Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ современного состояния и проблем в области создания датчиков давления 12
1.1 Обзор датчиков давления ведущих мировых производителей 15
1.2 Экспериментальные методы исследования поверхности тонких плёнок НиМЭМС датчиков давления 19
1.3 Теоретические подходы к проблеме моделирования роста поверхности тонких плёнок 28
1.4 Аналитические и численные методы моделирования упругих элементов НиМЭМС датчиков давления 40
1.5 Формулировка задач исследования 45
1.6 Результаты и выводы по разделу 46
2. Математическое моделирование роста поверхности тонких плёнок 48
2.1 Анализ модели случайного осаждения 49
2.2 Модель роста тонких плёнок, учитывающая поверхностную диффузию 52
2.3 Численный анализ результатов моделирования
2.4 Исследование влияния температуры подложки и скорости осаждения 61
2.5 Результаты и выводы по разделу 66
3. Сопоставление результатов моделирования с экспериментальными данными 68
3.1 Параметры, характеризующие морфологию поверхности 68
3.2 Численный анализ экспериментальных данных АСМ-микроскопии образцов никеля и хрома 3.3 Сопоставление данных с результатами математического моделирования 78
3.4 Результаты и выводы по разделу 81
4. Моделирование воздействия давления и температур на упругие элементы НиМЭМС датчиков давления 83
4.1 Метод конечных элементов 84
4.2 Моделирование деформаций упругих элементов НиМЭМС датчиков под действием измеряемого давления 89
4.3 Моделирование воздействия нестационарных температур на НиМЭМС датчиков давления 105
4.4 Результаты и выводы по разделу 113
Заключение 116
Список литературы
- Экспериментальные методы исследования поверхности тонких плёнок НиМЭМС датчиков давления
- Аналитические и численные методы моделирования упругих элементов НиМЭМС датчиков давления
- Численный анализ результатов моделирования
- Моделирование деформаций упругих элементов НиМЭМС датчиков под действием измеряемого давления
Введение к работе
Актуальность темы. Бурное развитие вычислительной техники открывает новые возможности в исследовании различных физических процессов и создании приборов с заданными техническими характеристиками. Современные технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента позволяют эффективно решать многие научные и технические задачи, ранее казавшиеся неразрешимыми.
Проблемами математического моделирования в России занимаются Институт математического моделирования РАН, Институт вычислительного моделирования СО РАН, Институт вычислительной математики РАН, Вычислительный центр РАН, Институт информатики и математического моделирования, МГУ, МФТИ и другие научно- исследовательские организации и высшие учебные заведения.
Значительный вклад в теорию и практику математического моделирования внесли В. К. Андреев, Н. С. Бахвалов, П. Н. Вабищевич, П. П. Волосевич, Ю. Г. Евтушенко, Т. Г. Елизарова, Н. Н. Калиткин, Ю. Н. Карамзин, А. В. Колдоба, Ю. А. Криксин, О. Ю. Милюкова, Ю. А. Повещенко, В. А. Путилов, А. А. Самарский, И. М. Соболь, В. Ф. Тишкин, Б. Н. Четвертушкин, В. В. Шайдуров, Г. В. Шпатаков- ская, М. В. Якобовский и др.
Разработка датчиков давления нового поколения немыслима без применения математического моделирования, численных методов, использования комплексов программ. Основой современных тонкопленочных датчиков давления являются нано- и микроэлектромеханические системы (НиМЭМС), состоящие из упругого элемента и сформированной на его поверхности структуры из нано- и микроразмерных пленок. Геометрия упругого элемента, морфология и свойства тонких пленок, а также топология измерительной схемы во многом определяют чувствительность и точность датчиков давления.
Несмотря на большой объем исследований, проведенных учеными разных стран, многие вопросы по оптимальному построению НиМЭМС остаются нерешенными. Не исследованы деформации упругих элементов НиМЭМС сложной формы, таких как мембрана с жестким центром, под воздействием давления на предмет определения оптимальных геометрических параметров и зон расположения тензоэле- ментов в целях повышения чувствительности и уменьшения погрешности от нелинейности датчика. Недостаточно исследовано воздействие термоудара на элементы НиМЭМС, в частности на мембрану с жестким центром, в то время как это воздействие может приводить к погрешности в 30-60%. Мало изучено влияние температуры подложки, скорости и времени осаждения тонких пленок на их морфологию поверхности, которая влияет на характеристики датчиков.
В связи с этим актуальны исследования параметров и характеристик НиМЭМС методами математического моделирования, разработка алгоритмов и программ, позволяющих моделировать процесс роста поверхности тонких пленок, воздействие давления и температур на элементы НиМЭМС с целью решения задач повышения чувствительности и уменьшения погрешностей датчиков давления.
Целью диссертационной работы является применение современной технологии математического моделирования, численных методов и комплекса программ для исследования физических процессов в тонкопленочных НиМЭМС и решения задач повышения чувствительности и уменьшения погрешностей датчиков давления.
Задачи диссертационной работы:
-
Разработка модели роста поверхности тонких пленок НиМЭМС, позволяющей учитывать поверхностную диффузию осаждаемых частиц, температуру подложки, скорость и время осаждения.
-
Разработка алгоритма и программной реализации предложенной модели, позволяющих определять параметры, характеризующие морфологию поверхности, и исследовать влияние на них температуры подложки, скорости и времени осаждения.
-
Проверка адекватности модели сопоставлением результатов моделирования с данными атомно-силовой микроскопии поверхностей экспериментально полученных образцов тонких пленок.
-
Реализация метода конечных элементов в виде комплекса программ, позволяющих моделировать воздействие давления и термоудара на НиМЭМС датчиков давления и изучать влияние геометрических параметров упругого элемента на распределения деформаций и температур.
-
Применение математического моделирования, численных методов и комплекса программ для установления зависимостей между параметрами упругого элемента НиМЭМС и решения задач повышения чувствительности и уменьшения погрешностей датчиков давления.
Методы исследований. Теоретические исследования проводились с использованием методов статистической физики, теории клеточных автоматов, численных методов Монте-Карло, метода конечных элементов, теории механики деформируемого тела, теплопроводности и термоупругости. В экспериментальных исследованиях применялась атомно-силовая микроскопия. Обработка экспериментальных данных производилась методами статистического анализа, теории Фурье-преобразований и теории фракталов.
Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается сходимостью результатов теоретических и экспериментальных исследований, совпадением с данными, полученными с помощью аналитических выражений в области их применения, и непротиворечивостью полученных результатов с изложенными в известных литературных источниках.
Научная новизна результатов диссертационной работы:
-
-
Впервые разработана модель роста поверхности тонких пленок НиМЭМС, учитывающая поверхностную диффузию частиц и отличающаяся от известных моделей, основанных на стохастических дифференциальных уравнениях, возможностью исследования влияния температуры подложки на морфологию поверхностей.
-
Разработаны алгоритм и программная реализация предложенной модели, что позволило определить параметры и характеристики морфологии поверхности и установить их зависимости от условий осаждения. Проведено сопоставление результатов моделирования с данными атомно-силовой микроскопии образцов тонких пленок.
-
Установлены зависимости радиальных деформаций упругого элемента от радиуса жесткого центра и толщины мембраны, отличающиеся от традиционных аналитических выражений отсутствием расходимости вблизи жесткого центра, что позволило применить их для решения задач повышения чувствительности и уменьшения погрешности датчиков.
-
Установлены зависимости распределения температур от радиуса жесткого центра упругого элемента НиМЭМС при моделировании воздействия термоудара, вычислены неизвестные ранее значения радиальных деформаций в присутствии градиента температур, определено условие, обеспечивающее уменьшение влияния термоудара.
Практическая ценность работы:
-
-
-
Разработана программа, реализующая предложенную модель роста тонких пленок НиМЭМС и численные методы анализа поверхности, позволяющая вычислять параметры, характеризующие морфологию, и устанавливать их зависимости от температуры подложки, времени и скорости осаждения.
-
Разработана программа, реализующая метод конечных элементов и позволяющая моделировать воздействие давления и исследовать деформации упругого элемента в виде мембраны с жестким центром. Определены места расположения тензоэлементов и геометрические параметры упругого элемента, при которых увеличивается чувствительность и уменьшается погрешность НиМЭМС датчиков давления.
-
Разработана программа, реализующая метод конечных элементов, позволяющая моделировать воздействие термоудара и исследовать воздействие температур на НиМЭМС датчика давления при различных геометрических параметрах упругого элемента в виде мембраны с жестким центром. Определено условие, при котором обеспечивается уменьшение влияния термоудара.
-
Получены аналитические выражения для расчета геометрических параметров НиМЭМС, использование которых позволяет сократить время разработки тонкопленочных датчиков давления.
Реализация и внедрение результатов работы. Диссертационная работа выполнялась в рамках аналитической ведомственной целевой программы Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010)».
Мероприятие 1. Проведение фундаментальных исследований в рамках тематических планов. Регистрационный номер: 1.11.09. Наименование проекта: «Комплексные исследования и разработка гетерогенных структур преобразователей информации, устойчивых к воздействию дестабилизирующих факторов».
Мероприятие 2. Проведение фундаментальных исследований в области естественных, технических и гуманитарных наук. Научно- методическое обеспечение развития инфраструктуры вузовской науки. Регистрационные номера: 2.1.2/4431, 2.1.2/10274. Наименование проекта: «Проведение фундаментальных научных исследований свойств тонкопленочных нано- и микроэлектромеханических систем при воздействии стационарных и нестационарных температур».
Теоретические и практические результаты диссертационной работы использованы ОАО «НИИ физических измерений» (г. Пенза); ФГУП «Пензенский научно-исследовательский электротехнический институт» (г. Пенза); ГОУ ВПО «Пензенский государственный университет» (г. Пенза).
На защиту выносятся:
-
-
-
-
Модель роста поверхности тонких пленок НиМЭМС датчиков давления, учитывающая поверхностную диффузию осаждаемых частиц и отличающаяся от известных моделей, основанных на стохастических дифференциальных уравнениях, возможностью исследования влияния температуры подложки на морфологию поверхностей.
-
Алгоритм и программная реализация предложенной модели роста поверхности тонких пленок НиМЭМС, позволившие определить параметры и характеристики морфологии поверхности и установить их зависимости от условий осаждения.
-
Комплекс программ, реализующий моделирование воздействия давления и термоудара на упругий элемент НиМЭМС в виде мембраны с жестким центром методом конечных элементов, позволяющий проводить вычислительный эксперимент и эффективно решать задачи исследования влияния геометрических параметров упругого элемента на распределения деформаций и температур.
-
Установленные численным моделированием зависимости между температурой подложки, скоростью, временем осаждения и параметрами, характеризующими морфологию, позволяющие получать тонкие пленки НиМЭМС с заданной морфологией поверхности.
-
Установленные зависимости между геометрическими параметрами упругого элемента в виде мембраны с жестким центром и распределением температур и деформаций НиМЭМС, применение которых позволило повысить чувствительность и уменьшить погрешность датчиков давления.
Апробация работы. Основные научные и практические результаты исследований по теме диссертации опубликованы в периодических изданиях, докладывались и обсуждались на международных научно-технических конференциях, симпозиумах и семинарах: «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2007-2010 гг.), «Системы проектирования, моделирования, подготовки производства и управления проектами CAD/CAM/CAE/PDM» (Пенза, 2009 г.), «Университетское образование» (Пенза, 2007-2011 гг.), «Методы создания, исследования микро- и наносистем и экономические аспекты микро- и наноэлектро- ники» (Пенза, 2009 г.), «Опто-, наноэлектроника, нанотехнологии и микросистемы» (Ульяновск, 2010 г.), «Современные информационные и электронные технологии» (Одесса, 2010 г.), «Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе» (Ялта- Гурзуф, 2010 г.), «Нанотехнологии - 2010» (Дивноморское, 2010 г.), «Современные проблемы наноэлектроники, нанотехнологий, микро- и наносистем» (Абрау-Дюрсо, 2010 г.), «Инновационные технологии» (Ульяновск, 2010 г.), «Проблемы автоматизации и управления в технических системах» (Пенза, 2011 г.).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 36 научных работ, в том числе 5 статей в журналах из перечня ВАК РФ, 3 патента РФ на изобретение, 5 свидетельств о регистрации электронного ресурса. Отдельные результаты отражены в отчетах по НИР. Основные положения диссертации представлены в опубликованных работах.
Личный вклад автора. Автором выполнен основной объем исследований, проведен анализ полученных данных, сформулированы основные положения диссертации, составляющие ее новизну и практическую значимость.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы и двух приложений. Основная часть изложена на 132 страницах, содержит 55 рисунков, 6 таблиц. Список литературы содержит 127 наименований. Приложения представлены на 15 страницах.
Экспериментальные методы исследования поверхности тонких плёнок НиМЭМС датчиков давления
Датчики компании Kulite Semiconductor Production произвели революцию в области датчикостроения для нужд авиации в 1987 г., когда была представлена их запатентованная технология цельносварного герметичного датчика давления. В таком датчике присутствуют две мембраны с НиМЭМС, измеряющие абсолютное давление. Одна измеряет давление в системе, другая - атмосферное давление. Выходной сигнал является разницей этих двух давлений. Эта инновационная технология решила проблему воздействия окружающей среды, которая с давних пор являлась главной проблемой датчиков давления, предназначенных для нужд авиастроения. Она позволила защитить внутренние компоненты от воздействия разрушающих и коррозийных эффектов атмосферы посредством герметичной упаковки в оболочку из нержавеющей стали. В результате надёжность датчиков увеличилась в 20-25 раз и составила более 100 000 часов полёта [22].
Компании Druck предлагает широкий выбор датчиков давления с различными выходными сигналами, диапазоном измеряемой величины и типом измеряемого давления: абсолютное, избыточное, дифференциальное. Точность измерения при этом варьируется в пределах 0,01 - 0,75%.
Группа компаний BD Sensors выпускает датчики с диапазоном охватываемых давлений 10 Па - 250 МПа, диапазон температур измеряемой среды -40 - 300С. Применяемые в конструкции датчиков и чувствительных элементов материалы позволяют использовать их для измерения давления агрессивных сред, таких как кислоты и щелочи.
Датчики различных производителей объединены в серии, как правило, по конструктивному признаку, степени интеграции, и различаются диапазоном и типом измеряемого давления.
Зарубежные и отечественные специалисты решают задачи по повышению точности измерений, повышению чувствительности, линейности и стабильности, защиты от агрессивных сред и перегрузочных давлений, снижению габаритных размеров, массы и стоимости, расширению функциональных возможностей, повышению технологичности производства [23].
Все фирмы значительное внимание уделяют технологии изготовления датчиков, предназначенных для работы в широком диапазоне температур, при этом значительное внимание уделяется вопросам уменьшения температурной погрешности.
Для повышения термоустойчивости датчиков до 300 - 400С фирмы «Gefran» и «Wika» используют размещение тензосхемы вне зоны высоких температур. Измеряемое давление в этом случае передаётся при помощи трубки, заполненной специальной жидкостью.
Лидирующие позиции по точностным и эксплуатационным показателям датчиков занимает ОАО «ИИИ физических измерений». Оно выпускает множество разновидностей датчиковой и преобразующей аппаратуры, которая используется в известных национальных и международных космических программах. Датчики обладают надёжностью и точностью измерений в экстремальных условиях эксплуатации, таких как воздействия высоких уровней вибраций, высоких и низких температур, различных агрессивных сред, имеют минимальные габаритно-массовые характеристики. В основе большинства датчиков давления заложена тонкоплёночная технология чувствительных элементов на мембране из нержавеющей стали. Диапазон рабочих температур различных датчиков от - 19бС до +150С, погрешность измерения от 0,5% до 10%, выходной сигнал - от единиц мВ до 5,5 В.
Особое место среди всех дестабилизирующих факторов, оказывающих сильное влияние на параметры и выходные характеристики датчиков давления, занимает температура. Для компенсации температурной погрешности датчиков давления используют различные методы: конструктивные, технологические, схемные [24].
При современном уровне развития технологии производства НиМЭМС, особое значение придается анализу поверхности тонких пленок. Столь пристальное внимание к поверхности связано с ее свойствами, которые значительно влияют на характеристики датчиков давления и используются для создания НиМЭМС нового поколения.
Для получения поверхности тонкой пленки с заданной морфологией необходимы теоретические исследования процесса роста поверхности и анализ влияния на него различных параметров процесса осаждения. Для сопоставления теоретических результатов с данными экспериментально полученных образцов тонких пленок НиМЭМС необходим всесторонний анализ их поверхности.
Существует множество методов исследования поверхности твердого тела [25-28], позволяющих получать исчерпывающую информацию о химическом составе, кристаллической структуре, распределении примесей, морфологии поверхности и многих других свойствах. Можно выделить несколько классов экспериментальных методов [29]. К первому относятся электрические и оптические измерения. Эти измерения позволяют получать детальную информацию о поверхностных локальных уровнях, расположенных вблизи уровня Ферми твердого тела. , .. Второй класс включает в себя спектроскопические методы исследования, в ходе которых поверхность бомбардируется частицами и (или) испускает их. Исследование этих частиц или испускаемых ими фотонов дает информацию о поверхностных состояниях в широкой области энергий. К данному классу относятся методы электронной спектроскопии, основанные на анализе электронов, рассеянных или эмитированных поверхностью твердого тела [30, 31]. Измерения такого рода выполняются главным образом на металлах и меньше на полупроводниках.
Третий класс составляют химические методы. К этому классу относятся исследования, которые, с одной стороны, обладают во много раз большей чувствительностью к малым плотностям поверхностных состояний по сравнению со спектроскопическими методами. Химические методы являются удобным инструментом для исследования процессов адсорбции
Аналитические и численные методы моделирования упругих элементов НиМЭМС датчиков давления
Сущность методов Монте-Карло заключается в сопоставлении физическому явлению имитирующий вероятностный процесс, отражающий его динамику. То есть каждому элементарному акту процесса сопоставляется некоторая вероятность его осуществления. Затем этот процесс реализуется с помощью набора случайных чисел. Интересующие значения физических величин находятся усреднением по множеству реализаций моделируемого процесса.
При моделировании роста пленок методами Монте-Карло изучаемая поверхность разбивается на элементарные элементы площади, то есть изучаемая система рассматривается на сетке конечных размеров. Каждая, частица находится в определенном состоянии ,, то есть в определенном месте на сетке при определенном положении других частиц на сетке. Для этой частицы существует вероятность перехода в одно из других состояний Sj за промежуток времени At в соответствии со статистическим весом этого состояния Wj. Коэффициенты wудовлетворяют равенству:
В вычислениях Монте-Карло моделируется процесс перехода частиц системы в другие состояния в соответствии с весом этих состояний. Формула (4), накладывающая ограничения на значения коэффициентов w, обеспечивает нормировку вероятностей, то есть суммарная вероятность перейти в какое-либо состояние, включая состояние в котором система находится в данный момент, равна единице. В результате многократного повторения этого процесса система стремится к равновесному состоянию (при t — о ).
Правильность результатов, полученных данным методом, зависит от размера изучаемой системы и монотонно возрастает с увеличением размера. Поэтому всегда стремятся изучать систему как можно большего размера. Однако линейное увеличение размеров системы приводит к экспоненциальному увеличению количества состояний, в которых может находиться система. Например, если элемент системы может находиться только в двух состояниях, то число состояний системы равно 2N, где /V -число элементов системы. Так система размером 10x10 элементов может находиться в одном из 2 состояний и может перейти в одно из 2100 состояний за каждую единицу времени. Причем система может переходить из одного состояния в другое множество раз. Соответственно при каждой новой конфигурации необходимо подсчитывать 2100 коэффициентов w. Ясно, что это займет неприемлемо большое время. Современный компьютер может вычислить порядка 10 коэффициентов в секунду. Вычисление всех коэффициентов займет порядка 10 с. Поэтому на практике количество возможных состояний ограничивают наиболее вероятным набором. Например, при моделировании процесса роста поверхности обычно считают, что на состояние частицы влияют только ближайшие к ней частицы и такая модель, соответственно, является клеточным автоматом.
Основное преимущество методов Монте-Карло по сравнению с классическими численными методами состоит в том, что с его помощью можно исследовать физические явления практически любой сложности, которые другими способами решить просто невозможно. Например, решить уравнения, описывающие взаимодействие двух атомов, сравнительно несложно, однако решить такую же задачу для сотни атомов уже не реально. Кроме того, для методов Монте-Карло характерна простая структура вычислительного алгоритма. Составляется программа для осуществления одного случайного испытания (шага Монте-Карло). Затем это испытание повторяется необходимое число раз, причем каждый последующий шаг не зависит от всех остальных.
Взаимосвязь моделей, основанных на теории клеточных автоматов и моделей, основанных на дифференциальных уравнениях. При моделировании дискретных моделей, представляющих собой клеточный автомат, создается модель роста, основанная на симметриях системы, законах сохранения и некоторых физических предположений. Моделируя эту систему на компьютере, получают интересующие величины.
С другой стороны можно изучать дифференциальное уравнение (непрерывная модель) для аналитического анализа проблемы роста поверхности. Это уравнение будет подчиняться тем же законам сохранения и проявлять те же симметрии, что и дискретная модель. Очевидно, что если оба подхода описывают одну и ту же модель, то результаты в обоих случаях должны совпасть.
В отличие от дифференциальных уравнений, предполагающих непрерывное изменение переменных, переменные состояния клеточных автоматов всегда дискретны, хотя количество степеней свободы может быть велико. Несмотря на то, что модели, основанные на дифференциальных уравнениях имеют преимущества, такие как точность и развитый математический аппарат исследования, их анализ обычно сложен, а аналитические решения не всегда существуют. С развитием вычислительной техники численные методы решения и анализа дифференциальных уравнений стали неотъемлемой частью решения научных фундаментальных и прикладных проблем. Компьютерное моделирование стало повседневной практикой решения инженерных задач, особенно при проведении междисциплинарных исследований. Имеется обширная литература, освещающая численные алгоритмы и методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, наиболее распространенными из которых являются метод конечных разностей и конечных элементов [65-67].
Существуют аналогии между методом конечных разностей и клеточными автоматами. Метод конечных разностей представляет собой дискретизацию дифференциального уравнения на сетке конечных размеров и описывает временную эволюцию системы дискретными интервалами времени. Аналогично, клеточный автомат описывает эволюцию системы на дискретной сетке в дискретные временные интервалы. Если число состояний клеточного автомата сравнимо с их числом в конечноразностном уравнении, результаты моделирования должны совпадать. Например, одномерное уравнение теплопроводности и его конечноразностныи аналог выглядят следующим образом [68]: дТ , д2Т dt ох2 (Лх)2 где Т — температура; /с - положительный коэффициент, характеризующий теплопроводность материала; (, і — временные и пространственные индексы. Если выбрать временные и пространственные шаги дискретизации так, что к At/(Ах)2 = 1, то получим: т.1+[ = (т/+] + т; + т;_х) - 2т;.
Полученное выражение можно рассматривать как правило клеточного автомата 1-й ячейки. Поведение такого клеточного автомата будет аналогично конечноразностному решению дифференциального уравнения [69]. Однако ячейка такого клеточного автомата может принимать любое действительное значение и является, таким образом, непрерывной переменной.
Из рассмотренного примера видно, что алгоритм построения клеточного автомата с действительными значениями ячеек из дифференциального уравнения достаточно прост. Этот метод можно применять и к дифференциальным уравнениям в частных производных. Однако обратная задача, то есть построение дифференциального уравнения для соответствующего клеточного автомата не является тривиальной. Не существует общего метода построения непрерывной модели, описываемой дифференциальным уравнением из соответствующих правил клеточного автомата [70].
Численный анализ результатов моделирования
Желательно, чтобы аппроксимация решения была достаточно простой на каждом треугольнике, поэтому полиномы могут служить хорошим выбором, так как они легко вычисляются и служат хорошей аппроксимацией на небольших участках. Необходимым условием также является непрерывное соединение решений соседних треугольников. Также необходимо определить какой степени должны быть полиномы, причем желательно, чтобы они были просты насколько это возможно. Полиномы нулевой степени, то есть константы, наиболее просты, но посредством них невозможно соединить решения соседних элементов. Далее идут полиномы первой степени - линейные функции.
Наиболее общее дифференциальное уравнение, позволяющее проводить анализ задач механики, электростатики, магнитостатики, теплопроводности и диффузии имеет вид [105]:
Возьмем за щ кусочно-линейную аппроксимацию решения и. Таким образом, необходимо найти наилучшую аппроксимацию функции и в классе непрерывных кусочно-линейных полиномов. Поэтому необходимо проверить уравнение для М/, со всеми возможными функциями v этого класса. Проверка означает умножение на любую функцию и интегрирование. Таким образом, для любых возможных функций v должно выполняться условие [106]: f (- V (cVu)+ au - f)vdx = 0 .
Функции v обычно называют функциями критерия. Используя формулу Грина, получаем, что щ должно удовлетворять: где 3Q - граница области О,; п — нормальный вектор к дП . Интегралы в такой формулировке хорошо определены, даже если щ и v кусочно-линейные функции.
Граничные условия учитываются следующим образом. Если значение и/, известно для некоторых граничных точек (граничные условия Дирихле), то в этих точках v — 0. Для всех остальных точек применяется граничное условие Неймана: n-(cVuh)+quh=g, (31) Таким образом, формулировка задачи метода конечных элементов сводится к нахождению щ„ удовлетворяющим: К cVuh )Vv + auhvdx + [ quhvds - Г jvdx + [ gr& vv, где Ш, - часть граничных условий с граничными условиями Неймана.
Это вариационное уравнение является слабой формой дифференциального уравнения. Любое решение дифференциального уравнения является также решением вариационной проблемы. Обратное справедливо только с учетом некоторых ограничений на исследуемый домен и коэффициенты. Решение вариационной проблемы также называется слабым решением дифференциального уравнения. Любая гладкая кусочно-линейная функция щ, может быть представлена комбинацией [67]: 1=1 где ф, — кусочно-линейные базисные функции; U,- - скалярные коэффициенты.
Базисные функции ф. выбираются так, чтобы ф,- =1 в 1-м узле и ф( =0 во всех остальных узлах конечноэлементной сетки (рисунок 38).
Базисная функция ф, Для каждой фиксированной функции v конечноэлементная формулировка задачи требует решения алгебраического уравнения с неизвестными U-,. Необходимо определить N неизвестных, поэтому необходимо N различных функций v. Наилучшим кандидатом для них являются v = ф!,j = 1, 2, ..., N. Получаем систему линейных уравнений: KU=F, (32) где матрица К и правая сторона уравнения F содержат интегралы в терминах функций критерия фу,ф, и коэффициенты, определяющие проблему: с, a,f, q и g. Вектор решения U содержит коэффициенты разложения и/„ которые также являются значениями ьц, в каждом узле xh так как м/,(х,) = U-,. Для значений х внутри конечного элемента решение находится линейной аппроксимацией узловых значений.
Если точное решение задачи и гладкое, то конечноэлементный метод вычисляет uh с погрешностью того же порядка, что и линейная интерполяция. Представляется возможным произвести оценку погрешности каждого конечного элемента, используя только Uh и коэффициенты дифференциального уравнения (30).
Решение динамических задач также легко включается в рассмотренную формулировку конечноэлементного метода. Решение u(x,i) уравнения Конечные элементы малых размеров необходимы только в тех участках, где велика погрешность. Во многих случаях погрешность имеет большое значение только в малой области и, уменьшение размеров всех конечных элементов, приведет к большому увеличению времени вычисления. Уменьшение конечных элементов только там где это необходимо называется адаптирование конечноэлементной сетки к решению. Итеративный алгоритм заключается в следующем: для имеющейся сетки формируется и решается система линейных уравнений KU = F. Затем оценивается погрешность, и уменьшаются конечные элементы на участках большой погрешности.
Измеряемое НиМЭМС давление приводит к появлению механических напряжений и вызываемой ими деформации УЭ датчика. Вызываемые этой деформацией изменения сопротивления тензоэлементов и составляют основу сигнала измерительной схемы датчика. Ясно, что от формы, места расположения тензоэлементов и их топологии будут зависеть многие характеристики датчика, такие как чувствительность, нелинейность, погрешность от воздействия дестабилизирующих факторов.
Другой важной и ещё более сложной задачей является оптимизация конструкции УЭ НиМЭМС. Изучение влияния геометрии УЭ на его деформации под действием измеряемого давления, нахождение оптимальной формы чувствительного элемента и мест расположения тензоэлементов являются немаловажными задачами при проектировании чувствительного элемента с НиМЭМС. Благодаря развитию вычислительной техники, математическое моделирование открывает новые возможности по решению таких задач [107—112]. Метод конечных элементов при этом является оптимальным выбором [113].
В механике деформируемого тела уравнения, связывающие напряжения и деформации, возникают из баланса сил в материале. Соотношение между напряжениями и деформациями, полагая изотропность материала, может быть записано в виде:
Моделирование деформаций упругих элементов НиМЭМС датчиков под действием измеряемого давления
Датчик давления работает следующим образом. Измеряемое давление воздействует на мембрану 1 с жёстким центром 2. В результате этого на планарной поверхности мембраны возникают деформации, которые воспринимаются тензорезисторами 6-9, включёнными в мостовую измерительную цепь. Изменение сопротивлений тензорезисторов преобразуется мостовой измерительной цепью в выходное напряжение. В связи с размещением радиальных тензорезисторов 6 и 8 (из идентичных тензоэлементов 12) по окружности, радиус которой Яг (относительный радиус r2 = RJRni) определён из соотношения (47), они оказываются расположенными в зоне максимальных относительных положительных радиальных деформаций. Так как тензорезисторы 7, 9 (из идентичных тензоэлементов 12), расположены по радиусу R\ (относительный радиус г\ = й//7?,„); определённому из соотношения (46), они оказываются в зоне относительных отрицательных радиальных деформаций, причём по абсолютному значению эти деформации равны максимальным относительным положительным радиальным деформациям. Благодаря этому уменьшена нелинейность датчика.
Задача анализа воздействия температур на упругий элемент датчиков давления имеет важное практическое значение. Современным датчикам давления приходится работать в условиях агрессивных сред и больших перепадов температур. Температурная погрешность может достигать 30— 60%. Метод конечных элементов позволяет проводить моделирование воздействия нестационарных температур на НиМЭМС датчиков и исследовать возникающие при этом градиент температур и термодеформации [121, 122]. Для анализа воздействия температур на УЭ НиМЭМС необходимо решать уравнение теплопроводности наиболее общий вид которого выглядит следующим образом [123]: РС - У - {kVT) = Q + 1г(Тсх1 - Т), (48) at где р - плотность; С - теплоёмкость; к - коэффициент теплопроводности; Q -тепловой источник; h — коэффициент конвективной теплопроводности; Тех1 -внешняя температура. Слагаемое Л(Ги;-Г) описывает передачу тепла из окружающей среды. Для стационарного случая уравнение (48) сводится к выражению: -V-{kVT) = Q + h(Tex,). (49) Граничные условия задачи могут быть заданы в виде стационарной температуры на границе (условие Дирихле) или в виде теплового потока n-{kVT) + qT -g (условие Неймана); где q - коэффициент теплопередачи. Уравнение (48) является частным случаем общего параболического уравнения (33) с коэффициентами: d=pC; с к; a=h; f=hTtiX,+Q.
Следуя конечноэлементной схеме решения, разложим решение по базисным функциям: Коэффициенты разложения Ц при этом являются функцией времени. С учетом граничных условий получим систему уравнений: ф.ФА )+ ( (сУф.).уф,. + «ф.ф,л+ ] ФУФАЬ( ) = 106 Используя следующие обозначения Mhl = аф,.ф, & получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений. В матричной записи имеем: dl Начальное условие задается в виде: Ui(P)=u0(x,), где матрица К и правая сторона уравнения F содержат интегралы в терминах функций критерия фу, ф; и коэффициенты, определяющие проблему: d, с, a,f, q и g. Вектор решения U содержит коэффициенты разложения и, которые также являются значениями и в каждом узле xh так как и(х,) = U,. Для значений х внутри конечного элемента решение находится линейной аппроксимацией узловых значений.
Для анализа воздействия температур на УЭ в виде мембраны с жёстким центром была разработана программа [124], позволяющая решать задачу теплопередачи методом конечных элементов, описанным выше способом. Геометрия УЭ представлена на рисунке 49 а. Исходными данными для расчётной модели в программе являются: радиус жёсткого центра Rc, толщина мембраны fV„„ толщина жёсткого центра Wc, толщина проточки Wp, воздействующая температура Т, начальная температура, коэффициент теплопроводности, моделируемое время, количество временных интервалов.
Первым шагом решения задачи является разбиение геометрии модели на конечные элементы по алгоритму триангуляции Делоне (рисунок 49 б). Далее после соответствующих преобразований производится решение системы алгебраических уравнений, аппроксимирующих соответствующее дифференциальное уравнение.
Решение задачи при воздействующей температуре Т = -196С и начальной температуры 20С в момент времени / = 1с показано на рисунке 50 а. На рисунке 50 б представлены кривые распределения температур плоской поверхности чувствительного элемента НиМЭМС в различные моменты времени.
Именно на этой поверхности располагаются тензорезисторы, поэтому значения температур на ней имеют большое практическое значение. В момент времени t = 0 температура УЭ имеет величину, заданную значением начальной температуры. Решение задачи содержит значения температур для всех заданных моментов времени. Благодаря гибкости в изменении геометрии чувствительного элемента НиМЭМС, предоставляемой разработанной программой [124], имеется возможность исследовать распределение температур при различных геометрических параметрах чувствительного элемента.
На рисунке 51 представлены семейства кривых распределения температур на плоской поверхности УЭ при различных относительных радиусах жесткого центра в момент времени / =
Как и следовало ожидать, радиус жёсткого центра, как и в случае распределения деформаций, оказывает значительное влияние и на распределение температур. Из рисунка видно, что тонкая часть мембраны остывает быстрее при малых значениях относительного радиуса жёсткого центра. Для количественной оценки этого эффекта был произведён анализ зависимости температуры тонкой части мембраны от относительного радиуса жёсткого центра чувствительного элемента в один и тот же момент времени (рисунок 52).
Похожие диссертации на Математическое моделирование тонкопленочных нано- и микроэлектромеханических систем датчиков давления
-
-
-
-
-
-
