Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Постановки задач изгиба упругих пластин, вариационные принципы и численные методы теории пластин 13
1.1. Постановки задач изгиба упругих пластин 13
1.2. Вариационные принципы и численные методы теории пластин 15
Глава II. Ортогональные финитные функции 18
2.1. Свойства известных финитных функций 18
2.2. Двумерные ортогональные финитные функции на треугольных сетках 27
2.2.1. Определение системы функций 27
2.2.2. Ортогональность финитных функций, заданных на треугольной сетке 32
2.2.3. Аппроксимирующие свойства функций 35
2.3. Обобщение двумерных ортогональных финитных функций 41
2.3.1. Триангуляция области, определение системы функций 41
2.3.2. Ортогональность функций 44
2.3.3. Аппроксимирующие свойства функций 48
Глава III. Смешанный вариационно-сеточный метод, основанный на применении ортогональных финитных функций на треугольных сетках 53
3.1. Вариационный принцип и вариационно-сеточные уравнения 53
3.2. Коэффициенты вариационно-сеточных уравнений 59
Глава IV. Исследование смешанного вариационно-сеточного метода, связанного с применением ортогональных финитных функций на треугольных сетках 66
4.1. Исследование точности приближенных решений вариационно-сеточного метода и их сходимости в краевых задачах изгиба однородных и неоднородных пластин с различной формой границ 66
4.1.1. Изгиб квадратной пластины, жестко защемленной по всей границе 67
4.1.2. Изгиб квадратной пластины, шарнирно опертой по всей границе 73
4.1.3. Изгиб треугольной пластины, шарнирно опертой по всей границе 75
4.1.4. Изгиб эллиптической пластины, жестко защемленной по всей границе 79
4.1.5. Изгиб неоднородной квадратной пластины переменной толщины, жестко защемленной по всей границе 84
4.1.6. Изгиб крестообразных пластин со смешанными граничными условиями 90
4.1.7. Изгиб квадратной пластины со смешанными граничными условиями 95
4.1.8. Изгиб неоднородной крестообразной пластины, жестко защемленной по всей границе 97
4.1.9. Изгиб треугольной пластины, жестко защемленной по всей границе 100
4.1.10. Изгиб эллиптической пластины, шарнирно опертой по всей границе 101
4.1.11. Изгиб пластины, имеющей форму кругово го сектора и шарнирно опертой по всей границе
4.2. Апостериорная оценка точности приближен ного решения краевой задачи изгиба пластины
Заключение
Литература
- Вариационные принципы и численные методы теории пластин
- Ортогональность финитных функций, заданных на треугольной сетке
- Вариационный принцип и вариационно-сеточные уравнения
- Изгиб квадратной пластины, жестко защемленной по всей границе
Введение к работе
Вариационно-сеточные методы (ВСМ) являются одним из основных инструментов исследования математических моделей - краевых задач теории пластин [6, 9, 10, 37, 43, 57, 86, 87]. Основное развитие ВСМ теории пластин было связано с использованием вариационных принципов Ла-гранжа и Кастильяно [1, 47]. Экстремальные функционалы Лагранжа и Кастильяно позволяют вводить так называемые энергетические нормы [39] и исследовать сходимость решений, а также давать при совместном использовании функционалов апостериорную оценку точности приближенных решений [1]. Недостатками ВСМ, построенных на основе вариационного принципа Лагранжа, являются: высокие требования к базисным функциям, необходимость выполнения кинематических краевых условий на этапе формирования аппроксимирующих линейных комбинаций базисных функций, пониженная гладкость и точность приближенных решений для деформаций и напряжений, вызванная численным дифференцированием приближенных решений для перемещений. Основной недостаток ВСМ, основанных на вариационном принципе Кастильяно, состоит в необходимости использования тензоров напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и силовым краевым условиям. В вариационном принципе Рейсснера [85, ПО] независимо аппроксимируются и варьируются перемещения и напряжения, что является причиной отсутствия недостатков, которые характерны методам, основанным на вариационных принципах Лагранжа и Кастильяно, и указаны выше. Независимой аппроксимацией точных решений для перемещений и напряжений создаются предпосылки для сближения гладкости и точности приближенных решений для кинематических и силовых функций. Развитие и исследование смешанных вариационных принципов является актуальной задачей и про должается в настоящее время (см., например, [7, 8, 11, 48, 49, 51, 52, 61, 63, 66, 68, 73, 74, 75, 81, 83, 84]). Функционал Рейсснера не имеет экстремума и не порождает норму, что затрудняет исследование сходимости приближенных решений. Указанным недостатком смешанных функционалов не обладают экстремальные смешанные функционалы В.И.Сливкера [52], но они сохраняют недостатки вариационного принципа Лагранжа: высокий порядок входящих в функционал производных, принадлежность кинематических условий группе главных краевых условий.
Актуальность темы исследования. При решении краевых задач теории пластин наиболее часто применяются методы, основанные на вариационном принципе Лагранжа. Однако определение напряжений посредством дифференцирования полученного для перемещений приближенного решения приводит к приближенным решениям для напряжений, которые характеризуются пониженными точностью и гладкостью (см. [48]). В теории пластин при использовании вариационного принципа Лагранжа переход от приближенных решений для перемещений к приближенным решениям для изгибающих и крутящего моментов определяется вторыми частными производными и является причиной значительного снижения гладкости и точности силовых решений по сравнению с решениями для перемещений. Вариационный принцип Рейсснера является основой для построения численных методов, дающих в теории пластин приближенные решения для перемещений и напряжений, которые характеризуются одинаковой гладкостью и одним порядком точности. Особенно актуальным это является для задач с большими градиентами перемещений и напряжений. Развитие смешанных ВСМ началось в 60-е годы двадцатого столетия и продолжается в настоящее время (см., например, [15, 17, 20, 62, 66, 67, 69, 71, 72, 75, 76, 89, 90, 91, 92, 93, 95, 96, 97, 99, 102, 103, 104, 106, 107, 108, 112, 117]). Основной недостаток ВСМ - высокая размерность систем алгебраических сеточных систем уравнений для неизвестных узловых величин, обостряет ся в смешанных ВСМ, так как независимая аппроксимация перемещений и напряжений дает увеличение числа сеточных неизвестных. На устранение этого недостатка смешанных методов направлено использование здесь
• систем ортогональных финитных функций (ОФФ). Исключение силовых неизвестных, возможное благодаря применению ортогональных финитных функций, делает смешанные ВСМ сравнимыми по числу арифметических операций, необходимых для получения численного решения, с ВСМ, ос нованными на вариационном принципе Лагранжа. При этом приближенные решения для перемещений и их частных производных (моментов, сил) характеризуются одинаковой гладкостью и точностью одного порядка.
До работ I.Daubechies [12, 79] считалось [54, с. 258], что условие ортогональности непрерывных базисных функций несовместимо с наличием у функций компактных конечных носителей. Последнее является основным у функций, применяемых в вариационно-сеточных методов, поскольку делает матрицы системы сеточных уравнений разреженными. В работах [12, 79] построена теория ортогональных вейвлетов с компактными носителями. Но функции [12, 79] обладают сложной структурой, их симметрия (за исключением базиса Хаара), как показано в [12, 79], невозможна. Снижение степени несимметрии функций порождает [12, с. 342] увеличение длин конечных носителей функций и таким образом ведет к утрате основного свойства базисных функций, предназначенных для использования в алгоритмах численных методов. Регулярность этих функций возрастает с ростом длин их конечных носителей, что также приводит к более плотно заполненным матрицам систем сеточных уравнений численных методов. Ортонормированные базисы вейвлетов с компактными носителями [12, 79], не записываются в аналитической форме, что осложняет использова • ние таких базисных функций в численных методах. Вейвлеты созданы для использования в цифровой обработке сигналов, изображений и не отвечают ряду требований алгоритмов численных методов. Применение таких базисных функций в алгоритмах численных методов решения краевых задач в областях с переменными характеристиками и с криволинейными границами порождает значительные трудности. Поэтому разработка орто • тональных финитных функций двух переменных, связанных с треугольными сетками в областях со сложными границами, является актуальной задачей. Такие функции дают более точную аппроксимацию искомого точного решения краевой задачи в случаях областей с переменными геометрическими и физическими параметрами, в случаях областей со сложной границей за счет адаптивной геометрии треугольной сетки. Ортогональные финитные функции построены на треугольных сетках на основе функций Куранта таким образом, что эти ортогональные финитные функции отличаются от функций Куранта в меньшей части их конечного носителя. Вследствии этого аппроксимационные свойства ортогональных финитных функций на треугольных сетках определяются аппроксимацион-ными свойствами функций Куранта, а модификация связана только с при-данием функциям свойства ортогональности. При сгущении треугольных сеток в аппроксимирующих линейных комбинациях ортогональных финитных функций повышается степень взаимной компенсации дополнительных финитных функций, деформирующих функции Куранта. Уменьшение размеров конечных носителей этих дополнительных функций является актуальной задачей, поскольку уже на редких сетках такие ортогональные финитные функции дают аппроксимацию, в большей части области близкую к аппроксимации функциями Куранта. При этом такие функции являются ортогональными и могут быть использованы для устранения основного недостатка смешанных вариационно-сеточных методов - повышенного по сравнению с вариационно-сеточными методами "в пе • ремещениях" числа узловых неизвестных. Решение этой задачи создает фундамент для построения смешанных вариационно-сеточных методов, обладающих эффективными алгоритмами и не имеющих основных недостатков классических смешанных вариационно-сеточных методов.
Значительный вклад в создание и развитие вариационных принципов и
• численных методов механики деформируемого твердого тела, входящими в число основных методов математического моделирования и исследования математических моделей механики деформируемого твердого тела, внесли: Н.П.Абовский, В.И.Агошков, Н.П.Андреев, В.Б.Андреев, В.И.Астафьев, Н.С.Бахвалов, В.В.Болотин, А.С.Вольмир, К.З.Галимов, А.П.Деруга, Л.М.Зубов, Ю.Г.Исполов, Л.М.Качанов, В.П.Кандидов, Г.М.Кобельков, В.Г.Корнеев, В.Л.Леонтьев, А.И.Лурье, Г.И.Марчук, С.Г.Михлин, Л.А.Оганесян, Б.Е.Победря, В.А.Постнов, В.Л.Рвачев, В.Я.Ривкинд, Л.А.Розин, Л.А.Руховец, А.А.Самарский, Ю.Н.Санкин, Л.И.Седов, В.И.Сливкер, И.Г.Терегулов, В.С.Чернина, К.Ф.Черных, В.М.Фридман, J.H.Argiris, I.Babuska, G.Birkhoff, J.H.Bramble, F.Brezzi, P.G.Ciarlet, R.Courant, G.Fix, L.R.Herrmanii, E.Hellinger, H.C.Hu, J.L.Lions, J.T.Oden, T.H.H.Pian, W.Prager, C.A.Prato, P.A.Raviart, J.N.Reddy, E.Reissner, G.Strang, R.Temam, E.Tonti, R.S.Varga, F.deVeubeke, K.Washizu, A.Zenisek, O.C.Zienkiewicz, M.Zlamal. Большой вклад в создание и развитие теории вейвлетов внесли: G.Battle, C.K.Chui, R.R.Coifman, A.Cohen, I.Daubechies, P.G.Lemarie, S.Mallat, Y.Meyer, J.O.Stromberg, Ph.Tchamitchian, K.G.Wilson. Значительный вклад в развитие теории вейвлетов внесли: Н.М.Астафьева, М.З.Берколайко, В.А.Желудев, В.Г.Захаров, В.Ф.Кравченко, Р.А.Лоренц, Т.П.Лукашенко, С.М.Машарский, В.Н.Малоземов, И.Я.Новиков, А.П.Петухов, В.И.Пустовойт, В.А.Рвачев, А.А.Саакян, М.А.Скопина, С.Б.Стечкин, Н.А.Стрелков, Ю.Н.Субботин, Н.И.Черных. Теория ортогональных финитных функций, являющаяся
• обобщением теории В-сплайнов и дополнением теории вейвлетов, создана в работах В.Л.Леонтьева [21, 22, 27, 31]. Эта теория и ее применение в смешанных вариационно-сеточных методах решения краевых задач полу чили развитие в работах В.Л.Леонтьева и его учеников [23, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 94].
Цель работы: разработка ортогональных финитных непрерывных ку • сочно-билинейных базисных функций на треугольных сетках, их исследование; создание на их основе эффективного смешанного вариационно сеточного метода решения краевых задач теории пластин, его исследование.
Научную новизну составляют следующие результаты работы.
1. Развитие теории ОФФ, связанное с построением новых ОФФ на треугольных сетках.
2. Разработка нового численного метода - смешанного вариационно-сеточного метода решения задач изгиба однородных и неоднородных упругих пластин переменной толщины, имеющих сложную геометрию границы.
Положения выносимые на защиту.
1. Создание новых систем параметрических финитных функций на треугольных сетках, исследование их аппроксимирующих свойств. Определение значений параметров ортогональных финитных функций.
2. Новый численный метод исследования математических моделей упругих пластин, который
- основан на смешанном вариационном принципе;
- связан с использованием ОФФ;
- является эффективным инструментом изучения изгиба неоднородных пластин, имеющих переменную толщину и сложную геометрию границы;
- позволяет находить приближенные решения краевых задач изгиба упругих пластин для основных неизвестных функций (прогиба пластины),
• для их первых частных производных (углов поворота нормали к средин ной плоскости пластины), вторых частных производных (изгибающих и крутящего моментов), третьих частных производных (перерезывающих сил), характеризующиеся одинаковой гладкостью и точностью одного порядка;
- обеспечивает определение приближенных решений для кинематических и силовых факторов за счет примерно такого же числа арифметических операций, как в ВСМ «в перемещениях», позволяющем на первом (основном) шаге алгоритма метода находить только приближенные решения для перемещений.
3. Исследование точности и характера сходимости силовых и кинематических приближенных решений, получаемых с помощью смешанного ВСМ в задачах теории однородных и неоднородных пластин, имеющих сложную границу.
Теоретическое значение диссертационной работы заключается в создании новых параметрических систем ортогональных непрерывных базисных ОФФ, связанных с последовательностями сгущающихся треугольных сеток, и на их основе - смешанного ВСМ решения краевых задач теории пластин, у которого отсутствует основной недостаток, имеющийся у классических смешанных ВСМ и связанный с увеличенным числом узловых неизвестных. Приближенные решения для перемещений и для их первых производных (углов поворота нормали), вторых частных производных (изгибающих и крутящего моментов) и третьих частных производных (перерезывающих сил), которые дает такой ВСМ, характеризуются тем, что они имеют одинаковую гладкость и точность одного порядка. Получение таких решений достигается, в отличие от классических смешанных методов, решением систем сеточных уравнений, имеющих более чем в два раза меньшее число узловых неизвестных. Это число неизвестных совпадает с числом неизвестных в методе "в перемещениях", основанном на вариационном принципе Лагранжа. Но данный метод превосходит метод "в перемещениях", поскольку дает приближенные решения для перемещений и моментов, сил (производных перемещений) одинаковой гладкости и точности. Таким достоинством метод "в перемещениях" не обладает, поскольку при определении приближенного решения для моментов и сил требует численного дифференцирования, приводящего к значительному снижению точности, характеризующей приближенной решение для пере мещений, и к появлению разрывов. Численное дифференцирование может привести к статически неуравновешенной системе внутренних сил и моментов в задаче статики. Таким образом, предлагаемый вариационно-сеточный метод обладает качественными и количественными преимуществами перед классическими смешанными численными методами и перед численными методами "в перемещениях". Предлагаемый вариационно-сеточный метод может быть использован также для решения краевых задач математической физики, теории упругости и др. Для этого следует использовать соответствующие вариационные принципы или проекционные условия.
Предложенные ортогональные финитные функции, с помощью которых строятся ВСМ, основанные на вариационном принципе Рейсснера, могут быть также использованы в ВСМ, связанных с другими вариационными принципами, а также при построении геометрических моделей механических устройств.
Практическое значение диссертационной работы состоит, во-первых, в том, что построенный ВСМ является эффективным инструментом исследования пластинчатых элементов механизмов и конструкций, в которых необходимо проводить анализ основных неизвестных функций (перемещений) и их производных (деформаций, напряжений), и, во-вторых, в том, что созданные системы ортогональных финитных функций являются средством математического моделирования механических устройств.
Вариационные принципы и численные методы теории пластин
Исключение силовых неизвестных, возможное благодаря применению ортогональных финитных функций, делает смешанные ВСМ сравнимыми по числу арифметических операций, необходимых для получения численного решения, с ВСМ, ос нованными на вариационном принципе Лагранжа. При этом приближен ные решения для перемещений и их частных производных (моментов, сил) характеризуются одинаковой гладкостью и точностью одного порядка. До работ I.Daubechies [12, 79] считалось [54, с. 258], что условие ортогональности непрерывных базисных функций несовместимо с наличием у функций компактных конечных носителей. Последнее является основным у функций, применяемых в вариационно-сеточных методов, поскольку делает матрицы системы сеточных уравнений разреженными. В работах [12, 79] построена теория ортогональных вейвлетов с компактными носителями. Но функции [12, 79] обладают сложной структурой, их симметрия (за исключением базиса Хаара), как показано в [12, 79], невозможна. Снижение степени несимметрии функций порождает [12, с. 342] увеличение длин конечных носителей функций и таким образом ведет к утрате основного свойства базисных функций, предназначенных для использования в алгоритмах численных методов. Регулярность этих функций возрастает с ростом длин их конечных носителей, что также приводит к более плотно заполненным матрицам систем сеточных уравнений численных методов. Ортонормированные базисы вейвлетов с компактными носителями [12, 79], не записываются в аналитической форме, что осложняет использование таких базисных функций в численных методах. Вейвлеты созданы для использования в цифровой обработке сигналов, изображений и не отвечают ряду требований алгоритмов численных методов. Применение таких базисных функций в алгоритмах численных методов решения краевых задач в областях с переменными характеристиками и с криволинейными границами порождает значительные трудности. Поэтому разработка ортотональных финитных функций двух переменных, связанных с треугольными сетками в областях со сложными границами, является актуальной задачей. Такие функции дают более точную аппроксимацию искомого точного решения краевой задачи в случаях областей с переменными геометрическими и физическими параметрами, в случаях областей со сложной границей за счет адаптивной геометрии треугольной сетки. Ортогональные финитные функции построены на треугольных сетках на основе функций Куранта таким образом, что эти ортогональные финитные функции отличаются от функций Куранта в меньшей части их конечного носителя. Вследствии этого аппроксимационные свойства ортогональных финитных функций на треугольных сетках определяются аппроксимацион-ными свойствами функций Куранта, а модификация связана только с при-данием функциям свойства ортогональности. При сгущении треугольных сеток в аппроксимирующих линейных комбинациях ортогональных финитных функций повышается степень взаимной компенсации дополнительных финитных функций, деформирующих функции Куранта. Уменьшение размеров конечных носителей этих дополнительных функций является актуальной задачей, поскольку уже на редких сетках такие ортогональные финитные функции дают аппроксимацию, в большей части области близкую к аппроксимации функциями Куранта. При этом такие функции являются ортогональными и могут быть использованы для устранения основного недостатка смешанных вариационно-сеточных методов - повышенного по сравнению с вариационно-сеточными методами "в пе ремещениях" числа узловых неизвестных. Решение этой задачи создает фундамент для построения смешанных вариационно-сеточных методов, обладающих эффективными алгоритмами и не имеющих основных недостатков классических смешанных вариационно-сеточных методов.
Значительный вклад в создание и развитие вариационных принципов и численных методов механики деформируемого твердого тела, входящими в число основных методов математического моделирования и исследования математических моделей механики деформируемого твердого тела, внесли: Н.П.Абовский, В.И.Агошков, Н.П.Андреев, В.Б.Андреев, В.И.Астафьев, Н.С.Бахвалов, В.В.Болотин, А.С.Вольмир, К.З.Галимов, А.П.Деруга, Л.М.Зубов, Ю.Г.Исполов, Л.М.Качанов, В.П.Кандидов, Г.М.Кобельков, В.Г.Корнеев, В.Л.Леонтьев, А.И.Лурье, Г.И.Марчук, С.Г.Михлин, Л.А.Оганесян, Б.Е.Победря, В.А.Постнов, В.Л.Рвачев, В.Я.Ривкинд, Л.А.Розин, Л.А.Руховец, А.А.Самарский, Ю.Н.Санкин, Л.И.Седов, В.И.Сливкер, И.Г.Терегулов, В.С.Чернина, К.Ф.Черных, В.М.Фридман, J.H.Argiris, I.Babuska, G.Birkhoff, J.H.Bramble, F.Brezzi, P.G.Ciarlet, R.Courant, G.Fix, L.R.Herrmanii, E.Hellinger, H.C.Hu, J.L.Lions, J.T.Oden, T.H.H.Pian, W.Prager, C.A.Prato, P.A.Raviart, J.N.Reddy, E.Reissner, G.Strang, R.Temam, E.Tonti, R.S.Varga, F.deVeubeke, K.Washizu, A.Zenisek, O.C.Zienkiewicz, M.Zlamal. Большой вклад в создание и развитие теории вейвлетов внесли: G.Battle, C.K.Chui, R.R.Coifman, A.Cohen, I.Daubechies, P.G.Lemarie, S.Mallat, Y.Meyer, J.O.Stromberg, Ph.Tchamitchian, K.G.Wilson. Значительный вклад в развитие теории вейвлетов внесли: Н.М.Астафьева, М.З.Берколайко, В.А.Желудев, В.Г.Захаров, В.Ф.Кравченко, Р.А.Лоренц, Т.П.Лукашенко, С.М.Машарский, В.Н.Малоземов, И.Я.Новиков, А.П.Петухов, В.И.Пустовойт, В.А.Рвачев, А.А.Саакян, М.А.Скопина, С.Б.Стечкин, Н.А.Стрелков, Ю.Н.Субботин, Н.И.Черных. Теория ортогональных финитных функций, являющаяся обобщением теории В-сплайнов и дополнением теории вейвлетов, создана в работах В.Л.Леонтьева [21, 22, 27, 31]. Эта теория и ее применение в смешанных вариационно-сеточных методах решения краевых задач полу чили развитие в работах В.Л.Леонтьева и его учеников [23, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 94].
Ортогональность финитных функций, заданных на треугольной сетке
В исследованиях сходимости вариационно-сеточного метода в задачах изгиба упругих пластин используется обобщение ортогональных финитных функций, приведенное ранее в 2.3 во второй главе. Исследование сходимости вариационно-сеточного метода проводится на основе анализа величин относительных ошибок, полученных сравнением приближенных решений для силовых и кинематических величин с известными решениями и друг с другом. Полученные результаты показывают высокую точность приближенных решений уже на сравнительно редких сетках и быструю сходимость приближенных решений. При этом приближенные решения для перемещений и для их первых частных производных (углов поворота нормали к срединной плоскости), вторых частных производных (изгибающих и крутящего моментов) и третьих частных производных (перерезывающих сил) характеризуются тем, что они имеют одинаковую гладкость и точность одного порядка. Получение таких решений достигается, в отличие от классических смешанных методов, решением систем сеточных уравнений, имеющих более чем в два раза меньшее число узловых неизвестных. Это число неизвестных совпадает с числом неизвестных метода «в перемещениях», основанного на вариационном принципе Лагранжа. Но данный метод превосходит метод «в перемещениях», поскольку дает приближенные решения для перемещений и моментов, сил (производных перемещений) одинаковой гладкости и точности. Таким достоинством метод «в перемещениях» не обладает, поскольку при определении приближенного решения для моментов и сил требует численного дифференцирования, приводящего к значительному снижению точности, характеризующей приближенное решение для перемещений, и к появлению разрывов на границах треугольных областей сетки. Численное дифференцирование может привести к статически неуравновешенной системе внутренних сил и моментов в задаче статики. Таким образом, предлагаемый вариационно-сеточный метод обладает преимуществом перед классическими смешанными численными методами и перед численными методами «в перемещениях». Проводится также сравнение приближенных решений, полученных на различных сетках, друг с другом для формирования заключений о «практической» сходимости - о наличии предельных функций у последовательностей приближенных решений. Такие заключения на основании теоретических оценок апостериорной сходимости [30], которые получены для двумерных ортогональных финитных функций и справедливы в случае данного метода, означают, что приближенные решения сходятся к точным решениям. Проводится также непосредственное исследование апостериорной сходимости приближенных решений, основанное на использовании экстремальных свойств функционалов Лагранжа и Кастильяно.
Рассматривается квадратная пластинка (а = Ь = 1 м) постоянной толщины h = 0.01 м, жестко защемленная по всей границе и находящаяся под действием равномерно распределенной нормальной нагрузки р-2000кГ/м . Модуль упругости Е = 2-10 кГ/м , модуль сдвига G = 8-109 кГ/м2, коэффициент Пуассона v=0.3. Математическая модель задачи содержит восемь уравнений в частных производных (III. 1.1) и граничные условия (III. 1.2), которые в данном случае на всей границе срединной плоскости пластины имеют вид: W = 0, Рп-0, /?г =0. Граничное условие W = 0 является главным и удовлетворяется заранее в каждом узле границы, граничные условия /Зп = О, /?г = 0 учитываются вариационным принципом как естественные условия. Здесь и далее рп, /Зт - углы поворота элементов пластины, перпендикулярных к срединной плоскости, вокруг нормали п и касательной г линии границы. С помощью исследуемого вариационно-сеточного метода после подстановки в условие стационарности функционала Рейсснера (III. 1.4) линейных комбинаций ортогональных финитных функций (III. 1.5) получены приближенные решения для Wn М{ (І = 1,2), а также для крутящего момента, перерезывающих сил и углов поворота нормали к срединной плоскости. Последовательности приближенных решений были получены на десяти сетках: К5 = 400, N5 = 722; Кб = 484, N6 = 882; К7 = 576, N7 = 1058; К8 = 784, N8 = 1458; К9 = 900, N9 = 1682; K10 = 1600, N10 = 3042. Здесь Kj - число узлов сетки, Nj - число её треугольных элементов. В расчетах учитывалась вертикальная и горизонтальная симметрия пластины. Оси системы координат совпадали с осями симметрии квадратной пластины, ее начало - с центром симметрии пластины. В данной задаче рассматривалась четверть пластины, и использовались равномерные сетки, состоящие из треугольников, две стороны каждого из которых параллельны границам пластины, а третья сторона параллельна диагонали, соединяющей угол границы четверти пластины с центром пластины. На рис. 4.1.1.1 и рис. 4.1.1.2 (обозначения меток: W(0,0) - D, Mj(0,0) - о, М](0.5,0) - А) приводятся графики, которые показывают, как величины ошибок для W и Мі в центре пластины (х = 0, у = 0) и в середине (х = 0.5, у = 0) стороны квадрата, являющегося границей пластины, зависят от вида Рі (і = !,...,!О) используемой сетки (число узлов сетки /) равно Кj). Ошибки определялись по формуле:
Вариационный принцип и вариационно-сеточные уравнения
Функционалы Лагранжа и Кастильяно порождают энергетические нормы [1, 39, 40] в функциональном пространстве, содержащем точное решение. Рассматривается квадратная пластина постоянной толщины h = 0.01м с длиной стороны 1м, шарнирно опертая по всей границе и находящаяся под действием равномерно распределенной нормальной нагрузки р = 2000 кГ / м . Модуль упругости Е = 2-10 кГ/м , модуль сдвига G = 8-10 кГ/м , коэффициент Пуассона v =0.3. Центр пластины совпадает с началом системы координат, а ее границы параллельны Ох и Оу.
Апостериорную оценку точности приближенного решения этой задачи рассматриваемым вариационно-разностным методом дают значения этих функционалов, вычисленные соответственно для линейных комбинаций IV.2.1 и IV.2.4, постоянные коэффициенты которых определяются приближенными решениями, полученными названным вариационно-сеточным методом, таким образом, что значения приближенных решений для сил, моментов, прогиба и углов и значения этих линейных комбинаций совпадают в узлах сетки. Значения функционалов Лагранжа и Кастильяно, полученные указанным образом и характеризующие приближенные решения задачи изгиба пластины на различных сетках, представлены в таблице 4.2.1 и иллюстрируют точность вариационно-сеточного метода. Приведенные в таблице 4.2.1 значения функционалов Лагранжа и Кас тильяно, порождающих энергетические нормы, показывают, что энергия системы, соответствующая приближенному решению, близка к величине энергии, соответствующей точному решению. Эта традиционная для меха ники деформируемого твердого тела апостериорная оценка характеризует высокую точность приближенных решений, как кинематических (прогиба и углов поворота нормали), так и силовых (сил и моментов). Аналогичным образом могут быть получены апостериорные оценки точности приближенных решений в других задачах. Оценки точности решений, основанные на прямом анализе невязок уравнений задачи, в данном методе являются нецелесообразным по следующей причине. При подстановке ОФФ в уравнения производные «всплесков», отличающие ОФФ от функций Куранта и придающие им свойство ортогональности, затрудняют получение этих оценок и существенно их искажают. 1. Разработаны две новые параметрические системы ортогональных финитных функций двух переменных на треугольных сетках, исследованы их аппроксимирующие свойства, определены значения параметров, для которых сеточные финитные функции являются ортогональными на каждой конкретной треугольной сетке. 2. Построен алгоритм нового численного метода - смешанного вариационно-сеточного метода, основанного на использовании вариационного принципа Рейсснера и ортогональных финитных функций, связанных с треугольными сетками, предназначенный для исследования математических моделей изгиба упругих пластин. 3. Создан комплекс компьютерных программ на языке программирования C++, реализующих данный смешанный вариационно-сеточный метод исследования краевых задачах изгиба упругих пластин, имеющих сложную, криволинейную границу, переменные физические свойства и переменную толщину. 4. С помощью этого вариационно-сеточного метода с использованием комплекса программ получены последовательности приближенных реше ний ряда задач, выполнено их взаимное сравнение и сравнение с извест ными решениями, приведены результаты исследования практической схо димости кинематических («основных» неизвестных функций) и силовых приближенных решений (частных производных «основных» неизвестных функций) и апостериорные оценки их сходимости. Показана высокая эф фективность смешанного вариационно-сеточного метода в исследованиях математических моделей указанного класса упругих пластин, подтвержде но, что кинематические и силовые приближенные решения имеют одина ковые характеристики гладкости и точности. Приближенные решения ха рактеризуются высоким качеством.
Изгиб квадратной пластины, жестко защемленной по всей границе
Таким образом, данный метод, использующий ортогональные финитные функции на треугольных сетках, имеет достаточную для инженерных расчетов точность на сравнительно редких сетках. Рисунки показывают, что на сетке, имеющей 1976 узлов, ошибки приближенных решений для прогиба и для изгибающих моментов, то есть для основной неизвестной функции и для ее вторых частных производных, существенно меньше 1% во всех рассмотренных точках пластин в двух решенных задачах.
Рассматривается квадратная пластина со стороной квадрата \м и исходными данными 4.1.1. Одна пара противоположных сторон пластины жестко защемлена (граничное условие W = 0 является главным, граничные условия рп = О, Рх - 0 - естественными), а другая пара противоположных сторон шарнирно оперта (W = 0 удовлетворяется заранее, Мп =0, fit = О учитываются вариационным принципом). После подстановки в условие стационарности функционала Рейсснера (III. 1.4) линейных комбинаций ортогональных финитных функций (III. 1.5) получены приближенные решения для Wn Mj(i = l,2), а также для крутящего момента, перерезывающих сил и углов поворота нормали к срединной плоскости. В расчетах учитывалась горизонтальная и вертикальная симметрия пластины. Оси системы координат совпали с осями симметрии квадратной пластины, ее начало - с центром. В расчетах рассматривалась четверть пластины. На рис. 4.1.7.1, 4.1.7.2 приводятся графики, которые показывают зависимость величин ошибок для приближенных решений Mj и W от числа узлов сетки. Ошибки найдены по формуле: где Rj - приближенное решение на сетке с числом узлов N = 1849, /?2 - приближенное решение на редкой сетке. Рис. 4.1.7.1 (обозначения меток: - М], и А - W) характеризует величины ошибок для момента и прогиба в центре пластины, на сетках с разным количеством узлов. Рис. 4.1.7.2 (обозначения меток: - М/ и О - М2) характеризует величины ошибок для Мі в центре стороны пластины, которая жестко защемлена по контуру. Рисунки 4.1.7.1 и 4.1.7.2 показывают, что уже на сетке, имеющей 625 узлов, ошибки приближенных решений для прогиба и изгибающих моментов существенно меньше 0.01% во всех рассмотренных точках пластин. Таким образом, рисунки демонстрируют высокую точность приближенных решений, полученных вариационно-сеточным методом в задаче изгиба пластины со смешанными граничными условиями на всех сетках. Неоднородная крестообразная пластина (рис. 4.1.8.1, а = 1м, Ь = 0.5м), исходные данные (р, Е, G, v и h) берутся из задачи 4.1.5, граничные условия - из задачи 4.1.1. Пластина состоит из двух материалов, как показано на рис. 4.1.8.1 (обозначение меток: 1 - сталь и 2 - медь). С помощью ВСМ получены приближенные решения для Wи Mj(i = l,2), а также для крутящего момента, перерезывающих сил и углов поворота. В расчетах учитывалась горизонтальная и вертикальная симметрия пластины. Оси системы координат совпали с осями симметрии пластины, ее начало - с центром пластины. В расчетах рассматривалась четверть пластины и использовались сетки, состоящие из треугольников, такие же, как и в задаче 4.1.6. рис 4.1.8.4 - в точке х - 0,у = а.
Похожие диссертации на Численный метод исследования моделей упругих пластин, связанный с ортогональными финитными функциями
