Сингулярные интегральные уравнения в моделировании и численном решении задач математической физики и теории упругости Хубежты Шалва Соломонович

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Моделирование некоторых граничных задач применением обобщенных сингулярных интегральных уравнений 30

1.1. О компонентах напряжений и смещений 30

1.2. Задача электростатики 33

1.3. Задача о кручении призматических тел 35

1.4. О задачах рассеяния в квантовой теории поля 42

1.5. О задачах теории трещин 45

1.6. Первая и вторая основные задачи плоскосй теории упругости 49

1.7. Основная плоская смешанная задача 53

1.8. Задача Дирихле, задача Пуанкаре 56

Глава II. О некоторых квадратурных формулах для сингулярных интегралов 60

2.1. Предварительные сведения и основные факты. Обзор некоторых известных результатов 60

2.2. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов с наперед заданными узлами 66

2.3. Равномерные оценки погрешности для сингулярных интегралов с весами Якоби 73

2.4. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов с применением внешних узлов 83

2.5. О квадратурных формулах для некоторых сингулярных интегралов с негладкими плотностями в отдельных точках 88

2.6. Приближенное вычисление интегралов типа Коши 94

2.7. О приближенном вычислении некоторых криволинейных интегралов с ядром Коши 107

Глава III. О численном решении некоторых уравнений с сингулярным интегралом типа Коши 118

3.1. Предварительные сведения и основные факты. Обзор некоторых существующих результатов 118

3.2. О численном решении некоторых граничных задач методом об общенных сингулярных уравнений 123

3.3. Обоснование модифицированного метода дискретных особенностей с применением внешних узлов к решению сингулярных интегральных уравнений 1-го рода 127

3.4. К вопросу эффективной оценки погрешности численного решения сингулярных интегральных уравнений методом квадратур 138

3.5. Применение некоторых прямых схем интерполяционной степени точности к численному решению некоторых классов сингулярных интегральных уравнений І 150

Глава IV. Приложения к граничным задачам теории функ ций и математической физики и теории упругости 162

4.1. Предварительные сведения и основные факты. Обзор некоторых известных результатов 162

4.2. О приближенном вычислении компонентов напряжений и смешений в задачах плоской теории упругости 163

4.3. К численному решению уравнения Липпмана-Швингера... 166

4.4. Замечание о численном решении задачи Дирихле в случае областей с углами применением обобщенных сингулярных уравнений. Задача о кручении призматического бруса 179

4.5. О применении схемы локально-канонического разбиения к численному решению основных задач плоской теории упругости 186

4.6. О численном решении некоторых задач о трещинах методом дискретных особенностей 204

4.7. О пакет параграмме "Нофима" для численного решения сингу

лярных интегральных уравнений и некоторых граничных задач 213

4.8. К численному решению одного класса сингулярных интеграль

ных уравнений со сдвигом 225

4.9. Приложения в виде различных программ 230

Заключение 271

Литература

• О задачах рассеяния в квантовой теории поля
• Равномерные оценки погрешности для сингулярных интегралов с весами Якоби
• О численном решении некоторых граничных задач методом об общенных сингулярных уравнений
• Замечание о численном решении задачи Дирихле в случае областей с углами применением обобщенных сингулярных уравнений. Задача о кручении призматического бруса

Введение к работе

Предлагаемая работа посвящается разработке методов приближенного вычисления сингулярных интегралов в смысле главного значения по Копій. В дальнейшем на их основе строятся вычислительные схемы решения одномерных линейных интегральных уравнений, содержащих такие интегралы. Полученные приближенные формулы применяются к численному решению некоторых граничных задач математической физики, математической теории упругости, механики, теории рассеяния и теории трещин. В основой данной работы лежат результаты публикуемые диссертантом в различных периодических изданиях СССР и РФ в течении более 20 лет и докладываемых на научных семинарах а также на конференциях и симпозиумах в ряде научных центров РФ и за рубежом (см. [2],[3],[64],[159-162],[164-166],[173-174],[198-211]. В работе, кроме того, нашли отражение некоторые результаты исследований по плану постановления по науке и технике от 26 ноября 1976г. №430 "О создании и введении в эксплуатацию пакетов прикладных программ для решения уравнений математической физики, используемых в прикладных задачах механики сплошной среды, гидродинамики, аэродинамики, физики плазмы, теории упругости и пластичности" (АН СССР, МГУ им. Ломоносова, СО АН СССР, АН ГССР). Соответствующие результаты, в частности, были положены в основу разработки пакета прикладных программ "НОФИМА'\ созданного в отделе вычислительных методов анализа Института вычислительной математики им. Н.И. Мусхелишвили АН ГССР.

Сингулярные интегралы и соответствующие уравнения с ядром Коши находят все более широкие применения в различных областях математики, механики и физики. К этим уравнениям сводятся граничные задачи теории функций, к которым, в свою очередь, приводятся многие важные задачи математической физики и механики, в частности, теории упругости и гидро-аэродинамики. Многочисленным приложениям сингулярных интегралов типа Коши и сингулярных интегральных уравнений посвящены, например, монографии [21-22],[40],[66],[102],[113]. В моногра-

фии [54] указывается применение сингулярных интегральных уравнений к решению задач анализа и синтеза систем автоматического управления и некоторых задач теоретической физики. Широкие возможности сингулярных интегральных уравнений применительно к решению различных важных задач прикладного характера отчетливо проявляются в монографиях [120-121].

Возможность понизить на единицу размерность задачи сведением ее к граничному интегральному уравнению и некоторые другие достоинства метода интегральных уравнений позволяют при имеющихся вычислительных средствах рассматривать иногда более сложные классы задач, чем те, которые можно решать иными методами. При этом, численное решение соответствующих задач с привлечением аппарата сингулярных интегральных уравнений с разработкой надлежащих методов аппроксимации входящих в эти уравнения сингулярных интегралов оказывается очень эффективным.

Указанные обстоятельства обусловили то большое внимание, которое ряд известных математиков стали уделять вопросу численного решения интегральных уравнений с сингулярными интегралами в смысле главного значения. В 1932 году М.А. Лаврентьев получил в этом направлении ряд существенных результатов в работе [67], в которой одна практическая задача гидродинамики сводится к сингулярному интегральному уравнению определенного типа и обосновываются определенные численные методы решения таких уравнений. К сравнительно раннему периоду относятся также работы [55-56],[102-103], [222], в которых предлагаются определенные приближенные схемы для решения сингулярных интегральных уравнений различных видов.

Дальнейшее развитие общей теории сингулярных интегральных уравнений и численных методов анализа, а также расширение круга задач, связанных с приложением аналогичных уравнений оказали большое влияние на развитие теории приближенных методов решения таких уравнений. Разработке и обоснованию таких методов в 50-ые 60-ые годы про-

шлого века посвящено значительное число работ. Следует особо отметить упомянутую выше монографию [54], а также обзорную статью [28], отражающую достижения российских и зарубежных авторов в области теории аппроксимации сингулярных интегралов и численного решения сингулярных интегральных уравнений.

Начиная с 70-ых годов появляются многочисленные работы, посвященные приближенному вычислению сингулярных интегралов и разработке и теоретическому обоснованию численных методов решения сингулярных интегральных уравнений. Особо следует отметить работы СМ. Белоцерковского [12-15] по аэродинамике, послужившие основой создания существенно нового, хорошо известного в настоящее время метода численного решения сингулярных интегральных уравнений - метода дискретных вихрей. Позже этот метод был существенно развит учениками СМ. Белоцерковского во главе И.К. Лифановым [15],[32-37],[70-87],[89-100]. Метод до сих пор является одним из актуальных методов в этом направлении.

Особо следует отметить результаты грузинской математической школы под руководством Д.Г. Саникидзе [136-176], а также статьи [29],[30],[64],[116],[117], где сингулярные интегральные уравнения решаются без применения регуляризации и построенные вычислительные схемы пригодны и в случаях, когда уравнения кривых не задаются аналитически а это немало важна на практике.

Из работ других авторов, посвященных приближенному вычислению сингулярных интегралов и решению интегральных уравнений, содержащих такие интегралы, следует отметить работы [18-19],[43-44],[46-48],[107-111],[179-180],[182-184], [190-197],[215-218].

В подавляющем большинстве случаев .фактическое построение практически осуществимых вычислительных схем для численного решения сингулярных интегральных уравнений сводится в той или иной мере к удачной аппроксимации входящих в эти уравнения сингулярных интегралов. С другой стороны, последний вопрос сам по себе представляет значительный теоретический и практический интерес. В связи с этим в

настоящей диссертации наряду с вопросами чисто вычислительного характера достаточное внимание уделяется также некоторым общетеоретическим вопросам приближения сингулярных интегралов с ядром Копій различными аппроксимирующими средствами.

Формально к численному решению сингулярных интегральных уравнений могут быть применены те же методы, которые обычно применяются в случае интегральных уравнений Фредгольма второго рода (см. [54])» тем не менее, обоснование их применительно к сингулярным интегральным уравнения часто представляет значительные трудности. В частности, это относится к методу механических квадратур, основанном на кусочно-полиномиальном приближении искомого решения. Между тем этот метод считается одним из наиболее удобных для численного решения интегральных уравнений Фредгольма, благодаря тому, что он для таких уравнений достаточно прост и может быть эффективно применен к решению таких уравнений с достаточно общими контурами интегрирования без какого-либо предварительного преобразования последних.

В настоящей работе для численного решения достаточно общих классов сингулярных интегральных уравнений предлагаются некоторые новые подходы, основанные на изложенных в работе схемах аппроксимации сингулярных интегралов. Схемы эти приводят к аппроксимирующим уравнениям значительно удобной вычислительной структуры и применимы к достаточно общим классам уравнений. При общепринятых предположениях относительно разрешимости соответствующих аппроксимирующих уравнений с указанием оценки скорости сходимости их решений к исходному. Дано приложение к численному решению ряда задач математической физики и механики.

Упомянем теперь об основных результатах диссертации, которая состоит из введения и четырех глав, по отдельным главам.

В первой главе, состоящей из 8 параграфов, изложены математические модели известных задач, приводящие к сингулярным, или т.н. обобщенным сингулярным интегральным уравнениям. Здесь, в частности.

рассматриваются задачи теории гармонических фенкций, основные задачи плоской теории упругости, задача рассеяния квантовой теории поля, задачи теории трещин и некоторые родственные с ними задачи.

Вторая глава состоящая из 7 параграфов, посвящена построению и оценке погрешности конкретных квадратурных формул для сингулярных интегралов (в смысле главного значения) вида

s(y,h) = -. ітЧ-dt (іоЄД (і)

-кг J t-iQ L

где L - произвольный замкнутый или разомкнутый гладкий контур, &(f(t) - заданная на нем функция, удовлетворяющая условию Гельдера.

В параграфе 2.1 приводятся некоторые основные определения, классы функций, известные результаты имеющие применение в дальнейшем.

В параграфе 2.2 рассматриваются квадратурные формулы с наперед заданными узлами. Подобные формулы для регулярных интегралов впервые были построены выдающимся русским математиком 19-го столетия А.А. Марковым.

В общем случае эти формулы имеют вид ь

_/

п т

_tP(x)f(x)dx » A_kf(x_k) + Biffa), (2)

fc=i і=г

где оі,02,... ,a_m заранее заданные узлы, не зависящие от п. Такого же типа формулы в случае различных весовых функций р(х) для сингулярного интеграла

і S(p;a) = i f_P(t)^-dt, *Є(-1;1)

7Г J 1-Х

построены, когда заранее заданными узлами являются oi = -1,а₂ = 1

(т.е. т = 2). Эти формулы имеют вид

І /(і _ _t)«₍₁ + tfp^-dt к S_n(=

= А(х)<р{-1) + В(х)(р{1) + 51 М{?)фн),

k=i

(3)

_{л(,) = і /(і-o-(i + «у, g'-y}

)

(t) dt

it J ' {-2)ш(-ї)(1 - х

t — ж' -1

*«-;/<*-^+^

_{*(*) = і /(і - «г(і + 0',, V,}¹_{*?,, ,А}

7Г У (t - aj_fc)(xj - l)u/(x_fc) t - ж

( = 1,2,... ,n,a,/3> -1).

Аналогичные формулы построены и для случая ai = — 1 (m = 1) и а\ = 1 (т = 1).

Для различных значений а и /3 исследуются соотвествующие конкретные квадратурные формулы. Показано, что для функций cp(t) класса Н_г(ц) - имеющих производные до г-го порядка, причем ^r\t) принадлежит классу Гельдера #(//), для погрешности справедлива оценка

|S(_OT «) -. 5.(4»; *)| = О (-J^-j.) (0<р<1). (4)

В параграфе 2.3 рассматриваются также сингулярные интегралы с весовыми функциями Якоби

5<>(р;я0= [(l-t)'{l + t)*p&-dt (-КЖ1, р,₉>-1), (5)
J t-x

-і

где Є H_r(a) (г > 0, 0 < а < 1).

Известно, что при р = q = -|, несмотря на неограниченность соответствующей весовой функции вблизи концов ±1, если ф удовлетворяет условию Гельдера с показателем > |, предельные значения lim S^~ *'~ї\(р; х) существуют и конечны. В этом случае построены

х—>±1

квадратурные формулы S_n ²' ² (<р;х) которые ограничены вблизи концов ±1 и разность S(^p,q\ip; х) - 5п (р; х) также ограничена равномерно относительно х Є [-1; 1] вплоть до концов. При других неположительных значениях р, q (отличных от — |) предельные значения S^^p,q\(f',x) (при х —* с = ±1) не оказываются конечными, если <р(с) не равно нулю. Тем не менее, если возможно построение аппроксимирующих квадратурных выражений так, что соответствующий остаточный член имеет смысл при любом х Є [—1;1], то может быть поставлен вопрос о равномерной на всем отрезке [—1; 1] оценке аппроксимации соотвествующих сингулярных интегралов, что и осуществляется в диссертационной работе.

Справедлива

Теорема 1. Если функция <р Є Н_г(а) (г > 1,0 < а < 1), то для остаточного члена

(S^\х_п<х<х₁ r_n^p,q)(

{ &\<р; х) - &\<р; х\ х Є (-1; х_п] U [х_и 1)

при любых р, q Є (—1; 0) справедлива оценка

max \г_п^рл\<р;х)\ = <

—1<х<1

_0(n-_r__o+3+27+1)17>_1_

0(п-^г-^а+"⁺¹1п²п), т<-\,

(6)

где 7 = max(p,q), /З Є (—-у; 1), xi,X2,... ,х_п - корни соотвествующего многочлена Якоби.

При р = q = - \ справедлива

Теорема 2. Если функция (p(t) Є Н_г(а) (г > 0, \ < а < 1), тогда справедлива оценка

|5<-Ь-%;з) - _Sn-i'-%;x)\ = (с, + с₂1пп)-^ (7)

выполняющаяся равномерно относительно х Є [-1;1], Сі,С2 - некоторые константы не зависящие от п и х.

В параграфе 2.4 рассматривается так называемый модифицированный метод дискретных выхрей приближенного вычисления сингулярных интегралов в случае замкнутых контуров общего вида. В частности для построения таких формул использован метод введения внешних узлов. Конкретно строится формула вида

I /A_tgyW/f_c,_M^+^-^M ₍₈₎

где L - замкнутый контур Ляпунова, т_и один из узлов {г2_Р_і}р₌₁, {т2_Р}р₌₁ разбивающих контур L на In равные части,

^сЛ^и) ⁼ W2o--3 + W2ct-1 + ^+2(7+1 + ^+20-+3,

_{1^2±2*.Л =}

/

'я/Д

^гІ^ГІ+2 fc^O

4 __r4 3 _ 3 2

_]C ^t_j+m⁺

^ТІ+2 ^Tj ^TJ+2 ^Tj

7Г2 П (^T3 - ^Tj+2k)

Jb=-1 fc?40

k=-l fc#0

T² - T^{2 2}

^ГІ+2 ^Tj

2J ^rj+2kTj+2k₀ - (Tj+2 ~Tj) Д 7j₊₂fc

J#0

при этом для /j имеют место представления

/_і+2м = 2/гА_і+2м^Д + 0(/*¹⁺*) (n -> оо) (/і = -1,0,1,2), 7гг

л л ¹ л л ¹³

А/+2ст-3 = Ац+2ст+3 = ^_^7> А/+2о--1 — A^+2cr+l — ^Т-

Показана справедливость асимптотического равенства

0^) = -^3^) + 0^), 7гг

где s*_va - произвольным образом фиксированная точка из [s,/+2cr-3) ⁵і/+2а+з]-Формула (8) имеет более высокую точность, чем обычные формулы метода дискретных вихрей

На основе указанной формулы для определенных классов интегральных уравнений может быть построена схема типа (модифицированная схема) дискретных вихрей (особенностей), имеющая порядок аппроксимации О (¹). Заметим, что ранее модифицированная схема точности О (¹-^т) была построена в одной из работ Д.Г.Саникидзе (см. [171]). При этом важно отметить, что для соотвествующих интегральных уравнений такие схемы, как и классические схемы дискретных особенностей поддаются обоснованию (без предварительного приведения исходного замкнутого контура к окружности). Отметим, что обычные квадратурные формулы с внешними узлами для регулярных интегралов по отрезку действительной оси впервые (1943 г.) исследовал Ш.Е. Микеладзе. Приведенные выше результаты предоставляют распространение и применение идеи введения внешних узлов в теории квадратур на сингулярный случай для интегралов с замкнутыми контурами интегрирования. Отметим, что на этом пути могут быть построены аналогичные (типа (8)) формулы имеющие порядок О (^г) точности.

В 2.5 рассматривается сингулярный интеграл на контурах с углами. Детально исследуется случай, когда замкнутый кусочно-гладкий контур имеет одну угловую точку с (ниже такой контур обозначаем через L_c).

Вводится класс функции Щ(Ь_С) следующим образом: будем говорить, что (р Є Щ(Ь_С) если (p(t) дифференцируема до порядка г > 1 всюду на L_c, кроме точки t = с, в окрестности которой для производных p(^s\t) имеют место оценка

I^'MI < Т^ГГ (0 < с < 1).

Для этого случая строится алгоритм, по которому в окрестности угловой точки после подстановки г = (t - c)^ll^p(p- натуральное число)*' плотность переходит в плотность ф(т) = т^р~^г(р(т^р + с), и, тем се-мым, приобретает порядок дифференцируемости до порядка р < г - 1, в окрестности точки т = 0.

Указанные производные не только непрерывные но и принадлежат классу Н на L⁰. Производная порядка г также будет непрерывной при условии а < ^L^r.

Далее производится аппроксимация сингулярного интеграла при специальном подборе системы точек в окрестности точки О (и при равномерном разбиении остальной части контура). При надлежащих предположениях относительно гладкой части контура L_c и функции tp построенная схема гарантирует аппроксимацию сингулярного интеграла с порядком

О (^) (0 < 7 < 1),

где no = min(n,N), N- количество разбиения

контура в октестности точки с, а п - на остальной части. В параграфе 2.6 изучаются интегралы типа Коши:

м dt,

2iri J t-

(9)

1 Г t2тг7У (t - zf

L 1 [ fy(t)dt

где L замкнутый гладкий контур, заданная функция на L, z Є D -внутренняя точка области D ограниченной контуром L.

Для них строятся квадратурные формулы удобные для вычисления их при любой близости параметра z к контурам интегрирования. Оценивается погрепшость вычисления и указывается применение построенных квадратурных формул для вычисления компонентов напряжении и смещении плоской теории упругости.

*) функция т = (t - c)^ll^p отображает контур L_c взаимно однозначно и непрерывно в некоторой контур L⁰.

Для каждого интеграла из (9) строятся определенные специальные квадратурные формулы. В частности для интеграла u(z) мы полагаем

u(z) « ₀) + (z- t₀)₀,ti) + {z- t₀)(z - ti)₂)+

n-1 + J2(A_a{z)ip(Ta, *0, t_Ut₂) + Лх+1 (г)ф{т_а+и t₀, *i, t₂) +

сг=0

+A_a+2(z)(p{T_a+2,to,t_Ut₂)), (10)

_rW^{=Л / («-^«-«'^-^(Од, (и.}

TffT^ + i

la+lW =

w-sj /

(t-t₀){t-h){t-^l^t)

t-z

dt,

(t-t₀)(t-t_l){t-t₂)l_Cr₂(t)^
i<7+2l<^ = :r~: I : dt,

_{«--h I}

t-z

і (л - (^-^+1)(^-^+2)

(T_ff - T_a+\)\T_a -T_a+2)
1 (t - r^ft - T_a+2) ,

^CTl — (n- ~ \(r \' ^ '

, _(t)= (4-7-,)((-^+0

(t"

?V Є L (a = 0,1,... ,n- 1),

/₀,i,<2 " свободные параметры, принадлежащих L. Указанные коэфици-енты A_a+k (к = 0,1,2) вычисляются точно.

Теорема 3. Если (p(t) имеет производные вплоть до 6-го порядка, то при надлежащем выборе параметров to, _1? t₂ для любого z стремящегося к точке контура L имеет место оценка

где R_n((p;z) остаточный член формулы (10).

Аналогичные формулы построены и для остальных интегралов из (9). При этом в потенциалах (9) использован следующий комплексный аналог известной формулы Микеладзе:

Ш v—^ з^О

к=-

П {t-^T*+j)

о² П (Ъ+k-Ta+j)

) = -2 )*0,к

CT+k

t-f,

(* - Tcr+k)²

(13)

при t = T„.

В параграфе 2.7 рассматриваются криволинейные интегралы специального вида, встречающиеся в задачах плоской теории упругости. Для таких интегралов строятся вычислительные схемы, дающие высокие степени оценки точности. В частности для интеграла

t-k

t-tr

строится квадратурная формула вида

п-1 з

_/**Й"Е

L_v(_ak) ЇҐо і> (

(^TCT+1 ~ ^T(T+1 2_^ t<7J +

j = 0 )фк

+r<7+i 2J Ц^іо - П <T

Pakko M

)=0 )*к

fco=0

^0 ~ t_ak₀

(14)

Mj.io= 3=⁰ i = kfr,j₀ = 0

} І*^к І*^к i<3Q

L_v((p; to) = ]T _T—^W\\, MU),

дающую оценку O(^r) (в надлежащих предположениях относительно контура L и функции

В третьей главе диссертации все квадратурные формулы, построенные для сингулярных интегралов, применяются для численного решения сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши и некоторых граничных задач. Глава III состоит из 5 параграфов 3.1-3.5.

В 3.1 приводятся основные определения и факты из теории сингулярных интегральных уравнений.

В параграфе 3.2 рассматриваются некоторые граничные задачи, сводящие к так называемый обобщенным сингулярным интегральным уравнениям, общий вид которых следующий

сир + R_xSip + R₂S(p + K

(15)

где a,k,f- заданные на L функции класса Гельдера,

0ЗД(*о) = -.[|^, (Jty)(f„) = -. Іk(t_0ltMt)dt,
ті J г -ц кг J

L L

R\ и R₂ некоторые известные операторы. В частности, они могут совпадать с операторами Re и Іт. В общем случае они определяются по условиям конкретной задачи.

К уравнениям вида (15) приводят различные граничные задачи теории аналитических функций, к которым, в свою очередь, сводятся многие важные задачи математической физики и механики.

Так, например, задача Дирихле для уравнения Лапласа, если ее решение и(х,у)в конечной области, ограниченной контуром L искать в виде

потенциала двойного слоя, приводит к следующему уравнению (в предположении Imp — 0) вида (15):

(/ = «U).

К уравнениям же вида (15) могут быть приведены задачи плоской теории упругости и т.д.

Рассматриваемый численный метод решения граничных задач в случае гладких замкнутых границ основывается на замене соответствующего граничного уравнения (15) приближенным

a_nnn + K_nn = f, (16)

ЬпРп = + 2^ 2_^ ^Pak і—Г7 ' ^{e г}"^гн-ь

k=0 ^tak

n—1 m—1

(7=0 fc=0

При этом выбор узлов можно осуществить разбиением L по дугам эквивалентной длины. В случае многих важных задач доказываются однозначная разрешимость соответствующих приближенных уравнений и сходимость процесса с оценкой скорости сходимости. Кроме того, в большинстве случаев составление соответствующих приближенных уравнений по упомянутому модифицированному методу дискретных особенностей производится стандартным образом по узлам контура L независимо от вида L. В связи с этим метод обобщенных сингулярных уравнений может быть с удобством применен и в тех случаях, когда граница области задается в графическом виде, что обычно и бывает во многих практических задачах. Уравнение (16) более детально имеет вид

ті — 1 т—2 т—2

a(t„j)_n(tvj) + Ri

„=о fc₌o '"^J' ^^ak *=⁰ *"^J' ^^uk

m-1 ₁ \ Ti-1 m-2

t^ tyj-tykj _{a=0 fc=()} 4 tafc

+₂

m—1

₊

k=o '"J n—1 m—2

m-2

fc=0

m-2

m-1 ₁ .

fc=0 ""J

= fc=0 "^J а-фи

^ ^ Uj - tak ~ Ui - tuk

m—1

m-2

_fe=0 ^lvj ^lvk

n—1 m—2

Jb=0

a^v

₊

n —1 m—2

+ 5J Z-/ Pvkk(tvj, t_Gk)ct=0 fc=0

(v = 0,1,2,... , n - 1, j = 0,1,... , m - 2), где

7 = 0,1,... ,n- 1,

W,(*)

7гг ,/

(t-tak)u'(t_ak) ' A; = 0,1,... ,m-l,

T"

'И** ^ = 0,1,... ,n-l, fc = 1,2,... ,m-2,

P-l,fc =Pn-l,fcj

_kPj,o+rt-i,m-u ^ = 0,1,... ,n-l, A; = 0,

m—1

m—1

JO**

Для ряда частных случаев операторов Ri и . удается обоснование изложенной вычислительной схемы, т.е. однозначная разрешимость соответствующей системы линейных алгебраических уравнений и сходимость процесса на различных классах функций в случае замкнутых контуров интегрирования.

В 3.3 изучаются сингулярные интегральные уравнения первого рода

- [^ + - [k(t₀,tMt)dt = f(t₀), (<₀ Є I), (17)

7гг J t-t₀ 7гг J

где L - замкнутый гладкий контур Ляпунова, k(to,t), f(h)- заданные на L функции класса Н_г(а) (г > 0,0 < а < 1). Дискретизация уравнения (17) происходит с помощью так называемых модифицированных схем метода дискретных особенностей с применением внешних узлов. После использования квадратурной формулы (8) получаем

JtJ 7ї/+2<т+1 - Т„

+ ^ C_a{u)k{T„, Т_и+2а+іМТі,+2<т+і) = /(т„), (18)

(7=0

где т„ Є {r_2p_i}J₌₁ U {т_2р}р₌₁, ті, r₂,... , r_2n - делят контур L равномерно на 2п частей, го = т-щ- Справедлива

Теорема 4. Пусть уравнение (17) имеет единственное решение, /c(to,<), /(to) Є H_r(a),(r > 4). Тогда система уравнений (18) начиная с некоторого п, имеет единственное решение и для погрешности справедлива оценка

1*<*ь)-М*о)1<о(5к).

В 3.4 рассматриваются сингулярные интегральные уравнения вида

а(кЫк) + ^/ ^ + Л /k(t₀,t)= /(«о), (19) тгг J t - t_Q in J

L L

где f₀ ^ , a(*o)j&(*o)₅^(to_?0?/(^o) заданные функций на L, a²(t₀) -b²(to) Ф 0, L - замкнутый гладкий контур.

В случае интегральных уравнений Фредгольма по отрезку действительной оси в известной монографии Канторовича Л.В. и Крылова В.И. [58] указаны определенные эффективные оценки погрешности решения таких уравнений методом квадратур. Диссертантом поставлена аналогичная задача для сингулярных интенгральных уравнений. В этом случае существенную роль играет структура выбираемой квадратурной формулы

для сингулярных интегралов. Мы с этой целью воспользовались формулами вида

^3

V(t)

_{т J t-}

dt

m-2

n—l m—2

V^ P*k

«r=o jfelj tvj ^^к *=o *"І *"*

m-1 ₁ \ n—l m—2

_{+^- E r~r, ^^ ~ E E / .^ pfc*)-}

_fc=0 ^J ^lffc/ _{ff = 0 fc=0} tl/J i«7fc

m-2

m—1

3^ tyj 11/A;

- E T~~r^^tvk^^+p»i E ^d»k(tvjMtvk), . »1/1 »i/fc

fc=0

(20)

ГДЄ V = 0, 1, . . . , П - 1, j = 0, 1, . . . , 771 - 1, «Vfc = *(e«Tfc), S

^, (b - а длина дуги), {xk}=o - некоторая система точек, заданных на отрезке [0,1].

Доказывается

Теорема 5. Если (р Є H_r(a), L - гладкий замкнутый контур, то справедлива оценка

1%; *о) - S_n(₀)\ < (С, Inn + С₂)-^,

где S_n((p,t)~ вышеуказанная сумма (20),

,2т-1

Ct=

(Ь - а)^г+аНІ^г)р

7Г(Г - 1)!

1+З^г+>^т+

min \xk+i - Zjfc|^m-1 min |ar_fc+i - Хк\^т~¹

к к

Со =

^{{ъ -} _а^у+ан{;)

тг(г - 1)!

тр^т-¹{7г + 1п2р²) 6т(т-1)р^2т-¹2^г+а

\т-

min|xA.₊i - Xk\^2m~²

mm \Xk+i - х_к

3+^-т ГГГГ +

*1 ~«2

р = max

имеь \t(si) -t(s₂)\' Далее, для сингулярного интегрального уравнения в принятых определенных предположениях относительно функций a(t),b(t),k(to,t),f(t) выводятся апостериорные оценки погрешностей через известные величины,

вычисляемые в самом процессе решения задачи с данными исходного интегрального уравнения.

В 3.5 рассматривается вопрос о численном решении сингулярных интегральных уравнений вида

і і

I / Ш_dt + I Г /ф, t)tp{t)dt = f(x) (21)

7Г J t - X 7Г J

на основе определенной аппроксимации входящих в данное уравнение сингулярного и регулярного интегралов. Именно, применяются приближенные формулы типа квадратур, алгебраическая степень точности которых при п узлах равна п — 1. При этом предполагается, что решение рассматриваемого уравнения разыскивается в классе функций, ограниченных на одном из концов отрезка [-1,1] и неограниченных на другом.

Для определенности решение последнего уравнения ищут в таком виде

>(*) = VT~7^^o(t)' ⁽²²⁾

где является достаточно гладкой на отрезке [-1;1]. Кроме того предполагается, что K(x,t),f(x) Є Н_г(а) (г > 1). Тогда для сингулярного интеграла применяется формула

_S№,-i/2>_{№ ш} I / Л+1Ш_Л

7Гу \ 1 -tt- X

п х — х_3>п

а для регулярного интеграла

\ Ё -_х~~7~(у/¹ - ^xlnTn(x) + \_jtn(*))M4»),

^ / у Y~i^K(^x,t)^(podt ^Y,^B^K{x₎x^_n)ipQ{x_j,_n)

-1 J⁼¹

сг=1

" JL JL /т vt

2 ₂2(j-l , , _ _N

B_a,n = - COS^ — 7Г, (7 = 1,2,...,71),

n in

T_n(x) — cos(narccosx), Xj,_n = cos Н^-тг.

После подстановки вместо сингулярного параметра х значений j,_n(j = 1,2,... , п) получается система линейных алгебраических уравнений.

Доказываются следующие леммы:

Лемма 1. Если \j>(t) Є #(7),7 Є (1/2,1], то

||5⁽-^1/2'^1/2^||я(₇-і/2) < М\\ф\\_Н{1), (М = const)

где || ||я(7) " ^Н0рма в пространстве гельдера Н(у);

Лемма 2. При условии ф Є Н_г(а) (г > 1; 0 < а < 1); 7 Є (|> Ч справедливо

l|_S(-i/₂.v«^ _ _sw,m_Ln_,_nHb__{m =} о (;J[_) („ > 1);

Лемма 3. При любом (З Є (0,1] и п > 1 справедиво

ll-^n-iV'Ikrm < 2n^1+/3(8 + -lnn) max |(zj,n)|-

7Г 1

С применением указанных лемм доказывается

Теорема 6. Пусть уравнение (21) имеет единственное решение вида (22), тогда соотвествующее приближенное уравнение при достаточно большом п имеет лишь единственное решение.

Четвертая глава посвящается к граничным задачам теории функций и математической физики. Также рассматривается одно сингулярное интегральное уравнение из физики. Глава состоит из 9 параграфов.

В 4.1 приводятся предварительные сведения и основные факты, проведен анализ существующих результатов.

В 4.2 исследуются вопросы приближенного вычисления компонентов

1 напряжений и смещений в задачах плоской теории упругости.

Как известно для напряжений X_x,X_y,Y_y справедливы формулы:

L

-8Є [

')

-a / <р{ 2т J (t-

Г 1 / J (t - 0)2 2тгг J

;dt +

1 f ip{t)dt 1 /¹2t(p(t)dt

²~" ' 2тг*7 (<-г)² 2m J (t-z)³

^ = ^/

(t - z}

dt + Re

27riJ(t-

dt+

1 f 1 [2t(p(t)di

-as / y(t) 1 / V?( 1 /ад

⁺ 2«У {t-z)² ^ 2m J (t-z)² 2m J (t -

(23)

(t-z):

Л]/ — Jm

-/

2ттг J

-/

cft +

МО л , -«/ ЙО

2тгг'У (t-г)³

:A+

⁺ 2тгг'У

2ттг'У (і - г)²

2tip(t)dt 2т) (t - zf

а для смещении it, v

2/і \2m J t- z 2m J

P(0

-dt-

2m J t- z

2m J t-z 2mJ(t-z)²r

г ту

p(t)

/

t-z 27ГІУ (<-г)²

-A +

1 J 33 / V?(t) ,. 2

2тгг У

2/i

u = —Im^J '

Л-

(24)

J t-z 2m J t-z 2m J (t -

27гг У <-z~" ' 27гг У <-г"" 27гг У (і - г)²

где <^(t) решение соответствующего сингулярного интегрального уравнения (Шермана-Лауричелла), зэ = 3 - 4а, (0 < а < |). В 2.6 даются квадратурные формулы для приближенного вычисления интегралов типа Коши, входящие в формулах (23), (24) и имеющие структуру, позволяющую эффективно вычислять их особенно вблизи границы L. Доказано,

что при надлежащих условиях относитеьно <р порядок приближения равномерно относительно z есть 0(п~³). С использованием указанных формул приближенно вычисляются эти компоненты и оценивается погрешность которая имеет вид 0(n~^z).

В 4.3 рассматривается уравнение Липпмана-Швингера (из теории нуклон-нуклонного взаимодействия) вида

Г(х, so) + А / ^ЩЩ^-dy = К(х, х₀), (х > 0) (25)

J У ~ ^хо

где К(х,у) = In {1^' ^{Л = 2}/^7Г' ^ ⁼ '⁷ (^слУ^чай потенциала Юкавы*)), х₀ Є (0, оо). Через решение Т(х_: х₀) известным образом определяется искомая физическая фаза нуклон-нуклонного рассеяния по формуле

_0О = __агс(51Ё). (26)

Уравнение (25) с помощью подстановки сводится к виду

ТКМсО + А Ір(^т)^Кі^^т)Т\^{т^^]dr = К,{іМ (27)

J т - t₀

На этой основе изложены определенные специальные схемы аппроксимации уравнения (25). Именно уравнение (27) сводится к системе линейных алгебраических уравнений следующими тремя методами:

1. применением метода дискретных особенностей;

2. применением метода квадратур построенный Д.Г. Саникидзе;

3. представлением плотностей по Д.Г.Саникидзе. По отношению ко всем этим схемам доказывается

Теорема 7. Если ядро К(х,у) = In i^ijiaU, то при любом фиксированном хо > 0 и достаточно большом п имеет место оценка

п (7=1

*) Аналогочно могут быть рассмотрены и некоторые другие известные потенциалы (напр. потенциал Рида и др.)

выполняющаяся равномерно относительно х > О (t₀ = jj+ї, t = ^ру? т_а = ah,h = ^).

В параграфе 4.4 исследуются задачи Дирихле в случае областей с углами. Она сводится к нахождению потенциала двойного слоя

и(х, у) = Re—: / ——dt, z = х -\-іу Є D, m J t — z

где ip - действительная функция на L_c. Граничное условие задачи приводит к уравнению

фо) + ДеЛ / Щ-dt = /(to), . (к Є L). жг J t - to

l_c Согласно указанным в 2.5 преобразованиям последнее уравнение примет вид

ф(т₀) + т₀Де-^ I / -T^Ldr - / ^P-dr ) = F(t₀), (28)

гто \J t-Tq J

TTlTo \J T-Tq J T + To '

где ф(т) = т(р(т² + с), F(r) = т/(т² + с).

Далее уравнение (28) решается с применением вычислительной схемы (построенной для областей с углами) указанными в 2.5. Эффективность метода иллюстрируется на конкретной задаче - о кручении призматического бруса при наличии концентратора напряжений, когда его поперечное сечение представляет нестандартную область с углами большего (> 7г) раствора. После нахождения значений $(tic) (к — 1,2... ,п) находим компоненты напряжения X_Z,Y_Z в точках z Є D.

В 4.5 рассматривается первая основная задача математической теории упругости. Излагается метод, подобный методу дискретных особенностей для численного решения систем уравнений вида

' wi(t₀) + Re-. I {wi(t)(l - cos20) - u;₂(t)sin20}-^- = /i(*o),

7TZ J < it — Ід

Wr і л ⁽²⁹⁾

7ГЇ J v. it — Iq

где L- гладкий замкнутый контур Ляпунова, охватывающий начало координат, tJi(t),LJ2(t), fi(t), f₂(t) - действительные функции на L, в = 9(t,t₀) -аргумент разности t — to.

Система (29) по методу Шермана-Лауричелла сводится к системе (имеющей единственное решение) вида

' 2o;i(*₀) + Re— / (wi(*)-^1(/0))(1-cos20)-

{u₂{t) -w₂(*o))^sin2в

t-t₀

1(1. ^{1 to} 7гг \t₀

+ Re

_HW^-AW.

sin 20-

t-tr

2wi(*₀) - Re^-. J [MO - wi(*₀))

-(w2(t)-W2(to))(l + cos2e)

(30)

тгг Vt₀ Ц; J t²

ГДЄ w(t) = «7i(t) + KJ₂(f).

Для сингулярных интегралов используются формулы т.н. локально-канонической схемы дискретных особенностей вида

1 f Ж_{аі ж рЫ+}^ ₊^-»)-гМ₊

тгг J t - т^ 7V-1 - г_у

+ІР1/О +P1/+1J

7V+1 - ті/

2ті-3

(7=1

^1/+0-+1 ~ ^гм

(31)

где р,о = ^Tv^-Jr', Pu₊j = ^т"*+*-^т"*, j = 1,2,... ,2n - 2,r/ -1,2,... , 2п, ту - точки контура L равномерно делящаяся его на In частей.

На основании формул (31) система (30) сводится к системе линейных алгебраических уравнений порядка 4n х 4п. Решая эту систему, получаются численные решения wi(тї),0(т\),и\(тг),0*2(72), »^і(т2_П),о;2(т2п) приближенно. Для погрешности справедлива оценка

\U)

-w»lk(/3) = 0^^j (n-»oo).

В параграфе 4.6 рассматривается одна конкретная задача из теории трещин, которая в случае двух параллельных трещин сводится к сингулярному интегральному уравнению вида

- /ВЙ.Л + I [k(t₀,t)№ = /(«о), (32)

я" J t - to % J

-I -I

t + t₀ + dcos/3

Л(*о,*) =

(<-Mo + dcos/3)² + d²sin²/3' здесь /5 - угол между направлением трещин и осью Ох. Ядро k(t,to) отражает поведение двух параллельных трещин одинаковой длины, /(<о) функция нагрузки на берегах. При / = 1 ищется решение вида

Ы*) = у Г+7^

двумя методами: методом дискретных особенностей и модифицированным методом дискретных особенностей. Показывается, что модифицированная схема имеет более высокую точность, чем классическая схема дискретных особенностей.

В 4.7 дается описание пакета программы "НОФИМА" - для численного решения сингулярных интегральных уравнений и некоторых граничных задач, разработанного с участием диссертанта. В основу разработки упомянутого пакета были положены разработанные методы аппроксимации сингулярных интегралов, аналогичные вышеизложенным. С помощью пакета решаются: 1) сингулярные интегральные уравнения

с гладкими замкнутыми контурами интегрирования; 2) задача Дирихле для уравнения Лапласа; 3) первая и вторая основные задачи плоской теории упругости. Составлен пакет на языке ФОРТРАН. Основой функционирования пакета является вычислительная схема, построенная на аппроксимации (вышеизложенными методами) уравнения

a₀ip + aiReS(f + a2lmS(p + а₃В<р + а^Нф + a₅Kip + a&ReI(p — f,

L L

^Kip=h I ^k(to,tMt)dt, I

L L

L- гладкий замкнутый контур, ограничивающий конечную односвяз-ную область (содержащую начало координат внутри себя), a,j (j = 0,1,... , 6), /- заданные на L функции (параметры).

В соответствии с классом решаемых задач пакет рассчитан на решение соответствующего уравнения при определенном выборе функциональных параметров (оо,oi,... ,%)

В частности:

4. при ао = l,ai = 2,02 = 0,а₃ = О, а± = 0, as = О,0б = 0 - задача Дирихле;

5. при a₀ = a(t),аг = ia\ = 2i6(t), а₃ = 0, а₄ = 0,05 = 1, Об = 0 - общее сингулярное интегральное уравнение;

6. оо = 1, а\ = 1,02 = і, Оз = 1,04 = 1,05 = 0, Об = 1 - первая основная граничная задача теории упругости;

7. при оо = -ae,ai = -ее, а,2 = -жг,а₃ = -аэ, а₄ = 1,05 = 0, а₆ = 0 -вторая основная граничная задача теории упругости.

В 4.8 посявщается одному классу сингулярных интегральных уравнений со сдвигом, в частности уравнению

К<р = a(t₀)₀)) + Л / тЩ-dt = Л(<₀),

7гг J г — t₀

где a(t),h(t),a>(t) Є Я, функция сдвига a(t) отображает контур L (в нашем случае \t\ = 1) гомеоморфно в себя с сохранением или изменением направления обхода на нем,

a(t)a(a(t))±lQ, t L.

Решение указанного уравнения ищется в виде

<Рп = 53 ^с*^' Ь = exp(iOj), 9j = _{2п + 1}3,

fc= —га

Ck - неизвестные величины. Тогда получается следующая система уравнений

п -1

к=0 к= — п

j = О,1,... , 2га, относительно с*. - неизвестных.

Доказывается существования и единственность полученной системы и оценивается погрешность.

В параграфе 4.9 прилагаются различные программы осуществляющие практические вычисления определенных величин из вышеупомянутых задач.

Апробация работы. Результаты работы систематически докладывались на научном семинаре отдела вычислительных методов анализа Института вычислительной математики им. Н.И. Мусхелиш-вили АН Грузии, доложены на IX, X и XI международных симпозиумах "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" - МДОЗМФ-2000, МДОЗМФ-2001, МДОЗМФ-2003, на городском семинаре в г.Одесса, на семинарах института прикладной математики и информатики Владикавказского научного центра, на итоговых научных конференциях и на семинаре кафедры математического анализа Северо-Осетинского гос.университета. Ее результаты были доложены также на семинарах Военно-воздушной инженерной академии им. Н.Е. Жуковского, Института проблем механики РАН и Орловского государственного университета.

О задачах рассеяния в квантовой теории поля

Настоящий параграф посвящается описанию разнообразной техники, полезной при построении теоретико-полевых моделей нуклон-нуклонного взаимодействия.

Здесь учитываются общие свойства взаимодействия. Первым долгом: энергия связи, приходящая на одну частицу в ядре, стремится с ростом атомного номера А к постоянному значению. Отсюда ясно, что в отличие от кулоновского взаимодействия, силы между нуклонами не являются дальнодействующими. В противном случае потенциальная энергия, приходящаяся на частицу, росла бы пропорционально числу частиц А.

Установлено, что силы между нуклонами обусловлены обменом многими частицами. Каждая из этих частиц вносит вклад в ядерное взаимодействие на расстояниях, обратно пропорциональных массе частицы.

Рассеяние протонов на протонах является лучшим источником количественной информации о ядерных силах. Исторически именно в результате изучения этого процесса была получена первая хорошая оценка радиуса сил между двумя нуклонами. Точность измерений здесь довольно высока, так как протоны легко ускорять и детектировать. При более высоких энергиях первично ускоряемыми в большинстве ускорителей частицами также являются протоны.

Система протон-протон подчиняется статистике Ферми,.в то время, как в системе протон-нейтрон возможны как симметричные, так и антисимметричные относительно перестановки частиц состояния. Вследствие этого анализ протон-протонного рассеяния упрощается, и, действительно, неоднозначность в анализе протон-протонного рассеяния при более высоких энергиях меньше, чем в случае нейтрон-протонного рассеяния.

Для многих расчетов, связанные с нуклон-нуклонным взаимодействием, удобно рассматривать эквивалентные уравнения Шредингера (см. [20]) - интегральное уравнение в импульсном пространстве. Она называется уравнением Липпмана-Швингера. Для вывода последнего, начнем с рассмотрения уравнения Шредингера для задачи рассеяния на потенциале V, убывающем с увеличением расстояния г быстрее, чем 1/г: (Н0 + У)фк = Ефк, - (1.4.1 где Но - оператор канонической энергий; Е = к2, фк - собственная функция задачи рассеяния.

Пусть фк - Pk + Хк, где рк решение уравнения H0 pk = Еірк, тогда (1.4.1) можно переписать в форме (Е-Н0)хк = Уфк. (1.4.2) Формальное решение этого уравнения приводит к уравнению Липпмана-Швингера для вольной функции ФЇ = Рк+[ЩЕ-Н0±іє)]уфІ, (1.4.3) в котором добавка ±е обеспечивает требование, чтобы (Е - Но) не обращалось в нуль при действительных положительных Е и чтобы, таким образом, существовал обратный оператор. Ясно, что уравнение (1.4.3) становится интегральным, если использовать спектральное представление для функции Грина 1/(Е — Но ± іє).

После введения нового оператора Т±(1) - матрица ясно что матрица комплексна и для действительных положительных Е можно получить уравнение для парциональной Ті - матрицы оо mm = т1к +ipj ш Шй , (i.4.5, о где символ Р обозначает главное значение интеграла по Коши. Здесь Е = к2, но ее можно обобщать.

Для произвольных потенциалов k\V\k решение уравнения Липпмана-Швингера необходимо искать численно. Подходящие численные методы будут обсуждены ниже и в 4.5. Пока отметим, что существуют потенциалы, для которых упомянутое уравнение решается анали-тично, т.е. решение получается в виде функции в аналитической форме.

Но самыми интересными являются так называемые потенциалы Юкавы и Рида (см. [20]). Вот потенциалы Юкавы к{У{Я ЩЇП(к-Чу+ Г = -4 7 = 0.7 Потенциалы Рида имеют различные формы, вот один из них ЩУ1Я Щп\ 41,47 ( в)2 + 2Ч 1650,6ln(fc + g)2 + (47?)2 i 6484,3ln(fe + g)2 + (7 ) 41,47 {к - qf + (477)2 41,47 (к - q)2 + (7г])2 77 = 0,7.

В [20] приводятся известные до 1975 года численные методы решения уравнения (1.4.5). Очевидно, при Е 0 в (1.4.5) отсутствует сингулярность. И тогда оно легче решается. При Е 0 присутствуют двойные трудности: 1) интеграл несобственный, 2) присутствует сингулярность.

В [20] не используются новые методы численного решения сингулярных интегральных уравнений. Мы будем рассматривать некоторые из них в 4.5.

Равномерные оценки погрешности для сингулярных интегралов с весами Якоби

В начале же отметим, что приведенные в данном параграфе формулы по их эффективности применительно к численному решению определенных классов сингулярных интегральных уравнений по существу отличается от других здесь рассматриваемых.

Итак рассмотрим сингулярные интегралы і St\ p]X) = J(ly{l + ty dt (-1 1, М -1), (2.3.1) -і считая их плотность p(t) принадлежащей классу достаточно гладких на [-1,1] функций (обеспечивающих существование S p,q во всех точках данного интервала). Кроме того положим 5(р 9)( ;±1)= lim Sip q\ p;x). (2.3.2) x-+±l

В частности, в случае р = q = — , несмотря на неограниченность соответствующей весовой функции вблизи концов ±1, при условии, что функция р удовлетворяет условию Гельдера с показателем , указанные предельные значения существуют (см. [113]. 22) и конечны.

В заметке [153] изучается вопрос о приближении оператор-функции вида (2.3.1) при/», q -\ в любой заданной точке а; Є (-1; 1) суммами, построенными путем аппроксимации функции ір интерполяционными многочленами по узлам Якоби, соответствующим заданным р, q. Отметим, что данная в [153] оценка погрешности даже в случае положительных р, q при которых указанные в (2.3.2) предельные значения конечны, не дают возможности суждения о поведении погрешности аппроксимации при сколь угодно приближении параметра х к концам ±1. Лишь в случае чебышев-ского веса (р = q — -) в [156] указана оценка погрешности аппроксимации соответствующего сингулярного интеграла, равномерная на всем отрезке [-1;1].

При других (отличных от — ) неположительных значениях р, q S(p q\ip;c) (с = ±1) не оказываются конечными, при какой бы ни было гладкой функции ip, если только у?(с) не равняется нулю. Тем не менее, если построение аппроксимирующих квадратурных выражений возможно так, что соответствующий остаточный член имеет смысл при любом х Є [-1; 1], может быть поставлен вопрос о равномерной на всем отрезке [-1; 1] оценке аппроксимации соответствующих сингулярных операторов.

В настоящем параграфе дается решение этого вопроса при любых р, q — 1. Такие оценки позволяют быть уверенными в надежности результатов вычисления сингулярных интегралов вида S p q\ p;x) при значениях х - сколь угодно близких к концам отрезка интегрирования [—1; 1]. Отметим, что, в частности, в практических задачах (связанных с применением таких интегралов) это обстоятельство и является существенным.

Будем считать, что всюду в дальнейших рассмотрениях, если не оговорено противное, -1 р, q 0.

Нули полинома Якоби РАР (ж), соответствующего данным р, q, обо-значим через х\ (к = 1,2,... ,п), считая их расположенными в убывающем порядке. Будем, как обычно принято (см. [178]) считать, что многочлены Рп (х) нормированы по условию Pn q\l) = (п Р)

Полагая я4 х х]"1 , приблизим сингулярный оператор (2.3.1) вы ражением, полученным на основе замены функции p(t) через L ((р; t)-интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по значениям ц в узлах щ/ (А; = 1,2... , я). Обозначив при этом 5?»«)fet)s5 (In.i,0, будем иметь ХР 9)( ;і)-і# 9)( ) t — X -1 где Тм(,) = у(1 1±0!Л(_1 я 1). -1 При этом (см. [153]) выражение Sn (ip] х) вычисляется в явном виде по значениям функции р в узлах я);, (к = 1,2,... , п). Пусть теперь х Є (-1, XnJ U [х[п\ 1). Представляя (2.3.1) в виде і Ф,Л ) + /(1 - )"(! + \-_1{х) dt, -1 воспользуемся в интегральном члене той же аппроксимацией - p(t) и р(х), что и выше (соответственно по переменным t и х). Что касается значения (р(х) при множителе 7р,д(ж) заменим его интерполяционным многочленом Щ??1( р\ х), построенным по значениям (р(х) в узлах ±1, х (к = 1,2,... ,тг). В результате заданный сингулярный интеграл приблизится выражением

Будем аналогично [153] считать, что функция (р Нг(а), (г 1) имеет на отрезке [-1; 1] непрерывные производные вплоть до порядка г, причем для г-й производной (р на данном отрезке выполняется условие Гельдера с показателем а (0 а 1). Учитывая это, дадим, прежде всего, оценки выражений Как следует из известных результатов ([ИЗ], 22) в случае p,q ф 0, характер поведения главного члена в представлении fp,q(x) при х — ±1 определяется поведением выражения (1 — х)р(1 -\- x)q вблизи ±1. В результате, учитывая предыдущую оценку, можно написать, что при -1 г\ (п) (п) р, q 0 и Хп J х х\ \ 0(П—+7-27в + 1/2) 7 1 тах7Р)9(а:)іг ( ;Ж) = { 2 (2.3.4) [0(п-г-"-2 1пп), 7 , 7o = min(p,g) (п 1).

В оценке выражения (2.3.3), учитывая -1 р, q 0 и. предполагаемую при этом возможность сколь угодной близости параметра х к концам ±1, существенное значение имеют условия Rn (ip;±l) = 0 (выполняющиеся вследствие того, что точки ±1 в данном случае являются узлами интерполяции). Учитывать это обстоятельство в оценке Rn 4)( p;x) через константу Лебега затруднительно. Поэтому мы здесь воспользуемся другим представлением Rn q\(p;x) построенным следующим образом. В выражении

О численном решении некоторых граничных задач методом об общенных сингулярных уравнений

Пусть L - некоторый гладкий или кусочно-гладкий контур на комплексной плоскости и %; to) = V.P.-. f УЩ-dt (to Є L). (3.2.1) тгг J t — to L Уравнение a( oM o) + RiSfa k) + R2S($, to) + K p(t0) = /( ,), (3.2.2) где a(to), f(to), k(to,t) - заданные на L функции (класса Гельдера, Kip(to) = Jk(to, t) p(t)dt), aRi,R2 некоторые известные операторы, мы услови L лись называть обобщенным сингулярным уравнением. Указанное уравнение является обобщенным в том смысле, что в общем случае это уравнение, несмотря на присутствие в нем сингулярных интегралов от искомой функции (и ей сопряженной), не всегда является обычным сингулярным интегральным уравнением по общепринятой (см. [113]) терминологии.

К уравнениям вида (3.2.2) приводят различные граничные задачи теории аналитических функций, к которым в свою очередь, сводятся многие важные задачи математической физики и механики.

Так, например, задача Дирихле для уравнения Лапласа, если ее решение и(х,у) в конечной односвязной области, ограниченной контуром L, искать в виде потенциала двойного слоя, приводит ([ИЗ], 61) к уравнению (в предположении Im(p = 0) вида (3.2.2) p(t0) + ReS(wto) = f(to), f(t0) = u(x,y)\L. (3.2.3) К уравнениям же вида (3.2.2) могут быть приведены также задачи плоской теории упругости.

Рассматриваемый здесь численный метод (метод обобщенных сингулярных уравнений) решения граничных задач в случае гладких границ основывается на замене соответствующего граничного уравнения (3.2.2) приближенным

При этом выбор узлов та(а = О,1,...,п-1), можно осуществить разбиением L по дугам эквивалентной длины. В случае многих важных задач доказываются однозначным разрешимость соответствующих приближенных уравнений и сходимость процесса (с оценкой скорости сходимости). Соответствующее утверждения имеют место, например, в случае упомянутой выше задачи Дирихле. В данном случае применение изложенной схемы заключается в аппроксимации входящего в уравнение (3.2.2) сингулярного интеграла по одной из квадратурных формул из [144], после чего отделяется соответствующая действительная часть. Подробное доказательство дано в [167].

Как пример применения одной из таких схем в заметке [150] рассматривается область с границей L, состоящей из линии у = х ъ, при —1 о: 0; г/ = 0 при 0 х 1 и некоторой произвольно заданной (графически) гладкой дуги, гладко примыкающей к указанной линии в точках t = -1 + г, t = 1 + 0 г (и целиком расположенной в полуплоскости у 0, см.рис.5).

Вторая производная L здесь разрывна в точке t = 0, однако при / = х + у схема, основанная на замене соответствующего уравнения (3.2.3) приближенным ipn(t0) + ReSn{ipn, t0) = /(t0) (3.2.5) при m = 4 (см. [147]), сходится быстро. Ниже приводятся некоторые результаты вычислений на ЭВМ при п = 17 : и(0,5;0,5) « 0,9996, «(0,9; 0,1) и 0,9994, u(0,l;0,9) = 1,0023. Значения эти вычислены на основе представления и(х, y) Re— I " (z = х + iy), жг J t — z L где фп - кусочно-интерполяционные выражения, построенное по значениям tpni найденным из соответствующей (3.2.5) системы. Точное значение решения в каждой из точек области равно

В общем случае наличие у L точек разрыва производных невысоких порядков (какой, например, является точка t = 0 в предыдущем примере) способствует снижению скорости сходимости схемы. Однако в тех случаях, когда число таких точек конечно, несложным преобразованием сингулярных интегралов исходное граничное уравнение может быть приведено к другому уравнению того же вида (3.2.2), но заведомо более гладкими аппроксимируемыми данными. При этом аналогично преобразовывается интегральное представление решения (потенциал) соответствующей граничной задачи. На основании этого нередко метод обобщенных сингулярных уравнений приводит к достаточно хорошим результатам в тех случаях, когда применение интегральных уравнений Фредгольма или метода сеток заведомо не эффективно.

Аналогичное преобразование применимо и в случае контуров с угловыми точками (подразумевается, что имеется конечное число угловых точек, отличных от точек возврата). Соответствующий метод в данном случае дает возможность в достаточно полной мере использовать дифференциальные свойства гладких частей границы области и граничной функции /. Тем самым он позволяет построить достаточно быстро сходящиеся вычислительные схемы для ряда задач, численное решение которых другими методами затруднительно ввиду расходимости или слишком медленной сходимости процесса

Замечание о численном решении задачи Дирихле в случае областей с углами применением обобщенных сингулярных уравнений. Задача о кручении призматического бруса

Численному решению основных задач математической теории упругости [112] посвящено достаточно много работ. Из них надо отметить .работы Саникидзе Д.Г. [167], [170] и Нинидзе [116]. Они опираются на [ построение вычислительных схем высокой точности для аппроксимации сингулярных интегралов.

Для определенности здесь рассматривается первая основная задача теории упругости, для второй основной задачи рассуждения аналогичны.

В настоящем параграфе излагается один метод, подобный методу дискретных особенностей для численного решения первой основной задачи математической теории упругости и обосновывается.

Первая основная задача после известных преобразований (см. [112]) записывается в следующем виде и/%) + &А / [w(1)( )(l - cos20) -J2\t)sm2d\ - - = h(t0), 7гг J L it o L J2\t0) - Re-, f L (t)sm2e -J2\t)(l + cos20)l - - = /2(t0), m J L it —to (4.5.1) где to Є L, 9 = 9(t, to) - аргумент разности t — to,L- замкнутый гладкий (охватывающий начало координат) контур Ляпунова. В (4.5.1) сделаем такое преобразование

Полученная система (4.5.3) имеет единственное решение и ее решение есть в тоже время и решение системы (4.5.2). Доказательство смотрите в [112], которое объясняется следующим образом. Если (4.5.3) имеет решение, то для этого решения Re J fildt = 0, отсюда следует, что решение системы (4.5.3) является также решением системы (4.5.2) и тем самым системы (4.5.1). В таком смысле система (4.5.1) и (4.5.3) эквивалентны. Переходим к построению вычислительной схемы. Считая, что L -замкнутый (ляпуновский) контур на комплексной плоскости. Введем систему точек {т,-}2! разбивающих L на равные (относительно длину дуги) части. Условимся при этом, что под тттч (m q) понимать, как обычно, кратчайшую дугу контура L, с концами тт,тр, расположенными на нем в положительном направлений. Если \І 2п, то гм = гм_2П, а если \L О, тц — тц+2п Зафиксируем произвольно и (1 v In) и положив to = Tv, рассмотрим интегралы

В предположении Ляпуновости контура L функция в(і, to) удовлетворяет условию Гельдера по обеим переменным вне любой окрестности каждой из них, а при проходе одной через другую претерпевает конечный разрыв с скачком равным нечетному кратности тт. Тем самым функция cos 20 и sin26 удовлетворяют по обеим переменным условию Гельдера с некоторым показателем 6 (О 8 1).

На основании этого можно утверждать, что остаток аппроксимации данного (4.5.5) и других аналогичных приближенных формул по рассматриваемой здесь схеме для функции а/1), а/2) Нр имеет оценку 0{п РInп)Мр(и), где относительно положительного (3 считается (3 min(a,6).

Согласно данному построению L и указанным выше оценкам в узлах т„, заметив, что погрешность аппроксимации регулярных интегралов в исходных уравнениях не превосходит выражения вида О(п )\\и\\н0, можно убедится, что для (rn(j)(to) = (Su)(tQ) - (Qnw)(fo) при указанном относительно (3 условии справедлива оценка

Похожие диссертации на Сингулярные интегральные уравнения в моделировании и численном решении задач математической физики и теории упругости

Методы математического моделирования при численно-аналитических решениях задач для уравнений волнового теплопереносаСелин, Илья Александрович

Алгоритмы решения уравнения переноса нейтронов и гамма-квантов в задачах математического моделирования ядерных реакторов и их защитыСычугова Елена Павловна

Математическое моделирование задач нанофотоники на основе численных и аналитических методов решения нестационарных уравнений МаксвеллаПрокопьева, Людмила Юрьевна

Численные методы решения начальной и краевой задач для функционально-дифференциальных уравнений и их компьютерное моделированиеОнегова Ольга Васильевна

Математическое моделирование в задачах механики сплошных сред с использованием полигармонических уравнений и численные методы их решенияКазакова Анастасия Олеговна

Двумерное численное моделирование процессов физики взрыва и удара методом SPH на основе решения задачи РиманаРубцова Варвара Петровна

Численные методы построения обобщенно-периодических решений дифференциальных уравнений при моделировании динамических процессовПчелинцев Александр Николаевич

Разработка и исследование схем программного моделирования устойчивости решений нелинейных дифференциальных уравнений на основе разностных методовКатрич Сергей Анатольевич

Построение дискретных аналогов и разработка методов решения конечноэлементных систем уравнений при моделировании гармонических электромагнитных полейДомников, Петр Александрович

Весовые параметрические алгоритмы статистического моделирования для решения нелинейных кинетических уравненийКоротченко Мария Андреевна