Содержание к диссертации
Введение
Глава I: Метод интегральных уравнений в задачах магнитостатики ... 14
1.1 Основы теории магнитного поля постоянного тока 14
1.2 Теория-потенциала и метод интегральных уравнений; 22
1.3 Математические модели стационарного магнитного поля на основе линейных интегральных уравнений. 28
1.4 Математическая модель стационарного магнитного поля на основе нелинейных интегральных уравнений; 41
Глава 2. Численное решение интегральных уравнений в задачах магнитостатики . 45
2.1. Метод граничных элементов для численного решения интегральных уравнений в задачах магнитостатики ...45
2.2 Вычисление интегралов в численном решении интегральных, уравнений. 48
2.3 Выбор метода решения системы линейных алгебраических уравнений; к которой сводится интегральное уравнение . 52
2.4 Построение вычислительной схемы решения интегрального уравнения математической модели магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллипсоида. 56
2.5 Построение вычислительной схемы.решения системы интегральных уравнений математической модели магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллип соидальной оболочки 65
Глава 3. Моделирование характеристик магнитного поля токовой системы с ферромагнитным телом в форме эллипсоида . 71
3.1 Анализ погрешности приближенного решения интегрального уравнения и значений модуля напряженности результирующего поля 71
3.2 Об одном способе вычисления интегралов в численном решении интегрального уравнения, позволяющем сократить время решения 80
3.3. Исследование зависимости характеристик магнитного поля от ориентации эллипсоида относительно токовой системы 83
3.4 Исследование зависимости характеристик магнитного поля от соот-ноошения полуосей эллипсоида 94
3.5 Исследование зависимости характеристик магнитного поля от радиусов круговых витков токовой системы 100
Глава 4. Моделирование характеристик магнитного поля токовой системы с ферромагнитным экраном в форме эллипсоидальной оболочки 106
4.1 Исследование зависимости характеристик магнитного поля от значения толщины экрана 106
4.2 Исследование зависимости характеристик магнитного поля от значе ния магнитной проницаемости экрана . 112
4.3 Исследование зависимости модуля напряженности поля от значений полуосей эллипсоидов, образующих эллипсоидальную оболочку 116
Заключение. 122
Литература 125
- Математические модели стационарного магнитного поля на основе линейных интегральных уравнений.
- Выбор метода решения системы линейных алгебраических уравнений; к которой сводится интегральное уравнение
- Об одном способе вычисления интегралов в численном решении интегрального уравнения, позволяющем сократить время решения
- Исследование зависимости характеристик магнитного поля от значе ния магнитной проницаемости экрана
Введение к работе
Во всех отраслях современной техники широко используются электромагнитные явления и процессы, лежащие в основе действия большого числа различных электромагнитных приборов. и устройств; используемых на практике. К числу таких приборов и устройств могут быть отнесены: электрические машины и аппараты, электромагнитные и электронные элементы автоматики, магнитные:экраны, радиотехнические средства передачи, информации; электромедицинские приборы и устройства, устройства', электрометаллургии-электрохимии, геологоразведки, навигации и многие другие. Без преувеличения можно сказать,.что технический прогресс существенно;зависит от быстроты и надежности их проектирования;
В-процессепроектирования возникает необходимость в решении задач моделирования- характеристик электромагнитного процесса, причем это решение из-за^ сложности форм электротехнических приборов и устройств в подавляющем большинстве случаев приходится; осуществлять при помощи численных методов.
Метод интегральных уравнений является ? одним из - эф фективных; методов решения краевых задач, возникающих в различных научно-технических: областях, таких как электродинамика; механика,, гидродинамика; теплофизика и многих других, наряду с такими методами, как методы; конечных разностей, конечных элементов; методы теории функций комплексного переменного; метод функции; Грина: Его сущность; состоит В і-сведении: исходной; краевой задачи, для дифференциальных уравнений: в частных производных к интегральным: уравнениям; и их численному решению на- ЭВМ: Широко применяется метод интегральных уравнений- и; для решения прикладных задач моделирования; стационарных электрических: и мїднфйьшпшє|нйлх значительных работ, посвященных методу интегральных уравнений применительно к задачам электро- и магнитостатики; можно назвать работу Г.А. Гринберга. [24], предложившего один из вариантов метода. Работа; вы шла в свет в 1949 году, когда о практическом использовании
5 интегральных уравнений для расчета трехмерных магнитных полей сложных магнитных систем не могло быть и речи; Интерес к методу интегральных уравнений возник после появления - в начале семидесятых годов работ О.В;Тозони; И.Д. Майергойза [42,71,72,73], в которых метод интегральных уравнений был представлен в физической интерпретации как метод вторичных источников. В этих работах было осуществлено построение и теоретическое обоснование математических моделей электрического и магнитного поля в кусочно-однородных, неоднородных, нелинейных средах на основе интегральных уравнений, а также первые попытки внедрения метода в практику электротехнических расчетов приборов и устройств. Дальнейшие исследования, связанные с расчетом; электромагнитных полей на основеинте-гральных методов, разработкой математических.моделей гистерезиса, нелинейных интегральных уравнений, построении универсальных вычислительных алгоритмов, были проведены С.Т.Толмачевым^ П.А.Курбатовым„ G.A. Арынчиным и другими [40,70]. Среди последних: работ, посвященных развитию метода вторичных источников и численных методов решения интегральных уравнений, к которым приводит этот метод, необходимо отметить следующие работы отечественных и зарубежных ученых [26,74,75,77,78].
На теоретическом уровне вопросы, связанные с: использованием метода интегральных уравнений для решения стационарных задач можно считать проработанными достаточно полно. Но инженеру, решающему конкретные задачи при проектировании электротехнических приборов и--устройств, необходима не только информация теоретического характера, но также и информация об особенностях использования, метода на практике для решения того или иного класса задач, например, информация: об объеме ресурсов ЭВМ (оперативная память, память на жестком диске; машинное время), который потребуется для решения задачи с заданными входными данными и требуемыми точностными характеристиками. Эту информацию можно получить только путем вычислительного эксперимента: Возможности вычислительной техники до последнего времени не позволяли широко применять метод инте- гральних уравнений для решения трехмерных задач, проводить вычислительный эксперимент для оценки эффективности численных методов и алгоритмов : в требуемом; масштабе. Поэтому, в имеющейся в настоящее; время-литературе : отмечается недостаток рекомендаций по практическому использованию этого метода;
Выполненные в настоящей диссертационной работе исследования направлены; на то, что бы восполнить .указанные выше пробелы прим енительно к задачам;; моделирования: слабых магнитных полей; в- случаях, когда граница-ферромагнитного тела представляет собой; замкнутую гладкую поверхность, Необходимость, в-решении таких задач1 возникает при?проектировании*различного рода; приборов и і устройств, например, устройств для приема и передачи информации; магнитопроводов малогабаритных трансформаторов, реакторов; дефектоскопов; магнитных экранов; элементов высокочувствительной аппаратуры. При этом используется математическая модель, основанная на допущении линейности; однородности и* изотропности; ферромагнетика. Здесь необходимо отметить, что использование нелинейной модели?(учитывающей нелинейную зависимость индукции от напряженности) для решения рассматриваемых задач оказывается нецелесообразным,, поскольку в этом случае необходимы; значительные затратььресурсов ЭВМ! Линейная же модель описывает поле магнитной системы с достаточной степенью:точности: Экономия ресурсов ЭВМ>за счет использования линейной модели? позволяет "отдать" эти ресурсы; на решение задач с достаточно: сложными; формами* границ ферромагнитных тел.
В частности - рассматриваются задачи* для ферромагнитного тела в форме трехосного эллипсоида, эллиптического тора и * эллипсоидальной оболочки. . Ферромагнитное тело в форме эллипсоидальной оболочки интерпретируется; как магнитный экран — устройство, предназначенное для ослабления;;внешнего; магнитного поля; с целью защиты чувствительных приборов и устройств,, помещаемых внутрь экрана; Среди г работ, посвященных расчету экранов в форме замкнутых оболочек следует выделить работы-С.М: Апполон-ского [2,3]. В этих работах полнены точные и приближенные аналитические
7 решения для экранов в форме сферической, сфероидальной и эллипсоидальной оболочки. Однако эти решения соответствуют случаям, когда внешнее магнитное поле либо является однородным, либо же неоднородным, порожденными источниками относительно несложной структуры. Кроме того, рассматриваются в основном тонкие оболочки, то естьоболочки^ толщина которых мала по сравнению с их диаметром. Аналогичная ситуация обстоит и с эллипсоидом и эллиптическим тором: хотя такие формы и рассматривались ранее, но аналитические решения получены при значительных упрощениях и соответствуют частным случаям.
Путем вычислительного эксперимента получена ценная для инженера-проектировщика информация о зависимостях погрешности приближенного решения от параметров дискретизации, а, также от физических (магнитная проницаемость) и геометрических (соотношение полуосей эллипсоида) параметров. Эта информация позволяет оценить затраты ресурсов ЭВМ, необходимые для - вычисления характеристик магнитного поля с заданной степенью точности. Кроме того, проведено сопоставление различных вычислительных схем рассматриваемого численного метода, отличающихся способом вычисления: интегралов по поверхности граничных элементов, и показано, какаяиз этих схем оказывается предпочтительной с точки зрения меньших затрат машинного времени. Практическую ценность имеют не только результаты, связанные с оценкой эффективности численных методов, но и результаты по исследованию характеристик поля магнитных систем. Например, результаты анализа зависимости напряженности поля от толщины и магнитной проницаемости эллипсоидального экрана могут быть использованы при решении задачи; выбора оптимальной толщины с целью получения, с одной стороны, необходимого экранирующего эффекта, а с другой стороны, минимальной массы экрана.
Целью работы являлась разработка математических моделей на основе метода интегральных уравнений, вычислительного алгоритма и программного комплекса для решения задач моделирования слабых стационарных маг-
8: нитных полей токовых систем с ферромагнитными телами, ограниченными гладкими замкнутыми поверхностями;
Задачи исследования состояли в следующем:
Разработать вычислительную схему решения; интегрального уравнения второго рода с поверхностным интегралом и наличием слабой особенности, а также системы из двух таких уравнений на основе метода граничных элементов,
Разработать.вычислительный алгоритм- и программный комплекс:для решения задач моделирования поля магнитной системы с ферромагнитным телом в форме трехосного эллипсоида. С использованием этого комплекса: а) оценить погрешность решения при различном выборе параметров дис кретизации, геометрических параметр о в эллипсоида и магнитной проницае мости ферромагнетика; б) исследовать влияние ферромагнитного тела на внешнее магнитное поле в зависимости от ориентации эллипсоида относительно токовой системьг ш соотношения его полуосей; в) для токовой системы, состоящей из круговых витков с током, провести исследование зависимости характеристик поля: от радиусов круговых витков при фиксированных геометрических параметрах эллипсоида.
Решить перечисленные выше задачи для ферромагнитного тела* в форме эллиптического тора.
3; Разработать вычислительный алгоритм и программный комплекс для решения задач моделирования;поля магнитной системы с экраном в форме эллипсоидальной оболочки. Оценить экранирующие действие в. зависимости; от толщины, магнитной: проницаемости- и полуосей эллипсоидальной: оболочки;
Таким;образом, объектом исследования являются слабые стационарные поля магнитных систем с ферромагнитными телами с гладкой границей, а предметом исследовании — оценка влияния ферромагнитного тела на внешнее магнитное поле токовой системы в зависимости от геометрических и магнитных параметров этого тела:
Научная новизна полученных результатов заключается в следующем: разработаны математические модели стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде на основе линейных интегральных уравнений; вы-числител ь ный алгоритм и пр ограммный комплекс MagnostatS (свидетельство об официальной' регистрации; в Российском агентстве по патентам и товарным^ знакам №2004611907) для решения практических^задач моделирования; трехмерных полей; магнитных систем; с. ферромагнитными; телами,, ограниченными: гладкими поверхностями: Впервые : с: использованием метода интегральных уравнений; решены, эти задачи для- ферромагнитных тел в форме трех, часто встречающихся: на практике, гладких поверхностей: эллипсоида; эллиптического тора и эллшгсоидальной=оболочки. Властности, исследовано влияние ферромагнитного эллипсоида; на внешнее магнитное: поле в зависимости от соотношения его полуосей и ориентации относительно токовой системы, Произведена: оценка, экранирующего действиям магнитного экрана в; форме: ЭЛЛИПСОИДаЛЬНОЙ обоЛОЧКИ В ЗаВИСИМОСТИ^ ОТ ТОЛЩИНЫ. обоЛОЧКИ, И: магнитной проницаемости ферромагнетика;
Достоверность* полученных результатов подтверждается; корректностью использованных методик исследования, основанных на: математическом аппарате теории і потенциал а, интегральных уравнений; теории:вычислительных методов; сравнением численных: и аналитических решений^ интегральных уравнений;
Практическая значимость работы состоит в том; что программный комплекс MagnostatS; а также п олученная путем > в ычислительного эксперим ента информация; о точностных характеристиках, численного метода; могут быть использованы прш проектировании электротехнических; приборов и! устройств преимущественным:образом»для; решения задач:моделирования;слабых стационарных магнитных, полей?токовых систем?с:телами из "мягких" ферромагнетиков, ограниченными гладкими, поверхностями: Такими, электротехническими: устройствами являются,, например, магнитные экраны в форме? замкнутой" гладкой оболочки, предназначенные для настройки, проверки и защиты от влияния внешнего магнитного поля высокочувствитель-
10 ных приборов, помещаемых в эти экраны. Кроме того, на основе результатов, диссертационной работы были выработаны методические указания, которые используются в процессе обучения студентов СевКавГТУ по специальности "Прикладная математика" (акт внедрения от 22.09.04).
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложений.
Первая глава посвящена построению и обоснованию математических моделей стационарных магнитных полей на основе метода интегральных уравнений, В качестве вспомогательного материала рассматриваются элементы теории магнитного поля постоянного тока; и теории; потенциала. Основное: внимание уделяется математическим моделям магнитного поля в кусочно-однородной среде:
Формулируется следующая задача.
Внешнее * магнитное поле создается заданной системой токов в і среде с магнитной проницаемостью ц0. Требуется определить искажение этого поля; при внесении в і него ферромагнитного тела с проницаемостью ц+, ограниченного замкнутой поверхностью S.
Для решения этой задачи вводится скалярный магнитный і потенциал фЛ, составляющей Нф магнитного поля; созданной намагниченностью; ферромагнетика. , который является решением краевой задачи для уравнений Лапласа
ДфІ'-О'; Дф~ =0. с краевыми условиями на S
Ц — Ио^— = (Ц ~Мио* on on
Ф+=Ф". Если решение краевой задачи согласно теории потенциала искать в виде потенциала простого слоя с плотностью а(М), то мы приходим к интегральному уравнению cos{fQM,nQ) -А{0) >=2дош;(0, где A(Q) = ~$ lgp' Q)dSP. Ss rQP
В первой главе рассматривается также математическая модель магнитного поля в кусочно-однородной среде для случая, когда граница раздела магнитных сред является многосвязной.
Во второй главе дается разработка численного метода для решения линейных интегральных уравнений математических моделей магнитного поля в кусочно-однородной среде с учетом специфики этих уравнений. Предлагается использовать разновидность метода граничных элементов, основанную на кусочно-постоянной аппроксимации; искомой функции в пределах каждого граничного элемента (метод Крылова-Боголюбова). Обсуждаются вопросы-связанные с вычислением поверхностных интегралов в численном решении интегрального уравнения и решения системы, линейных алгебраических уравнений, к которой сводится интегральное уравнение в результате дискретизации. Осуществляется построение вычислительных схем решения интегрального уравнения и системы интегральных уравнений с поверхностными интегралами на основе метода Крылова-Боголюбова для случаев,.когда граница ферромагнитного тело имеет форму трехосного эллипсоида и эллипсоидальной оболочки.
Третья глава посвящена решению задач моделирования характеристик поля магнитной системы, с ферромагнитным телом в: форме эллипсоида с использованием разработанного программного комплекса MagnostatS. Проводится анализ зависимостей погрешности приближенного решения < интегрального уравнения и,значений напряженности результирующего поля от геометрических параметров: эллипсоида, параметров дискретизации и; относительной магнитной проницаемости и,+ ферромагнетика. Решается задача, связанная с исследованием влияния ферромагнитного тела на внешнее магнитное поле в зависимости от трех угловых параметров, задающих ориента- цию эллипсоида относительно токовой системы, при этом обсуждаются особенности вычислительного алгоритма решения этой; задачи. Кроме того, проводятся, исследования зависимостей характеристик магнитного поля, от соотношения полуосей, эллипсоида и радиусов круговых витков, образующих токовую систему, при фиксированных геометрических параметрах фер-ром агн итного тела.
В четвертой главе осуществляется моделирование характеристик магнитного поля токовой системы при наличии в этой системе ферромагнитного экрана в форме эллипсоидальной оболочки на основе численного решения системы линейных интегральных, уравнений с поверхностными интегралами, реализованного в программном комплексе MagnostatS . Магнитный экран рассматривается как устройство, предназначенное для ослабления (экранирования) поля в области, расположенной внутри экрана по сравнению с магнитным полем; вне экрана. С целью оценки экранирующего действия эллипсоидального экрана^ проводятся исследования зависимостей напряженности поля в точках, расположенных внутри оболочки от значений ее толщины и полуосей эллипсоидов, образующих эту оболочку, а также от значения /хэ магнитной проницаемости ферромагнетика. В приложениях приводятся:
1) расчетно-графический материал по исследованию характеристик поля магнитной системы с ферромагнитным телом в форме эллиптического тора.
2) особенности разработанного комплекса программ MagnostatS.
На защиту выносятся следующие основные положения::
Вычислительная схема решения линейного интегрального уравнения и-системы линейных интегральных уравнений с поверхностными интегралами математических моделей стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде на основе метода граничных элементов.
Вычислительный алгоритм и программный комплекс для решения задач моделирования слабых стационарных магнитных полей токовых систем с ферромагнитными телами, ограниченными гладкими поверхностями на ос-
13 нове математических моделей стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде,
Результаты исследования погрешности приближенного решения интегрального уравнения математической модели магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллипсоида. Выводы по исследованию зависимостей погрешности от значений параметров дискретизации, соотношения полуосей эллипсоида и магнитной проницаемости ферромагнетика.
Результаты решения задач моделирования поля магнитной системы с ферромагнитным телом в форме трехосного эллипсоида. Выводы по исследованию зависимости влияния этого тела на внешнее магнитное поле от соотношения полуосей эллипсоида, его ориентации относительно токовой системы, а также от радиусов круговых витков токовой системы.
Результаты решения задач моделирования стационарного магнитного поля магнитной системы с экраном в форме эллипсоидальной оболочки и выводы по исследованию зависимостей характеристик поля от толщины экрана и значения его магнитной проницаемости.
Математические модели стационарного магнитного поля на основе линейных интегральных уравнений.
В первой главе рассматривается также математическая модель магнитного поля в кусочно-однородной среде для случая, когда граница раздела магнитных сред является многосвязной.
Во второй главе дается разработка численного метода для решения линейных интегральных уравнений математических моделей магнитного поля в кусочно-однородной среде с учетом специфики этих уравнений. Предлагается использовать разновидность метода граничных элементов, основанную на кусочно-постоянной аппроксимации; искомой функции в пределах каждого граничного элемента (метод Крылова-Боголюбова). Обсуждаются вопросы-связанные с вычислением поверхностных интегралов в численном решении интегрального уравнения и решения системы, линейных алгебраических уравнений, к которой сводится интегральное уравнение в результате дискретизации. Осуществляется построение вычислительных схем решения интегрального уравнения и системы интегральных уравнений с поверхностными интегралами на основе метода Крылова-Боголюбова для случаев,.когда граница ферромагнитного тело имеет форму трехосного эллипсоида и эллипсоидальной оболочки.
Третья глава посвящена решению задач моделирования характеристик поля магнитной системы, с ферромагнитным телом в: форме эллипсоида с использованием разработанного программного комплекса MagnostatS. Проводится анализ зависимостей погрешности приближенного решения интегрального уравнения и,значений напряженности результирующего поля от геометрических параметров: эллипсоида, параметров дискретизации и; относительной магнитной проницаемости и,+ ферромагнетика. Решается задача, связанная с исследованием влияния ферромагнитного тела на внешнее магнитное поле в зависимости от трех угловых параметров, задающих ориентацию эллипсоида относительно токовой системы, при этом обсуждаются особенности вычислительного алгоритма решения этой; задачи. Кроме того, проводятся, исследования зависимостей характеристик магнитного поля, от соотношения полуосей, эллипсоида и радиусов круговых витков, образующих токовую систему, при фиксированных геометрических параметрах фер-ром агн итного тела.
В четвертой главе осуществляется моделирование характеристик магнитного поля токовой системы при наличии в этой системе ферромагнитного экрана в форме эллипсоидальной оболочки на основе численного решения системы линейных интегральных, уравнений с поверхностными интегралами, реализованного в программном комплексе MagnostatS . Магнитный экран рассматривается как устройство, предназначенное для ослабления (экранирования) поля в области, расположенной внутри экрана по сравнению с магнитным полем; вне экрана. С целью оценки экранирующего действия эллипсоидального экрана проводятся исследования зависимостей напряженности поля в точках, расположенных внутри оболочки от значений ее толщины и полуосей эллипсоидов, образующих эту оболочку, а также от значения /хэ магнитной проницаемости ферромагнетика. В приложениях приводятся: 1) расчетно-графический материал по исследованию характеристик поля магнитной системы с ферромагнитным телом в форме эллиптического тора. 2) особенности разработанного комплекса программ MagnostatS. На защиту выносятся следующие основные положения:: 1. Вычислительная схема решения линейного интегрального уравнения и-системы линейных интегральных уравнений с поверхностными интегралами математических моделей стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде на основе метода граничных элементов. 2. Вычислительный алгоритм и программный комплекс для решения задач моделирования слабых стационарных магнитных полей токовых систем с ферромагнитными телами, ограниченными гладкими поверхностями на основе математических моделей стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде, 3. Результаты исследования погрешности приближенного решения интегрального уравнения математической модели магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллипсоида. Выводы по исследованию зависимостей погрешности от значений параметров дискретизации, соотношения полуосей эллипсоида и магнитной проницаемости ферромагнетика. 4. Результаты решения задач моделирования поля магнитной системы с ферромагнитным телом в форме трехосного эллипсоида. Выводы по исследованию зависимости влияния этого тела на внешнее магнитное поле от соотношения полуосей эллипсоида, его ориентации относительно токовой системы, а также от радиусов круговых витков токовой системы. 5. Результаты решения задач моделирования стационарного магнитного поля магнитной системы с экраном в форме эллипсоидальной оболочки и выводы по исследованию зависимостей характеристик поля от толщины экрана и значения его магнитной проницаемости. В качестве вспомогательного материала рассмотрим краткий обзор основных сведений из физической теории магнитного поля постоянного тока и математической теории потенциала, а затем обратимся к вопросам, связанным с построением и обоснованием математических моделей стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде на основе метода интегральных уравнений, Магнитное поле постоянного тока — это один из компонентов электромагнитного поля, не изменяющегося во времени. Оно создается неизменными во времени токами- протекающими по проводящим телам, неподвижным в пространстве; по отношению к наблюдателю. Хотя при протекании посто -янных токов имеется и второй компонент электромагнитного поля, а именно электрическое поле, но оно во времени не изменяется и потому не влияет на магнитное поле. Поэтому магнитное поле постоянного тока можно рассматривать независимо от электрического.
Выбор метода решения системы линейных алгебраических уравнений; к которой сводится интегральное уравнение
В предыдущей главе было установлено, что, использование метода; интегральных уравнений для решения задачи расчета стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде приводит к интегральным уравнениям с поверхностными интегралами вида
При этом ядра интегральных уравнений содержат слабую особенность. Рассмотрим ряд вопросов, связанных с численным решением уравнений такого вида; Метод граничных элементов представляет собой численный метод, а точнее, группу численных методов, предназначенных для. решения граничных интегральных уравнений — уравнений, содержащих: интегралы от искомых функций, вычисляемые лишь по границе рассматриваемой в данной задаче области. Однако во многих- источниках под этим названием подразумевают не просто численный метод решения интегрального уравнения, но в том числе и: механизм перехода от краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных к интегральной формулировке; Использование метода граничных элементов для решения широкого круга прикладных задач, а также многие: аспекты, связанные: с практической реализацией этого метода- подробно рассмотрены в [8;11,27]. Метод граничных элементов можно рассматривать как частный случай метода:коллокации-веточках для операторного уравнения- Avt=-f. Єуть-метода коллокации состоит в том, что приближенное решение представляется в виде линейной комбинации некоторой системы {ии } L базисных функций: Коэффициенты ап в последней формуле ищутся из условия равенства нулевому элементу невязки Ли- f операторного уравнения в заданной системе из N точек хк, к.= \,N (точек коллокации). В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений Основная идея метода граничных, элементов применительно к интегральному уравнению вида (2.1) состоит в следующем: поверхностный интеграл, входящий в уравнение заменяется конечной суммой. При этом необходимо: а) тем или иным способом аппроксимировать поверхность S элементами поверхности AS; аппроксимировать искомую плотность о"(-Р)на поверхностях AS;, в) вычислить коэффициенты системы линейных алгебраических уравнений, то есть рассчитать интегралы от выбранных функций по поверхностям AS.
Поверхность S следует аппроксимировать элементами AS, которыми могут быть как плоские, так и криволинейные треугольники, прямоугольники и в общем случае многоугольники. Элементы AS образуются системой узлов, расположенных на самой поверхности. В простейшем случае, при решении трехмерных задач элемент образуется тремя, (треугольный), а при решении двумерных задач—двумя узлами. Порядок аппроксимации поверхности А=1, если элементы описываются уравнением первого порядка (плоские элементы). При =2 элементами являются поверхности, описываемые уравнениями второго порядка. При решении практических задач часто принимают к=\, то есть в качестве элементов -AS выбирают плоские фигуры. Для оценки эффективности-решения ту же задачу решают для А=2 и-сопоставляют затраты и-точность решения; Пригодную для любых задач расчета поля рекомендацию о значениях к дать трудно. Если поверхность образована совокупностью плоских поверхностей, то следует принимать =1.
При аппроксимации плотности с(/ ) на выбранной системе элементов поверхности AS эту функцию представляют полиномом порядка л: где; ф — полиномы порядками , имеющие смысл базисных; функций;: ак —коэффициенты, равные значениям искомой функции з(Р) вти точках.
Полином строят по значениям У(Р) В т точках, которые могут быть расположены как внутри элементов, так ив его вершинах ил и на его сторонах. При л=0 (полином нулевого порядка) a = const в пределах элемента. Такой полином строится по одному значению а— обычно в точке, лежащей в центре тяжести элемента. Если «=1 ( полином первого порядка ), то плотность г внутри элемента является линейной функцией. Для построения полинома первого порядка; следует определять х в трех: точках (если элементы треугольные), в четырех — если элементы прямоугольные; Такими точками считают узлы, являющимися вершинами элементов. Случаи я=0 и п=\ получили наибольшее распространение на;практике. Это объясняется простотой расчета интегралов по площади AS элементов и вычисления коэффициентов систем алгебраических уравнений:
На завершающем этапе перехода к алгебраическим уравнениям рассчитывают коэффициенты; системы, которую получают исходя из удовлетворения интегрального уравнения в совокупности.точек, называемых контрольными (в отличие от узловых — вершин элементов). Число контрольных точек, то есть число уравнений; должно быть равно полному числу узловых переменных, через которые аппроксимируется: искомая.функция внутри элементов. Контрольные точки могут совпадать, а могут и-не совпадать сузловыми точками элементов. Находят применение два метода, позволяющие перейти от интегрального уравнения к системе алгебраических уравнений: первый предполагает постоянство а(Р) в пределах элемента (и=0), а второй— зависимость а(Р)от координат точек внутри элемента (л О). При л=0 (a = const) внутри элемента в качестве контрольных точек принимают точки, лежащиев центре тяжести.
Об одном способе вычисления интегралов в численном решении интегрального уравнения, позволяющем сократить время решения
На основе анализа полученных результатов можно сделать следующий вывод: с увеличением значения относительной магнитной проницаемости наблюдается рост значений погрешностей, соответствующих внутренним и внешним точкам. При этом, для внешних точек этот рост оказывается слабым
и значения погрешностей при наибольшем значении параметра д." " оказываются приемлемыми при числе элементов дискретизации N = 800 во всех приведенных случаях. Рост же значений погрешности, соответствующих внутренним точкам, оказывается существенным, так что при наибольшем значении д+ и N = 800 погрешность принимает значения от 18 до 35%.
Приемлемые значения погрешности мы получаем лишь при большем числе элементов дискретизации.
Таким образом, выбор необходимого числа элементов, дискретизации должен осуществляться в зависимости от того требуется ли вычислять поле в точках расположенных внутри ферромагнетика, или нет, и если требуется, то нужно учесть,,каковым является значение магнитной проницаемости н.+.
Время, затрачиваемое на решение интегрального уравнения при числе элементов дискретизации N = 12800 в некоторых случаях достигает 30 минут (для ЭВМ с указанными выше параметрами). Очевидно, что если потребуется серия расчетов при различных геометрических параметрах ферромагнитного тела полное время решения будет достаточно большим. Одним; из факторов, влияющих на время решения задачи является то, каким образом осуществляется вычисление интегралов (2.19) В таблице 3.13 приведены значения временных характеристик при различном числе элементов дискретизации, соответствующие случаям, когда вычисление всех интегралов осуществляется одинаковым образом, путем І разбиения области интегрирования на 4 ячейки. Для каждой ячейки используется кубатурная формула, построенная прямым произведением четырехточечной квадратурной формулы Гаусса. При этом: tx — время, затрачиваемое на "вычисление коэффициентов матрицы алгебраической системы и вектора ее правой части; /2 — время, затрачиваемое на решение алгебраической системы методом простых итераций при j( (P) = f(P) с точностью є = 0,0001. tnm — полное время решения интегрального уравнения: Большую часть полного времени решения интегрального уравнения составляет время fj, затрачиваемое на вычисление матрицы коэффициентов и вектора правой части системы. Время t2, необходимое для решения системы оказывается, как минимум, в пять раз меньше времени /j. В связи с этим рассмотрим один способ вычисления коэффициентов матрицы алгебраической системы, который позволяет сократить время tx. Пусть г0 —максимальный диаметр среди диаметров граничных элементов ASpij. При вычислении интегралов / будем поступать следующим образом: если ГдМ krQ, то полагаем изменением на AS yi подынтегральной функции. Если же Гпм- вычисление ІШ будем осуществлять, используя указанную выше кубатурную формулу. В таблицах 3.14-3.16 приводятся результаты вычислительного эксперимента, содержащие значения погрешностей 5 , 5 (соответствующие тому же множеству точек Qy, /,/ = 1,5, которое было использовано в разделе 3.1 ) и времени tv при двух различных значениях параметра к , Число эле-ментовдискретизацииврассматриваемых-случаях н--т- =40. Естественно, что с уменьшением значения к время расчета /( сокращается, но при этом происходит увеличение погрешности. Как показывают представленные выше результаты, время вычисления t\ при к =5 уменьшается как минимум в пять раз по сравнению-со-временем, которое-мы имеем-без-использования указанного способа вычисления интегралов. При этом наблюдается довольно слабое увеличение значений погрешности. Таким образом, применение такого способа вычисления интегралов 1?$ позволяет в рассмотренных случаях получить существенный выигрыш во времени при незначительном увеличении погрешности. Однако с использованием этого способа в общем случае следует быть осторожным, поскольку многое зависит оттого, каковым является решение интегрального уравнения з(Р). Исследование зависимости характеристик магнитного поля от ориентации ферромагнитного эллипсоида относительно токовой системы Введем две прямоугольные системы координат: основную систему координат Oxyz и вспомогательную Ox y z . Положение вспомогательной системы координат относительно основной будем задавать при помощи трех углов 0 , ср , to (рис. 3.3). Рассмотрим магнитную систему, состоящую из следующих элементов: а) ферромагнитного тела с относительной магнитной проницаемостью [i+=180 в форме трехосного эллипсоида, с центром в начале координат и полуосями а 0,9м , 6=0,7м , с=0,4м , лежащими соответственно на координатных осях Ох ,Оу и Oz ; б) токовой системы, состоящей из четырех круговых витков с током, каждый из которых расположен в плоскости, параллельной плоскости хОу. Центр к-того витка расположен в точке (хк,ук ,zk), радиус этого витка равен Rk, величина протекающего по нему тока равна 1к, к=\ ,2,3,4 (таб. 3.17).
Исследование зависимости характеристик магнитного поля от значе ния магнитной проницаемости экрана
Таким образом, осуществлено решение ряда задач моделирование характеристик магнитного поля заданной токовой системы с экраном в форме эллипсоидальной оболочки: 1)выполнено исследование зависимости модуля напряженности поля в точках, расположенных внутри экрана, от значения толщины этого экрана. Показано, что при увеличении d экранирующее действие усиливается, но при этом скорость уменьшения модуля напряженности убывает и, начиная с некоторого значения толщины, Н практически не изменяется. 2) проведено исследование зависимости модуля напряженности поля в точках, расположенных внутри экрана, от значения относительной магнитной проницаемости экрана ju3. Полученные результаты показывают, что при увеличении проницаемости экранирующее действие усиливается. При этом интенсивное уменьшение модуля напряженности имеет место при небольших значениях щ, а при дальнейшем увеличении проницаемости модуль напряженности практически не меняется. 3) выполнено исследование зависимости модуля напряженности поля от значений полуосей эллипсоидов, образующих эллипсоидальную оболочку. Показано, что при горизонтальном и вертикальном вытягивании сферического экрана, помещенного во внешнее поле токовой системы значение модуля напряженности в центре экрана возрастает. Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.
Рассмотрены вопросы, связанные с построением при помощи метода ин тегральных уравнений и обоснованием математических моделей трехмерных стационарных магнитных полей в кусочно-однородных средах. Построены математические модели с использованием потенциалов простого и двойного слоя на основе интегральных уравнений второго рода со слабой особенно стью; рассмотрена модель магнитного поля для случая, когда граница разде ла магнитных сред является многосвязной. Кроме того, показано, каким об разом можно построить математические модели, если ферромагнитную среду считать неоднородной и нелинейной. 2. Проведено обсуждение особенностей использования метода граничных элементов для численного решения линейных интегральных уравнений ма тематических моделей магнитных полей в кусочно-однородных средах. Предложены, способы, вычисления поверхностных интегралов в численном решении интегрального уравнения и методы решения системы линейных ал гебраических уравнений, к которой; сводится интегральное уравнение в.ре зультате дискретизации. 3., Осуществлено построением вычислительной- схемы- решения: интегрального уравнения математической модели стационарн ого магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллипсоида на основе метода граничных элементов с кусочно-постоянной аппроксимацией искомой функции Построена вычислительная схема1 решения- системы интегральных уравнений математической модели стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллипсоидальной оболочки на основе метода Крылова-Боголюбова. При этом: предложен способ построения на поверхности сетки граничных элементов; показано, каким образом при построении вычислительного алгоритма можно за счет учета центральной или вращательной симметрии ферромагнитного тела, сократить объем вычислений; предложен способ вычисления несобственных интегралов при формировании матрицы алгебраической системы к которой сводится интегральное уравнение. 4. На; основе разработанного программного комплекса MagnostatS осуще ствлено решение задач моделирования характеристик магнитного поля токо вой системы с ферромагнитным телом в форме эллипсоида. Проведен анализ погрешности приближенного решения; показано, каким образом погрешность решения интегрального уравнения и значений напряженности результирующего поля зависит от геометрических параметров эллипсоида, параметров дискретизации и: значения относительной магнитной проницаемости ц.+ ферромагнетика. Проведено исследование влияния ферромагнитного тела на поле магнитной) системы в зависимости от ориентации эллипсоида относительно этой системы. Исследованы зависимости характеристик поля от соотношения полуосей і эллипсоида. В частности показано, в каких случаях ферромагнитное тело оказывает наибольшее влияние на магнитное поле. Выполнено исследование зависимостей характеристик поля от радиусов круговых витков-токовой системы при фиксированных геометрических параметрах ферромагнитного тела. 5. С использование комплекса программ MagnostatS решены задачи моде лирования характеристик магнитного поля заданной токовой системы при наличии экрана в форме эллипсоидальной оболочки.
Выполнено исследование зависимости модуля напряженности поля в точках, расположенных внутри экрана, от значения толщины этого экрана. Показано, что при увеличении экранирующее действие усиливается; но при этом; скорость,уменьшения модуля напряженности убывает и, начиная с некоторого значения толщины, величина модуля практически не изменяется..
Проведено исследование зависимости модуля напряженности поля в точках, расположенных внутри экрана, от- значения- относительной- магнитной-проницаемости экрана р. э. Полученные результаты показывают, что при увеличении проницаемости экранирующее действие усиливается. При этом интенсивное уменьшение модуля напряженности имеет место при небольших значениях щ а ПРИ дальнейшем увеличении проницаемости модуль напряженности практически не меняется.
Выполнено исследование зависимости модуля напряженности поля от значений полуосей эллипсоидов, образующих эллипсоидальную оболочку. В частности показано, каким образом изменяется значение модуля напряженности в центре экрана при его горизонтальном и вертикальном вытягивании.
