Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задача баклея-леверетта 11
1.1. Простейшая математическая модель двухфазного течения . 11
L2. Нелинейная TVD - коррекция разностной схемы "Кабаре" . 16
1.3. Алгоритм прыжкового переноса 19
1.4. Вычислительный эксперимент 26
Глава 2. Двумерная модель двухфазной фильтрации несмешивающихся жидкостей в пористой среде 30
2.1. Основные уравнения теории двухфазной фильтрации , 31
2.2. Численная реализация двухфазной фильтрации несмешива-ющихся жидкостей в пористой среде при учете упругих свойств пласта и флюидов 33
2.3. Численная реализация процесса неизотермической фильтрации 43
2.4. Результаты вычислительного эксперимента 54
Глава 3- Трехмерная модель двухфазной зада чи фильтрации 81
3.1. Вывод математической модели 82
3.2. Расчет неизотермической задачи для горизонтальной скважины 86
3.3. Численное исследование наклонной скважины 90
3.4. Результаты вычислительного эксперимента 93
Заключение 109
Литература 110
- Нелинейная TVD - коррекция разностной схемы "Кабаре" .
- Вычислительный эксперимент
- Численная реализация двухфазной фильтрации несмешива-ющихся жидкостей в пористой среде при учете упругих свойств пласта и флюидов
- Расчет неизотермической задачи для горизонтальной скважины
Введение к работе
На протяжении веков нефть добывалась и использовалась в повседневной жизни людьми, живущими в местах, где нефть просачивалась на поверхность. В России первое письменное упоминание о получении нефти появилось в шестнадцатом веке. Путешественники описывали, как племена, жившие у берегов реки Ухта на севере Тимано-Печорского района, собирали нефть с поверхности реки и использовали ее в медицинских целях и в качестве масел и смазок. Нефть, собранная с реки Ухта, впервые была доставлена в Москву в 1597 году.
В 1702 году царь Петр Первый издал указ об учреждении первой регулярной российской газеты "Ведомости". В первом выпуске газеты была опубликована статья о том, как была обнаружена нефть на реке Сок в Поволжье, а в более поздних выпусках была информация о нефтепроявлениях в других районах России. В 1745 году Федор Прядунов получил разрешение начать добычу нефти со дна реки Ухта. Прядунов также построил примитивный нефтеперегонный завод и поставлял некоторые продукты в Москву и Санкт-Петербург.
Нефтепроявления также наблюдались многочисленными путешественниками на Северном Кавказе. Местные жители даже собирали нефть с помощью ведер, вычерпывая ее из скважин глубиной до полутора метров. В 1823 году братья Дубинины открыли нефтеперерабатывающий завод в Моздоке для переработки нефти, собираемой с близлежащего Вознесенского нефтяного месторождения.
Нефте- и газопроявления были зафиксированы в Баку, на западном склоне Каспийского моря арабским путешественником и историком еще в десятом веке. Марко Поло позднее описывал, как люди в Баку использовали нефть в медицинских целях и для проведения богослужений. С че-
тырнадцатого века нефть, собираемая в Баку, экспортировалась в другие страны Среднего Востока. Первая нефтяная скважина в мире была пробурена на Биби-Айбатском месторождении вблизи Баку в 1846 году, более чем на десятилетие раньше, чем была пробурена первая скважина в США. С этим событием связывают начало современной нефтяной промышленности.
Освоение северных территорий, в которых сосредоточены значительные запасы полезных ископаемых и углеводородного сырья, имеет ряд специфических проблем, обусловленных суровыми климатическими условиями. В первую очередь, они связаны с наличием мощной толщи многолетне-мерзлых горных пород. Недостаточная точность в определении технологических параметров систем добычи и транспорта углеводородного сырья приводит к неоправданно высоким коэффициентам запаса или приводит к огромным затратам на их строительство и обеспечение нормального функционирования.
Эффективность решения любой проблемы во многом зависит от правильного учета протекающих процессов. В настоящее время усилиями школ академиков А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, Н.Н. Яненко, Г.И. Марчука и Н.Н. Моисеева выработана новая технология проведения научных исследований - вычислительный эксперимент. Суть вычислительного эксперимента [56, 59, 72, 75, 77, 83, 86, 104] состоит в комплексном изучении всей технологической цепочки: изучаемый процесс - математическая модель - вычислительный алгоритм - программа на компьютере. Во многих случаях вычислительный эксперимент, заменяя дорогостоящий натурный, позволяет с минимальными затратами эффективно прогнозировать и управлять исследуемым процессом или объектом.
Как правило, в идеале вычислительный эксперимент в силах проводить лишь коллективы, в которых бок о бок трудятся, взаимодействуют высококвалифицированные специалисты в конкретной области знаний, вычислительной и прикладной математике, программировании.
Первым этапом вычислительного эксперимента является выбор, а в необходимых случаях, разработка математической модели изучаемого процесса - поле деятельности специалиста в конкретной предметной области науки: физика, механика, мерзлотоведа, геолога и т.д., в зависимости от того, какой процесс изучается. Если нет возможности привлечения в исследования специалистов в предметной области, то исполнитель обязан консультироваться с последними. С точки зрения чистого математика модель обязана быть корректно поставленной, а с точки зрения прикладного математика допускать эффективную численную реализацию. Последнее требование впервые было высказано А.Н. Коноваловым. Далее в работу включается вычислитель, разрабатывающий на основе современных достижений вычислительной математики эффективный вычислительный алгоритм, реализующий рассматриваемую математическую модель на компьютере. В зависимости от имеющейся в распоряжении коллектива или конкретного исполнителя вычислительной техники и ее программного обеспечения, от уровня его квалификации, создается программная реализация построенной математической модели. Как правило, это даже не одна модель, а целое семейство моделей. В результате вычислительного эксперимента, представляющего собой многовариантные расчеты, очерчиваются области эффективного применения каждой из рассматриваемых моделей [20, 75, 77, 72, 59, 101, 102, 105, 107].
Математические модели широкого круга проблем освоения северных территорий успешно строятся с помощью методов механики многофазных сред [58, 62, 63]. Действительно, наиболее полные замкнутые математические модели мерзлых горных пород удается строить, предполагая, что они представляют собой многофазные насыщенные дисперсные среды, в которых проходят фазовые переходы.
В последние годы в связи с тем, что исчерпываются запасы нефти, добываемой традиционными методами, в стране наблюдается устойчивое падение ее добычи. Поэтому стали насущно необходимы принципиально но-
вые высокоэффективные технологии разработки "сложных" месторождений, не поддающихся разработке традиционными методами. Нужны технологии, увеличивающие конечную нефтеотдачу пластов. Следует отметить, что широкое внедрение в промысловую практику даже достаточно простых вторичных методов разработки нефтяных месторождений, таких как вытеснение нефти водой или растворителями, приводит к необходимости углубленного изучения как самих математических моделей, так и методов их численной реализации [2], [62], [23]-[32].
Задачи механики многофазных сред из рассматриваемого класса обладают следующими специфическими особенностями:
-наличие сильного и контактного разрыва;
-вырождение определяющих уравнений;
-необходимость интегрирования на больших временных интервалах;
-одно и то же уравнение одновременно описывает несколько физических процессов с различными характерными временами, отличающимися на несколько порядков;
-необходимость интегрирования начально-краевых задач для "жестких" систем дифференциальных уравнений и т.п.
Эти особенности, как правило, исключают или, при благоприятном стечении обстоятельств, затрудняют использование классических разностных методов, хорошо зарекомендовавших себя при решении других классов задач [47, 55, 76]. И это может быть связано либо с существом изучаемых процессов, либо с выбором соответствующей математической модели.
Теоретические основы математического описания движения жидкостей и газов в пористых средах заложены в трудах Л.С. Лейбензона, И.А. Марного, П.Я. Полубариновой-Кочиной, Р.И. Нигматулина и их многочисленных учеников. Математическое моделирование реального процесса вытеснения из пористой среды одной жидкости другой жидкостью является достаточно наукоемкой проблемой. Оно основано на законах механики гетерогенных сплошных сред. Подробное изложение общих вопросов теории
многофазного течения в пористых средах можно найти в монографиях Г.И. Баренблатта, В.М. Ентова и В.М. Рыжика [6], ЮЛ. Желтова [39], R Коллинза [44], Б.Б. Лапука и Ф.А. Требина [51], Л.С. Лейбензона [52], Р.И. Нигматулина [62], Л.И. Рубинштейна [74], ИЛ. Парного [95, 96], Э.Б. Чекалюка [98]. В.Н. Щелкачева [101], в коллективных монографиях К.С. Басниева и др. [7], В.Н. Николаевского и др. [63], Э.А. Бондарева и др. [8, 14], О.Э. Цынковой и др. [89].
В связи с тем, что аналитические решения задач теории фильтрации удается строить лишь в некоторых частных случаях, исследователи с конца сороковых годов начали строить численные методы их решения. В настоящее время имеется ряд монографий, посвященных численным методам решения разнообразных задач теории фильтрации: X. Азиза и Э. Сеттари [1], Г.Г. Вахитова [33], С.Н. Закирова и Б_Б. Лапука [41], А.Н. Коновалова [47], В.И. Васильева и др. [31], Г.Б. Кричлоу [50], М.М. Максимова и Л.П. Рыбицкой [54] и других авторов, а также большое число статей как отечественных, так и зарубежных исследователей.
Основные принципы и методы построения разностных методов решения краевых задач, в том числе и для математических моделей процессов тепло- и массопереноса, течения жидкостей и газов в пористых средах, разработаны в трудах А.Н. Тихонова, А.А, Самарского, ILH. Вабищевича, Г.И. Марчука, В.В. Шайдурова, Н.Н. Яненко и их школ [18]-[22], [57], [87], [75]-[85], [55]-[56], [99], [102]-[104]. Среди основных назовем принципы однородности и консервативности, метод геометрического расщепления многомерных краевых задач по направлениям и физическим процессам, метод фиктивных областей, принципы установления и регуляризации, а также различные способы построения дискретных аналогов краевых задач, такие как интегро-интерполяционный метод, методы интегральных тождеств, аппроксимации соответствующего квадратичного функционала и сумматор-ных тождеств [75], [87], [55], [56], [102], [103], [18]-[20], [34].
Теперь перейдем к изложению содержания работы.
В первой главе рассматривается математическая модель двухфазного течения в пористых средах - задача Баклея-Леверетта, как правило, имеющая разрывное решение. Для ее численного решения используется нелинейная TVD-коррекция разностной схемы "Кабаре" [35]. Этот алгоритм значительно превосходит по своим транспортным характеристикам классические линейные однородные разностные схемы. К числу достоинств этого алгоритма можно отнести свойство однородности и компактности используемого сеточного шаблона и второй порядок аппроксимации на пространственных сетках при отсутствии сильных и слабых разрывов. Предложена реализация алгоритма прыжкового переноса [36] для задачи Баклея-Леверетта, позволяющая определить положение стационарного скачка насыщенности. Проблема реализации заключалась в том, что функция Баклея-Леверетта является невыпуклой функцией. При этом в ячейке "образуется разрыв", который не является ни ударной волной, ни волной разрежения. Проводится сравнение алгоритма прыжкового переноса с другими известными методами, такими как схема "неявный уголок", явная схема "уголок" и нелинейная TVD-коррекция разностной схемы 'Кабаре". Приведены графики расчетов.
Во второй главе рассматриваются численно реализуемые двумерные математические модели совместного течения несмешивающихся сжимаемых жидкостей в деформируемой пористой среде при учете упругих свойств пласта и флюидов со сложной границей контура нефтеносности. Разностные схемы построены таким образом, что из первого уравнения системы определяется распределение насыщенности, а из второго уравнения -распределение давления. Разностная схема для давления модифицирована уточненной аппроксимацией вблизи скважины методом Чекалина А.Н [97]. Также численно исследован вторичный метод добычи нефти посредством закачки подогретой воды. Извлечение нефти из пластов при помощи обычного заводнения проходит довольно эффективно в условиях, когда отношение вязкости нефти к вязкости воды не превышает десяти. При вытеснении
высоковязкой нефти закачиванием воды с температурой, существенно не превышающей пластовую температуру, нефтеотдача залежи до обводнения эксплуатационных скважин получается низкой. Известно, что вязкость такой нефти сильно зависит от температуры и отношение значений вязкости в зависимости от температуры может достигать до двух порядков. Поэтому широкое распространение в нефтепромысловой практике получили термические методы воздействия на нефтяные залежи, ибо при закачке в пласт горячей воды в нагретой области пласта значительно уменьшается вязкость нефти, что способствует улучшению условий извлечения нефти из залежи. С помощью построенного вычислительного алгоритма были проведены численные расчеты. В конце главы приведены результаты вычислительного эксперимента, представленные в виде графиков распределения насыщенности, давления и температуры.
В третьей главе предложена трехмерная модель неизотермической двухфазной фильтрации сжимаемых жидкостей в деформируемой пористой среде [47]. Здесь рассматривается горизонтальная эксплуатационная скважина. В последние десятилетия как в нашей стране, так и за рубежом активно развивается технология бурения горизонтальных эксплуатационных скважин. Горизонтальная скважина имеет гораздо большую область дренирования. Это становится особенно актуальным в случае, когда пласт имеет малую продуктивную толщину, что в случае вертикального бурения приводит к необходимости использовать большое количество обычных вертикальных скважин. Кроме того, применение горизонтальных скважин позволяет в раде случаев значительно повысить продуктивность выработки скважин, а также коэффициент нефтеотдачи месторождений. Кроме того, следует упомянуть такие важные аспекты применения горизонтальных скважин, как бурение в тех местах, где применение обычных вертикальных скважин попросту невозможно, например, если нефтяной пласт находится под природным заповедником или верхние слои над пластом чрезвычайно трудны для бурения. Горизонтальные скважины могут быть
также использованы на месторождениях ранее уже разработанных вертикальными скважинами и не дающих приемлемых дебитов, а вследствие этого просто оставленных. Осуществлена численная реализация построенной математической модели. Рассмотрены случаи при разном количестве и расположении скважин. Так же в этой главе рассмотрен случай наклонной эксплуатационной скважины. В случае, когда наклонная скважина проходит через узлы сетки, как в случае с горизонтальной скважиной, не возникает проблем. Проблемы возникают, когда скважина проходит через грани сетки. Для решения этой задачи используем алгоритм "размазывания" источника по ближайшим узлам. Приведены результаты вычислительного эксперимента.
В заключении приведены основные результаты работы.
Нелинейная TVD - коррекция разностной схемы "Кабаре" .
В работах [35, 36] представлены алгоритм нелинейной TVD - коррекции разностной схемы 17Кабаре" для уравнения конвективного переноса. Этот алгоритм значительно превосходит по своим транспортным характеристикам классические линейные однородные разностные схемы. К числу достоинств этого алгоритма можно отнести свойство однородности и компактности используемого сеточного шаблона и второй порядок аппроксимации на пространственных сетках при отсутствии сильных и слабых разрывов. В этом разделе рассмотрим использование алгоритма нелинейной TVD-коррекции разностной схемы "Кабаре" для расчета задачи Баклея-Леверетта.
Рассмотрим классическую задачу Баклея-Леверетта о заводнении: ds d(p(s) тЧ7 + Q- 1 = 0 0 t t, 0 х 1, at ox s{x7Q) = sQ s, 0 x l, (22) s(0,t) = s, G t t, где т - пористость среды; s - насыщенность порового пространства вытесняющей жидкости (вода); p(s) - функция Баклея - Леверетта, выражающая долю вытесняющей жидкости в общем потоке.
Для решения данной задачи используется метод нелинейной коррекции разностной схемы "Кабаре" [35]. Покроем рассматриваемую область расчетной сеткой с шагами т, h по временной и пространственной переменной соответсвенно. Таким образом, имеем сеточную область Uhr — Wh х cjr, где Щ = ixi =ih,i = 0, ...,JV}, шТ — {tn = пт, тг— 0, ...,n0} Введем сеточные функции s" = 5(агі,іп).
Уравнению Баклея-Леверетта поставим следующее трехслойное разностное уравнение: AT+T)+Q h (23) = -\ {(wr1/2 - иГі"") + (Ct/f - К$)) Величины з, і = 0, -..j N на самом нижнем временном слое заданы
На втором временном слое используем разностное уравнение, для которого справедлив принцип максимума 1 = 1,..., .
Для того, чтобы выполнялся принцип максимума, необходимо и достаточно, чтобы вычисленное на новом временном слое значение s"4" не выходило за границы максимального и минимального значений функций из зоны влияния на текущем временном слое- Для разностной схемы "Кабаре" зону влияния составляют узлы с номерами і и г + 1. Иными словами, для того, чтобы решение системы (22) обладало TVD-свойством, достаточно потребовать, чтобы в любых ситуациях выполнялись неравенства; s s?+l sf; s; = min(s?} s ); sf = max{%, s ). (24) Приведем (23) к виду зГХ = - ( .! - sfz!) - 2CFL(s? - sU)Q- , . Здесь ( )- 0»?-і) m CFL= T cn _ Gtt km (26) n-l/2 т/п-1/2 Д ТІГГ6—i/i T m-i/ алее, полагая величины Wi , 4-1/2 известными, определим значения Л"+ , Г( 12, и+1 из (25) с учетом (24) по следующему алгоритму: 1, Найдем предварительное значение функции 5 на новом временном слое по формуле (25) в предположении, что W = V l = 0: 2. Осуществим проверку справедливости для найденного таким образом предварительного значения в? 1 ограничений (24). А) Если эти ограничения не выполняются, положим: если (s?+1 8+) тогда s"+1 = sf; если (si l І ) тогда $+1 = 5г .
При известной величине s"+1 соотношение (25) может быть использо іП+1/2 гс+1/2 тт вано для определения неизвестных величин Аг ; , 7]i_1l2 Несмотря на то, что неизвестных величин как бы две, одна из них всегда определяется однозначно, величину другой можно выбирать произвольным образом, в частности, полагать равной нулю. Действительно, поскольку новое значение s"+I в этом случае равно одной из величин s или sf_x, один из потоков (26) всегда равен нулю и если (a?+1=s?) тогда W,n+1/2 = 0; = V f + WT$ - {sU - 4-і) - 2CFL(sf ); если (s"+1 = sf ) тогда Vf+jl2 = 0; Wf+l/2 = -2hXt+1/2(s? - sti) = (29) = K/2/2 + ИЛГіУ/ - ( -i - вГі1) "(I" 2CFL)(S - ). Выражения (28), (29) позволяют однозначно определить потоки уу% 7 4-1/2 и если \s\ si-i) т" и, величины А , t i/2 - противном случае величины Ап+1 2, Ї/ Д определению не подлежат, да в этом случае и нет реальной необходимости. Нужные для ведения расчетов потоки Ї Г j i-i/2 можно определить по любой из формул (28), (29). Б) Если ограничения (24) выполняются, то: если (si S?+1 sf) тогда s?+1 = S?+1; Vi-l/2 Vi-l/2 — Wi — Лі - U Нетрудно видеть, что описанный алгоритм нелинейной коррекции не нарушает свойства консервативности исходной разностной схемы "Кабаре", наделяет ее свойством монотонности и имеет второй порядок точности в областях повышенной гладкости.
Вычислительный эксперимент
В этой главе рассматриваются допускающие эффективную численную реализацию математические модели совместного течения несмешивающих-ся сжимаемых жидкостей в деформируемой пористой среде. Математическая модель построена таким образом, что из первого уравнения системы определяется распределение насыщенности, а из второго уравнения - распределение давления.
Также исследован вторичный метод добычи нефти посредством закачки подогретой воды. Извлечение нефти из пластов при помощи обычного заводнения проходит довольно эффективно в условиях, когда отношение вязкости нефти к вязкости воды не превышает десяти. При вытеснении высоковязкой нефти закачиванием воды с температурой, существенно не превышающей пластовую температуру, нефтеотдача залежи до обводнения эксплуатационных скважин получается низкой. Известно, что вязкость такой нефти сильно зависит от температуры и отношение значений вязкости в зависимости от температуры может достигать до ста [393 74]. Поэтому широкое распространение в нефтепромысловой практике получили термические методы воздействия на нефтяные залежи, ибо при закачке в пласт горячей воды в нагретой области пласта значительно уменьшается вязкость нефти, что способствует улучшению условий извлечения нефти из залежи.
Под фильтрацией понимают движение жидкости в пористой среде. Среда считается пористой, если она содержит значительное число пустот, размеры которых малы по сравнению с характерными размерами рассматриваемой среды. Учет пористости среды очевидным образом приводит к тому, что уравнение неразрывности для сплошного потока однородной жидкости -p+div(pw) = 0 (42) примет вид —(mp) + div(pw) = QJ (43) где w - вектор скорости фильтрации [47]. Что же касается уравнений движения Эйлера, то в теории фильтрации делается ряд допущений, позволяющих придать этим уравнениям форму закона Дарси: к w — gradP. (44) Если рассматривается изотермическая фильтрация, то система уравнений (43), (44) при т — const замыкается уравнением состояния р = р(Р). (45)
Рассмотрим совместное течение через пористую среду двух несмеши-вающихся жидкостей- Для определенности пусть это будет вода и нефть. При таком течении часть пор будет занята водой, а оставшаяся часть пор -нефтью- Насыщенность і — фазы S{ определяется как соотношение объема пор, заполненных г — фазой, Vn,i к общему объему пор Vn « = , ,- = 1,2. Из этого определения вытекает, что S\ + S2 — 1.
Пусть решение задачи двухфазной фильтрации ищется в области Qi — D х {0-,Ц и 3D - граница области D. Область Л3 вообще говоря, произвольна, ибо ее геометрия всегда связана с конкретной задачей. Решение задачи ищется с помощью метода сеток. Тогда независимо от выбранной модели течения, выбора искомых функций, выбора конкретного алгоритма численной реализации мы неизбежно столкнемся с принципиальными трудностями, которые связаны именно с произвольностью границы области D. Часть этих трудностей связана с построением сетки. Попытка ввести согласованной с 3D сетку, т,е. такую сетку, граничные узлы которой лежат на dDy немедленно приводит к неравномерной сетке. Попытка выдержать равномерный шаг приводит к несогласованию 3D с сеткой, граничные узлы которой не лежат на 3D. Приходится сносить граничные условия и т.п.
Для того, чтобы обойти такого рода трудности, и предложен метод фиктивных областей [19, 46, 55]. Сама идея метода чрезвычайно проста и заключается в следующем. Пусть в области D с достаточно гладкой границей 0D ищется решение корректно поставленной задачи; АЩх) = /( ), xeD7 lU\dD - 0 (46)
Пока ограничимся стационарной задачей (46). Вспомогательной областью D\, называемой в дальнейшем фиктивной, дополним D до области П — D + D\ с границей 3Q. При решении задачи (46) методом сеток обычно выбирают D\ дополнением D до стандартной области О,. Затем каким-либо образом, в зависимости от типа краевого условия на 3D продолжим коэффициенты и правую часть исходной задачи (46) в D\. Это продолжение осуществляется с помощью малого параметра е 0. При этом 3D становится линией разрыва коэффициентов: исходных и продолженных. Поэтому на 3D ставятся условия согласования, обычные для задач с разрывными коэффициентами. В принципе эти условия должны лишь обеспечить корректную постановку новой задачи с продолженными коэффициентами.
Численная реализация двухфазной фильтрации несмешива-ющихся жидкостей в пористой среде при учете упругих свойств пласта и флюидов
Рассмотрим задачу установившейся изотермической двухфазной фильтрации в однородном пласте с одной эксплутациопной скважиной с постоянным дебитом, находящейся в центре месторождения в точке Х\ = L/2 и х2 = L/2. Величину L возьмем равной 1000 м. Параметры процесса фильтрации зададим таковыми: Хс — 1 Q — 0,5, тс 0,05, ро = 0.99081102433, р = 0.25787542545.
Точное решение стационарной задачи притока нефти к скважине, в случае постоянных коэффициентов, выглядит так: P-Pc + -z 1п( — ] 2х#е \гс/
Эта формула может быть представлена в качестве проверки правильности и достоверности полученных результатов расчета установившейся фильтрации.
Построим разностную схему второго порядка аппроксимации. Также рассмотрим эту же разностную схему с уточнением схемы в узлах сетки около скважины (метод А.Н Чекалина). Проведем расчеты по алгоритмам, рассмотренным выше.
Сравнение результатов, полученных разностной схемой второго порядка аппроксимации, методом А.Н.Чекалина и точного решения, представлено в таблице 1 и па рис. 2.3 (синяя линия - разностная схема без уточнения, красная - точное решение), рис. 2.4 {метод Чекалина).
Как видно из результатов, метод А.Н. Чекалина дает хорошие результаты и вблизи скважины, количество итераций в три раза меньше, чем в разностной схеме без уточнения. Эксперименты показали, что выбор начального распределения давления слабо влияет на скорость сходимости, добавляя в худшем случае 2-3 дополнительные итерации.
На рисунках представлены графики рясирг деления давления (ріи\ 2.5-2/13 ) и насыщенности (рис. 2.1/4-2.22} для двумерной модели изотермической фильтрации днухфжшой жішаеш жидкое ит ЇІ уирут-деформируемой пористой среде со сложной границей. Расешн ршо пеф-тявое месторождение с контурам нефтеносности тз форме -гллшп-а с полуосями а 500 \i, Ь 400 VL с четырьмя наг тщательным и и одной жеилуъмп-циопной скважинами. На скважинах іадаи ітоетомшшй лрітт.
Методы расчета базируются на методе фиктивных областей, устойчивых ралшктиык схемах и на трехслойном итерационном процессе сопряженных градиентов- Расчеты йок&залй хорошую устойчивость и сходимость итера цноноео процесса. Количество итераций но превышает 3-5 вдоль яшши проходящей че реї две нагаетагслънью н одну эксплуатационную екоажины и результаты расчетов по BCfu рассматриваемой области в различные ШШРЇГШ нремени (91. 365 и 730 суток).
Результаты расчетов показывают, чао чег ежвмае]\кх ти флюидов и деформируемости пористой среды является переходимым, так как ич графу ков вщио. по распределение дамой л я о іямтнонно я:$меішчгя Ш времени. Обычно, в \Ю;І ІЯК (Irs учета знх свойетн флюндоіз, проносе считают кнгпш-тацжнї&рііьш [9Т Так ж \ in рглуль пггезв видно, чтп прр№\жш%шие уравнений пжллпун ногдк лди двух фаі к идиому ур&вкишю, шдержащому фуикіщю Бакл.-я-Лсворс-тта и первые проюродіше оі пжлгты. пршимо к капоті энному улучшению результатов. На графиках хорошо виляо шап:рооирн"їт-юе распределение насыщенности, что хорошо гогл&сошвасдся о ро.іу;у гатамн ш жон rjmi hf ;imvi pумщп ддш одномерной модели. Л . Пример расчета п-еизотермичьешй фильтрации (гкЁ.-?)
В построенном шчметт&яьтум алгоритме за начальные данные я згта чоїшя пїдродишішгіеекш параметров были ІП ІГЬІ г-еличяш з яз примеров. И.НШЄЛЄНИЬІЛ в [31, 41 j,
Расчет неизотермической задачи для горизонтальной скважины
На рисунках представлены графики распределения давления (рис. 3.5-3.12 ), насыщенности (рис. 3.13-3.21) и температуры (рис. 3.22-3.30) для трехмерной модели неизотермической фильтрации двухфазной сжимаемой жидкости в упруго-деформируемой пористой среде со сложной границей. Рассмотрено нефтяное месторождение с контуром нефтеносности в форме цилиндра, основаниями которого служат эллипсы с полуосями а=220 м, Ь=180 м. Высота цилиндра равна 40 м. Рассмотрен случай двух нагнетательных скважин и одной горизонтальной эксплуатационной скважины. На скважинах задан постоянный дебит.
Алгоритм расчета предложенный для задачи с вертикальными эксплуатационными скважинами легко переносится на задачи моделирующие горизонтальные скважины. Методы расчета также базируются на методе фиктивных областей, устойчивых разностных схемах и на трехслойном итерационном процессе сопряженных градиентов. Расчеты показали хорошую устойчивость и сходимость предложенного итерационного процесса. Количество итераций на одном временном слое не превышает 3-5,
Численные эксперименты показали, что выбор начального распределения насыщенности, давления и температуры слабо влияют на скорость сходимости, добавляя в худшем случае 2-3 дополнительных итераций.
Следует отметить, что использование уточнения разностных схем вблизи скважин существенно улучшает сходимость.
Результаты расчетов для трехмерной модели подтверждают выводы сделанные во второй главе: учет сжимаемости флюидов и деформируемости пористой среды является необходимым; на скорость движения и величину скачка насыщенности нагнетание подогретой воды существенного влияния не оказывает.
На рисунках представлены графики распределения давления (рис. 3.31-3.38 ), .насыщенности (рис. 3.39-3.41) и температуры (рис. 3.42-3.44) для трехмерной модели неизотермической фильтрации двухфазной сжимаемой жидкости в упруго-деформируемой пористой среде со сложной границей. Рассмотрено нефтяное месторождение с контуром нефтеносности в форме цилиндра, основаниями которого служат эллипсы с полуосями а=220 м, Ь=180 м. Высота цилиндра равна 40 м. Рассмотрен случай двух нагнетательных скважин и одной наклонпой эксплуатационной скважины. На скважинах задан постоянный дебит.
Особенностью численного исследования наклонной скважины является то, что линия моделирующая скважину не проходит через узлы пространственной сетки. Для решения данной проблемы в работе предлагается алгоритм "размазывания" источника по ближайшим узлам сетки. Эта особенность, к сожалению, не позволяет использовать метод А.Н. Чекалина -уточнение схемы вблизи скважин. Проведенные вычисления показали; - предложенный алгоритм "размазывания" источника по ближайшим узлам сетки не нарушает однородности разностной схемы и позволяет достаточно точно моделировать точечные источники; - выбор начального распределения насыщенности, давления и температуры слабо влияет на скорость сходимости; - число итераций не зависит от количества узлов и равен 5-6 итерациям. Анализ графиков результатов расчета подтверждают все выводы, сделанные ранее.
Работа посвящена построению и численной реализации математических моделей вторичных методов разработки северных нефтяных месторождений. Полученные результаты могут быть сформулированы следующим образом:
1. Предложены, допускающие эффективную численную реализацию математические модели вторичных методов разработки нефтяных месторождений, учитывающие упругие свойства коллектора и флюидов, произвольное число и расположение нагнетательных и эксплуатационных скважин.
2. Построена и численно реализована математическая модель неизотермической двухфазной фильтрации. Вычислительный эксперимент показал, что нагнетание подогретой воды оказывает существенное влияние на скорость движения и величину скачка насыщенности только в малой окрестности нагнетательных скважин.
3. Численная реализация получающихся на каждом временном слое разностных эллиптических задач проведена с помощью метода сопряженных градиентов с использованием попеременно-треугольного метода. С помощью средства визуального программирования Delphi разработан комплекс прикладных программ, реализующий предложенные математические модели.
