Содержание к диссертации
Введение
1 Модель свободной конвекции в плоском слое жидкости и численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 7
1 Задача о свободной конвекции в плоском слое жидкости 7
2 Модель Лоренца 12
3 Классификация периодических и близких к ним решений систем дифференциальных уравнений 16
4 Численные методы построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений 21
5 Постановка задачи исследования 24
2 Обобщенно-периодические решения дифференциальных уравнений 26
1 Обобщенно-периодические решения автономных и неавтономных систем дифференциальных уравнений 26
2 Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных периодических системах 32
3 Символьные вычисления в распределенной компьютерной среде 39
4 Построение обобщенно-периодических решений систем дифференциальных уравнений 49
3 Некоторые приложения 59
1 Система Лоренца 59
2 Динамическая система типа Маркова 84
Заключение 96
Литература 97
Приложение 108
- Классификация периодических и близких к ним решений систем дифференциальных уравнений
- Численные методы построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений
- Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных периодических системах
- Построение обобщенно-периодических решений систем дифференциальных уравнений
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время в различных областях естествознания (например, в гидродинамике) часто возникают потребности исследования нелинейных динамических систем. Одной из первых работ в этом направлении была статья Э. Лоренца, в которой обсуждались результаты вычислительного эксперимента для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка, моделирующей динамику жидкости при свободной конвекции в плоском слое. Лоренц считал, что в этой системе имеется счетное всюду плотное множество седло-вых предельных циклов. Однако насколько нам известно, строго существование циклов в системе Лоренца не доказано. Более того, численные методы, которые используются в современной литературе для интегрирования системы Лоренца, дают значительные систематические ошибки вследствие неустойчивости решений. Позже Д.В. Аносов ввел в рассмотрение У-систему, дающую, в частности, модель динамики жидкости в замкнутом сосуде с мешалкой. Во всех этих системах имеет место ситуация типического поведения решений, задаваемых рекуррентными траекториями. Определение такой траектории, введенное Биркгофом, не дает возможности численно ее построить. Однако в последние 20 лет появились работы, в которых введено понятие обобщенно-периодического решения, описывающего рекуррентную траекторию. Теорема существования таких решений позволяет получить численный метод их построения. Отыскать же обобщенно-периодические решения с помощью стандартных средств вычислительной математики не представляется возможным. Поэтому проблема разработки эффективных численных методов построения обобщенно-периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений является актуальной. В данном случае под эффективностью численного метода будем понимать получение решения нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с систематической ошибкой, меньшей, чем заданный радиус окрестности начальной точки, уменьшив при этом объем вычислений.
Целью работы является разработка эффективных численных методов и алгоритмов отыскания обобщенно-периодических решений нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием символьных вычислений в распределенной компьютерной среде, а также комплексов программ для их построения. Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:
Разработать численный метод и алгоритмы отыскания обобщенно-периодических решений систем дифференциальных уравнений.
Получить эффективный численный метод построения дискретных динамических систем вдоль решений дифференциальных уравнений, позволяющий осуществить поиск среди них обобщенно-периодических решений, на основе символьных вычислений в распределенной компьютерной среде.
Провести вычислительные эксперименты на модели Лоренца, а также разработать численный метод построения обобщенно-периодических решений динамической системы типа Маркова, отличных от почти периодических решений.
Методы исследования. В работе использованы методы качественной теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики и моделирования, теории алгоритмов, а также методы вычислений в распределенной компьютерной среде.
Научная новизна:
Разработан эффективный численный метод и алгоритмы построения обобщенно-периодических решений нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида в распределенной компьютерной среде с использованием символьных вычислений;
Получен метод отыскания решений систем с полиномиальной правой частью. Предложены критерии оценки общего члена степенного ряда, позволяющие повысить эффективность используемого численного метода;
Разработан численный метод построения обобщенно-периодических решений динамической системы типа Маркова. При этом сведено к минимуму накопление по времени систематической ошибки получаемого решения.
Практическая значимость. Предложенные алгоритмы и комплекс программ позволяют получить приближенные обобщенно-периодические решения нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с заданной точностью, а также построить проекции дуг их траекторий и найти поля температур и скоростей для плоского слоя жидкости.
Апробация работы. Основные результаты докладывались на международных конференциях "Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики" (2007 г.) и "Актуальные проблемы информатики и информационных технологий" (2008 г.), а также на XIII научной конференции ТГТУ "Фундаментальные и прикладные исследования, инновационные технологии, профессиональное образование" (2008 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, из которых 2 в издании, рекомендуемом ВАК, и 3 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.
Структура и объем работы. Материал диссертации изложен на 108 страницах машинописного текста. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения, содержит 22 рисунка и 2 таблицы. Список литературы состоит из 92 наименований.
Классификация периодических и близких к ним решений систем дифференциальных уравнений
Заметим, что приведенные выше теоремы выражают необходимые и достаточные условия существования периодических решений систем дифференциальных уравнений второго порядка. Известны также теоремы, выражающие достаточные условия существования периодических решений нелинейных систем произвольного порядка. Так, например, в книге [28] М.А. Красносельского изложен метод направляющих функций доказательства существования у систем обыкновенных дифференциальных уравнений периодических и ограниченных решений. Доказательство существования периодических решений основано на топологических соображениях и использует тот фундаментальный факт, что периодические решения полностью определяются неподвижными точками оператора сдвига по траекториям системы. Теоремы существования периодических и ограниченных решений формулируются при применении метода направляющих функций в терминах существования функций, удовлетворяющих специальным неравенствам.
Однако, теоремы Массера и Пуанкаре-Бендиксона не верны в произвольном нелинейном случае, то есть не следует думать, что ограниченность влечет существование периодических решений. Примером здесь является иррациональная обмотка тора. Также известен [5, с. 70-74] пример системы дифференциальных уравнений третьего порядка, где все решения ограничены, и среди них нет ни одного периодического решения с периодом, равным периоду правой части системы. Однако, в работах [5-11] показано, что из существования у систем (1.17) и (1.18) ограниченного решения следует существование так называемого обобщенно-периодического решения, частным случаем которого является периодическое решение, то есть обобщенно-периодические решения определяют ситуацию типического поведения решений системы дифференциальных уравнений произвольного порядка. В следующей главе будет точно дано определение обобщенно-периодического решения.
Важным дополнением предыдущих теорем явилось введение понятия минимального множества и теорема Дж. Биркгофа о том, что замыкание каждой рекуррентной траектории есть минимальное множество и обратно (см., например, [4]).
Периодические и близкие к ним решения Теперь рассмотрим наиболее важные виды периодических и близких к ним решений систем (1.17) и (1.18). Согласно [6], в силу результатов, приведенных в работе [5], наиболее полной представляется следующая классификация: 1. Периодические решения первого рода системы (1.17); 2. Периодические решения второго рода системы (1.17); 3. Периодические решения системы (1.18) фиксированного периода; 4. Периодические решения системы (1.18) произвольного периода; 5. Условно-периодические решения системы (1.18); 6. Почти периодические решения систем (1.17) и (1.18); 7. Устойчивые по Пуассону решения системы (1.18); 8. Решения системы (1.18), траектории которых рекуррентны; 9. Обобщенно-периодические решения систем (1.17) и (1.18). Понятия периодического решения первого и второго рода относятся исключительно к неавтономным системам. Именно, говорят, что (p(t) - решение первого рода, если его период равен периоду правой части системы (1.17). В противном случае (p(t) - решение второго рода. Что касается автономных систем, то здесь правая часть периодична с любым периодом Т. Поэтому приходится различать периодические решения некоторого фиксированного периода Т и периодические решения произвольного периода. В первом случае речь идет о циклах - замкнутых траекториях, описываемых периодическими решениями, во втором - о положениях равновесия системы (1.18).
Наиболее близкими к периодическим являются условно-периодические и почти периодические решения.
Условно-периодическое решение представляет собой объект, порожденный иррациональной обмоткой тора. Именно, говорят, что (p(t) -условно-периодическое решение, если траектория, описываемая им, всюду плотна на торе и ее замыкание является компактным минимальным множеством (см., например, [34]).
Почти периодические решения содержат в себе все упомянутые выше периодические. Встречаются они достаточно часто и у систем вида (1.17), и у систем вида (1.18). Так, например, хорошо известно, что каждое решение линейной системы ограниченное на всей оси Ш, является почти периодическим (см., например [32, с. 400]). В автономном случае почти периодическое решение представляет собой хорошо изученный классический объект общей теории динамических систем. При этом следует иметь помнить, что в отличие от условно-периодических движений существуют почти периодические движения, траектории которых нигде не плотны, например, на соленоиде Ви-ториса и Ван-Данцига (см., например, [5, с. 169-172]).
Поскольку говорить о построении периодических и близких к ним решений систем дифференциальных уравнений в явном виде не приходится, необходимо рассмотреть численные методы отыскания решений таких систем, что и описывается в данном параграфе; выявлены недостатки численных методов, применяемых на сегодняшний день для анализа поведения траекторий систем дифференциальных уравнений. Оказалось, что такие методы не пригодны из-за накопления значительной систематической ошибки (даже и для построения периодических решений), так как траектории многих систем дифференциальных уравнений (например, системы Лоренца при классических значениях ее параметров а = 10, г = 28 и Ь = 8/3, соответствующих турбулентному течению жидкости) разбегаются.
Численные методы построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений
Задача Коши, когда малое изменение начального условия системы (1.17) приводит разбеганию интегральных кривых, называется плохо обу-словленной, а система (1.17) в этом случае называется жесткой. В работах [37,38] описываются современные подходы к решению таких задач, но существующие методы требуют значительных вычислительных затрат в этом случае. Например, неявный метод Эйлера [38, с. 216] для системы п-ого порядка требует постоянного решения нелинейной системы алгебраических уравнений, что иногда сопряжено со значительными трудностями (например, изучение сходимости метода Ньютона, выбор начального приближения, величины шага и др.).
Методом Рунге-Кутта можно строить схемы различного порядка точности. Например, метод Эйлера есть метод Рунге-Кутта первого порядка точности. Наиболее распространен метод четвертого порядка точности. Приведем без вывода [38] одну из схем этого метода, которая используется некоторых математических пакетах:
Легко видеть, что все сказанное выше относительно метода Эйлера, непосредственно переносится на метод Рунге-Кутта. Единственное отличие в том, что систематическая ошибка здесь накапливается медленнее, чем в методе Эйлера, и не столь очевидно зависит от величины шага.
Основной целью настоящей диссертации является разработка эффективного численного метода и комплекса программ, позволяющих отыскивать обобщенно-периодические решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с заданной точностью, имеющих ограниченные решения. Для этого требуется построить дискретную динамическую систему вдоль решений исходной системы, модифицировав метод степенных рядов. Данный метод будет использоваться для уменьшения систематической ошибки с целью проведения вычислений в распределенной компьютерной среде для повышения его эффективности.
Заметим, что метод степенных рядов, в свою очередь, ориентирован на символьные вычисления, то есть вычисления, позволяющие осуществить работу с выражениями, записанных в символьной (аналитической) форме. В связи с тем, что для описанных выше численных методов имеет место значительное накопление систематической ошибки, не позволяющей отследить возвращение в є-окрестность начальной точки для определения, будет ли она начальной для обобщенно-периодического решения, то в используемом методе необходимо эффективно управлять этой ошибкой (не прибегая к значительному увеличению объема вычислений).
В частности, как приложение разработанных алгоритмов и программ, исследовать динамическую систему Лоренца при различных значений параметров системы. С учетом того, что эта система имеет полиномиальную правую часть, требуется также получить методы, позволяющие избежать процедуры символьного дифференцирования, чтобы используемый в этом случае метод был как можно эффективнее.
Для динамической системы типа Маркова разработать численный метод отыскания обобщенно-периодических решений, отличных от почти периодических, так как применение известных численных методов весьма затруднительно. Вследствие достаточно большого объема вычислений, метод сориентировать на распределенную компьютерную среду для повышения эффективности.
Настоящий параграф посвящен рассмотрению проблемы существования обобщенно-периодических решений дифференциальных уравнений. Это позволяют установить теоремы 2.1 и 2.2 для автономного случая и теорема 2.4 для неавтономного случая. Оказывается, из существования у системы ограниченного решения следует существование обобщенно-периодического решения, частным случаем которого является периодическое решение. Таким образом, эти теоремы являются обобщением теорем Пуанкаре-Бендиксона и Массера для многомерных нелинейных систем. Теорема 2.3 дополняет теорему Биркгофа о рекуррентных траекториях и минимальных множествах.
Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных периодических системах
Поле idpoint - это идентификатор точки (или ее номер, то есть значение i)7 поле fcalc - результат расчета точки (0 - точка еще не проверена (чтобы поле не было пустым), 2 - в таблице Syms не хватило символьных выражений для вычисления текущей точки на траектории Li), поле m -флаг проверки точки на отрицательную устойчивость по Пуассону, поле р - флаг проверки точки на положительную устойчивость по Пуассону (если точка не вычислялась до конца, то флаг равен 0, 1 - точка проверена на соответствующую устойчивость по Пуассону).
Как видно из таблицы PointsMainTable, первичный ключ idpoint используется в качестве уникального идентификатора строки этой таблицы. Заметим, что первичный ключ в таблице PointsMainTable является простым. Связь между таблицами PointsMainTable и CoordPoints - «один к одному». Чтобы организовать такую связь между этими таблицами, в таблицу CoordPoints добавлено поле idpoint, содержащее значение первичного ключа idpoint в связанной таблице PointsMainTable (такое поле называют внешним ключом или FOREIGN KEY).
Теперь поясним тип этих таблиц. При создании новой таблицы можно указать MySQL, какой тип таблицы для нее использовать. Для таблицы и определений полей MySQL всегда создает файл .frm. Данные хранятся в других файлах (их расширения зависят от типа таблицы). Таблицы InnoDB в MySQL снабжены обработчиком таблиц, обеспечивающим безопасные транзакции с возможностями фиксации транзакции, отката и восстановления после сбоя. InnoDB предназначается также для получения максимальной производительности при обработке больших объемов данных. По эффективности использования процессора этот тип намного превосходит другие модели реляционных баз данных с памятью на дисках. Для таблиц InnoDB поддерживаются ограничивающие условия FOREIGN KEY, чтобы обеспечить целостность данных. Для таблицы CoordPoints -это ON DELETE CASCADE. Начиная с версии MySQL 2.22.50 с ограничением внешнего ключа можно также связывать такое выражение.
Если указано выражение ON DELETE CASCADE и строка в родительской таблице удалена, то в формате InnoDB все эти строки автоматически удаляются также и из дочерней таблицы, значения внешнего ключа которой равны значениям первичного ключа в строке родительской таблицы.
В InnoDB реализован механизм контрольных точек, который получил название нечеткой контрольной точки. В InnoDB измененные страницы базы данных сбрасываются из буфера на диск небольшими частями. Сбрасывать содержимое буфера одним большим пакетом нет необходимости, так как это приведет к временной остановке обработки запросов пользователей.
В случае восстановления после сбоя InnoDB производит поиск меток контрольных точек, записанных в файлы журналов. Известно, что все изменения базы данных, внесенные перед меткой, уже записаны в образ базы данных на диске. Затем InnoDB производит сканирование файлов журналов начиная от места контрольной точки, и вносит зафиксированные изменения в базу данных из файлов журналов.
Рассмотрим теперь структуру нашей базы данных с точки зрения наличия в ней избыточности. Как известно (см., например, [63]), процесс преобразования базы данных к виду, отвечающему нормальным формам, называется нормализацией. Она позволяет обезопасить базу данных от логических и структурных проблем, называемых аномалиями данных. К примеру, когда существует несколько одинаковых записей в таблице, существует риск нарушения целостности данных при обновлении таблицы. Таблица, прошедшая нормализацию, менее подвержена таким проблемам, так как ее структура предполагает определение связей между данными, что исключает необходимость в существовании записей с повторяющейся информацией.
Согласно [63], таблицы PointsMainTable и CoordPoints приведены в первую нормальную форму, то есть каждый их атрибут (поле) атомарен. Под выражением «атрибут атомарен» понимается то, что атрибут может содержать только одно значение, то есть в полях не хранятся списки значений. Для этого, собственно говоря, была и введена вторая таблица, чтобы хранить координаты точек, то есть одной точке соответствует набор координат, хранящийся во второй таблице.
Так как первичный ключ является простым, то приведение таблиц во вторую нормальную форму не имеет смысла. Также заметим, что в таблицах отсутствуют транзитивные зависимости, то есть таблицы находятся в третьей нормальной форме. Еще в таблицах отсутствуют возможные ключи, то есть такие поля таблицы, совокупность значений которых отвечает требованиям, предъявляемым к первичному ключу (является уникальным для каждой записи в таблице). Поэтому таблицы находятся в нормальной форме Бойса-Кодда. Более того, в таблицах отсутствуют такие строки X, для которых обязательно существуют некоторые определенные строки Y, что говорит о том, что имеет место четвертая нормальная форма.
Таким образом, такая схема базы данных корректна. Также заметим, что поле xnum в таблице CoordPoints имеет тип TEXT, чтобы предотвратить потерю данных при преобразовании в формат с плавающей запятой (тип DOUBLE).
Построение обобщенно-периодических решений систем дифференциальных уравнений
Чтобы построить дугу траектории системы типа Маркова в координатах (х\,Х2,Хз), применять такие методы, как Эйлера и Рунге-Кутта, не целесообразно - в силу неустойчивости решений получим значительную систематическую ошибку. Метод рядов Тейлора также не применим, так как производные высших порядков, полученные почленным дифференцированием функции Ф, представляют собой расходящиеся ряды.
Опишем процедуру построения дуги траектории системы типа Маркова в распределенной компьютерной среде, используя следующий алгоритм.
Заметим, что функция Ф непрерывна в любой замкнутой области в силу следствия 3, приведенного в работе [89, с. 128]. Тогда она интегрируема на любом отрезке [0, ф\. Следовательно, для нахождения значения интеграла, стоящего в правой части равенства (3.22), при фиксированном значении (р можно применять численные методы интегрирования (см., например, [38,88,90]). Однако, подынтегральная функция Ф не является достаточно гладкой и, значит, не допускает хорошего приближения многочленами, то есть оценки погрешности точности вычисления определенного интеграла при фиксированном значении (р для различных формул (например, формулы Симпсона [90, с. 88, 89], Эйлера-Маклорена [90, с. 91, 92], квадратурная формула Гаусса [88, с. 601]) не применимы (этот факт и ухудшает сходимость численного метода). Пример недостаточно гладкой подынтегральной функции также приведен в работе [90, с. 93].
Поэтому оправдано применение таких формул интегрирования, как формула средних [90, с. 89, 90] и обобщенная формула трапеций [90, с. 87], так как эти формулы являются интегральными суммами, и, следовательно, они должны сходится к точному значению интеграла при стремлении шага сетки к нулю в силу непрерывности подынтегральной функции.
Таким образом, мы можем найти для любого ср значение функции q((fi) при t = ts (значение ts задается) с заданной точностью: Отсюда получаем, что для решения уравнения (3.21) можно применять метод итераций в силу его сходимости (см., например, [90, с. 141]) для нахождения координаты ср при заданном значении времени ts. Чтобы итерационный процесс быстрее сходился, начальное приближение лучше выбирать равным ts, так как с ростом значения ts растет значение координаты ср .
Заметим, что для разных значений ts процедуры поиска значений ср не зависимы друг от друга. Это позволяет реализовать описанный способ построения решения системы типа Маркова в распределенной компьютерной среде следующим образом. Задается длина Т отрезка времени [0,Т], на котором будем строить дугу траектории системы типа Маркова, описываемой обобщенно-периодическим решением с некоторой точностью, отличным от почти периодического решения, а также количество L частей, на которое разобьем этот отрезок.
Заметим, что на ошибку вычисления приближенного значения (/? влияют точности вычисления значения функции по формуле (3.30), интеграла по формуле (3.28), а также точность метода итераций.
Для интерполяции кубическими сплайнами используем пакет символьных вычислений Maxima (подобный пример приведен в [92]). В нем сначала формируется набор точек в виде списка. Далее, чтобы воспользоваться интерполяцией кубическими сплайнами полученного семейства точек и построить кривую, нужно дать командыЗдесь переменная t переобозначена через х. Построение кривой осуществляет функция draw.На рис. 3.16 приведена блок-схема алгоритма построения дуги траектории системы типа Маркова с использованием пакета символьных вычислений Maxima.
