Методы исследования математической модели управления инвестиционным порфелем Турусикова Надежда Михайловна

Оптимальное управление линейной модели

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.3.2. В этом случае множество W{a) есть совокупность векторов /? є Еп, у которых s координат — произвольные действительные числа, а остальные п — s удовлетворяют равенствам (1.3.10), где числа q{ определяются в результате преобразований. Итак, исследовано множество достижимости системы (1.1.3) при ус- ловии, что управление U(-)GU . Данные результаты позволяют определить возможную доходность инвестиционного портфеля при выбранном виде управляющих воздействий. Действительно, имея сведения о состоянии активов на момент начала управления портфелем, мы можем, решая систему вида (1.3.8), по координатам вектора конечного состояния /3 узнать объемы капитала в активах и на банковском счете в момент времени Т. Далее находим конечный объем п У(т)= Г1/Зк , а, следовательно, и доходность ИП. При этом предполагается, k=i что вектор Р ограничен. Возможный ожидаемый уровень доходности инвестиционного портфеля определяется теоремами 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3.

В частности из теоремы 1.3.1 следует, что каковы бы ни были действия инвестора, под влиянием внешних условий будет достигнуто одно и то же конечное состояние портфеля. Выполнение условия теоремы 1.3.2 при заранее выбранных объемах капитала в п — г активах обеспечивает наличие такого управления портфелем, что в оставшихся г активах объемы капитала будут подчиняться равенству (1.3.9). Заметим, что в данной ситуации доходность портфеля зависит от распределения капитала между п-r активами в момент времени Т. Из теоремы 1.3.3 следует, что состояние портфеля в момент времени Г, а, следовательно, и доходность инвестиционного портфеля, зависит от объема капитала в s инвестиционных инструментах и от управляющих воздействий инвестора, а именно, n-r-s компонент вектора / оказывают влияние на координаты вектора J3.

Вторая глава посвящена нахождению условий разрешимости задачи нелокальной управляемости нелинейной математической модели управления инвестиционным портфелем — нелинейной управляемой системы дифференциальных уравнений. Двухточечная краевая задача для нелинейной системы сведена к нахождению условий существования неподвижных точек нелинейных операторов. Определены достаточные условия разрешимости краевой задачи. В 2.1 исследуется проблема нелокальной управляемости нелинейных моделей, как содержащих так и не содержащих линейные члены по фазовой переменной. 2.2 посвящен проблеме нелокальной управляемости системы дифференциальных уравнений в предположении, что матрица системы линейного приближения в одном случае зависит от времени и управления, в другом - от времени и параметра. В 2.3 описывается применение теории, изложенной в 2.1 и 2.2, к исследованию вопроса о достижении инвестором желаемой доходности портфеля. Рассматриваются численные примеры управления конкретными инвестиционными портфелями, состоящими из четырех активов. Рассмотрим математическую модель управления инвестиционным портфелем — систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

Достаточные условия нелокальной управляемости модели, матрица системы линейного приближения которой зависит либо от управления, либо от параметра

В настоящей работе строится и исследуется математическая модель управления инвестиционным портфелем (ИП), которая описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с управляющим параметром. Исследование проводится с целью определения условий наличия управляющих воздействий путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций для достижения желаемой доходности инвестиционного портфеля. В соответствии с целью решается двухточечная краевая задача управляемой системы дифференциальных уравнений, определяются условия нелокальной и локальной управляемости нелинейной системы.

Изучение реальных процессов зачастую сводится к исследованию нелинейных систем дифференциальных уравнений, возникает необходимость построить теорию нелинейных систем, определить условия, при которых такая система управляема. Необходимость решения таких задач возникает при математическом моделировании экономических, химических, биологических, физических, социальных и других процессов [4, 6, 8, 10, 11, 13, 22, 35, 41, 48, 57, 60, 64, 67, 71, 77, 78, 82 - 84, 107]. Математическое моделирование не только помогает строго формализовать знания об объекте, но и в ряде случаев (при хорошей изученности объекта) оно может дать количественное описание процесса и предсказать его ход и эффективность.

Проблема управления инвестиционным портфелем является одной из основных задач финансового менеджмента. При решении этой проблемы исходят, как правило, из предположения о том, что при формировании своего портфеля, инвестор, с одной стороны, хотел бы минимизировать риск портфеля, с другой стороны — получать желаемую доходность. Содержание ИП складывается из ценных бумаг и имущественных вложений. В настоя щее время резко возрастает эффективность математических методов в управлении инвестиционным портфелем, увеличивается интерес к их применению в финансовой работе. Необходимость поиска построения методов исследования и расчета математических моделей сложных процессов, динамика которых описывается управляемыми нелинейными системами дифференциальных уравнений, обусловлена в том числе интересом к задаче перевода объекта из начального состояния в заранее заданное при условии, что система линейного приближения не обладает свойством полной управляемости, к выбору множества допустимых управлений. Поэтому задача определения условий управляемости нелинейных математических моделей является актуальной. В диссертации рассматриваются случаи нелинейных моделей управления инвестиционным портфелем, изучаются вопросы нелокального и локального управления нелинейными системами. Несмотря на то, что исследованию проблемы управляемости систем посвящено большое количество работ, основная их часть относится к решению задачи локальной управляемости. Разнообразие теоретических и практических задач, возникающих в теории управляемости и ее приложений, вызывает необходимость поиска новых методов решения краевых задач, особенно для нелинейных систем.

Цели и задачи исследования. Целью работы является математическое моделирование процесса управления инвестиционным портфелем и получение теоретически обоснованных методов определения стратегии управления портфелем, описываемым математическими моделями — системами обыкновенных дифференциальных уравнений путем перераспределения капитала между активами для получения желаемой доходности портфеля.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие математические задачи.

О достижении инвестором доходности портфеля в некоторых случаях

Вопросам финансового менеджмента, а также управления инвестиционным портфелем посвятили свои работы многие отечественные и зарубежные ученые. Начальный этап развития теории инвестиций относится к 20 — 30-м годам XX века и является периодом зарождения теории портфельных финансов как науки в целом. Этот этап представлен, прежде всего, основополагающими работами Дж. Хикса [95], И. Фишера [94] по теории процентной ставки и приведенной стоимости. Начало современной теории инвестиций определяется выходом в 1952 г. статьи Г. Марковича под названием «Выбор портфеля» в "Журнале финансов" ("The Journal of Finance"). В этой статье впервые была предложена математическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг, были приведены методы построения таких портфелей при определенных условиях. В более расширенном варианте он изложил свою теорию в монографии [110]. Далее теория управления портфелем развивалась У. Шарпом [97, 112], Д. Тобином [ИЗ]. В работе А. С. Шведова [98] содержится изложение теории эффективных портфелей - одной из математических теорий, используемых для выработки решений на фондовых рынках. У. Шарп, Т. Александер, Дж. Бейли [97] занимались развитием теории оценки финансовых активов, рассматривали методы управления инвестициями, изучали проблемы глобализации инвестирования. Исследованию динамических моделей макро- и микроэкономики в виде функционально-дифференциальных уравнений с последействием посвящены работы Колемаева В.А. [39], Симонова П.М. [82 — 84]. В частности Симоновым П.М. рассмотрены нелинейные экономические модели с запаздыванием ввода инвестиций.

Сегодня вопрос управления инвестиционным портфелем — одна из основных задач финансового менеджмента. В работах [20, 21, 25] предложена многомерная динамическая модель управления инвестиционным портфелем. Задача управления портфелем формулируется как динамическая задача слежения по квадратичному критерию за некоторым, задаваемым инвестором, портфелем, имеющим желаемую доходность (гипотетическим эталонным портфелем). В работе В.В. Домбровского, В.А. Гальперина [24] динамика ИП описывается в агрегированном виде, то есть используются уравнения для капитала портфеля в целом. Состояние портфеля определяется суммарным капиталом всех вкладов в активы, а управлениями являются объемы этих вкладов.

Математическая теория управления играет выдающуюся роль в развитии современной цивилизации, хотя возникла сравнительно недавно (наибольшее развитие получила во второй половине XX века). Совершенствование техники и растущая потребность в надежности и безопасности функционирования управляемых систем определило круг задач, которые составляют предмет математической теории управляемых процессов. Так возникли теория управляемости, как результат исследования проблемы перевода управляемого объекта в заданное конечное состояние, теория оптимального управления, направленная на уменьшение потерь при протекании процесса, теория наблюдения и стабилизации. Решение задач конфликтного управления привело к развитию новой ветви математической теории оптимального управления — теории дифференциальных игр. Начало исследований и основные результаты по теории управления процессами, описываемыми системами дифференциальных уравнений, связаны с такими именами, как Р.Е. Калман [36], Н.Н. Красовский [43 - 47], В.И. Зубов [32, 33], Е.А. Барбашин [7], С. Н. Шиманов [99] и другие.

Современная теория оптимального управления основана трудами Л.С. Понтрягина и его учеников — В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе и Е.Ф.

Мищенко [74]. Она обеспечила возможность синтеза оптимального управления для широкого класса линейных систем. Большую роль в теории оптимальных процессов наряду с фундаментальным принципом максимума (необходимые условия оптимальности) Понтрягина Л.С. играет метод динамического программирования [8]. Отметим, что работы, посвященные вопросу существования оптимального управления [1, 2, 8, 9, 35, 50, 51, 65, 66, 70, 74, 93, 109], основываются на предположении об управляемости системы, то есть, на предположении, что существует допустимое управление, переводящее объект в заданное конечное состояние.

В работах [8, 36, 51, 74, 104] исследуются системы вида х = Ах + Ви,хе R",uGRm с постоянными параметрами, определена структура области управляемости, получены некоторые свойства решений краевых задач. Авторы статьи [115] рассматривают аналогичные системы в банаховом пространстве, где А — генератор С-полугруппы, управление и принадлежит If ([О, Т\ U), 1 р оо, U - банахово пространство. Получены условия управляемости и условия нуль-управляемости таких систем.

Красовским Н.Н. [46] задача об управляемости линейной системы х = A(t)х + B{t)u + w{t), x{ta ) = ха, x{tp ) = xp, рассматривается как проблема

Условия управляемости модели в предположении, что матрица B[t) неособенная

Проблемой устойчивости управления по параметру занимался М.Т. Терехин [87, 88]. В отличие от работ [3, 5], где рассматривалась аналогичная задача, в статье [88] определены условия сохранения (потери) управляемости систем вида x = f(t,x,u,X) при изменении параметра Я без предположения о полной управляемости системы линейного приближения.

Ф.Н. Григорьев, Н.А. Кузнецов [22] рассматривали нелинейную систему третьего порядка, являющуюся математической моделью движения крупнотоннажного водоизмещающего судна. Доказано, что оптимальным по быстродействию управлением является релейное управление, имеющее не более двух переключений. Описан метод построения поверхности и линии переключения оптимального управления, что дает основание для синтеза оптимального управления. Шарафеевым Д.Р. [96] найдены условия существования тройки "начальное значение - управление - параметр", разрешающей периодическую краевую задачу. В работах Львовой Л.Л. [52 - 54] задача управляемости нелинейных систем решается методом последовательных приближений. В предположении, что система линейного приближения может не быть впол- не управляемой, получены условия существования пары "управление - параметр", которая переводит объект из нулевого начального в нулевое конечное состояние. Исследуется зависимость свойства управляемости системы х = A(t)x + B{t)u + f{t, х, и, Я) от малых изменений параметра Я.

Земляковой Л.С. [26 — 31] получены достаточные условия существования кусочно-постоянного управления, разрешающего глобальную краевую задачу. Управлением динамическими системами с помощью кусочно-постоянных управлений методом последовательных приближений занимались Раковщик Л.С. [75, 76], Нгуен Т.Б. [67].

Авторами работ [92, 111] в предположении полной управляемости системы линейного приближения получены достаточные условия управляемости нелинейной системы. Тонковым Е.Л. [92] установлено, что система x = f(x,t,u), (x,t)GR"x[t0,t}], ueUaRm, локально управляема, если Oeintt/ и локально управляема соответствующая ей система линейного приближения.

Терехиным М.Т. [90] рассмотрены системы, не являющиеся в общем случае управляемыми, определяется множество, в любой точке которого система управляема.

В работе Пантелеева В.П. [69] установлен необходимый и достаточный признак локальной управляемости линейной по состоянию нестационарной динамической системы х = A(t)x + b{t,u). Работы [63, 64] Митрохина Ю.С., Степанова А.Н. посвящены исследованию системы вида х = f(x) + Ви. В случаях, когда система линейного приближения неуправляема, сформулированы необходимое и достаточное условия локальной управляемости.

Вопросом управляемости нелинейных систем дифференциальных уравнений занимался Воскресенский Е.В. [11 — 17]. В основе его подхода лежит метод сравнения системы с другой, линейной или нелинейной, более удобной для исследования системой. При этом помимо решения проблем теории управляемости метод сравнения позволяет установить ряд других полезных свойств решений, например, устойчивость. В работе [17] на основании принципа сравнения решаются задачи управляемости движением с обратной связью, при условии, что система имеет линейное приближение. За счет малости нелинейной части, управляемости системы линейного приближения свойством управляемости обладает и нелинейная система. с соответствующей линейной системой в предположении, что в фиксированном классе управлений система сравнения является управляемой за конечный или бесконечный промежуток времени.

Мастерковым Ю.В. в работах [58 — 60] исследовались множества локально управляемых, устойчиво управляемых и N -управляемых систем. Получены соотношения между этими понятиями. Показано, что свойство N- управляемости является наиболее сильным из известных свойств управляемости. Авторами работы [111] получен аналог критерия Калмана, сформулированный для систем с запаздыванием.

Петров Н.Н. в работах [71, 72] при исследовании нелинейной автономной системы не предполагал полной управляемости системы линейного приближения. Методом функции Ляпунова получены достаточные условия существования кусочно-постоянного управления, переводящего динамическую систему за конечный промежуток времени из любой точки фазового пространства в начало координат.

При решении задач управляемости в работах [6, 59, 61] в качестве допустимых управлений рассматриваются измеримые, ограниченные вектор-функции. В работе Пантелеева В.П. [69] предполагается, что функция, содержащая управление, удовлетворяет условиям Каратеодори. В [101] допустимыми управлениями считаются измеримые, ограниченные на [0,Г] вектор-функции, зависящие от фазовой переменной,.

Проблема существования управлений, разрешающих краевую задачу для нелинейных систем, исследовалась различными методами [17, 26 — 31, 67, 68, 107]. Габасов Р.Ф. и Кириллова Ф.М. [18] применяют метод приращений, рассматриваемьж на траекториях системы, Терехин М.Т., Землякова Л.С. [94] предлагают метод вариации промежуточной точки, в работе D. Kleis, E.W. Sachs [107] используют метод неподвижных точек.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и приложения. Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации, цель работы, методику исследования, краткий обзор результатов других авторов по теме исследования, краткое содержание работы.

В отличие от работ Петрова Н.Н. [71 - 73], Мастеркова Ю.В. [58], Земляковой Л.С. [27 — 31], Раковщика Л.С. [75, 76] и других авторов в диссертации сформулированы условия существования управлений в виде кусочно-непрерывных вектор-функций, заданных в виде суммы линейной комбинации вектор-строк импульсной переходной матрицы системы и некоторой заданной вектор — функции, зависящей от времени и параметра.

Похожие диссертации на Методы исследования математической модели управления инвестиционным порфелем

Математические модели, методы и средства обработки информации при управлении жилищно-коммунальным хозяйством регионаМаксютин Сергей Александрович

Численный метод исследования моделей упругих пластин, связанный с ортогональными финитными функциями Красильников Антон Рястамович

Инволютивные методы исследования моделей, описываемых системами алгебраических и дифференциальных уравненийБлинков Юрий Анатольевич

Разработка аналитических методов исследования математических моделей активной безопасности в распределенных вычислительных системахБондарь Виктория Витальевна

Статистические модели и методы исследования переноса загрязнений в приземном слое атмосферыЯнковская Лариса Константиновна

Разработка и исследование моделей и методов решения задач наблюдения в современных системах управления движениемГриняк Виктор Михайлович

Разработка моделей и методов исследования сложных неравновесных систем с применением нечетких оценокФинаева Елена Валерьевна

Спектральные методы исследования математических моделей электромеханических систем, включающих звенья с распределенными параметрамиПирожков Станислав Леонидович

Разработка моделей и методов исследования технологических процессов в электроэнергетике с применением нечетких оценок параметров Павленко Елена Николаевна

Качественные и численные методы исследования математических моделей динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с почти периодическими коэффициентамиПронькин Валентин Семенович