Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Фундаментальные решения некоторых линейных операторов 20
1.1. Методика получения фундаментального решения линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 20
1.1.1. Применение интегрального преобразования Фурье для получения фундаментальных решений операторов 21
1.1.2. Получение фундаментального решения операторов с использованием решения соответствующего однородного дифференциального уравнения 24
1.2. Система дифференциальных уравнений задачи линейного деформирования длинной цилиндрической панели 26
1.3. Задача линейного деформирования длинной цилиндрической панели (модель Кирхгофа-Лява) 27
1.3.1. Случай пологой панели 27
1.3.2. Случай непологой панели 29
1.3.3. Случай непологой панели (вариант по В.З. Власову) 32
1.4. Задача линейного деформирования длинной цилиндрической панели с учетом поперечного сдвига 35
1.4.1. Случай пологой панели 35
1.4.2. Случай непологой панели 38
1.5. Фундаментальные решения операторов с непостоянными коэффициентами 41
1.5.1. Задача растяжения-сжатия тонкой пластины 41
1.5.2. Задача растяжения-сжатия тонкой пластины (с применением преобразования Фурье) 42
1.5.3. Задача изгиба тонкой пластины 43
1.5.4. Задача деформирования длинной пологой цилиндрической панели 44
1.6. Фундаментальные решения систем дифференциальных уравнений в частных производных 47
1.6.1. Плосконапряженное состояние тонкой пластины 50
1.6.2. Изгиб тонкой пластины 51
1.6.3. Изгиб тонкой пластины, лежащей на упругом основании 52
1.7. Изгиб пластины с учетом поперечного сдвига 53
1.8. Изгиб пластины, лежащей на упругом Винклеровом основании, с учетом поперечного сдвига 57
Глава II. Интегральные уравнения изгиба и плоского напряженного состояния пластины, лежащей на упругом основании 61
2.1. Формулы дифференцирования в локальной системе координат 61
2.2. Метод компенсирующих нагрузок при изгибе пластин, лежащих на упругом основании 63
2.3. Определение ядер потенциалов, входящих в интегральные уравнения изгиба пластины, лежащей на упругом основании 66
2.4. Предельное представление потенциалов на границе области 69
2.5. Интегральные уравнения изгиба пластины, лежащей на упругом основании 78
2.6. Метод компенсирующих нагрузок при плоском напряженном состоянии пластины 80
2.7. Определение ядер потенциалов, входящих в интегральные уравнения плоского напряженного состояния пластины 82
2.8. Интегральные уравнения метода компенсирующих нагрузок при плоском напряженном состоянии пластины 84
2.9. Регуляризация расходящихся интегралов 86
2.10. Численная реализация 88
2.10.1 Вычисление сингулярных интегралов по элементам контура 90
Глава III. Изгиб пластин сложной формы, лежащих на упругом основании 96
3.1. Изгиб пластины на упругом основании от действия поперечных нагрузок 96
3.2. Изгиб многосвязных пластин, лежащих на упругом основании 104
Глава IV. Моделирование процессов линейного и нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек непрямым МГЭ 108
4.1. Задачи линейного деформирования длинных пологих цилиндрических панелей и пластин 108
4.2. Задачи нелинейного деформирования длинных пологих цилиндрических панелей и пластин 114
4.2.1. Модель Кирхгофа-Лява 114
4.2.2. Модель Тимошенко 118
4.2.3. Примеры решения задач 119
4.3. Исходные соотношения задач деформирования пластин и пологих оболочек 125
4.4. Расчет гибких пластин и пологих оболочек непрямым методом граничных элементов 127
4.5. Примеры решения задач теории пологих оболочек 134
Приложения... 145
- Применение интегрального преобразования Фурье для получения фундаментальных решений операторов
- Фундаментальные решения систем дифференциальных уравнений в частных производных
- Определение ядер потенциалов, входящих в интегральные уравнения изгиба пластины, лежащей на упругом основании
- Расчет гибких пластин и пологих оболочек непрямым методом граничных элементов
Применение интегрального преобразования Фурье для получения фундаментальных решений операторов
Монография Крауча С. и Старфилда А. [105] посвящена в основном применению вариантов МГЭ к задачам линейной теории упругости. Книга акцентирована на практические аспекты приложения метода в решении различных задач. Большим вкладом в развитие МГЭ и расширению сферы его применения представляет книга Угодчикова А.Г. и Хуторянского Н.М. [158]. Книга содержит описание численно-аналитических подходов к решению трехмерных задач теории упругости, термоупругости и вязкоупругости. Также рассматриваются нестационарные динамические задачи теории упругости и вязкоупругости. Предметом обсуждения в монографии Т. Громадки II и Ч. Лея [88] является комплексных метод граничных элементов. Помимо постановки задач, описываемых уравнением Лапласа, рассматриваются вопросы аппроксимации границы и аппроксимации искомых граничных функций. Анализируются подходы по оценке точности аппроксимации и вырабатываются критерии по оптимизации принятой аппроксимации. Gospodinov G.K. в статье [186] рассматривает применение МГЭ к решению линейных задач пологих сферических оболочек. Обсуждаются проблемы формирования разрешающих интегральных соотношений. Tottenhem Н. в работе [212] рассматривает применение различных вариантов МГЭ к расчету пологих оболочек. Ivanova Jordanka, Valera Varbinka в статье [190] рассматривают МГЭ задачу изгиба пологой сферической оболочки. Приведен пример расчета пологой сферической оболочки с защемленными краями. Lu Pin, Huang Mao-quang а работах [202] рассматривают МГЭ задачу о напряженно-деформированном состоянии пологих оболочек при действии поперечной нагрузки. Используется уточненная теория с учетом поперечного сдвига. Решению нелинейных задач теории пластин и пологих оболочек методом граничных элементов посвящены работы [192, 193, 195, 197, 198, 200,208,210,211]. Schang Xin-chun, Cheng Chang-jun в работе [208] рассматривают осе-симметричную геометрически нелинейную задачу полярноортотропных круглых пластин. Линеаризированная задача решается с использованием обобщенных функций. Tanaka Masatuka, Mitsumoto Toshiro, Zheng Zhundong в работе [210] изучают нелинейное деформирование тонкой пластины на основе уравнений Кармана. Получены результаты для круглой пластины. Lei Xiboyan, Huang Maokuang в статье [200] применили МГЭ к расчету геометрических нелинейных пластин Рейснера. Приведен пример расчета. Tosaka N., Miyake S. в статье [211] на основе уравнений смешанного типа решают МГЭ линейные и геометрически нелинейные задачи пологих сферических оболочек. Kamiya N., Sawaki Y. в статье [193] рассматривают МГЭ задачу о больших прогибах тонких линейно-упругих пластин. Представлены результаты решения для круглых и прямоугольных пластин. В работе [192] этих же авторов на основе уравнений Бергера рассматривается применение МГЭ к решению задач нелинейного изгиба пластин и пологих оболочек.
Katsikadelis J.T. в работе [195] рассматривает решение МГЭ задачи о больших прогибах пластин на упругом основании. Выведены интегральные уравнения, которые решаются численными методами. В работе [198] этого же автора рассматривается задача изгиба тонких линейно-упругих пластин на упругом однородном и неоднородном основаниях. В основу расчета положен МГЭ. В статье [197] рассматриваются подходы и способы вычисления интегралов с логарифмической особенностью и интегралов типа Коши для одномерных и двумерных областей интегрирования при численной реализации МГЭ в приложении к некоторым задачам механики.
Sladek V., Sladec J. в работе [209] рассматривают задачу о больших прогибах пластины на упругом основании. Для пластины взяты уравнения Бергера. Выведены интегральные уравнения МГЭ.
Анализ и оценка ошибок при численном интегрировании ядер, имеющих место при формулировке граничных интегральных соотношений, для различных задач механики производится в статье [207]. Исследуется погрешность при применении квадратурной формулы Гауссы к интегрированию быстроизменяющихся функций, таких как \/г и \/г2 , когда точка наблюдения приближается к рассматриваемому граничному элементу, в пределах которого производится интегрирование. На основе проведенных детальных численных расчетов и сравнения с результатами аналитических вычислений выработаны рекомендации по выбору оптимального порядка квадратурной формулы в зависимости от положения точки наблюдения по отношению к граничному элементу. Как показывают результаты этих исследований, погрешности численного интегрирования могут быть существенными, если не учитывать особенности в поведении такого рода функций при разработке соответствующих численных алгоритмов вычислений.
В работе [183] дается оценка гиперсингулярным интегралам на конечном интервале. Для вычисления таких интегралов используется квадратурная формула Гаусса для вычисления главной части интеграла типа Коши. Из приведенного обзора видно, что методы решения линейных и нелинейных задач пологих оболочек на основе МГЭ развиты недостаточно и по расчету МГЭ линейных задач пологих оболочек выполнено очень незначительное число работ; по исследованию с помощью МГЭ нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек практически отсутствуют работы, выполненные отечественными исследователями, и имеется незначительное число работ, выполненных зарубежными учеными. Полученные МГЭ численные результаты относятся, в основном, к расчету круглых пластин и пологих сферических оболочек в линейной постановке. Почти отсутствуют работы посвященные вопросу расчета пластин сложной формы, лежащих на упругом основании. Большинство работ по этой теме проведено лишь для областей канонической формы. Для решения методом граничных элементов задач теории пластин и пологих оболочек требуется знание фундаментального решения соответствующей задачи, чтобы получить разрешающие граничные интегральные уравнения. Получение фундаментального решения является само по себе сложной задачей, поэтому на данный момент известно небольшое количество работ, посвященных получению таких решений и, как правило, большинство полученных фундаментальных решений имеют сложную структуру, потому тяжелы для анализа и мало пригодны в применении на практике. Получение фундаментальных решений для широкого круга задач теории пластин и пологих оболочек является актуальным вопросом.
Изложенное выше в определенной степени отражает актуальность вопросов, которые рассмотрены в диссертации.
Фундаментальные решения систем дифференциальных уравнений в частных производных
Интенсивное развитие теории оболочек и пластин обусловлено потребностями практики. Вопросы, связанные с расчетом тонкостенных конструкций возникают во многих отраслях современной промышленности, в том числе: авиации, ракетостроении, судостроении, химическом машиностроении, строительстве и т.д. Высокая механическая прочность и легкость оболочек обуславливает их широкое использование в технических конструкциях. В связи с этим одной из главных задач механики тонкостенных конструкций является совершенствование методов расчета и проектирования пластин и оболочек сложной формы при действии на них распределенных и локальных нагрузок. В силу различных обстоятельств аналитическое решение дифференциальных уравнений для большинства практически важных задач установить невозможно. В этой связи приближенные численные методы являются единственно возможным подходом в исследовании и получении приемлемых по точности и затратам результатов при решении практически важных задач.
Универсальных численных методов исследования большого многообразия проблем не существует. Развитие и широкое применение в решении различных задач механики твердого тела получили несколько численных методов. Наиболее распространенные численные методы теории оболочек основываются на: достаточно мелком делении изучаемой области (метод коллокаций); введении линейных сеток с неизвестными значениями переменных в узлах (конечно-разностные методы); разбиении области на большое число дискретных элементов простой структуры (методы конечных элементов); применяются различные модификации вариационных методов. Каждый из этих методов обусловлен необходимостью решения определенного круга задач, имеет свою историю становления и этапы последующего развития с целью расширения области его применения. Но любой из численных методов, имея большие достоинства в плане простоты и эффективности, тем не менее, не лишен определенных недостатков, зачастую принципиального характера, которые обуславливают границы его применения.
В настоящей работе рассматриваются некоторые аспекты развития и приложения метода граничных элементов в решении задач деформирования пластин и пологих оболочек.
Для более полного изложения вопросов актуальности и научной новизны, представленных в работе результатов, приводится краткий обзор литературы по теме исследования, включающий как работы по определению напряженно-деформируемого состояния пластин и пологих оболочек, так и развитию метода граничных элементов для решения задач в этой и смежных областях. Обзоры публикаций по оболочкам сложной формы приведены в работах [56, 101, 128, 137, 165].
Для расчета оболочек сложной геометрии применяются различные модификации метода конечных разностей (МКР). В работах Вайнберга Д.В., Вольмира А.С., Григоренко ЯМ., Мукоеда А.П., Корнишина М.С., Петухова Н.П., Крысько В.А., Столярова Н.Н. и др. изложены способы построения разностных схем [30, 31, 45, 46, 47, 87, 97-99, 138, 108, 149].
Исследованию и разработке методов расчета пластин и пологих оболочек сложной геометрии посвящен цикл работ Корнишина М.С., Пайму-шина В.Н., Якупова Н.М. и их учеников [57, 100, 130, 132, 166]. В этих работах излагаются вопросы выбора поверхности приведения, позволяющие эффективно проводить параметризацию для областей неканонической формы, приведен вывод необходимых соотношений, получены многочисленные результаты по прочности, устойчивости и динамике элементов конструкций.
Одним из универсальных методов решения задач механики деформируемого твердого тела является метод конечных элементов. По этому методу опубликовано очень большое число работ, в том числе известные монографии и работы Бате К., Вилсона Е., Голованова А.И., Корнишина М.С., Зенкевича О., Моргана К., Постнова В.А., Розина Л.А., Рикардса К. и других [18, 61, 62, 64, 91, 92, 141, 142, 63].
Значительное применение в теории пластин и оболочек получили методы коллокации. Их развитию и реализации посвящены работы Корнишина М.С., Рогалевича В.В., Григоренко ЯМ. [97, 143, 86] и др.
В работах Артюхина Ю.П., Серазутдинова М.Н. дается развитие вариационного метода в задачах статического и динамического расчета пластин и оболочек сложной формы, рассматриваются вопросы подкрепления пластин и оболочек сложной конфигурации ребрами, построения координатных функций для сложных областей [16, 144, 145, 167].
Одним из эффективных методов исследования нелинейного деформирования пластин и оболочек является метод продолжения по параметру. Его развитию и применению посвящены работы Вольмира А.С., Воровича В.В., Григолюка Э.И., Шалашилина В.И., Баженова В.А., Валишвили Н.В., Петрова В.В., Крысько В.А., Корнишина М.С., Столярова Н.Н., Танеевой М.С.и др. [45-49, 85,32, 136, 106, 107, 147-148, 58].
В последние годы для решения задач механики эффективно применяются методы граничных интегральных уравнений (ГИУ) или методы потенциала. Метод граничных интегральных уравнений решает не исходные дифференциальные уравнения, описывающие рассматриваемую задачу, а соответствующую этой задаче граничные интегральные уравнения. Последние могут быть построены при существовании фундаментальных решений для исследуемых дифференциальных операторов и при проведении детального анализа предельных соотношений интегральных представ лений, имеющих место при переходе через контур. Из решения ГИУ определяются некоторые определенные на границе плотности. Искомое решение в области определяется граничными интегральными соотношениями с найденными функциями плотности. При численном решении дискретизация проводится не для области, а для ее границы. Это приводит к понижению на единицу размерности решаемой задачи.
Своими корнями метод ГИУ уходит в классический математический анализ. В XIX в. были развиты понятия о силах притяжения в ньютоновских гравитационных полях, получены функции Грина для некоторых частных конфигураций. В 1905 г. вышла работа Фредгольма по исследованию интегральных уравнений [179].
Как отмечает Э.И. Григолюк в предисловии к переводу монографии [28], историческим предшественником и основой метода граничных элементов является теория интегральных уравнений. Впервые Г. Грин получил интегральное уравнение в теории потенциала, которое является альтернативой дифференциальному уравнению. Существенный вклад в становление и развитие теории граничных интегральных уравнений принадлежит Фредгольму. Он использовал метод теории потенциала и теорию линейных интегральных уравнений для решения статической задачи теории упругости [180]. В дальнейшем теоретические исследования в области граничных интегральных уравнений проводились главным образом в приложении к теории поля. Фундаментальные исследования в этом направлении принадлежат советским математикам Михлину С.Г., Купрадзе В.Д., Мусхелишвилли Н.И., Смирнову В.И. и др [117-119, 112, 124, 125]. Так, Михлин С.Г. рассматривал интегральные уравнения не только со скалярными подынтегральными функциями, но и с векторными, что в значительной мере расширяет область применения теории интегральных уравнений. Кроме того, подынтегральные функции могли содержать различные особенности и разрывы непрерывности в области интегрирования. Большое внимание уделено представлению гармонических потенциалов через комбинацию поверхностных потенциалов простого и двойного слоя, что автоматически приводит к интегральных уравнениям Фредгольма. В дальнейшем, как оказалось, такого рода представление стало возможным использовать в качестве основы для формулировки непрямого метода граничных элементов (НМГЭ).
Определение ядер потенциалов, входящих в интегральные уравнения изгиба пластины, лежащей на упругом основании
В постановке многих краевых задач предполагается, что решения считаются непрерывными. Однако при решении практических задач нагрузочные члены содержат различного рода особенности: например, сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, локальные температурные источники и т.д. Применение обобщенных функций решает эту проблему и расширяет возможности применения методов интегральных преобразований Фурье. В работах [159, 162] с использованием методов интегрального преобразования Фурье получены фундаментальные решения пластин и пологих оболочек, проанализирована их асимптотика при малых значениях аргумента и выделены особенности частных решений.
В работах Мораря Г.А. [120-123] разработан метод разрывных решений, который позволяет решать методом граничных интегральных уравнений задачи расчета пластин и пологих оболочек с дефектом типа трещин, включений. Для плоской задачи теории упругости этот метод излагается также в монографии [105].
Метод построения граничных интегральных уравнений теории оболочки сложной геометрии на основе формулы Сомилиана предложен Паймушиным В.Н. и Сидоровым И.Н. [131].
Синтезу метода конечных и граничных элементов посвящены работы Серазутдинова М.Н., Банцарева К.Н. [145, 17].
В работе [162] отмечается, что для пологих оболочек двоякой кривизны получение фундаментальных решений в замкнутом виде связано с большими трудностями. Для пологих сферических оболочек матрицы фундаментальных решений существенно упрощаются и выражаются через функции Кельвина-Томпсона [162, 122].
В работах [200, 202] построены фундаментальные решения пологих сферических оболочек теории Рейснера с учетом поперечного сдвига. Фундаментальные решения для пластин средней толщины приведены в монографии Мораря Г.А. [122].
Решению задач изгиба изотропных пластин сложной формы МГЭ посвящено большое число работ [168, 169, 171-173, 175, 176, 178, 181, 182, 184, 185, 187, 188, 191, 197, 199,203,213,215].
В этих работах рассмотрено применение прямого и непрямого МГЭ к решению задач изгиба пластин при различных силовых и температурных нагружениях; рассмотрены различные способы дискретизации границы, различные аппроксимации функций плотности; дан анализ ядер интегральных уравнений; разработаны методики вычисления сингулярных интегралов. Для различных граничных условий получены числовые результаты. Исследована практическая сходимость приближенного решения.
Работ, посвященных решению задач изгиба пластин сложной формы и лежащих на упругом основании, сравнительно мало [95, 131, 39, 69, 201, 170, 26, 27, 116, 160]. В своей работе [95], Коренев Б.Г. приводит решение задачи изгиба круглой пластины, лежащей на упругом основании типа Винклера и находящейся под действием сосредоточенной силы или распределенной поперечной нагрузки. В работе [69] Грибовым А.П. предлагается решать задачи изгиба пластин и пологих оболочек, лежащих на упругом основании типа Винклера, методом граничных элементов. Ядрами разрешающих интегральных уравнений являются фундаментальное решение задачи изгиба пластины и его производные. Такой подход позволяет решать задачи для контура пластины сложного очертания. В [160] рассматривается прямоугольная плита на упругом однослойном основании, шарнирно опертая по краям, под действием нагрузки, равномерно распределенной по части длины плиты. В [170] в программе расчета толстых плит на упругом основании по МГЭ проведен анализ свойств несингулярного фундаментального решения. Исследуются найденные граничные интегралы в случаях однородного и линейного распределения нагрузки. Под действием обобщенной нагрузки выявлены внутренние силовые факторы с оценкой погрешности полученных результатов.
Вопросы применения МГЭ к решению задач плоского напряженного состояния пластины достаточно разработаны и отражены в многочисленных публикациях. Приведем лишь некоторые из них [172, 174, 177, 189, 194,204,207,214].
Применение МГЭ в задачах расчета оболочек связано с определенными трудностями. Это во многих случаях — отсутствие фундаментальных решений в замкнутом виде или громозкие сложные выражения, определяющие матрицы фундаментальных решений.
Решению задач изгиба пологих оболочек в линейной постановке посвящены работы [10, 12, 38, 41, 157,51-54, 186,212, 190,202, 127].
Применение непрямого МГЭ к расчету пологих сферических оболочек рассматривается в работах Венцеля Э.С., Трофимова М.А. [38, 41]. В работах [38, 157] используется фундаментальное решение, полученное на основе плосковолнового разложения дельта-функции Дирака. Оно характеризуется алгоритмичностью и единообразной формой представления фундаментального решения и его производных, а также представлением последних в виде суммы регулярного быстро сходящегося ряда и расходящейся части, записанной в аналитическом виде. В публикациях Гавели СП., Мельникова Ю.А. [51-54] матрицы фундаментальных решений оболочек строятся в виде тригонометрических рядов. Решение задач сводится к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Получено решение ряда задач статики и динамики оболочек.
Среди известных ученых, занимающихся вопросами приложения и развития метода граничных элементов, весомый авторитет принадлежит К. Бреббия, который с рядом соавторов имеет большое число публикаций в этой области. Именно ему приписывается авторство в названии метода граничных элементов, которое было вынесено в качестве заголовка одной из его книг. Так одной из первых работ К. Бреббия в соавторстве с С. Уо-кером является книга [29]. В ней, прежде всего, предпринята попытка дать некую классификацию известны приближенных методов и определить место метода граничных элементов в этом ряду. На примере классической задачи о потенциале приводится прямая и непрямая формулировки метода граничных элементов. Обсуждается роль фундаментальных решений исходных дифференциальных операторов в данном методе. Рассмотрен вопрос установления фундаментальных решений для некоторых типов известных дифференциальных уравнений, в том числе и тех, которые зависят от времени. Произведена постановка к решению как линейных, так и нелинейных задач.
Более значимой в продвижении метода является следующая монография К. Бреббия в соавторстве с Ж. Теллесом и Л. Вроубелом [28]. Дан более детальный анализ по классификации приближенных методов и их возможной связи. Высказывается соображение о том, что в основе известных приближенных методов, в том числе и метода граничных элементов, возможно, лежит концепция метода взвешенных невязок. Помимо задач, связанных с теорией потенциала, обсуждаются подходы к решению задач теплопроводности, теории пластичности и вязкоупругости. Наиболее подробному рассмотрению и анализу подверглись задачи теории упругости. В кратком изложении дается постановка задачи изгиба тонких пластин и приводятся результаты решения для нескольких примеров. Введена глава, в которой обсуждаются возможные подходы по совместному применению различных методов, в частности метода конечных и метода граничных элементов. В целом усматривается тенденция по расширению сферы применения метода граничных элементов в обеих его вариантах.
Расчет гибких пластин и пологих оболочек непрямым методом граничных элементов
Katsikadelis J.T. в работе [195] рассматривает решение МГЭ задачи о больших прогибах пластин на упругом основании. Выведены интегральные уравнения, которые решаются численными методами. В работе [198] этого же автора рассматривается задача изгиба тонких линейно-упругих пластин на упругом однородном и неоднородном основаниях. В основу расчета положен МГЭ. В статье [197] рассматриваются подходы и способы вычисления интегралов с логарифмической особенностью и интегралов типа Коши для одномерных и двумерных областей интегрирования при численной реализации МГЭ в приложении к некоторым задачам механики.
Sladek V., Sladec J. в работе [209] рассматривают задачу о больших прогибах пластины на упругом основании. Для пластины взяты уравнения Бергера. Выведены интегральные уравнения МГЭ.
Анализ и оценка ошибок при численном интегрировании ядер, имеющих место при формулировке граничных интегральных соотношений, для различных задач механики производится в статье [207]. Исследуется погрешность при применении квадратурной формулы Гауссы к интегрированию быстроизменяющихся функций, таких как \/г и \/г2 , когда точка наблюдения приближается к рассматриваемому граничному элементу, в пределах которого производится интегрирование. На основе проведенных детальных численных расчетов и сравнения с результатами аналитических вычислений выработаны рекомендации по выбору оптимального порядка квадратурной формулы в зависимости от положения точки наблюдения по отношению к граничному элементу. Как показывают результаты этих исследований, погрешности численного интегрирования могут быть существенными, если не учитывать особенности в поведении такого рода функций при разработке соответствующих численных алгоритмов вычислений.
В работе [183] дается оценка гиперсингулярным интегралам на конечном интервале. Для вычисления таких интегралов используется квадратурная формула Гаусса для вычисления главной части интеграла типа Коши. Из приведенного обзора видно, что методы решения линейных и нелинейных задач пологих оболочек на основе МГЭ развиты недостаточно и по расчету МГЭ линейных задач пологих оболочек выполнено очень незначительное число работ; по исследованию с помощью МГЭ нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек практически отсутствуют работы, выполненные отечественными исследователями, и имеется незначительное число работ, выполненных зарубежными учеными. Полученные МГЭ численные результаты относятся, в основном, к расчету круглых пластин и пологих сферических оболочек в линейной постановке. Почти отсутствуют работы посвященные вопросу расчета пластин сложной формы, лежащих на упругом основании. Большинство работ по этой теме проведено лишь для областей канонической формы. Для решения методом граничных элементов задач теории пластин и пологих оболочек требуется знание фундаментального решения соответствующей задачи, чтобы получить разрешающие граничные интегральные уравнения. Получение фундаментального решения является само по себе сложной задачей, поэтому на данный момент известно небольшое количество работ, посвященных получению таких решений и, как правило, большинство полученных фундаментальных решений имеют сложную структуру, потому тяжелы для анализа и мало пригодны в применении на практике. Получение фундаментальных решений для широкого круга задач теории пластин и пологих оболочек является актуальным вопросом.
Изложенное выше в определенной степени отражает актуальность вопросов, которые рассмотрены в диссертации. Глава I посвящена получению фундаментальных решений для некоторых линейных дифференциальных операторов теории пластин и пологих оболочек. Фундаментальные решения ищутся с помощью преобразования Фурье, что ведет к необходимости вычисления несобственных интегралов, которые возникают при обратном преобразовании. Рассматривается вычисление некоторых типов таких интегралов, для чего привлекается теория обобщенных функций. Приведен метод получения фундаментального решения обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью однородного решения соответствующего уравнения. Такой метод позволяет находить фундаментальные решения для операторов с переменными коэффициентами. Выводятся целых ряд фундаментальных решений для длинной цилиндрической панели для разных случаев: 1) панель пологая, подчиняющаяся гипотезам Кирхгофа; 2) панель непологая по Кирхгофу; 3) панель пологая, деформируемая с учетом поперечного сдвига; 2) панель непологая по Тимошенко. Показано, что решение для пологой панели можно получить предельным переходом от фундаментального решения непологой панели. Приведены выводы фундаментальных решений для задачи растяжения-сжатия и поперечного изгиба длинной пластинки в слу чае переменных жесткостей. Рассмотрены вычисления двумерных несобственных интегралов, которые необходимы при получении фундаментальных решений линейных операторов в частных производных. С помощью этих интегралов демонстрируется вывод уже известных фундаментальных решений: плоско-напряженное состояние тонкой пластинки; изгиб тонкой пластинки; изгиб пластинки, лежащей на упругом основании. Кроме того, приводится получение фундаментальных решений задачи изгиба пластины средней толщины (типа Тимошенко) и задачи изгиба пластины средней толщины, лежащей на упругом основании типа Винклера.
В главе II выведены основные формулы дифференцирования в системе координат, связанной с точкой контура пластины, координатные оси которой направлены по нормали и касательной к контуру в этой точке (локальной системе координат). Приведены основные соотношения метода компенсирующих нагрузок для задач изгиба и плоского напряженного состояния пластины, лежащей на упругом основании типа Винклера. В локальной системе координат определены ядра потенциалов, входящих в интегральные уравнения изгиба и плоского напряженного состояния пластины, лежащей на упругом основании, и определены предельные значения этих потенциалов на границе области. Для основных видов граничных условий приведены интегральные уравнения метода компенсирующих нагрузок для задач изгиба и плоского напряженного состояния пластины на упругом основании. Аналитически вычислены сингулярные интегралы от производных фундаментального решения. Интегралы с особенностями типа \[г определяются в смысле главных значений по Коши, а интегралы с особенностями типа \/г2 в смысле конечного значения по Адамару.
