Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Исследование метода секущих углов поиска глобального экстремума функции многих переменных и разработка его модификации 10
1.1. Метод условной минимизации липшецевых функций 12
1.2. Задачи минимизации Липшицевой функции на I; симплексе 20
1.3. Метод секущих углов 24
1.4 Вспомогательная задача 27
1.5 Решение вспомогательной задачи 34
1.6 Условная задача липшицевого программирования 44
1.7 Точная вспомогательная функция 48
1.8 Метод внешних центров 55
1.9 Сходимость метода внешних центров 58
Выводы по главе 1 64
ГЛАВА II Техника программной реализации поиска глобального экстремума 65
2.1. Общая схема работы программного комплекса... 67
2.2. Алгоритм распараллеливания вычислительного процесса реализованного метода секущих углов ... 69
2.3. Особенности реализации ключевых компонентов программного комплекса 72
Выводы по главе II 85
ГЛАВА III Экспериментальные исследования разработанного программного комплекса и его практическое использование в технологии микро- и наноэлектроники 86
3.1. Тестирование программного комплекса 87
3.2. Оптимизация банка данных с виртуальными объектами, описывающими геометрические размеры элементов топологии субмикронного диапазона с использованием разработанного программного комплекса 100
Выводы по главе III 112
Выводы по работе 113
Литература
- Метод секущих углов
- Условная задача липшицевого программирования
- Алгоритм распараллеливания вычислительного процесса реализованного метода секущих углов
- Оптимизация банка данных с виртуальными объектами, описывающими геометрические размеры элементов топологии субмикронного диапазона с использованием разработанного программного комплекса
Введение к работе
Актуальность темы. Математическое моделирование позволяет решать самые разнообразные задачи в различных областях практической деятельности. Использование современных достижений вычислительной техники дает возможность исследовать поведение объектов путем изучения поведения их математических моделей.
В настоящее время одними из актуальных задач математического
моделирования являются задачи рационального выбора, и в частности, задачи
оптимизации. Важное место среди задач оптимизации занимают задачи
многоэкстремальной оптимизации и поиска глобального решения. I
Особенностью решения задач поиска глобального экстремума
является тот факт, что аналитическое решение возможно получить лишь в
редких случаях. В связи с этим большую роль играют численные методы
поиска оптимального решения. Трудности при решении задач поиска
глобального экстремума вызваны большой размерностью задачи, наличием
ограничений, многоэкстремальностью и негладкостью функции. Это привело
к большому разнообразию вычислительных методов, как правило,
существенным образом учитывающих свойства входящих в постановку
задачи функций.
К настоящему времени разработано большое число различных
подходов к решению задач глобальной оптимизации. Отметим среди них
такие методы как метод неравномерного покрытия, метод случайного поиска,
различные варианты метода ветвей и границ, методы представления функций
в виде суммы выпуклой и вогнутой составляющих, методы основанные на
одномерной глобальной оптимизации и многие, многие другие.
Значительный вклад в развитие теории и методов глобальной оптимизации
внесли такие отечественные и зарубежные ученные, как Ю.Г. Евтушенко,
С.Н. Пиявский, В.П. Булатов, Р.Г. Стронгин, Я.Д. Сергеев, А.Г. Жилинскас,
А.С. Стрекаловский, Р. Хорст, X. Туй, A.M. Рубинов, И. Торн, П. Пардалос,
К. Флоудас.
Возрастающая сложность практических задач во всех перечисленных
выше методах приводит к существенному увеличению времени расчетов,
поскольку эти задачи обладают большой вычислительной трудоемкостью и
их машинная реализация малоэффективна при работе с функциями число I
переменных в которых равняется нескольким десяткам и более. Таким
образом, прежде чем приступить к решению подобных сложных
вычислительных задач, необходимо сначала решить первостепенную задачу
повышения эффективности методов поиска глобального экстремума.
Одним из наиболее важных классов задач, рассматриваемых в
глобальной оптимизации, являются задачи нахождения глобального I
экстремума липшицевой функции. В последние десятилетия для решения
этих задач были предложены несколько эффективных численных методов, в
частности, A.M. Рубиновым, М. Андрамоновым, Б. Гловером был разработан
метод секущих углов. С помощью метода внешних штрафных функций были
разработаны также варианты метода секущих углов, предназначенные для
решения задач с ограничениями. В таких методах, как известно, всегда
имеется проблема выбора штрафных коэффициентов, причем при их
увеличении возрастает константа Липшица. С другой стороны,
эффективность большинства методов поиска глобального экстремума, в том
числе и метода секущих углов, снижается с ростом значения константы
Липшица.
В представленной диссертации для решения задач минимизации
липшицевой функции при ограничениях предлагается несколько иной
5 »
подход, основанный на комбинации метода секущих углов и метода внешних
центров (метода параметризации целевой функции). В нем вместо штрафных
коэффициентов используется оценка снизу оптимального значения целевой
функции. Для метода характерно то обстоятельство, что имеется четкая
политика измерения этой оценки и значения константы Липшица »
уменьшается в ходе вычислительного процесса. Это приводит к увеличению
эффективности вычислительного процесса.
Современная тенденция развития технологической и компьютерной ft
индустрии заключается в возможности распределения ресурсов и
вычислительных мощностей в сетевой среде. Среда распределенных
вычислений позволяет по новому взглянуть на возможности существующих
методов поиска глобального экстремума за счет равномерного,
программируемого распределения вычислительной нагрузки. Однако
использование распределенных вычислений для программной реализации I
приведенных методов без их изменения (распараллеливание алгоритмов) не
представляется возможным. Таким образом, одним из путей решения данной
проблемы является разработка модифицируемого метода для его
последующей реализации в распределенной среде.
Направлением исследований в настоящей работе является разработка
программного комплекса для нахождения глобального экстремума функции
многих переменных, который должен реализовать модификацию метода
секущих углов и обладать следующими свойствами: маштабируемость,
платформонезависимость.
Целью работы является совершенствование метода секущих углов для нахождения безусловного и условного глобального экстремума функции многих переменных, для равномерного, программируемого распределения
»
вычислительной нагрузки при решении задачи в распределенной среде программирования.
Для достижения цели необходимо решить следующие задачи исследований:
модифицировать метод секущих углов для решения задачи условной глобальной оптимизации на основе использования специальной вспомогательной функции с целью достижения возможности дальнейшего использования алгоритмов параллельной обработки данных при его реализации.
обосновать сходимость специальной модификации метода секущих углов использующей оценку снизу оптимального значения целевой функции.
разработать алгоритм реализации модифицированного метода поиска глобального экстремума в рамках парадигмы распределенных вычислений.
разработать программный комплекс, воплощающий предложенные алгоритмы реализации модифицированного метода секущих углов для решения задачи глобальной оптимизации.
Протестировать и применить разработанные алгоритмы на практических и прикладных задачах. Провести оптимизацию выбора объектов виртуального банка данных описывающего геометрические размеры элементов топологии ИМС субмикронного диапазона.
Научная новизна. К новым результатам, полученным в диссертационной работе относятся:
»
Разработан модифицированный метод секущих углов для решения задачи условной глобальной оптимизации на основе использования специальной вспомогательной функций.
Доказана сходимость модифицированного метода секущих углов.
Предложен рекурсивный алгоритм решения вспомогательной задачи метода секущих углов, позволяющий находить все локальные точки минимума.
Предложен алгоритм реализации модифицированного метода секущих углов для решения задачи глобальной оптимизации, позволяющий использовать параллельную обработку данных, что приводит к сокращению времени вычислений по сравнению с существующими аналогами.
На основе использования полученного программного комплекса проведена оптимизация выбора объектов виртуального банка данных описывающего геометрические размеры элементов топологии ИМС субмикронного диапазона.
6. Практическая ценность работы заключается в созданном программном комплексе позволяющем решать задачи глобальной оптимизации с большой скоростью сходимости и может применяться в различных предметных областях. В работе описано практическое применение построенного алгоритма и комплекса программ при повышении эффективности работы системы измерения геометрических размеров элементов топологии ИМС нанометрового диапазона.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной XXX, XXXI НТК
»
«Гагаринские чтения», (Москва, 2004, 2005 г.), Международной научно-технической конференции «Международный форум молодых ученых и студентов» (Турция, 2004г.), Научной конференции «Современные наукоемкие технологии» (Испания, 2005г.), Юбилейной конференции РАЕ «Современные проблемы науки и образования» (Москва, 2005г.).
Метод секущих углов
Следуя [33], опишем основной вариант метода секущих углов для минимизации /РЯ-функции f(x) на симплексе S+. Отметим, что любая IPH-функция неотрицательна на R+, так как в силу ее монотонности fix) Д0„) = 0, для любого х є Rn+ / =min/(x) xeS" Ниже предполагаем, что/ 0. Шаг 0. Берем точки Xj = Єр где l j п,ej есть у -й единичный орт, и вычисляем векторы: lj=f(xj)/xj,l j n. С помощью векторов /,-по формуле (1.10) строим функции 1/х), \ j n, и составляем функцию /z(x) = max/.(jt) \ j n J Полагаем k = n,hk(х) = hn(х). Шаг 1. Находим решение х задачи min (x). (1Л4) Хоп Шаг 2. Полагаем к=к+1 U Х/с—Х . Шаг 3. Вычисляем lk=f(xk)/xk и по формуле (1.10) строим новую функцию 1к(х). Составляем функцию: hk (х) = max /. (х) = max {1к (х), кк_х (х)} \ j k и идем на шаг 1. » Как показано в [32], возникающие в ходе работы алгоритма функции hk(x),k n оказываются такими, что их точки минимума JC на симплексе S принадлежит относительной внутренности S , т.е. х є Sn и х 0п. Из того, что / 0, следует также, что все векторы 1к,к \ ненулевые и поэтому абстрактные линейные функции (х) также отличны от функций тождественно равных нулю. р Обозначим ht =mmhk(x) к xsS" к Так как каждый из векторов 1к является опорным к функции f(x) в точке хь то » _ для всех к 1. Поэтому hk / . Кроме того, добавление новых функций Ik (х) при составлении функции hk (х) приводит к тому, что hk hk-i. Если на некотором к-и шаге после нахождения точки хк получаем, что f(xk) hk+, где Є- некоторый положительный параметр, то можно I утверждать, что точка хк является решением исходной задачи с точностью до Є, так как, с одной стороны, f(xk ) / hk,ac другой, f(xk ) hk +. Поэтому / — f(xk) f +. Дальнейшие расчеты на этом можно прервать. » Наряду с основным вариантом метода секущих углов возможны его различные модификации, например, при построении новых опорных векторов щ на шаге 3 учитывать не одну точку минимума х , а также и все другие точки минимума (если их несколько). Более того, строить дополнительно опорные векторы для точек X, которые являются локальными минимумами функции » » hk(x), удовлетворяющих условию hk(x) — hk (?, где 8 - малый параметр, I уменьшаемый в процессе расчетов. I I I » » Рассмотрим вспомогательную задачу в методе секущих углов. Пусть на некоторой к-й итерации имеется N опорных векторов, которым соответствуют N функций fjW) 1 — J — N . Тогда вспомогательная задача состоит в нахождении тіпад, (1.15) где функция h(x) имеет вид: /г(х) = тах/,(д;) = тах тіп/ .(У) (\ \ел \ j N J l j N iel(lj) J К1-1") Векторы Ij являются опорными к липшицевой функции f(x). Первые п векторов lj направлены вдоль единичных ортов, т.е. lj=Cjej,Cj 0, \ j n Остальные векторы ln+i ln+2, ..., IN, как это следует из алгоритма метода секущих углов, принадлежат внутренности ортанта R+ . В дальнейшем считаем, что все векторы l\, /2, ..., IN различны между собой и образуют недоминируемую систему векторов, т.е. для любых двух различных векторов ls и lt неравенства — 1 —lг — п, невозможны. где каждый из векторов г,-, їй j N, является "обратным" по отношению к вектору lj. Из предположения о недоминируемости векторов /ь ..., Iff следует, что все векторы r\i-— rN, находящиеся в множестве Р, также отличны друг от друга и являются недоминируемыми, т.е. для любых двух различных векторов rsE Ри rt є Р неравенства г г;, i i n невозможны. Обозначим через Р+ множество N Р+= Р + R"+ ={](Г; + Rn+) Так как ) є /?", 1 j N} то Р+ (Z R". Обозначим также через дА границу множества А и положим As={xedRn+:\\xl S}. Определение 3. Точка XG дР+ называется нижней (верхней) вершиной множества Р+, если можно указать S О такое, что x+AscdP+, (x-As dP+). (1.17) На рисунке 1.5 нижние и верхние вершины множества Р+ показаны соответственно заполненными и незаполненными кружочками. Нетрудно видеть, что нижние вершины совпадают с самими векторами ) 1й j N. » x2 1//1 X, I X \lh x 1//3 О Хз l//4 l//5 Рис. 1.5. Верхние и нижние вершины множества Р+ Xl » » Рассмотрим "юго-западную" часть границы оР+ множества Р+ : Р0 - сЦхе дР+ : Ах дР+ для всех Я 1}.
Как это следует из определения, все нижние и верхние вершины множества Р+ принадлежат Р0. Более того, любая верхняя вершина является внутренней точкой ортанта R+. Функция h(x) через "обратные" векторы rx,...,rN может быть переписана в виде: Xі /i(jc) = max min — п ля.\ \ j N k=I(r,)rl (1ЛЪ) J
Если точка х є оР то для нее найдется по крайней мере один индекс 1 j N такой, что причем в силу того, что х является граничной точкой множества Р, выполняется равенство х — г} для некоторых компонент х , 1 ї и в том числе и для іе I\Xj ). Отсюда следует, что х 1 й? 7 1Л9 j Для остальных векторов Ту , для которых х&г.Л- R+ получаем, что х г- хотя бы для одного индекса Є 1{гр.
Условная задача липшицевого программирования
Пусть А есть тхп матрица и Ъ є R . Рассмотрим задачу условной оптимизации на симплексе: iSfe/W, (1-35) где X={xeRn:Ax b} и f(x) - липшицева функция на S". Считаем, что существует такая константа L 0, что для любых xv х2 є S имеет место неравенство (1.36) Обозначим /,= min Дх). xzSnr X Пусть Х ={хє X r\S .f(x) = f } - множество оптимальных решений в задаче (1.35). Всюду ниже предполагаем, что Sn С X . Введем штрафную функцию Р( ) = М - )+р где а+ —ia+,...,a+ \ - положительная часть вектора а с координатами а+ =тах[0,я ], 1 / т.Пусть 77 является нижней оценкой величины / , т.е. // / . Составим вспомогательную функцию для задачи (1.35) M(x,7]) = (f(x)-7])l+P(x) (1.37)
Эта функция является неотрицательной для любого хє Sn. Она принадлежит к классу точных вспомогательных функций, исследованных в [8] для общей задачи нелинейного программирования. Нетрудно проверить, что эта функция является липшицевой на Sn. Лемма 1. Пусть f(x) есть липшицева функция на Sn, причем ее константа Липшица относительно нормы равна L. Пусть, кроме того, Т] / . Тогда функция F(x) = (f(x)-7l)2+ также является липшицевой на S с константой Липшица относительно нормы равной A07) = 2(/ f)L, где / =max/(x) XES Доказательство. Так как с+ — d+ \ \ с — d \ для любых с, d є R f т0 имеет место следующее неравенство Л J2 c2+-d2+H(c+-d+)\\c++d+\ 2\(c+-d+)\m3iX[c+,d+] 2\c-d\max[c+,d+]. Поэтому (1.38) Шіх -фІ-ІПх -фІІйІІ/іх -Пх.ШГ-ф для всех х1, х2 є S .Из (1.36) и (1.38) следует, что \F(Xl)-F(x2) \ 2Д/ -17) Ik - II,. Таким образом, F(x) является липшицевой функцией на S" и ее константа Липшица относительно нормы равна Ц (Tj) . # Обозначим через \v) евклидово скалярное произведение в Rn. Лемма 2. Пусть а,- есть і-я строка матрицы А. Тогда для любых х1,х2Є S т Их,)-Р(х2) ( ,.L)IU- 2II,, где Nl =niaxay. \ j n Доказательство. Имеем для любых х1, х2 Є S \P(XI)-P(X2)\ = I \\(АХі-ь)+\\1-\\(Ах2-ь)+\\1\ = 1 &( і. -Ь )+ -({а(,х2)-Ь\] - Zr=J( xi) ( )l = Zr=ii( "x2)l (E ,IDII i- 2111.
Ha основании утверждений лемм 1 и 2 приходим к следующему результату. Предложение 6. Для любых Л — f функция М(-,Т}) является липшицевой на S" и ее константа Липшица относительно нормы равна (77) = 2ЦГ-77) + тахя/ .=1 \ ] П (1.39) I » Из (1.39) видно, что константа Липшица уменьшается с ростом значения нижней оценки Tj. ft І 1.7. Точная вспомогательная функция Пусть dx(x) обозначает расстояние между точкой ХЄ Sn и множеством Xf]Sn: dy(x) = _mm ll _ lli Тогда справедливо следующее утверждение. Лемма 3. Существует такая константа что Р(х) pdx (х) (1.40) для всех х Є S . Доказательство, аналогично доказательству леммы 5.2 из [24] и существенным образом опирается на линейность функций gi(x) = (ai,x)-bi, \ i m.# Положим Q(x) = f(x) + P(x). Так как Р(х) = О для хє X , то Q(x) = f(x) f (1.41) для любых хЄ X f]Sn.
Покажем теперь, что вспомогательная функция М(х,7]) является точной. Это означает, что существует такая область значений оценки Т], что ХІТ]) = X* для всех Т] из этой области. Теорема 3. Пусть Ц* = f* — pl(2L). Тогда ХІТ]) = X* для любых Л* <Л- /* Доказательство. Покажем сначала, что для всех 77* ^ 77 — /*. Это включение имеет место в том и только том случае, когда M(x,7]) = (f(x)-J])2++P(x)>(f*-7])l=M(x*,ri) (1.48) для всех хє S" и некоторого х* є X*. Неравенство (1.48) очевидно, если fix) > f*. Рассмотрим теперь случай, когда fix) < /*. Из (1.43) следует что Р(*) >(/,-/(*)) (Ы9) для всех хє Sn.
Алгоритм распараллеливания вычислительного процесса реализованного метода секущих углов
В разработанном программном комплексе распараллеливание вычислительного процесса разбито на два этапа. Первый этап - это I распараллеливание вычисления математической функции, суть его заключается в дроблении заданной функции на более мелкие составные части. Задача начинает свою работу на сервере, далее сервер узнает доступное количество I рабочих узлов в системе распределенных вычислений. После этого сервер распределенных вычислений дробит каждый диапазон функции на соответствующее количество частей, в результате чего сервер получает новые I более мелкие участки необходимые для просчета, которые рассылаются рабочим узлам, Таким образом достигается увеличение производительности системы и соответственно уменьшение времени расчетов в п раз, где п-число I рабочих узлов. На рисунке 2.1.а представлена схема работы первого этапа.
Второй этап - это распараллеливание вычислительно сложной подзадачи перебора списка нижних вершин и составления по ним верхних вершин.
Изначально задача выполняется так же как и в первом этапе, в зависимости от имеющихся ресурсов, центральный сервер управления системой распределенных вычислений производит дробление искомой функции на более I мелкие части. Далее раздает задачи рабочим узлам первого уровня, или иными словами - субсерверам. Узлы первого уровня приняв задачу от центрального сервера, приступают к ведению вычислений, суть которых, как уже было » отмечено, состоит в том чтобы перебрать весь имеющийся список нижних вершин, и построить по ним верхние, если таковые получаются. Процедура перебора вершин, в данной задаче является наиболее трудоемким этапом среди » всех вычислений проводимых разработанной системой в рамках отыскания ft » глобального экстремума функции многих переменных. Дело в том, что с каждой новой итерацией расчетов в алгоритме, происходит экспоненциальное увеличение количества рассматриваемых вершин. Т.о. чем больше количество переменных у искомой функции и чем выше необходимая точность расчетов, и соответственно уровень итерации алгоритма, тем больше становится рассматриваемый список нижних вершин. Необходимый перебор списка осуществляется я-вложенными циклами, где п - это количество переменных искомой функции, соответственно весь список должен быть просмотрен п раз. Как следствие, мы имеем колоссальные ресурсо- и временные затраты на перебор списка-очереди нижних вершин и построение по ним верхних вершин. Именно поэтому и возникла необходимость в разработке алгоритма способного уменьшить время перебора нижних вершин. Разработанный алгоритм по просчету вычислительно сложной подзадачи, так же основан на параллельных вычислениях в распределенной системе вычислений. Как уже отмечалось ранее, рабочие узлы первого уровня являются своего рода суб-серверами, так как получив для расчета кусок функции, они (суб-сервера) приступают к перебору списка нижних вершин. Суть алгоритма по перебору списка вершин с использованием распределенных вычислений заключается в том, что суб-сервер выполняет п-1 вложенных циклов, в то время как п-нный цикл перебора очереди отдает на выполнение рабочим узлам второго уровня. Применительно к некой условной функции с десятью переменными и имеющимися на определенной итерации ста нижним вершинам, на рабочем узле первого уровня будут «зафиксированы» координаты 1,2,3,4,5,6,7,8,9, а перебор 10-й координаты будет отдан для расчета имеющимся в распоряжении рабочим узлам второго уровня (см. рис. 2.1.6)
Особенности реализации ключевых компонентов программного комплекса
Предложенный метод поиска глобального экстремума реализован на языке C++, в виде объекта- класса с свойствами и методами для проведения расчетов. Учитывая большой массив входных данных, необходимый для решения задачи поиска глобального экстремума функции многих переменных, необходимо использовать не обычные массивы (предоставляемые синтаксисом языка программирования C++) для хранения множества точек, а списки динамических структур или классов, позволяющие в любой момент времени увеличить или уменьшить объем хранимой информации. Причем увеличение или уменьшение элементов списка сформированного с помощью динамических структур возможно осуществлять в сильно фрагментированной памяти. Иными словами, если бы речь шла о массиве размером сто тысяч элементов, операционной системе было бы необходимо найти в оперативной памяти компьютера непрерывную свободную область соответствующего объема, которую можно выделить для использования программой (массивом), в то время как при использовании динамических структур, операционная система выделяет для каждого элемента списка свою отдельную область, т.е. каждый элемент списка не обязательно будет физически располагаться в памяти "рядом" с своим соседями по списку. На рисунке 2.2 представлен общий вид использования памяти при использовании массивов и динамических структур.
Оптимизация банка данных с виртуальными объектами, описывающими геометрические размеры элементов топологии субмикронного диапазона с использованием разработанного программного комплекса
В настоящее время одной из проблем производства микроэлектронных и » микромеханических структур является снижение процента выхода годных изделий с топологией микро- и субмикрометрового диапазона. Нестабильность воспроизведения выходных параметров связана с тем, что современное оборудование характеризуется высокой разветвленностью технологических подсистем, отличается большой разнотипностью используемых материалов, и сложностью алгоритмов управления. I Одним из направлений решения этой проблемы является использование встроенных тест-структур, которые представляют собой элементы, повторяющие параметры реальных объектов. Измерение геометрических размеров топологии встроенных периодических тест-структур методом дифрактометрии в ходе аддитивных и субтрактивных процессов позволяет судить о правильности формирования всего микрорельефа выходного изделия []. Определение формы и размеров ЭТ периодических тест-объектов микроэлектронных и микромеханических систем (МЭС и ММС) методом дифрактометрии сводится к вычислению амплитуды и фазы отраженного излучения, когда падающая волна ограничена некоторой апертурой. Наиболее простой случай - это вычисление методом теории скалярного приближения дифракции, которая игнорирует векторную природу света и рассматривает взаимодействие света с объектом в приближенном аппроксимированном виде. Этот метод применим в случае, когда отражающих объектов много больше длины волны зондирующего излучения. В случае же, когда размер "Ь" или период "d" дифракционного объекта становится соизмерим с X, результаты исследований [68, 100 і 93-95] выявили серьезные расхождения между экспериментальными данными и скалярной теорией дифракции.
Для восстановления топологии поверхности, на которой дифрагировал известный световой пучок, необходимо решить обратную задачу дифракции, которая, в общем случае, является некорректной.
Как показано в работе [93], эта некорректность носит физический характер, приводящий к одинаковому распределению дифрагированного оптического излучения на нескольких топологиях с различающимися размерами. Поэтому любая информация о форме ЭТ поверхности существенно сужает класс топологий, приводящих к одному и тому же распределению дифрагировавшего света, и значительно облегчает задачу восстановления топологии, приводящей к заданной дифракционной картине. Так, в частности, для получения предварительной информации о форме элементов топологии, можно использовать РЭМ, позволяющий определить общий вид поверхности и общую форму элементов топологии. После этого размеры ЭТ могут быть определены из анализа дифракционной картины.
В работах [93-94] для нахождения геометрических параметров объекта измерений предлагается использовать банк данных с виртуальными объектами, характеристики которых соответствуют реальным объектам, получаемым в ходе технологических операций с поверхностными слоями. В работе предлагается идентифицировать реальный объект по соответствию наборов интенсивностей виртуальным объектам из банка данных. Для получения интенсивности светового излучения дифрагировавшего в ГДМ n-го порядка на поверхности трапециевидной формы (рис. З.1.), описываемой функциональной зависимостью y=F(x), использовалась следующая формула.
В качестве параметров варьирования для получения банка данных были рассмотрены следующие параметры исходной математической модели: d - период дифракционного объекта, варьируется от 0.5 до 50 мкм с шагом 0.5 мкм; bd - отношение b/d, варьируется от 0.1 до 0.9 с шагом 0.01, исключая соотношение b/d=0.5; у - длина волны излучения X, имеет два значения 0.48 мкм и 0.625 мкм; h - высота, варьируется от 0.05 до 5 мкм, с шагом 0.05 мкм; 1 - наклон боковой стенки а, варьируется от 30 до 90 с шагом 5; R1 - оптическая характеристика, коэффициент отражения от вершины, варьируется от 0 до 1 с шагом 0.1. R2 - оптическая характеристика, коэффициент отражения от впадины, варьируется от 0 до 1 с шагом 0.1. R3 - оптическая характеристика, коэффициент отражения от склона, варьируется от 0 до 1 с шагом 0.1. Общий объем выборки составил N=Ad Abd Ay Al Ah ARl AR2 AR3, где Ad, Abd, Ay, Al, Ah, ARl, AR2, AR3 - количество вариаций параметров d, bd, у, 1, h, Rl, R2, R3 соответственно N»1000;
