Содержание к диссертации
Введение
1 Основные методы и результаты моделирования напряженно-деформированного состояния пространственно армированных оболочечных конструкций 10
1.1 Объект моделирования 10
1.2 Основные модели деформирования оболочечных конструкций из полимерных композиционных материалов 17
1.3 Анализ основных методов решения задач статики, колебаний и устойчивости оболочечных конструкций 21
1.4 Постановка задач исследования. Выбор метода исследования... 31
2 Модель деформирования оболочек вращения с произвольной схемой армирования 33
2.1 Вариационная постановка задачи 33
2.2 Кинематические и статические гипотезы 38
2.3 Дискретизация задачи и разрешающие уравнения статического деформирования и свободных колебаний оболочки 42
2.4 Разрешающие уравнения для линейной задачи устойчивости при осесимметричном докритическом состоянии 57
2.5 Модель деформирования трехслойной оболочки с легким заполнителем 63
2.6 Выводы по главе 67
3 Оценка погрешности численно-аналитического решения краевых задач статики, устойчивости и колебаний оболочек вращения 69
3 Л Теоретическая оценка погрешности 69
3.2 Оценка точности численного решения задач статического деформирования на контрольных примерах 78
3.3 Оценка погрешности расчета собственных колебаний 86
3.4 Оценка погрешности расчета устойчивости 89
3.5 Выводы по главе 91
4 Оценка чувствительности модели к изменению структурных параметров 92
4.1 Чувствительность модели составной и подкрепленной оболочки к способу моделирования условий сопряжения 92
4.2 Чувствительность модели гладкой эллипсоидальной оболочки к углу спиральности 102
4.3 Чувствительность собственных частот цилиндрической оболочки к варьированию конструктивных параметров 103
4.4 Чувствительность к жесткости поперечного силового набора подкрепленных цилиндрических оболочек 106
4.5 Чувствительность критических нагрузок гладкой цилиндрической оболочки к варьированию структурных параметров 118
4.6 Оценка достоверности моделирования собственных колебаний двуслойной оболочки 119
4.7 Выводы по главе 124
Заключение 126
Библиографический список
- Основные модели деформирования оболочечных конструкций из полимерных композиционных материалов
- Дискретизация задачи и разрешающие уравнения статического деформирования и свободных колебаний оболочки
- Оценка точности численного решения задач статического деформирования на контрольных примерах
- Чувствительность модели гладкой эллипсоидальной оболочки к углу спиральности
Введение к работе
t^ Актуальность темы. При создании новых силовых конструкций машин и оборудования уже на ранних стадиях проектирования для принятия проектно-конструкторских решений требуется информация о влиянии конструктивных параметров на прочностные характеристики. Эта информация в отсутствие опытных данных может быть получена только с помощью теоретических моделей. Разработка перспективных видов силовых конструкций зависит от наличия опережающих разработок эффективных средств их математического моделирования.
Среди силовых конструкций из полимерных композиционных материалов приобретают распространение подкрепленные оболочечные конструкции с пространственными схемами армирования, з том числе со спиральным армированием волокном под ненулевыми углами ко всем трем базисным векторам поверхности оболочки. Традиционные средства расчета таких конструкций основываются на использовании экспериментально v измеренных характеристик материалов в осях, связанных с линиями кривизны, что ограничивает возможность их применения на ранних стадиях проектирования.
Поэтому актуальна разработка теоретических моделей статического деформирования, устойчивости и колебаний спирально-армированных оболочек вращения из полимерных композиционных материалов, учитывающих особенности физико-механических свойств этих материалов, применительно к новым видам оболочечных конструкций. ^ Целью данной работы является разработка средств математического моделирования статического деформирования, колебаний и устойчивости пространственно армированных составных и подкрепленных оболочек при силовом и температурном воздействии применительно к ранним стадиям проектирования оболочечных силовых конструкций.
Идея работы заключается в построении модели деформирования на основе кинематических гипотез типа Кирхгофа-Лява и Тимошенко с ^ использованием вариационных принципов теории оболочек, причем в направлении меридиана перемещения представляются в форме кубического эрмитова сплайна с возможностью разрыва производных в местах стыка разнородных частей, а в окружном направлении — в виде тригонометрических рядов Фурье.
Для достижения цели работы поставлены и решены следующие задачи: -разработка методики вычисления интегральных характеристик жесткости неортотропной пространственно армированной оболочки; -разработка модели деформирования оболочки вращения, основанной на методе конечных элементов для дискретизации по меридиану и разложении в ряд Фурье по окружности; -обоснование сходимости численно-аналитического решения краевых задач статики, устойчивости и колебаний оболочек вращения; -программная реализация методики численно-аналитического моделирования статического деформирования, устойчивости и малых колебаний подкрепленных и составных оболочек вращения с произвольными схемами армирования при силовых и термических воздействиях; -исследование свойств разработанных математических моделей на контрольных примерах.
Достоверность результатов обеспечивается использованием апробированных математических моделей упругого деформирования, колебаний и линейной устойчивости рассматриваемых конструкций, методов численного решения краевых задач; сравнением результатов тестовых расчетов с аналитическими решениями соответствующих задач и исследованием сходимости итерационных последовательностей; сопоставлением отдельных расчетно-теоретических результатов с известными экспериментальными данными.
Научная новизна работы определяется -разработкой математической модели для расчета статики, колебаний и устойчивости составных и подкрепленных пространственно армированных неортотропных оболочек вращения; -полученной оценкой порядка аппроксимации численного решения в ^ местах стыка разнородных частей оболочки; -полученными с использованием разработанной модели оценками влияния конструктивных параметров на напряженно-деформированное состояние, частоты свободных колебаний и критические нагрузки потери устойчивости новых оболочечных конструкций.
Методы исследования включают метод конечных элементов для построения дискретной модели, методы линейной алгебры для решения алгебраических задач с матрицами высокого порядка, методы функционального анализа для оценки порядка сходимости, методы объектно-ориентированного анализа и проектирования для разработки пакета программ математического моделирования.
Практическая значимость состоит в разработке пакета программ для математического моделирования статического деформирования, устойчивости и свободных колебаний конструкций, содержащих в качестве элементов пространственно армированные оболочки вращения, что позволяет проводить параметрическое исследование разрабатываемой конструкции в целях выбора рациональных значений проектных параметров.
Работа выполнялась в соответствии с Целевой комплексной программой «Интеграция» Министерства образования РФ (проект Р-0045) и с планом НИР Новокузнецкого филиала-института Кемеровского государственного университета.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы ' докладывались и обсуждались на 4-й Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2001 г.); на XXXI Уральском семинаре: «Механика и процессы управления» (Екатеринбург, 2001 г.); на II Региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов (Новокузнецк, 2002 г.); на тринадцатой научно-практической конференции по проблемам механики и машиностроения (Новокузнецк, 2003 г.); на 5-й Всероссийской научной '.* конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2002 г.); на региональной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука. Техника. Инновации» (Новосибирск, 2002 г.); на XII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. (Москва-Владимир, 2003 г.); на III Региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов (Новокузнецк, 2003 г.); на XXIII Российской школе по проблемам науки и технологий (Екатеринбург, 2003 г.); на Всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Новосибирск, 2003 г.); на 6-й Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2003 г.); на IV Региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов (Новокузнецк, 2004 г.); на 4-й Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии в экономике, науке и образовании» (Бийск, 2004 г.); на 12-й Международной научной конференции «Современные проблемы электрометаллургии стали» (Челябинск, 2004 г.); на 7-й Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2004 г.); на V Региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов (Новокузнецк, 2005 г.).
Публикации: Основные положения диссертации опубликованы в 19 работах.
Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 113 наименований и 1 приложения. Общий объем диссертации без приложения составляет 137 страниц, в том числе 61 рисунок и 5 таблиц.
Первая глава содержит аналитический обзор основных моделей статического деформирования, колебаний и устойчивости оболочек вращения, с учетом их структурной неоднородности, анизотропии конструкционных материалов, силовых и термических воздействий. Приводится анализ численных и численно-аналитических методов, используемых для решения задач математического моделирования оболочек при расчетах их прочности.
Во второй главе разработана математическая модель деформирования упругих пространственно армированных оболочек вращения, подкрепленных шпангоутами, основанная на полуаналитическом методе конечных элементов в варианте метода перемещений. С использованием данной модели разработаны частные методики решения задач статики, колебаний и устойчивости этих конструкций, а также трехслойных оболочек вращения с легким заполнителем. Решения краевых задач представлены эрмитовым сплайном третьего порядка вдоль меридиана и разложением в тригонометрические ряды по окружности.
В третьей главе теоретически и на тестовых примерах оценивается погрешность численно-аналитического решения краевых задач статики, устойчивости и колебаний оболочек вращения. Получена теоретическая оценка сходимости предлагаемого метода конечных элементов на однородном элементе и в узле на стыке двух разнородных частей оболочки. Сходимость на гладких участках оболочки обосновывается применением известной теоремы о порядке аппроксимации метода конечных элементов, а для узла, соединяющего разнородные части оболочки, порядок аппроксимации получен теоретически непосредственной оценкой невязки в этом узле. Найдено, что использование сплайна, гладкого по всей длине оболочки, не позволяет учесть краевой эффект вблизи стыка разнородных участков, а предложенная методика разрыва производных устраняет этот недостаток. Анализируется точность предлагаемого решения на основе сравнения результатов расчета контрольных примеров по сравнению с точными аналитическими решениями и численными решениями, полученными известными методами.
В четвертой главе исследуется чувствительность предложенной модели к варьированию параметров моделируемой конструкции и к способу учета условий сопряжения разнородных участков. Проведен сравнительный анализ перемещений и напряжений, рассчитанных по длине оболочки в узле на стыке разнородных частей оболочки с помощью построенной модели и традиционным способом. Проведено параметрическое исследование переме- щений, напряжений и частот и форм свободных колебаний в цилиндрической оболочке в зависимости от угла армирования материала. Исследовано различие в частотах и формах собственных колебаний цилиндрической оболочки, рассчитанных на основе теорий Кирхгофа-Лява и Тимошенко, в зависимости от толщины оболочки и модуля поперечного сдвига материала. С помощью построенной модели и разработанного пакета программ было произведено параметрическое исследование статического осесимметричного напряженно-деформированного состояния, устойчивости и колебаний конструкций типа цилиндрических оболочек. Для трехслойной цилиндрической оболочки с легким заполнителем и поперечным силовым набором найдены зависимости перемещений, напряжений и критических нагрузок от ширины сечения промежуточных шпангоутов и угла армирования несущих слоев. Исследована устойчивость цилиндрической армированной многослойной оболочки, подкреплённой шпангоутами. Проведено параметрической исследование зависимости критической силы от угла армирования и толщины оболочки. Для двуслойной цилиндрической оболочки были получены частоты и формы собственных колебаний. Результаты решения обосновываются сопоставлением с экспериментальными данными.
В заключении приведены выводы и основные результаты работы.
Результаты диссертации (методика математического моделирования и пакет программ) используются в Центральном научно-исследовательском институте специального машиностроения (г. Хотьково) и на ОАО «ЗСМК» (г. Новокузнецк), что подтверждено актами и справками о внедрении, приведенными в приложении. Основные результаты работы могут представить интерес для предприятий, занимающихся проектированием и исследованием машиностроительных конструкций типа слоистых оболочек вращения, в том числе пространственно армированных.
Основные модели деформирования оболочечных конструкций из полимерных композиционных материалов
Математические модели оболочечных конструкций, используемые при их проектировании, строятся в форме краевых задач различных теорий оболочек [6, 28, 36, 71, 102]. В рамках этих теорий оболочкой считается пространственное искривленное тело, толщина которого мала по сравнению с другими его размерами. Основы классической теории оболочек были заложены П.Лапласом, Г.Кирхгофом и А.Лявом. Впоследствии в развитие теории оболочек внесли большой вклад В.З.Власов, Б.Г.Галеркин, А.Л. Гольденвейзер, А.И. Лурье, В.В.Новожилов и др. Из числа иностранных ученых, внесших большой вклад в построение теории оболочек, следует отметить Г.Рейсснера, Э.Мейсснера, Ф.Дишингера, В.Флюгге, Л.ЛДоннелла, Э.Рейсснера, А.Э.Грина, В.Церна, В.Т.Койтера [71]. Различные варианты классической теории различаются способом приведения задачи трехмерной теории упругости к двумерной и учетом либо отбрасыванием заведомо малых величин.
В разработку теории анизотропных оболочек наиболее существенный вклад внесли С.А. Амбарцумян, В.В. Васильев, Ю.В. Немировский, В.В. Новожилов. Уточненные варианты для ортотропных оболочек конечной сдвиговой жесткости разработаны Я.М. Григоренко. Слоистые оболочки с легким заполнителем рассматривались Э.И. Григолюком и его школой. Модели многослойных структур с чередующимися жесткими и податливыми слоями построены В.В. Болотиным и Ю.Н. Новичковым.
Классические теории оболочек были разработаны применительно к конструкциям из изотропных однородных материалов. Известны два подхода к построению теории оболочек [102]: интегрирование по толщине уравнений трехмерной теории упругости и введение кинематических и статических гипотез о распределении деформаций и напряжений по толщине.
При построении теории неоднородных оболочек вращения отдают предпочтение методу гипотез. Классическая гипотеза Кирхгофа-Лява, в основу которой положено предположение о том, что после деформации нормаль к координатной поверхности оболочки остается нормальной к деформироваа-ной координатной поверхности, прямолинейной и не изменяет своей длины, используется для тонких оболочек [36, 71, 102]. В рамках этой гипотезы невозможно учесть деформации поперечного сдвига, которые существенны для оболочек средней толщины и оболочек, изготовленных из анизотропных композиционных материалов. В уточненной теории типа Тимошенко [6, 36] учитывается угол поворота нормали относительно деформированной координатной поверхности, принимается, что касательные напряжения поперечного сдвига или соответствующие деформации изменяются по толщине оболочки по заданному закону (приближенно по закону квадратной параболы [6]). Иногда принимается также упрощающее предположение о пренебрежении нормальным напряжением на площадках, параллельных срединной поверхности. В [6] рассмотрена также итерационная теория, в основе которой лежат предположения о том, что касательные напряжения поперечного сдвига и нормальное напряжение не отличаются от соответствующих напряжений, найденных при использовании классической теории.
Для расчета толстой оболочки требуется учет нормальных напряжений и деформации поперечного обжатия. В этом случае допустимо использовать лишь аппарат трехмерной задачи теории упругости.
Сопоставление результатов, получаемых на основе различных теорий оболочек, приводится в работах [12, 13, 34, 38] и ряде других. Отмечается, что различие между моделями тем больше, чем выше градиенты напряжений в оболочке. Модели оболочки Тимошенко применимы к расчету напряженного состояния слоистых оболочек с низкой жесткостью поперечного сдвига, однако имеют ряд недостатков, самый существенный из которых заключается в невозможности учета сосредоточенных воздействий. Однако в случае оболочек вращения, нагруженных только распределенными нагрузками, этот недостаток не проявляется.
Построение общей теории оболочек может идти в двух направлениях. Первое основано на построении общей моментной теории, из которой с помощью некоторых дополнительных допущений получают различные у прощенные варианты [102]. Во втором случае, предложенном А.Л.Гольденвейзером, сначала строится безмоментная теория, а затем на ее основе общая моментная и другие частные случаи [28, 71, 83]. В таком подходе анализ напряженного состояния проводится в два этапа: вначале строится безмоментное напряженное состояние, не отвечающее граничным условиям, а затем определяются поправки, вызванные краевым эффектом.
В оболочках из композиционных материалов, как было отмечено в предыдущем параграфе, краевые эффекты более сложны, чем в изотропных об-лочках, и относительно медленно затухают. Поэтому зона краевого эффекта может охватывать большую часть конструкции, что делает разделение напряженного состояния на основное (безмоментное) и краевой эффект практически неприменимым [14]. Поэтому большее применение находят такие модели и алгоритмы расчета, в которых краевая задача теории оболочек решается непосредственно в моментной постановке. Как правило, это требует использования приближенных методов, в том числе сеточных [14, 36].
В исследованиях последнего времени характерно стремление рассчитывая оболочки, в связи с запросами практики учитывать различные особенности нагрузки и других воздействий (в частности температурного).
Задача о термоупругом деформировании может быть решена как не связная, то есть температурные деформации считаются начальными и вычис ляются путем умножения изменения температуры на тензор коэффициентов температурной деформации, компоненты которого могут определяться экспе риментально [37].
Дискретизация задачи и разрешающие уравнения статического деформирования и свободных колебаний оболочки
Дискретные модели будем строить по алгоритму численно-аналитического метода конечных элементов [44] с разложением решения в тригонометрический ряд по окружной координате.
Краевая задача статики оболочки решается по обычному алгоритму метода конечных элементов. Вся дуга меридиана разбивается на конечные элементы, причем все характерные точки, в которых заданы координаты или изменяются параметры структуры, либо заданы сосредоточенные узловые силы или изменяются параметры распределенной нагрузки, принимаются за узлы. Промежуточные узлы вводятся в модель автоматически, если пользователем задано большее число узлов. Радиальные r(s) и осевые x(s) координаты промежуточных точек меридиана определяются кубической интерполяцией их зависимости от дуговой координаты s по заданной таблице с учетом непрерывности как самих функций, так и их производных. Чтобы избежать неоправданного различия в длинах элементов, вводится ограничение на минимальный размер элемента. Жесткостные характеристики могут меняться от элемента к элементу, что позволяет рассчитывать оболочки с переменной жесткостью в меридиональном направлении. Интенсивность распределенной нагрузки может быть различной для элементов оболочки.
Задача решается методом перемещений. В качестве неизвестных возьмем значения линейных и, v, w и угловых перемещений Уб Ч и их производных по меридиональной координате w ,v ,w ,y 0 ,\\r s в узлах модели, что позволяет построить эрмитов сплайн по меридиональной координате.
Используя преобразованный физический закон (2.18) с учетом кинематической гипотезы (2.20), получим вьфажение энергии деформации в точке с координатами (s,$,ri) через деформации координатной поверхности w = (VG-aTfd(re-aT)t (2.25) где а - тензор коэффициентов линейного температурного расширения (2.9), не содержащий компоненты ап; в - тензор деформаций координатной поверхности (2.22) для оболочки средней толщины, (2.24) для тонкой оболочки; Г - матрица связи деформаций в точке с деформациями координатной поверхности (2.21). Результат проинтегрируем по толщине каждого слоя и просуммируем по слоям -X fwdn = -Е Т (ґє - аТ)тd(Vz - aT)dn, (2.26) 2 і щ І Пі Итак, плотность энергии деформации малого элемента оболочки после интегрирования по толщине выглядит следующим образом С К S Кт L R Sr RT Q z-ZTqt=-zTDz zTqn (2.27) где C(J = jd dn, K{J= \dy-ndn, LtJ- [ diJ-n2dn; "min "шіп "iiiin «min и «max - нормальные координаты лицевых поверхностей оболочки; qt — компоненты тензора коэффициентов линейной температурной деформации, умноженные на изменение температуры и соответствующие компоненты матрицы упругости.
Таким образом, матрица физического закона элемента оболочки получается интегрированием по толщине компонент тензора упругости материала. Исключение составляют компоненты, отвечающие поперечным сдвигам. Для их определения принимаем заданный закон распределения напряжений поперечного сдвига по толщине (2.19) и выразим деформации поперечного сдвига через все учитываемые компоненты напряжений. Для оболочки типа Тимошенко принимаем параболический закон касательных напряжений [6] ИЛ /(«-rtmin)-(«max-") « , (и) = v min/ v max J . (2.28)
Тогда напряжения поперечного сдвига связаны с мембранными є, из-гибными к и сдвиговыми у деформациями оболочки соотношением т(и) = d7y(n) + dyzz + п d K, (2.29) где dtf - соответствующие блоки матрицы упругости. Отсюда выразим деформации поперечного сдвига у{п) = 7 Ч(и) - d Xd z - nd K. (2.30) Интегрируя по толщине оболочки, найдем выражение погонных сил поперечного сдвига q через деформации координатной поверхности q Q SE + Q Rx + hQ y, (2.31) где Q — интеграл по толщине от матрицы податливости dy ; S, R- интегралы от матричных произведений d xd и d d ; h — толщина элемента оболочки; 1Л у = — jy(n)dn - средняя интегральная деформация. Потенциальная энергия оболочки складывается из энергии деформации (2.27) за вычетом работы внешних сил П = - JETDzdS- \zTqtdS- \uTpdS-Qis s -M(Si)y(Si), (2.32) 2s s s где S— площадь поверхности; p- распределенная нагрузка; а -линейные перемещения координатной поверхности; Q(s{), M(s{) - сосредоточенные силы и моменты; si — текущая меридиональная координата; v[/ - углы поворота нормального элемента.
Равновесие оболочки достигается при минимуме потенциальной энергии, для отыскания которого необходимо выразить деформации и перемещения координатной поверхности через узловые переменные и найти их из условия равенства нулю частных производных от потенциальной энергии по искомым узловым переменным. Для тонкой оболочки это линейные перемещения: ы, v и w и их производные. Для оболочки средней толщины к ним добавляются еще и угловые перемещения Ч в г со своими производными.
В силу периодичности компонент нагрузки и искомых факторов напряженно-деформированного состояния разложим эти функции в ряды Фурье по координате f J О) cos jQ + f (s) sin jQ (2.33)
Для задания зависимости перемещений от меридиональной координаты используется интерполяция с помощью эрмитовых сплайнов третьего порядка [93], что позволяет получить достаточно качественное решение и обеспечивает непрерывность производных от перемещений. Выражаем каждую гармонику перемещений на элементе через узловые переменные с помощью базисных функций Nif N2, Fu F2
Оценка точности численного решения задач статического деформирования на контрольных примерах
Полученная выше теоретическая оценка является асимптотической, т.е. справедлива в пределе измельчения сетки элементов. Она должна быть подтверждена на контрольных примерах сопоставлением с точными решениями упрощенных задач и апостериорной оценкой погрешности по методу Рунге [64] или сопоставлением численных результатов с решением, независимо полученным известными и хорошо апробированными методами.
Представленная выше методика позволяет с большой степенью точностью моделировать «краевой эффект» - быстро изменяющееся напряженное состояние, как правило, затухающее на расстоянии нескольких толщин оболочки по мере удаления от кромки.
Пример 3.2.1. Рассмотрим круглый цилиндрический резервуар с вертикальной осью симметрии (рисунок 3.5), имеющий следующие геометрические параметры: r = 5QQh, Z —500/z, где г - радиус, L — образующая, h — толщина стенки, изготовленный из изотропного материала с ,,ф модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона v - 0,3. Резервуар заполнен на всю высоту водой, что создает внутреннее гидростатическое давление, линейно изменяющееся по высоте. На нижнем контуре оболочки заданы граничные условия: и0 =0, v0 =0, w0 =0, w 0 = 0. Давление на нижнем крае задано равным qn =10.
Различие в окружных напряжениях, представленных на рисунке 3.76, составляет около 0.12%, причем на нижнем конце (s/h=500) наблюдается возникновение погонного изгибающего момента MQ (линия 1 на рисунке 3.76), рассмотрением которого пренебрегли в аналитическом решении.
Оценим погрешность полученного решения, применив метод Рунге [8], для чего произведем серию численных экспериментов с последовательным удвоением числа элементов. Зависимость разности между перемещениями, полученными в последовательных экспериментах, и количеством элементов, приведена на рисунке 3.8а; такая же зависимость построена для разности напряжений (рисунок 3.86). Методом наименьших квадратов найдена аппроксимация этих зависимостей в виде степенных функций. Для напряжений получена квадратичная функция, а для перемещений функция шестой степени.
Изменение температуры от начальной на внутреннем слое Г(1і =30 С, на внешнем Г 2 = 80 С. Геометрические параметры оболочки: г - радиус, / -длина меридиана h - толщина слоя, г-1 = 2000/г. Материал изотропный с модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона v = 0,3, коэффициент линейного температурного расширения а = 0,023. Анализ результатов показал, что прогибы (рисунок 3.10а, линия t) равны среднему значению найденных аналитически (рисунок 3.10а, линия 2); относительная погрешность в расчете окружных напряжений составила 0,03% (рисунок 3.106).
Для контроля точности данной методики на высших гармониках, проведем сравнение результатов расчета обратносимметричного напряженно-деформированного состояния оболочки вращения с аналитическими решениями и решениями по ранее разработанным и исследованным численными методам.
Пример 3.2.3. Рассмотрим консоль, выполненную в виде тонкостенной цилиндрической оболочки длиной /, жестко заделанной на одном конце (s=0) и снабженную абсолютно жесткой диафрагмой на другом (5=/) (рисунок 3.11). К незакрепленному концу консоли приложены погонные силы, амплитуды которых равны - - = 5-10 0039 , 0 . = 5-10-6 sin Є Д? - модуль упругости Es Es материала, 1 =0,3 - коэффициент Пуассона. Геометрические параметры оболочки: Z/r=100, A/i=0,01. Результаты численного расчета (рисунок 3.12) сравнивались с результатами аналитического решения [71], полученного для правого края консоли (х=Г). Относительная погрешность по сравнению с аналитическим решением составляет 0,01 %.
Следующий эксперимент заключался в расчете обратносимметричного напряженно-деформированного состояния жестко закрепленной по граничным контурам однослойной ортотропной эллипсоидальной оболочки (рисунок 3.13) под действием внутреннего давления — = 10_3cosA6, выполненной из материала с характеристиками W/h, 3J 0.5
Результаты сравнивались с результатом расчета по модели, основанной на разложении в ряд Фурье по окружности и применении разностной схемы для решения дифференциальных уравнений равновесия [36], причем относительная погрешность прогабов (рисунок 3.14) для узла с максимальным значением нормального перемещения составила для нулевой гармоники 15%, третьей гармоники 19%.
Чувствительность модели гладкой эллипсоидальной оболочки к углу спиральности
Исследование зависимости результатов расчета напряженно-деформированного состояния от угла спиральности а производилось для эллипсоидной оболочки из примера 3.1.4. Результаты представлены на рисунке 4.13.
Анализ результатов показал, что модель чувствительна к этому параметру. Причем при возрастании угла спиральности от нуля до двадцати градусов происходит увеличение нормальных перемещений w в срединной части оболочки и уменьшение в частях, расположенных около закрепленных торцов (рисунок 4ЛЗа). Рост нормальных перемещений при изменении угла от нуля до 5 незначителен. При дальнейшем увеличении угла спиральности чувствительность модели возрастает и ведет к значительному росту перемещений. Окружные напряжения с увеличением угла стабильно убывают в средней части оболочки и около закрепленных концов (рисунок 4.136).
Для оценки чувствительности и проверки применимости модели типа Тимошенко к расчету частот и форм колебаний тонких оболочек вращения проведен сравнительный анализ результатов, рассчитанных с использованием моделей типа Кирхгофа-Лява и Тимошенко, при варьировании конструктивных параметров оболочки.
Пример 4.3.1. Определен спектр собственных частот цилиндрической оболочки радиусом г, длиной / = 5г и толщиной h из ортотропного материала с модулями упругости Е2 = Е3= 0,1Е{ при шарнирном опираний торцов. Результаты расчета при различной толщине приведены на рисунке 4.14
Анализ показал, что низшие частоты соответствуют изгибным колебаниям оболочки и растут с увеличением толщины. Частота крутильных колебаний не зависит от толщины. Различие результатов при применении разных теорий состоит в следующем: частоты изгибных колебаний различаются тем больше, чем больше число полуволн, наиболее заметно различаются частоты продольных колебаний, частоты крутильных одинаковы для обеих моделей.
Пример 4.3.2. Проанализируем изменение собственных частот оболочки из примера 4.3.1 при вариации модуля поперечного сдвига для толщины /г=0,05г (рисунок 4Л5). Сравнивались результаты, полученные в рамках модели Кирхгофа-Лява и модели Тимошенко.
При анализе было получено, что значения собственных частот оболочки, рассчитанной на основании гипотезы Тимошенко, для всех форм колебаний заметно растут с увеличением модуля сдвига. В пределе с увеличением модуля сдвига результаты по модели типа Тимошенко должны стремиться к результатам по классической модели. Фактически частоты становятся наиболее близкими по значению к частотам, полученным на основе теории Кирхгофа-Лява, при наибольшем значении модуля поперечного сдвига С? = 1587,3025), что во много раз превышает величину этого отношения у реальных материалов. Это показывает применимость предложенной модели к расчету оболочек как средней толщины, так и тонких. Низшим частотам соответствуют изгибные колебания, крутильные колебания появляются только при — = 0,016 и выше, а при меньших модулях поперечного сдвига меньшие частоты имеют изгибные колебания. Зависимость частот от модуля G приведена на рисунке 4.15 р (2 + 2vf со. =соЛ1
Пример 4.33. Исследование частот и форм колебаний в зависимости от угла между направлением армирования и меридианом (рисунок 4.16) показало, что с его ростом частоты уменьшаются, как для тонкой оболочки, так и для оболочки типа Тимошенко.
