Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическое моделирование в оптических измерениях 13
1.1. Математическое моделирование как метод метрологического обеспечения измерений 13
1.2. Математическое моделирование измерений при неполной определенности условий их проведения 16
1.3. Примеры оптических измерений, использующих математическое моделирование 21
1.4. Обсуждение основных результатов первой главы 28
Глава 2. Математическое моделирование интерференционных измерений формы оптической поверхности 30
2.1. Основные методы измерения формы оптической поверхности. Постановка задачи 30
2.2. Математическая модель интерференционных измерений формы оптической поверхности 36
2.3. Выбор и описание метода решения задачи восстановления формы оптической поверхности 40
2.4. Разработка программного комплекса 47
2.5. Численный эксперимент 52
2.6. Обработка результатов измерения формы астрономического зеркала 60
2.7. Представление результатов в виде топографической карты волнового фронта 65
2.8. Выводы ко второй главе 67
Глава 3. Математическое моделирование адаптивного метода измерения основных геометрических параметров вогнутой оптической поверхности 69
3.1. Геометрический ход лучей в идеализированной измерительной системе. Решение прямой задачи 71
3.2. Существование и единственность решения обратной задачи 81
3.3. Выбор метода минимизации 84
3.4. Описание генетического алгоритма 90
3.5. Численные эксперименты 97
3.5.1. Эксперимент 1 97
3.5.2. Эксперимент 2 99
3.5.3. Эксперимент 3 100
3.5.4. Эксперимент 4 102
3.6. Уточнение математической модели измерительной системы. Учет искажающих факторов 104
3.6.1. Учет искажающих факторов. Автоколлимационный ход центрального луча 105
3.6.2. Учет искажающих факторов. Конечная толщина полупрозрачной пластины и неточность в установке объектива 113
3.6.3. Учет искажающих факторов. Неточность в установке выходного объектива 124
3.7. Обработка результатов лабораторного эксперимента адаптивного измерения радиуса кривизны сферической поверхности 128
3.8. Выводы к третьей главе 130
Выводы 132
Список литературы
- Математическое моделирование измерений при неполной определенности условий их проведения
- Примеры оптических измерений, использующих математическое моделирование
- Математическая модель интерференционных измерений формы оптической поверхности
- Уточнение математической модели измерительной системы. Учет искажающих факторов
Введение к работе
Актуальность темы. Крупногабаритные вогнутые зеркала со сферической, параболической или гиперболической рабочей поверхностью являются главным оптическим компонентом телескопов астрономических обсерваторий, ли-даров и других инструментов, используемых для получения информации об окружающей среде и мире в целом. Современные астрономические и атмосферные исследования, задачи дистанционного зондирования поверхности Земли в видимой части спектра требуют высокоточного изготовления рабочей поверхности зеркала для полной реализации теоретически заложенных возможностей научно-исследовательских и коммерческих систем. Срок службы подобных систем исчисляется годами, а в некоторых случаях и поколениями исследователей, достоверность открытий которых зависит, в том числе, и от практических возможностей используемого инструментария.
Требования к пространственно-угловой разрешающей способности современных оптических систем постоянно повышаются. Обеспечение этих требований достигается в частности путем увеличения относительных отверстий и диаметров зеркал, а также повышением точности придания нужной формы рабочим поверхностям главного и вторичного зеркал. Изготовить оптическую поверхность можно лишь с той точностью, с какой возможно проконтролировать эффект от воздействия обрабатывающего инструмента. В случае с крупногабаритными астрономическими зеркалами задача контроля может быть разбита на две подзадачи:
1. Количественный контроль качества изготовления рабочей поверхности детали. Повышение качества рабочих поверхностей зеркал особенно важно для космических телескопов, которым необходимо обеспечивать разрешение на дифракционном уровне [1]. В этом случае, например, для двухзеркального телескопа, необходимо обеспечить оптическое качество зеркал со среднеквадратичной погрешностью не более 0,03 рабочей длины волны [2]. Технологический процесс изготовления крупногабаритного вогнутого зеркала можно счи-
тать итерационным: «формообразование оптической поверхности - анализ формы поверхности». Оптимальность задания режима следующего этапа обработки поверхности во многом зависит от точности производственного контроля изменений, произошедших с поверхностью за время проведения предыдущего этапа.
2. Измерение основных геометрических параметров итоговой оптической поверхности: радиуса кривизны, а для асферических поверхностей второго порядка еще и эксцентриситета. Речь идет о полированных поверхностях оптических деталей, микронеровности которых значительно меньше длины волны света. В техническом задании на изготавливаемую поверхность записывается диапазон приемлемых значений радиуса кривизны и эксцентриситета, но окончательное значение геометрических параметров, воплощенное в конкретном крупногабаритном зеркале, требует уточнения.
Точное знание основных геометрических параметров необходимо для корректировки элементов конструкции и параметров проектируемого инструмента в целом.
Изготовление крупногабаритного астрономического зеркала представляет серьезную технологическую трудность, которая связана с большим размером оптической поверхности при высоких требованиях к ее качеству. Площадь современных зеркал исчисляется квадратными метрами, а форма его поверхности должна быть выдержана с точностью, исчисляемой сотыми долями микрона.
Вспомним некоторые общие требования, предъявляемые специалистами-оптиками к современным методам измерений [3]:
Первое требование - точность. Самой насущной задачей является создание астрономической оптики, которая по своему качеству приближалась бы к теоретическим возможностям. Например, при оценке качества изготовления рабочей поверхности детали может быть использован критерий Шеффлера [3], согласно которому среднеквадратическая ошибка оптической поверхности не должна превышать 0,03 мкм. Если потребовать, чтобы методы контроля обес-
6 печивали точность в 3 раза лучше, то получаем, что среднеквадратичная ошибка метода контроля должна составлять 0,01 мкм.
Второе требование - полнота получаемой информации, которая может быть достигнута при одновременном получении сведений о всей оптической поверхности, т. е. результатом контроля должна быть карта всей оптической поверхности, показывающая нормальные уклонения. Это требование связано с тем, что для астрономических зеркал наиболее типичны локальные ошибки.
Третье требование - информация о форме оптической поверхности должна быть количественной.
Четвертое требование - объективность и документальность. Это означает, что исследования должны проводиться объективными методами и дать в итоге документ, который можно анализировать с нужной точки зрения.
В рамках изложенных выше требований рассмотрим разные классы методов контроля. Разделим методы на контактные и бесконтактные. В контактных методах контроля измерительный прибор приводится в соприкосновение с оптической поверхностью. Контактные методы не отвечают ни первому, ни второму требованию к методам контроля. Точность этих методов невысока и зависит от конкретной реализации, а при их использовании существует опасность повреждения контролируемой поверхности. Общим недостатком контактных методов контроля является также то, что они не дают одновременной информации о состоянии всей поверхности, т. е. получаемые сведения часто относятся к какому-либо одному профилю на оптической поверхности, и большая продолжительность процесса контроля.
Бесконтактные методы можно разделить по принципу работы измерительного прибора на два типа: геометрические и волновые. Большинство создаваемых сегодня методов измерений являются бесконтактными. В рамках настоящей диссертационной работы будем следовать этой тенденции.
Среди существующих методов количественного контроля качества изготовления рабочей поверхности крупногабаритных астрономических зеркал необходимо особенно выделить «компенсационный метод», который получил та-
кое название благодаря линзовому компенсатору, используемому в оптической схеме [4]. Метод является интерференционным, т. е. по приведенной выше классификации бесконтактным волновым. Интерференционные методы измерений, как известно, являются наиболее точными, т.к. позволяют проводить измерения с точностью до долей длины волны используемого источника когерентного излучения. В качестве результата проведения измерения можно рассматривать цифровую амплитудную интерференционную картину. Актуальной является задача восстановления с минимальными потерями фазового распределения такой картины.
Что касается методов измерения основных геометрических параметров вогнутых асферических поверхностей второго порядка, то их рассмотрим поподробнее.
Например, измерение радиуса кривизны с использованием кольцевого сферометра требует контакта с измеряемой поверхностью и сводится к определению стрелки прогиба h контролируемой поверхности и вычислению радиуса кривизны по формуле [5]:
где R - искомый радиус кривизны для выпуклой (вогнутой) поверхности, Г -радиус кольца и р - радиус шарика. Последние два параметра являются конструктивными и аттестуются заводом-изготовителем с высокой точностью, поэтому систематическими погрешностями можно пренебречь и погрешности измерения считать случайными. Метод является контактным и обладает всеми вышеописанными недостатками.
Бесконтактный интерференционный метод позволяет путем сравнения с эталонной поверхностью быстро контролировать радиус кривизны исследуемой поверхности [5]. Интерференционная картина может наблюдаться и невооруженным глазом. Зная число колец, наблюдаемых в поле зрения прибора вначале от эталонной, а затем от контролируемой поверхности, можно вычислить разность радиусов кривизны проверяемой и эталонной поверхностей.
Метод хорош в том случае, если в наличии имеется эталонная поверхность с заранее измеренными геометрическими параметрами. Вопрос о том, где взять эталонную поверхность остается открытым.
Фокусное расстояние длиннофокусных оптических систем можно измерить дифракционным методом с погрешностью 0,1 % и лучше [6]. В случае со сферическим или параболическим зеркалом измерение фокусного расстояния эквивалентно измерению радиуса кривизны.
Метод основан на использовании двухщелевой диафрагмы и оптического клина с небольшим (несколько угловых минут) углом при вершине. Введение клина в геометрический ход лучей измерительной системы приводит к смещению дифракционного изображения щели в фокальной плоскости контролируемой системы в поперечном направлении на величину d. Это смещение может быть измерено с помощью микроскопа.
Фокусное расстояние исследуемой оптической системы определяется по формуле:
Г= tg[{n-\) ер]' где d - расстояние между положениями сфокусированных пучков в фокальной плоскости исследуемой оптической системы; п - показатель преломления стекла клина; ср - угол при вершине клина.
Очевидно, что простота измерений данным методом обеспечивается предварительным выполнением очень сложных измерений на уникальном оборудовании при определении угла клина и показателя преломления его материала.
Автоколлимационный метод измерения радиуса кривизны основан на зеркальном отражении лучей, идущих из центра кривизны полированной поверхности. Измерения сводятся к определению разности отсчетов для двух положений окуляра зрительной трубы, сфокусированной на бесконечно удаленный предмет и на автоколлимационное изображение перекрестия окуляра, которое получают от поверхности контролируемой детали, помещенной перед
объективом трубы. Точность измерения радиуса кривизны зависит от точности отсчетных устройств, точности знания фокусного расстояния автоколлимационной зрительной трубы и чувствительности продольной наводки.
Проведение измерений автоколлимационным методом значительно усложняется для деталей с радиусом кривизны несколько десятков метров: достаточно сложно технически реализовать высокоточное отсчетное устройство продольной наводки с диапазоном измерений несколько десятков метров.
Существует также метод колец Ньютона, который предназначен для измерения больших радиусов кривизны выпуклых и вогнутых сферических поверхностей [7]. Для получения колец Ньютона на контролируемую поверхность накладывают плоскую эталонную пластинку. Радиус кривизны проверяемой поверхности вычисляют по формуле:
п_ А2-А2
— 7 \ )
4 Л (т2 -тх) где D2 и Д - диаметры колец Ньютона соответственно с номерами т2 и т,. Погрешность метода зависит, главным образом, от погрешности установки перекрестия микроскопа на середину интерференционной полосы.
Метод является контактным и, конечно же, при проведении измерений есть опасность повредить исследуемую поверхность.
С невысокой точностью радиус кривизны сферической поверхности также можно измерить при помощи «оптико-цифрового метода» [8]. Метод является бесконтактным геометрическим и для нахождения радиуса кривизны использует зарегистрированные телекамерой искажения изображения щели, сформированного на контролируемой сферической поверхности. Метод не претендует на высокие точности получаемых результатов, т.к. для офтальмологических исследований погрешность несколько процентов является приемлемой. Интересной и перспективной кажется сама идея использования искажения геометрии известного объекта (щель) для определения некоторого информативного параметра (радиус кривизны роговицы глаза).
В связи с написанным выше актуальна задача разработки высокоточного бесконтактного метода измерения радиуса кривизны и особенно эксцентриситета асферической поверхности второго порядка.
Целью настоящей диссертационной работы является разработка алгоритма и программного комплекса определения двумерного фазового распределения амплитудной интерференционной картины, а также разработка математической модели и метода адаптивного измерения основных геометрических параметров вогнутых асферических поверхностей второго порядка.
В соответствии с этой целью решаются следующие задачи:
выбор метода решения обратной задачи восстановления фазы интерференционной картины;
оценка методической погрешности выбранного алгоритма фазовой демодуляции амплитудной интерферограммы;
выбор метода решения обратной задачи измерения основных геометрических параметров вогнутых асферических поверхностей второго порядка;
оценка точности измерения радиуса кривизны и эксцентриситета для выбранного алгоритма и реальных погрешностей исходных данных.
При проведении исследования использовались такие методы как:
математическое моделирование интерференционных измерений, в результате которого была оценена методическая погрешность предлагаемого алгоритма демодуляции интерферограмм;
проведение и обработка результатов интерференционных измерений формы поверхности крупногабаритного астрономического зеркала интерферометром схемы Тваймана-Грина с использованием линзового компенсатора профессора Д.Т. Пуряева;
математическое моделирование нового адаптивного метода измерения основных геометрических параметров вогнутых асферических поверхностей второго порядка, для которого была доказана единственность решения задачи измерения радиуса кривизны и эксцентриситета оптической поверхности, а
11 также оценена устойчивость предлагаемого метода к погрешности исходных данных.
Научная новизна проведенного исследования заключается в достижении следующих результатов:
разработан алгоритм восстановления с минимальной погрешностью двумерного распределения фазы статической интерференционной картины;
проведено численное моделирование контролируемой поверхности и интерференционных измерений, позволившее определить методическую погрешность разработанного алгоритма в зависимости от величины пространственных частот;
определены оптимальные параметры настройки интерферометра при проведении технологического контроля качества изготовления крупногабаритных астрономических зеркал;
разработана математическая модель нового метода адаптивного измерения основных геометрических параметров вогнутых асферических поверхностей второго порядка;
проведено численное моделирование нового адаптивного метода для случаев измерения основных геометрических параметров наиболее часто используемых видов поверхностей: сферической, параболической и гиперболической;
проведена оценка погрешности измерения геометрических параметров поверхности в зависимости от погрешности измерения неадаптивных параметров.
Основные положения работы, выносимые на защиту:
1) использование двумерного преобразования Фурье позволяет с высокой точностью восстановить двумерное фазовое распределение статической интерференционной картины;
2)аподизация спектра исходной интерференционной картины на этапе спектральной фильтрации позволяет снизить методическую погрешность алгоритма восстановления фазы;
использование адаптивного подхода к проблеме измерений позволяет уменьшить влияние инструментальных погрешностей контролирующего прибора на точность измерения основных геометрических параметров оптических поверхностей;
теоретическое обоснование единственности решения обратной задачи с использованием предложенной измерительной схемы;
обоснование точности измерения радиуса кривизны и эксцентриситета оптических поверхностей при адаптивном подходе.
Практическая значимость проведенного исследования состоит в разработке программного комплекса, предназначенного для автоматизированной обработки результатов интерференционных измерений. По сравнению с программным обеспечением, ранее использовавшимся в ведущем отечественном центре изготовления крупногабаритных оптических элементов, разработанный программный комплекс позволяет добиваться более высокого пространственного разрешения, большей точности получаемых результатов, а также обладает преимуществами с точки зрения удобства и скорости обработки амплитудных интерференционных картин.
Внедрение результатов диссертационной работы. Разработанный программный комплекс в настоящее время успешно используется в ведущем отечественном центре изготовления крупногабаритных оптических элементов -ОАО «Лыткаринский завод оптического стекла». Внедрение результатов диссертационной работы подтверждается соответствующими актами.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы представлялись на 6-ом Всероссийском совещании-семинаре «Инженерно-физические проблемы новой техники» (Москва, 2001), X и XII Международных конференциях «Ломоносов» (Москва, 2003 и 2005) и на III Научно-технической конференции «Радиооптические технологии в приборостроении» (Сочи, 2005).
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, выводов, списка литературы из 79 наименований и приложения; изложена на 146 стр., включая 3 табл. и 46 рис.
Математическое моделирование измерений при неполной определенности условий их проведения
При любых измерениях погрешность результата зависит как от характеристик измеряемого объекта, так и от параметров измерительного средства. Более трудоемкие косвенные измерения применяют в тех случаях, когда искомую величину непосредственно определить слишком сложно или когда их использование дает точность выше, чем прямые измерения.
В предыдущем параграфе было показано, что общая погрешность результата косвенных измерений есть суммирование систематической и случайной погрешности. В некоторых случаях удается частично компенсировать систематическую погрешность введением поправки с учетом некоторой априорной информации. Чаще измерения проводятся при неполной определенности условий, и приходится мириться с тем, что окончательный результат не может быть улучшен. Иногда ситуация усугубляется тем, что сама измерительная схема, и, следовательно, математическая модель, бывает плохо обусловлена относительно информативных параметров и даже малые погрешности прямого измерения неинформативных параметров приводят к появлению серьезных ошибок косвенного определения информативных параметров. Другими словами, погрешность измерений определяется погрешностью выдерживания параметров измерительного средства.
В связи с этим оправдано введение несколько иного подхода проведения измерений. Подход этот выделяют в отдельный класс и в литературе он получил название адаптивного. При адаптивном подходе определяемыми величинами являются как характеристики объекта, так и параметры измерительной системы (ИС), величина которых в действительности не вполне определена. Применение адаптивного метода измерений требует построения ИС таким образом, чтобы можно было выделить три типа параметров: адаптивные, неадаптивные и информативные. Ниже будет дано пояснение для каждого из них. Кроме того, при построении ИС необходимо вводить тот или иной вид избыточности по па раметрам [13]. При обработке результатов измерения по некоторому критерию проводится уточнение величины параметров, т. е. решается задача минимизации с целью достижения оптимальных характеристик. При этом вектор измеряемых величин является параметром, участвующим в минимизации. Критерием может служить функционал невязки, определенный на множестве измеренных и модельных параметров.
Запишем задачу минимизации следующим образом: F(ax, ,а%А,. .,h„h,7.x, ,z„J- min, где o,,...,a„ - адаптивные параметры, т. е. параметры математической модели ИС, значение которых точно не известно, но интервалы их возможных значений известны; bt, ,ЬПь - неадаптивные параметры, про которые можно сказать, что известно их истинное значение или, по крайней мере, достаточно точное для того, чтобы его можно было считать действительным; zx,.. ,z - вектор измеряемых информативных параметров также участвует в минимизации. Для каждого компонента этого вектора известен интервал возможных значений.
Физический смысл в решение задачи измерения адаптивным методом закладывается следующий: на практике зачастую невозможно с высокой точностью измерить многие параметры ИС. Например, расстояние между исследуемой оптической поверхностью и точкой, которая является отсчетной, вряд ли может быть определено с точностью лучше нескольких миллиметров. В то же самое время, некоторые величины, задействованные в измерительном процессе, могут быть измерены с очень высокой точностью. Например, определение относительной координаты центра маленького отверстия в тонкой металлической пластинке при условии использования двухкоординатного измерительного прибора «ДИП-6» со специальным визиром с системой концентрических окружностей можно провести с точностью на уровне нескольких микрометров.
Адаптивность метода измерения будет заключаться в подборе таких адаптивных параметров av. ,а„а и информативных параметров z„...,z , чтобы для набора известных неадаптивных параметров Ьх,...,ЪПь выполнялось: F(at,.. ,a„m,blt ..,bnb,z],...,z„)=m\nF{»).
В классическом подходе к проблеме измерений (прямой и косвенные методы) погрешность определения интересующего параметра снижается за счет повышения требований к средствам измерения задействованных физических величин.
Достоинством адаптивного подхода является возможность снижения требований к точности прямого измерения большинства величин, задействованных в ИС. Значение этих величин будет уточнено при минимизации невязки, т. е. в процессе оптимизационной «подгонки» векторов адаптивных и информативных параметров к условиям, диктуемым известными (неадаптивными) параметрами. Невязка, конечно же, должна быть составлена с учетом специфики ИС, иметь единственный глобальный минимум в области решения задачи, а начальная неопределенность по всем параметрам не должна препятствовать сходимости метода оптимизации. Дополнительная устойчивость может быть введена при помощи избыточности входных данных.
В качестве недостатка можно назвать необходимость разработки математической модели, обладающей «полнотой», т. е. учитывающей все искажающие факторы, значимо влияющие на результат измерений. Такая математическая модель будет обладать большим количеством степеней свободы, что приведет к усложнению анализа ее свойств. Упрощение математической модели возможно лишь при упрощении ИС, при отказе от использования слишком сложных для моделирования элементов.
Примеры оптических измерений, использующих математическое моделирование
Почти все измерения в оптике сводятся к определению длин и углов [7]. При проведении оптических измерений используют различные методы: визуальные, механические, электрические и оптические (фотометрический, интерференционный, поляризационный). Рассмотрим несколько методов оптических измерений, использующих математические модели, т. е. косвенные методы измерений. Например,
Аттестацию угломерного прибора можно проводить при помощи поворачивающегося стеклянного клина с преломляющим углом в [14]. Известно, что угол отклонения клина слабо зависит от изменения угла падения луча на него. Это обстоятельство и предлагается использовать для задания малых угловых отклонений.
В измерительной схеме пучок параллельных лучей падает на входную грань клина под углом а. Угол отклонения пучка равен 8. Выходящий пучок далее направляется на исследуемое углоизмерительное устройство. Угловое положение клина измеряется или с помощью автоколлиматора, направленного на грань клина, перпендикулярную входной грани, или с помощью какого-либо другого углоизмерительного устройства, например, с помощью делительного стола, делительной головки или гониометра. При повороте клина пучок, выходящий из клина, поворачивается на значительно меньший угол, что дает возможность задавать малые углы с высокой точностью. Формула угла отклонения для преломления в главном сечении клина:
Для измерения толщины тонкой пленки, которые находят применение в оптике, например, для просветления поверхностей оптических деталей, деления светового пучка на отраженный и проходящий, для получения асферических поверхностей методом вакуумной асферизации, в интерференционных светофильтрах и т. д., можно использовать интерференционный метод, который основан на измерении смещения интерференционных полос равной толщины, образованных в воздушном клине между поверхностями испытуемого клина и пробного стекла [7]. Геометрическая толщина пленки в этом случае определяется формулой: h а Л Ъ 2 где а - величина смещения полосы, Ъ - ширина полосы, Л - длина волны света. Среднеквадратическую погрешность измерения толщины тонкой пленки интерференционным методом можно вычислить по формуле: Л I ( а ъ1 л +1 Измерить толщину тонкой пленки можно при помощи еще одного интерференционного метода [15]. В этом методе исследуемая пленка толщиной h наносится на часть подложки с малой клиновидностью а.
В процессе измерений наблюдаются и регистрируются две составные интерференционные картины полос равной толщины: первая - получена при интерференции лучей, прошедших через объект исследования, помещенный в интерферометр, вторая - сформирована лучами, отраженными собственно сторонами исследуемого образца. В обоих случаях соблюдается нормальное падение света на исследуемое оптическое покрытие. Каждая интерференционная картина состоит из двух частей: от пленки, нанесенной на подложку (часть А), и собственно от подложки (часть В). Интерференция наблюдается для двух длин волн: А и /Г. Выражение для измеряемой толщины пленки: , Л Л SL-St h = L, А-А 2 где 5кх и 8кг - измеряемые изменения в сдвигах интерференционных полос между частями А и В составной интерференционной картины.
Погрешность определения толщины покрытия зависит от точности измерения положения интерференционных полос. Если погрешность определения положения интерференционной полосы составляет 0,01 ее ширины, то погрешность Sh в определении толщины h рассчитывается по следующей формуле: _. А-А 0,01 on и . А-А 2 Рассмотренная ошибка в определении толщины тем меньше, чем больше разность между значениями длин волн Л и Л .
Метод наименьшего отклонения предназначен для измерения показателей преломления и дисперсии оптических материалов в видимой области и является гониометрическим [5]. Сущность метода состоит в том, что двухгранную призму, изготовленную из исследуемого стекла, устанавливают в особое положение по отношению к падающему на нее параллельному пучку лучей так, чтобы угол є отклонения лучей призмой имел минимальное значение из всех возможных углов отклонения для данной призмы.
Математическая модель интерференционных измерений формы оптической поверхности
Выше было отмечено, что наиболее точные методы контроля формы оптических поверхностей - интерференционные. При совместном воздействии двух или более электромагнитных волн, каковыми являются световые волны, наиболее часто используемые при контроле, происходит векторное сложение электрических и магнитных векторов волн. Мгновенная интенсивность изображения, среднее от которой по некоторому интервалу и является наблюдаемым, пропорциональна квадрату амплитуды результирующей волны. Особенность интерференционных методов состоит в том, что наблюдаемые значения интенсивности в стохастических интерференционных полях зависят от характеристик опорной волны, которые могут варьироваться заданным образом, обеспечивая возможность получения полезной информации. Извлечение этой информации требует решения прямой и обратной задачи рассеяния.
Прямая задача рассеяния излучения различной степени когерентности в случайно неоднородных средах является в значительной степени решенной (см., например, [31 ]). Опубликованы многочисленные работы, посвященные исследованиям статистики различных порядков спекл-интерференционных полей и квантовой статистики фотоотсчетов (см., например, [32-34]).
Опираясь на эти исследования можно сформировать следующую простейшую схему контроля (см. рис. 2.1) [35].
В любой интерферометрической схеме могут быть выделены три главные ее составные части [36]: генератор монохроматического когерентного электромагнитного излучения; компонент, разделяющий это излучение на две интерферирующие волны, первая из которых направляется на эталонную, а вторая -на исследуемую поверхность; и компонент, собирающий результат интерференции в плоскости приемника.
Все эти три компоненты присутствуют и в рассматриваемой простейшей схеме. На первое, специально приготовленное эталонное зеркало, падает монохроматическая световая волна, частично проходит через него и отражается от контролируемой поверхности, обращенной к первому стеклу. Пусть колебания в точке «7», происходят по закону Al s\n(co t).
Прошедшая волна, отраженная в точке «2» второй поверхности, в точке 1 л ( 4 П Л «7» описывается как А2 sin\со / + L . \ & ) 2 = ; )] ( Г J Пусть прямо в точке «7» стоит экран. Изображение на нем в произвольный момент времени t будет иметь следующую мгновенную интенсивность: ( 4 я Л sin (со t) + sm \со t + L\ (А{-А2) sin (со /)+2 А2 sin = (Al-A2f sin2 (со /)+4 А22 sin2 Г + 4 А2-(А{-А2)-sin (со /) sin\со t f 2 л CO / + l(i)= А{ sm (со t) + A2 sin ( со + — - L (А,-А2) sin (со t)+A, cos Л 2 л .) 2(2 л , . со / + L cos L + Л { Л 2 л Л (2 л . + —— L cos I L Л ) \ Л Воспользуемся тригонометрическим равенством [37]: 4 sin a sin/? cosy =-cos (a + j3-y)+cos (-а+ /? + /)+cos (а-/? + /)-cos (a + j3 + y). Тогда
Итак, интенсивность изображения зависит от соотношения амплитуд отраженного от первого и второго стекол света и от расстояния L между отражающими поверхностями. Если амплитуды отраженных лучей одинаковы, то интенсивность изображения пропорциональна сумме единицы и косинуса от фазы, набегающей за прямой и обратный ход луча между поверхностями. При этом возможно полное исчезновение изображения. Если амплитуды не равны, то на все это накладывается дополнительный равномерный фон, уменьшающий контраст, что, конечно же, нежелательно.
Ввиду периодичности тригонометрической функции косинуса невозможно по такому изображению определить действительное расстояние между отраженными поверхностями: та же картина получилась бы и при U=L + n —, т. е. с точностью до целого числа полуволн.
Обобщим полученный результат на двумерный случай. Сигнал на входе регистрирующего устройства, установленного на месте полупрозрачной эталонной поверхности, может быть представлен в виде:
Уточнение математической модели измерительной системы. Учет искажающих факторов
В параграфе 3.1 настоящей диссертационной работы построение математической модели проводилось с учетом предположения об идеальности взаимного расположения и соосности оптических элементов ИС и измеряемой поверхности. В реальных условиях невозможно было бы создать такую ИС и обеспечить такие условия проведения съемки. Поэтому в настоящем параграфе математическая модель будет доработана таким образом, чтобы максимально полно учесть влияние различных факторов на результат проводимых измерений.
Доработку математической модели проведем для случая сферической поверхности с учетом следующих искажающих факторов:
1. Настройка автоколлимационного хода центрального луча диафрагмы проводится при помощи совмещения зондирующего луча, отраженного от измеряемой поверхности, с лучом, выходящим из полупрозрачной пластины. Такое совмещение не может быть проведено идеально точно, поэтому необходимо учесть рассогласование направления центрального зондирующего луча и нормали к измеряемой поверхности в точке пересечения с центральным лучом.
2. При установке объективов б и д (см. рис. 3.17) возможны их смещения, а также нарушения коллинеарности оптических осей объективов и направления распространения центрального зондирующего луча.
3. Полупрозрачная пластина в (см. рис. 3.17) имеет конечную толщину, т. е. при прохождении через нее луча необходимо учесть его преломление. Пластина также может быть несколько смещена относительно своего идеального положения.
При построении математической модели процесса измерения параметров поверхности предполагается, что центральный луч, совпадающий на рис. 3.17 с осью Oz, почти сонаправлен с направлением нормали в точке пересечения с измеряемой поверхностью. Использование слова «почти» означает необходимость учета некоторых искажений, вносимых несовпадением направления центрального луча измерительной системы и направления нормали в точке пересечения.
Результатом решения прямой задачи для некоторого заданного набора параметров (/j;/ c ;R0;zJ40;S0;y/0;e0; p0) будут локальные координаты на ПЗС матрице центра каждого из проецируемых отверстий. Координаты эти могут быть вычислены по формулам: yJ = z9{x[,y[XJn R\ 0 y,euy).
Решение обратной задачи - поиск по известному набору координат {Зс у,3? у} спроецированных на ПЗС матрицу центров отверстий теперь уже неизвестных параметров (f?,;f,IX ;R0;zJ4;3,ц/;в; р0), может быть проведено методом наименьших квадратов. Ранее была показана необходимость проведения измерений в двух позициях, поэтому минимизируемая невязка функционал будет выглядеть следующим образом:
Внутри полупрозрачной пластины луч распространяется в плоскости, образованной самим лучом /, = i}?,l?,l?)=ll"pi lviJ"u) и нормалью 12=(г2,ІЇ,12)=(АР,Вр,Ср) к пластине в точке падения. Плоскость эта будет перпендикулярна вектору l aP, направляющие которого могут быть вычислены следующим образом:
Важным преимуществом создаваемой математической модели является ее «модульность», т. е. модель может быть условно разбита на отдельные блоки: - прохождение луча от диафрагмы до выходной грани полупрозрачной пластины; - пересечение луча с измеряемой поверхностью и отражение от нее; - прохождение луча через выходной объектив и пересечение с плоскостью регистрирующего устройства.
Рассмотрение блока «пересечение луча с измеряемой поверхностью и отражение от нее» было проведено ранее. В настоящем пункте рассмотрен блок «прохождение луча от диафрагмы до выходной грани полупрозрачной пластины».
