Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Метод расширяющихся компактов и апостериорная оценка погрешности в случае линейных операторных уравнений 17
1. Случай точно заданных операторов 17
2. Особые свойства метода расширяющихся компактов 22
3. Случай операторов, заданных с ошибками 24
4. Связь метода расширяющихся компактов и метода регуляризации Тихонова с выбором параметра регуляризации по принципу невязки 35
5. Начально-краевая задача для уравнения теплопроводности 37
5.1. Постановка задачи 37
5.2. Результаты расчетов 40
Глава 2. Метод расширяющихся компактов и апостериорная оценка погрешности в случае нелинейных операторных уравнений 43
1. Случай точно заданных операторов 43
2. Случай операторов, заданных с ошибками 45
Глава 3. Задача катодолюминесцентной микротомографии 58
1. Анализ методов 3-х мерной катодолюминесценции 58
2. Схема установки. Описание задачи 64
3. Область генерации и распределение неравновесных носителей. Интенсивность катодолюминесцентной эмиссии 66
4. Фокусировка и пространственная дискретизация оптических лучей с помощью зеркального эллипсоида вращения. Расчет хода лучей в полуэллиптическом зеркале . 69
4.1. Качественные рассмотрения 69
4.2. Расчет хода лучей в полуэллиптическом зеркале.. 73
5. Результаты численного моделирования и их анализ. Схема эксперимента 77
6. Обратная задача катодолюминесцентной микротомографии. Метод решения 82
6.1. Постановка задачи 82
6.2. Метод решения обратной задачи катодолюминесцентной микротомографии 83
6.3. Модельная задача. Анализ результатов 88
6.4. Возможность апостериорной оценки погрешности решения 90
Заключение 98
Список литературы 100
Приложение
- Особые свойства метода расширяющихся компактов
- Связь метода расширяющихся компактов и метода регуляризации Тихонова с выбором параметра регуляризации по принципу невязки
- Случай операторов, заданных с ошибками
- Фокусировка и пространственная дискретизация оптических лучей с помощью зеркального эллипсоида вращения. Расчет хода лучей в полуэллиптическом зеркале
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена проблеме решения
некорректно поставленных обратных задач как линейных, так и
нелинейных при условии истокообразной представимости точного
решения, построению регуляризирующего алгоритма со
специальными свойствами, такими как существование
апостериорных оценок погрешности решения и его оптимальностью
по порядку точности. В работе также решается задача
катодолюминесцентной микротомографии с помощью
предложенного алгоритма. Получено не только решение задачи, но и вычислена апостериорная оценка погрешности.
Понятия корректной и некорректной задач были введены Ж. Адамаром в 1932 году. Начало развитию теории решения некорректных задач было положено в работах А.Н. Тихонова [1-5].
К некорректно поставленным задачам относятся многие задачи линейной алгебры, оптимального управления, минимизации функционалов и многие другие. Оказывается, что большинство обратных задач естествознания оказывается некорректными, что вынуждает использовать для их решения специальные алгоритмы, разработанные в рамках теории регуляризации [6-29].
После основополагающих работ А.Н. Тихонова [1-5], В.К. Иванова [30,31], М.М. Лаврентьева [32,33] теория некорректных задач привлекала внимание многих исследователей: В.Я. Арсенина, А.Б. Бакушинского, Г.М. Вайникко, В.В. Васина, А.В. Гончарского, А.С. Леонова, В.А. Морозова, В.П. Тананы, А.Г. Яголы, H.W. Engl, C.W. Groetsch, и многих др., результаты работы которых отражены в монографиях [34-52].
Параллельно развивались и численные методы решения некорректных задач. При численном решении некорректных задач
возникает проблема дискретизации исходной задачи, т.е. замена исходной непрерывной математической модели некоторым ее конечномерным аналогом. Наиболее употребительными способами дискретизации задачи являются конечноразностный [53,54] и проекционный [55, 56] методы. Суть конечноразностного метода при применении к интегральным уравнениям заключается в замене интеграла конечной суммой. Таким образом, нахождение приближенного решения сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. При применении проекционного метода исходный оператор сужается на конечномерное подпространство, что также сводит исходную задачу к системе линейных уравнений. Обзор численных методов решения таких систем можно найти, например, в [57].
На практике при решении задач важен не только вопрос приближенного нахождения решения некорректно поставленной задачи, но и вопрос о точности найденного приближения. Как будет отмечено ниже, для некорректно поставленных задач невозможно найти точность полученного решения, но иногда, при сильных априорных предположениях о решении, возможно построение, так называемых, апостериорных оценок погрешности. В любом случае при решении некорректно поставленных задач следует использовать всю имеющуюся априорную информацию [41,42].
В теории некорректных задач известен следующий факт. Если искомое решение принадлежит некоторому известному компакту, то в этом случае можно не только построить приближенное решение, но и оценить его точность в соответствующей норме. Принципиальная возможность указанной оценки была обоснована в работе А.Н. Тихонова "Об устойчивости обратных задач" [1].
Построение конструктивных методов приближенного решения некорректных задач на компактных множествах содержится в работах В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева и др. авторов [32,40,58-68]. Наряду с указанным случаем компактного множества часто встречаются ситуации, когда дополнительной априорной информации об искомом решении недостаточно для выделения компакта в пространстве решений. Если полностью отсутствует какая-либо априорная информация об искомом решении, то в общем случае построение оценки точности для метода регуляризации принципиально невозможно [69].
В данной работе предлагается алгоритм, использующий априорную информацию о том, что точное решение принадлежит истокопредставимому с помощью вполне непрерывного оператора множеству, и допускающий апостериорную оценку погрешности.
Основным объектом исследования в данной работе являются операторные уравнения первого рода
Az = u (В.1)
в нормированных и метрических пространствах. Многие задачи математической физики сводятся к уравнению (В.1) с вполне непрерывным, в частности, интегральным оператором А. На практике в таких задачах z -величина, не доступная прямому измерению, из некоторого пространства возможных значений Z, а и -наблюдаемые величина из некоторого пространства и. Уравнения (В.1) называют абстрактными уравнениями Фредгольма 1-го рода. Обычно трудности, возникающие при исследовании таких уравнений, связаны с незамкнутостью области значений оператора А и отсутствием непрерывной зависимости решения от правой части (неустойчивость или некорректность задачи). В связи с этим,
обычные методы, используемые для приближенного решения некорректных задач, оказываются непригодными.
Пусть некоторым характеристикам zeZ соответствует элемент и = Aze U, а в результате эксперимента оказывается доступным приближенное значение элемента «-элемент usgU и оценка
точности приближенных данных 5 : р{й,и5)<д , где р-расстояние в
пространстве U .
В данной работе широко используются фундаментальные понятия: понятие приближенного решения некорректно поставленных задач, введенное в [3], а также понятие регуляризирующего алгоритма - оператора или правила, который каждой паре {нй,5} ставит в соответствие элемент zs<=Z такой, что zs -» z при S -»О - как способа приближенного решения
некорректной задачи.
С теоретической точки зрения важен вопрос о регуляризуемости (т.е. существовании, по крайней мере, одного регуляризирующего алгоритма) уравнения для данного оператора А и пары пространств Z и и. Даже в случае линейного непрерывного оператора А и линейных нормированных пространств на этот вопрос следует дать отрицательный ответ [70], например, уравнение нерегуляризуемо, если пространство 2 несепарабельно, a U сепарабельно [71].
Одной из важных характеристик любого приближенного метода является погрешность построенного приближенного решения. В работе рассматриваются вопросы апостериорного оценивания погрешности и оптимальности метода по порядку точности. Остановимся на этих понятиях более подробно. Приведем результаты, полученные Винокуровым в работах [72,73]. Для
простоты считаем, что оператор известен точно, т.е. Ah = A. Пусть точность приближенного решения zs = R(us,8) может быть представлена в виде:
\\za-z\\
где К не зависит от 8, а функция <р(5) определяет скорость сходимости приближенного решения к точному. Существуют понятия точечных и равномерных оценок погрешностей решений. В случае точечных оценок решение г фиксировано, а константа К и функция <р(8) зависят от z. В случае равномерной оценки данное неравенство справедливо для некоторого множества М точных решений z . Точечные оценки погрешности решений не представляют практического интереса, т.к. точное решение задачи z неизвестно.
Результаты работы [72] могут быть сформулированы следующим образом. Пусть оператор A-.Z-tU -линейный непрерывный инъективный оператор, Z -банахово пространство, и -нормированное пространство. Предположим, что обратный оператор А~' неограничен на области определения D(A~'). Считаем, что <р(8)-произвольная положительная функция, такая что <р(8) -> 0 при 5 -> 0, R5 произвольный метод решения задачи. Тогда следующее равенство выполняется для элементов z кроме, быть может, множества первой категории в пространстве Z :
limU(Rs,8,z)} и (ВЗ)
Здесь A(R5,8,z) = sup{\Rs(u5)-z\\ :\/иг є U,\\Az~u5\< 8}-характеристика
точечной погрешности для метода Rs. Видно, что равномерная
оценка погрешности может существовать только на множестве первой категории в пространстве Z .
Примером множества первой категории является компактное множество в нормированном пространстве. В этом случае можно использовать специальные регуляризирующие алгоритмы для нахождения приближенного решения [43,44,74,75] и возможно построение равномерной оценки погрешности решения.
Для некорректных задач в общем случае невозможно не только построить погрешность приближенного решения, но и даже оценить скорость сходимости приближенного решения к точному z. Однако для некоторых некорректных задач существует, так называемая, апостериорная оценка погрешности. Следуя [76] для случая точного инъективного оператора А с замкнутым графиком и а -компактного пространства 2 определим функцию A(8,us) такую, что
Угє 2 3S(z) >0, V5e (0,c5(z)], Vue є U \us -й\\<5 :\\z-Rs(ua)\\ < A(8,us).
Функция A(S,us) называется апостериорной оценкой погрешности, если Д(<5,нг)-*0 при д -» 0. В работе [76] также отмечено, что для вычисления апостериорных оценок погрешности может быть использована техника получения оценок модуля непрерывности обратного отображения на компактах. Модуль непрерывности вычислен для некоторого класса задач в работах [40,77].
Как было отмечено выше, для того чтобы построить равномерную оценку погрешности приближенных решений нужно рассматривать определенные множества решений. С технической точки зрения удобно использовать множества представимые в виде М = Mr = {z:z = Bv,vs V,|v|<г). Здесь v-гильбертово пространство,
В : V-* Z -заданный оператор, г-фиксированный параметр. Важные результаты теории равномерных оценок могут быть получены в двух случаях. В первом случае оператор В предполагается линейным, инъективным и вполне непрерывным, не зависящим от оператора А
(см., например, [40,44,45,49]). Во втором случае оператор В рассматривается как функция оператора А'А, а V =Z (см., например, [37,40,49,51,78]). Обычно целью таких подходов является то, чтобы доказать некоторые оптимальные свойства заданных методов и сравнить различные методы по скорости сходимости.
При сравнительном анализе методов возникает необходимость получения точных (по порядку) оценок оптимальности методов, позволяющих судить о максимально возможной точности приближенного решения задачи. Исследование таких оценок для задач с точно заданным оператором можно, найти, например, в [46]. Поэтому важную роль играет понятие оптимальной точности, оптимального метода, оптимального по порядку точности метода. Эти определения различны в первом и втором подходах. Приведем данные определения для первого подхода.
Под точностью метода R5 понимается:
А(Я1,5,г) = 5ир{\\Я5(и5)-Ц:їє Мг,\\Аї-и5\\<е}. (В.4)
ZJ'S
Оптимальной точностью на классе на классе R всех возможных
методов R решения задачи называется
A^,(S,r) = m{{A(R,S,r):ReR}. (В.5)
Метод Rs называется оптимальным по порядку на множествах Л/, если выполняется следующее неравенство:
МДдЛг) (В6)
при 8 —> 0 j и к не зависит от S, г. Целью настоящей работы является:
1. Построение алгоритма решения линейных операторных уравнений при условии истокообразной представимости
точного решения как в случае точно заданных операторов, гак и в случае операторов, заданных с ошибками.
Построение алгоритма решения нелинейных операторных уравнений при условии истокообразной представимости точного решения как в случае точно заданных операторов, так и в случае операторов, заданных с ошибками.
Анализ вопроса апостериорного оценивания решений, полученных с помощью предложенных алгоритмов. Получение выражений для апостериорных оценок погрешности.
Анализ оптимальности (по порядку) точности метода,
Решение прямой задачи катодолюминесцентной микротомографии- Моделирование светового транспорта в конфокальной системе.
Решение обратной задачи катодолюминесцентной микротомографии, используя результаты п.5, с помощью предложенного алгоритма. Вычисление апостериорных оценок погрешности полученного решения.
Методика исследования базируется на основных фактах теории решения некорректно поставленных задач, функционального анализа, теории линейных операторов, методов решения экстремальных задач.
Перейдем к изложению содержания работы по главам.
В первой главе рассматривается уравнение (В.1) при условии, что имеется следующая априорная информация о точном решении її Z:
г=Вй, (В.7)
где В -линейный инъективныи вполне непрерывный оператор, действующий из пространства v в Z. a-,z-*0~ -линейный ограниченный инъективныи оператор с областью значений R(A).
Пространства V,Z>U предполагаются нормированными. Предложен алгоритм решения уравнения (ВЛ) с априорной информацией (В.7), вычисляющий устойчивое приближение к точному решению 2 по заданным приближенному значению правой части уравнения (В. 1) и5 и погрешности его задания S. Элемент us, такой что ||й-^|<5. Таким образом, по данным {и5,б} построено приближенное решение, то есть элемент z^Z, такой что \zs -z|| -> 0 при 5 -»0. Доказано, что
предложенный алгоритм является регулярнаирующим и допускает апостериорную оценку погрешности, т.е. существует функционал A(Stits) такой, что A(8,us) ->0 при 5 ->0, и ||^ -Ц<А(3,и5) по крайней
мере для всех достаточно малых положительных S. Алгоритмы решения задачи (В.1),(В.7) предложены также для случаев, когда операторы А и В известны с ошибками. Доказано, что предложенные алгоритмы являются регуляризируюшими и допускают апостериорные опенки погрешностей. Получены выражения для этих оценок погрешностей. Приводятся результаты модельных расчетов, подтверждающих справедливость доказанных утверждений, а также значения апостериорных оценок погрешностей, полученных при решении задачи. Показано, что предложенный алгоритм является оптимальным по порядку точности для случая V =Z? Z,U -гильбертовы пространства, В = {A'A}ptl. Тем самым подтверждена общая идея, что при построении регуляризирующего алгоритма следует использовать всю доступную априорную информацию.
Во второй главе результаты, полученные для линейного случая, перенесены на случай нелинейных операторов, действующих в метрических пространствах. Например, для случая, точно заданных операторов задача рассматривалась при следующих предположениях:
Z,u-метрические пространства, а оператор л \2 -*и-непрерывный инъективный оператор с областью значений R(A). По данным {ий,5} требуется построить приближенное решение, то есть элемент Z$G Z, такой что p(zstz)-*0 при <5 —>0. Элемент ^-приближенно заданная правая часть уравнения (В.1), такая что р{иуй)<8 t 8 -погрешность
задания правой части. Рассматривались также случаи, когда операторы заданы с ошибками, а именно случаи, когда оператор А задан с ошибкой, В задан точно; оператор А задан точно, В задан с ошибкой; А задан с ошибкой, В задан с ошибкой. Предложены алгоритмы решения задач для рассмотренных случаев, доказано существование апостериорных оценок погрешностей, а также получены выражения для этих оценок.
В третьей главе решается задача катодолюминесцентной микротомографии. Моделируется световой транспорт в като до люминесцентных материалах и собирающей излучение эллипсоидальной системе. На основе этих расчетов показана принципиальная возможность реализации катодолюминесцентной микротомографии в растровой электронной микроскопии. Обратная задача катодолюминесцентной микроскопии решается с помощью предложенного в первой главе метода. Рассчитаны значения апостериорных погрешностей полученных решений. Для решения данной задачи диссертантом создан программный комплекс.
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, заключаются в следующем.
Рассматриваются задачи решения операторных уравнений с приближенно заданными данными при условии истокообразной представимости точного решения, полученные результаты
применяются для решения задачи катодолюминесцентной микротомографии,
Предложен алгоритм решения линейных операторных уравнений в нормированных пространствах при условии истокообразной представимости точного решения, как для случая точно, так и для случая приближенно заданных операторов. Показано, что предложенные алгоритмы являются регуляризирующими по Тихонову.
Доказано существование апостериорных оценок погрешностей при решении данных задач предложенным алгоритмом. Получены выражения для данных оценок погрешностей.
Показана оптимальность по порядку точности предложенного алгоритма.
Полученные результаты перенесены на случай нелинейных уравнений в метрических пространствах.
Решена прямая задача катодолюминесцентной микротомографии: по заданному пространственному распределению квантового выхода, характеризующего оптоэлектронные свойства объекта, определялась энергия излучения, попавшего в диафрагму- Моделировался световой транспорт в объекте и коллектирующей излучение эллипсоидальной системе. Предложена схема проведения эксперимента.
На основе данных полученных при решении прямой задачи, с помощью предложенного метода, решена обратная задача катодолюминесцентной микротомографии: по полученному набору измерений энергии излучения, попавшего на фотодетектор, восстанавливалась внутренняя микроструктура объекта, при условии истокообразной представимости
внутреннего квантового выхода, как функции глубины. Также было доказано существование апостериорной оценки погрешности при решении данной задачи предложенным методом. Вычислены значения данных оценок погрешностей. На основе полученных результатов проанализированы возможности предложенного метода.
Практическая значимость работы заключается в том, что разработанные в работе методы решения некорректно поставленных задач и апостериорного оценивания погрешности решения могут быть использованы для решения различных классов прикладных задач, включая нелинейные, что особенно важно. Предложенный метод решения задачи катодолюминесцентной микротомографии может быть использован для определения и визуализации внутренней микроструктуры оптоэлектронных структур. При реализации предложенного метода, информация будет извлекаться из локального объема, меньшего более чем на порядок по сравнению с областью возбуждения свеча, который регистрировался раньше в известных работах по катодолюминесцентной микроскопии. Ожидается улучшение пространственного разрешения (по глубине и латерально) в несколько раз, что особенно необходимо в связи с бурным развитием наногехнологий и микроскопии.
Апробация работы. Основные результаты работы
докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математики
физического факультета МГУ, семинаре "Обратные задачи
математической физики" под руководством проф. Яголы А.Г,
проф. Бакушинского А.Б. и проф. Тихонравова А.В,5 на
конференциях к Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-99», Москва, физический факультет МГУ, 21 апреля 1999 года», «Обратные и
некорректно поставленные задачи. Москва, факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ, 20-21 июня 2000 года», «Ill-posed and non-classical problems of mathematical physics and analysis, September 11-15, 2000 , Самарканд, 2000», «Fast solution of discretized optimization problems" (WIAS Berlin, May 8-12, 2000)», «ЕСМГ 2002. \2th Conference of the European Consort ium for Mathematics in Industry. Jurmala, Latvia, September 10-14, 2002», «international Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics (1S1P2003), Nagano, Japan, 18-21 February 2003».
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, одна работа принята к печати, ссылки на данные публикации приведены в конце списка литературы. Соавторы участвовали в постановках задач и обсуждении результатов.
Особые свойства метода расширяющихся компактов
Пусть теперь оператор Л-вполне непрерывный линейный инъективный оператор, а пространства Z? V -гильбертовы.
Во многих публикациях, посвященных сходимости регуляризующих алгоритмов, (см,, например, [37-39,49,51,52]) встречается следующая истокообразная представимость неизвестного точного решения уравнения (1.1): В недавних публикациях [74,75] случай такой истокообразной представимости детально исследовался. Было доказано, что классические регуляризирующие алгоритмы (такие, как метод регуляризации Тихонова с выбором параметра регуляризации по обобщенному принципу невязки, методы квазирешения, метод невязки и т.д.) могут быть модифицированы для то [ О, чтобы использовать рассматриваемую априорную информацию (] .8) и добиться того, чтобы эти методы стали оптимальными по порядку точности. Также был введен специальный класс адаптивных регуляризирующих алгоритмов. Ниже будет показано, что в рассматриваемом случае истокообразной представимости применим метод расширяющихся компактов, и задача (1.1) с априорной информацией (1.8) допускает апостериорную оценку погрешности. Рассмотрим метод расширяющихся компактов в случае: Z,U-гильбертовы пространства, У = Z, А -вполне непрерывный линейный инъекгивный оператор, действующий ИЗ Z в U, В = {А лу/29 р = const 0, р —задано , Теорема 1.3. [99,100] Метод расширяющихся компактов в случае: Z, U -гильбертовы пространства, V = Z,A -линейный компактный инъективный оператор, действующий из Z в U, В = {Л лу 2, оптимальный по порядку точности регуляризирующий алгоритм, допускающий апостериорную оценку погрешности. Доказательство, Оператор {А А) "1 является вполне непрерывным и инъективным из Z в Z для любого р 0. Действительно, компактность оператора {А А)р11 следует немедленно из известных свойств собственных значений линейного компактного самосопряженного оператора, {см, [83]), Инъективность очевидна. Легко видеть, что Теоремы 1.1 и 1.2 остаются в силе. Таким образом, метод расширяющихся компактов является регуляризирующим по А,Н, Тихонову алгоритмом, допускающим апостериорную оценку погрешности, для приближенного решения задачи (1.1), (1.8).
Докажем теперь оптимальность по порядку точности такого приближения. Для всех 8е(0,бп] (5п определено R Теореме 1Л.) метод расширяющихся компактов совпадает с квазирешений на выпуклом уравновешенном компакте BVlt{S . Таким образом, метод является оптимальным по порядку точности. Как это следует из [38] точность метода не хуже чем 0(5уЯіУ ])) для всех р 0. Главный результат, полученный здесь, заключается в том, что априорная информация об истокообразной представимости дает возможность построить регуляризирующий алгоритм со свойствами, недоступными для алгоритмов, не учитывающих такой информации. Рассмотрим теперь случай, когда операторы АЙВ, также как и правая часть уравнения (1.1), задана с ошибками. Именно, рассмотрим следующие случаи: 1. оператор А задан с ошибкой, оператор В задан точно; 2. оператор А задан точно, оператор В задан с ошибкой; 3. операторы А и В заданы с ошибками. Случай 1. Пусть оператор А задан с ошибкой. Это означает, что вместо точных данных задачи нам известны данные {А117гг&) и ошибки задания входных данных {h,8} для задачи (1.1). Здесь A -.Z-bU-линейный ограниченный оператор, такой что л-лА h, h 0. Элемент и е U -приближенно заданная правая часть уравнения (1.1) такая, что й- 5. Ошибки задания входных данных {h,8} предполагаются известными. Таким образом, по данным {Ailtus,hrS} требуется построить элемент zt} є Z3r\ =(/ ,), такой что zN-l- 0 при Предлагается следующий алгоритм приближенного решения уравнения (1.1) с априорной информацией (1-2) для случая 1 [100]: 1. Положим п = 1; 2. Определим множество Z„ как 3. Минимизируем невязку F(z) = 4Jz-«5 на множестве 2ґг; 4. Если то решение найдено. Обозначим п(5, h)=n, а в качестве приближенного решения уравнения (11) с априорной информацией (1.2), которое обозначим как zn(Sh), возьмем произвольное решение неравенства 5. В противном случае изменяем п на л + 1 и повторяем процесс. Теорема 1-4- [100] Для сформулированного выше алгоритма п(8, h) +«. Приближенные решения zn{bM сходятся к точному решению уравнения (LI) z пріл 8rh- 0. Существует апостериорная оценка погрешности A(8,htu3,Ah) такая, что A(53h?us,Ah) -»G при 8,h- 0 и hiSlt)-zj &(Syhtu5tAh) по крайней мере для достаточно малых положительных S и неотрицательных h. Доказательство- Так как шар Krr ={VE К:У Л} -ограниченное замкнутое множество в пространстве v, а оператор В вполне непрерывный, то Zn -компакт в Z для любого п. По теореме Вейерштрасса (см., например [44]) непрерывный функционал F(z) = 4Az-Wj достигает своей нижней грани на 2Н (возможно не в единственной точке Zn Е Zft), Конечность п{5.И) и существование 010 таких, что n(5fh) = ti(5bthv) для любых 0 0, 0 й А0 следует из того, что і , [...] целая часть v]+i, s противном случае числа и того факта что Легко увидеть, что n{8yk) не может быть меньше TV для произвольных малых положительных 5, к. В самом деле? в противном случае, в компакте 2РІ содержалось бы более одного решения уравнения (1.1), что противоречит условиям задачи. Поэтому существуют 50 0, ha 0 такие, что для любых 0 $ д09 0 h ho приближенные решения zH(6M принадлежат компактному множеству Zri Sn fit]. Отсюда вытекает, что предложенный метод совпадает с методом квазирешений [40] для всех достаточно малых положительных 5, к.
Тогда сходимость приближенных решений к точному немедленно вытекает из известных результатов теории некорректно поставленных задач [40,43]. Следовательно, метод является регулярнзирующим алгоритмом, согласно определению A. Н. Тихонова (см., например, [44]). В качестве апостериорной оценки погрешности справедливой для достаточно малых 5, к достаточно ввести функционал: Пусть оператор А известен точно, а оператор В задан с ошибкой. Этот случай является более сложным по сравнению как со случаем, когда операторы заданы точно, так и со случаем 1, т.к. в рассматриваемом случае расширяющиеся компакты, на которых происходит минимизация функционала, зависят от ошибки задания входных данных, которая при анализе, является ли алгоритм регуляризирующим, не остается постоянной, а стремится к нулю, а также от приближенно заданного оператора. Поэтому введем дополнительное требование: пусть V будет рефлексивным банаховым пространством. Итак, вместо точных данных задачи нам известны приближенные данные {В щ} и ошибки их задания {hfS} для задачи (1.1). Здесь Bh: V — Z -линейный вполне непрерывный инъективный оператор, такой что -BA /i, А 0. Элемент е(/ приближенно заданная правая часть уравнения (1.1) такая, что \й-и6 Таким образом, по данным {Btt, и5, к, 5} требуется построить элемент z4e Z,T} =(fr,5), такой что к -гЦ-» 0 при J] -»0
Связь метода расширяющихся компактов и метода регуляризации Тихонова с выбором параметра регуляризации по принципу невязки
Параллельно развивались и численные методы решения некорректных задач. При численном решении некорректных задач возникает проблема дискретизации исходной задачи, т.е. замена исходной непрерывной математической модели некоторым ее конечномерным аналогом. Наиболее употребительными способами дискретизации задачи являются конечноразностный [53,54] и проекционный [55, 56] методы. Суть конечноразностного метода при применении к интегральным уравнениям заключается в замене интеграла конечной суммой. Таким образом, нахождение приближенного решения сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. При применении проекционного метода исходный оператор сужается на конечномерное подпространство, что также сводит исходную задачу к системе линейных уравнений. Обзор численных методов решения таких систем можно найти, например, в [57].
На практике при решении задач важен не только вопрос приближенного нахождения решения некорректно поставленной задачи, но и вопрос о точности найденного приближения. Как будет отмечено ниже, для некорректно поставленных задач невозможно найти точность полученного решения, но иногда, при сильных априорных предположениях о решении, возможно построение, так называемых, апостериорных оценок погрешности. В любом случае при решении некорректно поставленных задач следует использовать всю имеющуюся априорную информацию [41,42].
В теории некорректных задач известен следующий факт. Если искомое решение принадлежит некоторому известному компакту, то в этом случае можно не только построить приближенное решение, но и оценить его точность в соответствующей норме. Принципиальная возможность указанной оценки была обоснована в работе А.Н. Тихонова "Об устойчивости обратных задач" [1].
Построение конструктивных методов приближенного решения некорректных задач на компактных множествах содержится в работах В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева и др. авторов [32,40,58-68]. Наряду с указанным случаем компактного множества часто встречаются ситуации, когда дополнительной априорной информации об искомом решении недостаточно для выделения компакта в пространстве решений. Если полностью отсутствует какая-либо априорная информация об искомом решении, то в общем случае построение оценки точности для метода регуляризации принципиально невозможно [69].
В данной работе предлагается алгоритм, использующий априорную информацию о том, что точное решение принадлежит истокопредставимому с помощью вполне непрерывного оператора множеству, и допускающий апостериорную оценку погрешности.
Основным объектом исследования в данной работе являются операторные уравнения первого рода в нормированных и метрических пространствах. Многие задачи математической физики сводятся к уравнению (В.1) с вполне непрерывным, в частности, интегральным оператором А. На практике в таких задачах z -величина, не доступная прямому измерению, из некоторого пространства возможных значений Z, а и -наблюдаемые величина из некоторого пространства и. Уравнения (В.1) называют абстрактными уравнениями Фредгольма 1-го рода. Обычно трудности, возникающие при исследовании таких уравнений, связаны с незамкнутостью области значений оператора А и отсутствием непрерывной зависимости решения от правой части (неустойчивость или некорректность задачи). В связи с этим, обычные методы, используемые для приближенного решения некорректных задач, оказываются непригодными.
Пусть некоторым характеристикам zeZ соответствует элемент и = AZE U, а в результате эксперимента оказывается доступным приближенное значение элемента «-элемент USGU И оценка точности приближенных данных 5 : р{й,и5) д , где р-расстояние в пространстве U .
В данной работе широко используются фундаментальные понятия: понятие приближенного решения некорректно поставленных задач, введенное в [3], а также понятие регуляризирующего алгоритма - оператора или правила, который каждой паре {нй,5} ставит в соответствие элемент zs =Z такой, что zs -» z при S -»О - как способа приближенного решения некорректной задачи.
С теоретической точки зрения важен вопрос о регуляризуемости (т.е. существовании, по крайней мере, одного регуляризирующего алгоритма) уравнения для данного оператора А и пары пространств Z и и. Даже в случае линейного непрерывного оператора А и линейных нормированных пространств на этот вопрос следует дать отрицательный ответ [70], например, уравнение нерегуляризуемо, если пространство 2 несепарабельно, a U сепарабельно [71].
Одной из важных характеристик любого приближенного метода является погрешность построенного приближенного решения. В работе рассматриваются вопросы апостериорного оценивания погрешности и оптимальности метода по порядку точности. Остановимся на этих понятиях более подробно. Приведем результаты, полученные Винокуровым в работах [72,73].
Случай операторов, заданных с ошибками
Пусть оператор А задан точно, а оператор В задан с ошибкой. Этот случай является более сложным по сравнению как со случаем, когда операторы заданы точно, так и со случаем 1, т.к, в данном случае расширяющиеся компакты, на которых происходит минимизация функционала, зависят от ошибки задания входных данных, которая при анализе является ли алгоритм регуляризирующим не остается постоянной, а стремится к нулю, а также от приближенно заданного оператора. Введем дополнительное требование; пусть z,U -нормированные пространства, а V -рефлексивное банахово пространство- Пусть оператор л имеет ограниченную сильную производную на пространстве Z и A (z) зависит непрерывно от zeZ в равномерной операторной топологии и существует sup,EZ-4 (z), В -усиленно непрерывный инъективный оператор, действующий из пространства V в Z. Под понятием "усиленно непрерывный" оператор будем понимать оператор, отображающий слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся. Следует заметить, что оператор В компактный, как действующий из рефлексивного банахова в нормированное пространство.
Вместо оператора В и правой части г7 нам известны данные {ВН7и&} и ошибки задания входных данных {К5} для задачи (2.1). Здесь Bh.V - Z-усиленно непрерывный инъективный оператор, такой что v-#ftv ip(/i,v). Оператор Bh также является компактным, по той же причине, что и оператор В. Элемент it =U приближенно заданная правая часть уравнения (2.1) такая, что г"-«й 5. Ошибки задания входных данных {h,8\ и функция v/(/?,v) предполагаются известными. tp(hty) непрерывная функция при h 0, у о, монотонно неубывающая по первому аргументу, у/{й,_у)- 0 равномерно по у на любом сегменте [о,с]С 0 при h Q. Таким образом, по данным {Bh,и3,у/,h,5) требуется построить tfef элемент гче Ztrj =(htS)7 такой что z -z - 0 при q — 0. Предлагается следующий алгоритм приближенного решения уравнения (2.1) с априорной информацией (2.2) для случая 2 [ПО]: 1. Положим и -}; 2. Определим компактное множество Zrih как (подчеркнем еще раз, что множества Znli зависят теперь от оператора Bh)\ 3. Минимизируем невязку F(z) = \\Az-u&\\ на множестве znh\ 4. Если где AA Cl( v) = Sup?e,[ (,№/J (z)) С2( ) = (Щ), R{BbV,4f(h,\\v\\))-mbp радиуса ИА, v]) с центром „v, го решение найдено. Обозначим n(8,h) = n, а в качестве Приближенного решения уравнения (2.1) с априорной информацией (2.2), которое обозначим, как zniSjl) = BhvniSil} возьмем произвольное решение неравенства 5.
В противном случае изменяем п на п + [ и повторяем процесс. Доказательство, Легко увидеть, что если определить N как в Заметим, что Btlvt=2Nll для любых h и , поэтому решение неравенства (2.16) n(S,h) N. Зафиксируем теперь любое ПОЛОЖИТЄЛЕ НОЄ к и рассмотрим только he[0,h]. Тогда все компактные множества Zn(5n,r)/, будут находиться в шаре конечного радиуса, т.к.: Докажем теперь, что предложенный метод является регуляризирующим алгоритмом по Тихонопу. Как обычно (см. [40]) предположим, что приближенные решения zii[fi!A не сходятся к z при Sth- 0. Тогда существует є 0 и последовательности 6\, АА. - 0 такие, что По пред поло жени ЇО к-рефлексивное банахово пространство. Таким образом, множество yN ={vє V ;v ;V} -слабый компакт в V (см.j например, [49]). Все элементы vAlSi К] = B znKSt м принадлежат слабому компакту V . Поэтому можно выбрать из последовательности уп[&к,ьх) подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу v e . Без потери общности будем считать, что последовательность vM(iM ) слабо сходится к элементу v . Тогда Из последнего неравенства следует, что U#v" -ABvl = 0 И, ЧТО Vі = v в силу того, что оператор АВ инъективный. Таким образом, Bvn{tM - Bv -І сильно в 2, в силу того, что оператор В усиленно непрерывный. Покажем теперь также, что Bh viltSi Лі] — Bv = z . Действительно: что противоречит (2.19). Таким образом, предложенный алгоритм является регуляризирующим по А.Н. Тихонову. Если существует последовательность дк,hk - 0 такая, что n(8klhk) N при всех к (это означает, что n{dkyhk) N -\ при всех к), тогда легко доказать существование решения I = Bv, такого что v N-1, что противоречит предположениям Теоремы- Таким образом, следующее неравенство справедливо для достаточно малых положительных д и неотрицательных h:
Фокусировка и пространственная дискретизация оптических лучей с помощью зеркального эллипсоида вращения. Расчет хода лучей в полуэллиптическом зеркале
Рассмотрим краткий экскурс в методы катодолюминесцентной микроскопии. В современных, оптоэлектронных приборах, например, таких, как светодиоды и полупроводниковые лазеры, существенную роль играют процессы излучательной рекомбинации, при которых происходит генерация световых квантов. Такие полупроводниковые структуры состоят из эпитаксиальных слоев малой толщины. В этих структурах эффективность излучательной рекомбинации зависит от наличия структурных дефектов, которые обычно распределены по слоям неоднородно, что приводит к неоднородному распределению излучательных характеристик. Режим катодолюминесценции в растровой электронной микроскопии позволяет контролировать распределение излучательных характеристик на микроуровне и, как следствие, внутреннюю микроструктуру объекта и является незаменимым при исследовании таких структур. Очень важно при этом понимать процессы, происходящие при взаимодействии электронного зонда с полупроводником, приводящие к возникновению светового излучения.
Явление катодолюминесценции - генерации светового излучения под облучением электронами известно давно и используется практически во всех электронно-лучевых трубках. С помощью катодолюминесценции также исследуются люминесцентные свойства различных материалов [S9].
Методика катодолюминесцентных исследований различных объектов выступает в одном ряду с другими спектроскопическими методиками, такими как фотолюминесценция и др. Однако все же существует некоторая разница. При катодолюминесценции световая эмиссия происходит за счет всех существующих в полупроводнике механизмов излучательной рекомбинации. При изменении энергии падающих электронов меняется глубина их проникновения в объект, следовательно, возможно получить информацию с различной глубины объекта. Есть и более существенное различие между возбуждением фотонами и электронами. Так как электроны обладают помимо возбуждающей энергии еще и импульсом, то в случае возбуждения электронами неравновесные носители появляются еще и в непрямых зонах, за счет чего в спектрах катодолюминесценции появляются дополнительные пики,
В настоящее время полупроводниковая оптоэлектроника активно развивается, что требует разработку методов контроля микронных и субмикронных слоев полупроводниковых эпитаксиальных слоев с высоким пространственным разрешением.
Один из возможных подходов в таких исследованиях это метод вариации ускоряющего напряжения, рассмотренный в [90]-Рассмотрим кратко данный метод, его достоинства и недостатки. Задача заключается в 3-ех мерной визуализации микроструктуры катодолюминесцентных объектов с помощью растрового электронного микроскопа. В данном методе предложено использовать электронный пучок разной энергии, что приводит к различным глубинам его проникновения в материалах. Растровый электронный микроскоп, работающий в катодолюминесцентном режиме, детектирует катодолюминесцентные сигналы (несущие в себе интегральную информацию от нескольких слоев) при различных энергиях электронного пучка. Использование электронной теории рассеяния и теории катодолюминесценции позволяют написать программу для обработки полученных результатов. Обработанные результаты отображают характеристики всех отдельно взятых слоев (без наложения информации от других слоев) лежащих вплоть до глубины проникновения электронного пучка в образце. Суть метода заключается в следующем.
Рассмотрим слоистый образец- При различных энергиях электронный пучок проникает на различную глубину, и рассеянные электроны образуют различные области генерации в образце (см. рис. 3.1).
Предполагается, что слои исследуемого образца, имеют отличающиеся люминесцентные свойства, но очень схожие физические характеристики, такие как плотность, атомный номер и т.д., поэтому эффекты рассеяния на границе можно не учитывать. Тогда очевидно, что детектируемый сигнал, генерируемый при втором значении энергии зонда (проникновение электронов в два слоя (см. рис. 3.1)), несет в себе информацию от первого и второго слоя. При третьем значении энергии зонда сигнал несет информацию о трех слоях. Самый верхний слой генерирует сигнал при самом маленьком значении энергии электронов. Таким образом, в результате эксперимента получалась информация от первого слоя до третьего, при различных значениях энергии электронного пучка. Задача заключалась в том, чтобы извлекать информацию об отдельно взятом произвольном слое по интегральному сигналу. Математически задача ставится следующим образом; для произвольной точки образца считалось справедливым следующее выражение: где С (Е) -интегральный измеряемый сигнал, а -коэффициент, зависящий от тока зонда и некоторых других параметров эксперимента, Ф(Е,г) -распределение потерь энергии, вызывающих процесс излучательной рекомбинации на глубине z, (z)-квантовый выход в точке лежащей на глубине z и зависящий только от свойств материала, который и требовалось определить.
