Введение к работе
Актуальность темы исследования. Наиболее фундаментальным подходом моделированию экономических процессов в настоящее время считается на описание динамики экономической системы как результата взаимодействия рационально действующих экономических агентов. Таким способом строятся, как модели целостных экономических систем, так и модели отдельных рынков. Наиболее естественно строить такие модели, рассматривая рациональное поведение агентов в случайной внешней среде, что, в частности, предполагается принципом рациональных ожиданий. Подобных моделей существует довольно много. Однако, такие модели обычно рассматриваются либо в дискретном времени, либо для диффузионных процессов, предполагают совершенства рынка и простые условия информированности агентов, а также далеко не всегда исследуются достаточно корректно и последовательно. Поэтому с точки зрения дальнейшего использования в прикладных моделях экономики актуальной задачей остается создание набора достаточно полно и строго исследованных стохастических моделей рынков, учитывающих разного рода «трения», присущие реальным экономическим отношениями, и таких, в которых условия информированности агентов согласованы с описанием всей системы. Также с точки зрения будущих приложений и содержательной интерпретации представляется целесообразным рассмотреть редко исследуемый случай, когда взаимодействие агентов описывается как последовательность дискретных сделок, происходящих в случайные моменты времени. Наконец, поскольку указанные типовые модели должны быть в каком-то смысле исследованы до конца, имеет смысл особое внимание уделить достаточным условиям оптимальности, поскольку их формулировать часто гораздо проще, чем необходимые.
Степень разработанности проблемы в литературе.
Было предпринято немало попыток описать рынок не вполне ликвидных товаров или недвижимости в виде математических моделей. Как правило, не вполне ликвидным считают товар, для которого поиск контрагента для совершения сделки затруднен (S. J. Grossman и G. Laroque; A. Ang, D. Papanikolaou и M. Westeroeld). Но существуют и возможны и другие трактовки не полной ликвидности. В моделях с асимметричной информацией (например, J. Scheinkman и W. Xiong) обращают внимание на координацию действий более информированных торговцев на рынке. Также, исследуется влияние ограничений капитала торговцев на рыночную ликвидность и интенсивность торговли (M. K. Brunnermeier и L. H. Pedersen). Наличие транзакционных издержек может препятствовать свободному движению запасов, заставляя агентов откладывать сделку на некоторое время. В последнем случае предполагается или получается как результат (как в модели S. J. Grossman и G. Laroque) то, что агент совершает сделки, требующие транзакционных издержек, реже, чем в отсутствие транзакционных издержек. Как следствие, агенты не присутствуют на рынке неликвидного товара непрерывно, а появляются на нем время от времени.
Наиболее близкой к нашему исследованию являются работы по ценообразованию активов (CAPM) с товарами длительного пользования и, возможно, транзакционными издержками (R. Merton; S. J. Grossman и G. Laroque; D. Cuoco и H. Liu). В таких моделях цена товара меняется случайным образом и описывается диффузионным процессом. Помимо товара длительного пользования, агент вкладывает средства в безрисковый актив и рискованные активы, цена которых также описана диффузионным процессом. Формально задача агента заключается в максимизации ожидаемого значения интеграла от дисконтированной полезности от будущего потребления товара длительного пользования при ограничениях в виде стохастических дифференциальных уравнений. При этом моменты торговли товаром агент может выбирать сам. Применяя метод динамического программирования, авторы показывают, что оптимальное управление моментами изменения запаса товара подразумевает откладывание сделки до момента, когда фазовые переменные покидают область, называемую «безтранзакционной».
Очень часто процессы типа пуассоновского рассматриваются в качестве частного случая задачи оптимального управления диффузионными процессами со скачками или обобщенными марковскими процессами (B. Oksendal, A. Sulem, N. Framstad, K. Sennewald, K. Walde). Наиболее распространенным методом поиска оптимального управления в таких задачах является использование уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана. В некоторых случаях, при дополнительных предположениях относительно функции Беллмана и оптимального управления, с помощью леммы Ито это уравнение удается свести к дифференциально-разностному и найти решение. Несмотря на широкий опыт применения техники динамического программирования при исследовании стохастических моделей, не всегда представляется возможным решить уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана или исследовать с его помощью вопрос о существовании оптимальной стратегии. В качестве альтернативного подхода предлагают метод множителей Лагранжа. Выражения, определяющие достаточные условия максимума функционала Лагранжа могут иметь более удобную для исследования форму. Грегори Чоу показывает это в цикле работ о применении метода множителей Лагранжа в экономическом моделировании.
Изложенные выше модели объединяет однородность агентов. Существуют работы, в которых неоднородность оценок будущего значения цены может привести к спекулятивному поведению и, как результат, к «пузырям» (J. Scheinkman и W. Xiong; D. Abreu и M. K. Brunnermeier). Основная идея их работы заключается в том, что инвестор может покупать товар не ради получения выгоды от его обладания, а для того, чтобы впоследствии перепродать его агенту, настроенному более оптимистично (придающему активу большую ценность) по высокой цене. Это показывает, что существенные различия в ожиданиях агентов могут приводить к формированию финансовых «пузырей».
Модели динамики цен на актив, напоминающих «пузырь» в основном опираются на случайный характер динамики самих цен или фундаментальных показателей таких, как дивиденды. Представляет интерес смоделировать ситуацию с нетривиальной динамикой ценового «пузыря» в системе с рациональными агентами, умеющими точно предсказывать цену.
Мы разделяем и моделируем две функции агентов – оптимальный выбор объема покупки собственником и поиск контрагента в роли брокера. В последнее время часто используемой конструкцией для описания роли торговца выступают динамические модели поиска (P.Diamond, D. Mortensen, N. Kiyotaki, R. Wright). В соответствии с этим, модель в третьей части диссертации построена в рамках экономической теории поиска, ведущей начало от работы П. Даймонда.
Процесс обмена в модели описывается как случайный. При этом, как правило, в таких моделях предлагается рассматривать континуум агентов (N. Kiyotaki, R. Wright), что делает корректное описание случайного процесса обменов чрезвычайно затруднительным. Модель поиска широко применяется к моделированию рынка недвижимости. Важным нововведением является моделирование и анализ роли посредника в динамической модели поиска на рынке недвижимости (A. Rubinstein и A.Wolinsky).
Объектом исследования является рынок не вполне ликвидного товара, а также процесс поиска контрагентов на рынке неликвидного товара.
Предметом исследования является рациональное поведение агентов в условиях различной степени информированности и возникающие в результате равновесия.
Цель и задачи исследования данной работы состоят в построении и изучении двух моделей рыночного обмена, общей чертой которых является то, что агентам приходится ждать возможности сделки неизвестное им заранее случайное время. Именно в этом смысле мы здесь говорим о не вполне ликвидных товарах. В первой модели агент делит свое богатство между доходным и полезным активами, второй из которых может покупаться и продаваться на рынке и не вполне ликвиден. Во второй модели сравнивается бартерный и денежный обмен на рынке, где все товары являются совершенно новыми. Для обеих моделей ставилась задача описания самосогласованных условий информированности агентов, нахождения их оптимальной стратегии в этих условиях и исследования динамики рынка, возникающей в результате применения множеством агентов своих оптимальных стратегий.
Методологической основой исследования явилась теория управляемых скачкообразных марковских процессов, концепция рыночного равновесия рациональных ожиданий и методы асимптотических разложений.
Научная новизна диссертационного исследования.
Постановка задачи оптимального распределения богатства между доходным и полезным активом со случайными моментами сделок.
Формулировка достаточных условий оптимальности в форме Лагранжа для рассматриваемого скачкообразного процесса.
Доказательство выполнения условий оптимальности для поставленной задачи и нахождение оптимальной стратегии.
Асимптотическое выражение для оптимальной стратегии при большой частоте сделок и логарифмической функции полезности. Разделение агентов на сберегателей и спекулянтов.
Построение модели рынка недвижимости, показывающей возможность динамики цены, аналогичной динамике «пузыря» в условиях полного предвидения.
Формулировка модели бартерного и денежного обмена в модели Киотаки с конечным числом агентов. Исследование стохастической динамики и информационных ограничений.
Исследование равновесия в модели экономики с деньгами.
Теоретическая значимость результатов исследования состоит в построении моделей рынков не вполне ликвидных товаров, разработке метода их анализа и объяснении на основе результатов их исследования возможности образования «пузыря» на рынке недвижимости даже в условиях полного предвидения, а также в выявлении полезности денег как средства обмена даже в условиях полного обновления номенклатуры товаров и интересов агентов.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, и списка литературы из 53 наименований. Общий объем работы – 82 страницы, включая 7 рисунков.
Апробация результатов исследования. Результаты диссертационного исследования были апробированы на следующих конференциях и научных семинарах.
49-я научная конференция МФТИ, г. Долгопрудный, ноябрь 2006 года. «Монетарное и бартерное равновесия в стохастической модели обмена товарами между несколькими агентами».
AESCS’07 workshop, Waseda University, Japan 2007. “Agent-based stochastic model of monetary and barter exchange”.
51-я научная конференция МФТИ, г. Долгопрудный, ноябрь 2008 года. «Математическая модель финансового пузыря».
Всероссийская конференция «Физика и Прогресс 2008”, С-Пб ГУ, «Модель случайного обмена товарами в системе с большим числом агентов».
IV Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование развивающейся экономики и экологии» ЭКОМОД-2009, г. Киров, июль 2009 года. «Модель финансового пузыря».
VI Московская международная конференция по Исследованию Операций (ORM2010), г. Москва, октябрь 2010 года. «Модель оптимального потребления и сбережений при наличии сделок с недвижимостью» (совместно с Поспеловым И.Г.).
V Meeting on Dynamics of Social and Economic Systems, September 2010, Sannio University, Benevento, Italy. “Modeling financial bubble with Poisson uncertainty”.
Научные семинары ВЦ РАН под руководством академика А.А.Петрова, ЦЭМИ под руководством В.И. Аркина и Э.Л. Пресмана, ВЦ РАН под руководством И.Г. Поспелова.
