Введение к работе
Актуальность темы.
Важным направлением в изучении динамики высокотемпера-турной плазмы является математическое моделирование. Результаты расчетов могут использоваться для выбора оптимальных условий проведения экспериментов и детализации процессов, происходящих в плазме. Численные эксперименты допускают исследование задачи в широком диапазоне значений. Кроме того, расчеты являются менее затратными, нежели лабораторные эксперименты.
По мере совершенствования и усложнения экспериментальной техники, изменения параметров экспериментов становится возможным изучать новые явления. Новые эффекты, в свою очередь, требуют появления новых математических моделей. Для этих моделей необходимо разрабатывать соответствующие им численные методы.
Z-пинчи служат мощными и доступными источниками нейтронов, жесткого и мягкого рентгеновского излучения, быстрых ионов, релятивистских электронов, больших магнитных полей. Кроме того, время жизни этого самосжимающегося разряда достаточно для изучения физики пинч-эффекта и физики высоких плотностей и энергий.
В случае малых концентраций плазмы существенную роль играет эффект Холла. При этом можно построить упрощение двухжидкостной модели МГД — модель электронной магнитной гидродинамики (ЭМГ) [А.С. Кингсепп, К.В. Чукбар, В.В. Яньков Электронная магнитная гидродинамика 1987]. Характерной особенностью ЭМГ режимов является вмороженность магнитного поля в электронные течения. Считается, что такое течение можно полностью охарактеризовать вводимой электронной токовой скоростью. В [Имшенник B.C., Боброва Н.А., Динамика столкновительной плазмы 1997] приведены оценки применимости ЭМГ к описанию быстрого малоплотного z-пинча.
По сравнению с МГД-моделью система уравнений ЭМГ содержит дополнительные нелинейные слагаемые. Численное решение таких систем предполагаем разработку соответствующих разностных схем.
Объекты и методы исследования. В диссертационной работе предложена консервативная неявная разностная схема, построенная с помощью вариационного принципа. Схема позволяет проводить итерации по ионному давлению отдельно от итераций по электронному давлению и магнитному полю Исследован порядок аппроксимации предложенной схемы на различных сетках. Рассматриваемая матема-тическая модель включает уравнения движения двухтемпературной плазмы в приближении электронной магнитной гидродинамики. Уравнения модели рассматривают в r-z геометрии. Для решения системы уравнений был применен метод расщепления по физическим процессам, на первом этапе рассматривалось движение плазмы в приближении идеальной магнитной гидродинамики с вмороженным магнитным полем. На втором этапе рассчитывалось проникновение магнитного поля в плазму с использованием ЭМГ-системы. На последующих этапах учитывались диссипативные процессы (с использованием ЭМГ-слагаемых) и перенос излучения. Модуль программного комплекса, рассчитывающий первый этап расщепления, реализован на языке фортран. На основании вычислительных экспериментов исследована динамика медного Z-пинча и Z-пинча из органического материала.
Цели работы.
Целями диссертационной работы являлись:
разработка полностью неявной схемы для решения системы МГД - уравнений на подвижной сетке, позволяющей проводить итерации по ионному давлению отдельно от итераций по электронному давлению и магнитному полю;
исследование порядка аппроксимации инвариантных дифференциальных операторов на нерегулярной четырехугольной сетке, исследование построенной схемы на аппроксимацию;
реализация соответствующего численного метода для включения в имеющийся программный комплекс;
проведение вычислительных экспериментов, характеризующих динамику сжатия медных Z-пинчей и Z-пинчей из органического материала. Получение оценок потерь энергии на излучение для понимания процессов, происходящих на финальном этапе сжатия Z-пинча.
Научная новизна. В диссертации для расчета динамики высокотемпературной плазмы построена консервативная неявная разностная схема, позволяющая проводить итерации по ионному давлению отдельно от итераций по электронному давлению и магнитному полю. Использование неявных схем позволило рассмотреть процессы фокусировки ударной волны на оси Z-пинча и распространение отраженной волны.
Исследована аппроксимация инвариантных дифференциальных операторов на нерегулярной четырехугольной сетке. Показано, что невязка в норме С обратно пропорциональна синусу угла ячейки, наиболее отличного от прямого. Порядок аппроксимации также зависит от разницы характерных линейных размеров ячеек. Построенная схема имеет первый порядок аппроксимации в областях сильных деформаций сетки и вблизи оси симметрии и второй порядок аппроксимации во всей остальной области.
Анализ динамики излучения медного лайнера показал, что при сжатии максимум значения интегрального потока излучения через границу достигается после прихода ударной волны на внутреннюю границу. После этого пинч продолжает сжиматься. В процессе имплозии проявляются нелинейные эффекты, из перегретого района с большой плотностью тока внутрь области распространяется тепловая волна.
Результаты расчетов динамики органического лайнера показывают, что начальная форма перемычки сильно влияет на динамику процесса. Численно показано, что для цилиндрической перемычки с полукруглым вырезом на свободной границе при равномерном начальном распределении плотности = 1,8810–2 г/см, значении параметра Холла ee = 0,1 и амплитуде импульса 2МА на 60–й наносекунде с момента подачи импульса на электроды на оси Z-пинча появляется горячая точка — образуются максимумы температуры и плотности.
На защиту выносятся следующие положения и результаты:
Построенная консервативная неявная разностная схема для решения системы уравнений идеальной магнитной гидродинамики с вмороженным магнитным полем, позволяющая проводить итерации по ионному давлению отдельно от итераций по электронному давлению и магнитному полю.
Результаты исследования инвариантных дифференциальных операторов на нерегулярной четырехугольной сетке.
Результаты численного моделирования медных и органических Z-пинчей с использованием программного комплекса, учитывающего ЭМГ-эффекты.
Достоверность положений, выносимых автором на защиту диссертации, обеспечивается проведенными аналитическими исследованиями разностной схемы и качественным и количественным соответствием результатов проведенных вычислительных экспериментов экспериментальным данным и результатам расчетов других авторов.
Научная и практическая значимость.
Предложенные численные методы вносят вклад в разработку методов математического моделирования динамики высокотемпературной плазмы. Построенная неявная схема применяется для решения уравнений идеальной двухтемпературной магнитной гидродинамики. Результаты проведенных исследований могут использоваться при изучении свойств разностных схем на подвижных сетках.
Программный комплекс, включающий разработанный модуль, позволяет проводить расчеты динамики плазмы быстрых медных Z-пинчей плазменных прерывателей и плазменных размыкателей тока.
Результаты расчетов могут быть использованы для дополнения экспериментальных данных о динамики Z-пинчей в фундаментальных и прикладных исследованиях физики высоких плотностей и энергий.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на всероссийских и международных конференциях и семинарах ведущих институтов:
50-52 научные конференции МФТИ, ноябрь 2007-2009 г., Москва.
International conference “Numerical geometry, grid generation and scientific computing” (NUMGRID2008), июнь 2008 г., Москва.
Третья всероссийская научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование», апрель 2009 г, Саров
International conference “Numerical geometry, grid generation and scientific computing” (NUMGRID2010) октябрь 2010 г., Москва.
Четвертая всероссийская научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование», апрель 2010 г, Саров.
XXIII Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях - MMTT-23" июнь 2010 г, Белгород.
Пятая всероссийская научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование», апрель 2011 г, Саров.
Семинары кафедры вычислительной математики Московского физико-технического института, научные семинары ФУПМ, 2009 – 2011 гг., Москва.
Публикации. Результаты диссертационного исследования опубликованы в 11-ти работах, в том числе в двух из списка, рекомендованного ВАК РФ [11, 12].
Личный вклад автора. Все научные результаты, вынесенные на защиту, получены лично автором. Автору принадлежит ведущая роль в построении разностной схемы, изучении ее свойств, написании программы, комплексном исследовании динамики высокотемпературной плазмы на основании математического моделирования и вычислительного эксперимента, и интерпретации результатов.
Постановка задачи и результаты обсуждались с А.И. Лобановым.
Связь с научными проектами. В основу диссертационного исследования положены работы, выполненные в Московском физико-техническом институте (государственном университете) в рамках проектов:
ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 20092013 годы, ГК П954;
РФФИ 07-01-00381-a (2007-2009гг);
РФФИ 10-01-00751-a (2010-2011гг).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и двух приложений. Общий объем диссертации составляет 122 страницы. Список использованных источников включает 72 наименования.
