Исследование общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна Кондратьева Татьяна Николаевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Глава 1. Общая модель Кокса-Росса-Рубинштейна . 19

1.1 Анализ общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна. 20

1.2 Безарбитражный и полный рынок. 23

1.3 Безарбитражный и неполный рынок. Верхняя цена . 26

1.4 Модель Кокса-Росса-Рубинштейна с жесткой скупкой акции. 31

1.5 Безарбитражный и неполный рынок. Нижняя цена. 34

1.6 Арбитражный рынок. 36

1.7 Реализация модели арбитражного рынка. 40

2. Глава 2. Общая модель Кокса-Росса-Рубинштейна с шумом . 50

2.1 Координатное представление общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна. 51

2.2 Исследование общей модели с шумом. 54

2.3 Хеджирование в среднем. 58

2.4 Классическая модель Кокса-Росса-Рубинштейна с шумом. 63

2.5 Вычисление оптимального хеджа для европейского опциона колл. 68

3. Глава 3. Оценка параметров модели. 73

3.1 Максимально правдоподобное оценивание. 74

3.2 Максимально правдоподобная оценка параметров смеси двух нормальных законов распределения. 81

3.3 Функция ошибок и оценка параметров модели. 83

3.4 Непараметрическая схема оценки параметров модели. 85

Заключение 101

Литература 103

Приложение 114

• Безарбитражный и неполный рынок. Верхняя цена
• Безарбитражный и неполный рынок. Нижняя цена.
• Классическая модель Кокса-Росса-Рубинштейна с шумом.
• Максимально правдоподобная оценка параметров смеси двух нормальных законов распределения.

Введение к работе

Исследование посвящено общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна и общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна с шумом. Предлагаемые модели обобщают известную модель Кокса-Росса-Рубинштейна, причем модель с шумом является примером модели с дискретным временем и континуальным пространством состояний.

Основным инструментом исследования является стохастический анализ и применяется идеология стохастической финансовой математики.

Изучая введенные нами модели (B,S) - рынка, мы решали задачу фитинга модели, исследовали вопросы полноты и беарбитражности рынка, определяли стратегии оптимального распределения финансовых ресурсов на рынке, сопоставляли полученные формулы с известными формулами Кокса-Росса-Рубинштейна, применяли результаты для работы с реальными данными.

Далее приводятся основные определения и обзор результатов, по затронутым в диссертации вопросам.

0.1. Основные финансовые инструменты, фигурирующие в исследовании.

Дадим основные определения и краткую характеристику используемых далее понятий. Более подробное описание финансовых инструментов может быть найдено в [68].

Финансовый рынок. На финансовом рынке в распоряжении инвестора имеются акции, облигации, производные ценные бумаги(опционы, фьючерсы и др.).

На рынке его участники производят различного рода финансовые операции, используя финансовые инструменты. Участники финансового рынка - это финансовые компании, банки, другие финансово-страховые структуры, не исключая индивидуумов, ставящие перед собой цель получать как можно большую прибыль при как можно более низком риске. В результате для каждой сделки мы наблюдаем двухкритериальную проблему с двумя критериями антагонистами: ожидаемая прибыль и риск. Как правило, чем выше ожидаемая прибыль, тем выше риск.

Для разрешения этой дилеммы применяются различные подходы. Среди наиболее известных - диверсификация по Марковичу и применение производных ценных бумаг, называемых опционами и фьючерсами.

Опционы - производные ценные бумаги некоторого актива. Опционы типа call позволяют его владельцу купить актив по фиксированной цене не позже определенной даты (американский опцион) или на момент такой даты (европейский опцион). Опционы типа put позволяют продать актив по фиксированной цене не позже определенной даты (американский опцион) или на момент такой даты. В отличии от фьючерса опцион в зависимости от ситуации на рынке может быть предъявлен или не предъявлен к исполнению. Ситуация, связанная с опционом типа call европейского типа изображена на рис.01.

На рис. 01: ось абсцисс соответствует стоимости акции, ось ординат - цена, по которой акция покупается. Пунктирная линия изображает зависимость цены акции при отсутствии опциона. Сплошная линия изображает зависимость при наличии опциона. К - договорная цена покупки акции.

Продавец опциона освобождает инвестора от риска превышения стоимости акции заранее оговоренной цены. Естественно, что за такую услугу продавец должен взять определенную сумму - цену опциона. При этом выглядит естественным желание продавца определить ту минимальную цену, при которой он сможет выполнить взятые на себя обязательства. Понятно, что и покупателю необходимо знать верхний порог цены, превышение которого делает приобретение опциона невыгодной для него сделкой. Естественно, что интересы продавца и покупателя противоположны. Отсюда вытекает необходимость определения и вычисления справедливой цены опциона.

В настоящее время усилиями как зарубежных, так и отечественных исследователей математическая теория расчета справедливой цены опциона хорошо развита. По этому далее мы приведем основные результаты, которые используются в нашем исследовании.

Прежде всего, дадим определение двум центральным объектам.

Акция - это долевая, ценная бумага, выпускаемая корпорациями, компаниями, фирмами с целью накопления капитала. Акции могут быть самых разнообразных видов, которые различаются по способу выплаты дивидендов. Мы не будем останавливаться на этих, для нас несущественных подробностях. Отметим лишь важный для нас момент. Многих инвесторов интересует не дивиденды, а возможность заработать деньги на изменении цен. Следовательно, акции постоянно присутствуют на рынке, и их цена является случайной величиной. Этот актив далее мы будем называть рисковым активом.

Банковский счет может рассматриваться как бумага, суть которой состоит в том, что банк обязуется выплачивать по банковскому счету определенный процент от суммы счета. Для нас важно то, что банковский счет является величиной детерминированной. Далее этот актив мы будем называть безрисковым активом.

Банковский счет и акция достаточно универсальный инструментарий для описания разнообразных ситуаций, возникающих на финансовом рынке. Например, отношение между долларом и рублем можно описать в этих инструментах, если под банковским счетом понимать рубль, а под акцией - доллар.

По этой причине исследование рынка, состоящего из банковского счета и акции, имеет не только теоретическое значение. Этот объект, который мы будем называть (В,S) - рынком, далее будет основным элементом нашего внимания.

Реальная работа на финансовом рынке предполагает выполнение определенных расчетов. Расчеты базируются на состоятельном в статистическом смысле прогнозе. Без этого невозможно определить оптимальную стратегию инвестиций. Это невозможно сделать без определенных предположений о характере рынка.

К этим предположениям относятся предположения:

1. Не учитываются «скрытые» параметры типа человеческих мотивов поведения.

2. Предполагается, что дальнейшая динамика рынка примерно совпадает с динамикой поведения рынка в прошлом (с учетом изменений, происходящих на рынке в настоящий момент). Это позволяет допустить, что различные показатели рынка можно рассматривать как случайные величины, что, в свою очередь, предопределяет использование стохастических методов анализа.

3. Имеется возможность накапливать информацию об анализируемом финансовом инструменте, то есть использовать методы математической статистики для оценки параметров модели.

Перечисленные предположения позволяют строить научно-обоснованные технологии принятия решений с использованием математики и компьютерной техники.

Одной из реализаций высказанных выше предположений была гипотеза поведения цен как случайного блуждания, которая была далеко не сразу принята как экономистами, так и математиками [65], [72], [73], [74], но именно она принесла наибольшие плоды и легла в основу современной концепции эффективного или рационального рынка.

Концепция эффективного рынка описывается следующими правилами:

1. Мгновенно производится коррекция цен как результат изменения ситуации на рынке.

2. Участники рынка одинаково интерпретируют информацию, которая доступна всем без исключения, мгновенно изменяя свои решения при обновлении этой информации.

3. Участники рынка преследуют свои цели, которые имеют объективный «эгоистический» характер, что позволяет анализировать его индивидуальное поведение, используя его конкретные и наблюдаемые реакции.

Эти предположения, выраженные в словесной форме, позволяют использовать математические методы при построении теории расчетов на финансовых рынках. Как уже говорилось ранее основным аппаратом, который используется в этой теории, является стохастический анализ [23],[38],[42].

0.2 Стохастическая модель (В,S)-рынка.

Начиная с семидесятых годов прошлого столетия, стохастический анализ начал использоваться как весьма эффективный инструмент математического моделирования при объяснении таких явлений как эволюция цены рисковых активов. Далее появилась возможность привлечь стохастический анализ для расчетов вторичных финансовых инструментов (опционов, форвардных и фьючерсных контрактов). Затем на языке стохастического анализа удалось описать такие чисто экономические элементы как полнота и арбитраж. Такое стало возможным в результате многочисленных исследований поведения рисковых активов, которые выявили хаотичность в эволюции цен, их по настоящему случайный характер.

Основоположником стохастической финансовой математики по праву считается Л. Башелье, который использовал математическое описание броуновского движения в качестве модели для описания динамики цен акций и применил его для расчета цены опциона. Его работа была опубликована в 1900 году [72]. Основной недостаток этой модели заключался в том, что в ней присутствовала возможность появления отрицательной цены акции. По этой причине работа не была по достоинству оценена в течение долгого времени. Лишь в середине 60-х годов прошлого столетия работа получила заслуженное признание в связи с исследованиями известного экономиста П. Самюэльсона, который ввел определение геометрическое броуновское движение и устранил основной недостаток модели Башелье [91]. На основе этой модели в 1973 году Блэк и Шоулс получили точные формулы расчета справедливой цены опциона и хеджирующих стратегий для опционов европейского типа [73]. Для дискретного времени аналогичную модель построили Кокс, Росс и Рубинштейн [74].

Основным элементом вероятностной модели является стохастический базис (Q,Fn,F,Pjh=o, где

N - финальный момент эремени, до которого включительно рассматривается поведение акции, и производятся расчеты (в нашем исследовании N °°); ,

Q - пространство элементарных событий со, соответствующих всевозможным состояниям рынка; / F - а-алгебра случайных событий наблюдаемых на рынке до финального момента включительно" Р - вероятностная мера на F; { пХ=о " возрастающая последовательность а-подалгебр ст алгебры F, где F0 = {р,0}, FN = F, при этом каждый элемент последовательности интерпретируется как совокупность всевозможных событий, которые происходят на рынке до момента п включительно.

Последовательность {Sn\=0 Fn-измеримых случайных величин, которая интерпретируется как цена акции. Естественно потребовать, чтобы Vn:Sn 0 i -почти наверное. Адаптированность или / -измеримость обозначает, что цена акции полностью определяется состоянием рынка на момент времени п, то есть не зависит от будущего развития событий.

Другую адаптированную к ( ,)и=0 последовательность (В„Уп=0, удовлетворяющую условию положительности мы будем рассматривать как цену банковского счета. В большинстве случаев эту последовательность считают детерминированной или предсказуемой, то есть в момент времени п известно значение В„. Заметим, что для наших технологий последнее предположение не является предопределяющим. Однако, отдавая дань традиции, будем считать цену банковского счета детерминированной последовательностью.

Двумерную Fn_x -измеримую последовательность (їй»Ри =i (предсказуемую последовательность) будем называть портфелем тт. В этой последовательности уп - количество акций, Рл - количество единиц банковского счета. Мы не будем накладывать ограничений на значение у„ и Ря. Следовательно, мы предполагаем, что имеется возможность брать «взаймы» и акции вместе с банковским счетом являются безгранично делимыми. Fn_l -измеримость означает, что портфель (у„,Р„)формируется в момент времени п-1.

Капитал портфеля тг - это последовательность, которая в самом общем виде определяется соотношением:

X: = ynSn+PnBn+un, (0-1) где ("и)л=1 - адаптированная последовательность. С портфелем ж и капиталом X непосредственно связано условие финансирования портфеля; i+ 1=7 ,+ .4. (02) ф где (g„\=1 - адаптированная последовательность. В равенствах (0.1) и (0.2) в состав gn обычно входят инвестиции, потребления, операционные издержки; ип включает дивиденды, премии на страховые полисы и выплаты по полисам.

Соотношения (0.1) и (0.2) приводят непосредственно к следующим равносильным условиям: • и-і Ри +• n-іДУи = Sn-i+un-i (балансовое соотношение), АХп =РЯЛЯИ +Y„AS„ +gn.x +ип (приращение капитала), \ (X. \BnJ = У„А KBnJ + + — - (приращение дисконтируемого /1 — 1 и (0.3) капитала).

Напомним, что все соотношения понимаются Р -почти наверное. Доказательство этого факта можно найти в [33].

Если gn = 0 и ип - 0, то портфель называется самофинансируемым.

Следующим важным понятием является арбитраж. Арбитраж на рынке предполагает возможность получения прибыли без риска. То есть более строго существует такой портфель к с начальным капиталом XQ = 0, для которого X 0 Р -почти наверное и Р(Х 0) 0.

Остановимся теперь несколько подробнее на опционе. Опцион характеризуется двумя элементами: ценой и платежным обязательством, которое берет на себя продавец опциона. Платежное обязательство может быть либо финальным, либо динамическим. Финальное платежное обязательство характерно для опционов европейского типа, динамическое характерно для опционов американского типа. Математически финальное платежное обязательство fN - это FN -измеримая неотрицательная случайная величина, динамическое платежное обязательство — это адаптированная последовательность (/я =1 неотрицательных случайных величин. Так в примере, изображенном на рис. 0.1, финальное платежное обязательство fN = (SN - К)+ = max(SN - К,6) (график изображен на рис. 0.2).

/N

К

SN

Рис. 0.2. Зависимость финального обязательства от стоимости акции для опциона call.

Цена опциона соответствует платежному обязательству, которое берет на себя продавец опциона. Естественно, что для продавца и покупателя эти цены «кажутся» разными. Формализуем этот факт.

Назовем портфель ценных бумаг ж верхним {x,fN) (( ,(/„)„=1J) хеджем для европейского (американского опциона), если XQ = х,Хн fN \Х fn,n = l,2,...N). Последние соотношения определяют класс верхних хеджей H (X,/N)=\K:XQ = х, Х% fNj или H xXfJnJ={K-.XZ = x,X: fn,n = l,2,...,N}.

Аналогично определяется нижний хедж (заменой знака « » на знак « ») и класс нижних хеджей: H (x,fN) или H \x,(fn) =l). Теперь можно определить верхнюю и нижнюю цену опциона. Верхняя цена опциона определяется как C (fN) = m\x O:H (x,fN) 0f или Нижняя цена опциона определяется как C (fN) = sup{x O:H (x,fN) 0} или СД(/„) =1)=5ирх: О:Я (д:,(/„) =1]?!:0}. Содержательный смысл введенных понятий состоит в следующем. Если за опцион будет назначена цена из интервала (С ,оо), то арбитражная ситуация возникает для продавца опциона, если за опцион будет назначена цена из интервала [О,С»), то арбитражная ситуация возникает для покупателя опциона, если за опцион будет назначена цена из интервала С ,С ], то арбитражной ситуации не возникает ни для продавца ни для покупателя. Это обстоятельство оправдывает для интервала цен [С,С J название интервала приемлемых цен.

Может случиться так, что для некоторого платежного обязательства fN нижняя цена совпадет с верхней ценой: С, = С, это возможно тогда и только тогда, когда существует такой верхний \?,fN) хедж, для которого Xx=fN (нижний (C ,fN) хедж, для которого X =fN) такие хеджи будем называть совершенными. В этом случае можно говорить о справедливой цене опциона С = С = С .

Теперь мы можем определить важную характеристику рынка, а именно, полноту рынка. Так вот, рынок называется полным, если для произвольного платежного обязательства найдется совершенный хедж. Более подробное объяснение рассмотренных характеристик рынка можно найти в монографии [68].

0.3 Основные теоремы финансовой математики.

В нашей работе мы будем часто ссылаться на две основные теоремы финансовой математики, которые приводятся здесь, чтобы не нарушать полноты изложения.

Прежде чем изложить и прокомментировать основные теоремы приведем два важных определения.

Дисконтированной ценой акции называется отношение —- цены Вп акции к банковскому счету. Мы предполагаем, что Вп 0 Р -почти наверное. Дисконтирование является удобным приемом, который позволяет упростить анализ математической модели и сделать более простыми связанные с рынком вычисления.

Мартингальиой мерой (риск-нейтральной мерой) называется мера Р эквивалентная исходной мере Р, для которой процесс - - F Р \Dn У„=0 является мартингалом, то есть выполняются условия:

Ер Sn В„ оо, Ег °и 77 _ °я-1 И „ і в„-, о I n_1 , п = 1,2,.-,- (0.4) Первая основная теорема звучит следующим образом.

Теорема 0.1. Для того, чтобы рынок был безарбитражен, необходимо и достаточно, чтобы нашлась хотя бы одна мартингальная мера эквивалентная исходной мере.

Вторая основная теорема звучит следующим образом.

Теорема 0.2. Если множество мартингальных мер непустое, то для того, чтобы рынок был полным, необходимо и достаточно, чтобы мартингальная мера была единственной.

Таким образом, если рынок безарбитражный и полный, то существует единственная мартингальная мера. Если существует единственная мартингальная мера, то рынок безарбитражный и полный. Если мартингальная мера неединственная, то рынок безарбитражный и неполный. Эти импликации вытекают непосредственно из основных теорем.

Остается открытым вопрос, каким будет рынок, если множество мартингальных мер пусто. Из первой теоремы непосредственно следует, что рынок будет арбитражным. Однако, нам известен по крайней мере один пример, приведенный в работе [3] арбитражного и полного рынка. Более того, в этой работе был установлен критерий полноты для одной специальной модели эволюции рынка.

Как отмечалось ранее, наше исследование посвящено развитию идей, содержащихся в модели Кокса-Росса-Рубинштейна, к изложению, которой мы приступаем.

0.4 Модель Кокса-Росса-Рубинштейна.

Модель Кокса-Росса-Рубинштейна сыграла исключительную роль в развитии и становлении финансовой математики. Она послужила основой для построения различных теорий (5,5)-рынка. Появление модели послужило отправной точкой развития исследований в области применения методов современного стохастического анализа в математической теории финансов. Как точно отметил А.Н. Ширяев [68] "биномиальная модель Кокса-Росса-Рубинштейна ... играет в финансовой математике роль, сходную со схемой Бернулли в классической теории вероятностей - будучи весьма простой, эта модель дает возможность полного расчета многих финансовых характеристик, например справедливых цен опционов, хеджирующих стратегий и др."

Со своей стороны добавим, что на основе этой модели была построена первая модель неполного рынка [43], и разработана теория расчетов справедливой цены опциона.

Классическая модель Кокса-Росса-Рубинштейна базируется на том естественном предположении, что цены акций в любой момент времени могут, как повышаться, так и понижаться. Считая эти изменения дискретными, Кокс, Росс и Рубинштейн разработали биноминальную модель (В, S)-рынка. В этой модели элементы функционируют в соответствии с формулами:

Вп = (1 + T-R-ІЛ = (1 + P„K-i, (0.5)

где В0 0, So 0, г -1-- постоянная процентная ставка, ря -1 -последовательность одинаково распределенных, независимых в совокупности случайных величин, принимающих два значения: а и Ъ, причем -\ a r b.

В связи с анализом случая «жесткой» скупки акций модель Кокса-Росса-Рубинштейна развивалась в работах Белявского Г.И.Дюгачевой М.Н., Красий Н.П., Павлова И.В.[2], [4], [32], [51], [52], [54].

0.5 Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех содержательных глав, заключения и приложения.

Первая глава посвящена анализу общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна. Приводятся результаты традиционной программы исследования модели в рамках финансовой математики. Показано, что в модели можно так определять параметры, что она становится безарбитражной и полной, безарбитражной и неполной, арбитражной. Приводятся рекуррентные формулы расчета цен и хеджей.

Во второй главе рассматривается общая модель Кокса-Росса-Рубинштейна с шумом. Описывается мартингальная мера. Рассматриваются различные реализации модели. Строится оптимальный в средне квадратичном смысле хедж как для мартингальной меры, так и для немартингальной меры. Анализируется предельное поведение хеджа.

В третьей главе рассматривается задача оценки параметров общей модели с шумом по выборке цен акций и устанавливается адекватность модели «реальным данным». Задача оценки параметров рассматривается под различными углами зрения. Приводятся три метода оценки параметров и анализируются их особенности.

Заключение содержит своді и анализ основных результатов исследования.

В приложении приводятся тексты программ, связанных с исследованием и написанных в среде VBA-Excel, СИ Builder.

Основные результаты работы опубликованы в восьми публикациях [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [34], доложены на двух Всероссийских школах коллоквиумах (г. Йошкар-Ола, 2001 г., г. Ростов-на-Дону, 2002 г.) и Третьем Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Сочи, 2002 г.). Кроме этого, материалы диссертации подробно докладывались на семинаре по финансовой математике при кафедрах прикладной математики и высшей математики Ростовского государственного строительного университета и семинаре кафедры информатики Ростовского государственного университета путей сообщения.

Безарбитражный и неполный рынок. Верхняя цена

Пусть теперь мартингальная мера неединственная. Из теоремы 0.2 следует, что совершенного самофинансируемого хеджа может не существовать. На неполных рынках оптимальные стратегии могут быть получены в результате применения различных подходов [43], [47], [53], [54], [68], [78], [79], [94]. В нашем исследовании мы будем использовать два из них. Первый подход, который будет реализован в этом параграфе, заключается в рассмотрении наряду с портфелем тс = (уи,РлУи=1 процесса потребления {g„y„=l. Теперь динамика образования дисконтируемого капитала в соответствии с (0.3) будет иметь вид: Определим последовательность: где P - множество мартингальных мер. Последовательность Yn - Fn измерима для любой меры из Р, удовлетворяет неравенству: для любой меры из Р и обладает свойством «минимальности» в том смысле, что если 7Я - любая другая последовательность, удовлетворяющая (1.18),то7я ;Гя. Определяемая в (1.17) последовательность является супермартингалом для любой меры из Р. То есть, Ep\Yn+x\Fn) :Yn. В работах [76], [87] было доказано опциональное разложение для Yn В (1.19) Мп - мартингал относительно любой меры из Р, а последовательность Сп - F„ - измерима. Для мартингала Мп справедливо представление: которое позволяет вычислить оптимальный портфель.

Определим, последовательность Yn: Докажем, что Yn = Yn. Сначала методом индукции докажем неравенство: Yn Yn. Для n = N неравенство справедливо. Пусть оно справедливо для п = к + 1. Докажем индуктивный переход Неравенства справедливы для любой меры из Р. Отсюда следует Докажем обратное неравенство. Поскольку мы предположили, что мартингальная мера неединственная, то существуют такие /и и у, для которых а 1 -а$} \ = 0. Как было показано в параграфе 1.1, это приводит к ау =a j+1 = 7+1 этом слУч е отношение —7 — произвольное число, расположенное между нулем и единицей число. Используем адаптированность последовательности Уп Применим равенство (1.10), которое приобретает вид: Построим мартингальную меру -Р(є): для всех J и m, для которых ay = а}+1 = я +і Д11 остальных индексов мера определяется формулами (1.6). Для любого достаточно малого є 0 рассматриваемая мера является мартингальной. В силу построения самым обратное неравенство доказано.

Следовательно Y = Y. В результате возникает вычислительная процедура. Вычислительная процедура. 1. Вычисляется дисконтированный капитал (формулы (1.24)). 2. Вычисляется рациональная цена опциона С = B0XQ 3. Вычисляется оптимальный портфель (формулы (1.25) и (1.27)). 4. Вычисляется процесс потребления (формулы (1.26)). С. Далее мы рассмотрим вычисление Замечание 2. Рассматриваемая в этом параграфе ситуация достаточно адекватно отражает состояние современного российского рынка. Она связана с появлением на рынке «жесткого» скушцика акций.

Действительно, при попадании элементарного случайного события в множество Ajm означает, что приращение дисконтируемой цены акции (S, равно нулю, то есть акция начинает вести себя как банковский счет. Поэтому атомы Ajm) могут рассматриваться как случайные события, состоящие в том, что скупщик овладел контрольным пакетом акций и положил их «под сукно». Модели, связанные с этим явлением изучались в работах Павлова И.В., Мисюры В.В, Красий Н.П., Белявского Г.И., Богачевой М.Н. [2], [31], [50], [54]. В нашей модели есть одно очень важное отличие. В предыдущих моделях скупленная «жестким» скупщиком акция больше на рынке не появляется и у инвестора имеется одна возможность положить вырученные за акцию деньги на банковский счет. Изучаемая модель позволяет описывать аналогичную ситуацию, но теперь акция может вернуться на рынок и затем быть опять жестко скупленной. Этот факт делает нашу модель более гибкой. В следующем параграфе мы рассмотрим одну из реализаций исследуемой модели.

Безарбитражный и неполный рынок. Нижняя цена.

Пусть fN = fN(p)-некоторое FN - измеримое, ограниченное и неотрицательное платежное обязательство, взятое на себя продавцом опциона. Как отмечалось в предыдущем параграфе, в рассматриваемой модели мартингальная мера может не существовать или если она существует, то она неединственная. На полных и безарбитражных рынках продавец опциона имеет возможность при некотором начальном капитале и некоторой стратегии я почти наверное воспроизвести платежное обязательство.

Для неполных (безарбитражных или арбитражных) рынков ситуация резко усложняется и воспроизведение платежного обязательства становится проблематичным. В первой главе уже был рассмотрен вопрос построения хеджа на неполных рынках. Там мы требовали, чтобы почти наверное выполнялось неравенство Х fN и рассматривался портфель с потреблением. Существуют и другие подходы решения задачи построения оптимального хеджа. Это работа Мельникова А.В. и Феоктистова К.М. [47], в которой исследуется пополнение рынка за счет добавления некоторого дополнительного актива, это работы Павлова И.В. и Богачевой М.Н. [54], в которых неполный рынок интерполируется полным рынком за счет использования специального хааровского стохастического базиса. Ни тот, ни другой подход к построению оптимального хеджа для исследуемой модели неприемлем поскольку существенным является дискретность пространства состояний эволюции дисконтированной стоимости акции. В исследуемом случае это пространство континуально.

В нашем распоряжении остается метод хеджирования в среднем, который изучался в работах А.Н. Ширяева, Г. Фельмера, М. Швайцера, Д. Зондермана, [68], [78], [79], [76], [94], и метод хеджирования, при котором неравенство XN fN выполняется с заданной вероятностью. Этот метод применялся в работах А.В. Мельникова [43] и А.А. Новикова [53].

В этом параграфе оптимальное хеджирование будет пониматься, как возможность воспроизвести платежное обязательство с «наибольшей точностью» (без обращения к потреблению).

Вопрос о выборе меры точности воспроизведения определяется с одной стороны целевыми установками продавца и покупателя опциона и возможностью получения приемлемого решения возникающей оптимизационной задачи.

Мы будем измерять качество воспроизведения среднеквадратическим отклонением: что позволяет в ряде случаев найти оптимальные х ,п , для которых Для определения оптимальных значений х ,я применим метод обратной индукции (метод динамического программирования Р.Белмана). Прежде всего, отметим, что дисконтированный капитал Определим Докажем основной результат этого параграфа. при условии, что платежное обязательство квадратично интегрируемо. Доказательство проведем методом обратной индукции. Пусть n = N. Найдем оптимальное значение для у . Приравнивая производную по yN к нулю нетрудно убедится, что оптимальное значение Тем самым индуктивный переход доказан, следовательно, доказана теорема. Приведенное доказательство носит конструктивный характер, что позволяет предложить вычислительную схему для построения оптимального хеджа. В заключении параграфа рассмотрим случай мартингальной меры, которая может существовать, как показано в предыдущем параграфе, в рамках рассматриваемой модели. И так, если последовательность цен является квадратично интегрируемым мартингалом и платежное обязательство квадратично интегрируемая случайная величина, то мы придем к следующему результату. Из определения UN_X вытекает UN_X = 0. В этом случае ZN_X = 1. Тогда последовательно применяя это рассуждение, мы получим, Далее будем считать, что дисперсия шума является величиной постоянной ап = с. При этом предположении условное распределение случайных величин hn совпадает с безусловным и, следовательно, они являются независимыми и одинаково распределенными. Будем называть классической моделью модель, в которой наряду с постоянной дисперсией постоянными являются также ап = а и bn=b. В классической модели формулы (2.16) и (2.16) приобретают вид:

Классическая модель Кокса-Росса-Рубинштейна с шумом.

Дадим основные определения и краткую характеристику используемых далее понятий. Более подробное описание финансовых инструментов может быть найдено в [68].

Финансовый рынок. На финансовом рынке в распоряжении инвестора имеются акции, облигации, производные ценные бумаги(опционы, фьючерсы и др.).

На рынке его участники производят различного рода финансовые операции, используя финансовые инструменты. Участники финансового рынка - это финансовые компании, банки, другие финансово-страховые структуры, не исключая индивидуумов, ставящие перед собой цель получать как можно большую прибыль при как можно более низком риске. В результате для каждой сделки мы наблюдаем двухкритериальную проблему с двумя критериями антагонистами: ожидаемая прибыль и риск. Как правило, чем выше ожидаемая прибыль, тем выше риск.

Для разрешения этой дилеммы применяются различные подходы. Среди наиболее известных - диверсификация по Марковичу и применение производных ценных бумаг, называемых опционами и фьючерсами.

Опционы - производные ценные бумаги некоторого актива. Опционы типа call позволяют его владельцу купить актив по фиксированной цене не позже определенной даты (американский опцион) или на момент такой даты (европейский опцион). Опционы типа put позволяют продать актив по фиксированной цене не позже определенной даты (американский опцион) или на момент такой даты. В отличии от фьючерса опцион в зависимости от ситуации на рынке может быть предъявлен или не предъявлен к исполнению. Ситуация, связанная с опционом типа call европейского типа изображена на рис.01.

На рис. 01: ось абсцисс соответствует стоимости акции, ось ординат - цена, по которой акция покупается. Пунктирная линия изображает зависимость цены акции при отсутствии опциона. Сплошная линия изображает зависимость при наличии опциона. К - договорная цена покупки акции.

Продавец опциона освобождает инвестора от риска превышения стоимости акции заранее оговоренной цены. Естественно, что за такую услугу продавец должен взять определенную сумму - цену опциона. При этом выглядит естественным желание продавца определить ту минимальную цену, при которой он сможет выполнить взятые на себя обязательства. Понятно, что и покупателю необходимо знать верхний порог цены, превышение которого делает приобретение опциона невыгодной для него сделкой. Естественно, что интересы продавца и покупателя противоположны. Отсюда вытекает необходимость определения и вычисления справедливой цены опциона.

В настоящее время усилиями как зарубежных, так и отечественных исследователей математическая теория расчета справедливой цены опциона хорошо развита. По этому далее мы приведем основные результаты, которые используются в нашем исследовании.

Максимально правдоподобная оценка параметров смеси двух нормальных законов распределения.

Следовательно, акции постоянно присутствуют на рынке, и их цена является случайной величиной. Этот актив далее мы будем называть рисковым активом.

Банковский счет может рассматриваться как бумага, суть которой состоит в том, что банк обязуется выплачивать по банковскому счету определенный процент от суммы счета. Для нас важно то, что банковский счет является величиной детерминированной. Далее этот актив мы будем называть безрисковым активом.

Банковский счет и акция достаточно универсальный инструментарий для описания разнообразных ситуаций, возникающих на финансовом рынке. Например, отношение между долларом и рублем можно описать в этих инструментах, если под банковским счетом понимать рубль, а под акцией - доллар.

По этой причине исследование рынка, состоящего из банковского счета и акции, имеет не только теоретическое значение. Этот объект, который мы будем называть (В,S) - рынком, далее будет основным элементом нашего внимания.

Реальная работа на финансовом рынке предполагает выполнение определенных расчетов. Расчеты базируются на состоятельном в статистическом смысле прогнозе. Без этого невозможно определить оптимальную стратегию инвестиций. Это невозможно сделать без определенных предположений о характере рынка.

К этим предположениям относятся предположения: 1. Не учитываются «скрытые» параметры типа человеческих мотивов поведения. 2. Предполагается, что дальнейшая динамика рынка примерно совпадает с динамикой поведения рынка в прошлом (с учетом изменений, происходящих на рынке в настоящий момент). Это позволяет допустить, что различные показатели рынка можно рассматривать как случайные величины, что, в свою очередь, предопределяет использование стохастических методов анализа. 3. Имеется возможность накапливать информацию об анализируемом финансовом инструменте, то есть использовать методы математической статистики для оценки параметров модели. Перечисленные предположения позволяют строить научно-обоснованные технологии принятия решений с использованием математики и компьютерной техники. Одной из реализаций высказанных выше предположений была гипотеза поведения цен как случайного блуждания, которая была далеко не сразу принята как экономистами, так и математиками [65], [72], [73], [74], но именно она принесла наибольшие плоды и легла в основу современной концепции эффективного или рационального рынка.

Концепция эффективного рынка описывается следующими правилами: 1. Мгновенно производится коррекция цен как результат изменения ситуации на рынке. 2. Участники рынка одинаково интерпретируют информацию, которая доступна всем без исключения, мгновенно изменяя свои решения при обновлении этой информации. 3. Участники рынка преследуют свои цели, которые имеют объективный «эгоистический» характер, что позволяет анализировать его индивидуальное поведение, используя его конкретные и наблюдаемые реакции.

Эти предположения, выраженные в словесной форме, позволяют использовать математические методы при построении теории расчетов на финансовых рынках. Как уже говорилось ранее основным аппаратом, который используется в этой теории, является стохастический анализ [23],[38],[42].

Начиная с семидесятых годов прошлого столетия, стохастический анализ начал использоваться как весьма эффективный инструмент математического моделирования при объяснении таких явлений как эволюция цены рисковых активов. Далее появилась возможность привлечь стохастический анализ для расчетов вторичных финансовых инструментов (опционов, форвардных и фьючерсных контрактов). Затем на языке стохастического анализа удалось описать такие чисто экономические элементы как полнота и арбитраж. Такое стало возможным в результате многочисленных исследований поведения рисковых активов, которые выявили хаотичность в эволюции цен, их по настоящему случайный характер.

Основоположником стохастической финансовой математики по праву считается Л. Башелье, который использовал математическое описание броуновского движения в качестве модели для описания динамики цен акций и применил его для расчета цены опциона. Его работа была опубликована в 1900 году [72]. Основной недостаток этой модели заключался в том, что в ней присутствовала возможность появления отрицательной цены акции. По этой причине работа не была по достоинству оценена в течение долгого времени. Лишь в середине 60-х годов прошлого столетия работа получила заслуженное признание в связи с исследованиями известного экономиста П. Самюэльсона, который ввел определение геометрическое броуновское движение и устранил основной недостаток модели Башелье [91]. На основе этой модели в 1973 году Блэк и Шоулс получили точные формулы расчета справедливой цены опциона и хеджирующих стратегий для опционов европейского типа [73]. Для дискретного времени аналогичную модель построили Кокс, Росс и Рубинштейн [74].