Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор методов решения задач кинематики 13
1.1. Основные сложности, возникающие при решении задач кинематики и динамики манипуляторов 13
1.2. Кинематические параметры описания вращательного движения твердого тела 14
1.3. Кинематические параметры, используемые для описания произвольного пространственного движения 36
1.4. Прямая и обратная задачи о положении манипулятора, методы создания программных траекторий 59
1.5. Постановка задачи исследования 65
2. Разработка эффективных методов и алгоритмов решения задач кинематики манипулятора 67
2.1. Решение задач кинематики манипулятора с использованием различных кинематических параметров 67
2.2. Связь различных кинематических параметров описания движения твердого тела 76
2.3. Оценка эффективности использования кинематических параметров. Анализ вычислительной сложности 89
2.4. Нейросетевой подход к решению обратной задачи кинематики - манипулятора 96
2.5. Выводы 106
3. Разработка программных траекторий манипулятора в пространстве обобщенных координат 107
3.1. Методика планирования траектории в пространстве обобщенных координат 107
3.2. Определение коэффициентов аппроксимирующих полиномов степеней 4-3-4, 3-5-3, 3-3-3-3-3, 5-2-4, 4-2-5 и полинома 7степени 111
3.3. Выводы 116
4. Разработка программных траекторий манипулятора в декартовом пространстве 117
4.1. Методы планирования программной траектории в декартовом пространстве 118
4.2. Использование бикватернионного аппарата при планировании программных траекторий 121
4.3. Выводы 127
5. Моделирование программных траекторий манипуляторов 129
5.1. Применение методики выбора рациональной программной траектории для осуществления транспортной операции роботом - манипулятором типа «ПУМА» 129
5.2. Выполнение технологических операций по программным траекториям, сформированных в декартовом пространстве 132
5.3. Оценка сходимости метода планирования траекторий с ограниченными отклонениями 138
5.4. Выводы 143
Заключение 144
Список литературы
- Кинематические параметры описания вращательного движения твердого тела
- Связь различных кинематических параметров описания движения твердого тела
- Определение коэффициентов аппроксимирующих полиномов степеней 4-3-4, 3-5-3, 3-3-3-3-3, 5-2-4, 4-2-5 и полинома 7степени
- Использование бикватернионного аппарата при планировании программных траекторий
Введение к работе
Одной из важных задач робототехники является задача о положении и ориентации рабочего органа (РО) манипулятора в пространстве в зависимости от углов и смещений в сочленениях. В частности, при решении задач планирования программных траекторий и управления роботом требуется многократно решать задачи кинематики, причем в масштабе реального времени. В связи с этим количество вычислительных операций приобретает большое значение.
Большой вклад в развитие методов исследования кинематики и динамики роботов внесли известные российские ученые Е. И. Воробьев, С. Ф Бурдаков, А.А. Кобринский, М. 3. Коловский, А. И. Корендясев, Г. Д. Крутько, В. М Лохин, И. М. Макаров, В. С. Медведев, Г. П. Попов, К. В. Фролов, Ф. Л. Черноусько, Е. И. Юревич, А. С. Ющенко и др., зарубежные ученые К. Фу, К. Ли, Р. Гонсалес и др. [6, 53, 35, 37, 40, 49,52, 114, 116-117, 100,115].
Традиционным (классическим), аппаратом решения задач механики роботов является матричный аппарат, основанный на использовании матриц однородных преобразований 4x4, которые позволяют одновременно описать как вращательное, так и поступательное движение манипуляционной системы. Однако использование направляющих косинусов при описании вращательного движения тела является существенно избыточным. Вместе с тем существует ряд кинематических параметров, позволяющих описывать движение манипулятора, как вращательное, так и поступательное, за счет меньшего числа параметров в более компактной форме. Среди них параметры Родрига-Гамильтона (кватернионы), Кейли-Клейна, параметры Эйлера (вектор конечного перемещения) и их дуальные аналоги (бикватернионы, дуальные матрицы направляющих косинусов, винт конечного перемещения). Использование указанных параметров при решении задач механики твердого тела (управление летательными аппаратами, решение задач ориентации и навигации и др.) рассмотрено в
работах Ф. М. Диментберга, В. И. Бранена, И. П. Шмыглевского, Е. И. Воробьева, Ю. Н. Челнокова, П. К.Плотникова, Н. А. Стрелковой, В. В. Маланина и др. [23, 24, 1-5,62, 95, 96, 97].
Методы планирования программных траекторий применяются для
роботов-манипуляторов с непрерывным (контурным) управлением, когда
программная траектория задается в виде дискретной функции времени. В
литературе наиболее подробно описаны так называемые методы
г планирования траектории в пространстве обобщенных координат [25, 63,
-j 100, 115]. Однако они не гарантируют отсутствие немонотонных блуждающих движений в каждом конкретном сочленении манипулятора. В результате выбранный вариант движения может оказаться далеко не самым лучшим и экономным.
При планировании программных траекторий на каждом шаге приходится решать прямую и обратную задачи кинематики. В условиях решения указанных задач в режиме реального времени скорость получения решения особенно важна. Таким образом, важной задачей является разработка эффективных методов решения основных задач кинематики манипуляторов, а также методов планирования программных траекторий.
Цель и основные задачи диссертационной работы.
Целью работы является разработка эффективных методов,
математических моделей и алгоритмов решения задач кинематики
іЛ манипуляторов с использованием различных кинематических параметров
. (матриц направляющих косинусов, кватернионов, параметров Кейли-Клейна
,'ф ' и их дуальных аналогов), оценка вычислительных затрат и снижение
'' вычислительной сложности методов решения задач кинематики
манипуляторов. Решение задачи выбора рациональных программных
траекторий при планировании траектории движения манипулятора в
обобщенных координатах, позволяющей выбирать траекторию движения РО
манипулятора из числа формируемых траекторий в соответствии с
выбранным критерием. Разработка эффективных методов планирования
траекторий в декартовом пространстве с использованием аппарата бикватернионов, позволяющих задать движение с меньшими вычислительными затратами.
Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:
решить прямую (ПЗК) и обратную задачи кинематики (ОЗК) манипулятора с использованием различных кинематических параметров, оценить вычислительные затраты, произвести сравнение методов решения задач кинематики, определить взаимосвязь кинематических параметров между собой;
разработать методы решения обратной задачи кинематики с использованием аппарата нейронных сетей;
разработать методику планирования программных траекторий в обобщенных координатах, позволяющую формировать законы изменения обобщенных координат с использованием аппроксимирующих полиномов различных степеней, осуществлять сравнение полученных траекторий исходя из выбранных критериев качества и выбирать наилучшую из имеющихся траекторий движения звеньев манипулятора;
разработать метод планирования траектории в декартовом пространстве с использованием аппарата бикватернионов, оценить сходимость способа планирования траектории в декартовом пространстве при управлении обобщенными координатами;
разработать пакет прикладных программ, позволяющий формировать программные траектории в обобщенных и декартовых координатах в соответствии с предложенными моделями, алгоритмами, методикой и методами, выполнить моделирование на примере конкретного манипулятора с шестью степенями вращения типа «ПУМА».
Методы исследования.
В работе использованы методы описания сферического и пространственного описания движения твердого тела, системный анализ, аппарат нейронных сетей, методы решения задач механики роботов, методы
математического моделирования и экспериментальных исследований, программные пакеты Matlab 7.0, Delphi 5. Научная новизна:
1. Повышение эффективности решения прямой и обратной задачи
кинематики о положении манипулятора с использованием различных
кинематических параметров. Произведена оценка вычислительных затрат в
сравнении с традиционным матричным аппаратом (однородные матрицы
Ь преобразования 4x4). Предложены способы снижения вычислительной
сложности и эффективные методы решения задач кинематики манипулятора.
Разработан новый метод решения обратной задачи кинематики (ОЗК) с использованием нейросетевого подхода, позволяющий снизить количество вычислительных операций и получать быстрое решение ОЗК, решать задачу управления манипулятором в масштабе реального времени для манипуляторов произвольной структуры (в том числе избыточных манипуляторов, с неортогональным расположением осей и др.).
Исследована и определена точность метода решения ОЗК в зависимости от структуры НС и количества обучающих примеров. Предложены различные структуры НС для решения ОЗК, позволяющие снизить время обучения НС и увеличить точность решения.
Разработана методика решения задачи планирования траектории в обобщенных координатах, позволяющая формировать с помощью
>~ аппроксимирующих полиномов траектории движения звеньев манипулятора,
осуществлять сравнение полученных траекторий по различным критериям и
ж выбирать наилучший вариант из них.
;' 5. Разработан метод планирования программных траекторий в
декартовом пространстве с использованием бикватернионного аппарата, позволяющий снизить количество вычислительных операций при формировании самой программной траектории в декартовых координатах и при получении решения ОЗК на каждом шаге.
Получена оценка сходимости способа формирования траекторий с ограниченными отклонениями для метода планирования программной траектории в декартовом пространстве при формировании законов изменения обобщенных координат.
Разработан пакет прикладных программ, защищенный свидетельством Роспатента на программы для ЭВМ, осуществляющий планирование траекторий по предложенным методам и алгоритмам в декартовом пространстве и пространстве обобщенных координат. Результаты работы демонстрируются на примере манипулятора с шестью степенями подвижности типа «ПУМА» (PUMA-560, РМ-1).
Практическая ценность заключается в расширении возможностей математического моделирования, повышении быстродействия решения основных задач механики роботов и, следовательно, управления роботами в режиме реального времени:
разработанные методы и алгоритмы могут быть использованы как при проектировании новых промышленных роботов (ПР), так и при решении кинематических и динамических задач существующих конструкций ПР, а также для повышения качества управления их движением;
методы, алгоритмы и программные продукты позволяют использовать их для создания и выбора программных траекторий, наилучших с точки зрения принятых критериев;
разработанные методы, алгоритмы и пакеты программ внедрены на ряде промышленных предприятий, а также используются в учебном процессе специальности «Роботы и робототехнические системы» СГТУ и представляют интерес для вузов, в учебные планы которых входят дисциплины, связанные с механикой сложных систем и искусственным интеллектом;
теоретические и экспериментальные исследования, связанные с использованием нейросетевого подхода, могут быть использованы для других технических объектов, а также в смежных отраслях техники.
Разработанные методы и алгоритмы планирования программных траекторий были использованы при разработке методики программирования сварочного робота «Ars-Js6» в ЗАО «АП Саратовский завод резервуарных металлоконструкций». Предложенные методы моделирования кинематики манипулятора используются в совместном с компанией «Hewlett-Packard» проекте по внедрению в учебный процесс дистанционного обучения и контроля знаний при разработке курса «Моделирование РТС».
На защиту выносятся:
Эффективные методы решения задач кинематики манипулятора с использованием различных кинематических параметров, обеспечивающие снижение вычислительной сложности. Оценка и сравнение их с точки зрения вычислительной сложности.
Метод решения ОЗК на основе нейросетевого подхода.
Точностные оценки нейросетевого решения обратной задачи кинематики в зависимости от количества обучающих примеров и структуры НС.
Методика планирования программной траектории манипулятора в пространстве обобщенных координат с получением наилучших из имеющихся в базе данных траекторий движения звеньев манипулятора по выбранному критерию (критериям).
Метод планирования траектории в декартовом пространстве, основанный на использовании бикватернионного аппарата.
Результаты применения указанных алгоритмов, методов и методик и пакета прикладных программ при описании движения и планирования программных траекторий для манипулятора типа «ПУМА» с 6 вращательными степенями подвижности.
Апробация работы осуществлена на международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» (Смоленск, 2001, Кострома, 2003, Ростов н/Д, 2003, Кострома, 2004, Казань, 2005), на Международной конференции «Проблемы и перспективы
прецизионной механики и управления в машиностроении» (Институт проблем точной механики и управления РАН, Саратов, 2002), VI Международном симпозиуме «Интеллектуальные системы» (INTELS, Москва - 2004), научных семинарах кафедры «Системы искусственного интеллекта» СГТУ (2002-2005).
Публикации. По результатам диссертационной работы соискателем опубликовано 21 печатная работа, в том числе три в изданиях, рекомендуемых ВАК, 1 свидетельство Роспатента о регистрации программы.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы, приложений. Общий объем диссертации составляет 160 страниц.
Содержание работы. В первой главе приводится обзор трудов по методам решения задач кинематики манипуляторов и методам планирования программных траекторий манипуляторов. Рассмотрены методы описания вращательного и пространственного движения твердого тела. Для описания пространственного движения эффективным средством сокращения объема вычислений является использование кинематических параметров, основанных на использовании алгебры дуальных чисел: дуальных матриц направляющих косинусов, бикватернионов, дуальных параметров Кейли -Клейна.
Анализ источников показал, что аппарат кватернионов в настоящее время достаточно активно используется в задачах ориентации и навигации при описании и управлении сферическим движением твердого тела (космическая техника, летательные аппараты). Прикладное использование теории кватернионов и их дуальных аналогов при решении задач механики манипуляторов в литературе встречается гораздо реже. Вместе с тем эффективность построения математических моделей движения твердых тел, в частности звеньев манипулятора, может быть существенно повышена за счет выбора метода описания и разработки соответствующего алгоритма. Поставлены задачи и цели диссертационного исследования.
Вторая глава посвящена разработке эффективных методов и алгоритмов решения задач кинематики манипулятора. Дается оценка вычислительных затрат при решении прямой задачи кинематики с использованием различных кинематических параметров. Показана эффективность применения нетрадиционных методов описания на примере решения прямой и обратной задач кинематики для манипулятора типа «ПУМА» и ряда других типовых конструкций роботов-манипуляторов. Установлена взаимосвязь рассматриваемых параметров, что позволяет при необходимости осуществлять переход от одних кинематических параметров к другим.
В диссертационной работе предложен также новый метод решения ОЗК, основанный на использовании аппарата нейронных сетей (НС). Преимущество предлагаемого метода состоит в том, что он позволяет получить быстрое решение ОЗК для манипуляторов любой структуры за счет существенного снижения количества вычислительных операций. В работе удалось решить вопросы, связанные с выбором структуры НС, количеством обучающих примеров для решения поставленной задачи, оценкой точности решения и др. Решение ОЗК получено для манипулятора типа «ПУМА» с использованием НС прямого распространения. Исследовано влияние структуры и сложности НС, а также количества тренировочных примеров на точность решения и время обучения сети. В экспериментах использована программная реализация НС с различным количеством скрытых
В третьей главе рассмотрены вопросы решения задачи планирования программных траекторий робота-манипулятора в пространстве обобщенных координат. Предложены методика, алгоритмы и программное обеспечение, позволяющие выбирать рациональную траекторию движения манипулятора, сформированную с помощью полиномов различных степеней, осуществлять сравнение траекторий по выбранному критерию и выбирать наилучший закон изменения обобщенной координаты для каждого звена манипулятора.
Алгоритм включает ввод входных данных и ограничений, накладываемых на траекторию, расчет коэффициентов полиномов, формирование программных траекторий и анализ экстремальных точек с учетом диапазонов изменения степеней подвижности, выбор критери(ев)я качества и оценку сформированных траекторий по выбранн(ым)ому критери(ям)ю. Предусмотрена возможность добавления в базу данных новых функций аппроксимации и критериев качества.
г В четвертой главе рассматривается разработка метода планирования
программной траектории в декартовом пространстве с использованием
> бикватернионного аппарата, позволяющего снизить количество
вычислительных операций. Традиционно используемым аппаратом описания движения манипулятора в рассматриваемом методе являются матрицы однородных преобразований 4x4. В работе для описания движения манипулятора предлагается использование бикватернионов.
Применение бикватернионного аппарата в рассматриваемом методе планирования траектории позволило: 1) уменьшить число параметров, изменяющих ориентацию РО; 2) снизить вычислительную сложность метода на основе уменьшения числа перемножаемых матриц при получении матрицы положения и ориентации РО на каждом шаге в 5-6 раз по сравнению с умножением матриц однородного преобразования координат. Кроме того, при решении ОЗК в бикватернионных параметрах требуется
>7 меньшее количество операций. Предлагаемое использование НС при
решении ОЗК в каждой точке программной траектории также позволяет
.<' существенно снизить вычислительную сложность указанного метода
планирования программных траекторий.
В пятой главе описано компьютерное моделирование разработанных методик и алгоритмов планирования программных траекторий для манипулятора типа «ПУМА».
Кинематические параметры описания вращательного движения твердого тела
С точки зрения механики манипулятор представляет собой систему твердых (или упругих) тел, связанных между собой посредством соединений с различными типами связей. В общем случае звенья манипулятора совершают в пространстве сложное движение, которое обычно рассматривают как совокупность поступательного движения некоторой точки тела, принятой за полюс, и углового (вращательного) движения вокруг полюса. Таким образом, движение тела в пространстве относительно базовой системы координат считается заданным, если в произвольный момент времени заданы шесть его координат: три координаты полюса плюс три координаты, определяющие угловое положение тела.
Основные результаты классической теории углового движения твердого тела были получены в прошлом веке [4,23]. Для описания движения твердого тела вокруг неподвижной точки был предложен ряд кинематических параметров. Однако, в дальнейшем в механике наиболее широкое применение нашли углы Эйлера-Крылова, которые использовались, в частности, в прикладной теории гироскопов и в работах по исследованию управления движущимися объектами. Кроме этого, в теоретических работах применялся также матричный аппарат, при этом положение тела задавалось направляющими косинусами. Другие способы задания углового движения в течение длительного времени практического применения не находили.
Однако, за последние десятилетия положение изменилось. Развитие систем управления летательными аппаратами, использование ЭВМ в задачах управления, а также появление и развитие робототехники привело к тому, что актуальной стала задача наиболее рационального описания пространственного движения твердого тела и системы тел [2-4, 69, 95, 96, 101, 113]. Так, использование углов Эйлера связано с определенными неудобствами. В частности, при определенных значениях углов может происходить вырождение кинематических уравнений, которое не вызвано реальными физическими ограничениями, накладываемыми на угловые движения твердого тела [4]. Кроме того, интегрирование кинематических уравнений и преобразование координат в углах Эйлера-Крылова связаны с тригонометрическими операциями, которые снижают эффективность использования ЭВМ. Использование аппарата матриц направляющих косинусов, при многих его достоинствах, сопровождается существенной вычислительной избыточностью, что особенно проявляется при решении задач кинематики и динамики многозвенных манипуляторов.
Среди известных кинематических параметров особое место занимают параметры Родрига-Гамильтона, Кейли-Клейна и другие объекты, основанные на введении понятия вектора конечного поворота [4]. Эти параметры не вырождаются при любом положении твердого тела. Число этих параметров равно четырем, поэтому они имеют одно уравнение связи, в отличие от шести таких уравнений для направляющих косинусов, т. е. вычислительная избыточность при использовании этих параметров сравнительно невелика.
Рассмотрим различные способы и кинематические параметры задания А углового движения твердого тела более подробно. Углы Эйлера
1 Л Любое вращение в пространстве можно представить в виде композиции трех вращений, произведенных в определенной последовательности вокруг надлежащим образом выбранных осей. Классические углы Эйлера представляют собой три независимые величины, однозначно характеризующие угловое движение твердого тела.
Эйлером принят следующий способ выбора углов. ПустьХ(Х1Х2Х3) - неподвижная (базовая) система координат; YiY Y - система координат, жестко связанная с твердым телом; О — закрепленная точка тела, совпадающая с началом координат (рис. 1.2.1). Переведем систему координат X в некоторое произвольное положение у. Г с помощью последовательного поворота на углы \/, 0, ср, согласно схеме: X Y (1.2.1) ,. За положительное направление поворота в правой системе координат примем направление против часовой стрелки для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси, вокруг которой осуществляется поворот.
Связь различных кинематических параметров описания движения твердого тела
Характеристическое уравнение в скалярной форме имеет следующий вид: (аи-\}\+а12г2+а13гл=0, ад + («22 - а 2+ад = (2,2,8) а +апг2+(а,ъ-\)гг =0, и его решение для А, = 1 определяет с точностью до произвольного множителя вектора оси вращения.
Для решения этого уравнения необходимо рассмотреть вопрос, как изменяется оператор при преобразовании базиса.
Пусть матрица В дает ортогональное преобразование базисов, характеризующее ориентацию системы координат, связанной с вектором конечного вращения, относительно исходного базиса / (рис.2.2.3), а матрица D определяет преобразование базисов, связанное с поворотом преобразуемой системы координат / = (/,, /2, i3) на угол конечного вращения 9 вокруг оси эйлерова поворота (2.2.9) "10 0 D= 0 cosG sin 6 0 -sinB cosO где 9 - угол поворота вокруг оси вращения. Тогда для матриц A,BnD можно написать матричное соотношение, характеризующее подобное преобразование: D = B-A-B\ (2.2.10)
Очевидно, что положение оси собственного вращения, т.е. направление /, будет определяться первой строкой матрицы В, элементы которой b4,\J = 1,3] и должны быть решением характеристического уравнения (2.2.8). Матричное соотношение (2.2.10) можно привести к следующему виду: А = ВТ -D-B. (2.2.11) Раскрывая матричное произведение (2.2.11), образуем разности элементов матрицы А, симметричных относительно ее диагонали: ап - ап = 2b13sin9, ап аг\ =2b12sin9, (2.2.12) агг - аъг = 26nsin9. След матрицы А не изменяется при подобных преобразованиях и всегда равен сумме диагональных элементов: Sp/4 = ап +а22 +а33 =Sp 4 = l + 2cos9. (2.2.13) Из полученных матриц (2.2.12) и (2.2.13) находятся элементы blj,\J = 1,3j, являющиеся направляющими косинусами собственного вектора (оси Эйлерова вращения) матрицы А: rx = bn = (a2i - ап )[4 - (і - аи - а22 - я33 )]" /2, r2 =bl2 ={a3l -an)[4-(l-an a22 a33)] in, (22Л4) гъ =ьхъ = («и -«21 Х4-(1 - аи а22-агг )]"1/2. г. = Ъх. - направляющие косинусы собственного вектора (оси Эйлерова вращения).
Связь кватернионов с направляющими косинусами. Связь направляющих косинусов с кватернионами
Ортогональное преобразование, определяемое матрицей направляющих косинусов А, является наиболее общим способом задания движения твердого тела. Сама матрица А содержит три независимых параметра, два из них определяют ориентацию оси вектора Эйлерова плоского вращения и один - угол вращения 0. Однако значительно более удобным оказывается представление ортогональных преобразований с использованием алгебры кватернионов. Это представление базируется на фундаментальной теореме теории кватернионов [4], в соответствии с которой, операция вращения задает преобразование векторной части кватерниона г в г , и поэтому может рассматриваться как ортогональное преобразование в вещественном трехмерном пространстве. Рассмотрим линейное ортогональное преобразование вектора г заданного в трехмерном базисе / с ортами /,,/2,/3, в вектор г посредством матрицы В в виде (2.2.15) г = Вг, , X . (2-2.15) И, четырехмерное гиперкомплексное пространство Н, гиперкомплексные единицы которого, формально совпадают с ортами базиса /. Пусть в пространстве Н задана операция вращения (2.2.16), которая вектору г ставит в соответствие вектор г R = AoRo\\ (2.2.16) / = ЛогоЛ где R,R ,A - нескалярные кватернионы Л = A(cos9/2 + sin0/2), % - ось вращения, 9- угол поворота, R = r0 + rx/, + rxi2 +rj3, R = r0 + г, /, + г[іг + г[іг, г, г - векторные части кватернионов г = г,/, + гхіг + rj3, г = r r[ix + r[i2 + r, /3.
Очевидно, что векторы г и г определены своими компонентами в гиперкомплексном базисе Н. При этом, операция вращения (2.2.16) аналогично операции (2.2.15) задает преобразование вектора в вектор, выполняемое относительно фиксированного базиса.
Определение коэффициентов аппроксимирующих полиномов степеней 4-3-4, 3-5-3, 3-3-3-3-3, 5-2-4, 4-2-5 и полинома 7степени
Закон изменения обобщенных координат звеньев манипулятора может быть задан с помощью аппроксимирующего полинома, степень которого определяется ограничениями (рис. 3.1.1), накладываемыми на траекторию.
Основные требования, которым должна удовлетворять траектория движения каждого звена, представлены в (3.2.1): 1. Начальное положение 90 = q{t0). 2. Значение начальной скорости и0. 3. Значение начального ускорения а0. 4. Положение в точке ухода 6, = q{t ). , ч (3.2.1) 5. Положение в точке подхода 92 = q\t2). 6. Конечное положение 03 = q(t3). 7. Значение конечной скорости и3. 8. Значение конечного ускорения аъ.
Дополнительные ограничения на траекторию по непрерывности по положению, скорости и ускорению в промежуточных узловых точках (рис. 3.1.2) приведены в (3.2.2). 1.Непрерывность по положению в момент времени /, q(t )=q(t ). 2.Непрерывность по скорости в момент времени tx 0( -)=0( ). 3.Непрерывность по ускорению в момент времени tx a(t;)=a(t{). 4.Непрерывность по положению в момент времени t2 q{tl)=q{fl). /-3,2 2) 5.Непрерывность по скорости в момент времени t2 о( )= о(г2+). 6.Непрерывность по ускорению в момент времени t2 a(t )=a(t2). Для удобства определения коэффициентов полиномов и единообразия уравнений, описывающих изменение каждой из обобщенных координат [100], на участках траектории вводится нормированное время t є [о, і] вида: t= Т Т - , хє[тм,т,], є[0,1], (3.2.3) где x, - момент в реальном времени окончания /-го участка траектории, т(. - т,., - интервал реального времени, затрачиваемый на прохождение / -го участка траектории.
Тогда первую и вторую производные рассматриваемых полиномов относительно реального времени можно представить в следующем виде: u (f) = dg,(t) = dg,(t) dt _ 1 dqt{t) = 1 dqt(t) __ 1 / ч Jx i/ /т T(- - т(Ч // /. // ti ,V; /x2 (T,-XW)2 Ла /,2 Л2 /?9Л (3.2.4) Расчет коэффициентов полинома 7 степени Для аппроксимации программной траектории будем использовать полином седьмой степени. С учетом равенств (3.2.4) скорость и ускорение будут иметь следующий вид: / N q(t) 1сJ6 + 6с/ + 5с/ + Ас/ + Ъс/ + 2сЛ + с, и(0 =- = - -, (3.2.5) t3 t3 ( \ _ ЧІІ) _ 42с/ + 30 У4 + 2с/ + 12с/ + б + 2С2 4V .2 _ .2 (3.2.6) Я1-, 2 2 t Г з 1з где /3 - суммарное время движение по трем участкам траектории.
В начальной точке траектории в момент времени t = 0 с учетом ограничений (3.2.1) получим: (0) = 9,,,1)(0)=:1)0= 3. a(0) = ao = 2c2/t23, (3.2.7) откуда с0 = 0О, и0/3 =сх, с2= a/Jl. (3.2.8)
В конечной точке траектории в момент времени t = 1 будем иметь: (1) = 9,, с1 + с6+с5+с4+с3+с2+с, + с0=93, o(l) = и3, 7с7 + 6с6 + 5с5 + 4с4 + Зс3 + 2с2 + с, = и3/3, (3.2.9) а(\) = а3, 42с7 + 30с6 + 20с5 +12с4 + 6с3 + 2с2 = а3/3. Отсюда с учетом (3.2.7) получим: с7 + с6+ с5 + с4 + с3 = 03 -90 -и0/3 -а//2, 1сп + 6с 6+ 5с5 + 4с4 + Зс3 = о3/3 - а/ - iy3, (3.2.10) 42с7 + 30с 6+ 20с5 + 12с4 + 6с3 = а/ - а/. Для точки ухода в момент времени t = /, можно записать: (/,) = 9,, с/ + с/ + с/ + с/ + с/ + с/ + cxtx + с0 = 9,, (3.2.11) откуда с А + с А + с А + с А + с А = 6, - 90 - iy3/, - а,ф1 /2. Для точки подхода при t = t2, аналогичным образом, получим: q(t2) = Є2, с А + с/2 + с A + с/2 + с A + c2t\ + cxt2 + с0 = Є2, откуда с А + с/2 + с/2 + с/2 + с/2 = 92 - 0О - v0t3t2 - а0ф22/2. (3.2.12)
Неизвестные коэффициенты в полиноме могут быть определены путем совместного решения 5 уравнений (3.2.10), (3.2.11) и (3.2.12). Представляя указанную систему уравнений в матричной форме, получим:
Использование бикватернионного аппарата при планировании программных траекторий
При разработке программной траектории в декартовом пространстве рассмотрены технологические операции сварки с заданной траекторией движения и изменением ориентации и переноса объекта, осуществляемые манипулятором типа «ПУМА».
Для выполнения операции переноса выбраны 9 узловых точек, характеризующих положение и ориентацию схвата манипулятора в пространстве. Координаты положения и углы ориентации РО в точках приведены в табл. 5.2.1. Значения обобщенных координат манипулятора в узловых точках, полученные в результате решения ОЗК также указаны в табл. 5.2.1. Ориентация РО манипулятора типа «ПУМА» задается углами Эйлера [100]:
О (ориентация) - угол, образуемый ость YQ С проекцией оси инструмента на плоскость XYи отсчитываемый вокруг оси Zo(pnc. 5.2.1, а).
А (высота) - угол, образуемый плоскостью XY с осью инструмента а, отсчитываемый, вокруг оси инструмента s (рис. 5.2.1, б). Т (инструмент) - угол, образуемый плоскостью XT, с осью инструмента s, отсчитываемый, вокруг оси инструмента а (рис. 5.2.1, в). Полуинтервал квадратичной аппроксимации т = 0.2с. Шаг по времени равен 0.05 с.
После ввода входных данных осуществляется формирование программной траектории в декартовых координатах, т.е. задание законов изменения декартовых координат РО: координат положения x(t), у((), z(t) и параметров, характеризующих изменение ориентации. Далее в результате решения ОЗК на каждом шаге определяются значения обобщенных координат. В табл. 5.2.2 для каждого участка траектории приведены значения углов поворотов 0, ф, и кватернионов вращения (указан угол поворота р и положение оси вращения j), обеспечивающих изменение ориентации РО.
По результатам моделирования были построены зависимости
изменения декартовых координат положения РО, скорости изменения декартовых координат РО (рис. 5.2.3, 5.2.8);
изменения ориентации РО при использовании аппарата матриц однородного преобразования и аппарата би кватерн ионов (рис. 5.2.4, 5.2.5);
изменения обобщенных координат для различных методов изменения задания ориентации РО (рис. 5.2.5, 5.2.6);
Далее приведены результаты формирования программной траектории для выполнения манипулятором сварочной операции.
Траектория движения горелки (сварочный шов) представляет собой окружность диаметром 360 мм. Окружность задается 20 прямолинейными участками (рис. 5.2.9, 5.2.8). Здесь и далее узловые точки выделены маркером в виде крестика. Диапазон изменения углов, задающих ориентацию РО в узловых точках следующий: угол ориентации О = -54 и угол инструмента Т = 0 были постоянны, угол высоты А менялся от 0 до 25 и от 25 до 0 (табл. 5.2.3). Общее время движения 1 мин 40 с (по 5 с на каждом участке).
На графиках рис. 5.2.10 приведены законы изменения положения РО манипулятора. В соответствии с заданными законами изменения декартовых координат на рис. 5.2.11, 5.2.12 показано изменение во времени обобщенных координат шестизвенного манипулятора.
В работе приводится оценка сходимости метода построения траекторий с ограниченными отклонениями. Метод позволяет сформировать последовательности дополнительных узловых точек траектории с учетом максимально допустимых отклонений по положению и по ориентации РО манипулятора.
Для оценки сходимости метода были рассмотрены участки траектории различной длины, а также различные величины отклонений по ориентации (углу) и по положению на примере манипулятора типа «ПУМА».
На рис. 5.3.1. показан прямолинейный участок траектории движения РО манипулятора. Положение и ориентация РО и соответствующие значения обобщенных координат в начальной и конечной точках участка указаны в
табл. 5.3.1. В табл. 5.3.1 также приведены длина участка и угол поворота РО для обеспечения требуемой ориентации РО манипулятора в конечной точке.
На рис. 5.3.2 показан результат разбиения прямолинейного участка для максимально допустимых отклонений по положению SP.n№ = 50 мм и бРтах — 10 мм, максимальное отклонение по ориентации в обоих случаях было равно 58ад«= 0.1 рад.
