Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современное состояние проблемы 12
Глава 2. Математическая модель роста тромбоцитарного тромба 23
2.1. Математическая модель переноса тромбоцитов в сдвиговом потоке.. 23
2.2. Эволюция состояний тромбоцитов 27
2.3 Постановка задачи о течении вязкой жидкости в осесимметричном сосуде 31
2.3. Построение сетки 35
2.4. Разностная схема для расчета задачи о течении жидкости 37
2.4.1. Реализация граничных условий 42
2.4.2. Итерационная процедура 45
2.5. Тестовые гидродинамические расчеты 47
2.5.1. Стенозированный сосуд 47
2.5.2. Аневризма 57
2.6. Разностная схема для расчета переноса тромбоцитов 58
2.7. Результаты расчетов 63
2.7.1. Расчеты формирования тромбов при воспалительных заболеваниях почек 63
2.7.2. Полная система 65
Глава 3. Исследование устройчивости некоторых автоволновых решений в математической модели свертывания крови с учетом переключения активности тромбина 69
3.1. Математическая модель 69
3.2. Сопряженная задача 71
3.3. Результаты расчетов 76
Глава 4. Адсорбция альбумин-билирубинового комплекса на поверхности угольного пирополимера 82
4.1. Математическая модель 84
4.2. Алгоритм продолжения по параметру 86
4.3. Некоторые результаты методических расчетов 92
4.3.1. Оптимизация по одному параметру 92
4.3.2. Оптимизация по двум параметрам 93
4.3.3. Оптимизация по трем параметрам 95
Заключение 98
Список использованных источников 100
- Постановка задачи о течении вязкой жидкости в осесимметричном сосуде
- Разностная схема для расчета задачи о течении жидкости
- Сопряженная задача
- Некоторые результаты методических расчетов
Введение к работе
Математическое моделирование давно стало неотъемлемой частью практически любого исследования. В медико-биологических задачах использование численных экспериментов экономит не только время (например, натурный эксперимент может идти неделю или более в силу небольших величин скоростей химических реакций, а расчет на компьютере может занять минуты), но и деньги, так как зачастую используемые компоненты (чистые белки, катализаторы) стоят тысячи долларов. Развитию некоторых методов математического моделирования для решения ряда медико-биологических проблем и посвящена диссертация.
Одной из центральных проблем современной нефрологии и внутренней медицины является быстрый рост в популяции числа больных с терминальной почечной недостаточностью (ТПН), нуждающихся в заместительной почечной терапии (ЗПТ) - на 5-8% в год [1]. Создание, внедрение и совершенствование методов ЗПТ (гемодиализа, перитонеального диализа, гемодиафильтрации, трансплантации почки, препаратов, стимулирующих эритропоэз и регулирующих фосфорно-кальциевый обмен) является важным достижением медицины XX века.
В то же время ЗПТ относится к дорогостоящим высокотехнологичным методам лечения и ложится тяжелым бременем на систему здравоохранения. Так, среди населения США распространенность терминальной ХПН с 1992 по 2002 г. увеличилась с 0,6 до 1,1%; расходы на лечение больных терминальной ХПН увеличились с 5,1 до 7,1% бюджета Medicare. В 2010 г. ожидаемые расходы на лечение больных терминальной ХПН в США составят 28 млрд. долларов. В странах ЕС только на обеспечение диализа ежегодно расходуется 2% бюджета здравоохранения. По данным регистра Российского диализного общества число больных терминальной ХПН, получающих ЗПТ, за период 1998-2005 г. увеличилось с 56 до 115 человек на млн. населения. В то же время
обеспеченность населения России ЗПТ существенно отстает от потребности в ней. Несмотря на значительные успехи в совершенствовании методов ЗПТ, повышение их эффективности и безопасности, ее проведение связано с существенным снижением качества жизни пациентов и высокой смертностью от сердечно-сосудистых осложнений, в десятки раз превышающей данные общей популяции.
Для решения этой проблемы была разработана нефропротективная стратегия — комплекс диагностических, лечебных и профилактических мер, направленных на раннее выявление больных с нарушенной функцией почек, а также лиц с повышенным риском развития данного нарушения, и всемерного торможения универсальных механизмов прогрессирования нефросклероза с целью предотвращения или отдаления формирования ТПН. Ведущими нефрологами Национального почечного фонда США (NKF) была разработана концепция хронической болезни почек (ХБП), принятая в настоящее время во всем мире и России. ХБП - наднозологическое понятие, объединяющее всех больных с сохраняющимися в течение 3 и более месяцев любыми патологическими изменениями со стороны почек по данным лабораторных и инструментальных исследований и/или наличием нарушения функции почек в виде снижения скорости клубочковой фильтрации (СКФ), рассчитанной с использованием формул Cockcroft-Gault или MDRD.
Распространенность ХБП в популяции [2] высока — 10-15%. В структуре ХБП первое место по частоте занимают больные диабетической нефропатией и пациенты с поражением почек в рамках сердечно-сосудистых заболеваний — гипертонической болезни и атеросклероза. Среди «нефрологических» причин ХБП лидирует хронический гломерулонефрит; существенный вклад в ее развитие вносят хронический пиелонефрит и поликистозная болезнь почек.
В зависимости от степени нарушения функции почек выделяют 5 стадий
ХБП. Каждая стадия характеризуется разной степенью риска развития ТПН и
сердечно-сосудистых осложнений и требует различной врачебной тактики.
Начиная с 3 стадии, больные нуждаются в наблюдении нефрологом. Методы нефропротекции разрабатываются на основе данных экспериментальной медицины, клинических и эпидемиологических исследований, посвященных изучению факторов риска ТПН и механизмов развития нефросклероза, и проходят испытания в ходе проспективных клинических исследований в соответствии с принципами доказательной медицины.
Было показано, что использование современных методов нефропротекции, в частности препаратов, блокирующих ренин-ангиотензиновую систему, снижает риск развития ТПН на 30-50%, что дает существенный экономический эффект [3]. В настоящее время в ряде стран (США, Великобритания и др.) созданы национальные рекомендации по диагностике ХБП и ведению больных.
Внедрение принципов диагностики ХБП и нефропротекции в практическую медицину во всем мире встречает значительные трудности. Они связаны, в первую очередь, с тем, что для ранней диагностики ХБП, то есть ее выявления на стадии, когда эффективность лечебно-профилактических мер наиболее высока, а затраты на их проведения самые низкие, необходим скрининг лиц, не информированных о наличии у них риска заболевания почек, нередко считающих себя абсолютно здоровыми. Актуальна задача разработки методологии, облегчающей освоение врачами-ненефрологами принципов диагностики ХБП и ведения больных, делающей более доступными и удобными для практического применения разработанные на сегодняшний день лечебно-диагностические алгоритмы.
Одним из самых дорогих методов лечения заболеваний почек в
терминальной стадии является гемодиализ. При этом современные диализные
установки представляют собой вычислительный комплекс, управляющий
диализной колонкой и подбирающий режимы диализа для каждого конкретного
пациента. Основным элементом установки, определяющим эффективность
процедуры, является колонка с сорбентом. При прокачке плазмы крови через
сорбенты на поверхности заполнения адсорбируются вещества, выводимые в норме через почки. Одним из перспективных сорбентов является угольный пирополимер (УПП). При этом актуальной является задача описания механизма адсорбции на его поверхности.
При ХБП в почках происходит активация тромбоцитов (клеточных элементов, участвующих в формировании тромбов), что может приводить к серьезным последствиям для организма. Для создания математических моделей ХБП можно считать все тромбоциты активированными. Система кровеносных сосудов человека состоит из венозного и артериального деревьев. В венозных сосудах скорость течения мала, в них образуются, в основном, фибриновые тромбы. Артериальное дерево характеризуется высокими скоростями течения крови (и, соответственно, большими числами Рейнольдса). В артериальном дереве в первую очередь формируются тромбоцитарные тромбы, риск образования которых возрастает при ХБП вследствие активации тромбоцитов. Разработке математической модели образования тромбоцитарного тромба (в том числе, когда все тромбоциты активны) посвящена значительная часть диссертации.
При хронических болезнях почек существенно возрастает риск формирования не только тромбоцитарных, но и фибриновых тромбов (ключевой фактор свертывания — тромбин — является активатором тромбоцитов). Нарушения деятельности почек могут приводить к нарушениям в системе свертывания крови (ССК), что, в свою очередь, приводит к нарушениям в сердечно-сосудистой системе. Согласно данным всемирной организации здравоохранения [4] на первом месте среди причин смертности в мире стоит ишемическая болезнь сердца — заболевание, обусловленное недостаточностью кровоснабжения сердечной мышцы (рис. 1). В связи с этим становится актуальным исследование механизмов неустойчивостей в ССК.
Коронарные артерии
Окклюзия артерии
Поврежденная мышца. При коронарной окклюзии повреждается сердечная мышца
Рис. 1. Инфаркт вызван окклюзией коронарной артерии [5]
Таким образом, изучение системы свертывания крови и механизма тромбообразования имеет огромное значение для медицины. Математическое моделирование процесса свертывания помогает осмыслить накопленный экспериментальный материал и выбрать правдоподобные гипотезы устройства этой сложной системы.
Целью настоящей работы является создание математической модели формирования тромбоцитарного тромба, разработка программного модуля для численного решения уравнений модели, сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными.
В работе разрабатываются (используются) различные математические методы и программные модули как для исследования устойчивости некоторых режимов системы свертывания крови, так и для оценки значений параметров математической модели, при которых наблюдается максимальное соответствие результатов моделирования и экспериментальных данных.
Новизна диссертационной работы заключается в следующем: 1. С участием автора построена математическая модель переноса тромбоцитов в сдвиговом потоке в осесимметричном сосуде с недеформируемыми стенками. Данная модель используется для описания формирования
тромбоцитарного тромба в сосуде. Модель учитывает диффузию, вызванную столкновениями тромбоцитов («сдвиговую диффузию») и обратное влияние формирующегося тромба на течение жидкости.
С использованием математического аппарата сопряженных уравнений исследована устойчивость автоволновых решений системы уравнений пространственно-временной динамики системы свертывания крови (ССК).
На основе оптимизации параметров в системе, описывающих процессы в экспериментальных колонках, сделан вывод о необходимости модернизации описания механизма химических реакций. Предположительно при адсорбции альбумин-билирубинового комплекса на поверхности угольного пирополимера (УПП) необходимо учитывать активизацию соседних сайтов связывания на поверхности УПП и вводить в рассмотрение автокаталитичность реакций связывания.
Основные положения, выносимые на защиту:
Алгоритм, позволяющий рассчитывать формирование тромбоцитарного тромба в осесимметричном сосуде. В алгоритм входит модуль для построения адаптивной сетки, модуль для расчета течения в осесимметричном сосуде переменного сечения, модуль для расчета химических реакций и переноса тромбоцитов.
На основании численных экспериментов при помощи созданного автором программного комплекса исследованы основные закономерности формирования тромбоцитарного тромба в потоке вязкой жидкости. Показано, что при высоких скоростях течения в случае, когда все тромбоциты активированы, на стенках сосуда формируются в основном тромбоцитарные тромбы. При низких скоростях течения тромбоцитарные тромбы формируются медленнее, происходит преимущественно формирование фибриновых тромбов.
В одномерном случае в ССК остановившийся импульс оказывается
устойчивым, хотя в точечной системе область параметров соответствует
сложным (возможно, хаотическим) колебаниям концентрации. Проведенное исследование показало, что в случае нескольких пространственных измерений в такой системе действительно наблюдаются сложные апериодические режимы. 4. Алгоритм, позволяющий автоматически изменять параметры модели, записанной в терминах обыкновенных дифференциальных уравнений, так чтобы решение системы ОДУ было максимально близко к результатам экспериментальных данных.
Теоретическая и практическая ценность полученных результатов:
Результаты расчетов, выполненных по построенной математической модели роста тромбоцитарного тромба, демонстрируют качественное согласие с экспериментальными данными. Построенная модель может использоваться как составная часть задачи моделирования хронических болезней почек. Разработанный в диссертации алгоритм может служить для расчета широкого класса других задач (химические реакции в проточном реакторе изменяемой формы).
Исследована устойчивость некоторых автоволновых режимов (останавливающийся импульс, спиральная волна) в математической модели свертывания крови с учетом переключения активности тромбина.
Разработан алгоритм, позволяющий автоматически находить оптимальные коэффициенты системы ОДУ. Его можно использовать при расчетах различных задач медицины и биологии, где зачастую различные параметры известны с точностью до порядка. По результатам расчетов с использованием алгоритма была существенно изменена математическая модель адсорбции альбумин-билирубинового комплекса на поверхности УПП. Кроме того, алгоритм успешно использовался для нахождения оптимальных коэффициентов в задачах горения.
Апробация и публикации
Результаты работы были доложены на следующих конференциях и научных семинарах и получили одобрение специалистов:
Научные конференции Московского физико-технического института. Секция вычислительных моделей в механике и биомеханике. (Москва, 2004, 2005, 2006);
IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Секция IV - Комплексные и специальные разделы механики. Подсекция IV. 1 -биомеханика (Нижний Новгород, 2006);
Международная конференция «Numerical geometry, grid generation and high performance computing» (Москва, ВЦ РАН, 2008).
Научный семинар на кафедре биофизики биологического факультета Московского Государственного Университета (2004).
Научный семинар лаборатории физической биохимии системы крови ГНЦ РАМН (2006).
Научные семинары в лаборатории биофизики отдела строения вещества в Институте Химической Физики РАН (Москва 2005-2009).
Научные семинары кафедры вычислительной математики Московского Физико-Технического института (Долгопрудный 2005-2009).
Постановка задачи о течении вязкой жидкости в осесимметричном сосуде
Начальное распределение давления вычисляется следующим образом: расчетная область по оси z разбивается на «элементарные» прямые цилиндры (для верхней границы используется ступенчатая интерполяция). Предполагается, что для каждого цилиндра выполняется формула Пуазейля, связывающая градиент давления с максимальной скоростью на этом участке -4pv- V. (z,0). Полученный профиль давления оказывается независящим д z от г. Заданные таким образом начальные условия не удовлетворяют уравнению неразрывности. В случае если невязка при подставлении такого рода профиля в исходную систему оказывается велика, может возникнуть рост V, по потоку, постоянный рост (или падение) давления во всей расчетной области.
Полученная система уравнений сложна для аналитического решения, поэтому используется численное решение, для этого используется метод [52]. Так как расчетная область меняется по мере роста тромба, необходимо использовать адаптивную сетку. При этом, так как адаптивная сетка отличается от прямоугольной, для удобства счета используется преобразование координат = (z,i?), r\ = r\(z,R), отображающее исходную расчетную область в прямоугольник 0 ) NJ,0 r[ Nj [52]. Сеточные линии построенной адаптивной сетки переходят в прямые ) = j,r\ = i. Первый индекс относится к координате по радиусу, а второй - к координате по оси сосуда. Введем следующие обозначения для операторов дифференцирования
С учетом замены переменных система уравнений (8-10, 12) может быть переписана в следующем виде:
В ходе расчета считается, что активные тромбоциты налипают на стенку и таким образом меняют форму стенки сосуда. Зная поток тромбоцитов на стенку можно найти, изменение объема области и найти новое положение границы. Перестроение происходит, когда налипшие тромбоциты займут треть размера ячейки. В противном случае время расчета каждого варианта задачи становится чрезмерно большим. Поскольку после перестроения сетки распределения скоростей, давления и концентраций тромбоцитов и тромбина уже не соответствуют новой сетке, осуществляется их консервативный пересчет на новую сетку. Задача решается в двумерной, односвязной области.
Для построения адаптивной сетки в расчетной области использовалось два метода: интерполяция сплайнами [53] и вариационный метод [54, 55].
Для построения сетки с помощью аппарата сплайнов в нескольких опорных точках zi вычисляется значение функции R(z) (или находится положение границы тромба) и делится на число точек по оси R. Через полученные точки проводятся кубические сплайны. Каждый сплайн разбивается на дуги равной длины, так чтобы суммарное число дуг было равным количеству точек по оси z. Таким образом, получаются координаты всех точек адаптивной сетки. Для расчета гидродинамической части задачи также приходится вводить слой фиктивных ячеек, которые строятся с использованием точек, лежащих внутри расчетной области, путем зеркального отражения их относительно границы.
Сетки, получаемые при использовании приведенных выше алгоритмов, оказываются достаточно близкими в начальный момент времени для некоторых видов сосудов (например, для стенозированного) - рис. 13 и 14.
Разностная схема для расчета задачи о течении жидкости
Проведены расчеты упрощенного варианта задачи формирования тромбоцитарного тромба [63]. Известно, что при воспалительных заболеваниях почек, в частности, пиелонефрите, практически все тромбоциты являются активированными [64], в крови резко повышается концентрация тромбина — активатора процесса. Тромбин влияет не только на формирование тромбоцитарного тромба, но и на образование фибриновых тромбов. В рамках модельных представлений будем считать, что в крупных кровеносных сосудах формируются, в основном, тромбоцитарные тромбы, пренебрежем эффектами, связанными с процессами полимеризации фибрина. Такой модельный подход не позволяет исследовать закономерности некоторых важных с точки зрения медицины патологий, в частности, синдрома диссеминированного внутрисосудистого свертывания (ДВС), но позволяет рассмотреть процесс образования тромбов в венах. В частности, известно, что при воспалительных заболеваниях почек одним из самых опасных, с точки зрения образования тромбов, участков кровеносной системы человека является почечная вена [65]. В случае, когда все тромбоциты активированы, упрощается система (3-6), достаточно рассмотреть эволюцию активных тромбоцитов (при ХБП все тромбоциты активированы). Вместо четырех уравнений можно использовать лишь одно + (V, Vc) = f(c, w) + div(D„ V„c+D± Vxc), о t где с — концентрация всех активных тромбоцитов. Ниже приведены результаты расчетов [66] для различных скоростей течения крови. Все тромбоциты активированы, коэффициент диффузии считался постоянным. Как видно из результатов расчетов, с увеличением скорости потока значительно возрастает скорость роста тромба (рис. 37а, 376).
Так как начальная концентрация тромбина оказалась достаточно большой, при Re= 100 концентрация за растущим тромбом не обращается в ноль (рис. 37а), что случалось при расчетах с меньшей концентрацией, когда все поступающие в данный участок сосуда тромбоциты расходовались на формирование тромба (рис. 376). Кроме того, тромб растет вниз по потоку. При налипании тромбоцитов на стенку площадь активной границы увеличивается. Время роста тромба составляло 5 с, что в несколько раз меньше характерных времен роста in vivo. Причина — большая концентрация тромбоцитов в модельной задаче (в 3 раза больше физиологической нормы) и большая скорость потока. активных тромбоцитов (трехмерная поверхность), граница сосуда и граница активной зоны (жирные линии) и поле скоростей потока жидкости (стрелки). Число Рейнольдса Re 100. активных тромбоцитов (трехмерная поверхность), граница сосуда и граница активной зоны (жирные линии) и поле скоростей потока жидкости (стрелки). Число Рейнольдса Re l.
При малой скорости потока происходит агрегация практически всех тромбоцитов на стенке в окрестности активной зоны (рис. 376). В результате в районе тромба возникает область с практически нулевой концентрацией тромбоцитов от поверхности тромба до оси сосуда. Ниже приведены результаты расчетов для полной системы уравнений (2-6). Моделирование повреждения стенки сосуда осуществляется введением активной границы в месте повреждения и области ненулевой концентрации тромбина. В начальный момент времени все тромбоциты в потоке и на входе в сосуд являются пассивными и полными. Существует несколько характерных режимов поведения системы в зависимости от концентрации тромбина и тромбоцитов и скорости течения крови. Ряд расчетов производился при неизменной форме сосуда. При небольших скоростях течения жидкости активатор начинает распространяться против потока (вследствие выделения тромбина из полных тромбоцитов, поступающих на вход в сосуд), в результате, рядом с входным сечением наблюдается максимум активатора. При этом тромбоциты начинают активироваться непосредственно на входе в сосуд (рис. 38). При повышении скорости течения в сосуде устанавливается некоторое стационарное распределение концентраций, тромбоциты начинают активироваться около области повреждения и далее по потоку все тромбоциты становятся активными (рис. 39). При большой скорости течения активатор сносится течением и через некоторое время в сосуде устанавливается равномерное распределение полных пассивных тромбоцитов с концентрацией равной концентрации на входе (рис. 40).
Сопряженная задача
Для исследования устойчивости пространственно-неоднородного решения могут применяться различные методы. Это могут быть как, серийные расчеты задачи с различными параметрами; так и использование иного математического аппарата. Одной из проблем серийных расчетов является длительное интегрирование по времени до достижения установившегося конечного состояния, например, при моделировании решений с остановившимися импульсами. Одним из фундаментальных математических методов, позволяющих преодолеть трудности, возникающие при решении многих проблем, является аппарат сопряженных уравнений. Сопряженные уравнения успешно применялись при расчете ядерных реакторов [70, 71], при численном решении задач физики атмосферы и океана [72] и других задачах. Введем в рассмотрение наряду с задачей (26-28), сопряженную систему уравнений. Решение ее позволяет выделить класс возмущений, к которым наиболее чувствительна основная задача.
Поведение нормы решения сопряженной задачи позволяет судить об устойчивости решения основной задачи к данному классу возмущений (в норме L-i) [73, 74]. Для нелинейной задачи сопряженная система может быть построена неединственным образом. Для исследования устойчивости получающихся стационарных решений задачи (26—28) сопряженная система нелинейных уравнений строилась с помощью формулы Тейлора [74]. Введем пространства функций X, Y, такие что X = Y = L2(Q), где Q = [0,AJх [0,./ ] — расчетная область задачи. Пусть и є L2(Q), v є L2(Q), введем скалярное произведение: а соответствующая норма имеет вид u = (u,u)1/2. Обозначим: щ=и, uz=w, uf=v и рассмотрим нелинейный оператор F, F:X- Оператор (A(u)u) = \F (tu)dta назовем сопряженным оператором, соответствующим нелинейному оператору F.
Для оператора F справедливо представление где Fd(u) — линейный оператор, соответствующий дифференциальной части оператора F, a F.(u) соответствует нелинейным функциям в правой части исходной системы уравнений. Построим сопряженный оператор (F(u)) . Для этого воспользуемся тождеством Лагранжа (и — произвольная функция, принадлежащая рассматриваемому пространству): Для производной оператора F получим равенство: Поскольку X = Y = X = Y = L2(Q), то с учетом граничных условий (отсутствие потока через границы области) для оператора, сопряженного к линейному оператору F (u) = Frf(u), интегрированием по частям получим Откуда (F (U)J =(F (U)J — транспонированная матрица Якоби правой части системы (26-28). Таким образом, для сопряженного оператора получим После выполнения необходимых преобразований получим, что сопряженная система имеет вид: і _ где функции gr, g2 и g3 могут быть представлены в виде интегралов Приведенные интегралы могут быть вычислены в явном виде. Поскольку получающиеся выражения громоздки, они здесь опущены. Решение сопряженной задачи находится в обратном времени с использованием вычисленного решения основной задачи [75, 76].
Некоторые результаты методических расчетов
В ходе данных расчетов варьировался только один параметр. Результаты оптимизации для двух наборов экспериментальных данных приведены на рис. 48а, б. Точки соответствуют экспериментальным данным, пунктирная линия — решению системы (33-36) с исходным, набором параметров [84]. Остальные графики соответствуют значениям параметров, которые доставляют минимум функционала F. Результаты расчетов приведены в таблицах За, б.
В ходе данных расчетов варьировались два параметра задачи, при этом выбирались только те параметры, которые приводили к уменьшению значения функционала в случае варьирования одного параметра. Результаты расчетов приведены в таблицах 4а, б. и на рис. 49а,б.
Также был проведен ряд расчетов, когда в начальное значение одного из параметров отличалось от значения, приведенного в таблицах 2а,б. Начальное значение параметра к8 было взято из таблиц 2а,б, в то время как значение параметра к5 менялось в широком диапазоне (вплоть до 10 ). Значения параметров, полученные в результате оптимизации с измененными начальными условиями, не отличались от значений параметров, полученных после оптимизации с начальными значениями параметров, взятыми из таблиц 2а,б. Аналогичная процедура была проделана в отношении параметра к&, при постоянном начальном значении параметра к5. Результаты были такими же — значение параметра перед оптимизацией к8 может варьироваться в большом диапазоне, при этом оптимальное значение параметра не меняется. Данные эксперименты позволяют сделать вывод о том, что даже в том случае, когда значения параметров задачи известны с плохой точностью, процедура оптимизации позволяет найти значения параметров, при которых будет наблюдаться максимальное соответствие результатов эксперимента и численных расчетов.
В ходе данных расчетов менялись три параметра задачи. Результаты расчетов приведены в таблицах 5а, б и на рис. 50а, б.
Как видно из таблицы 6 и рис. 51, значение функционала среднеквадратичного отклонения уменьшается с увеличением количества варьируемых параметров, а решение системы ОДЕ (33-36) становится все ближе к экспериментальным данным.
В ходе расчетов по оптимизации параметров было обнаружено, что один из параметров, а именно к% становится меньше нуля. Это означает, что вторая реакция в системе (33-36) является автокаталитической, то есть чем больше билирубина осело на угле, тем активнее он оседает. Данный факт привел к необходимости существенного изменения модели и ее уравнений. В настоящее время проводится работа по созданию улучшенной модели, которая бы учитывала автокаталитическое поведение билирубина.
Построенный метод оказывается применимым и в ряде других случаев. В частности, он использовался для нахождения оптимальных параметрах в некоторых задачах горения. Основным ограничением по использованию методики оказывается требование (41). Так, программный модуль оказывается не применимым в случае, если в системе наблюдаются бифуркации. 1. На основании численных экспериментов при помощи созданного автором программного комплекса исследованы основные закономерности формирования тромбоцитарного тромба в потоке вязкой жидкости. Показано, что при высоких скоростях течения в случае, когда все тромбоциты активированы, на стенках сосуда формируются в основном тромбоцитарные тромбы. При низких скоростях течения тромбоцитарные тромбы формируются медленнее, происходит преимущественно формирование фибриновых тромбов. 2. С использованием математического аппарата сопряженных уравнений исследована устойчивость автоволновых решений системы уравнений пространственно-временной динамики системы свертывания крови (ССК). В рассмотренной математической модели динамики свертывания крови обнаружены как традиционные для систем «реакция-диффузия» решения типа бегущих импульсов, спиральных волн, так и решения с остановкой автоволны тромбина на конечном расстоянии от места активации, и решения, не зафиксированные ранее в моделях реакционно-диффузионного типа. В одномерном случае остановившийся импульс оказался устойчивым, хотя в точечной системе область параметров соответствовала сложным (возможно, хаотическим) колебаниям концентрации. Проведенное исследование показало, что в случае нескольких пространственных измерений в такой системе действительно наблюдаются сложные апериодические режимы. При этом необходимо низкочастотное надпороговое возмущение системы в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны. 3. На основе оптимизации параметров в системе уравнений, описывающей процессы в гемодиализных колонках, сделан вывод о необходимости модернизации описания механизма химических реакций.
Предположительно, при адсорбции альбумин-билирубинового комплекса на поверхности угольного пирополимера (УПП) необходимо учитывать активизацию соседних сайтов связывания на поверхности УПП и вводить в рассмотрение автокаталитичность реакций связывания.
