Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 6
1 МОДЕЛИ АГРЕССИВНОЙ СКУПКИ АКЦИЙ И ХААРОВ-
СКИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ 23
Основные понятия финансовой математики^ -^^%к* ^3
Хааровскио интерполяции финансовых рынков на конечных вероятностных прострашп'нах ^^"^к. * ^"
Стохастические базисы н модели (б,5)-рынков. подверженных ш-ресенвной скупке акций . . . ^1. . .^ 35
2 УСИЛЕННОЕ СВОЙСТВО ХААРОВСКОЙ ЕДИНСТВЕН-
НОСТИ В ИНТЕРПОЛЯЦИИ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ 42
2.1 Усиленное свойство хааронской единственности на счетном ве
роятностном пространстве в статической модели финансового
рынка '*'%' ''^
Совершенное хеджирование н преобразованной сташческоП модели ^^^^ь ^
Усиленное свойство хдаровекой единственности в динамической модели финансового рынка 57
3 МЕТОДЫ ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ НА БЕЗАРБИТ
РАЖНЫХ (B,S)-PbrHKAX С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ
АГРЕССИВНЫХ СКУПЩИКОВ АКЦИЙ (ifi
3.1 Метод сведения финансовых расчетов на бесконечномерных рын-
к расчетам на (В, 5)-рынках с конечным числом состояний 6G
.2 Пример агрессивной скупки, когда порядок появления скупщи
ков на рынке задастся распределением Фарри 76
3.3 Пример агрессивной скупки, когда порядок появления скупщиков на рынке задается расп|>еделенисм Пуассона . . ^^ -*L.^% 82
4 ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ С ИС
ПОЛЬЗОВАНИЕМ СОВРЕМЕННЫХ ИНСТРУМЕНТОВ РАЗ
РАБОТКИ. РЕЗУЛЬТАТЫ ШДЧИСЛЕНИЙ^^^г 86
Описании основных алгоритмов Щ. Ж. Ж^ 87
Программный комплекс «Хеджирование посредством интерполяции- . *^^^ 1*'0
Результаты расчетов на тестовых моделях 122
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 130
ЛИТЕРАТУРА \ J 132
ПРИЛОЖЕНИЕ 142
^
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И АББРЕВИАТУР
с-в. —случайная величина;
СХЕ — свойство хааровской единственности;
УСХЕ—усиленное свойство хааровской единственности;
СУХЕ —свойство универсальной хааровской едииетвеажчяті;
ОСУХЕ - ослабленное свойство универсальной хааровской сдішствсшіости;
УНБ —условие несовпадения бари центров ^^^
ОУНВ —ослабленное условие несовпадения барицентров;
XML — extensible Markup Language (расширяемый язык решетки);
UML - Unified Modeling Language -унифицированный язык моделирования.
и
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
прос1раиств(
(Q, Т) — измеримое пространство с множеством исходов Q и (т-алгеброй
V множество вероятностных мер на (Q, J7), нагружающих все атомы о-алгебры Т (если Т порождена разбиением П на не более чем счетное число атомов); ^t
F = (^J,^-—фильтрации с конечным (N < со) или бесконечным (N — со) горизонтом;
Т>к — множество атомов ст-алгебры Jfcj
Б = (В*)А=0 — детерминированная последовательность строго положительных чисел (эволюция цеиы банковского счета);
чин (эволюция цены акции определенного типа);
5 = (5fc, ^ьїі—о ~~ адаптированная к F п<к:ледовательность случайных ве-
Я" = {0kr Ук)к^о ~ самофинансируемый портфель ценных бумаг (финансовая стратегия);
ft—Ль,і-измеримая случайная величина, выражающая количество единиц банковского счета в портфеле в момент времени fe;^.
fk~^fc-i-измеримая случайная величина, выражающая количество акций в портфеле в момент времени fc;
емени к;
XJ: - полный капитал портфеля тг в момент времени к,
Fn~ ^-измеримая случайная величина (платежное обязательство);
Л" —цепа поставки;
С — договорная цена контракта (премии);
Cjv - справедливая цепа финансового обязательства Fy,
С" — верхняя цена платежного обязательства Fm\<;
Р' - мартннгальная мера, соответствующая договорной цене С'\
С, -- ігажняя цена финансового обязательства Fjf,
Рл — мартннгальная мера. соответствующая договорной цене С,;
Z =- {Zk,T^yksXl адаптированный случайный процесс (дисконтированная стоимость акций определенного типа);
V [Z, F) — множество таких мер Р Є V, для которых случайный щюцесс
2 = (Z&, Jt,-,і*)*—о является мартингалом;
Р (Я, F) — множество исех вероятностных мер Р на [V.,J-), для которых процесс Z = (Zi^Tk-P)^-^ является мартингалом;
Н = (Н„)чл|, хааровская фильтрация (7io = {&,&}, 'Hl — ^)< характеризуемая. следующим свойством: при любом п tr-алгебра Нп порождена разбиением Q ровно на п + 1 атом;
— (%>1 —случайная хааровская фильтрация;
\ / н=0
і—фиксированное натуральное число (количество действующих на рын-скупщпков).
*
Введение к работе
ВВЕДЕНИЕ
^
гиип
Актуальность темы. В последит месяцы 2008г. и в начале 2009г. по море развития кризиса в России, падения курса рубля и роста доллара (рис. 1) и евро значительная часть населения России начала скупать валюту и держать ее «иол сукном*. Эту массовую скупку можно понимать как агрессивную скупку рисковых активов со стороны большого числа скупщиков. Изучению математических моделей, которые можно использовать для различных расчетов на такого рода финансовых рынках, и посвящена данная диссертация.
ЗІЛЛІ
«ц/о* ів/iz/fe г*/і2^й \г/\/*ъ
Рис 1.
Агрессивная скупка акций (в литературе употребляется также термин ивная скупка акций») — это неотъемлемая часть функционирования фи-
А'
ВВЕДЕНИЕ
нансовых рынков.
Агрессивная скупка акций—действия одного или группы инвесторов по
интенсивному приобретению акций какой-либо компании. Нередко для скупки привлекаются профессиональные участники рынка ценных бумаг, что не позволяет быстро определить, кто является ее действительными инициаторами и сколько их. При этом используются методы прямого обращения к акционерам, а именно: публикации в средствах массовой информации с предложением продать акции, раавепшвание объявлений и непосредственной близости от предприятия или местах проживания его акционеров — работников компании, направление писем акционерам. Иногда возле проходной предприятия останавливается автобус, в котоіюм оформляются договоры купли-продажи акций и выплачиваются наличные средства.
Агрессивная скупка акций производится на основе очень многих факторов, совокупностей различных деловых показателей, правильный анализ которых неподготовленному человеку произвести очень сложно. Именно поэтому начинающие инвесторы во многих случаях прогорают, иытаясь самостоятельно играть на бирже, производить массовую скупку акций.
В современной экономике, чтобы выжить, нужно постоянно развиваться, поэтому крупные российские компании часто скупают мелкие, Это и есть одна из причин агрессивной скупки. Крупные компании скупают акции у многих мелких акционере с разными целями: собрать достаточное количество
аКЦНЙ ДЛЯ ТОГО, чтобы ПОЛуЧПТЬ МеСТО В СОВете ДИреКТОрОВ, Ч'іобьі влиять
на принятие решений и компании, чтобы получать блокирующий или контрольный пакет акций и т.п. Как только необходимое коллчество акций будет куплено, скупка прекращается. Во время агрессивной скупки цена акций стремительно растет. Как только скупка прекращается, бывает, что акции невозможно продать ни по какой цене. Последнее в первую очередь отно-
л»
ВВЕДЕНИЕ
Каратзаса, Д. Мадана, IO. Мишуру, К. Стрикера. X. Фельмера, В. Шахер-майера, М. Швайцера, А. Шяда, С Шрива.
Наиболее привлскательними с вычислительной точки зрения являются модели полных безарбитражных рынков, для которых получены результаты, имеющие законченный вид. Поэтому представляется весьма актуальным изучение и применение процедур, позволяющих интерполировать неполные финансовые рынки полными, что и делается в данной диссертации.
13 связи с кризисными событиями, происходящих на финансовых, рынках, существует неотложная потребность в инструментах, позволяющих производить весьма сложные расчеты, такие, как определение справедливых цен страховых премий, построение хеджирующих портфелей ценных бумаг и т.д. Создание таких инструментов основано на разработке; соотвегетвующих алгоритмов и численных методов. Это дополнительно свидетельствует о том, что направление исследований, которым посвящена настоящая диссертация, является актуальным.
Объектами исследования настоящей диссертации являются финаисо-вые рынки в период массовой скупки рисковых активов (в частности, скупки
иностранной валюты}.
Целью диссертационной работы является построение моделей безарбитражных неполных финансовых рынков, подверженных массовой (агрессивной) скупке акппй. теоретическое исследование этих моделей (в частности, на возможность их преобразование в полные моделі!), разработка алгоритмов для вычисления хеджирующих портфелей различных финансовых обязательств в рамках этих моделей и создание программного комплекса, позволяющего доводить все полученные формулы до числа.
Для реализации этой цели потребовалось решить следующие задачи: 1) создать модель (B,S)-pbiHKa в случае агрессивной скупки акций со
ВВЕЛКНИК
Сатся к акциям региональных щюднриятий. Спрос на акции этих предприятии очень нерегулярный. Если не успеть продать акции во врем и скупки, то следующая возможность может представиться не скоро, а может н вовсе не
представиться.
Моделирование финансовых рынков, подверженных агрессивной скупке акций, - задача весьма сложная. В настоящей диссертации вводятся, исследуются и рассчитываются модели (В,5)-рынков, состоящих in безрискоіюго банковского счета п акций одного тина, скупаемых большим числом нгрессив-вых скупщиков. При этом принципы моделирования и техника расчетов основываются на теории хааровских интерполяций финансовых рынков, предло-жешюй проф. И.В. Павловым и развитой им и его учениками XI.Н. Богачевой, А.Г. Данекянц. Т.А. Волосатовой, ГА. Можаевым, а также автором данной диссертации.
Отметим, что в последние сорок лет-наблюдается бурное развитие методов стохастического и технического анализа, связанных с модел иронии нем эволюции цен акций, облигаций, вторичных ценных бумаг (опционов, фьючерсов, форвардов и др.). В основе многих исследований этою направлении лежит теория мартингалов. В нашей стране глубокие результаты, связанные с применением теории мартингалов к финансовой математике, получены членом-корреспондентом РАН, профессором А.Н. Ширяевым, его учениками и участниками руководимых им научных семинаров в Математическом институте им. В А. Стеклова РАН и Московском государственном университете ИМ..М-В. Ломоносова. В список этих ученых входят А.А. Гущин. Ю.М. Кабанов, Д. О. Крамков, А.В. Мельников, А.А. Новиков, В.II. Туту бал и н, В.М. Хаметов, А.С. Черный и др. Па юге России в указанном наг.равлсшш активно работают Г.И. Белявский, И.В. Павлов, Д.Б. Рохлин и др. Среди иностранных ученых выделим Ф. Делбаена, Ж. Жакода, Д. Зондермана, М. Йора, И.
ВВЕДЕНИЕ W"10
стороны бесконечного (счетного) числа конкурирующих скупщиков;
2} смоделировать случайное поведение скупщиков в промежуточные моменты времени между объявлениями цен на акции и внедрнтьэто в основную модель;
получить новые результаты в теории хааровских интерполяций финансовых рынков, связанные с так называемым усиленным свойством хааровской единственности; Л
разработать методику сведения исследуемой боскоі»ечномерноП модели к модели с конечным числом состояний (конечным числом агрессивных скупщиков);
о) разработать алгоритмы вычислений цен акций в интерполирующем (В, 5}-рынке, а также алгоритмы вычисления справедливых цен финансовых обязательств и компонент хеджирующих портфелей;
6) создать программный комплекс, реализующий эти вычисления.
Методика исследований. При решении перечисленных задач применялись методы и результаты теории вероятностей, стохастического анализа и теории мартингалов, финансовой математики, методы решения оптимизационных задач, теория алгоритмов и структур данных, имитационное моделирование.
Реализация программного комплекса осуществлялась t помощью кросс-платформенной библиотеки Q14 и её" расширений. В качестве основного алгоритмического языка выбран объектно-ориентированный язык C++. Для решения задач оптимизации и построения графиков использовались сторонние кроссплатформениые библиотеки — GLPK и Qwl. Программный комплекс вечает следующим требованиям: функционирование на ряде популярных программных платформ (Windows, Linux, Mac OS X), высокая производительность, эргономичный пользовательский интерфейс, расширяемость но-
ВВЕДЕНИЕ
вымп моделями.
ииолньїхбі
Научная новизна. Построен и исследован спектр моделей неполных безарбитражных (В, )-рынков з случае агрессивной скупки акции со стороны 5ольшоіх> (бесконечного) числа агрессивных скупщиков. Для решения про-элемы преобразования неполных безарбнтражных рынког в полные модернизирован (для рынка с бесконечным числом состояний) мегод случайных хааровскнх интерполяций финансовых рынков. Получены новые теоремы, связанные с усиленным свойством хааровской сдшіетвсіпіости, и формулы хеджирования на интерполирующем рынке с бесконечным горизонтом. Разработана процедура перехода от рынков с бесконечным числом состоянии к рынкам с конечным числом состояний. На основе ряда оригинальных алгоритмов создан универсальный программный комплекс, позволяющий производить расчеты как на рынках с конечным числом агрессивных скупщиков, гак и на рынках с бесконечным числом агрессивных скупщиков акций.
Выносимые на защиту результаты.
Общая диналшческая людель (В, S) -рынка (состоящего пз безрискового банковского счета и акции одного типа), подверженного агрессивной скупке акций со стороны бесконечного числа агрессивных скупщиков.
Модель случайного поведения скупщиков о промежуточные моменты времени между объявлениями цен на акции, позволяющая получать различные специальные модели в зависимости от закона распределения случайной величины, равной порядковому номеру доступа каждого скупщика на рынок (примеры—распределения Фарри и Пуассона).
Оригинальный метод сведения расчетов иа финансовых рынках бесконечным числом состояний к расчетам па конечных рыпках.
Новое интерполяционное свойство мартингалъпых Аіер— уси-энное свойство хааровской единственности— и теорема о выполнении этого
^
ВВЕДЕНИЕ
свойства.
5. Формулы совергиенного хеджирования для интерполирующе
го рынка, являющегося (B,S)-pbihkom относительно специальной хааров-
ской фильтрации с 6есконечга>ш горигюнтом.
Метод интерполирования исходного многошагового финансового рынка (В, )-рынком с непрерывным временем, обоснованныП соответствующими теоремами.
Основанные на методе случайных хаароиских шітерп;>ляіціп вычислительные схемы расчета справедливой цены и компонент хеджирующего портфеля в условиях интерполирующего (В, 5)-рынка для произ-иольиых финансовых обязательств, заданных в финальный момент времени,
Программный ко-чплекс "Хеджирование посредством интерполяции", базирующийся на строго обоснованных вычислительных алгоритмах.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут быть применены хеджерами и эмитентами акций и (вторичных ценных бумаг, когда на рынке происходит массовая скупка рисковых актшюв. Основные положения работы, а также алгоритмы разработанного программного комплекса уже находят применение в практической рабоїе ряда компаний (ДКРС-Сочи ОАО "РЖД", 000 "Эко-Энсрго-Холдииг", ООО "Интер-лесетрой11), иенользуюіщпс современные компьютерные технологии. Полученные в диссертации чеоретнческие результаты, связанные с развитием теории интерполяции неполных безарбитражных финансовых рынков, значимы как вклад в стохастическую финансовую математику.
Достоверность результатов работы подтверждается атематкческими доказательствами, результатами моделирования и обработки данных; 2) апробацией этих результатов на всероссийских и международных конфе-
#
ВВЕДЕНИЕ
ренциях и научных семинарах;
3) актами внедрения диссертационных разработок.
Апробация работы. Основные результаты диссертации ло клада вались наследующих международных, всероссийских и региональных научных конференциях и семинарах:
VIII Всероссийском симпозиуме но прикладной и промышленной математике и на 14-Й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (г. Со«ш-Адлер, 29 сентябрн-7 октября 2007г.);
региональных научно-практических коііфсі>енциях яро4юссорско-пре-нодавателыжого состава при РГЭУ (РИНХ) (г. Ростов-на Дону, 2007-2008
Villi Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной ма-тематике (г. Кисловодск, 1-8 мая 2008г.);
IV Всероссийской научно-практической конференции "Актуальные задачи математического моделирования и информационных ?ехнологнй"(г. Сочи, 13-18 мая 2008г.);
Международной школе-семинаре по і^сомстрнн и анализу памяти Н.І5. Ефимова (пос. Абрау-Дюрсо, 9-15 сентября 2008г.);
X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике и на 16-Й ВсеросенйскоН школе-коллоквиуме по стохастическим методам
(г. Санкт-Петербург, 19-24 мая 2009г.);
7) кафедральных семинарах по финансовой математике и стохастическо
му моделированию при кафедре высшей математики РГСУ (рук. — проф.
Павлов И.В.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, а том числе 4 без соавторов. Из них 6 публикаций в российских реферируемых журналах, входящих в список ВАК- Вклад автора в совместных публикациях
^ч
ВВЕДЕНИЕ
гаков. В работе [71| автору принадлежит концепция интерполирования, тяпанная с усиленным свойством хааровской единственности ыартингальных мер. В работе |72| автор разработал попую методику определение приоритетных и неприорнтетных скупщиков акций. В работе |73] автору принадлежит детальный анализ моделей скупки акций. В работе |74j а угор внес вклад в модернизацию программ, позволившую проводить вычисления на динамических моделях финансовых рынков с бесконечным числом агрессивных скупщиков акций. В работе |77| актору принадлежит методика сведения расчетов
на рынках с бесконечным числом состоянии к расчетам на конечных рынках. В работе 180] автору принадлежат формулы хеджирование в интерполирующем рынке с бесконечным горнзонтом^^_
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения> списка литературы (80 наименований), приложения. Каждая глава разбита на 3 параграфа. Нумерация параграфов двойная: первая цифра указывает номер главы, в которой расположен параграф, & вторая цифра—номер самого параграфа. Аналогична нумерация определений, теорем и т.п. Нумерация формул и рисунков сплошная. Работа проиллюстрирована 66 рисунками и изложена на 162 страницах.
Краткое изложение основных результатов диссертации. Возникает вопрос: каким образом действовать, когда скупщиков на рынке очень много или их количество заране? неизвестно? В этом случае с математической точки зрения наиболее естественно считать, что на рынке действует бесконеч-ной (точнее, счетное) число агрессивных скупщиков. ДереЕО стохастического базиса таких моделей представлено на рис. 2 (для удобства чтения диссертации основные понятия стохастической финансовой математики приведены в параграфе 1.1).
Первая модель такого рода была предложена в работе И.В. Павлова и
ВВЕДЕНИЕ
Л.Г. Дапскшіц |32|. Модель работы |32]- это бесконечномерный (безарбит-ражиый, но не полный) вариант модели Кокса-Росса-Рубинштейна (см. [65]}. Используя метод хааровских интерполяция (обзор конечномерных результатов содержится в параграфе 1.2), с помощью любой исходной мартин галь-ной меры Р* эту модель можно щхюбразовать к модели полного и безарбитражного рынка. В параграфе 2.2 настоящей диссертации получены формулы, на основе которых строятся совершенные хеджи в рамках упомянутой преобразованной моделі. В данной диссертационной работе мы изучаем значительно более широкий класс моделей (В, 5)-рынкои с бесконечным числом агрессивных скупщиков акций (обзор моделей с конечным числом агрессивных скупщиков представлен в параграфе 1.3).
Ясно, что степень влияния на финансовый рынок одних скупщиков более значима, нежели других. В каждый момент времени мы производим разбиение скупщиков на два класса: сильных (приоритетных) и слабых (ненрио-ритетных). Приоритетные скупщики работают на рынке Энергичнее, быстрее других оперируют на нем и, тем самым, имеют возможность скупать акции по более цизкоЛ цепе (и условиях достаточно ярко выраженного роста последней). При таком разбиении число неприоритетных скупщиков будет бесконечно, а влияние каждого из них на рынок значительно меньше, чем каждого из приоритетных. Кстсственно произвести объединение всех ненри-оритетных скупщиков в одного (усредненного), который скупает акции по некоторой усредненной цене. В результате применения вышеописанного метода мы аппроксимируем исходный финансовый рынок {В, 5)-рынком с конечным числом агрессивных скупщиков акции. Покажем, как это делается , подробіте изложение содержится в параграфе 3.1. важные примеры приведены в парагішфах 3.2 и 3.3).
Пусть О — счетное множество. Рассмотрим фильтрацию (^tJJ—o {N < со)
ВВЕДЕНИЕ
слсдукнцеїх» вида:
Я>={аЛ},?к = <т{Вк;А1,А1 Л[.,...;
где А), (к — 1.2,... ,#; і = 1,2,...) — событие, заключающееся втом, что акция скуплена 1-м скупщиком в момент времени к; событие Вь (к = 1,..., N) заключается н том, что к моменту времени к акция оказалась не скупленной. Как всегда, предполагаем, что Т = Т$. Бели М — некоторое множество, то символом \М\ мы будем обозначать число элементов множества М.
Поскольку компьютерная техника может оперировать только конечномерными структурами данных (а в нашей модели П — счетное множество) воз-
ВВЕДЕНИЕ
пикает вопрос: каким образом можно аппроксимировать исходную модель рынка моделью с конечным числом состояний. Оказывается эту задачу мож но решить, рслп для каждого момента к = 1,2,..., Л' применить следующую процедуру:
определить порядок доступа скупщиков на рьіної
задать значения цен акций;
выделить приоритетных скупщиков и определить неприоритетных скупщиков, которыми нельзя пренебречь; из этих последних сформировать усредненного иеприоритетного скупщика, а оставшимися неприорнтетны-ми скупщиками пренебречь; в результате получить модель (В, 5)-рынка с конечным числом состояний; ^^^ь
определить Интерпол я циенньте свойства полученной модели.
Опишем кратко эту процедуру. Пусть Z = (2*, ?>)[_„ адаптированный случайный процесс, под которым мы понимаем дисконтирозашгую стоимость
акций определенного типа, подверженных агрессивной скупке со стороны счетного числа агрессивных скупщиков. Пусть гк(і * 1,2,...; di > — 1)— монотонно возрастающая ограниченная последовательность процентных ставок, определяющая дисконтированные цены акций Zk следующим образом:
Zk(Bk) = Zk-dBk-tW + dM)
,('J
ЩА?) -&.i(B*-i)(l+di) (г =1,2,...)
.w
(1)
Zb{A?) = Z*-i(4/) (7 = 1.2,.-..A-l; 1 = 1,2,...)
1 ,
rAc(nA »nt > ->nk і" *') — "фєсгапопка последовательности натуральных чисел (1,2,... ,і,...), к = 1,2,3,...,N. Число nt означает, что в промежутке
од номером Щ -
между моментами времени к - 1 и к 1-й скупщик получил доступ на рынок
НВБДКНИЕ
Основные предположения таковы:
Последовательность di строго возрастает. причем: lim d, < d^ < оо, 4 ф 0, Vt.
Рынок безарбитражен, т.е. выполняется одно из условий:
- 31 < оо, что d\
-di
Зададим некоторым образом число с (di < с < Ііш і/,), которое мы будем
i—fK
называть критериальной процентной стайкой д«ія отбора приоритетных скун-щи ков. Число приоритетных скупщиков т определим следующим образом:
тп = max {і :а\ < <}
Ясно, что 1 < гїі < оо. Всех остальных скупщиков будем считать нсприо-ритстными. Этих последних разобьем на два класса: на конечное множество неприоритетных скупщиков, котрими нельзя пренебречь, и на (.'четное множество остальных неприоритетных скупщиков, которыми мы будем пренебрегать.
Опишем процедуру нахождения m иеприоритетных скупщиков, которыми нельзя пренебречь. Пусть є (0 < є < I) — некоторое число, отражающее точность перехода от модели с бес-конечным числом состояний к конечной модели. Полагаем:
m := max і г — rh\i > ih.d-, — d»_i > є, — :— > є t.
I d^-di-, J
Ясно, что 0 < m < оо. Будем предполагать, что акции скупаегся «усред-
енным» неприоритетным скупщиком по усредненной процентной ставке
Ж т+т'п
(-"(ТІ
ВВЕДЕНИЕ
В зависимости от значения процентной ставки d возможны две ситуации:
ереечитьн
d — 0; полагаем новое значение тп равным т = fh-t-1 к пересчитываем с по «рормуле (2); при этом d становится строго положительным;
d Ф 0; коррекция не требуется,
Отметим, что если dx > lini t/(, то всегда d < 0 (коррекция не требуется).
I—оо
Такая процедура перехода к {#, 5)-рынку с конечным числом агрессивных скупщиков обсспечігоаєі справедливость сле/гующего результата: при описанном выборе приоритетны:/: и неприоритстных скупщиков данный (В, S)-рынок моа/Спо естественным обраЗОМ аппроксимировать рЬтколі с конечным числом состояний, удовлетворяющим свойству универсальной хоаров-ской единственности.
Свойство универсальной хааровской единственности и его роль описаны в
параграфе 1.2. Применение этого свойства (точнее, его ослабленной версии)
в процедурах совершенного хеджирования продемопстріфовапо в парагра
фах 3.2 и 3.3. ^^^
В гливе 4 подробно описан созданный в рамках настоящей диссертации программны* комплекс «Хеджирование посредством интсрполяции>. В основе его реализации лежит набор алгоритмов, полученных на этапах анализа процессов предметной области (постановки задачи), моделирования и детального проектирования программного средства {параграф 4-І)- Перечислим основные из них.
Алгоритм 1. Общий алгоритм работы программного комплекса. Это укрупненный алгоритм, согласно которому программный комплекс функционирует и взаимодействует с Пользователем.
Алгоритм 2. Алгоритм, согласно которому комплексом производится
ВВЕДЕНИЕ
конструирование модели (В, 5)-рынка с произвольным ЧИСЛОМ скупщиков.
Алгоритм 3. Порядок ведения финансовых расчетов.
Алгоритм 4. Определение приоритетных, неприоритетных и усредненного скупщиков.
Программный комплекс разбит на основное ядро и модули (параграф 4-2). Ядро программы предоставляет базовый функционал, необходимый для работы (: дискретными структурами финансовых рынков. Модули реализуют алгоритмы для работы с конкретными моделями (/?. *9)-рынков. Реализовано прозрачное взаимодействие ядра и модулей посредством класса «Абстрактная модель». При таком подходе ядро комплекса we знает с какой конкретно моделью оно работает. Это значительно упрощает расширение комплекса новыми моделями финансовых рынков. После того как пользователь сконструировал модель, комплекс начинает взаимодействовать с конкретным модулем (через абстрактную модель)-^
Для конструировании моделей создан специальный расширяемый «мастер», позволяющий производить пошаговый диалог с пользователем программы. Дополнительное расширение функциональности «мастера> проігзво-дится с помощью специальны* внешних справочников. Каждый справочник представляет собой XML файл, в который заложена реализация определенного алгоритма. Автором настоящей работы были разработаны справочники, реализующие алгоритмы определении приоритетных и неириоритотных скупщиков, а также генераторои случайных чисел. Работа с исполнимым кодом справочников организована с помощью технологии QtScript библиотеки Qt4, позволяющей исполнять внешние сценарии в среде основного приложения. Справочники также содержат правила задания параметров, являющихся для реализуемых алгоритмов исходными данными, и устанавливают значения ре-
ВВЕДЕНИЕ
зультируюншх переменных. Таким образом, логика, связанная с переходом от бесконечномерной модели к конечномерной, вынесена из основное программы. Последнее легко позволяет расширять функциональность программного
комплекса путем добавления новых справочников и испольювать наработанную технологию при реализации новых моделей финансовых рынков.
Реализация программного комплекса выполнена с помощью кроссплат-формеиной библиотеки QM в её расширений. В качестве основного языка программирования выбран объектно-ориентированный язык С+-+. Для решения задач оптимизации используется сторонняя библиотека GI.PK, написанная на языке Си. Для построения графиков используется сторонняя библиотека Qwt (написана на С+4- с использованием Ql4J. Таким образом, удалось получить программный комплекс, отвечающий созременным требованиям, предъявляемым к программному обеспечению, таким как: функционирование на ряде популярных программных платформ (Windows, Linux, Mac OS X), высокая производитслыюсть, эргономичный пользовательский интерфейс. Программный комплекс успешно справляется с вычислениями в рамках рассмотренных моделей финансовых рынков {параграф 4-3) и может быть расширен новыми моделями.
Наконец, кратко опишем содержание главы 2, в которой содержатся основные теоретические результаты диссертации.
В параграфе 2.1 для статической (то есть одношаговой) модели финансового рынка с бесконечным числом состояний вводится новое важное интер-нолядиошюе понятие: усиленное свойство хааровской единственности мартин гальной меры (УСХЕ). Отметим, что это понятие является новым н для моделей с конечным числом состояний, но в этих моделях оно играет мснь-иую роль, чем в бесконечномерных моделях. Основным результатом данно-'О параграфа является теорема 2.2, в которой описываются условия на
рынок, обеспечивающие выполнение УСХЕ для любой мартин гал ьной меры рассматриваемого рынка. Выполнение этих (часто реализующихся) условий обеспечивает возможность интерполяции безарбитражных и неполных финансовых рынков безарбитражными и полными рынками {относительно специальной хааровской фильтрации с бесконечным горизонтом). В параграфе 2.2 выводятся формулы совершенного хеджирования ограниченных (и более общих) финансовых обязательств на полученном интерполирующем рынке. В параграфе 2,3 результаты параграфа 2.1 обобщаются для динамических (то есть многошаговых) моделей финансового рынка с бесконечным числом состоянии. При этой впервые применено интерполирование дисконтированных дисконтированных цен акций скачкообразны ми мартингалами с непре-
рывным временем
