Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Об уравнениях типа Абеля и сходимости приближенных решений на компактных множествах 16
1.1 Анализ уравнения типа Абеля с точки зрения корректности задачи 16
1.2 Постановка задачи 18
1.3 Приближенное решение и оценка погрешности 19
1.4 Сходимость приближенных решений на некоторых компактных множествах 21
1.4.1 Множество монотонных ограниченных функций 21
1.4.2 Множества выпуклых и монотонно-выпуклых ограниченных функций 23
1.4.3 Множество функций с известной константой Липшица . 24
Глава 2. Численные методы решения и оценки погрешностей решения уравнений типа Абеля на компактных множествах 25
2.1 Общая схема конечномерной аппроксимации и нахождения приближенного решения 25
2.2 Общая схема оценки погрешности решения 30
2.3 Решение и оценка погрешностей решения на некоторых компактных множествах 32
2.3.1 Множество монотонных ограниченных функций 32
2.3.2 Множество выпуклых ограниченных функций 37
2.3.3 Множество монотонно-выпуклых ограниченных функций 46
2.3.4 Множество функций с известной константой Липшица . 52
2.4 Уравнение типа Абеля с ядром К(, г) = ( — г)~а 56
2.4.1 Дополнительные построения 56
2.4.2 Монотонные функции 57
2.4.3 Выпуклые функции 62
2.4.4 Монотонно-выпуклые функции 64
2.4.5 Функции с константой Липшица 66
2.5 Уравнение типа Абеля с ядром К(,г) — г(г2 — 2)-1/2 69
2.5.1 Дополнительные построения 69
2.5.2 Монотонные функции 70
2.5.3 Выпуклые функции 71
2.5.4 Монотонно-выпуклые функции 73
2.5.5 Функции с константой Липшица 73
Глава 3. Моделирование задачи двумерной реконструкции аксиальных осесимметричных профилей скорости по данным ультразвуковых измерений 75
3.1 Многоплоскостная ультразвуковая потокометрия 75
3.2 Конструкция измерительного модуля 78
3.3 Методика обработки ультразвуковых данных 79
3.3.1 Средняя скорость потока 79
3.3.2 Основное уравнение реконструкции 81
3.3.3 Входные данные и априорные ограничения 82
3.3.4 Реконструкция и оценка погрешностей реконструкции . 83
3.3.5 Численное моделирование 88
3.4 Программный комплекс 93
Заключение 96
Список литературы 99
- Приближенное решение и оценка погрешности
- Множества выпуклых и монотонно-выпуклых ограниченных функций
- Решение и оценка погрешностей решения на некоторых компактных множествах
- Методика обработки ультразвуковых данных
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. В настоящее время во многих областях естественных наук все чаще появляются задачи, решение которых сводится к решению линейных интегральных уравнений типа Абеля первого рода. Наибольшее распространение получили две группы таких уравнений. Первая группа имеет вид:
У ( - r)-az(r) dr = u(0, Є (Ді, ifc], (В1)
где 0<а<1,0^і?і<і?2<сю, u(Ri) = 0. К решению уравнений ти
па (В1) приводят обратные задачи механики, теории рассеяния и некоторые
другие [1, 2, 3]. При а = 1/2, R\ = 0 уравнение (В1) впервые было получено
Н. X. Абелем в 1823 г. при обобщении задачи о нахождении кривой, скользя
вдоль которой без трения тяжелая частица достигнет своего самого низкого
положения за одно и тоже время, независимо от ее начального положения [4].
Вторая группа имеет следующий вид:
Д2
Jr(r2 - fy1/2z(r) dr = «(О, Є [Ді, Д2), (В2)
где 0 = Яі < Яг < со, w(i?2) = 0. К решению уравнения (В2) приводят обратные задачи оптики [5], сейсмологии [6, 7, 8], физики плазмы [9, 10], газодинамики [11], астрофизики [12, 13, 14], ультразвуковой потокометрии [15] и многие другие [16, 17].
Уравнениям типа Абеля всегда уделялось особое внимание. Различным
свойствам данного класса уравнений, вопросам существования решения, его единственности, устойчивости посвящено огромное количество работ. Наиболее важные результаты и обширная библиография представлены в работах [1, 18, 19, 20, 21, 22, 23].
К настоящему времени разработаны и широко применяются несколько подходов к численному решению интегральных уравнений типа Абеля первого рода. Обзор различных алгоритмов можно найти, например, в [1, 2, 9, 11]. Существующие методы решения можно условно разделить на две категории.
К первой категории относятся алгоритмы, использующие одну из формул обращения [24, 25, 26, 27, 28]. Правая часть уравнения типа Абеля аппроксимируется некоторой функцией, чаще линейной комбинацией многочленов, сглаживающими сплайнами или кусочно-полиномиальными функциями. Зачастую вопрос об устойчивости и сходимости таких методов остается открытым. В некоторых случаях, при дополнительных ограничениях на правую часть и характер ошибок, удается получить приемлемые результаты с помощью регуляризации дифференцирования [28]. Несомненным преимуществом методов является простота, существенном недостатком — невозможность применения при малом числе экспериментальных данных и весомой погрешности в правой части и(). Кроме того, алгоритмы не могут гарантировать, что структура получаемого приближенного решения будет соответствовать естественным физическим представлениям об изучаемом явлении или объекте.
Ко второй категории относятся алгоритмы, в которых уравнение типа Абеля решается как обратная задача [1, 2, 9, 14, 29]. Их можно разделить на две группы.
К первой группе относятся методы, которые не учитывают некорректность задачи и строятся на основе классических численных методов. К ним примыкают алгоритмы решения, не использующие погрешность входных данных в постановке задачи и процессе вычисления. Такие алгоритмы являются неустойчивыми к ошибкам входных данных, и поэтому не могут быть исполь-
зованы для обработки данных реального эксперимента.
В основе алгоритмов второй группы лежит понятие регуляризирующего алгоритма [30, 31], введенное академиком А. Н. Тихоновым в 60-х годах прошлого века, как способа приближенного решения некорректной задачи. Следует отметить, что после основополагающих работ А. Н. Тихонова [30, 31, 32, 33, 34, 35], М.М. Лаврентьева [36, 37] и В.К. Иванова [38, 39, 40, 41] теория некорректных задач была развита многими учеными в применении к разным областям науки и техники. Некоторые результаты работы отечественных и зарубежных ученых представлены в [42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70]. Метод регуляризации А. Н. Тихонова широко применяется для решения уравнений типа Абеля первого рода. Он обеспечивает равномерную сходимость приближенного решения к точному, но, к сожалению, не всегда отвечает требованиям экспериментаторов относительно характера получаемого решения.
Некорректные задачи по своей сути являются недоопределенными задачами, так как в них не хватает информации для построения единственного решения, устойчивого по отношению к погрешностям входных данных. Для получения адекватных результатов, на основе которых можно делать выводы об изучаемом явлении или объекте, необходимо разрабатывать регуляри-зирующие алгоритмы, учитывающие всю имеющуюся априорную информацию о структуре искомого решения, естественных с физической точки зрения ограничениях на его поведение. Использование определенным образом данной информации иногда позволяет выделить в пространстве предполагаемых решений некоторое компактное множество и применять эффективные алгоритмы ее решения [13, 48, 53, 59, 60, 62, 71], позволяющие находить приближенное решение, строго удовлетворяющее физическим характеристикам исследуемых объектов или изучаемых явлений.
При практическом решении интегральных уравнений типа Абеля первого рода интересно не только приближенное решение, построенное с помощью
регуляризируещего алгоритма, но и оценка его близости к точному решению. Следует отметить, что при решении модельных задач с известным точным решением, всегда можно оценить погрешность уклонения приближенного решения от точного (визуально или в выбранной метрике) при любых входных данных и их погрешностях, и тем самым выбирать наилучшие алгоритмы ее решения и контролировать желаемую точность вычислений. В реальных же задачах, в которых используются данные экспериментов и точное решение не известно, вопрос о выборе регуляризирующего алгоритма, позволяющего оценить погрешность приближенного решения, стоит особенно остро.
Известно, что для некорректных задач в общем случае невозможно не только построить погрешность приближенного решения [58], но даже оценить скорость его сходимости к точному [72, 73]. Однако, для широкого класса обратных задач, решение которых сводится к решению уравнения типа Абеля, существует априорная информация о характере искомого решения (его монотонность, выпуклость и т.п.), которая дает возможность построить не только приближенное решение некорректной задачи, но и получить равномерную оценку точности приближения. Практическая задача определения ошибки довольно сложна, и поэтому обычно поступают следующим образом: в пределах ошибки случайным образом возмущают входную информацию. Полученные решения образуют "коридор", который дает некоторое представление об ошибке решения. Такой подход, естественно, не может гарантировать попадания неизвестного точного решения в "коридор", и тем самым служить практическим методом, позволяющим контролировать точность вычислений.
Другой важный фактор — погрешность аппроксимации задачи. Ясно, что при решении реальной задачи погрешность аппроксимации, которая зависит, прежде всего, от количества точек сетки, должна быть таковой, чтобы не вносить дополнительной погрешности в задачу. К сожалению, не для всех обратных задач это возможно. Конечно, всегда можно подобрать такое число
точек восстановления решения, чтобы погрешностью, связанной с заменой искомого бесконечномерного решения некоторым конечномерным, можно было пренебречь. Но пренебречь погрешностью, которая появляется в случае ограниченного числа экспериментальных данных, не всегда удается, и поэтому ее необходимо учитывать, что не всегда легко осуществимо в рамках выбранной схемы решения. При решении обратной задачи ультразвуковой потоко-метрии, в которой необходимо реконструировать осесимметричные профили скорости потока жидкостей или газов в каналах с круговым поперечным сечением по данным измерений в двух или трех точках, вопрос о том, можно ли использовать интегральное уравнение типа Абеля для обработки экспериментальных данных и как наилучшим образом оценить и учесть погрешность аппроксимации, является особенно актуальным. Цели и задачи исследования.
Создание новых математических методов приближенного решения интегральных уравнений типа Абеля первого рода на компактных множествах функций специального вида, которые допускают поточечную оценку погрешности получаемого приближения и удовлетворяют следующим дополнительным требованиям: а) учитывают специфику данного класса уравнений; б) являются достаточно гибкими, т. е. могут быть адаптированы к конкретной физической задаче; в) позволяют находить приближенное решение и оценивать его погрешность в зависимости от способа задания погрешностей входных данных и их числа; г) учитывают погрешность конечномерной аппроксимации исходной задачи; д) допускают построение области, которой принадлежит точное бесконечномерное решение задачи; е) могут быть использованы при любом числе экспериментальных данных.
Разработка вычислительных алгоритмов приближенного решения и оценки погрешностей решения интегральных уравнений типа Абеля первого рода на множествах монотонных, выпуклых, монотонно-выпуклых огра-
ничейных функций и множестве функций с известной конечной константой Липшица.
Создание программного комплекса с удобным пользовательским интерфейсом для нахождения приближенных решений уравнений типа Абеля и для оценки погрешностей найденных решений на множествах функций, перечисленных ранее.
Применение разработанных алгоритмов для моделирования задачи двумерной реконструкции аксиальных осесимметричных профилей скорости течения жидкости или газа в каналах с круговым поперечным сечением в экспериментах, использующих ультразвуковые многоплоскостные измерительные модули.
Методика исследования базируется на основных положениях теории решения некорректных задач, интегральных уравнений, функционального анализа, линейного и квадратичного программирования, численных методов.
Научная новизна данной работы состоит в следующем.
Впервые построены вычислительные алгоритмы, допускающие поточечную оценку погрешности приближенного решения уравнений типа Абеля на компактных множествах, учитывающие специфику данного класса уравнений, погрешность входных данных и погрешность конечномерной аппроксимации задачи. Предлагаемые методы решения позволяют гарантированно найти область, которой принадлежит точное бесконечномерное решение задачи. Рассматриваемые алгоритмы могут быть использованы при любом числе экспериментальных данных.
Впервые проведено математическое моделирование задачи двумерной реконструкции и оценки погрешности реконструкции аксиальных осесимметричных профилей скорости течения жидкости или газа в каналах
с круговым поперечным сечением на основе разработанных алгоритмов и использования специальных многоплоскостных ультразвуковых измерительных модулей. Теоретически исследована методика обработки экспериментальных данных в случае ограниченного числа измерительных плоскостей.
Практическая ценность полученных результатов заключается в том, что разработанные в работе алгоритмы решения уравнений типа Абеля на множествах специальной структуры могут быть использованы в широких областях (например, в механике, томографии, астрофизике, спектроскопии, акустике, физике плазмы, оптике), так как рассматриваемый класс уравнений достаточно часто встречается в приложениях. Включение в математическую постановку задачи априорной информации (естественной с физической точки зрения) о принадлежности точного решения некоторому компактному множеству, дает возможность не только найти приближенное решение, но и построить область, которой принадлежит точное решение задачи, тем самым контролировать желаемую точность вычислений. Разработанные алгоритмы позволяют решать поставленную задачу за сотые доли секунды, что далеко не предел, в связи с развитием вычислительной техники, и поэтому могут быть использованы для обработки данных измерений в автоматическом режиме.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
Предложены новые вычислительные алгоритмы, позволяющие находить приближенное решение интегральных уравнений типа Абеля первого рода на компактных множествах функций специального вида и оценивать поточечную погрешность получаемого приближения с учетом специфики данного класса уравнений, способа задания погрешностей входных данных и априорных ограничений на его поведение.
Созданы, обоснованы и реализованы в виде комплекса программ чис-
ленные методы приближенного решения и оценки погрешностей решения интегральных уравнений типа Абеля первого рода при условии, что точное решение задачи является
монотонной ограниченной функцией,
выпуклой ограниченной функцией,
монотонно-выпуклой ограниченной функцией,
функцией с известной конечной константой Липшица.
Разработаны подходы к построению области, которой принадлежат точное и все приближенные бесконечномерные решения поставленной задачи, использующие только оценку погрешности решения в узлах сетки и априорную информацию о принадлежности точного решения указанным выше классам функций.
С помощью предложенных в работе алгоритмов решения интегральных уравнений типа Абеля первого рода, проведено численное моделирование задачи двумерной реконструкции и оценки погрешности реконструкции аксиальных осесимметричных профилей скорости течения жидкости или газа в каналах с круговым поперечным сечением для экспериментов, использующих данные ультразвуковых многоплоскостных измерений потоков. Показано, что включение естественной априорной информации о монотонности, выпуклости, неотрицательности искомого решения и граничном условии на стенках транспортного канала позволяет гарантировать равномерную сходимость последовательности приближенных решений к точному решению, при стремлении погрешностей входных данных к нулю, и построить область, которой принадлежит точное решение задачи. Продемонстрирована возможность использования предложенных алгоритмов для обработки экспериментальных данных в автоматическом режиме (даже в случае очень малого числа измерительных плоскостей).
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинаре "Цифровая визуализация: физические принципы, математические алгоритмы, технические решения", проводящемся в Московском институте электронной техники (МИЭТ) (техническом университете) под руководством доктора физико-математических наук, доцента М. Н. Рычагова (8 июня 2004 г.), на семинаре "Обратные задачи математической физики", проводящемся в НИВЦ МГУ под руководством профессоров А. Б. Бакушинского, А. В. Тихо-нравова и А. Г. Яголы (16 марта 2005 г.), на конференциях "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, факультет ВМиК МГУ, 20-21 июня 2000 г., 10-11 июня 2003 г.), "Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2002». Секция «Физика»" (Москва, физический факультет МГУ, 10 апреля 2002 г), "Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2003». Секция «Физика»" (Москва, физический факультет МГУ, 16 апреля 2003 г), "International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics 2003" (Япония, Нагано, 18-21 февраля 2003 г.), "Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2004». Секция «Физика»" (Москва, физический факультет МГУ, 13 апреля 2004 г).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ (из них 7 статей в журналах и трудах конференций, 6 тезисов конференций). Ссылки на работы приведены в списке литературы.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, трех глав, заключения и списка литературы.
В первой главе описываются некоторые свойства интегральных уравнений типа Абеля первого рода. Рассматривается математическая постановка задачи, ее решение и возможность оценки погрешностей при следующих условиях: 1) точное решение z(r) принадлежит компактному множеству М С Z\ 2) вместо точной правой части й{) U имеется приближенная правая часть
щ(0 Є U такая, что \\щ - Щи < б, 6 > 0 или \щ(0 - й()| ^ 6(0, 8(0 > О ^ [i?i, J?2J» 8(0 Є f/ в случае, когда погрешность входных данных задана коридором ошибок; 3) интегральный оператор Абеля A : Z —> (7 —линейный, непрерывный и инъективный. В качестве пространства ^ рассматривается пространство L, .], а в качестве компактных множеств используются множества монотонных, выпуклых, монотонно-выпуклых ограниченных функций и функций с известной конечной константой Липшица. Приводятся теоремы, доказывающие равномерную сходимость последовательности приближенных решений на некоторых подмножествах областей определения решений. Для монотонных непрерывных, выпуклых и монотонно-выпуклых функций — любой замкнутый отрезок, не содержащий концов области определения решения. Для функций с известной константой Липшица —вся область определения. Рассматриваются условия, при которых справедливы более сильные утверждения.
Во второй главе предлагаются численные методы приближенного решения уравнений типа Абеля первого рода на компактных множествах функций специального вида и оценки погрешностей получаемого решения. Рассматриваются два подхода к построению конечномерного множества приближенных решений в зависимости от способа задания погрешностей входных данных. В первом подходе предполагается, что известна среднеквадратичная погрешность уклонения приближенной правой части от точной. В этом случае конечномерное множество приближенных решений представляет собой замкнутое выпуклое ограниченное множество, образованное пересечением многогранника и эллипсоида. Нахождение приближенного решения сводится к минимизации квадратичной функции, а погрешности к минимизации и максимизации линейной функции на заданном множестве. Во втором по/щоде предполагается, что погрешность входных данных задача коридором ошибок. Тогда, при определенных условиях, конечномерное множество приближенных решений можно представить как замкнутый выпуклый ограниченный многогранник.
Решая задачи линейного программирования, можно оценить погрешность в узлах сетки без нахождения приближенного решения. Для первого подхода погрешность аппроксимации оценивается, для второго — учитывается автоматически. Предлагаются методы построения области, которой принадлежит точное бесконечномерное решение задачи, использующие только оценку погрешности в узлах сетки и априорную информацию о принадлежности точного решения заданному компактному множеству. Подробно рассматриваются численные методы приближенного решения и оценки погрешностей решения уравнений типа Абеля первого -рода на множествах монотонных, выпуклых, монотонно-выпуклых ограниченных функций и ограниченных функций с известной конечной константой Липшица. Эффективность предложенных алгоритмов демонстрируется на большом числе модельных примеров.
В третьей главе проводится математическое моделирование задачи двумерной реконструкции и оценки погрешностей реконструкции аксиальных осесимметричных профилей скорости течения жидкости или газа в каналах с круговым поперечным сечением на основе предложенных в работе алгоритмов решения уравнений типа Абеля и использования специальных многоплоскостных ультразвуковых измерительных модулей. Рассматриваются естественные с физической точки зрения ограничения на форму профиля скорости невозмущенного потока в центральном сечении канала, которые позволяют использовать в качестве компактных множеств, содержащих точное решение задачи, следующие множества: а) множество монотонных невозрас-тающих ограниченных функций; б) множество монотонных невозрастающих выпуклых вверх ограниченных функций. Анализируется характер сходимости последовательности приближенных решений к точному для каждого из указанных выше множеств и величина ошибки в решении с учетом граничного условия на стенках транспортного канала. Теоретически исследуется методика обработки экспериментальных данных в случае малого числа измерительных плоскостей. Проводятся численные эксперименты, показывающие
эффективность предложенных в работе алгоритмов реконструкции и оценки погрешности реконструкции. Предлагаются численные методы построения области, которой принадлежит точный осесимметричный профиль скорости невозмущенного потока. В конце главы приводится описание программного комплекса и его реализации.
Объем диссертации — 111 с, рисунков — 27, наименований в списке литературы— 113.
Приближенное решение и оценка погрешности
Пусть выполняются условия предыдущего параграфа. Тогда, согласно [60], в качестве приближенного решения z$ уравнения (1.1) можно принять любой элемент из множества ZsM = {zeMcZ: \\Az - щ\\и 6}. (1.2) Поскольку z, z$ М, аМ- компакт в Z, то z$ — z при 5 — 0. Если погрешность правой части задана коридором ошибок, т. е. известна такая неотрицательная функция () чт0 Для любого Є [і?і,і?2] выполняется неравенство \щ() — й()\ S(), то в качестве приближенного решения z$ естественно искать элемент из множества Z M = {z(r) eMcZ: \(Az(r))(0 - щ(0\ 5(0}, (1-3) а не из множества (1.2). Если положить 6 — \\б\\и, то справедливо включение Z M С ZM. Поэтому все результаты данной главы, полученные для множества (1.2), остаются в силе и для множества (1.3).
В качестве Z будем рассматривать пространство 2(- 1,-] вещественных суммируемых функций г(г), заданных на отрезке [R\, R?\, с нормой ( Й2 1 1/2 \\4HR ] = \Jz2(r)dn
Если положить U — b Ri R , то A : 2(- 1,-] —» 2(- 1,-]—линейный, непрерывный и инъективный оператор [1, 22]. Таким образом, для нахождения приближенного решения достаточно выделить компакт М в пространстве L i \R\, R2].
В целом ряде обратных задач, приводящих к решению уравнений типа Абеля первого рода, имеется априорная информация о том, что искомое решение является монотонной ограниченной функцией, выпуклой ограниченной функцией, монотонно-выпуклой ограниченной функцией или огра ничейной функцией с известной конечной константой Липшица (см., например, [1, 5, 9, 11, 13, 14, 15]). Тогда, как показано в [53, 59, 60], в качестве компакта в пространстве 1 (- 1:-] можно принять: 1) множество монотонных (невозрастающих М[ или неубывающих М\) ограниченных функций; 2) множество выпуклых (вверх М_ или вниз MS) ограниченных функций; 3) множество монотонно-выпуклых (невозрастающих выпуклых вверх М[ , невозрастающих выпуклых вниз М_, неубывающих выпуклых вверх Mj_ или неубывающих выпуклых вниз M S) ограниченных функций; 4) множество ограниченных функций с известной конечной константой Липшица ML.
Следует отметить, что сходимость в пространстве L2\Ri,R2\ не всегда бывает удобной при решении практических задач. Но для указанных выше компактных множеств М и подмножеств \у о\ С (Ri,R2) имеет место и равномерная сходимость, т. е. приближенное решение сходится к точному и в пространстве С[у, а] с нормой \\4сь,а] = max Иг).
Для таких множеств М и подмножеств [7, т] возможно не только построить само приближенное решение z$, но и найти (или оценить) коридор приближенных решений в пространстве Сру, 0"], что представляет большой практический интерес при решении многих обратных задач. Ниже будут рассмотрены некоторые такие множества М и подмножества [у,&] для функций z(r), заданных на отрезке [- 1,-].
Рассмотрим вопрос о погрешности приближенного решения. Под погрешностью фиксированного приближенного решения z% Є Z (или z$ Є ZM) задачи (1.1) с приближенно заданной правой частью us на компактном множестве априорных ограничений М С Z естественно использовать величину e(S) = sup{H - z\\z :zeZ6M(ze Z5M)}. Ясно, что И — z\\z {$) Следует отметить, что вопрос о погрешности уклонения приближенного решения некорректной задачи (1.1) от точного решения имеет смысл лишь тогда, когда М — компакт в Z. В этом случае є(б) -» О при S - 0.
При практическом решении задачи в качестве фиксированного приближенного решения может быть выбран, в принципе, любой элемент из множества ZM (или %м), поэтому под оценкой погрешности решения будем понимать диаметр множества приближенных решений, т. е. значение е{6): е{5) = SUp{2;i - Z2\\z Z\, Z2 Є ZM (zi, z2 Є ZM)}.
Но оценку погрешности можно понимать и как оценку погрешности в каждой точке области определения. В этом случае под оценкой погрешности приближенного решения zs(r) подразумевается функция е(6, г), которая для каждой точки г Є [Лі, i%] записывается в виде e(6,r) = sup{2:i(r) - z2(r)\ : z z2 Є ZSM (zuz2 Є ZSM)}.
Для любого приближения zs Є Z5M (zs Є Z5M): zj — z\\z є(8) или \z${r) — z(r)\ є((5, r), r [Ri,R2]. Практический алгоритм нахождения погрешностей приближенного решения рассматривается в главе 2.
Множества выпуклых и монотонно-выпуклых ограниченных функций
Пусть М — множество выпуклых вверх функций z(г), заданных на отрезке \R\, RQ\ И ограниченных снизу и сверху соответственно константами С\ и Сі- Будем вместе с М , рассматривать множество М[ — монотонных невозрастающих выпуклых вверх функций z(r), ограниченных на [#1,.] Согласно [60], множества М и М[ являются компактами в пространстве Ь2[Лі,.Й2], следовательно, для любого элемента z$ из множества Z M (или ZM, ): z$ — z при 5 —» 0. Справедлива следующая теорема.
Теорема 1.2 [60]: Пусть z(r) Є М_ (либо z(r) Є М[ ), [у, а] С (і?і, /) произвольный фиксированный отрезок, zn(r) — произвольный эле-мент из Z$_ [либо из Z$\ ) и дп — 0 npw п — оо. 2Ьг ?а последовательность zn(r) сходится к z(r) равномерно на [у,с] при п —» оо.
Замечание 1. Аналогичная теорема справедлива для следующих множеств: а) для множества М- выпуклых вниз функций z(r), заданных на отрезке [R\, R2) и ограниченных снизу и сверху константами Сі и С б) для множества монотонных невозрастающих выпуклых вниз и для множества неубывающих выпуклых (вверх или вниз) функций z(r), заданных на отрезке [Ri, R2] и ограниченных соответственно константами С\ и (.
Замечание 2. В работе [71] доказано, что при поиске приближенного решения некорректной задачи на множестве выпуклых вверх функций не нужно знать константу С ограничивающую сверху точное решение, а для выпуклых вниз — константу С\.
Замечание 3. Как показано в [60], для случая выпуклых, неубывающих функций z(r), ограниченных на отрезке [i?i,i?2J, теорему 1.2 можно усилить (равномерная сходимость имеет место на отрезке [R\, R2 — є], є 0).
Замечание 4. Простым условием равномерной сходимости последова тельности приближений на всем отрезке [Ri, R2] для множества М является условие: zn(R\) = z(R\), гп(Л2) = 2(Л2) [77], которое выполняется, например, если z{R\) = С\ и г(Л2) — С\. Для равномерной сходимости последовательности приближений на [Лі, Л2] для множества z(r) М , достаточно (учитывая замечание 3), чтобы zn(R2) = 2( Л2), что возможно, например, при z(R2) = Ci.
Замечание 5. В случае, когда z(r) Є М (или z(r) Є М ), имеет место не только равномерная сходимость приближений, но и при определенных условиях сходимость их производных [77]. Пусть М — множество функций z(r) с известной конечной константой Липшица L на отрезке [Лі, R2], т. е. Уг\, т2 Є [R\, Л2], г\ ф гъ: L г(Г2) г(п) L. г2 -Гі Теорема 1.3: Пусть z{r) Є ML, zn(r) —произвольный элемент из Z , где 5п — О при п — оо. Тогда последовательность zn(r) сходится к z(r) равномерно на [Лі, Л2] npw п —» оо.
Доказательство. В силу сходимости последовательности zn —» 2 в Ьг[Л1,Л2] при п — оо получаем, что Ve О Э&, г = 1,і (г) такие, что Vr Є [Лі, Л2] Э&, & - r (5(e) = e/(2L). При этом 3N(s) Vra N(e): knfe) - z(j)\ е. Тогда Vr є [Лі, Л2]: z„fe) - U z„(r) „(,-) + LJ, (j) — L6 z(r) = z(j) + - - Следовательно г„(г) — z(r) 2L5 -\- є = 2є. Таким образом, равномерная сходимость zn -+ z доказана.
Отметим, что множество ML не ограничено в Ь2[Лі, Л2]. Если как и в предыдущих разделах добавить условие равномерной ограниченности функций z{r) на отрезке [Лі, Л2], то как показано в [78], множество ML является компактом в 2[Лі, Л2] и С[Лі,Л2].
При практическом решении уравнений типа Абеля необходимо аппроксимировать исходную бесконечномерную задачу некоторой конечномерной задачей, для которой и будут разрабатываться вычислительные алгоритмы и программы для ЭВМ. Переход к конечномерной аппроксимации будем рассматривать как внесение погрешности в оператор и применять алгоритмы, позволяющие ее учитывать.
Рассмотрим линейное интегральное уравнение типа Абеля первого рода, записанное в общем виде (Az(r))(0 = j K(t r)z(r)dr = u«), 4 T, (2.1) D где Kfa r) = ( - r) a, 0 a 1, T = {Дк R2}, D = {Ri r С Я2}, «(Ді) = 0 или К(,г) = r(r2 - ЄҐ1/2, Т = {Rx С Д2}, D = {Ri г Я2}, «№) = 0. Предполагаем следующее: 1) точное решение z(r) Є М С Z = L,2[R\, R2] , 2) точная правая часть w() Є / = 2(- 1»-R2]; 3) М —компакт в пространстве J fjRbife] При построении конечно-разностной аппроксимации прежде всего выберем сетки Хг и Х на отрезке [R\, R2]. Пусть Xr = {n}i : R\ = П г2 ... rn = R2, Xt, = fell : Ri = Єї 6 - - - U = д2.
Сеточные значения z(r) и к() обозначим следующим образом: z(rj) = , u(j) = Чг Везде далее предполагаем, что существуют точные z(r), гі(), удовлетворяющие уравнению (2.1), но вместо точной правой части й() и точных сеточных значений uj, соответствующих &(), заданы векторы щ = (и{,..., и6т) и 6 = (Si,..., 6т) такие, что — fy uj — uj Sj, j = 1, т. Рассмотрим два подхода к построению конечномерного множества приближенных решений задачи.
Первый подход. Заменим функцию z(r) кусочно-линейной функцией гп(г) = Щ + гі+1 гі(г-Гі), (2.2) П+\ - П где г Є [ГІ,ГІ+І], і — l,n — 1. Через un() обозначим функцию (Azn(r))( ). Введем оператор Ап, связанный с конечномерной аппроксимацией исходной задачи: (Anz(r))() = ип() для Vz Є Z. В силу ограниченности нормы оператора AZ- u - \\Anz-Az\\u = \\A(zn - z)\\u 11 - z\\z, где С — некоторая константа, значение которой определяется в 2.4. Для рассматриваемых в работе компактных множеств будет показано, что \fz Є М С Z: \\zn — z\\z — О при п — со. Таким образом, с учетом (1.2), в качестве множества приближенных решений можно принять
Решение и оценка погрешностей решения на некоторых компактных множествах
Пусть априори известно, что точное решение z(r) уравнения (2.1) есть монотонная на отрезке функция (невозрастающая или неубывающая), ограниченная снизу и сверху соответственно константами Сі и С Будем считать, что 0 С\ С 2. Введем в рассмотрение множество Мі невозрастающих функций z(r) и множество М неубывающих функций z(r), ограниченных константами Сі и С2, т. е. Vr Є [/21,.] : Сі z(r) (.
Множество априорных ограничений на вектор z. При переходе к конечно-разностной аппроксимации задачи множества М, М переходят, соответственно, во множества Ml, М] векторов из R", каждое из которых можно задать совокупностью п 4-1 условий: zi C2 М[ = { z Є Кп : zi+i - zi 0, г = 1, n - 1 - —Сі -гі -Сі МТ = { z Є Rn : zi- Zi+i 0, і = l,n- 1 zn C2
Множества M, M представляют собой замкнутые выпуклые ограниченные многогранники в Rn (см., например, [60]).
Нахождение функций zln(r), z%(r), p\(r), pf(r), ф1(г), фи(г). Для любого фиксированного вектора сеточных значений z Є М (z Є Ml) функции z(r) Є Ml (z(r) Є Ml) можно ввести две функции zln(r), z%(r), ограничивающие область допустимых значений z(r) снизу и сверху, т. е. Vr Є [R\, .] : zn(r) z(r) zn(r) ПРИ zn(ri) — zi — zn(ri)- Схематический вид таких функций показан на Рис. 2.1.
Замечания. 1) Оценка величины Л,(гг) по формуле (2.21) может оказаться, вообще говоря, сильно завышенной и не оправданной, например, если точное решение — достаточно гладкая функция, а 6 С /i(n). Поэтому при необходимости величину h(n) нужно уточнять или выбирать п настолько большим, чтобы погрешностью аппроксимации можно было пренебречь. 2) Случай, когда векторы zl и z заданы с погрешностью, рассмотрен в [88, 89, 96].
Пусть теперь априори известно, что точное решение z(r) уравнения (2.1) есть выпуклая (вверх или вниз) на отрезке функция, ограниченная снизу и сверху константами С\ и (. Как и в случае монотонных функций, будем считать, что 0 С\ С2. Обозначим множество выпуклых вверх функций через AC-s, а выпуклых вниз —через Mw и полагаем, что Vr Є [/21,/] : Сі z{r) С2.
Множество априорных ограничений на вектор z. При переходе к конечно-разностной аппроксимации задачи множества М_, Mw переходят, соответственно, во множества М , М векторов из R, каждое из которых можно задать совокупностью 2п условий. В дальнейшем везде в этой главе предполагаем, что для выпуклых функций сетка Хг равномерная. В этом случае множество М определяется как М = I zeKT Z{ - 2zi+1 + zi+2 0, г = 1, n - 2 Zi Сг, i = l,n -zi -Сі -zn -C\ ; а множество M_ как n M_ zGR -Zi + 2z +i - zi+2 0, г = 1, n - 2 - -Ci, г = l,n C2 - C2
Отметим, что множества M,-,, Mw являются замкнутыми выпуклыми ограниченными многогранниками в Rn (см., например, [60]).
Нахождение функций zln(r), z%(r), p\(r), {r), ipl(r), фи(г). Для заданного вектора сеточных значений функции z(r) Є М построим функции zln{r) и Zn(r). Исходя из определения выпуклой вверх функции, получаем на отрезке симальному значению ординат прямых, проходящих через точки (rj_i, _i), (ri,Zi) и (ri+i,2i+i), (7 +2 +2)- В линейном же случае, на одной половине отрезка значения z%(r) принимаются равными ординатам одной из рассматриваемых прямых, а на другой половине отрезка — ординатам другой прямой.
Проводя аналогичные рассуждения для множества М , получаем, что zn(r) zn(r), a zln(r) определяется по формуле (2.31). Так как теперь функция zln(r) зависит от вектора z нелинейно, введем функцию zl (r), линейную по2и ограничивающую функцию zln(r) снизу. Для этого будем использовать формулу (2.31), заменив вектор 7 на вектор 7 = (1,5, , \, 0), тогда zl (r) — линейная функция от z. Таким образом, для множества Mw функция ip\(r) будет определяться по формуле (2.33), а функция iff (г) — по формуле (2.30). Для множеств М , 1L функции ф1(г) = фи(г) = 0.
Оценка величины h(n). После того как построены функции zln{r) и z%(г), величину \\&п,—Z\\L3 можно оценить по формуле \\zn—Z\\L2 \\z%—zln\\i2, однако удобнее это сделать следующим образом. Пусть в некоторой точке rs функция z(r) Є М принимает максимальное значение, тогда на отрезке [Ri,rs] функция z(г) — неубывающая, а на отрезке [rs, R2] — невозраста-ющая монотонно-выпуклая функция. Учитывая результаты, полученные в предыдущем параграфе, возьмем на отрезке [R\, rs] в качестве функции z%(r) функцию, определяемую по формуле (2.18), а на отрезке [rs, R2] —по формуле (2.14), тогда \zn - Z\\L
Построение функций zl(r), zu{r). Рассмотрим теперь задачу построения функций zl(r) и zu(r), ограничивающих множество приближенных решений zftf (или - ). Решая задачи линейного программирования для множеств Zfyj (-2jvf) можно построить значения функций zl(r) и zu(r) на всем отрезке [R\, R2] Но можно также получить хорошую оценку множества приближенных решений, найдя только значения этих функций на сетке Хг, т- е. решая 2п задач линейного программирования на множестве Z {%м)- Рассмотрим построение функций zl(r), zu(r) для множества М-.. Построим сначала функцию zl(r).
Методика обработки ультразвуковых данных
В настоящее время большой практический интерес представляют результаты исследований, направленных на оптимизацию и повышение информативности систем ультразвуковой расходометрии, базирующихся на принципах времяпролетных измерений. В стандартном варианте, методика измерений заключается в регистрации разницы времен распространения ультразвуковых сигналов, генерируемых парой излучателей, закрепленных на некотором расстоянии друг от друга на стенках измерительного канала. В присутствии потока, время регистрации ультразвукового сигнала, распространяющегося в направлении потока, сокращается по сравнению с аналогичной величиной для импульса, генерируемого в противоположном направлении; фиксируемая таким образом разница во временах пролета пропорциональна среднему значению вектора скорости потока вдоль траектории распространения сигналов. Наиболее часто при этом применяются измерительные схемы двух типов: 1) двухканальные, где имеются два раздельных акустических канала и, соответственно, две пары акустических преобразователей; 2) одноканальные, в которых имеются только два преобразователя, каждый из которых служит попеременно излучателем и приемником ультразвука [98].
К преимуществам ультразвукового способа измерений относятся возможность измерений характеристик потоков в широком диапазоне скоростей движения среды и размеров каналов транспортировки; бесконтактность (что необходимо в условиях химической активности, токсичности, пожароопасно-сти и т. п.); стабильность и помехоустойчивость; точность измерений; простота и надежность акустических элементов; быстродействие (возможность работы на высоких частотах). Большое значение в случае применения в теплоэнергетических системах имеет возможность работы при высоких температурах и давлениях. В криогенной технике приобретает значение высокая герметичность проточной полости и возможность функционирования при пониженных температурах среды. Линейная зависимость выходного сигнала от расхода и электрический характер выходного сигнала определяют удобство применения ультразвуковых расходомеров в системах автоматического управления и регулирования.
В многочисленных исследованиях [99, 100, 101, 102, 103] получены зависимости, связывающие показания ультразвуковых расходомеров со свойствами и характеристиками объектов измерений. Выявлены основные виды систематических и случайных погрешностей измерений: 1) погрешности, обусловленные соответствующим изменением скорости ультразвука в среде; 2) дополнительные температурные и концентрационные погрешности, вызванные наличием асимметрии параметров электронно-акустических каналов; 3) специфические реверберационные погрешности, являющиеся результатом повторных отражений ультразвуковых волн от поверхностей пьезопреобразова-телей, канала транспортировки и т. д.; 4) гидродинамические погрешности, связанные с отличием измеренной скорости потока от истинной вследствие отклонения профиля скоростей от расчетного значения; 5) случайные погрешности, обусловленные неконтролируемыми вариациями параметров датчиков и электронных схем.
Анализ природы систематических погрешностей измерений позволяет определить требования к стабильности характеристик контролируемой среды, точности изготовления конструктивных элементов преобразователей и параметрам электронно-акустических каналов. Так, оказывается возможной автоматическая акустическая компенсация чистотемпературных и чистокон-центрационных погрешностей путем выбора определенных соотношений параметров датчиков и акустических параметров среды и материала звукопро-водов. Реверберационные погрешности в ультразвуковых расходомерах, которые могут достигать (с датчиками без преломления) величины, сопоставимой с измеряемым расходом, малозначительны в двухканальных схемах с преломлением. Погрешности гидродинамического происхождения могут быть учтены поправкой в показания расходомера, зависящей от числа Рейнольдса в среде.
Достигнутая к настоящему времени точность определения скорости в практических условиях эксплуатации составляет ±1 — 2% при скоростях потока 0.3 м/сек и 0.01% при скоростях 0.3 м/сек [98, 103]. Следует учитывать, что достижение столь высокой точности измерений стало результатом разработки высокоточных схем регистрации разности времен пролета акустических сигналов. Так например, достижение указанной выше точности при измерениях потоков в трубопроводах диаметром 5-25 см требует точности определения At нескольких единиц и даже долей наносекунд. Достижение же более прецизионной точности будет фактически соответствовать пределу метрологических возможностей метода в условиях реальных промышленных измерений.
Высокие требования, предъявляемые к расходомерной технике в целом, и к акустическим методам в частности, обусловили широкое многообразие технических решений и конструктивных исполнений ультразвуковых расходомеров. Не вдаваясь в подробности конкретных реализаций приборов этого вида, ограничимся ссылками на работы, в которых технические аспекты данной проблемы представлены в полном объеме [98, 99, 103, 104, 105, 106, 107].
