Содержание к диссертации
СОДЕРЖАНИЕ 2
ВВЕДЕНИЕ 5
ГЛАВА 1. ОБЗОР И АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ВНЕШНИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 12
1.1. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ВНЕШНИМ КРАЕВЫМ ЗАДАЧАМ .12
1.2. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ВНЕШНИМ КРАЕВЫМ ЗАДАЧАМ 19
1.3. МЕТОД РАЗНОСТНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВНЕШНИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 23
1.4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШ ЕН ИЯ ВНЕШНИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 30
1.4.1. Обзор и анализ численных методов .30
1.4.2. Комплексы программ для решения краевых задач численными методами 34
Выводы по главе 1.
ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ36
ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА И ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ИНВЕРСИИ БЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ВНЕШНИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С УРАВНЕНИЯМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 39
2.1. ОСОБЕННОСТИ МЕТОДА ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ АНАЛОГИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 39
2.1.1. Применение метода ЭГДЛ для решения краевых задач с уравнениями эллиптического типа 42
2.1.2. Особенности моделирования внешних краевых задач 48
2.2. МЕТОД ИНВЕРСИИ БЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 49
2.2.1. Дискретизация области непрерывного изменения аргумента 52
2.2.2. Замена производных разностными операторами 55
2.2.3. К вопросу о сходимости, устойчивости и точности 57
2.2.4. Вычисление значений потенциала во внутренних узлах сетки 58
2.2.5. Вычисление значений потенциала в граничных узлах 60
2.3. ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ИНВЕРСИИ БЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ 62
2.3.7. Обоснование разработанного метода для решения плоских
внешних краевых задач 62
2.3.2. Особенности преобразования симметрии относительно окружности (инверсия) 64
2.3.3. Свойство сохранения оператора Лапласа при конформном отображении на примере решения задачи Дирихле 65
2.3.4. Бесконечно удаленная точка комплексной плоскости 71
2.4. МЕТОД ИНВЕРСИИ БЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОБЪЕМНЫХ ЗАДАЧ 75
2.4.1. Пространственные комплексные переменные и операции над ними 78
2.4.2. Конформное отображение в пространстве 80
2.4.3. Обоснование метода для решения объемных задач 83
2.4.4. Сравнение размеров требуемой памяти и скорости работы методов 84
Выводы по ГЛАВЕ 87
ГЛАВА 3. ТЕСТИРОВАНИЕ МЕТОДА И ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ НА БАЗЕ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ : 88
3.1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ПОЛЕЙ 88
3.1.1. Моделирование электростатического способа нанесения абразивного зерна на подложку 89
3.1.2. Моделирование электрофильтров 90
3.2. ТЕСТИРОВАНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА ОДНОГО И ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОВОДНИКОВ 92
3.3. ТЕСТИРОВАНИЕ ОБЪЕМНОЙ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА 96
3.4. ОСНОВНЫЕ СХЕМЫ, МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ
ИМПУЛЬСНЫХ ИСТОЧНИКОВ 101 3.5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИКЛАДНОЙ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛЯ ДАВЛЕНИЙ ПРИ ЭЛЕКТРОРАЗРЯДАХ В КАМЕРАХ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ИНВЕРСИИ БЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ..;. 105
3.5.1. Постановка задачи... І 105
3.5.2. Исследование гидродинамических процессов, связанных с ударными волнами при электроразрядах в жидкости 107
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 11 ]
ГЛАВА 4. АЛГОРИТМЫ И КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ РАСЧЕТА ИССЛЕДУЕМЫХ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ 113
4.1. ОПИСАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ИССЛЕДОВАНИЮ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ
ЭЛЕКТРОРАЗРЯДАХ В ЖИДКОСТИ 113
4.1.1. Общий алгоритм расчета волновых процессов в жидкости при воздействии импульсных источников 113
4.1.2. Инициализация модели и аппроксимация границ 114
4.1.3. Расчет электростатического поля 115
4.1.4. Расчет волновых процессов 117
4.2. МОДИФИ КА ЦИЯ РАСЧЕТНО ГО АЛГОРИТМА ДЛЯ РЕШ ЕНИЯ КРА ЕВЫ X ЗАДАЧ С УРАВНЕНИЯМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 118
4.3. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СРЕДСТВ ЯЗЫКА ПРОГРАММИРОВАНИЯ СРЕДЫ DELPHI 121
4.4. СТРУКТУРА КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ИНВЕРСИИ БЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ... 125
Выводы ПО ГЛАВЕ , 128
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .130
ЛИТЕРАТУРА
Введение к работе
Класс практически важных задач, которые сводятся к поиску решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, достаточно велик. В постановке некоторых из них одно из граничных условий задается на бесконечности.
В прикладных исследованиях внешние краевые задачи возникают в широком классе приложений, включая задачи из области распространения волн, электромагнетизма, теории упругости, сопротивления материалов, температурных полей, тепломассопереноса, аэродинамики, аэроупругости, динамики потоков жидкостей, химической газодинамики и диффузии, а также в инженерных приложениях, например, в технических расчетах электромагнитных устройств.
В настоящее время существует достаточно большое количество программных продуктов, основным назначением которых является решение краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных из различных областей науки и техники. В основном они решаются с применением различных численных методов. Несмотря на разнообразие программ, способов реализации пользовательского интерфейса и заложенной в них функциональности, практически все они придерживаются одних и тех же способов решения внешних краевых задач.
Для моделирования бесконечной области в программах определяется область расчета достаточно больших размеров для того, чтобы исключить влияние краевых эффектов. Вторым способом ухода от задания граничных условий на бесконечности является искусственное введение в постановку задачи экранов, ограничивающих расчетную область. Третьим способом сведения внешней краевой задачи к внутренней является введение на некоторых границах области условия симметрии.
Общим недостатком всех перечисленных выше методов моделирования бесконечной области является снижение точности, связанное с изменением постановки задачи (в случае введения экранов или условия симметрии), и эффективности (в случае задания области расчетов достаточно больших размеров).
В связи с этим, актуальной проблемой является поиск эффективных методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, более точно учитывающих граничное условие на бесконечности.
Цель диссертационной работы - разработка, обоснование и тестирование эффективного метода, позволяющего уменьшить требуемый объем оперативной памяти и повысить быстродействие для численного решения внешних краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа второго порядка с применением ЭВМ.
Поставленная цель достигается при решении следующих основных задач:
1. Разработать эффективный метод для численного решения внешних краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа второго порядка.
2. Обосновать разработанный метод численного решения внешних краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа второго порядка.
3. Разработать программное обеспечение для решения внешних краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа второго порядка с использованием предложенного метода.
4. Протестировать с применением ЭВМ разработанный метод численного решения внешних краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа второго порядка. 5. Проверить возможность практического использования разработанного метода для численного решения некоторых других классов задач.
Методы исследований
В работе использован математический аппарат теории функций комплексной переменной, дифференциальных уравнений, теории разностных схем, теории алгоритмов, численные методы анализа и методология объектно-ориентированного проектирования программных систем. Численное моделирование выполнялось с помощью средств вычислительной техники.
Научная новизна работы заключается в следующем:
• разработан для численного решения внешних краевых задач с линейными уравнениями эллиптического типа второго порядка метод инверсии бесконечной области, основанный на отображении ее на дополнительную расчетную область с заданием граничного условия на бесконечности в центре этой области, позволяющий повысить эффективность численных методов вследствие сокращения количества узлов расчетной области, уменьшения размера требуемой оперативной памяти и длительности одной итерации расчета;
• установлена возможность увеличения точности решения внешних краевых задач в ходе вычислительного эксперимента на основе предложенного метода;
• предложена модификация разработанного и традиционного расчетных алгоритмов, позволяющая получить решение краевых задач для уравнений эллиптического типа с заданной точностью за меньшее число итераций.
Научно-практическая значимость работы
Значимость для науки результатов исследований заключается в том, что разработана математическая модель исследуемого объекта, описываемого дифференциальными уравнениями эллиптического типа второго порядка. Практическое значение работы определяется тем, что разработанный метод и алгоритм могут найти применение в вычислительных экспериментах для плоских и объемных внешних краевых задач для уравнений эллиптического и других типов в различных областях науки и техники. Разработанный метод позволяет сократить количество узлов расчетной области, размер оперативной памяти для размещения расчетной области, длительность одной итерации расчета и увеличить точность получаемого численного решения. Разработан комплекс программ для решения внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа (плоских и объемных) и для волнового уравнения, например, для исследования гидродинамических процессов, связанных с ударными волнами при электроразрядах в жидкости.
Основные результаты работы могут быть применены в учебном процессе на кафедре программного обеспечения вычислительной техники и автоматизированных систем при чтении курсов «Вычислительная математика», «Компьютерное моделирование» и др.
Положения, выносимые на защиту:
1. Метод инверсии бесконечной области, основанный на отображении ее на дополнительную расчетную область с заданием граничного условия на бесконечности в центре этой области, для решения плоских и объемных внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа второго порядка.
2. Модификация разработанного и традиционного расчетных алгоритмов, позволяющая получить решение краевых задач для уравнений эллиптического типа с заданной точностью за меньшее число итераций.
3. Комплекс программ для решения внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа (плоских и объемных) и для волнового уравнения, например, для исследования гидродинамических процессов, связанных с ударными волнами при электроразрядах в жидкости.
4. Результаты тестирования плоской и объемной внешних краевых задач, а также практического использования метода инверсии бесконечной области для задач, описываемых неоднородными волновыми уравнениями. При этом следует отметить, что доказательства применимости метода к задачам такого класса получено не было.
Достоверность полученных результатов обеспечивается строгим применением математических подходов при обосновании метода и решении задач, использованием современных технологий разработки программного обеспечения, а так же тестированием разработанного метода в вычислительных экспериментах и сравнением с результатами других авторов и данными натурного эксперимента.
Личный вклад соискателя. Все- разделы диссертационной работы выполнены лично автором. Выводы и рекомендации по результатам сформулированы самостоятельно. Формулировка подхода, связанного с разработкой и применением нового эффективного численного метода к решению внешних краевых задач, принадлежит научному руководителю Потапенко А.Н., который также принимал участие в обобщениях и интерпретации полученных результатов.
В научных трудах, опубликованных по теме диссертации в соавторстве с другими исследователями, вопросы, связанные с разработкой, обоснованием и тестированием предлагаемого метода, принадлежат автору. Имеются три работы без соавторов.
Апробация работы
Основные результаты работы были представлены на следующих научно-технических конференциях:
XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ «Современные исследования в математике и механике», Москва (2001 г.),
II Международном конгрессе студентов, молодых ученых и специалистов «Молодежь и наука - третье тысячелетие», Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана (2002 г.), II Международной конференции-школе-семинаре молодых ученых, аспирантов и докторантов «Сооружения, конструкции, технологии и строительные материалы XXI века», Белгород (1999 г.),
Международной научно-практической конференции «Качество, безопасность, энерго- и ресурсосбережение в промышленности строительных материалов и строительстве на пороге XXI века», Белгород (2000 г.),
III Международной конференции-школе-семинаре молодых ученых, аспирантов и докторантов «Современные проблемы строительного материаловедения», Белгород (2001 г.),
Всероссийской студенческой олимпиаде, научно-практической конференции и выставке студентов, аспирантов и молодых ученых «Энерго- и ресурсосбережение. Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии», Екатеринбург (2001 г.), World Congress on Powder Metallurgy & Particulate Materials, Orlando, Florida (2002 г.),
Международном конгрессе «Современные технологии в промышленности строительных материалов и стройиндустрии», посвященном 150-летию В.Г. Шухова, Белгород (2003 г.).
Связь с научно-техническими программами. Часть исследований, связанная с решением прикладных задач, вошла в заключительный отчет по межвузовской НТП «Конверсия и высокие технологии. 1997-2000 гг.» в разделе программы «Производственные технологии» [42] и по программе Минобразования и науки РФ «Федерально-региональная политика в науке и образовании» на 2004 г. по проекту «Разработка автоматизированной системы управления с компьютерной диспетчеризацией распределенными энергосистемами зданий учреждений образовательной сферы с учетом особенностей систем теплоснабжения».
Публикации
Основные положения работы изложены в 10 печатных работах, из них статей 6. Объем и структура работы.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих выводов и списка литературы. Работа изложена на 140 страницах машинописного текста, включающего 33 рисунка, 3 таблицы, список литературы из 101 наименования.
