Введение к работе
Диссертационная работа посвящена разработке и применению итерационных схем с вариационной оптимизацией параметров для решения стационарных и нестационарных задач движения идеальной и вязкой несжимаемой жидкости в ограниченных и неограниченных областях.
Содержаниедиссертационнойработыощкяешетсяисслтовшиямиав-тора, выполненными в 1974-2004 г.г. и связанными с построением и анализом численных методов решения стационарных и нестационарных задач гидродинамики.
Большинство задач вычислительной гидродинамики сводится к решению либо систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), либо систем билинейных уравнений. Значительное число работ посвящено решению СЛАУ в традиционных постановках: матрица системы неособенная и знакоопреде-лена, неособенная и незнакоопределена, знакоопределенная и особенная. В диссертационной работе рассматриваются итерационные схемы и для этих постановок. Но основное внимание уделяется случаям, когда матрица системы незнакоопределенная и почти особенная.
Для решения билинейных систем предлагаются итерационные схемы минимальных невязок с многошаговой оптимизацией, позволяющие эффективно решать многие стационарные и нестационарные задачи гидродинамики. При этом рассматривается хорошо известная задача поиска обобщенного решения, что позволяет обойти проблему доказательства существования и нахождения единственного классического решения разностных задач аппроксимирующих стационарные и нестационарные задачи гидродинамики.
Актуальность темы обусловлена следующими обстоятельствами.
Во-первых, безусловно, актуальны задачи детального определения картин течения стратифицированной жидкостей (задачи о внутренних волнах). Эти задачи имеют несколько особенностей затрудняющих их численное решение:
даже в случае линейных моделей для определения решения часто необходимо решать СЛАУ с незнакоопределенной особенной или почти особенной матрицей;
при этом, для решении нестационарных задач на каждом временном шаге необходимо решать СЛАУ, у которой свойства матрицы заранее трудно определяемы. Такие матрицы могу быть как особенными, так и неособенными, как знакоопределенными, так и незнакоопределенными. Это обстоятельство требует универсальных быстро сходящихся итерационных схем;
- при решении задач в бесконечных областях важно так ограничить область
решения и так перенести краевое условие с бесконечности на границу ко
нечной области, чтобы полученная задача решалась без больших затрудне
ний.
Во-вторых, не менее актуальна задача построения оптимальных итера-ционныхметодоврешениясистемыуравненийНавъе-Стокса, описывающей стационарное движение вязкой однородной н^свдру|одж
3 | СЛетерАург
1 ОЭ МИДа
В-третьих, при решении стационарных и нестационарных задач обтекания бесконечным потоком вязкой несжимаемой жидкости существует проблема переноса краевых условий с бесконечности на границу конечной области.
Цель работы заключается в конструировании и исследовании таких итерационных методов решения систем линейных и нелинейных систем алгебраических уравнений, сходимость которых слабо зависит от свойств операторов решаемых систем, что позволяет их использовать для решения как внутренних, так и внешних задач движения идеальной стратифицированной и вязкой несжимаемой жидкости.
Методология исследования опирается на современные вычислительные технологии, предусматривающие использование классических и новых постановок задач движения жидкостей (линейная и нелинейная модели движения стратифицированной идеальной и вязкой несжимаемой жидкости), эффективных вьгаислительных алгоритмов (конечно-разностные схемы, итерационные алгоритмы), сочетанием точных оценок с правильно поставленными численными экспериментами, исследования неточного задания входных параметров на эффективность рассматриваемых алгоритмов
На защиту выносятся:
алгоритм реализации чебышевского итерационного метода решения СЛАУ как с положительно определенной, так и с незнакоопределенной матрицей системы устойчивый к приближенному заданию входных параметров;
сходящийся класс итерационных методов с вариационной оптимизацией параметров решения СЛАУ с незнакоопределенной и почти особенной матрицей;
класс итерационных методов решения билинейных уравнений, в котором итерационные параметры выбираются как решение кубического уравнения по явным формулам Кардано;
метод ускорения сходимости итерационных схем решения билинейных уравнений;
способ точного и приближенного переноса краевых условий с бесконечности на границу конечной области для стационарного и нестационарного уравнения Бюргерса;
групповая классификация е-систем аппроксимирующих систему уравнений Навье-Стокса;
интегральные краевые условия на границе конечной области в задаче внешнего обтекания.
Теоретическое значение и научная новизна работы состоит в следующем:
предложен новый всегда устойчивый алгоритм реализации чебышевского итерационного метода решения СЛАУ как с положительно определенной, так и незнакоопределенной матрицей А;
построен новый класс итерационных методов с покомпонентной оптимизацией параметров, сходящийся в случае незнакоопределенной и почти осо-
бенной матрицей А. Приводится алгоритм выбора итерационных параметров, с которыми имеет место сходимость за одну итерацию. Этот класс методов эффективно использован для решения стационарных и нестационарных течений стратифицированных жидкостей;
проведена групповая классификация -систем, позволяющая строить системы уравнений аппроксимирующих уравнения Навье-Стокса с заданными групповыми свойствами;
при решении внешних и внутренних задач для системы уравнений Навье-Стокса методом сеток возникают билинейные системы алгебраических уравнений, которые решаются итерационным методом минимальных невязок с точной многошаговой покомпонентной оптимизацией параметров. При плохой сходимости итерационных схем решения билинейных уравнений можно постротъускоряющую процедуру, являющуюся полным анало-гомлинейногослучая;
для решения задач обтекания тел потоком однородной вязкой несжимаемой жидкости, аналогично одномерному случаю (уравнение Бюргерса) предложен метод построения интегральных краевых условий на границе конечной области. Эти условия являются следствием самой системы уравнений Навье-Стокса и краевых условий на бесконечности. Наряду с этими краевыми условиями использовались и краевые условия являющимися некоторой аппроксимацией внутрь области самой системы уравнений;
Практическая значимость работы определяется возможностью использования предложенных алгоритмов для решения задач о волновых течениях идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости и течениях вязкой несжимаемой жидкости (практически все задачи течения вязкой жидкости решались с помощью одного комплекса программ).
При этом, предлагаемые итерационные методы являются практически инженерными, т. е. являются быстро сходящимися даже, если свойства оператора решаемой системы не известны.
Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается полученными строгими теоретическими оценками скорости сходимости итерационных схем, тестированием предлагаемых алгоритмов на задачах с известными решениями, сравнением с результатами полученными другими авторами.
Личный вклад автора. В совместных публикациях, посвященных методам решения СЛАУ [1] автору принадлежит постановка задачи, алгоритмы и методика численного эксперимента. В работах [7, 11, 23] автором предложены методы расчета СЛАУ, возникающие при решении волновых задач. В публикациях, посвященных решению нелинейных уравнений [3,15,16], автору принадлежит методика исследования, основные теоретические результаты, а в работах [6, 12, 13, 19, 25] — основные идеи, теоретические результаты и методика проведения численных расчетов.
Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в
25 печатных работах, куда входят одна монография, 12 статей, опубликованных в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, и один комплекс программ.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на V, VI научных конференциях по математике и механике ТГУ (Томск, 1975,1977 гг.), 6 школ-семинарах по численным методам механики вязкой жидкости (1977, 1979,1981,1983,1985,2000 гг.), Quatrieme Colloque International sur le Metodes de Calcul Scientifique et Technique (Франция, 1979 г.), Всесоюзной школе по теории функций, посвященной 100-летию со дня рождения Н. Н. Лузина (Кемерово, 1983 г.), на VI - VIII Всесоюзных семинарах «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики» (1986,1988,1990 гг.), Совещании по механике реагирующих сред (Красноярск, 1988 г.), Всесоюзной конференции «Современные проблемы механики жидкости и газа» (Иркутск, 1990 г.), Всесоюзном совещании по численным методам в задачах волновой гидродинамики (Красноярск, 1991 г.), Совещании по численным методам в задачах волновой гидродинамики (Новосибирск, 1992 г.), Всесоюзной конференции «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики» (Новосибирск, 1990 г.), Международной конференции «Математические модели и численные методы механики сплошной среды» (Новосибирск, 1996 г.), Международной конференции «Сопряженные задачи механики и экологии» (Томск, 2000 г.), VII конференции по вычислительным методам в задачах волновой гидродинамики (Новосибирск, 2000 г.), Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании», Казахстан, Усть-Каменогорск, 2003, на научных семинарах ВЦ СОАН СССР (Новосибирск, Красноярск), ИТ и ПМ (Новосибирск), ИВТ СО РАН (Новосибирск), ТГУ (Томск), КемГУ (Кемерово).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения и приложения. Список литературы содержит 365 наименований. Объем диссертации 344 страницы, включая 24 таблицы и 114 рисунков.
