Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математическая модель распределения вихревых токов в многосвязных немагнитных оболочках в установившемся режиме 15
1.1 Физическая постановка задачи. Идеализации и допущения 15
1.2 Обобщенная постановка задачи 18
1.3 Свойства оператора Т 24
1.4 Метод Бубнова-Галеркина для численного решения задачи 28
1.5 Учет поверхностного эффекта 34
1.6 Интегральные характеристики 35
1.7 Анализ влияния свойств материала на распределение вихревых токов 37
Выводы по главе 1 43
ГЛАВА 2. Математическая модель распределения вихревых токов в переходном режиме 45
2.1 Обобщенная постановка задачи 45
2.2 Выбор метода решения. Решение в собственном базисе 47
2.3 Расчет собственных функций оператора Т 50
2.4 Начальное распределение поверхностных вихревых токов 51
2.4.1 Постановка задачи. Интегро-дифференциальное уравнение первого рода на поверхности 51
2.4.2 Операторное уравнение. Обобщенная постановка 55
2.4.3 Исследование уравнения вариационным методом 58
2.4.4 Численное решение задачи 62
2.5 Расчет магнитной реакции бесконечной пластины с отверстиями и идеальными магнитными свойствами 65
2.5.1 Постановка задачи. Интегральное уравнение на пластине 65
2.5.2 Преобразование задачи. Интегро-дифференциальное уравнение на отверстиях 68
Выводы по главе 2 76
ГЛАВА 3. Пакет прикладных программ для расчета электромагнитных полей проводящих оболочек 78
3.1 Назначение и возможности 78
3.2 Объектная структура пакета программ 80
3.3 Особенности численной реализации 84
3.4 Контроль разработанного программного пакета 89
Выводы по главе 3 97
ГЛАВА 4. Проводящие оболочки в прикладных задачах 98
4.1 Моделирование электродинамического подвеса 98
4.1.1 Исходная постановка задачи 99
4.1.2 Решение уравнения 101
4.1.3 Поле несущего магнита 103
4.1.4 Расчет силовых характеристик электродинамического подвеса . 107
4.2 Математическое моделирование сферической асинхронной маши ны с тонким проводящим слоем на роторе 114
4.2.1 Исходная постановка задачи 115
4.2.2 Уравнения для вторичных источников 117
4.2.3 Вывод интегральных тождеств для сфер, имеющих общий центр. 125
4.2.4 Интегральные характеристики 128
Выводы по главе 4 133
Заключение 134
Список использованных источников 138
- Метод Бубнова-Галеркина для численного решения задачи
- Начальное распределение поверхностных вихревых токов
- Объектная структура пакета программ
- Расчет силовых характеристик электродинамического подвеса
Введение к работе
Актуальность работы
С каждым годом появляется все больше электротехнических устройств, в которых в качестве элементов конструкции используются тонкие проводящие пластины или оболочки. К таким устройствам относятся разнообразные печатные платы и роторы электрических машин, системы электродинамических подвесов, индуктивные датчики, электромагнитные экраны для защиты персонала и высокочувствительного оборудования и т.п. Находясь в переменном магнитном поле, они потребляют энергию, обусловленную возбужденными в них вихревыми токами, оказывают силовое воздействие на другие токонесущие тела или обеспечивают необходимый экранирующий эффект. Для того, чтобы правильно управлять таким устройством, необходимо на стадии проектировании с высокой точностью рассчитать его параметры и характеристики, что невозможно без расчета электромагнитного поля.
Наличие тонких проводящих элементов в конструкции делает задачу расчета трехмерного электромагнитного поля одним из наиболее трудоемких этапов проектирования подобных устройств. Использование метода конечных элементов, широко распространенного при решении электромагнитных задач, приводит в таких случаях к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с численной неустойчивостью. Более результативным и экономным вариантом при расчете тонких оболочек представляется использование метода вторичных источников (метод интегральных уравнений). Математические модели электромагнитных полей тонких оболочек на основе интегральных или интегро-дифференциальных уравнений предлагаются во многих работах российских и зарубежных авторов. Из них можно выделить работы Цейтлина Л. А., Краснова И. П., Маергойза И. Д., Чечурина В. Л., Астахова В. И. Однако известные модели либо не универсальны, то есть, работают лишь с частными случаями оболочек (пластины, некоторые виды оболочек вращения), либо слишком сложны для численной реализации. К тому же лишь некоторые из них теоретически обоснованы. Это говорит о необходимости разработки математической модели для расчета квазистационарных электромагнитных полей оболочек сложной конфигурации с учетом неоднородности и анизотропии проводящих свойств. С другой стороны, появившиеся в последнее время мощные пакеты прикладных программ для решения электромагнитных задач не предусматривают эффективный расчет устройств с тонкими оболочками, что делает актуальным и создание специализированного программного обеспечения для подобных расчетов.
Цель диссертационной работы
Целью работы является разработка универсальной математической теории электромагнитных процессов в тонких оболочках с краем и неоднородной
анизотропной проводимостью, а также создание на ее основе новых вычислительных алгоритмов, позволяющих расширить класс практических задач доступных для эффективного численного решения и реализованных в пакете программ, предназначенном для расчета оболочек сложной конфигурации.
Научная новизна
В представленной диссертационной работе впервые получены следующие научные результаты:
Впервые выполнено обоснование корректности в естественных для электротехнических задач функциональных пространствах интегро-дифференциального уравнения, к которому сведена краевая задача расчета вихревых токов в оболочках с краем и неоднородной анизотропной проводимостью для установившегося и переходного режимов. Предложен численный метод решения уравнения в указанных режимах.
Впервые предложены обобщенная постановка и решение задачи о вихревых токов проводящих оболочек в момент коммутации, само решение сведено к корректному интегро-дифференциальному уравнению первого рода.
Разработан оригинальный метод преобразования задачи о магнитной реакции бесконечной пластины с отверстиями и идеальными магнитными свойствами к задаче о магнитной реакции конечных идеально-проводящих пластин, существенно облегчающий применение численных методов при поиске решения.
Получены новые, удобные для компьютерной реализации формулы для вычисления элементов СЛАУ, к решению которой сведена численная реализация используемых моделей. Предложена простая асимптотическая формула для элементов основной матрицы, позволяющая значительно ускорить процесс формирования СЛАУ.
Построены оригинальные математические модели на основе скалярного интегро-дифференциального уравнения для системы электродинамического подвеса и для шаровой электрической машины. Получены аналитические представления решений используемых уравнений, которые в отличие от существующих моделей приводят к удобным для практического применения формулам расчета интегральных характеристик.
Практическая значимость
На основе математических результатов диссертации создан оригинальный пакет программ, предназначенный для расчета вихревых токов проводящих оболочек с краем и неоднородной анизотропной проводимостью, находящихся в квазистационарном электромагнитном поле. Пакет позволяет получить распределение вихревых токов вдоль срединной поверхности оболочек, вычислить значения индукции (напряженности) магнитного поля в заданных точках окружающего пространства и рассчитать интегральные характеристики
(энергия, запасенная в магнитном поле, мощность джоулевых тепловыделений, электромагнитная сила, испытываемая оболочкой). Подобные расчеты требуются при решении многих инженерных задач, возникающих при проектировании и исследовании электротехнических устройств.
Основные результаты, выносимые на защиту:
Обоснована корректность математической модели на основе интегро-дифференциального уравнения для вихревых токов проводящих оболочек с краем в установившемся и переходном режимах в естественных для электротехнических задач функциональных пространствах.
Поставлена и решена задача расчета начального распределения вихревых токов в условиях коммутации.
Выполнена оптимизация расчетных формул для элементов основной матрицы СЛАУ, к которой сведена численная реализация используемых моделей.
Создан новый программный пакет для расчета вихревых токов тонких проводящих оболочек с краем, реализующий разработанные вычислительные алгоритмы.
Апробация работы
Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на: конференции студентов и аспирантов ЮРГТУ (НПИ) (Новочеркасск, 2006, 2007); Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь XXI века - будущее Российской науки» (Ростов-на-Дону, 2006, 2007); V и VI Школах-семинарах «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (Ростов-на-Дону, 2006, 2007); Международной конференции «Lyapunov memorial conference» (Харьков, Украина, 2007); III Всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (п. Дивноморское, 2007); научных конференциях студентов и аспирантов базовых кафедр Южного научного центра РАН (Ростов-на-Дону, 2007, 2008, 2009); Международных конференциях 52, 53 и 54 «Internationales Wissenschaftliches Kollogiiium» (Иль-менау, Германия, 2007, 2008, 2009); Международной конференции «Теория операторов. Комплексный анализ. Математическое моделирование» (Волгодонск, 2007); 2nd International Conference on Matrix Methods and Operator Equations (Москва, 2007); Международных конференциях «Days on Diffraction» (Санкт-Петербург, 2008, 2009); Воронежской зимней математической школе С.Г. Крей-на (Воронеж, 2008); «XII International Scientific Kravchuk Conference» (Киев, Украина, 2008); Международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 2008); Международном научно-практическом коллоквиуме «Мехатроника - 2009» (Новочеркасск, 2009).
Разработанный программный пакет представлялся на Всероссийской выставке-ярмарке научно-исследовательских работ и инновационной деятельности «ИННОВ-2007» (Новочеркасск, 2007) и выставке «Информационные технологии в технике и образовании» (Новочеркасск, 2007).
Результаты обсуждались на научном семинаре Института электрических машин, приводов и железных дорог ТУ г. Брауншвейг , а также на семинаре Комплексного отдела механики, химии, физики и нанотехнологии Южного научного центра РАН.
Публикации
Материалы диссертации опубликованы в 26 печатных работах, из них 3 статьи в ведущих рецензируемых журналах [1-3], 18 статей в сборниках, основные из которых — [4-10], и 5 тезисов докладов.
Структура и объем диссертации
Метод Бубнова-Галеркина для численного решения задачи
Рассмотрим конечное число х многосвязных немагнитных оболочек с неоднородной анизотропной проводимостью 7; помещенных в квазистационарное магнитное поле с индукцией В0 (М, t) = В0 (М) sin {cot + ip (М)) заданных внешних источников; ш — круговая частота, (р (М) — начальная фаза колебаний в текущей точке М трехмерного физического пространства.
На рисунке 1 представлен внешний вид г-ой оболочки и введены следующие обозначения: толщина оболочки; V{ — ее объем; г- — поверхность, ограничивающая Vf, п — единичный вектор внешней к Ej нормали; S (М, t) — плотность объемного вихревого тока. Если удельные проводимости оболочек различны, то под 7 следует понимать 7г і — 1 Х- Такое же правило введем и для толщины h оболочек. При этом проводимость каждой оболочки задается тензором второго ранга, либо определяется оператором умножения тензора на функцию или константу. Далее для удобства записи в последнем случае под 7 будем понимать саму функцию или константу. Окружающая среда предполагается немагнитной
Здесь использовано условие малости токов смещения по сравнению с токами проводимости [47] ше (е — диэлектрическая проницаемость), которое для хороших проводников выполняется до частот, составляющих десятки кГц. В квазистационарном приближении токами смещения пренебрегают и вне проводящих тел, если геометрические размеры последних много меньше длины электромагнитной волны в окружающем диэлектрике. Каждую из оболочек будем считать геометрически и электрически тонкой (толщина h много меньше других размеров, а поверхностный эффект пренебрежимо мал, т.е. h С \ [47]). Это означает, что ее допустимо заменить приближенно срединной поверхностью Т\ (рисунок 2), наделив последнюю удельной проводимостью 7s J определяемой как 7s — 7 Рисунок 2 — Срединная поверхность г-ой оболочки в магнитном поле витка с током
Относительно г-ой срединной поверхности положим, что она представляет собой поверхность топологического рода нуль [48], удовлетворяющую условиям Липшица [49] и Римана [50], с кусочно-гладким краем дТ{ и конеч-ным числом mi отверстий Г"0, Г"1?... , Г"т , ориентируем внешней единичной нормалью п. На Г(- введем триортогональ-ную систему координат {и, v, п} с единичными ортами еи, ev, п (координатная поверхность п — О совпадает с Г ).
Будем рассматривать случай, когда удельная проводимость материала оболочки вдоль срединной поверхности имеет вид ограниченного положительно-определенного симметричного тензора второго ранга вида = элементы которого — кусочно-непрерывные функции координат и, v. Токи при этом охарактеризуем линейной плотностью сг, связанной с плотностью 5 следующим равенством
Рассмотрим режим установившихся гармонических колебаний. В указанном приближении краевая задача (1.1) в терминах комплексных амплитуд (помечены точкой сверху) примет вид rotn7s 1сг = -juBn 1 / где знаки +» и —» в верхнем индексе означают, что рассматриваются предельные значения со стороны положительного и отрицательного направлений нормали, соответственно. Также учтено, что & = 7sEs, Es — проекция на Г комплексной амплитуды вектора электрической напряженности, а под і/ по нимается единичный вектор нормали к контуру 9Гг-, і = 1, х, лежащий в касательной плоскости к Г[. На линиях разрыва 1Р элементов тензора 7s необходимо определить условия сопряжения как условия непрерывности касательной составляющей электрической напряженности и нормальной — плотности тока. А именно,
Здесь под v понимается вектор нормали к /р, лежащий в касательной плоскости к T j, і = 1,х (рисунок 2), а знаки + и «—» понимаются в прежнем смысле, но по отношению к нормали в точках линий 1Р. где индекс «:5 в операциях означает, что дифференцирование выполняется вдоль Г, 7s — тензор, получаемый из 7s перестановкой элементов главной диагонали, а функция потока продолжается константами на Г" (своя на каждой Т"к, к = 0,шг-, г = 1,х)- В силу неоднозначности определения т (М) равенством (1.6), ее значения будут определяться с точностью до произвольной константы, для учета которой достаточно ввести калибровку, например, положить
Элементы этого пространства представляют собой пределы последовательностей непрерывных на Г и непрерывно-дифференцируемых на каждом гладком куске, принадлежащем Г, функций (далее согласно терминологии, введенной в [52] будем называть их кусочно непрерывно-дифференцируемыми функциями).
Здесь нашли применение известные тождества векторного анализа [53], обеспеченные гармоничностью рассматриваемых интегралов при М ( Г, учтены условия, накладываемые на функцию т, использовались теорема Стокса [53] на гладких частях поверхности Г в предположении о кусочной гладкости их границ и тождество
В дальнейшем мы более тесно познакомимся с этим оператором, а сейчас остановимся на том факте, что иптегро-дифференциальный сомножитель левой части (1.7) — это одна из форм представления оператора Кта.
Принимая во внимание, что источники поля В0 считаем заданными, не вызывает затруднений ввести и использовать его векторный потенциал А0, подчиняющийся равенствам rot А0 = В0, div А0 = 0 всюду. Это позволяет все слагаемые равенства (1.7) записать в дивергентной форме и представить его, например, в виде
Теперь несложно перейти к обобщенной постановке задачи. А именно, обозначим через С1 (Г) множество всевозможных непрерывных и кусочно непрерывно-дифференцируемых на Г комплекснозначных функций {}. Выделим в нем подмножество функций с постоянными значениями на Т"к, х н нулевыми средними значениями на Г;, і = 1,х- Обозначим его CQ (Г). Далее умножим обе части равенства (1.13) на Є CQ (Г), а результат проинтегрируем по Г. После использования теоремы Остроградского-Гаусса и тождества [53] divs (/а) = grads/a + /divsa будем иметь
Начальное распределение поверхностных вихревых токов
Согласно [54] процесс Бубнова-Галеркина в задаче об отыскании собственных значений вполне-непрерывного оператора сходится. Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. В случае кратных собственных значений, полученные функции могут быть ортонормированы известным способом, например, методом ортонормирования по Шмидту [49].
Отметим тот факт, что формулы для вычисления aip и fiip совпадают с формулами для элементов СЛАУ (1.22). В этом случае наиболее естественным будет добавить алгоритм вычисления собственных функций в уже разработанный программный пакет, тем самым расширив область его применения.
Постановка задачи. Интегро-дифференциальное уравнение первого рода на поверхности Рассмотрим задачу расчета поверхностных вихревых токов в условиях коммутации. В нашем случае процесс коммутации будем осуществлять включением или выключением внешних источников магнитного поля. Считаем, что внешние источники переходят из одного состояния в другое за бесконечно малый промежуток времени (мгновенно). При этом, чтобы избежать бесконечно больших значений энергии в этот момент, полагаем, что нормальная компонента индукции В магнитного поля на поверхности Г сохраняет то значение, которое имела до коммутации и начинает изменяться именно с этого значения, т.е.,
С помощью уравнений Максвелла и материального уравнения, опираясь на [51], для конечного числа х проводящих поверхностей (все обозначения введены в 1.1) получим следующую краевую задачу при t = 0+ Здесь В — индукция результирующего магнитного поля, п — единичный вектор нормали к Г , знаки «-+-» и «—» в индексах означают, что рассматриваются предельные значения соответствующих величин со стороны положительного и отрицательного направлений нормали п соответственно, v — вектор нормали к dTk, лежащий в касательной к Т к плоскости.
Остается добавить только условие для Вп на Г. Представим результирующее поле в виде суммы: В = В0 + В , тогда граничное условие для случаев включения и выключения внешних источников (а) и б) соответственно), = 0,гпі, і = 1,х) и в дальнейшем будем пользоваться именно этой нотацией (верхний знак соответствует ситуации а), нижний — ситуации б)).
Еще один факт, заслуживающий внимания, это совпадение условия для магнитного поля на Г в ситуации а) с граничным условием, определяющим свойство идеальности проводника. Таким образом, рассматриваемую задачу можно квалифицировать и как расчет начального распределения поверхностных вихревых токов при моделировании переходного режима, и как расчет вихревых токов на поверхностях с идеальной проводимостью. В последнем случае также необходимо указать наличие или отсутствие в отверстиях так называемых «замороженных» потоков. Положим что позволит не конкретизировать исходную физическую постановку, а в результате получить математическую модель с широкой областью применения при вариации исходных данных.
Существенно, что вне Г U Г" поле реакции потенциально, поэтому для индукции В можно ввести скалярный магнитный потенциал ip В = — gradcp вне Tfc, к = 1, v и формулировать краевую задачу в терминах ip . В таком случае будем иметь дальнейшего исследования потребуется расширить уравнение (2.22) на объединение Г замкнутых поверхностей. При этом в силу условия (2.23), а также аннулирующих свойств интегро-дифференциального оператора, входящего в уравнение (2.22), решение г будет определяться с точностью до произвольной константы и в дальнейшем эта степень свободы может быть подходящим образом использована. Соотношение (2.24) преобразуется к виду: J KTardT = т[
Выберем класс функций, среди которых будем искать решение исходной задачи. Для этого в пространстве плотностей потенциала двойного слоя Нт (Г), рассмотренном в 1.2, выделим подпространство элементов, имеющих постоянные значения на Г ., к = 0, пгц, г = 1, х, и обозначим его через Нт (Г).
Далее рассмотрим L (Г) — гильбертово пространство вещественных квадратично-суммируемых функций со скалярным произведением и нормой (аі, а2)І2 = / aia-idV, \\а\\І2 = (а, а)ХЦ . Свободный член уравнения (2.27) принадлежит этому пространству.
В качестве плотного в L (Г) множества возьмем С1 (Г) — множество непрерывных и кусочно непрерывно-дифференцируемых на Г функций. Выделим в Z/2 (Г) подпространство L2 (Г), образованное элементами L (Г), при нимающими постоянные значения на Г -к, к = 0, т і — 1, х- Проектирование из L i (Г) в 1,2 (Г) осуществляет ортопроектор Р, заданный равенством (2.26). Роль плотного в Li (Г) множества может играть С1 (Г) С С1 (Г), образованное элементами равными константам на каждом Г"к С Г". Отметим, что такие функции принадлежат НТ (Г), и, следовательно, С1 (Г) допустимо рассматривать как плотную в L i (Г) область определения оператора Кта. Убедимся, что то же справедливо и для оператора К. Для этого достаточно показать, что интеграл из левой части (2.25) принимает конечные значения
Объектная структура пакета программ
На рисунке 30 приведены графики зависимости от координаты в функции т (ее комплексная амплитуда) в случае аналитического расчета по формуле (3.8) (кривая 1) и в случае применения программного пакета (кривая 2). Для численного решения использовалась триангуляция сферы из предыдущего примера, а значения f на графике соответствуют кривой I, введенной там же. Кроме того, 7 = 5.8 107 (Омхм)-1, h = 0.002 м, а / = 100 Гц. Ниже представлена таблица значений функций в узлах триангуляции, лежащих на кривой I. Здесь гиг- это аналитическое и численное решения соответственно.
Как видно из рисунка 30 и табл. 2 пакет «СотрЕС 3d» выполняет все расчеты с точностью достаточной для любых инженерных задач.
Ниже на рисунке 31 а) изображено распределение вихревых токов на срединной поверхности прямоугольной пластины со сторонами а = 0.16 м и b = 0.08 м. Толщина пластины h = 0.002 м, проводимость материала 7 = 5-107 (Омхм)-1. Пластина находится в поперечном однородном магнитном поле Н = ez sin (wt) А/м. Значения функции г в точках, являющихся центрами элементов разбиения, представленных на рис. 31 б), приведены в табл. 3 (верхняя строка). Вторая строка — результаты, полученные при использовании математической модели из [82], а в третьей строке приведены результаты из [21]. А і 8 7 9 6 h 1 2 3 4 5 0 JV
Разработан программный пакет «СотрЕС 3D» для расчета вихревых токов, возбуждаемых под действием квазистационарного электромагнитного поля в проводящих оболочках с краем и неоднородной анизотропной проводимостью. Расчет может быть выполнен для оболочек различной конфигурации с конечной проводимостью в переходном и установившемся режимах, а также для оболочек с идеальной проводимостью. Результатами работы являются картинки силовых линий вихревых токов вдоль срединной поверхности оболочек, числовые значения плотности вихревых токов, интегральные характеристики (энергия, сила и т.д.), значения поля В или Н в заданных точках. Правильность работы пакета проконтролирована сравнением с аналитическим решением тестовых задач и результатами численного решения модельной задачи, полученными при использовании других математических моделей.
При создании программного пакета была выполнена оптимизация расчетных формул. С помощью выбранной системы координатных функций удалось избавиться от особенностей в интегралах, вычисляемых при формировании элементов основной матрицы СЛАУ. Причем применение аналитического интегрирования позволило снизить их кратность с 4-х до 2-х, а в ряде случаев свести к табличным интегралам.
Для координатных функций, носители которых расположены на достаточно большом удалении друг от друга, получена приближенная асимптотическая формула для вычисления элементов основной матрицы СЛАУ, позволяющая значительно упростить и ускорить процесс формирования последней. На протяжении последних лет как в нашей стране, так и за рубежом техническое освоение космоса, прогресс точного приборо- и машиностроения, повышение скоростей вращения роторных устройств, увеличение дальности, скорости и ресурса действия подвижных объектов, реализация бестигельной плавки и т.д. привели к созданию новых технологических процессов и систем, технические характеристики которых во многом определяются динамическим поведением твердого тела, взаимодействующего с полем той или иной физической природы. Особый успех был достигнут при создании неконтактных подвесов и опор, основанных на левитации (свободном парении) твердых тел в электрическом или магнитном полях.
Достоинства, которые имеют неконтактные подвесы, открывают обширную область применений в экспериментальной технике и разработках новых приборов. Они используются в биологических центрифугах при создании полей центробежных сил, превышающих силу тяжести в 108 раз, в экспериментах ядерной физики, в космических аппаратах при создании трехстепенного шарового стабилизатора, для подвески моделей в аэродинамической трубе, для получения особо чистых веществ, материалов с улучшенными свойствами и совершенных монокристаллов, для плавки редких металлов, для создания высокоточных гироскопов, акселерометров и т.д.
Перспективным видом неконтактных подвесов является электродинамический подвес на основе постоянных магнитов, движущихся над направляющим проводником. Когда тело, несущее ток, перемещается над таким проводником, то в проводнике появляются вихревые токи с собственным магнитным полем. Это поле, взаимодействуя с первичным источником, создает подъемную и тормозную силы. Чтобы конструкция подвеса отвечала поставленным задачам и имела оправданную стоимость, важно знать зависимости упомянутых сил от геометрических параметров подвеса и расположения магнитов относительно проводника. Для этого необходимо рассчитать упомянутые выше вихревые токи.
Рассмотрим модель расчета вихревых токов, возбуждаемых в направляющем проводнике электродинамического подвеса, на основе интегро-дифференциального уравнения.
Исходная постановка задачи. Рассмотрим электродинамический подвес, состоящий из тонкостенного цилиндрического с круговым сечением направляющего проводника и движущегося вдоль него несущего магнита. Длина проводника много больше его диаметра, поэтому можно пренебречь концевым эффектом и рассматривать проводник как бесконечно длинную цилиндрическую оболочку, выполненную из однородного материала с проводимостью 7- Поперечное сечение проводника представлено на рисунке 32.
Расчет силовых характеристик электродинамического подвеса
В случае если центр витка сместить вдоль оси х на величину хс, согласно свойству прямого преобразования Фурье, называемого теоремой запаздывания [51] правая часть равенства (4.7) пополняется сомножителем е тхс. Эта теорема позволяет легко получать уточнения и в случае, когда рассматривается совокупность одинаковых витков, сдвинутых друг относительно друга вдоль координатной оси Ох. В частности, для двух витков, изображенных на рисунке 36 а), уточняющим коэффициентом будет 2 cos (тхс), а для витков, изображенных на рисунке 36 б), этот коэффициент равен 2j sin (тхс).
Для учета толщины магнита, чтобы получить индукции В, В%+ и В , остается проинтегрировать по толщине магнита величины Ь , Ь + и Ь соответственно.
Расчет силовых характеристик электродинамического подвеса. При конструировании электродинамического подвеса важно знать зависимости его силовых характеристик от различных величин (радиуса и толщины проводника, высоты подвеса, расположения и массы магнита). Исследование этих зависимостей позволяет минимизировать затраты на его изготовление, например, за счет снижения расхода материала. При этом подвес будет обладать необходимыми силовыми характеристиками.
Формула для вычисления электромагнитной силы, действующей на несущие магниты подвеса со стороны направляющего проводника, имеет вид
Сделаем важное замечание, необходимое для дальнейших расчетов. А именно, обратим внимание, что вещественная часть Фурье-образа всякого вещественного оригинала обладает четной симметрией относительно начала оси параметра т и имеет своим оригиналом функцию, обладающую четной симметрией относительно начала оси координат х. Аналогично, мнимая часть обладает нечетной симметрией, а ее оригинал сохраняет эту симметрию на оси координат Ох. Данное свойство является очень важным при численных расчетах, так как позволяет упростить и существенно сократить объем вычислений. Из него следует, что интеграл в симметричных пределах от произведения вещественной части одного из сомножителей в (4.8) на мнимую часть другого сомножителя равен нулю, а интеграл в тех же пределах от одноименных частей сомножителей, благодаря четной симметрии подынтегральной функции, равен удвоенному интегралу на половине интервала интегрирования. Таким образом, компоненты электромагнитной силы, действующей на магниты, могут быть вычислены по формулам:
Здесь при вычислении т(т,п) в формуле (4.5) в качестве В необходимо подставить значение В+ или В для случая а) и б) соответственно.
В качестве силовых характеристик электродинамического подвеса можно использовать зависимости сил левитации Fj_, и торможения FT, действующие на несущие магниты, от геометрических и физических параметров. Значения этих сил выражаются следующим образом
Рассмотренная конструкция электродинамического подвеса может быть использована, например, при разгоне космического летательного аппарата (КЛА) [86]. Если поместить КЛА опорную поверхность, которая проходит вне плотных слоев атмосферы, то можно избежать гравитационных потерь ракеты, связанных с использованием термохимических двигателей в процессе разгона до орбитальной скорости в условиях старта в земном гравитационном поле (почти в два раза снижается возможная характеристическая скорость КЛА). Подобной опорой могут быть различные варианты орбитальных тросовых систем, которые ориентированы вдоль траекторий своего движения и движения разгоняемых на них КЛА.
Такие тросовые системы представляют собой гибкие стержни, движущиеся вдоль самих себя, и носят название орбитальной путевой структуры (ОПС). Необходимо учесть, что относительная скорость КЛА и ОПС варьируется от первоначальной 8000 м/с до финишных 800-500 м/с и при этом должен быть исключен механический контакт между КЛА и ОПС. Данное условие может быть реализовано на основе магнитного подвеса КЛА над или под ОПС. Тормозная сила, создаваемая электродинамическим подвесам, в данном случае используется для разгона КЛА.
Рассмотрим электродинамический подвес, удовлетворяющий нашим идеализациям. Направляющий проводник подвеса выполнен из материала с удельной проводимостью 7 = 3.1 107 (Омхм)-1. Радиус проводника R = 0.05 м. Конструкция имеет одну пару магнитов, соответствующих случаю, изображенному на рисунке 35 а), со следующими геометрическими параметрами: толщина магнита h = 0.02 м, Ъ = 0.025 м. Магниты движутся вдоль проводника со скоростью v. На рисунках 37 а) и б) изображены результаты расчетов сил левитации и торможения в зависимости от высоты подвеса 5 и толщины проводника h соответственно при фиксированных значениях скорости. Кривые 1, 2, 3, 4, 5 и 6 рассчитаны для значений скорости равных 1, 4, 7, 10, 13 и 16 км/с соответственно.
