t)\n пі ds (2.1.13) 7TS ПУ cos cos— Уо Уо Подставляя (2.1.13) в (2.1.7), получим уравнение, связывающее закон изменения давления Pt(t) на входе в трубопровод (х0=+оо) и функцию прогиба (деформацию) co(y,t) упругого элемента датчика, расположенного в сечении х = О Ры L(co) = P0(y,t) - Л (0 + iL Г й( ,01п пі т пу cos cos Уо Уо ds. (2.1.14) 1.3. Решение уравнения для деформации Шарнирное закрепление концов упругого элемента Проведем процедуру метода Галеркина для т приближений. В случае т шарнирного закрепления a)(y,t) = CDk(t)sm/3k(y — a). Невязка уравнения (2.1.14) имеет вид т т . к=\ L co) MZo)k(t)s mMy-a) + D-Zo)k(t) sm k(y-a) к=\ т т т к=\ X 0A2sm 7-a) + a2 (0A4sin/?,(7-«) + Z (0sin (7-«) + =1 к=\ Р к=\ + 7 Л тРк(у-а)-Р0{у,1) + Р )- Ук{у\ п ,ы ns пу cos cos— где 1к (у) = Jsin Д (s - a) In Уо Уо Составим систему уравнений ds. JL.(co)smД (у - a)dy = 0, где і = \,..,m. a Для 0)k(t) получим систему из т обыкновенных дифференциальных уравнений (/ = 1,..,/я ): т 2 ДА (0 + ад (0 + о, (0 + (0 = 0, где М —- - - \1к (у) sin Д Си - а)ф, і = А:; Л = 2 Я" а - J/t (у) sin Д ( - a)dy, і Ф к. В = С = Ъ- а 2 Ъ-а т = Л (О1 CSM - )p0(y,t)smj3t(y - d)dy. Н\ а Для нахождения cok(0),d)k(0) воспользуемся начальными условиями со(у,0) = и(у), d)(y,0) = v(y). Составим невязки Я, К (0), У) = Z а и (0)sin А Си - «) - «00; m ( (0), ) = E (0)sin Д (у -a)- v(y) i=l Начальные условия о)к(0),о)к(0) можно найти из условий ортогональности (/ = 1,..,/и): р К(0),;у)8тДО/-а)ф = 0, я /Л, («4 (0), )sin Д Си - а) = 0. Жесткое закрепление концов упругого элемента В случае жесткого закрепления концов упругого элемента о) = 0, 0) = 0 при у = а, у = 6. Решение уравнения (2.1.14) будем искать в т виде fl (j ,0 = 1 (ОУ 0 ) гДе Си) = сЬ(//Л (j - а)) - cos(/ik (у - а)) т. sh(/i, (6 - а)) - sm{iuk (b - а)) Невязка уравнения (2.1.14) имеет вид mm т U (о) = М щ ifWk Си) + 1 щ (t)MAkVk (У) + # I со k {t)"k(y) + =1 =i ы + alX (0/ V (У) + /#E t (0 00 + Г Z (0 00 =i k=\ Уо cos cos- Уо ds. Составим систему уравнений \U{ЮУРІ(y)dy = 0, где і = 1,..,т. а Для (0 получим систему из т обыкновенных дифференциальных уравнений (i = \,..,m)\ X Alk(bk if) + В fa (0 + Z СЛ (г) + (0 = о, k=\ k=\ (2.1.15) dsdy, (ш) („Л cos — -cos — \Уо) \Уо) V -cos Uo \Уо; гДе Ак=--\\к )у/ХУ) Л а а 4 = M)V/f(y)dy - В. jjiy M in ж а а а Bi={a +/3)\Xy)dy: а Cik=N\y/l{y)i{y)dy, dsdy, С, = {DM: + y)\W] {y)dy + N \W: (y) (y)dy, a a b b F,.(t) = Д(0 JW/ООФ - jP Oy/ dy, Uk = l,..,m. a a Для нахождения й)к(0),а к(0) воспользуемся начальными условиями а{у$) - и(у) (У$) = v(y) Составим невязки т Я, К (0), У) = S Щ (0у, (у) -и(у), к=\ т R2(cbk(0),y)=2А(оуд о - v(y). к=1 Начальные условия сок (0), Ьк (0) можно найти из условий ортогональности (/ = 1,..,/я): \Rl(cok(0),y)i i(y)dy = 0, а \R2(cbk(0),y)Wi(y)dy 0. а 1.4. Численный эксперимент в задачах о динамике упругого элемента Шарнирное закрепление концов упругого элемента Пусть рабочая среда - газ, пластина изготовлена из алюминия. С помощью математической системы Mathematica для значений параметров а = 0, 6 = 0,03, .у0=0,03, М = 4,05, /) = 22,619, ЛГ = 10\ /? = 1, а = 0,5, /? = 0,3, = 0,2, h = 0,0015(толщина пластинки), а (у,0) = 0, а)(у,0) = 0, P0(y,t) = 0, Pt(0 = 2-106 +105cos(100 (все значения приведены в системе СИ) получим т графики функции й)(у,t) = CDk(t)sm k(y-a) для т = 3, т = 4 в точке =i
Уравнение колебаний упругого элемента датчика, расположенного в полости трубопровода бесконечной длины
Пусть на одном конце трубопровода (х = х0) задан закон изменения давления рабочей среды (например, на выходе из камеры сгорания двигателя), а на другом (х = 0) расположен датчик, предназначенный для измерения этого давления и содержащий в качестве составного элемента упругую пластину аЪ. .У Рис. 3.1. Трубопровод конечной длины с упругим элементом датчика, расположенным в полости В линейной постановке, соответствующей малым прогибам упругого элемента и малым возмущениям потенциала скоростей рабочей среды, математическая модель определяется следующими уравнениями и граничными условиями: Р„ + К= (x,y)eG; (3.1.1) py(x,±y0/2,t) = 0, хє(0,/); (3.1.2) py(x,±H/2,t) = 0, є (/, „); (3.1.3) px(l,y,t) = 0, y0/2 \y\ H/2; (3.1.4) 103 (px(0,y,t) = 0, ує(-у0/2,а)и(Ь,у0/2); (3.1.5) (px(0,y,t) = Q){y,t), уе{а,Ъ)\ " (3.1.6) Р-р р,(х0,у,0 = Р.(У,0, У Е(-Н/2,Н/2); (3.1.7) L(co) = Мед + Dco + 7№э + сш + Втл-усо \ J уууу уу уууу Г- I = Р0(у,0-Р + р(Рі(0,у,і), уе(а,Ь). (3.1.8) Здесь G - многоугольник АхАгАъААА!4АъА!гА!х\ p(x,y,t) - потенциал скорости рабочей среды; co(yj) - прогиб упругого элемента (пластины); а,Ь координаты концов пластины; Р - давление рабочей среды в трубопроводе в состоянии покоя; P.(y,t) - закон изменения давления на входе в трубопровод. 1.2. Вывод уравнения колебаний упругого элемента Чтобы исключить из правой части уравнения (3.1.8) неизвестную функцию ср, введем в области G комплексный потенциал W(z,t) = (p + i\j/, где z = x + iy, y/ = y/(x,y,t) - функция тока. Из условий (3.1.2)-( 3.1.5) следует, что ломаные аА}АА и ЬА[А\ являются линиями тока, поэтому y/(x,y,t) = C(t), {x1y) aAxAAi (3.1.9) где С(0 - произвольная функция времени t. Если (х,у) є аА[А 4, то, интегрируя условие Коши-Римана Ц/у = (рх, получим Уг ( у(0,;и,0= } РЛ + С(0, У є а или, учитывая (3.1.6), у 1//(0,у,t) = \d (y,t)dy + С(0, у є (a, b), (3.1.10) а Ь y/(x,y,t) = \d (y,t)dy + С(0, (х,у) є ЬА[А4. Найдем конформное отображение полуплоскости на область G. Интеграл Кристоффеля-Шварца [71] 104 Jf n 2 nj V «Jl-mCydCt z=cjk,+- fc-i)"v;5 -- ,+7 r,= oV n) \ m) \ k) = c,J (3.1.11) конформно отображает верхнюю полуплоскость Im 0 на шестиугольник А}ОА5А4А3А2 со следующим соответствием точек: - — -И, 0 -»0, х0 -»—, 2 и /Я ІН Уо 0 2 к 2 - —. Формула (3.1.11) содержит четыре т параметра С,, т, п, к (0 т 1, п 0, к 0), которые определяются размерами х0,у0,1,Н многоугольника G. Функция г = [ отображает полуплоскость Im ", 0 на первый квадрант. Выполнив в интеграле (3.1.11) замену переменной по формуле 2 - -sj l, получим функцию, конформно отображающую первый квадрант плоскости 2 на шестиугольник А ОА5А4А А2 (3.1.12) = CJ С2=2СГ \-mQdC,2 V(i-c22Xi+ 2)d+ 22) В соответствии с принципом симметрии [71] функция (3.1.12) конформно отображает полуплоскость с разрезом (рис. 3.2) на область G. Рис. 3.2. 105 Наконец, функция г = К дает конформное отображение нижней полуплоскости Im f, 0 (рис.3.3) на область в плоскости ,. На рис. 3.1 - 3.3 соответствующие точки обозначены одинаковыми буквами. 1 \ \ / f 4з, О Ь А[ Лг а А: А N/Я л А/ л/й+1 а/ о #/ і / і /і / і Яп-к V« + 1 jn + m Jn Лл - к: Рис 3.3. Таким образом, пара функций ?2 iC (3.1.13) = CJ С2 = Jl-mgdC, oJv(i-c22Xi+ 22Xn- 22) V i определяет конформное отображение нижней полуплоскости lm 0 на область G. При этом ветви корней в (3.1.13) подчинены условиям: jl-mC22 0 при є(-і/Л, l/Л); VWT 0 при С2 e(-U); Л/ ГГЇ 0 при " є (і/л/и, + оо). В полуплоскости Im " 0 рассмотрим функцию WAM = -iWt{z{Q,t)-C\t) + v0(0 = fo -C\t)) + i(v0(r)- ), где v0(f) = — ІР - Л (О, О J- На границе полуплоскости ( = 1т( = 0) эта функция согласно (3.1.9), (3.1.10), (3.1.7) удовлетворяет условиям
Выбор базисных функций для прогиба пластины
Переходим к решению начально-граничной задачи (4.1) - (4.8). Пусть \Rn(r)}=Q - система собственных функций краевой задачи i4n 77/ V4R=rR,R(R) = R (R) = 0, \im\R(r)\ +oo. r- 0 Поскольку дифференциальное уравнение в (4.15) можно записать двумя способами (4.15) 125 [V2-X2\V2+A2)R=0 или {у2+Л2)у2-Л2)я=0, то решениями уравнения (4.15) могут быть решения любого из уравнений (у2+Л,2)#=0 или (у2-Л2"")я=0. Фундаментальную систему решений первого уравнения образуют функции J0(Ar),Y0(Ar), второго уравнения - функции JQ(iAr), Y0(iAr), где J0{x), YQ(x) -соответственно функции Бесселя и Неймана нулевого порядка. Учитывая, что Y0(x)- co ПРИ х- 0, a R(г) ограничена при г—»0, будем искать решение краевой задачи (4.15) в виде {г) = в Лг) + в210{Лг), где 1()(Лг) = J0(iAr), вх,в2 - некоторые константы, определяемые из начальных условий R(R) = R (R) = 0, которые дают для определения б?,,в2 однородную систему уравнений в 0(Щ + в210{Щ = 0, ад(/ія)+ед(;ія)=о. Эта система имеет ненулевое решение только в том случае, если J0(AR)ro(AR)-IQ(XR)J 0(AR) = 0. (4.16) При этом вх можно выбрать произвольно, а в2 найти по формуле e2=-exJ0{ZR)/I0(M). Можно доказать, что характеристическое уравнение (4.16) имеет счетную последовательность решений Лп — собственных значений краевой задачи для (4.15) с асимптотическим распределением Я„=-(и + 1), и- оо. (4.17) Проведенные расчеты показывают, что формула (4.17) дает достаточно точное распределение Лп. Так 7 _ 3,196 6,306 9,439 т. е. 126 До =1,017—, Я, =2,007—, Л3 =3,005—,... л л л Следовательно, ненулевые решения (собственные функции) краевой задачи (4.15) можно выбирать в виде Д„(г)=Л, , п = 0,1,2,3.... 10\ЛпК) В формуле (4.18) мы положили вх = Яп. Прогиб пластины будем искать в виде "о — 4.3. Решение аэрогидродинамической задачи Будем искать решение задачи (4.1), (4.3), (4.4) в виде (p = 3 + -j[?-P (t)}iL Ро (4.18) (4.19) (4.20) (4.21) (4.22) (4.23) Тогда для определения 3 получим краевую задачу с однородными условиями re[0,R\t 0, д23 \дЗ dz3 Л z- + —+ 5" = 0, Z (R,z,t)=0, {г ,-/,0=0 дг г or dz 33 дг дЗ dt В общем случае для отыскания базисных функций используем метод разделения переменных. Ищем решение уравнения (4.21) в виде 3 = G(r,t)-F(z,t). (4.24) Получим два дифференциальных уравнения Gnrr(r,t) + -G r(r,t) + M2G(r,t) = 0, г F (z,t)-M2F(z,0 = 0, общие решения которых для ju 0 имеют вид: 127 G{r,t) = C,(/)./0(//r) + С2(/)У0(//г), F(z,t) = A(t)shjnz + B(t)chjuz, где J0(x), Y0(X) - соответственно функции Бесселя и Неймана нулевого порядка. При ju = 0 G(r, t) = bx (/) + b2 (/) ln(r), F(z, t) = ax (/) + a2 (t)z. Учитывая, что 70(x)-» x при x— 0, a 3(r,z,t) ограничена при г—»0, положим С2 (/) = 0, b2 (/) = 0. Тогда ограниченными при г -» 0 решениями уравнения (4.21) являются функции 3 = (A{t)sh/jz + B(t)chjuz) J0 (//г), 3 = a(t) + b(t)z, (4.25) где A(t) = Cx(t)A(t), B(t) = C,(/)5(0, a(t) = a,(/)6,(/), 6(/) = a2(/)6,(/).
Удовлетворяя условию (4.22), получим J 0(juR) = 0. Отсюда находим jun, п = 0-т-со -решения уравнения Jx(/unR) = 0, где Jx{x) - функция Бесселя 1 порядка. Можно доказать, что последнее уравнение имеет счетную последовательность решений //„ с асимптотическим распределением Г 5 П- со, п + -V 4у _ п Mn R
Проведенные расчеты показывают, что эта формула дает достаточно точное распределение jun. Так //0=(1-0,024) , ju, =(1-0,007) , ju2 = (1-0,003) ,... Удовлетворяя условиям (4.22), (4.23) и учитывая (4.25), потенциал скорости хтредставим в виде Р = -)[?-РЛ0}ї + С + т(г + 1)+ї,РЛ0- ЬмЛ2 + 1) 0(;итг) + Р о ш=о (426) т0 + Ё(#., 0"т ) + H2mch(Mmz)\ J0{Mmr), где jum - положительные решения уравнения . (///0 = 0, а /?(/), (pm{t) -произвольные функции, НХ,Н2 - произвольные постоянные.
