Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Динамические измерения. Обзор постановок задач и методов решения
1.1. Современное состояние теории динамических измерений 8
1.2. Обратная задача теории динамических измерений 11
1.3. Постановка задачи 20
1.4. Выводы . 22
Глава II. Линейная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения
2.1. Линейные задачи. Общие сведения 23
2.2. Линейные задачи. Функция Грина 28
2.3. Задача Валле-Пуссена 32
2.4. Однозначная разрешимость простой линейной задачи Валле-Пуссена 34
2.5. Осцилляционный случай в простой линейной задаче Валле-Пуссена 37
2.6. Линейные задачи. Сопряженный оператор 40
2.7. Выводы 42
Глава III. Интегральные уравнения обратной задачи теории динамических измерений
3.1. Функция Грина 43
3.2. Функция Грина задачи Валле-Пуссена в случае известной фундаментальной системы решений уравнения L[x] ~ 0 45
3.3. Интегральное уравнение для функции Грина 47
3.4. Некоторые свойства функции Грина многоточечной краевой задачи 51
3.5. Функция Грина вспомогательной задачи 52
3.6. Регуляризация 55
3.6.1, Оценка точности регуляризованного решения 60
3.6.2. Основные расчетные соотношения 61
3.7. Выводы 64
Глава IV. Программный комплекс. Численный эксперимент
4.1. Структура модели 66
4.2. Уравнения с постоянными коэффициентами 68
4.3. Уравнения с переменными коэффициентами 75
4.4. Численный эксперимент. Динамическое измерение температур 85
4.5. Численный эксперимент. Динамическое измерение линейных вертикальных ускорений 88
Литература
- Обратная задача теории динамических измерений
- Однозначная разрешимость простой линейной задачи Валле-Пуссена
- Функция Грина задачи Валле-Пуссена в случае известной фундаментальной системы решений уравнения L[x] ~ 0
- Уравнения с постоянными коэффициентами
Введение к работе
Актуальность работы.
Требования, предъявляемые к качеству стендовых испытаний и эффективности производства, привели к изменению требований к результатам измерений. Отсутствие данных о точности измерений или недостаточно достоверные ее оценки полностью или в значительной степени обесценивают информацию о свойствах объектов и процессов, получаемую в результате измерений. Некорректная оценка погрешности измерений чревата большими экономическими потерями и техническими последствиями.
Для современного этапа развития измерительной техники характерен переход от наблюдения постоянных величин (характеристик свойств и состояний объектов) к наблюдениям переменных величин в их динамике (характеристик процессов, т.е. закономерных изменений свойств и состояний объектов). Этот переход обусловлен двумя основными тенденциями развития измерений. Первая тенденция - это развитие «вширь», или расширение областей применения точных измерений (измерение с оцениваемой точностью). Вторая тенденция - развитие «вглубь», т.е. повышение точности измерений, обусловленное стремлением исследовать все более тонкие явления природы и создать все более совершенные технические устройства. При этом величины, ранее рассматривавшиеся как постоянные, оказываются переменными.
Под обратной задачей теории измерений понимают задачу восстановления входного сигнала по реакции на него измерительного прибора. Существенный вклад в решение проблемы в различных ее аспектах внесли Акдриянов А.В., Гик Л.Д., Крылов В.В., Карандеев К.Б., Харченко P.P., Василенко Г.И., Шестаков А.Л., Воскобойников Ю.Е., Rhoads R.L., Ekstrom MP., Silverman H., Pearson A.E. и др.
Имеющиеся на сегодняшний день методы решения обратной задачи теории динамических измерений и оценивания точности получаемых решений не всегда отвечают потребностям инженеров и исследователей и нуждаются в совершенствовании. В частности, совершенно неудовлетворительны
постановки и методы решения задач, описываемых уравнениями с переменными коэффициентами. Все это обуславливает актуальность рассмотрения новых постановок и методов решения обратной задачи теории динамических измерений.
Основной целью диссертационной работы является синтез модели динамических измерений на базе обратной многоточечной задачи Балле — Пуссена1 для обыкновенного дифференциального уравнения; последующий анализ этой модели и создание алгоритмов, реализующих процедуры повышения динамической точности измерительных систем.
Задачи исследования:
Анализ существующих методов восстановления сигналов б теории динамических измерений.
Моделирование процессов восстановления сигналов с помощью обратной многоточечной краевой задачи.
Построение интегральных уравнений, реализующих обращение дифференциальных операторов Валле-Пуссена.
Построение регуляризующих алгоритмов численного анализа интегральных уравнений основной задачи теории измерений; оценивание точности полученных решений.
Проведение численного эксперимента на реальных данных и анализ полученных результатов.
Методы исследования. Основными методами исследования в работе являются метод функции Грина решения простых многоточечных краевых задач; метод регуляризации Тихонова решения интегральных уравнений I рода; метод невязки оценивания параметра регуляризации и точности получаемых решений; метод численного исследования краевых задач.
В разное время этой задаче уделили внимание Г.Пойа, Г.Маммана, Ш.Валле-Пуссен, С.АЛаплыгин, С.Н.Бернштейн, М.Г.Крейн и его ученики, Ф.Хартман, Н.В.Азбелеа и его ученики, В.А.Кондратьев, Р.Беллман, М.А.Красносельский, Левин АЛО. и его ученики, Покорный Ю.В. и его ученики и многие другие.
Научная новизна работы:
Впервые разработан и реализован новый подход к моделированию обратной задачи теории динамических измерений.
Реализована процедура численного восстановления функции
Грина для обратной задачи Валле-Пуссена на основе решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
Разработаны алгоритмы и создан программный комплекс,
реализующие основные этапы анализа и синтеза параметров модели процедур
динамических измерений.
Практическая значимость работы. Разработанные модели и алгоритмы восстановления динамически искаженных сигналов позволяют в практической ситуации существенно уменьшить динамическую погрешность измерений.
Основные положения, выносимые на защиту.
Модель процессов восстановления сигналов на основе обратной многоточечной краевой задачи.
Построение интегральных уравнений, реализующих обращение дифференциальных операторов Валле-Пуссена.
Построение регуляризующих алгоритмов численного анализа интегральных уравнений основной задачи теории измерений; оценивание точности полученных решений.
Апробация работы. Основные положения и результаты
диссертационной работы докладывались и обсуждались на VI (Москва, МГУ,
1999 г.) и VIII конференциях «Обратные и некорректно поставленные задачи»
(Москва, МГУ, 2003 г.), Международной научной конференции
«Дифференциальные и интегральные уравнения» (Челябинск, 1999), Всероссийской
конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург,
2004 г.), XII Международной научной конференции «Математика. Компьютер.
Образование» (Пущино, 2005 г.), XIII Международной научной конференции
«Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2006 г.), Международной
конференции «Тихонов и современная математика» (Москва, 2006 г.),
Всероссийской конференции «Математика. Механика. Информатика» (Челябинск, ЧелГУ, 2006 г.)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК, 8 тезисов докладов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Работа изложена на 101 странице машинописного текста и содержит 30 рисунков.
Список цитированной литературы содержит 95 наименований.
Обратная задача теории динамических измерений
Определение входного сигнала, динамически искаженного средством измерений, рассматривается в общем случае как обратная задача измерительной техники [69]. Термин «обратная задача» появился в математической физике и относится к задаче восстановления входного сигнала по известной информации об операторе физического прибора об отклике этого прибора на входной сигнал. Обратная задача является характерной и традиционной задачей измерительной техники. Еще в 1871 году Рэлей формулировал эту задачу как «редукцию к идеальному прибору» [6]. В различных работах обратную задачу определяют как коррекцию частотных характеристик средства измерения [19, 80], восстановление входного сигнала [6, 17], коррекцию сигналов [1, 25], компенсацию динамических погрешностей [62], развертку или деконволюцию [92, 93].
Задача определения мгновеннвіх значений входного сигнала средства измерений может быть проиллюстрирована цепочкой преобразований, изображенной на рис. 1.3 [69]. На выходе средства измерения наблюдается процесс: u(t) = A[x(t) + s(t) + (t)] + r,(t), (1.2) где x(j) — входной измеряемый сигнал; s(t) — помехи, источником которых является объект измерений; %(t)—помеха, вызванная взаимодействием средства измерения с объектом измерения; 77(f) — аддитивные погрешности средства измерения.
Задачей измерения является определение неизвестного процесса x(t) по выходному сигналу y(t) и оператору А с последующим сравнением его значений с единицей измерений, восходящей по поверочной схеме к эталону. Операция М (см. рис. 1.3) является безынерционной.
Несовпадения оператора Я с точным обратным оператором происходит по следующим причинам: - наличие погрешностей e(t), E,{t), r\{t) заставляет придавать оператору Н фильтрующие свойства; - оператор, точно обратный физически реализуемому оператору, физически нереализуем. Если прямой оператор — это оператор с последействием, то есть с памятью, то обратный ему должен быть оператором с предсказанием, что физически реализовать невозможно. Как правило, прямой оператор является вполне непрерывным, следовательно, обратный оператор не является ограниченным [46], что вызывает сильную неустойчивость процедур решения, что неоднократно отмечалось в литературе [6, 10, 27, 38, 46, 74]. Если прямой оператор средства измерения является хорошо сглаживающим оператором, значит обратный оператор должен обладать обратными свойствами — усиливать все малейшие быстрые процессы, имеющиеся в восстановленном сигнале, в том числе и аддитивные погрешности, свойственные применяемому средству измерения.
Приведем входные помехи к выходу средства измерения и представим схему рис 1.3 в упрощенном виде (см. рис. 1.4). Приведенные погрешности будут иметь вид: u(t) = A _x(t) + S(t)\+ri(t). (1.3)
Возможны несколько различных вариантов формулировки обсуждаемой обратной задачи [69]. Один из них сводится к отысканию такого оператора Я, который преобразует процесс u\t\ в процесс x(t) по критерию минимума выпуклого функционала от погрешности е(ї): H = axgmmF{H-u(t)-x(t)}. (1.4)
Если погрешности измерений значительны, так что процессы x(t) и u[t) могут рассматриваться как стационарные и стационарно связанные случайные процессы, то в качестве функционала FlHu(t)-x(t)j обычно выбирают дисперсию сигнала погрешности — De [38], если же процессы свойством стационарности не обладают, то в качестве функционала Ічі7м(7)-л:(ш берется либо норма погрешности, либо ее математическое ожидание [70]. Такой подход, однако, требует богатой априорной информации об измеряемом процессе xytj и приведенных погрешностях у it) для достижения разумной точности восстановления сигналов.
В ряде работ обратная задача решается как задача статистического оценивания, например по критерию максимального правдоподобия. В этой постановке непрерывный оператор А аппроксимируют дискретным оператором, а функционал определяют на дискретном множестве как функцию обратную функции правдоподобия.
В работе [60] для решения обратной задачи предложен метод статистической регуляризации. Метод требует знаний законов распределения измеряемого сигнала и помех, что является весьма жестким ограничением.
Однозначная разрешимость простой линейной задачи Валле-Пуссена
Пусть теперь однородная задача, отвечающая краевой задаче (2.11), имеет нетривиальное решение. В этом случае, как уже было отмечено выше, функция Грина задачи (2.11) не существует и для нахождения правой части уравнения (2.11) по наблюденному в эксперименте решению x(t) можно попробовать использовать обобщенную (модифицированную) функцию Грина G(tj) и порождаемое ею интегральное соотношение (2.9). Однако этот путь, теоретически вполне приемлемый, на практике довольно трудно реализуем, т.к. требует построения фундаментальной системы (pi (/), І = 1,2,...,mt решений сопряженной задачи и т.п.
Оказывается, в случае задачи Валле-Пуссена за счет выбора узлов интерполяции на промежутке [а,Ь], всегда можно добиться однозначной разрешимости задачи (2.11) (и (2.11 )), даже если промежуток [а,Ь] является промежутком осцилляции для дифференциального выражения L[x].
Качественно это очевидно следует из теорем предыдущего пункта - ясно, что если выбрать узлы на достаточно малом1 подпромежутке промежутка [a,b] , то всякое дифференциальное выражение Цх\ будет неосциллирующим на этом промежутке. Однако с точки зрения возможных приложений этот качественный результат не вполне удовлетворителен - выбирая для решения интегрального уравнения (2.7) малый промежуток наблюденного в эксперименте решения, мы теряем значительную часть полученной в эксперименте информации и, как будет ясно из дальнейшего, значительно снижаем точность получаемых таким образом решений. Мы покажем здесь, что даже если промежуток [а,Ь] является промежутком осцилляции для дифференциального выражения L[x], то I. всегда существует такой набор узлов интерполяции а f{ t 2 ... fn b, что задача(2.11) (равно как и (2.1 Г)) однозначно разрешима. Имеет место следующая
Теорема (О существовании узлов интерполяции, обеспечивающих однозначную разрешимость простой задачи Валле-Пуссена.) Пусть однородная задача (2.11) обладает нетривиальным решением. Тогда существует такой набор узлов интерполяции а t t\ ... t n b, близких к рассматриваемым, что задача Валле-Пуссена L[x] = 0, x(t ) - 0 имеет только тривиальное решение.
Точнее, \fa tl t2 ... („ b, У8 0 3a t / ... i „ b:\t. \ 8, что задача Ь[х] - 0, x(t ) = 0 однозначно разрешима. I Пусть однородная задача Дх] = 0} x(f.) = 0, tx t2 ... tn Т.е. на промежутке, длина которого удовлетворяет неравенствам (2.12) или (2.12) обладает нетривиальным решением х (і)Ф0 для некоторых фиксированных узлов t = {tX j = \,n, и пусть р.(ґ), г = 1,2,...,и - фундаментальная система решений уравнения L[x] = 0. Для любых точек seT[a,h)={ais\ s2 - sn b} определим функцию in[s;(pv(p2,...,(pn \ равенством
Она непрерывна и непрерывно дифференцируема в Т[аЬ] по совокупности переменных s = (s,), / = 1, и вплоть до п -го порядка включительно. По каждой переменной 5, удовлетворяет однородному уравнению Ls [А] = 0 и условию Дй[ЗД,ір2,..., рд] = 0, Ґ0 Г1 ... ГД. Рассмотрим малую окрестность л є St =-{s\ s — t S] точки t . Существует точка t єSf ПТ{аМ, в которой AJf ; , ,..., ] 0.
Действительно, если Дд[5; Рр р2,..., рп] = 0 VseS( ПІ и, то по крайней мере для одной из компонент s, при замороженных прочих выполняется Дй[зд,(р2 ...,фл] 0 Va aj Sj Pj b. В силу однозначной разрешимости задачи Коши для однородного уравнения
2 . [А] = 0 с начальными данными—т- -"О, = 0,1,...,77-1 она разрешима только тривиально на [а,Ь], откуда заключаем, что Д)7[ у;ф,,(р,,...,(рп] = 0) Vs. Однако это невозможно, т.к. (см. выше) всегда можно выбрать подпромежуток промежутка [а,Ь] так, что однородная задача (2.11) однозначно разрешима для любого набора узлов интерполяции, а это означает, что для узлов из этого подпромежутка ts.n\s ,(pv(p2i...,( & 0. Полученное противоречие доказывает утверждение
Функция Грина задачи Валле-Пуссена в случае известной фундаментальной системы решений уравнения L[x] ~ 0
Известно, что задача (3.1) - задача решения интегрального уравнения Фредгольма J-ro рода - относится к классу задач, решения которых неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Поскольку правая часть рассматриваемого уравнения - экспериментально определяемая функция x(t), а ядро - результат применения численных процедур решения уравнения (3.10), то для нахождения решений (3.1) необходимо так построить процедуру решения, чтобы погрешности в определении ядра и правой части не сильно портили ее решение - рассматриваемую задачу необходимо регуляризовать.
В литературе обсуждалось [26, 37, 73] много различных способов регуляризации интегральных уравнений первого рода. В нашей работе мы использовали метод регуляризации А.Н.Тихонова [74]. При этом задача решения интегрального уравнения заменяется задачей минимизации функционала Ма= Аи-х а а (3.14) где Q, - стабилизирующий оператор, в настоящей работе взятый в виде а П = p(r)u2(t) + q{T)u 2(z)]dT, (3.15) а - параметр регуляризации, который определяется из условия минимума невязки и зависит от точности задания правой части уравнения (3.1).
Напомним основные понятия и термины, связанные с регуляризацией операторных уравнений.
Рассмотрим операторное уравнение первого рода Ах = щ х X, и є U, где Хи. U - некоторые метрические пространства, а А - непрерывный оператор, отображающий X на U.
Задача решения этого уравнения называется условно корректной по Тихонову, если - априори известно, что решение х существует и принадлежит некоторому заданному множеству, или множеству корректности М: хє М; - решение единственно в классе функций, принадлежащих М; - бесконечно малым вариациям и, не выводящим решение х за пределы М, соответствуют бесконечно малые вариации решения х.
Отличие условной корректности от классической заключается во введении множества корректности, существенно сужающего класс возможных решений. Наиболее характерный пример множества корректности - компакт, однако в большинстве прикладных задач класс возможных решений X не является компактом (то есть, на решение нельзя наложить, исходя из физических соображений, очень жесткие ограничения), и, кроме того, изменения правой части и, обусловленные ее погрешностями, могут выводить и за пределы множества АХ. Такие задачи иногда называют [74] существенно некорректными. А.Н. Тихонов [72, 73, 74] предложил подход, дающий устойчивые решения существенно некорректных задач. В его основе лежит понятие регуляризирующего оператора [73].
Точным (классическим) решением операторного уравнения называется такое решение х, при котором Ах — и = 0. Однако такое решение может не существовать или быть не единственным. Чтобы обойти эти трудности, вводится понятие псевдорешения и нормального решения. Псевдорешением операторного уравнения называется решение х, минимизирующее невязку U x-arghlf Ах-и Уравнение может иметь не одно псевдорешение. Обозначим через X, совокупность всех его псевдорешений. Введем также в рассмотрение некоторый элемент у/ є Х]. І I
Нормальным относительно у/ решением или у/ -нормальным решением операторного уравнения называется псевдорешение ха с минимальной нормой X-!// , то есть такое, что х0-у/ = inf хєХ, х-у/ Если у/ -0, то х0 называется просто нормальным решением. Рассмотрим операторное уравнение Ах и, хєХ, ueU, где X и U - гильбертовы пространства, а А - линейный вполне непрерывный оператор из X в U, причем вместо точных и к А известны их приближения й и А, такие, что и-и 5, А-А «. то есть решается уравнение Ах = й, х є X, и є U Рассмотрим функционал Тихонова (3.14) Ма[х,й} = Ах й : +aQ[x], где ПІхі - стабилизирующий функционал (3.15), а а 0 - параметр регуляризации. Известно [21, 26], что задача нахождения элемента ха, на котором функционал достигает минимального значения, то есть t Ma [x , к] = inf M [x, и] хєХ имеет решение, и притом единственное Число Ах-и называется невязкой. Минимизацию функционала (3.11) можно осуществить, используя численные методы минимизации [7, 8, 21, 22, 24, 31, 41, 57, 58, 71, 77, 78, 81]. Можно также использовать необходимое условие экстремума - решать уравнение Эйлера, вытекающее из условия минимума функционала и получаемое путем приравнивания нулю первой его вариации аП [ха] + А Аха =А й, (3.16) где С1 \ XI - производная по Фреше.
Уравнения с постоянными коэффициентами
Этот программный модуль предназначен для построения функции Грина и решения прямой и обратной задач для многоточечной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с известными корнями характеристического уравнения. fe Построение функции Грина осуществляется прямым алгоритмом с использованием процедуры Гаусса - Жордана.
Для работы программного модуля необходимы; операционная система MS Windows 9х, NT (Sp4+), MS Windows Me, MS Windows 2000, MS Windows XP. Наличие установленной библиотеки DirectX 8.0.
Программный комплекс запускается упомянутым выше исполняемым модулем «GraphTestexe».
При запуске программы открывается окно «Параметры» (рис. 4.2), mjf и окно с графиком построенной по заданным параметрам функции Грина (рис. 4.3).
Окно визуализации (рис. 4.4) графика функции Грина позволяет вращать график в любых направлениях, при помощи мыши: «схватить» (нажать и задержать левую кнопку мыши) график за любую точку и «повернуть» (с нажатой левой кнопкой мыши переместить указатель мыши в любом направлении) график, удалять - приближать график при помощи колесика мыши; настраивать отображение графика при помощи контекстного меню (щелчок правой клавишей мыши на графике): задавать раскраску графика («цветовая схема»), убирать/показывать ограничивающий параллелепипед, убирать/показывать сетку графика.
Для настройки параметров решаемой задачи в модуле имеется: - кнопка «Добавить», предназначена для добавления очередного корня характеристического уравнения. При нажатии на эту кнопку появляется диалоговое окно ввода корня характеристического уравнения, в котором можно задать действительную часть корня (поле ввода «Alpha»), мнимую часть корня (поле ввода «Beta»), а также кратность корня (поле ввода «Кратность») - целое число большее 0. После того, как корень задан , необходимо задать дополнительные граничные условия решаемой задачи так как добавление корня приводит к увеличению порядка дифференциального уравнения на его кратность если мнимая часть корня равна «0» и на удвоенную кратность, в случае ненулевой мнимой части. Каждое условие -значение аргумента дифференцируемой функции в котором эта функция принимает нулевое значение.
Два «бегунка» для динамического изменения действительной («Alpha») и мнимой («Beta») составляющей выделенного корня характеристического уравнения. «Бегунок» для мнимой части может быть нерабочим в случае, если мнимая часть корня равняется нулю.
Данные «бегунки» могут быть использованы для численного экспериментирования и наблюдения за динамикой изменения функции Грина с изменением значений корней характеристического уравнения.
Кнопка «Решение прямой задачи» предназначена для решения прямой задачи. Нажав на эту кнопку, следует ввести значение правой части дифференциального уравнения - функции, зависящей от параметра t (рис. 4.5).
Окно параметров решения обратной задачи Кнопка «Решение обратной задачи», предназначена для решения обратной задачи. Нажав на эту кнопку, следует ввести экспериментально наблюденное решение, после чего нужно нажать на кнопку «ОК».
Сначала будет выведено значение нормы невязки решения и используемый параметр регуляризации (рис.4.6) при решении, а затем график самого решения.
Поля ввода «А» и «В», предназначены для задания отрезка для аргумента дифференцируемой функции.
При решении прямой задачи создается файл «forward.dmp» - это текстовый файл, содержащий в себе значение решения в узлах сетки, разделенных переводами строк. При расчетах используется равномерная сетка на указанном отрезке (параметры «А» - начало и «В» - конец отрезка), с числом узлов, которое пользователь может указать по своему усмотрения, но не более 2500.
