Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Теория и метод расчета нелинейной динамики гибких оболочек в температурном поле 22
1. Основные гипотезы и допущения 22
2. Вариационная формулировка задачи - вариационный принцип 31
3. Дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия 33
4. Метод Бубнова-Галеркина - сведение бесконечномерной задачи к конечномерной 35
5. Алгоритм расчета 39
6. Достоверность получаемых результатов 42
Выводы по главе 1 50
Глава II. Стационарные задачи гибких цилиндрических оболочек 51
1. Метод установления 51
2. Статическая устойчивость замкнутых цилиндрических оболочек при действии локальной нагрузки и температурного поля 57
Выводы по главе 2 60
Глава III. Нелинейная динамика цилиндрических оболочек
1. О сценариях перехода в хаос 61
2. Исследование влияния интенсивности температурного поля при действии знакопеременной нагрузки на устойчивость системы 77
3. Динамические критические нагрузки при учете влияния интенсивности температурного поля и локальной силовой нагрузки 82
4. Влияние коэффициента линейного трения на характер колебаний цилиндрических оболочек, находящихся в температурном поле 84
5. Хаотические колебания замкнутых цилиндрических оболочек, находящихся в температурном поле 86
Выводы по главе 3 90
Глава IV. Теория гибких прямоугольных в плане цилиндрических панелей, находящихся в температурном поле 91
1. Основные гипотезы и допущения 91
2. Достоверность получаемых результатов 93
3. Исследование влияния интенсивности температурного поля на статическую критическую нагрузку гибких прямоугольных в плане цилиндрических панелей, находящихся в температурном поле 98
4. Нелинейная динамика гибких прямоугольных в плане цилиндриче
ских оболочек, находящихся в температурном поле 100
Выводы по главе 4 ПО
Общие вывода по диссертации 111
Список использованной литературы
- Вариационная формулировка задачи - вариационный принцип
- Статическая устойчивость замкнутых цилиндрических оболочек при действии локальной нагрузки и температурного поля
- Исследование влияния интенсивности температурного поля при действии знакопеременной нагрузки на устойчивость системы
- Исследование влияния интенсивности температурного поля на статическую критическую нагрузку гибких прямоугольных в плане цилиндрических панелей, находящихся в температурном поле
Введение к работе
(краткий исторический обзор исследований по теме и основное содержание работы)
Быстрый темп нашей жизни, постоянное мелькание будней при интенсивном каждодневном обновлении информации, становится реальностью. Явления, которые еще сравнительно недавно считались экзотическими и интересовали лишь узкий круг ученых, сейчас получают развитие во многих областях повседневной жизни. Так и произошло с концепцией детерминированного хаоса. Многочисленные процессы и явления, протекающие в физических, химических, биологических, экономических и социальных неравновесных системах, анализируются сложными нелинейными системами дифференциальных уравнений. Возникают не только теоретические, но и практически важные классы задач, когда возникает необходимость управлять нелинейной-системой. Но, несмотря на огромное число публикаций, в том числе ряда монографий, строгих результатов накоплено немного, и даже терминология в области хаотических моделей еще не устоялась, а многие вопросы остаются открытыми. В промышленности широко применяются конструкции, выполненные в виде тонких однослойных и многослойных оболочек вращения. Они в процессе эксплуатации могут подвергаться воздействию силовых и тепловых нагрузок. Проблема надежной эксплуатации конструкций, работающих в условиях интенсивных тепловых и механических воздействий, с практической точки зрения является в современной технике одной из важнейших, и теоретические численные исследования возникновения хаотических колебаний в такой конструкции, также представляют определенныйинтерес. Обратимся к истории исследований по* данной тематике, далее такжебудет приведено основное содержание работы.
Интерес к исследованию температурных напряжений возник в начале нашего века. Например, еще Рэлей [106] рассматривал поле напряжений в неограниченной плите, имевшей первоначально равномерную температуру и охла-
5 жденной так, что по ее поверхностям поддерживалась постоянная температура. Влияние периодических изменений температуры для тонкостенных сосудов, имеющих одну или несколько осей симметрии, изучал Г. Эйхельберг [81]. В дальнейшем Г. Гринберг [83] исследовал напряжения, возникающие при охлаждении сферы..Для толстых плит, цилиндров и сфер ряд результатов с приложениями, существенными для бетонного строительства, получил Г. Н. Маслов [49].
Температурные напряжения относятся к основным факторам, с которыми необходимо считаться.при выборе режимов нагрева тел [50].
Исследования высокотемпературной прочности труб под внутренним давлением газовой рабочей среды впервые начаты в 1931 г. компанией «The Babcox and wilcox» под руководством Ньюэлла. Однако они были прерваны в связи со значительными трудностями в постановке опытов (разрушение печи при разрыве образца и т. п.). В 1943 г. опыты были возобновлены. Однако нагрев производился в обыкновенной печи, работающей на природном газе, что не позволяло точно контролировать температуру и деформации образцов. Поэтому проведенные опыты носили в основном прикладной характер.
Используя опыт Ньюэлла, в 1950 г. Кунстер и Блейзер разработали установку, состоящую из шести секций, помещенных в защитный кожух из толстостенной стали. Каждая секция включала образец, электрическую печь специальной конструкции, систему контроля температуры и систему давления. Установка была апробирована и дала удовлетворительные результаты.
Деформация тела неразделимо связана с изменением содержащегося в нем тепла и, следовательно, с изменением распределения температуры в теле. Изменяющееся- во времени поле деформаций вызывает изменение поля температуры, и наоборот. Внутренняя энергия тела зависит, таким образом, от де-формаций и температуры. Область науки, рассматривающая эти взаимодействующие процессы, называется термоупругостью. Она начала развиваться в последнем десятилетии прошлого века, хотя уместно отметить, что сопряжение
поля деформации и поля температуры постулировал еще Дюгамель [80], а обобщенное уравнение теплопроводности было дано Фойгтом [114] и Джеффрисом [87].
Исследования по термоупругости начинались с решения задач о термоупругих напряжениях в элементах конструкций. Они проводились на основе теории, разработанной Дюгамелем [80] и Нейманом, который исходил из следующего предположения: полная деформация является суммой упругой деформации, связанной с напряжениями обычными соотношениями, и чисто теплового расширения, соответствующего известному из классической теории теплопроводности температурному полю. С принципиальной точки зрения теория Дю-гамеля-Неймана для нестационарных тепловых и механических воздействий оказалась ограниченной: она не позволяет строго описать движение упругого тела, связанное с его тепловым состоянием. При определенных условиях нестационарный нагрев сопровождается динамическими эффектами в конструкции. В общем случае изменение температуры тела происходит не только вследствие подвода тепла от внешних источников, но и в результате самого процесса деформирования. При деформировании тела от механических или тепловых воздействий, протекающих с большой скоростью, возникает так называемый эффект связанности, обусловленный взаимодействием полей деформации и температуры. Он проявляется в образовании и движении тепловых потоков внутри тела, возникновении связанных упругих и тепловых волн, термоупругом рассеянии энергии и т. п. Последовательное рассмотрение процессов упругого деформирования и теплопроводности в их взаимосвязи возможно только на основе термодинамических соображений. Томсон впервые применил основные законы термодинамики для изучения свойств упругого тела, а много* позже J.M. Thomson и S.R. Bishop [112] привнесли свой, вклад при изучении! нелинейных колебаний оболочек.
Ряд исследователей Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц [44] и др. с помощью методов классической термодинамики получили связанные уравнения термо-
7 упругости. Однако в рамках классической термодинамики строгий анализ справедлив, лишь для изотермического и адиабатического обратимых процессов деформирования. Реальный процесс деформирования, неразрывно связанный с необратимым процессом теплопроводности, является в общем случае также необратимым. Термодинамика необратимых процессов позволила более строго поставить задачу о необратимом процессе деформирования и дать единую трактовку механических и тепловых процессов, нашедшую-отражение в-работах М. Био [67], PI Чедвика [71-73], Б. Боли [68, 69] и Д. Уэйнера [115] и др., где был дан обоснованный вывод основных соотношений и уравнений, а также сформулированы вариационные теоремы термоупругости. В связи с этим более четко определилась теория термоупругости, обобщающая классическую-теорию упругости и теорию теплопроводности. В рамках термоупругости рассматривается распределение температуры, вызванноедеформациями, а также дается* описание явления упругого рассеяния энергии, являющегося причиной внутреннего затухания в упругих телах.
Несмотря' на свою математическую сложность, термоупругость дает возможность более глубоко проникнуть в механизм деформационных и тепловых процессов, происходящих в.упругих телах. Она' охватывает следующие явления: перенос тепла теплопроводностью в теле при стационарном и нестационарном теплообмене между ним и внешней средой; термоупругие напряжения, вызванные градиентами температуры; динамические эффекты при резко нестационарных процессах нагрева и, в частности, термоупругие колебания тонкостенных конструкций при тепловом ударе; термомеханические эффекты, обусловленные взаимодействием полей-деформаций и температуры.
Основное положение термодинамики необратимых процессов, вытекающее из предположения, о локальном термодинамическом равновесии, заключается в том, что первый- и второй законы классической термодинамики справедливы и для локально равновесных макроскопических частей системы. Для математического выражения второго закона термодинамики в случае твердых де-
8 формируемых тел, состояние которых определяется большим числом независимых переменных, удобной является формулировка, разработанная Л.А. Шаповаловым [64], Каратеодори [70] и Т. А. Афанасьевой-Эренфест [7]. В этой формулировке устанавливается общий эмпирический принцип о невозможности определенных процессов принцип адиабатической недостижимости.
Теория термоупругости получила широкое развитие в связи с необходимостью решения многих проблем современной техники. Термодинамическое обоснование основных уравнений классической теории термоупругости и систематизация основных результатов исследований термоупругого состояния однородного тела содержатся в монографиях Я.С. Подстригача [58], В. Новацкого [54], Б. Боли, Дж. Уэйнера [9], А. Д. Коваленко [30], работах В.Ф. Киричен-ко[29], О.О. Евтушенко [23].
При современном развитии гиперзвуковых технологий возникает необходимость изучения сложных колебаний оболочечных систем при действии температурного поля и знакопеременных внешних нагрузок. Как известно, аэродинамический нагрев приводит к образованию неравномерного поля температур в конструкции летательного аппарата. С этим связано появление некоторых напряжений. Подобные температурные напряжения не всегда являются опасными для прочности конструкции, так как «рассасываются» по мере развития деформации. Но те элементы конструкции, в которых развиваются сжимающие напряжения, могут потерять устойчивость, что в ряде случаев равносильно исчерпанию несущей способности и является недопустимым.
Далее, при высоких температурах появляется ползучесть конструкционных материалов (стали, дюралюминии, титановых сплавов и .т.д.), которая в свою очередь приводит к потере устойчивости сжатых элементов. У некоторых материалов (пластмассы) ползучесть имеет место при относительно низких температурах, явление ползучести протекает во времени; малозаметная деформация сжатого стержня по истечению определенного периода завершается резким выпучиванием. Существование неравномерного температурного поля свя-
9 зано с явлением теплопроводности внутри тела и с рассеянием энергии в окружающую среду. Процесс деформации при нагружении и выпучивании теля сопровождается, кроме того, необратимыми изменениями температурного поля [16].
Проблема устойчивости оболочек при температурных воздействиях стала разрабатываться с 1957 г. Результатом температурного воздействия на оболочку является термическое выпучивание, которое в отличие от выпучивания при действии механической нагрузки имеет ряд специфических особенностей. При тепловом расширении элементов оболочки возникают температурные усилия. Сжатие элементов сопровождается выделением тепла, а при растяжении происходит поглощение тепла. В оболочке имеет место перетекание тепла от сжатых элементов к растянутым. При неравномерном нагреве из-за градиентов температур возникают дополнительные внутренние тепловые потоки. Происходит необратимый теплообмен с окружающей средой. Строгое решение задачи о температурном выпучивании возможно лишь термодинамическими методами. Но в работах [84, 64] показано, что критическое состояние упругой системы в рамках линейной теории устойчивости не зависит от природы исходного поля напряжений. В рамках технической теории оболочек допускается механическая трактовка термического выпучивания, в которой не делается различия между температурными напряжениями и напряжениями от внешних нагрузок [21].
Общее решение задачи термоупругости представляется в форме решения однородного уравнения для вектора перемещения, он содержит произвольные вектор и скаляр, а частное решение неоднородного уравнения, соответствующего заданному температурному полю, определяется через скалярную функцию, получившую название термоупругого потенциала- перемещений, она удовлетворяет уравнению Пуассона. Первым этапом решения задачи термоупругости является определение соответствующего температурного поля методами теории теплопроводности, систематическое изложение которых можно найти в монографиях А. В. Лыкова [48], Г. Карслоу и Д. Егера [28] и др.
Важными для практики задачами термоупругости является плоская задача термоупругости, термоупругость круглых пластин и оболочек вращения и осесимметричная задача термоупругости.
Постановка плоской задачи термоупругости имеет особенности по сравнению с плоской задачей изотермической теории упругости, связанные с характером температурного поля. Плоское деформированное состояние вызывается двумерным (плоским) температурным полем. Плоское напряженное состояние в рамках пространственной теории упругости может существовать при пространственном температурном поле, удовлетворяющем определенному условию. При произвольном плоском температурном поле в тонкой пластине возникает напряженное состояние, мало отличающееся от плоского напряженного состояния. Формулировка плоской задачи термоупругости в напряжениях должна учитывать условия однозначности перемещений; в связи с этим случай стационарного температурного поля для многосвязных плоских или цилиндрических тел требует специального рассмотрения. Н. И. Мусхелишвили [52], используя теорию функций комплексного переменного, выяснил связь многозначности перемещений с тепловыми напряжениями и установил аналогию между плоской задачей термоупругости для многосвязных тел при стационарном температурном поле и соответствующей плоской задачей изотермической теории упругости с дислокациями.
Теория термоупругости тонких пластин и оболочек, как и соответствующая изотермическая теория, основана на гипотезе о неизменяемости нормального элемента и на предположении о двумерном напряженном состоянии, аналогичном плоскому напряженному состоянию. При резко нестационарном пространственном-температурном поле закон изменения чисто тепловой деформации по толщине тонкой пластины или оболочки существенно отличается от линейного, поэтому гипотеза о неизменяемости нормального элемента в общем случае не соответствует линейному закону изменения тепловых напряжений по толщине. Применение обобщенных чисто тепловых деформаций позволяет све-
сти задачу термоупругости для тонкостенной конструкции при объемном температурном поле к двумерной задаче изотермической теории пластин и оболочек [30].
На основе современного состояния теории круглых пластин малого прогиба можно изучить особенности термоупругого деформирования пластин, обусловленного пространственным температурным полем, влияние теплового растяжения' пластины на ее тепловой изгиб, исследовать тепловые напряжения в пластинах переменной толщины, в неоднородных пластинах при изменении упругих свойств материала по радиусу и толщине и др.
При разработке теории тепловых напряжений в тонких оболочках используются результаты изотермической теории оболочек, содержащиеся в известных монографиях А. Л. Гольденвейзера [18], А. И. Лурье [46, 47], В. В. Новожилова [55] и др. Осесимметричная задача разработана наиболее полно по сравнению с другими задачами пространственной термоупругости. Характерные математические трудности, связанные с решением этой задачи, можно установить при исследовании тепловых напряжений в толстостенной сферической оболочке и в коротком сплошном цилиндре. Задача о тепловых напряжениях в толстостенной сферической оболочке является типичной задачей, решаемой с помощью классических методов разложения переменных и представления величин, входящих в граничные условия, в виде рядов по полной ортогональной системе функций. При решении задачи о тепловых напряжениях в коротком цилиндре исследуются тела вращения, для которых невозможно представить граничные значения искомых величин в рядах по полной ортогональной системе функций на всей его поверхности. Применяются в основном два метода решения такой задачи: метод однородных решений, разработанный А. И. Лурье [46] и В. К. Прокоповым, и метод суперпозиции решений для более простых граничных задач.
На основе термодинамики необратимых процессов начали развиваться исследования динамических задач термоупругости с учетом и без учета связан-
ности полей деформации и температуры: Г. Дересевич [75, 76], Р. Чедвик и И.Снеддон [71] разработали теорию плоских гармонических термоупругих волн, В.Новацкий [100-102] исследовал задачи о термоупругих сферических и цилиндрических волнах и развил общие представления о решении связанных задач термоупругости, Ф. Локкет [96], Д. Уиндл [72] изучили распространение термоупругих волн Релея, Я. С. Подстригач и Р. Н. Швец [57] изучили влияние теплопроводности и теплоотдачи на распространение волн напряжений в пластинах и оболочках и т. п. При исследовании динамических задач термоупругости учет связанности полей деформации и температуры дает возможность выявить новые качественные особенности протекания процесса деформирования. Анализ сравнительно простого решения одномерной задачи о распространении плоских гармонических термоупругих волн в неограниченном теле позволяет правильно понять основные черты термоупругих явлений при разных частотах волн и параметрах связанности материала. В качестве основных граничных связанных задач термоупругости следует отметить двумерные задачи о распространении плоских термоупругих волн вдоль поверхности полупространства и продольных термоупругих волн в длинном цилиндре. В статье Ding Haojiang [77] дано общее решение задач сопряженной термоупругости, в качестве примера решена задача о деформации полупространства, на границе которого задано только температурное поле гармоническое по времени, как функция радиуса. Г.Я. Попов [59] получил точные решения для несвязанной задачи термоупругости для конечного кругового полого цилиндра с вырезом вдоль образующей, в данной работе температурное поле считается уже известным.
Теория нелинейных колебаний пластин и оболочек - эта область представляет одну из частей общей нелинейной механики твердых деформируемых тел, или, в более широких рамках, нелинейной механики сплошных сред. Одним из важных практических приложений в этом направлении является вопрос о поведении пластин и оболочек при импульсных воздействиях. Теоретическими исследованиями Б. Боли и А. Барбера [68], X. Крауса [93] и др. установлена
13 возможность возбуждения колебаний тонкостенных элементов конструкций (балок, пластин, оболочек) посредством импульсивных тепловых воздействий. Импульсные нагрузки являются определяющими при расчете технологических операций высокоскоростной обработки металлов, взрывных камер, термоядерных установок, запроектных режимов работы атомных реакторов и других аппаратов новой техники [20]. В работе О.О. Евтушенко-[23] найдены температурное поле и термические напряжения, инициируемые в полупространстве отдельным импульсом лазерного излучения; полученные результаты численными методами соответствуют данным для лазера, работающего в режиме непрерывной генерации.
Первый обзор по проблеме исследования цилиндрических оболочек был сделан D.A. Evensen в 1974 [82]. В дальнейшем появились обзорные работы M.Sathyamorthy и К.А. Pandalai [108, 109], W. Leissa [94], M.Amabili [66]и других. В этих работах изучались системы с одной, максимум тремя степенями свободы, что явно недостаточно при изучении сложных с учетом геометрической нелинейности колебаний. Учет геометрической нелинейности в теории колебаний дает возможность выявить новые явления, которые совершенно не могут быть открыты на основе линейной теории. Основы геометрически нелинейной теории были заложены работой Маргерра [97]. Позднее Т. Карман и Г. Цзян [89] на основе уравнений Маргерра установили, что в закритической стадии нагрузка с ростом деформации падает, что противоречило известным фактам, полученным в решениях аналогичных задач для стержней и пластин, где нагрузка с ростом деформации непрерывно возрастала [21].
В 1934 г. Доннелл [79] обратил внимание на важность учета нелинейных членов в геометрических соотношениях. Он еще в 1933 г. решил задачу об устойчивости-тонкой упругой круговой цилиндрической оболочки конечной длины при кручении ее концевыми парами. Эта работа связала имя Л. Г. Доннелла с уравнениями линейной теории пологих оболочек. Л. Г. Доннелл записал для нелинейной теории пологих оболочек уравнение совместности деформации, яв-
14 ляющееся обобщением известного уравнения Максвелла. Специальная форма дифференциальных уравнений устойчивости круговых цилиндрических оболочек в перемещениях носит название уравнений Доннелла, а уравнения устойчивости пологих оболочек общего вида именуются ныне как уравнения Доннелла-Муштари. Работы Л. Г. Доннелла по оценке влияния несовершенств формы срединной поверхности оболочек на критическую нагрузку в рамках нелинейной теории были замечены специалистами [22].
Начиная с конца 50-х гг. прошлого столетия проблема динамической ус-тойчивости тонкостенных оболочек вызывает большой интерес. Связанные с нею задачи и полученные результаты обсуждались в монографиях А.С. Вольмира [13, 14], в докладах и обзорных статьях В.В.Болотина [10], В.И. Феодосьева [60], В.Л. Агамирова [1], Ю.Г. Коноплева [31]. По проблеме динамической устойчивости цилиндрических оболочек, подверженных продольному торцевому удару в работе К.А. Пандалаи [105] приведен список публикаций.
Задача устойчивости оболочек в геометрически нелинейной постановке рассматривается в работе В.А. Баженова [8], предложенная методика позволяет исследовать напряженно-деформированное состояние, устойчивость и закри-тическое поведение оболочек в процессах термосиловых нагружений. Решение задач по определению показателей температурного напряженно-деформированного состояния в оболочках произвольного очертания, выполненных из функционально градуированного материала, под действием термического нагружения, рассматривается в работах Ю.П. Артюхина1 [6], Takezono
Shigeo [111].
Проводимые исследования в области нелинейной динамики пластин и оболочек показали, что в поведении сложных нелинейных систем со многими степенями свободы при определенных условиях могут возбуждаться различные режимы колебаний: регулярные (гармонические, субгармонические, квазипериодические) и нерегулярные (хаотические). И процесс колебаний, в свою
15 очередь, может сопровождаться большим разнообразием физических явлений, к которым относятся возникновение сложных резонансов; срыв колебательного режима, приводящий систему к режиму изменения пространственно-временного состояния: стоячим либо бегущим волнам и другим явлениям, например, появлению потери устойчивости по симметричной и несимметричным формам. Возможность возникновения хаоса при изменении параметров воздействия, сценарии перехода систем из упорядоченного движения в хаотическое, интересует ученых уже не одно десятилетие. Здесь приведены некоторые работы по данной тематике.
В основе исследования динамического поведения вязкоупругой цилиндрической оболочки под действием осевого давления в статье Cheng Chang-jun [74] лежат гипотезы Кармана-Доннелла, изучаются динамические характеристики цилиндра (гиперхаос, хаос, странные аттракторы, предельные циклы). На примере динамической устойчивости оболочек с геометрическими несовершенствами в работе Е.А. Гоцуляк [19] демонстрируется состояние системы в момент потери устойчивости при динамическом нагружении и переход от док-ритического к закритическому состоянию; автор отмечает, что колебания при этом имеют хаотический характер. При диссипативном разогреве вязкоупруго-го цилиндра при установившемся движении произвольной нагрузки по его поверхности В.Г. Карнаухов [27] исследует влияние толщины цилиндра и области нагружения на температурное поле.
Интересное приложение теории нелинейных колебаний получило в статье Zeng Jing [117]. Здесь конструкция вагона вместе с двухосными тележками рассматривается как механическая система, состоящая из многих твердых тел с упругими связями и обладающая девятью-степенями свободы. Рассчитаны точки бифуркации Хопфа, предельные циклы колебаний, показатели квазипериодического и хаотического движения исследуемой динамической системы с построением фазового портрета колебаний и картины Пуанкаре. Определена скорость движения вагона, при которой возникают его хаотические колебания.
Но вопросам нелинейной: динамики пластин и оболочек, находящихся; под действием знакопеременных нагрузок и температурного поля, изучению сценариев перехода таких систем в состояние хаоса визвестной нам литературе не уделялось должного внимания- Данное направление интенсивно развивается в:научной школе, возглавляемой профессором*!*-А. Крысько;
Целью работы является построениеL математических моделей; сложных колебаний механических систем в виде гибких цилиндрических оболочек, цилиндрических панелей; на прямоугольном плане, находящихся под действием знакопеременных нагрузок и температурного поля, а также создание эффективных математических методов и алгоритмов решения таких задач.
Для достижения этой цели* необходимо решить следующие задачи:
Разработать математические модели для сложных нелинейных колебаний; гибких цилиндрических оболочек, а также цилиндрических' панелей на; прямоугольном плане, находящихся в температурном поле, при действии распределенной или локальной знакопеременной поперечной нагрузки и продольных периодических нагрузок.
Разработать эффективный алгоритм численной реализации колебательных режимов для качественного исследования сложных колебаний указанных обол очечных систем..
Провести проверку достоверности получаемых результатов и апробацию предложенного алгоритма для конкретных задач.
Изучить влияние температурного поля и знакопеременных силовых нагрузок на сложные колебания оболочечных систем в; зависимости от управляющих параметров (амплитуды* возбуждения;нагрузки, интенсивности температуры, коэффициенташинейного трения и др:);
Диссертация; состоит из введения, четырех глав, заключения, списка- используемой литературы. Ниже приведена краткая характеристика по главам.
В первой главе приводятся основные соотношения и допущения, примененные при построении математических моделей сложных колебаний замкну-
17 той цилиндрической оболочки и цилиндрической панели на прямоугольном плане, находящихся под действием температурного поля и силовых знакопеременных нагрузок. Получены уравнения в смешанной форме, представлен алгоритм решения, проведена проверка достоверности результатов.
Во второй главе предложен подход к исследованию статической устойчивости замкнутых цилиндрических оболочек, находящихся под действием постоянной во времени поперечной локальной нагрузки, распределенной в пределах полосы, и температурного поля с учетом геометрической нелинейности. Исследуется влияние интенсивности температурного поля на статическую критическую нагрузку цилиндрических оболочек, находящихся в температурном поле. Определение статических критических нагрузок для гибких замкнутых цилиндрических оболочек, находящихся в температурном поле, проводилось с помощью метода установления, впервые примененного в нелинейной динамике оболочек В.И. Феодосьевым.
В третьей главе исследуется нелинейная динамика гибких замкнутых цилиндрических оболочек, находящихся под действием поперечной знакопеременной силовой нагрузки и температурного поля.
Приведены полученные в ходе исследования сценарии перехода колебаний из гармонических в хаотические цилиндрических оболочек и панелей, находящихся в температурном поле. Исследовано влияние коэффициента линейного трения на характер колебаний замкнутых цилиндрических оболочек, находящихся в температурном поле. Для этой цели построены карты управляющих параметров. Для анализа состояния системы до и после потери устойчивости при полосовом нагружении и действии температурного поля рассматривались формы изгиба оболочки и формы поперечного сечения цилиндрической оболочки в определенный момент времени, а также исследовалась интенсивность деформации.
В четвертой главе объектом исследования являлись цилиндрическая панель и сферическая оболочка на прямоугольном плане, находящиеся под дей-
18 ствием распределенной знакопеременной нагрузки и температурного поля. Приведены основные соотношения и допущения для гибких прямоугольных в плане цилиндрических панелей, находящиеся под действием распределенной знакопеременной нагрузки и температурного поля. Проверка достоверности результатов осуществлялась сравнением полученных решений разными- методами: методом Бубнова-Галеркина и методом конечных разностей с-аппроксимацией 0(h2). Проводилось исследование влияния интенсивности температурного поля на поведение гибких прямоугольных в плане цилиндрических панелей, находящихся в температурном поле.
Список используемой литературы включает 118 наименований.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Получены математические модели сложных нелинейных колебаний гибких цилиндрических оболочек и цилиндрических панелей на прямоугольном плане, отличающиеся учетом совместного влияния силовых знакопеременных нагрузок и температурного поля. Это позволяет определять зоны хаотических колебаний и выбирать управляющие параметры (интенсивность температуры, амплитуду возбуждения нагрузки, коэффициент линейного трения и др.) для предотвращения неблагоприятного воздействия этих колебаний.
На основе полученных математических моделей разработаны рабочие алгоритмы и комплекс программ по исследованию сложных нелинейных колебаний оболочечных систем, которые позволяют исследовать задачи статики и динамики с произвольными граничными и начальными условиями.
Разработан эффективный метод исследования сложных колебаний на основе метода Бубнова-Галеркина в высших приближениях. В результате численного эксперимента было установлено, что сходимость метода существенно зависит от параметров кривизны оболочки и интенсивности параметра температуры. С увеличением этих параметров сходимость ухудшается.
Выявлено, что учет влияния температурного поля существенно меняет картину колебаний, имеются участки на картах управляющих параметров, ко-
19 торым соответствует бурный рост прогиба, что приводит систему к жесткой потере устойчивости.
5. Впервые определены критические нагрузки и исследовано напряженно-
деформированное состояние оболочки при совместном действии температурно
го поля и локальной знакопеременной нагрузки, а также исследована зависи
мость статической критической нагрузки от интенсивности температурного
поля для ряда значений геометрических параметров *, > прямоугольных в плане панелей.
Исследована сходимость метода Бубнова-Галеркина в высших приближениях и метода конечных разностей с аппроксимацией ' при исследовании сложных колебаний цилиндрических панелей и пластинок при совместном действии температурного поля и силовых нагрузок.
Впервые исследован вопрос влияния величины коэффициента линейного трения на сложные колебания гибких цилиндрических оболочек и цилиндрических панелей на прямоугольном плане при совместном действии температурного поля и локальной знакопеременной нагрузки. Показано, что увеличение значения коэффициента линейного трения приводит к уменьшению зон хаотических колебаний.
Определен характерный сценарий перехода колебаний в хаос при совместном влиянии силовых знакопеременных нагрузок и температурного поля, выяснено, что он совпадает с модифицированным сценарием Рюэля-Такенса-Ньюхауза, который был предложен В.А. Крысько, И.В. Папковой.
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением известных численных методов, методов математического и компьютерного моделирования, методов качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики, сравнением результатов, полученных принципиально разными методами (методом конечных разностей и методом Бубнова-Галеркина). Результаты, полученные автором диссертации для статических задач, без учета темпе-
20 ратурного поля, совпадают с уже известными численными результатами А.В. Кармишина [26], численными и экспериментальными результатами Н.И. Ободан [3].
Практическая ценность и реализация результатов. Полученные математические модели позволяют решать широкий класс задач динамики и статики геометрически нелинейных цилиндрических оболочек, а также цилиндрических панелей на прямоугольном плане, находящихся под действием знакопеременных нагрузок и температурного поля. Разработанные алгоритм и комплекс программ позволяют исследовать нелинейные колебания оболочечных систем в зависимости от управляющих параметров (амплитуды и частоты возбуждения нагрузки, интенсивности температуры, коэффициента линейного трения и др.). Работа выполнена при финансовой поддержке гранта 2006-2008 гг. РФФИ № 06-08-01357 и гранта СГТУ 1.3.08.2008 г.
Результаты использовались в совместных работах с Институтом проблем точной механики и управления РАН (г. Саратов), что подтверждено актом о внедрении.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на 7-й Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2006 г.), на Третьей и Четвертой Всероссийских научных конференциях с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2006, 2007 г.), International Conference on Engineering Dynamics (Carvoeiro, Algarve, Portugal, 2007), на Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ-2007», посвященном 150-летию со дня рождения академика A.M. Ляпунова (Санкт-Петербург, 2007 г.), III Международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов «Информатика и компьютерные технологии-2007» (Донецк, 2007), 9th Conference on Dynamical Systems Theory and Applications (Lodz, Poland, 2007).
В законченном виде диссертационная работа докладывалась на научном
21 семинаре «Численные методы расчета пластин и оболочек» кафедры «Высшая математика» СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А.Крысько (2008), на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В.Б.Байбурина (2008).
Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в работах [36-42, 90-92].
На защиту выносятся следующие результаты и положения:
Предложенные математические модели колебательных режимов гибких цилиндрических оболочек, цилиндрических панелей на прямоугольном плане позволяют установить зависимость характера колебаний от воздействия распределенной* или локальной знакопеременной силовой нагрузки и температурного поля.
Предложенные методы и алгоритмы позволяют проводить анализ сложных колебаний о бо л очечных систем в виде гибких цилиндрических оболочек и цилиндрических панелей, находящихся в температурном поле под действием знакопеременных нагрузок.
Сценарий перехода гармонических колебаний оболочечных систем, находящихся в температурном поле под действием знакопеременных нагрузок, в хаотические колебания дают возможность качественно исследовать переходные процессы при смене режимов колебаний.
Карты динамических режимов в зависимости от управляющих параметров (амплитуды и частоты возбуждения нагрузки, интенсивности температуры, коэффициента линейного трения и др.) позволяют регулировать характер колебаний и дают возможность выводить систему из зон хаоса с помощью управляющих параметров.
Вариационная формулировка задачи - вариационный принцип
Вариационные методы имеют большое значение в механике сплошных сред, они находят применение для построения, как разрешающих уравнений, так и процедур численного решения. С помощью вариационных методов можно построить наилучшие в энергетическом плане приближения к решению задачи, единообразно и последовательно провести упрощения всех соотношений при построении приближенной модели [3].
В основе вариационного подхода к задачам механики оболочек лежит общий принцип минимума полной энергии системы. Полная энергия оболочки W складывается из потенциальной энергии деформации П и работы внешних поверхностных и контурных нагрузок А.
В соответствии с принципом возможных перемещений [25] вариация полной энергии SW деформированной оболочки равна нулю в состоянии равновесия: SfV = SA + m = 0 (1Л6) Определим вариацию потенциальной энергии деформации оболочки 5П. Величина П представляет собой сумму энергий, соответствующих деформации в срединной поверхности Пс и деформации изгиба Пи. Вариация потенциальной энергии, возникающей вследствие деформации изгиба: Ши = Jl(MuSZ,+M22Sz2 + 2MuSZu)dS (1.17) п Здесь и далее ds = dxdy, Q - область интегрирования. Вариацию энергии, которая соответствует деформации срединной поверхности, выпишем: 5ПС = \\{Тидєи + Т228є22 +TnSsn)ds (1.18) п Представим (1.18) следующим образом Шс =Slf(Tnen +Т22є22 +Tusn)ds- \ї(єи$Ги +є22Ж22 +en5TX2)ds (1.19) n n
Важным последствием преобразования (1.18) в (1.19) является введение вариации усилий в срединной поверхности, что приведет в итоге к вариационному уравнению смешанного типа. В нем будут варьироваться прогиб и функция усилий в срединной поверхности. Для цилиндрической оболочки: кх = О, р = 0.
Для краткости черточка над безразмерными величинами в уравнении (1.28) опущена. В диссертации рассмотрен один тип краевых условий — шарнирное опи-рание на гибкие в касательной плоскости нерастяжимые ребра [87]: для цилиндрических оболочек: w = Mx=N =є =0, при х = 0;1, у = 0;27г (1.29) для прямоугольных в плане панелей: v J w = Mx=Nx=sy=0,(x r y), при х = 0;1, у = 0;1 . Следует также присоединить начальные условия в момент времени =0: w =wn, v =0 (1.30) Іґ=0 1(=0 ч у
Так как в общем случае найти точное решение задач нелинейной динамики оболочек, в частности, решение уравнений устойчивости связано с непреодолимыми математическими трудностями, то большинство результатов в области устойчивости тонких оболочек получено различными приближенными методами. Метод Бубнова-Галеркина основан на свойстве ортогональных функций. Если имеется семейство непрерывных в некоторой области S функций, интеграл от произведения любых двух различных функций которого равен нулю, то функции образуют ортогональную систему в области S. Функции w и F, являющие решением системы (1.28) приближенно аппроксимируют аналитическим выражением, чаще всего рядом следующего вида: =ІЖ, азі) где / - координатные функции, удовлетворяющие определенным условиям на границе и внутри области. А выбирают эти функции таким образом, чтобы по возможности лучше отобразить ожидаемую потерю устойчивости.
Функция, тождественно равная нулю, будет ортогональной ко всем функциям ft, их производным или операторам от ft. Если выражение w7 представить в виде ряда (1.31) и подставить в уравнение L(w) = 0, то левая часть уравнения будет уже равна какой-то функции L(Wj). Требование, чтобы функция Wj являлась точным решением, равносильно требованию ортогональности L(w ) ко всем функциям или операторам от этих функций. Поэтому можно допустить, чтобы полученная функция была ортогональна хотя бы к ограниченному классу функций, например /, составляющих ряд (1.31), т.е. условие ортогональности имеет вид: Д , )/ = 0 (1-32) S а в ряде (1.31) удерживают п членов.
Условие (1.32) после выполнения интегрирования приводят к системе однородных линейных алгебраических уравнений. А так как у этой системы существует нетривиальное решение, то возможно определить критические нагрузки.
Функции w и F, являющиеся решениями (1.28), приближенно аппроксимируем выражением, в виде произведения функций, зависящих от времени и от координат.
Статическая устойчивость замкнутых цилиндрических оболочек при действии локальной нагрузки и температурного поля
В общей форме устойчивость можно определить, как свойство системы мало отклоняться от исходного двилсения или равновесия при действии малых возмущений. Но при одной- и той же внешней нагрузке и одних и тех же условиях закрепления упругая система может иметь несколько различных положений равновесия. Чрезвычайно важно подчеркнуть, что эта множественность положений равновесия может быть обнаружена только в том случае, когда уравнения равновесия составляются для деформированной, отклоненной от своего исходного ненагруженного положения системы. В линейной теории упругости уравнения равновесия составляют для недеформированной системы, т. е. используют «принцип неизменности начальных размеров» сопротивления материалов. В этом случае при заданных условиях закрепления и заданных внешних нагрузках всегда будет обнаружено только одно единственное положение статического равновесия упругой системы [2].
Основная геометрическая особенность оболочки состоит в том, что при надлежащем закреплении ее краев она не допускает даже бесконечно малых чисто изгибных деформаций без растяжения-сжатия ее срединной поверхности. Например, замкнутую выпуклую оболочку или закрепленную по обоим торцам цилиндрическую оболочку нельзя деформировать, не вызывая удлинений и сдвигов в срединной поверхности, причем эти удлинения и сдвиги будут иметь тот же порядок, что и поперечные прогибы оболочки.
Эта геометрическая особенность оболочек приводит, во-первых, к тому, что формулы для критических нагрузок оболочек имеют более сложную структуру по сравнению с формулами для критических нагрузок стержней и пластин: в них входят H3ra6HaHt жесткость оболочки и жесткость на растяжение-сжатие. Во-вторых, в результате этой особенности закритическое поведение оболочек , качественно отличается от закритического поведения стержней и пластин вблизи критических точек бифуркации.
Для оценки устойчивости системы используется и динамический критерий. Согласно этому критерию исходная форма движения или равновесия сие 55 темы устойчива, если малые возмущения вызывают малые отклонения системы от этой формы. Неустойчивой системы будет в том случае, если даже сколь угодно малые возмущения вызывают конечные отклонения системы от ее исходной формы. Практическое использование динамического критерия при оценке устойчивости системы сводится к интегрированию уравнений движения системы и исследованию- поведения их во времени. Если эти решения во времени остаются ограниченными, то-система считается устойчивой, и если нет -неустойчивой.
Определение критических нагрузок для гибких замкнутых цилиндрических оболочек, находящихся в температурном поле, будем проводить с помощью метода установления впервые примененного в нелинейной динамике оболочек В.И.Феодосьевым [62].
В этом методе, который В.И. Феодосьев называет вариационно-шаговым методом, предлагается рассматривать деформацию системы, как процесс, независимо от того быстро или медленно изменяются внешние силы. Для этого вводится независимое переменное — время и составляются уравнения движения [61]. Сейчас мы называем данный метод итерационным методом решения систем нелинейных алгебраических уравнений, где каждый шаг по времени является новым приближением к точному решению задачи. В методе установления решение системы уравнений в частных производных сводится к решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая изначально является линейной по времени. Зависимость напряжений от деформаций задается соотношениями упругости или пластичности, запишем их G-G{S). Деформации в свою очередь, определяются соотношениями є = s(ii,v,w). В случае статического нагружения можно принять, что силы меняются пропорционально, времени: Коэффициент пропорциональности должен быть взят достаточно малым. При быстром изменении сил или при резком изменении прогибов, связанных с потерей, устойчивости, в системе должны возникать затухающие колебания. Количественная оценка получается введением в уравнения членов, содержащих скорость деформации. Если не учитывать ко 56 эффициент демпфирования, картина деформации может быть искажена затухающими колебаниями, затрудняющими анализ результатов расчета.
Достоинства метода установления заключаются в том, что полностью стирается граница между линейными и нелинейными системами, между малыми и большими перемещениями, между статикой и динамикой, и почти нет никакой разницы между задачами упругости и пластичности [62].
Важным вопросом решения стационарных задач методом установления является его сходимость, а величина є (коэффициент линейного трения) существенно влияет на число итераций и характер сходимости, что и отражено на рис.2.1,а,б, где приведены диаграммы зависимости прогиб-время для цилиндрической оболочки.
При коэффициенте линейного трения - = 1 - диаграмма на рис. 2.1,а не происходит установления колебаний довольно длительное время, соответственно количество итераций, необходимых для получения решения с абсолютной погрешностью є = \w(tt)- w{tt_x)\ 10"5 будет значительным.
Исследование влияния интенсивности температурного поля при действии знакопеременной нагрузки на устойчивость системы
Рассмотрим, как реализуются основные характеристики в некоторых контрольных точках, соответствующих состоянию оболочки до и после потери устойчивости.
Для этого воспользуемся зависимостью wmax(q0) для каждого фиксированного значения С и зависимостью wmax (С) для некоторых фиксированных значениях q0.
Изучение зависимостей wmax (С) для каждого С позволяет установить зоны потери устойчивости системы при воздействии температурного поля а также в его отсутствие. С помощью «шкал» характера колебаний оболочки можно проследить процесс перехода колебаний от гармонических в хаотические и определить границы значений, при которых температурное воздействие приводит к необратимым изменениям в- оболочке. Данная «шкала» представляет собой фрагмент «карты» управляющих параметров, узкую полоску, вырезанную на частоте собственных колебаний- при изменении значений амплитуды нагрузки q0. Проанализируем явление стабилизации процесса хаотических колебаний- и потери устойчивости цилиндрической оболочки в зависимости от параметра С. Зафиксируем значение частоты вынуждающей силы со =со0 =26.176, то есть колебания совершаются на собственной частоте, и выведем «шкалы» характера колебаний, построенные на основе спектра мощности. На рис.3.1 приведены «шкалы» динамического режима системы при изменении значений, параметра амплитуды нагрузки 0 q0 0.4. На рис.3.1,а представлена «шкала» при отсутствии температурного воздействия, то- есть, параметр температуры С = 0, на рис.3.1,6 - амплитуда температуры была зафиксирована и принята С = 10, ана рис.3.1,в- С = 50. Из. данного рисунка видно, что при увеличении параметра температуры, и одновременно параметра1 нагрузки, уменьшается зона гармонических колебаний, и соответственно увеличивается зона хаоса, пограничных зон перехода в хаос, то есть зон бифуркаций нет, а присутствуют зоны суперпозиции частот. a) 1 [HZ 5) M H II 1 c=o Шкалы, отображающие поведение системы при изменении q0
Из зоны суперпозиции частот «шкалы», представленной на рис.3.1,а, зафиксируем q0 = 0.24, исследуем поведение системы при фиксированном q0 и изменении параметра температуры 0 С 50, график и «шкала», характеризующие состояние системы при данных условиях приведены на рис.3.2. Условные обозначения, приведенные на этом рисунке (рис.3.2), остаются такими же по мере изложения материала.
Для анализа состояния системы в точках А\ и А2 соответственно до и после потери устойчивости при полосовом нагружении и действии температурного поля рассматриваются формы изгиба оболочки и формы поперечного сече 79 ния цилиндрической оболочки в определенный момент времени, построены следующие характеристики, отраженные в табл.3.4: сигнал w(t;x0;y0), фазовый портрет w(V), спектр мощности S(co), сечение Пуанкаре, w,(w,+7.). В точке А1 в сечении Пуанкаре наблюдается группа из четырех точек, а в фазовом портрете две петли, поэтому можно говорить о присутствии в этой точке бифуркации Хопфа.
Сечение 1-І было получено следующим образом: цилиндрическая поверхность рассекалась плоскостью, проходящей через ось цилиндра, на две равные половины. Форма изгиба оболочки приобретает локальный характер и формируется одна вмятина под полосой давления. При переходе системы в состояние, соответствующее точке А2 на графике, форма изгиба оболочки изменяется, и в фазовом портрете и на сигнале хаотические колебания, произошла потеря устойчивости системы при незначительном увеличении параметра температуры. В поперечном сечении цилиндрической оболочки в точке А2 наблюдается увеличение числа полуволн, прогибы увеличиваются и оболочка выпучивается в той зоне, где нагрузка не приложена, то есть система, находится в состоянии хаоса.
Точка на сигнале А в табл.3.4. обозначает, при каком значении времени t зафиксированы формы изгиба оболочки и формы поперечного сечения. Как видно из табл.3.4, по основным характеристикам, определяющим являются колебания хаотическими или периодическими, можно четко установить состояние системы в данный момент времени.
Исследование влияния интенсивности температурного поля на статическую критическую нагрузку гибких прямоугольных в плане цилиндрических панелей, находящихся в температурном поле
Рассмотрим гибкую прямоугольную в плане цилиндрическую панель, находящуюся в температурном поле. Цилиндрическая панель и сферическая панель на прямоугольном плане представляет собой замкнутую трехмерную область пространства R3 и в прямоугольной системе координат запишется в виде: Q = {х,у,z (х,у) є[0;а]х[0;b],—h z h}. Температурное поле Г задается- по следующему закону: T(x,y) = Csm(72x)sm(7iy) . Данный закон распределения-температуры, по поверхности удовлетворяет линейному уравнению теплопроводности.
Панель-имеет следующее закрепление: шарнирное опирание по торцам с присутствием на торцах гибких ребер, поэтому присоединим граничные условия: w = Мх = Nx =єу= 0, (х - у) и начальные условия w/=o = w0, w(_0 = 0.
В результате численного эксперимента было установлено, что сходимость метода существенно зависит от параметров кх, ку. С увеличением этого параметра сходимость ухудшается, т.е. необходимо брать большее число членов ряда. Для рассмотренных в работе предельных значениях кх=ку=4&; совпадение прогибов и.моментов происходит при «=36. Все расчеты проводились в этом приближении.
При увеличении параметра С в формуле Т{х, у) = С s,m{nx) sin( y), которая задает температурное поле, где находится гибкая прямоугольная в плане цилиндрическая панель, характер потери устойчивости существенно изменяется. Для определения влияния интенсивности температурного поля на статиче 100 скую критическую нагрузку прямоугольных в плане цилиндрических панелей и сферической оболочки, были построены диаграммы (рис.4.4), на которых показано, что при действии температурного поля значения критические нагрузки снижаются.
Для исследования поведения пластины при действии поперечной знакопеременной нагрузки в температурном поле были использованы следующие характеристики: графики зависимости wraax(#0): сигнал w{t); фазовый портрет w(w ); спектр мощности S(cop); отображение Пуанкаре wt(wt+T). Данные характеристики достаточно полно описывают поведение системы.
Для некоторых значений температуры характеристики приведены в табл. 1. Графики были построены для пластины, колеблющейся на собственной частоте у0=5.9, нагрузка изменяется по следующему закону q = qQ sin((op t), cop- частота вынуждающей силы, q0 =60 - амплитуда вынуждающей силы. При данном значении амплитуды нагрузки, без действия температурного поля, колебания носят гармонический характер.
1 .Первая и вторая строки таблицы характеризуют гармонические колеба ния, С изменяется от 0 до 0.06.
2.При увеличении значения температуры, С =0.062 появляется первая независимая частота w,=0.83, она приводит к образованию в отображении Пуанкаре одной отдельно отстоящей точки и группы точек.
3. Дальнейшее увеличение значения температуры С =0.075 приводит к появлению второй частоты У2=5.07, которая является линейной комбинацией собственной частоты колебаний и первой независимой частоты аг=сой-со =5.9-0.83=5.07.
4. При С =0.08 помимо уже существующих частот со0, а }, со2 присутствует еще одна частота со3=2сох=\.66, в сечении Пуанкаре образуется странный аттрактор.
5. Появляющиеся частоты при С =0.085, С =0.098 являются линейными комбинациями уже существующих частот.
6. Приї С =0.15 сечение Пуанкаре начинает изменять свою форму, появляется большое количество частот и
7. С=0.2 странный аттрактор разрушается, а при С=1 и при больших значениях остается множество точек - хаос.
Аттракторы, отличные от состояния равновесия и строго периодических колебаний, получили название странных аттракторов. В численном эксперименте для определения хаотического поведения динамической системы существуют определенные характеристики хаотических колебаний. Отметим некоторые из них [35].
1. Сложный непериодический характер временной эволюции динами ческих переменных: w(t), F(t), Mx(t), M}(t), Ny(t), Nx(t) и др. Если детальные исследования этих функций показывают, что это не переходный процесс, который может иметь место на относительно длительном интервале времени, а стационарные (установившиеся) колебания, если эти колебания не имеют периода на больших по сравнению с некоторым характерным временем системы временах и выглядят как реализация «случайного». процесса, это обстоятельство может служить признаком возникновения в системе странного аттрактора.
2. Характерной особенностью хаотических колебаний является непре рывная зависимость спектральной плотности мощности от частоты в конечном диапазоне частот. Но с рождением странного аттрактора, то есть при возникно вении динамической хаотичности , процесс выравнивания спектра с изменени ем параметра системы настолько интенсифицируется, что этот эффект нельзя объяснить только флуктуациями.
Рассмотрим гибкую пластинку, которая представляет собой замкнутую трехмерную область пространства R3 в системе координат и определяется как трехмерная область Q = {x,y,z\(х,у)є[0;а]х[0;b],-h z h}. Пластинка находится в температурном поле, на её поверхность действует постоянная знакопеременная нагрузка. Температурное поле Г имеет следующий вид: T(x,y) = Csm(mc)sm(7ry). При исследовании поведения пластины будем рассматривать следующие характеристики: графики зависимости wmax(q0) сигнал w(t); фазовый портрет w(w ); спектр мощности S(a)p). Данные характеристики достаточно полно описывают поведение системы.
Графики были построены для пластины, колеблющейся на собственной частоте й)0=5.9, нагрузка изменяется по следующему закону q = q0sin((opt), сор частота вынуждающей силы. Зафиксируем значение амплитуды вынуждающей силы 70=12, и будем изменять интенсивность температуры. На рис.4.5 приведены характеристики для некоторых значений амплитуды температуры.
