Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Основные определения и факты 8
1.1. Финансовые рынки 8
1.2. Стохастическая модель (В,8)-рынка 12
1.3. Элементы дискретного стохастического анализа 14
ГЛАВА 2. Общая модель ценообразования со скупкой акции 22
2.1. Описание модели 23
2.2. Модель Кокса-Росса-Рубинштейна с "жесткой" скупкой акции 25
2.3. Вычисление интервала справедливых цен для модели Кокса-Росса-Рубинштейна с "жесткой" скупкой акции 28
2.4. Вьмисление среднеквадратичного хеджа. Случай мартингальной меры 36
2.5. Вьиисление среднеквадратичного хеджа. Случай немартингальной меры 41
2.6. Сопоставление исследуемой модели с моделью Кокса-Росса-Рубинштейна 44
2.7. Модель с динамически изменяющимися параметрами 46
2.8. Вычислительный эксперимент 48
2.9. Выводы ко второй главе 52
ГЛАВА 3. Стационарная модель ценообразования со скупкой акции 53
3.1. Стационарная модель ценообразования при отсутствии скупки акции 53
3.2. Экстремальная мартингальная мера для вычисления верхней цены финансового обязательства 56
3.3. Экстремальная мартингальная мера для вычисления нижней цены финансового обязательства 62
3.4. Явные выражения для верхней и нижней цен финансового обязательства, для верхнего и нижнего хеджей 66
3.5. Расчет верхней и нижней цен, верхнего и нижнего хеджей для немарковского финансового обязательства 71
3.6. Вычисление среднеквадратического хеджа при помощи экстремальной мартингальной меры 77
3.7. Квартальное хеджирование для одношаговой модели 83
3.8. Модель со скупкой акции 89
3.9. Пример расчета 92
3.10. Пример расчета по реальным данным 94
3.11. Пример расчета среднеквадратического хеджа для экстремальной мартингальной меры 96
3.12. Основные выводы по третьей главе 97
Заключение 98
Приложение 100
Список литературы
- Стохастическая модель (В,8)-рынка
- Элементы дискретного стохастического анализа
- Вычисление интервала справедливых цен для модели Кокса-Росса-Рубинштейна с "жесткой" скупкой акции
- Экстремальная мартингальная мера для вычисления нижней цены финансового обязательства
Введение к работе
Актуальность темы. Начиная с семидесятых годов, стохастические методы начали интенсивно использоваться для моделирования таких финансовых явлений, как цены акций, облигаций, банковских счетов. В результате появилась возможность более точных расчетов вторичных финансовых инструментов (опционов, фьючерсных контрактов и т.д.). Потребности финансовых рынков в этих расчетах, с одной стороны, и развитие математического аппарата, с другой, сделали это направление исследований одним из наиболее бурно развивающихся направлений математического моделирования и вычислительной техники.
Целью исследования является получение исчерпывающих результатов для рассматриваемых двух (стационарной и не стационарной) моделей. Исходя из цели исследования, в диссертации решаются следующие задачи:
формальное описание исследуемых моделей;
вычисление верхней и нижней цены финансового обязательства;
вычисление верхнего и нижнего хеджа;
вычисление среднеквадратичного хеджа;
вычисление квантильного хеджа;
разработка программного обеспечения расчетов.
Введение
Общая характеристика диссертации. Настоящая диссертация
посвящена моделированию и исследованию финансовых рынков. В ней
систематически используется идеология и технические средства
стохастической финансовой математики, призванной исследовать свойства
финансовых структур и оптимизировать процесс распоряжения
финансовыми ресурсами с учетом факторов времени, риска и случайного характера окружающей среды. Кроме того, аналитическим аппаратом, примененным в диссертации, являются конечный стохастический базис. Инструментом исследования являются стохастический анализ, математическое программирование и структуры данных.
В диссертации рассматриваются две модели финансового рынка, для которых рассчитываются различные виды хеджирующих стратегий. В одной модели учитывается "жесткая" скупка акций на финансовом рынке и возможность падения или роста стоимости акции, то есть на каждом шаге атом разбиения соответствующей конечной сигма-алгебры либо дробится на три атома, либо сохраняется, причем процесс доходности акции может быть нестационарным процессом. Другая модель описывает эволюцию стоимости акции, причем на каждом этапе существуют m возможных вариантов поведения акции, то есть на каждом шаге атом разбиения соответствующей конечной сигма-алгебры либо дробится на m атомов, либо сохраняется. При этом предполагается стационарность процесса доходности акции.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем работы 137 страниц, в диссертации содержится 14 таблиц, 14 рисунков.
В начале первой главы приводится история возникновения стохастической финансовой математики. Довольно подробно эвристически описывается понятие финансового рынка (что мы под этим понимаем), а также указывается, какие ограничения мы на него накладываем. Вводятся понятия основных элементов и инструментов финансового рынка.
Введение
После этого формулируется понятие стохастического базиса на фильтрованном вероятностном пространстве. Определяется (B,S)-pbiHOK и его элементы, после чего дается определение верхнего, нижнего и квантильного хеджей, а также верхних и нижних цен финансового обязательства.
Завершает первую главу описание биномиальной модели (B,S)-pbiHKa типа Кокса-Росса-Рубинштейна [74] (в дальнейшем будем писать К-Р-Р).
Во второй главе рассматривается модель ценообразования со скупкой акций, в которой возможны три варианта поведения цены акции: цена акции возрастает на предсказуемую величину, цена акции убывает на предсказуемую величину, акция скупается (акция начинает вести себя как банковский счет во все оставшиеся моменты времени). В начале главы решается задача вычисления интервала справедливых цен, а также верхнего и нижнего хеджа без использования такого важного в стохастическом исчислении объекта как мартингал. Демонстрируется возможности сочетания линейного и динамического программирования для решения подобного рода задач. Далее описывается множество мартингальных мер для изучаемой модели и доказывается, что это множество параметризуется предсказуемой последовательностью. Получены формулы для вычисления мартингальных мер, в которых используется параметризующая последовательность. Благодаря этому результату, найден интервал справедливых цен и построены верхний и нижний хеджи. Особо отметим, что при вычислении интервала использовалась техника вычисления оптимального в среднеквадратическом смысле хеджа. В следующем пункте решается задача среднеквадратического хеджирования для немартингальной меры. Далее сопоставляется исследуемая модель с моделью К-Р-Р. В результате чего делается вывод, что для исследованной модели верхняя цена выпуклого марковского финасового обязательства совпадает со справедливой ценой для модели К-Р-Р. Далее рассматривается реализация модели с динамически изменяющимися
Введение 7
параметрами. Для этой модели разработано программное обеспечение, в котором использована специально подобранная структура данных. В главе приводятся результаты вычислительного эксперимента.
В третьей главе исследуется стационарная модель ценообразования со скупкой акции. Прежде всего, приводится формальное описание модели. Далее рассматривается стационарная модель ценообразования при отсутствии скупки акции. Конструируются экстремальные мартингальные меры для вычисления верхней и нижней цен марковского выпуклого финансового обязательства, рассчитываются верхний и нижний хеджи, причем получены явные формулы для верхней и нижней цен и составляющих оптимальных портфелей. Показано, что для рассматриваемого случая они совпадают с формулами К-Р-Р. Получены явные выражения для верхней и нижней цен финансового обязательства, а также для верхнего и нижнего хеджей для одного немарковского финансового обязательства. Далее рассматривается задача среднеквадратического хеджирования для немартингальной меры. Предложен оригинальный подход для ее решения, использующий экстремальную мартингальную меру. Затем рассматривается квантильное хеджирование для одношаговой модели. Полученные результаты распространяются на модель с жесткой скупкой акций. Для этой модели также разработано программное обеспечение. В главе приводятся результаты вычислительных экспериментов.
В заключении приводятся и комментируются результаты, выносимые на защиту. В приложении приводятся коды программ и комментарии к ним. Основные положения диссертации опубликованы в 10 работах [3], [4], [5], [6], [7], [8], [22], [23], [24], [25] и доложены на 4 конференциях. В совместных работах на долю соискателя приходится 70%. Список литературы содержит 95 наименование.
Стохастическая модель (В,8)-рынка
Начиная с семидесятых годов прошлого столетия стохастический анализ начал использоваться как весьма эффективный инструмент математического моделирования при объяснении таких явлений как эволюция цены рисковых активов. Далее появилась возможность привлечь стохастический анализ для расчетов вторичных финансовых инструментов (опционов, форвардных и фьючерсных контрактов).
Затем на языке стохастического анализа удалось описать такие чисто экономические элементы как полнота и арбитраж. Такое стало возможным в результате многочисленных исследований поведения рисковых активов, которые выявили хаотичность в эволюции цен, их по настоящему случайный характер.
Основоположником стохастической финансовой математики по праву считается Л. Башелье [70], который использовал математическое описание броуновского движения в качестве модели для описания динамики цен и применил его для расчета цены опциона. Основной недостаток модели Башелье, заключавшийся в возможной отрицательности цен акций, был устранен известным экономистом Самюэлсоном [90],. предложившим для этих цен геометрическое броуновское движение. Ныне эта модель носит имя Блэка и Шоулза [71], которые получили точные формулы для расчета справедливой цены и хеджирующих стратегий для опционов европейского типа.
Принимая во внимание тот факт, что цены акций в любой момент времени либо поднимаются вверх, либо опускаются вниз, Кокс, Росс и Рубинштейн предложили считать эти изменения дискретными и ввели в рассмотрение биномиальную модель финансового рынка. Ими было показано, что рассматриваемая биномиальная модель является дискретным аналогом геометрического броуновского движения. Эти ставшие классическими работы явились непосредственной базой для применения и развития методов современного стохастического анализа в математической теории финансов. Нельзя не согласиться с А.Н. Ширяевым [67], что "биномиальная модель Кокса-Росса-Рубинштейна...играет в финансовой математике роль, сходную со схемой Бернулли в классической теории вероятностей— будучи весьма простой, эта модель дает возможность полного расчета многих финансовых характеристик, например, справедливых цен опционов, хеджирующих стратегий и др.". Большую роль в развитие финансовой математики внесли российские ученые такие, как А.Н. Ширяев, А.В. Мельников, Д.О. Крамков и другие [43], [37], [43], [45], [47], [49], [53], [64], [68], [69]. Именно поэтому математики, занимающиеся исследованием финансового рынка, уделяют ей довольно большое внимание и на основе этой модели строят более сложные. "Неопределенность", возникающая на рынке, может быть описана как "случайность" в рамках базовой вероятностной модели, являющейся фильтрованным вероятностным пространством, называемым также стохастическим базисом: (Q, (F )" 0, F, Р), где N -финальный момент времени, до которого включительно рассматривается поведение акции, и производятся расчеты (в нашем исследовании N оо ); Q-пространство, состоящее из элементарных событий со, понимаемых как различные состояния рынка; F-cr-алгебра подмножеств пространства элементарных событий (совокупность всех событий, наблюдаемых на рынке до момента N включительно); Р -вероятностная мера на F; (F„ ) , -возрастающая последовательность т -подалгебр а -алгебры F, где F0 ={П,0},..., FN=F, а каждая х-алгебра Fn интерпретируется как информация о событиях, происходящих на рынке до момента п включительно.
Элементы дискретного стохастического анализа
"Неопределенность", возникающая на рынке, может быть описана как "случайность" в рамках базовой вероятностной модели, являющейся фильтрованным вероятностным пространством, называемым также стохастическим базисом: (Q, (F )" 0, F, Р), где N -финальный момент времени, до которого включительно рассматривается поведение акции, и производятся расчеты (в нашем исследовании N оо ); Q-пространство, состоящее из элементарных событий со, понимаемых как различные состояния рынка; F-cr-алгебра подмножеств пространства элементарных событий (совокупность всех событий, наблюдаемых на рынке до момента N включительно); Р -вероятностная мера на F; (F„ ) , -возрастающая последовательность т -подалгебр а -алгебры F, где F0 ={П,0},..., FN=F, а каждая х-алгебра Fn интерпретируется как информация о событиях, происходящих на рынке до момента п включительно.
Последовательность {Sn)Nn Fn-измеримых строго положительных случайных величин будем интерпретировать как последовательность цен акций („-цена акции в момент времени п). Другую строго положительную последовательность [Вп) 0 понимают как стоимость банковского счета в момент времени гг. В большинстве случаев последовательность {Вп)п=0 считается детерминированной.
Рынок, определяемый последовательностями (Sn) и (Вп), будем называть (B,S) -рынком.
Обозначим через Рт -количество единиц банковского счета, а через уп количество акций в момент времени п. Инвестиционная стратегия (или портфель) л определяется как двумерная предсказуемая последовательность (;кЛ ДХ=о (то есть Д, и уп являются Fn_x -измеримыми).
Капитал портфеля л--это последовательность случайных величин С ТдІо» задаваемая формулой X =РВ +у S +g (1.1) где (gn)"=0-некоторая адаптированная к ( последовательность. С портфелем п и капиталом Х"п непосредственно связано условие финансирования портфеля: U +сп_, =PnBn-i+7nSn где (с„)"=1 - некоторая адаптированная к ( )последовательность. В состав (с„)"ж1 обычно входят инвестиции, потребления, операционные издержки; {g„X=Q включает дивиденты, премии на страховые полисы и выплаты по полисам.
Рассмотрим подробнее, как происходит формирование портфеля я. Начальный капитал в момент времени «=0 имеет вид: x;=/30B0+ros0.
При переходе к следующему моменту времени w=l под воздействием различного рода обстоятельств капитал Х% может измениться и принять значение XI Л-с,, где с,-случайная величина. В зависимости от знака с, капитал может увеличиться, уменьшиться или остаться прежним (при с,=0).
Стремясь получить к моменту п=\ как можно больший капитал Хх , производят различные финансовые операции (продают одни акции, покупают другие, вносят изменения в банковский счет), тем самым модернизируя структуру портфеля. То есть, непосредственно перед объявлением новых цен на акции (перед моментом и=1) портфель будет состоять из Д единиц банковского счета и ух акций. Таким образом, x;+cx=/3xB0 + yxs0. Сразу после объявления новых цен на акции и процентного начисления на банковский счет в момент п—\ происходит добавление (или изъятие) суммы gx, после чего капитал портфеля принимает вид: xx =/3xBx + yxsx + gl. Таким образом, в промежутки времени между моментами п-\ и п капитал Х п_х изменяется на значение случайной величины gn и происходит перераспределение портфеля так, что ::.+ .=ДА..+гА-,. В момент п капитал портфеля выражается формулой (1.1).
Вычисление интервала справедливых цен для модели Кокса-Росса-Рубинштейна с "жесткой" скупкой акции
Допустим, выполнены условия: (к) (к) l)sn =Sn+\ = 1,...,2"-1,л = 1,.„,#-1; 2) Ci „ d = 0,...,2"-1,и = 0,...,ЛГ-1; то есть, рассматриваемый рынок является безарбитражным (теорема 2.2). Поскольку множество мартингальных мер, эквивалентных исходной мере, содержит более одной меры (мартингальные меры удовлетворяют соотношениям (2.4)), то рассматриваемый рынок является неполным. Рассмотрим дисконтированное, неотрицательное и ограниченное финансовое обязательство fN eFN. Теорема 2.3. [73] Интервал справедливых цен 7(Л)«\lEpfN vEpfN .
Приближенное равенство между множествами означает, что внутренность и граница множеств совпадает. R -множество мартингальных мер (риск-нейтральных мер) эквивалентных исходной мере. Величина С, =inf EpfN, называется нижней ценой дисконтированного финансового обязательства fN, С = sup EpfN называется верхней ценой І єК дисконтированного финансового обязательства fN. Рассмотрим портфель n = (yn,pn)Nn , уп и рп- предсказуемые случайные последовательности. Дисконтированный капитал портфеля X" = ynSn + рп. В начале рассмотрим портфель с потреблением: Yn&„ AY . Теорема 2.4. [67] Верхняя цена дисконтированного финансового обязательства C =minX;, (2.5) о г при ограничениях: Гп&п Ах;, x; fN. Отметим, что оптимизационная задача (2.5) является двойственной по отношению к задаче вычисления sup EpfN. PzR
Для решения задачи (2.5) применим метод динамического программирования [1]. Определим случайную адаптированную последовательность v% = ( СГ=о: К =Л; К =mAnJC ПРИ ограничениях: ук/!&к А ;,А:=«+1,...Д, XKN fN. Здесь ги+1 = (уя+1,..., г„ ). Верхняя цена fN- С = Г0 . Теорема 2.5. Для n = 0,...,N — 1 =111111 , яри ограничениях: Доказательство. Рассмотрим две задачи: при ограничениях: minX;, (2.6) r"+1 у ,AS ,+Х Ґ IH-1» minX (2.7) г при ограничениях: rAASA дг;,=и+ид, Л Пусть й - решение задачи (2.6) последовательность: ХЦ =WHtXk =Vktk = n + lt...,N является допустимой для задачи (2.7). Следовательно Wn V . Пусть решение задачи (2.7) достигается на последовательности X" = V ,Xk =Zk,k = n + \,...,N, то есть V - решение задачи: minX;, (2.8) „и+1 при ограничениях: r„+1AS„+1+x; z„+1, 31
Из определения последовательности V" следует, что Zn+1 V nJrX. Сравнивая (2.6) и (2.8), делаем вывод, что Wn V n. Тем самым, теорема доказана.
Теорема 2.5 позволяет предложить следующий алгоритм решения задачи. Алгоритм 2.1. 1. Инициализация. Полагаем n = N, V = fN. 2. Итерация. Если п = 0, то переходим к 3. Решаем задачу (2.6), полагаем п = п-\ и переходим к2. 3. Остановка. Решение задачи (2.6). Рассмотрим атом AeFn (рис.2.3). шіпХ:(А), (2.9) при выполнении ограничений: r„+,MASn+I (A)+X;(A) V:XA) Поскольку ASn+i (А) = 0, то решением задачи (2.9) будет V {А)= V +X (А) при произвольном /п+1 (А). (2.10) Положим / П+1(А)=0. Рассмотрим атом B&Fn (рис.2.3). В соответствии с дроблением требуется найти mmX:(B), (2.11) при выполнении ограничений: rjB)ASa+l(Bl) + X:(B) V:XB1), X:(B) V;+1(A), rn+l(B)ASa+,(B2)+x;(B) v;+i{B2y
Напомним, если акция скупается в момент времени / є \п,п +1) по цене, объявленной в момент времени п, то далее она функционирует как банковский счет (переход В- А на рис.2.3). Это объясняет вид второго неравенства задачи (2.11).
Экстремальная мартингальная мера для вычисления нижней цены финансового обязательства
Имеется интервал справедливых цен [ С,,С J. Выбор цены хеджирования вне этого интервала будет означать возникновение арбитражных возможностей, либо для продавца опциона [С С J, либо для покупателя опциона {С С„). Допустим, выбрана цена опциона С из интервала _С,,С J, причем СФС С С . Если выполняется одно из этих равенств, то решение такой задачи приведено в параграфе 3.2 (С = С ) или 3.3 (С = С). Итак, если С є\С,,С ), то возможны две постановки задачи оптимального хеджирования.
Хеджирование, связанное с минимизацией критерия по самофинансируемому портфелю с начальным капиталом равным х0 = С. Для критерия Ер \fN - X N задача оптимального хеджирования выглядит следующим образом: rmnEp\fN-X;\,x0=C. (3.68)
Поскольку, как это было показано в предыдущем параграфе, оптимальный портфель не зависит от начального капитала, то для ее решения можно воспользоваться результатами предыдущего параграфа.
Рассмотрим вторую постановку задачи, которая в литературе по финансовой математике [46], [52] называется квантильным хеджированием. Введем следующие обозначения. Через D(x,K,fN)eFN обозначим случайное событие, состоящее в том, что XI = х, XnN fN. Назовем D—множеством успешного хеджирования.
Будем стремиться к тому, чтобы при ограничении х С вероятность рассматриваемого случайного события была максимальной. Таким образом, возникает следующая оптимизационная задача: Глава 3 84 P{D{x,7r,fN)) - max, (3.69) х,ж при ограничении х С. Определим допустимый портфель ж через динамику капитала портфеля [77]: АХ -J = y„ASn -AJn и X = ynSn + рп, где J„ -случайный процесс, согласованный с фильтрацией ( „)л=0, причем J0 = 0, А/я 0.
Обобщим лемму, приведенную в работе [46] на случай безарбитражного и неполного рынка. Теорема 3.14. Пусть случайное событие D FN является решением следующей задачи: /»())- max, (3.70) при выполнении ограничения vvEqfNID C. qeR Тогда стратегия п, капитал которой Xя/ = fNlb, Хп =sup\hqjNI frlFn) а рисковая составляющая Уп получается из опционального разложения: bXnn J = y„ASn -AJn, является решением задачи
(3.69). Доказательство.
Рассмотрим произвольную допустимую стратегию ж с начальным капиталом х С. Поскольку капитал этой стратегии является супермартингалом относительно любой меры q є R, то \/q&R выполняется неравенство: х EqX N . Для множества D, такого, что X N J fNID, x EqfNID. Следовательно, supEqfNID С. То есть, выполнено ограничение задачи (3.70). Таким образом, любое допустимое решение для задачи (3.69) является допустимым решением и для задачи (3.70). Глава 3 85 Пусть Ь - решение задачи (3.70) и пусть Л -множество успешного хеджирования для стратегии ж . Если у є А , тоХ "7 fN. Отсюда следует, что fN (й))15 (co) fN {со), а это возможно, когда со є D . Значит /ей. Пусть со є D, тогда Хж/(а)) = fN(co)l5(й)) = fN(co), следовательно D с А . То есть D = A . Отсюда можно сделать вывод о том, что D является решением задачи (3.69). Тем самым, теорема доказана. Рассмотрим одношаговую модель. Пусть известна стоимость акции в начальный момент времени - S0y si = (1 + Pi)So, А е A = {ах,а2,...,ат}, Р(рх = at) = р.- произвольное распределение вероятностей, финансовое обязательство f(Sx) — выпуклая и неубывающая функция.
Для вычисления оптимального квантильного хеджа, в соответствии с теоремой (3.14) необходимо решить задачу: / ( )-ялах, (3-71) при ограничении sup/((l + / 0) C. q&R Пусть D с Л-решение задачи (3.71). Определим структуру множества D. Для этого рассмотрим задачу линейного программирования: max ±f(S0(l + а))іЯі, (3-72) ч м = 0,tf,gZ) т U,eD ы ы Выберем в качестве базисных переменных qt и qr (/ г, а, 0, аг 0). В А.г + 0 - ai,r )а, Д,г+0-Д/,гК результате: Яг = , Я і ar -a,
