Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные соотношения, метод и алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния непологих оболочек вращения при неосесимметричном термосиловом нагружен ии с учетом геометрической и физической нелинеиностеи н зависимости свойств материала от температуры 25
1.1 .Постановка задачи и соотношения для расчета напряженно-деформированного состояния тонких гибких оболочек вращения с учетом физической нелинейности при неосесимметричном термосиловом нагружении. 25
1.2. Метод и алгоритм расчета неосесимметричного геометрически и физически нелинейного напряженно-деформированного состояния оболочек вращения с применением тригонометрических рядов . 31
1.3.Численное исследование нелинейного напряженно- деформированного состояния кольцевой пластины, сферической и вытянутой эллипсоидальной оболочек с центральным отверстием под действием неосесимметричной нагрузки 49
1.4. Деформирование оболочки вращения отрицательной гауссовой кривизны при неосесимметричном нагружении 57
Глава 2. Нелинейное деформирование составных оболочек вращения с разветвляющимся меридианом при неосесимметричном термосиловом нагружении 64
2.1. Алгоритм расчета неосесимметричного напряженно-деформированного состояния составных оболочек вращения с разветвляющимся меридианом в геометрически и физически нелинейной постановке. 64
2.2. Расчет напряженно - деформированного состояния крупногабаритного бака для криогенной жидкости при неосесиметричном термосиловом нагружении с учетом геометрической и физической нелинейностей
Глава 3. Численное исследование напряженно-деформированного состояния оболочек вращения с полюсом при неосесимметричном термосиловом нагружении 94
3.1.Методика расчета напряженно-деформированного состояния непологих нетонких замкнутых в полюсе оболочек вращения при неосесимметричном термосиловом нагружении 94
3.2. Малые прогибы нетонкой полусферической оболочки с полюсом под действием неосесимметричного термосилового нагружения 102
3.3.Геометрически и физически нелинейное деформирование сферической и эллипсоидальных оболочек с полюсом под действием неосесимметричного нагружения. 110
3.4.О влиянии пути термосилового нагружения на напряженно-деформированное состояние и критические нагрузки оболочек вращения. 119
Основные результаты и выводы 127
Литература 130
- Метод и алгоритм расчета неосесимметричного геометрически и физически нелинейного напряженно-деформированного состояния оболочек вращения с применением тригонометрических рядов
- Деформирование оболочки вращения отрицательной гауссовой кривизны при неосесимметричном нагружении
- Расчет напряженно - деформированного состояния крупногабаритного бака для криогенной жидкости при неосесиметричном термосиловом нагружении с учетом геометрической и физической нелинейностей
- Малые прогибы нетонкой полусферической оболочки с полюсом под действием неосесимметричного термосилового нагружения
Введение к работе
Развитие и совершенствование строительных, авиационных, космических, судостроительных и других конструкций во многих случаях связано с использованием тонкостенных элементов, находящихся под действием силовых нагрузок и температурного поля. Значительный класс таких элементов конструкций моделируют оболочками вращения различного меридионального сечения. Возрастающие требования к прочности элементов конструкций, усложнение условий эксплуатации приводят к необходимости использования нелинейных моделей деформирования для исследования их напряженно-деформированного состояния (НДС). Расчеты оболочечных конструкций в основном базируются на численных или численно-аналитических методах решения краевых задач, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями или дифференциальными уравнениями в частных производных с переменными коэффициентами и поддаются точному интегрированию только в исключительных случаях. Точные решения, полученные аналитически [4,6,25,40,88,90,92,101,114], занимают особое место в теории оболочек. Такие решения являются основой для предварительной качественной оценки прочности конструкции и контроля результатов численного решения, хотя они обычно и могут быть получены в простейших задачах. Поэтому разработка эффективных численных методов расчета НДС непологих оболочек вращения с разветвляющимся меридианом при неосесимметричном термосиловом нагружении с учетом геометрической и физической нелинейностей и реализация их в виде программных комплексов представляет собой актуальную проблему.
Данная работа посвящена разработке методики численного расчета нелинейного НДС оболочечных конструкций, составленных из непологих тонких оболочек вращения, замкнутых в окружном направлении, находящихся под действием неосесимметричного термосилового напруження. Отдельные оболочки соединяются между собой непосредственно или с ветвлением по линии сопряжения, где сходятся более двух оболочек. Толщина конструкции изменяется по меридиану. На конструкцию действуют неосесимметричные поверхностные нагрузки, которые изменяются по меридиану и параллели, а также температурное поле, переменное по меридиану, параллели и толщине. Упругие и теплофизические характеристики и диаграмма деформирования материала могут зависеть от температуры.
Используются соотношения теории оболочек Кирхгофа-Лява в геометрически нелинейной постановке при умеренных поворотах (в рамках среднего изгиба) [95] и физически нелинейной постановке по теории малых упруго-пластических деформаций без учета разгрузки для сжимаемого материала [69]. Влияние температурного поля учитывается по теории Дюгамеля-Неймана [73,88]: полная деформация тела является суммой упругой деформации, связанной с напряжениями обычными соотношениями, и чисто теплового расширения, отвечающего известному из классической теории теплопроводности температурному полю.
Далее приводится краткий обзор работ, посвященных численным методам расчета НДС оболочек вращения при неосесимметричном термосиловом нагружении. В обзор включены, в основном, работы последних 20 лет, примыкающие к теме данной работы. Более широкие исторические обзоры, анализирующие методы расчета напряженно-деформированного состояния оболочек вращения при осесимметричных и неосесимметричных термосиловых воздействиях, содержатся в [23,50,53,56-58,130]. В обзорах [68,94,131] прослеживается развитие методов определения физически нелинейного НДС и устойчивости оболочек. В работах [62,102], а также в монографиях [20,124] представлен обзор методов расчета НДС оболочек сложной геометрии. Библиография, посвященная температурной задаче, в том числе в теории пластин и оболочек, приведена в библиографических указателях [75,123]. Обзорные работы [16,104,136] посвящены перспективам развития теории оболочек и вопросам вычислительной реализации ее математических моделей.
Крупные достижения в разработке и развитии современных методов численного решения широкого круга задач теории оболочек и пластин принадлежат Артюхину Ю.П. [1], Валишвилли Н.В. [7,8], Виноградову Ю.И. [10-12], Воровичу И.И. [14-16], Танеевой М.С. [23,25,26], Ганиеву Н.С. [41], Голованову А.И. [45,46], Грибанову В.Ф. [49], Грибову А.П. [1,48], Григолюку Э.И. [50,53,55], Григоренко ЯМ. [56-62], Кабанову В.В. [50], Коровайцеву А.В. [79], Корнишину М.С. [76], Крысько В.Л. [83,84], Мяченкову В.И. [96,97], Паймушину В.Н. [20,102], Шалашилину В.И. [55], F. Budiansky [125], T.M.V. Kaiser'y [129], N. Noda [131], W. Wunderlich'y [134], O.C. Zienkiewicz'y [135,136] и др. При решении сложных краевых задач теории оболочек вращения используются методы, развитые на основе методов конечных разностей [76-78,121,125], вариационных [15,19, 42,43,71,115], конечных элементов [45,46,126,128,133,135], граничных элементов [1,48], коллокации [106], численного интегрирования [23-26,56-58]. При этом разрешающие уравнения задачи должны согласовываться с используемым методом решения. В монографиях [25,57] отмечается, что одним из эффективных способов решения краевых задач теории оболочек вращения является подход, когда разрешающие уравнения (одномерные или приведенные к одномерным одним из методов разделения переменных) представляются в каноническом виде - в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка; такая система уравнений выгодно отличается от любого другого представления тем, что в ней присутствуют производные первого порядка только от разрешающих функций. К канонической системе уравнений, линейной для задачи в линейной постановке или линеаризованной методом последовательных приближений для задачи в нелинейной постановке, применяется устойчивый численный метод ортогональной прогонки [44, 57]. Трудности, связанные с неустойчивостью счета при численном решении линейных краевых задач статики тонких оболочек вращения, обсуждались в ряде работ и предлагались методы их преодоления. В работах [10,11] предлагается подход, для которого характерно совместное использование аналитических и численных методов. Численные значения интеграла системы обыкновенных дифференциальных уравнений определяются с помощью матричного ряда Тейлора, который получается методом Пикара последовательных приближений. В работах [12,79] в отличие от процедуры С.К. Годунова предлагается метод частичной дискретной ортогонализации: показано, что в предлагаемых методах операция ортогонализации вектора частного решения к другим векторам не является необходимой и сохраняется ортогонализация только векторов, образующих фундаментальную систему решений, что сокращает вычислительную процедуру.
При численном интегрировании уравнения равновесия в полюсе (г = 0) непосредственно не применимы, т.к. содержат выражения вида г~а,а>0. Известны различные подходы для преодоления этой трудности, в зависимости от применяемого численного метода и используемых уравнений [8,24,60,77,103]. В статье [24] используется известная идея [82], когда в малой окрестности полюса [0,As] уравнения задачи разрешаются с достаточной точностью. Полученные разложения для разрешающих функций позволяют рассмотреть задачу на интервале [As,sM], на котором уравнения не имеют особенностей.
Нелинейные задачи теории оболочек представляют собой нелинейные краевые задачи, зависящие от многих параметров.
Особенности задачи определяют выбор параметра шагового процесса. Естественным ведущим параметром задачи можно считать параметр нагружения. При построении зависимости «параметр нагружеиия -прогиб» возникают трудности, связанные с прохождением предельных точек кривых указанных зависимостей, для преодоления которых используют смену ведущего параметра задачи [8,56], или выбирают в качестве ведущего параметра величину, монотонно изменяющуюся в процессе деформирования. В [25] представлен алгоритм, в котором в качестве ведущего параметра выбирается значение интегрального прогиба на правом конце интервала интегрирования, что обеспечивает развитие процесса деформирования и сходимость процесса последовательных приближений в значительном диапазоне изменения прогиба. Различным вариантам метода продолжения решения по параметру, используемым при решении нелинейных задач, посвящены работы [8,14,17,25,51,55,56,76,91] и др. Их классификация и обзор работ по их использованию в нелинейных задачах теории оболочек представлены в книге [55].
Развитие современной техники, сопряженное с существенным повышением интенсивности термосилового нагружения, требует при расчете конструкций учета такого фактора как зависимость механических и теплофизических характеристик материала от температуры [4,9,13,64,66,67,74,99,111], что существенно усложняет соотношения задачи и затрудняет получение ее решения. Однако это направление успешно развивается: [4, 5,27, 29, 49, 54, 73, 83, 85, 98, 101, 105, 107, 112, 116,117,131,132] и др. При этом следует отметить, что нужно аккуратно подходить к назначению характеристик материала исследуемого объекта в зависимости от параметров процесса, как-то давления [101], температуры [4,101], вида полуфабриката материала [4] и т.д. В частности, в законе Гука для нагретого упругого тела присутствует средний коэффициент линейного температурного расширения для интервала от начальной температуры TQ до достигнутой Та [4,29,73,132]. Из справочной литературы [67,74,109,111] известны мгновенный а1 (Та) и средний ат(Т0,Та) коэффициенты линейного температурного расширения материалов," которые в области низких температур различаются между собой существенно. На примере расчета НДС бака для криогенной жидкости в работе [29] показано, что использование коэффициента а (Тп) вместо среднего аг(Т0,Та) снижает значения напряжений, особенно существенно на охлажденной (внутренней) поверхности резервуара - до 75%, а неучет изменения физико-механических характеристик в зависимости от температуры ведет к завышению значений напряжений в рассмотренной задаче до 30%.
Выделим работы, в которых исследуется воздействие на оболочки вращения неосесимметричного термосилового нагружения в условиях геометрически, физически нелинейного деформирования, или учета термочувствительности материала [3,8, 23, 28, 30-34, 38, 39, 42,43,53,54-57, 63,76-78,84,89,90,92,93, ПО, 113, 116, 117, 120, 125, 127- 129,132,134,135] и др.
Для линейной краевой задачи одним из эффективных является метод разложения искомых функций в тригонометрические ряды по окружной координате [118] при условии, что действующие на оболочку нагрузка и температура могут быть представлены в виде тригонометрических рядов Фурье [35,56]. При этом задача сводится к ряду одномерных задач для амплитуд искомых функций. Если задача нелинейная или толщина и (или) физико-механические характеристики материала переменные по параллели (для краткости нетрадиционная двумерная задача), решение задачи значительно усложняется [56,58,94]. В работах же [31, 89] проведены вычисления, когда геометрически нелинейная неосесимметричная задача сводится к решению несвязанных одномерных задач для ряда меридианов оболочки. Результаты вычислений показали, что в рассмотренных задачах такой приближенный подход оправдан для получения наибольших значений прогиба w и напряжений в пределах w/h < 1.
Одним из методов, позволяющих свести двумерную нелинейную краевую задачу к одномерной, является метод прямых. Полученную одномерную краевую задачу высокого порядка решают, например, методом линеаризации и ортогональной прогонки [57, 89] или методом последовательных приближений Пикара [10]. Следует отметить, что в [10,57, 89] порядок полученной одномерной нелинейной краевой задачи возрастает пропорционально количеству; линий, введенных в методе прямых. В [61] предлагается подход, основанный на понижении размерности задачи с помощью метода сплайн-аппроксимации.
В работах [77,78,121] предлагается метод сведения нелинейной двумерной краевой задачи к решению одномерных краевых задач невысокого порядка для ряда меридианов. Используются уравнения в перемещениях и метод конечных разностей. В работе [2] используется для решения нелинейной краевой задачи модификация метода конечных разностей - метод криволинейных сеток.
В работе [28] предлагается метод сведения двумерной нелинейной краевой задачи к ряду одномерных невысокого порядка на основе специальной записи разрешающих уравнений и метода общей итерации. При этом производные по одной из переменных заменяются конечно-разностными выражениями с использованием значений разрешающих функций с предыдущей итерации.
Поскольку во многих случаях исследуются замкнутые по окружной координате оболочки, многие авторы используют для понижения размерности нетрадиционной двумерной краевой задачи метод разложения искомых функций в тригонометрические ряды. При решении конкретных задач в применяемых тригонометрических рядах необходимо удерживать такое число членов, которое позволит получить достоверное решение. Следует иметь в виду, что при решении нелинейной задачи (в отличие от линейной) в тригонометрических рядах, представляющих искомые функции, необходимо удерживать больше гармоник, чем при задании нагрузки и температуры [31, 94]. С ростом номера гармоники ее вклад в решение обычно уменьшается. В работах [24, 94] отмечается, что при решении полученной одномерной линеаризованной краевой задачи методом ортогональной прогонки число делений в меридиональном направлении, пригодное для решения систем дифференциальных уравнений для амплитуд тригонометрического ряда с меньшим номером, может оказаться малым для амплитуд с более высоким номером.
В обзорной работе [56] наряду с другими подходами к решению двумерных нелинейных краевых задач использовали тригонометрические ряды по одной из координат к численному решению краевых задач теории оболочек сложной геометрии в неортогональных криволинейных системах координат.
Метод разложения искомых функций по окружной координате в сочетании с численно устойчивым методом ортогональной прогонки применен в работах [31Д10] для случая геометрической нелинейности (Г-задача), в работе [120] - для случая физической нелинейности (Ф-задача); в [32,93] - для случая совместной геометрической и физической нелинейностей. При этом в [93] для подсчета нелинейных членов берется решение с предыдущей итерации, что равносильно использованию в процессе последовательных приближений метода простой итерации. Известно [25], что в Г- и ГФ- задачах теории оболочек метод простой итерации имеет ограниченную область сходимости - до прогибов порядка половины толщины оболочки. В работе [31] разложение искомых функций в тригонометрические ряды по окружной координате применено для решения Г-задачи в сочетании с методом общей итерации [76], в работе [110] - в сочетании с методом линеаризации (Ньютона) [119], а в ГФ-задаче [32] - в сочетании с методами общей итерации и линеаризации, что позволило расширить область сходимости Г- и ГФ-задач до нескольких толщин оболочки. В [32] для Ф-задачи установлено, что надежно сходится и наиболее экономичен метод простой итерации. Данный факт отмечался ранее для осесимметричной задачи в [25] (стр.85- 86).
В работе [70] метод разложения искомых функций по окружной координате в сочетании с методом конечных элементов использовался для исследования неосесимметричного поведения цилиндрических оболочек в геометрически нелинейной постановке, в работе [129] - при совместном учете геометрической и физической нелинейностей; в статье [134] - с учетом геометрической и физической нелинейностей для составных оболочек вращения, в качестве примера рассмотрена составная оболочка вращения под локальной неосесимметричной нагрузкой.
Отметим также монографии [49, 96] и статьи [81,97], в которых представлен ряд разработанных алгоритмов и комплексов программ для расчетов прочности, устойчивости и динамики составных элементов конструкций, в том числе и для определения линейного НДС составных конструкций [96,97] и геометрически нелинейного НДС [49,81] при неосесимметричном статическом нагружении и нагреве. При этом в обсуждаемых комплексах программ отмечена автоматизация параметризации геометрии оболочки, вида граничных условий, задания температурного поля и нагрузки.
При расчете НДС составных оболочек вращения с разветвляющимся меридианом ко всем другим сложностям добавляются трудности, связанные с выполнением кинематических и статических условий в месте контакта оболочек. Более ранние работы, посвященные расчету НДС составных оболочек вращения с разветвляющимся меридианом, выполнены в линейной постановке при осесимметричном нагружении [47,65,80,96], линейные неосесимметричные задачи представлены в работе [59], осесимметричные Ф-задачи - в [21], Г-задачи - в [86], ГФ-задачи - в [30]. В статьях [42,43] предложена методика расчета неосесимметричного * термоупруго-пластического НДС оболочек вращения с разветвляющимся меридианом при использовании полуаналитического метода конечных элементов. Задача решается в рамках линейной теории оболочек Кирхгофа-Лява. В качестве примера рассмотрено неосесимметричное НДС цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевыми пластинами.
В работе [18] представлена методика расчета НДС в линейной і постановке составных разветвленных оболочек вращения, основанная на применении методов строительной механики.
Из приведенного выше обзора видно, что число работ, посвященных численному исследованию НДС составных оболочек вращения с разветвляющимся меридианом при неосесимметричном термосиловом нагружении в геометрически и физически нелинейной постановке с учетом зависимости физико-механических характеристик от температуры, невелико. В то же время растущие требования к прочности элементов конструкций, функционирующих в сложных экстремальных условиях, обуславливают необходимость дальнейшей разработки методик и комплексов программ для решения такого класса задач.
Цель работы - разработка методики, алгоритма и программного комплекса для расчета геометрически и физически нелинейного НДС непологих тонких оболочек вращения с разветвляющимся меридианом при неосесимметричном термосиловом нагружении с учетом зависимости физико-механических свойств материала от температуры.
Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и ? изложена на 144 страницах, иллюстрирована 68 рисунками, 16 таблицами.
Список использованной литературы состоит из 136 наименований.
Во введении дается обзор работ, связанных с проведенными в диссертации исследованиями, и краткое содержание работы.
В главе 1 дана постановка задачи и приведены основные соотношения, представлена методика расчета геометрически и физически нелинейного НДС непологих тонких оболочек вращения при неосесимметричном термосиловом нагружении с учетом зависимости механических и теплофизических свойств материала от температуры; приведены в некоторых частных случаях сравнения результатов расчетов по представленной методике с известными решениями, решен ряд задач.
В разделе \Л приведены соотношения для расчета НДС тонких оболочек вращения при неосесимметричном термосиловом нагружении. Соотношения основаны на теории Кирхгофа-Лява с учетом геометрической нелинейности при умеренных поворотах, физической нелинейности по теории малых упругопластических деформаций, влияние температурного поля учитывается на основе гипотезы Дюгамеля-Неймана. Физико-механические характеристики материала и диаграмма деформирования могут зависеть от температуры.
В разделе 1.2 представлены методика и алгоритм расчета НДС непологих тонких оболочек вращения, замкнутых в окружном направлении, под действием неосесимметричного термосилового нагружения. Задача определения НДС оболочки сводится к двумерной нелинейной краевой задаче. Для решения сформулированной двумерной геометрически и физически нелинейной краевой задачи используется метод разложения искомых функций в тригонометрические ряды по окружной координате. Тогда полная система дифференциальных уравнений равновесия оболочки сводится к ряду систем обыкновенных дифференциальных уравнений восьмого порядка каждая. Алгоритм решения последних включает выбор ведущего параметра задачи, применение метода общей итерации или линеаризации (Ньютона) к нелинейным уравнениям, интегрирование линеаризованных уравнений в процессе последовательных приближений устойчивым методом ортогональной прогонки. Нелинейные члены, связывающие все одномерные краевые задачи, берутся с предыдущей итерации и представляются в виде тригонометрического интерполяционного полинома. Задача решается для ряда значений ведущего параметра.
В разделе 1.3 на основе методики, представленной в разделе 1.2, проведено численное исследование нелинейного НДС кольцевой пластины, сферической, вытянутой вдоль оси вращения эллипсоидальной оболочек с центральным отверстием под действием нормального неосесимметричного давления. Численно исследуются возможности алгоритма в зависимости от используемого метода последовательных приближений, геометрических характеристик, характера нелинейности краевой задачи.
В разделе 1.4 решена задача расчета НДС гиперболоидальной оболочки вращения при неосесимметричном нормальном давлении. Задача решалась в линейной и геометрически и физически нелинейной постановке. Определены области концентрации напряжений оболочки в зависимости от ряда граничных условий. Предложены способы снижения концентрации напряжений. Установлены граничные условия, при которых в рассматриваемой оболочке возникает практически безмоментное напряженное состояние. При этом показано, что в нелинейной задаче зависимость напряжений от параметра нагружения близка к линейной.
В разделе 2.1 главы 2 рассмотрена конструкция с разветвляющимся меридианом, представляющая собой основную оболочку с присоединенными к ней по линии сопряжения ветвями, незамкнутыми на основной оболочке. Представлен алгоритм решения линеаризованной краевой задачи, основанный на методе дополнительных функций и ортогональной прогонки, при этом в процессе ортогональной прогонки выполняются условия сопряжения в месте ветвления оболочек.
В разделе 2.2 на основе методик, представленных в разделах 1.2, 2.1, выполнен расчет НДС конструкции, представляющей собой сферический резервуар для криогенной жидкости, опирающийся на цилиндрическую оболочку и находящийся под действием нагрузки типа ветровой. Установлено, что для конструкции рассмотренного вида желательно введение подкрепления, препятствующего консольному повороту под действием нагрузки типа ветровой. Проведена оценка опасного уровня кольцевых сжимающих усилий, возникающих в цилиндрической опоре. Проведено исследование влияния на НДС конструкции учета зависимости характеристик материала от температуры. Показано, что граничные условия заделки, шарнирного закрепления, опирання не имитируют НДС конструкции в окрестности линии сопряжения ветвей, особенно для конструкции без подкреплений.
В главе 3 численно исследуется НДС оболочек вращения с полюсом при неосесимметричном термосиловом нагружении.
В разделе 3.1 приведена методика расчета НДС непологих нетонких замкнутых в полюсе оболочек вращения при неосесимметричном термосиловом нагружении. В разделе 3.2 для нетонкой непологой сферической оболочки, находящейся под действием неосесимметричных нормального давления и нагрева, показано, что в осесимметричном случае для ненагретой оболочки можно подобрать такое центральное отверстие и такие граничные условия на его краю, при которых нет существенного изменения напряженного состояния по сравнению с напряженным состоянием оболочки, замкнутой в полюсе.
В разделе 3.3 на основе методики, представленной в разделах 1.2, 3.1, численно исследуется геометрически и физически нелинейное НДС тонких оболочек вращения, замкнутых в полюсе. Разложения разрешающих функций в малой окрестности полюса, приведенные в разделе 3.1, полученные в линейной постановке, в процессе последовательных приближений используются при решении нелинейной краевой задачи. При этом опробован ряд приближенных подходов использования однородного решения, полученного в окрестности полюса для системы дифференциальных уравнений 10-го порядка, для уравнений Кирхгофа-Лява. Представлены результаты расчетов НДС сферической, сплюснутой и вытянутой вдоль оси вращения эллипсоидальных оболочек, находящихся под действием неосесимметричного внешнего давления.
В разделе 3.4 представлен алгоритм решения задачи нелинейного осесимметричного изгиба нетонких оболочек вращения под действием термосилового нагружения. Алгоритм включает в себя выбор в качестве ведущего параметра интегрального прогиба оболочки или обобщенного параметра термосилового нагружения, применение методов линеаризации и ортогональной прогонки. Проведено численное исследование влияния пути термосилового нагружения на НДС и критические нагрузки пологих и непологих сферических сегментов под действием равномерного внешнего давления и нагрева.
Научную новизну работы составляют следующие результаты.
Разработаны методика, алгоритм и программный комплекс для расчета геометрически и физически нелинейного НДС составных оболочек вращения с разветвляющимся меридианом при неосесимметричном термосиловом нагружении с учетом зависимости физико-механических характеристик материала от температуры. Получены решения ряда задач расчета нелинейного НДС оболочек вращения отрицательной и положительной гауссовой кривизны с центральным отверстием и замкнутых в полюсе, под действием неосесимметричного нормального давления. Решена задача расчета НДС крупногабаритного бака для криогенной жидкости под действием нагрузки типа ветровой.
Предложен алгоритм решения задачи нелинейного осесимметричного изгиба нетонких оболочек вращения под действием термосилового нагружения. Показаны некоторые возможности алгоритма на примере численного исследования НДС пологих и непологих сферических сегментов под действием равномерного внешнего давления и нагрева.
Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается: строгими математическими постановками рассматриваемых задач и обоснованным применением математических методов; практической сходимостью численных решений, т.е. уменьшением различий между решениями при увеличении числа узлов разбиения меридиана и толщины оболочки, увеличении числа членов тригонометрического ряда, представляющего нагрузку, температуру и искомые функции; сравнениями решений в некоторых частных случаях с известными аналитическими и численными решениями.
Практическая ценность
Разработанные методики и программы на языке ФОРТРАН могут быть применены для решения широкого класса задач расчета составных оболочек вращения с разветвляющимся меридианом с учетом физической и геометрической нелинейностей. Разработанные алгоритмы и программы применялись для решения важных прикладных задач расчета НДС элементов летательных аппаратов» изделий конструкционной оптики.
На защиту выносятся следующие основные положения диссертации:
1. Методика и алгоритм расчета геометрически и физически нелинейного НДС тонких составных оболочек вращения с разветвляющимся меридианом при неосесимметричном термосиловом нагружении с учетом зависимости физико-механических характеристик материала от температуры.
Результаты решения новых задач расчета нелинейного НДС тонких гиперболоидальной оболочки вращения, сферической и эллипсоидальных оболочек с центральным отверстием и замкнутых в полюсе, под действием неосесимметричного нормального давления.
Результаты решения задачи расчета НДС крупногабаритного бака для криогенной жидкости под действием нагрузки типа ветровой.
Результаты решения задачи о малых прогибах нетонкой полусферической оболочки с полюсом под действием неосесимметричных давления и нагрева.
Алгоритм решения задачи нелинейного осесимметричного изгиба нетонких оболочек вращения под действием термосилового нагружения.
Результаты численного исследования влияния пути термосилового нагружения на НДС и критические нагрузки пологих и непологих сферических сегментов под действием равномерного внешнего давления и нагрева.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались: на II Республиканской научно-технической конференции «Механика машиностроения» (г.Брежнев, 1987г.); на конференции молодых ученых КФТИ-90 (г.Казань, 1990г.), на Республиканской научной конференции «Проблемы энергетики» (г.Казань, 1997); на Международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек», посвященной памяти проф. А.В.Саченкова (г.Казань, 1998г.); на Международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек», посвященной 100-летию проф. Х.М. Муштари, 90-летию проф. К.З. Галимова, 80-летию проф. М.С.
Корнишина (г.Казань, 2000г.); на XX Международной конференции по теории оболочек и пластин (г.Нижний Новгород, 2002); на Итоговых конференциях Казанского научного центра РАН; на научных семинарах Института механики и машиностроения КНЦ РАН.
Основное содержание диссертации опубликовано в 8 работах [32-39]. Все работы выполнены совместно с научным руководителем диссертации д.ф.-м.н. Ганеевой М.С., работы [32,33,34] с д.ф.-м.н. М.С. Ганеевой, к.ф.-м.н. Л.А. Косолаповои. Вклад соавторов в указанных работах заключается в следующем.
Ганеевой М.С. во всех указанных работах принадлежит постановка задач и научное руководство, основные соотношения, участие в разработке представленных методик и алгоритмов, обсуждение методик и результатов расчета.
Косолаповои Л.А. в работе [32] принадлежит получение результатов расчета НДС кольцевой пластины под действием неосесим метричного нормального давления, в [33] - участие в обсуждении результатов, в [34] принадлежит участие в разработке алгоритма и программы решения линеаризованной краевой задачи для конструкции с разветвляющимся меридианом при неосесимметричном термосиловом нагружении.
Автору в работе [32] принадлежит участие в разработке методики и алгоритма расчета нелинейного НДС непологих тонких оболочек вращения, замкнутых в окружном направлении, под действием неосесимметричного термосилового нагружения, получение результатов расчета НДС сферической оболочки с центральным отверстием, находящейся под действием неосесимметричного нагружения; в работе [34] - участие в разработке алгоритма расчета неосесимметричного НДС составных оболочек вращения с разветвляющимся меридианом в геометрически и физически нелинейной постановке, в работе [36] - участие в разработке алгоритма решения задачи нелинейного осесимметричного изгиба нетонких оболочек вращения под действием термосилового нагружения, в работах [33,35,37-39] получение, оформление и обсуждение результатов; реализация представленных алгоритмов в виде комплекса программ на языке ФОРТРАН.
Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю, заслуженному деятелю науки Республики Татарстан, доктору физико-математических наук Ганеевой Музайне Саитгареевне за постоянное внимание к работе и ценные советы.
Метод и алгоритм расчета неосесимметричного геометрически и физически нелинейного напряженно-деформированного состояния оболочек вращения с применением тригонометрических рядов
Кратко опишем алгоритм получения решения (1.2.21) сформулированной двумерной нелинейной краевой задачи. Очевидно, что получение решения (1.2.21) осуществляется через решение нелинейной краевой задачи (1.2.28), (1.2.32).
Проводится цикл вычислений для получения геометрии меридиа на, толщины, нагрузок, температурного поля, характеристик материала, жесткостеи, граничных условий и др. При этом встречающиеся интегралы по координате z (табл. 1.1, (1.2.17), (L2.18)) находятся численно при деле нии по толщине оболочки на М слоев. б) Назначаются ведущий параметр задачи (параметр нагрузки или температуры) и его шаг. Задача решается для ряда значений ведущего па раметра. в) При данном значении ведущего параметра, номер которого в дальнейшем опущен ради краткости, для интегрирования (1.2.28), (1,2.32) используется в качестве метода последовательных приближений либо ме тод общей итерации [76]: as номер последовательного приближения. За Y(o) принимается решение, полученное с заданной точностью на предыдущем шаге параметра, или, если его нет, Yl0) 0. г) Линеаризованные уравнения (1.2.33) или (1.2.34) интегрируются методом ортогональной прогонки в сочетании с методом Рунге-Кутта [44, 57]. д) По полученным Z p+l\ k=OtL с помощью рядов вида (1.2.7), (1.2.8) подсчитываются в точках деления меридианов j,-=j[+(%-j])(/-l)/A -, i = l,N + l и параллелей рт =п(т-1)/L, т = 1,1, + 1 промежуточные значения полного решения у р+1) и его следующее приближение у{р+і)=у(р) + z(Y{p+l)-Y{p))t 0 т 1. (1.2.35) Подходящий выбор коэффициента релаксации т должен обеспечить сходимость процесса последовательных приближений (1.2.33), (1.2.35). В методе (1.2.34) в (1.2.35) т полагаем равным единице. е) С помощью формул Бесселя (1.2,2),(1.2.4) получаются разложения нелинейных членов в ряды (1.2.9), (1.2.10) и подсчитываются rk(stY p+l)), ФА(5,Ус +1))Д = 0І ж) Делается переход к следующей итерации (р+2). Процесс продол жается до достижения необходимой точности по какому-то критерию для двух соседних приближений Y и у я+Х). з) Подсчитывается необходимая конечная информация задачи и вы водится на печать. и) Делается переход к следующему значению ведущего параметра, или к новому варианту задачи, или на окончание вычислений. На основе представленных соотношений и разработанной методики составлена программа расчетов для ПЭВМ на языке ФОРТРАН. Ниже приведены полученные в некоторых частных случаях сравнения результатов расчетов с данными работ [48,78,93]. A. Определено напряженно-деформированное состояние пологой сферической оболочки постоянной толщины с центральным отверстием, находящейся под действием неосесимметричного температурного поля: и осесимметричного равномерного внешнего давления Р. Г+-изменение температуры на внешней поверхности оболочки, Т - на внутренней поверхности. У отверстия оболочки ставились ГУ «свободный край»: основание - жестко заделано: Расчеты выполнены при: Решение получено в геометрически нелинейной поста см новке , без учета зависимости механических и теплофизических характеристик от температуры. На рис. 1.2 представлена зависимость "нагрузка - прогиб» P(w) на меридиане ф = 0, у верхнего края оболочки 8 = 0,10017. Видно,что в пределах точности графика представленные результаты совпадают с решением (звездочки), полученным методом конечных разностей [78]. Б. Выполнен расчет напряжен но-деформированного состояния шарнирно опертой по торцам конической оболочки, находящейся под действием неосесимметричного температурного поля: Т = q(\ + Q 5cos p), Г0=0С. Оболочка выполнена из изотропного материала, следующего закону линейного упрочнения с параметром упрочнения А. В вычислениях принято: длина образующей конуса b = 20см, радиусы торцевых контуров г{ =1,3397 см, гн =18,66 ем, толщина оболочки h = 0,1 см, =1,895-10 кг/см , v = 0,3, as = 6012,981 кг/см2, X = 0,9. N = 100,М = 10, = 3, ат = 1,5 10"51/град. На рис. 1.3 а, 1.36 представлены зависимости параметра температуры q от прогиба q(w) и интенсивности напряжений а( =(сгм +о 22 11 22 + а\і) 2 от q в окрестности верхнего торца оболочки (sjh — 2) на меридиане ф = 0 с учетом характера нелинейности (Л-, Г-, Ф-, ГФ-) решения.
Деформирование оболочки вращения отрицательной гауссовой кривизны при неосесимметричном нагружении
Рассмотрим влияние указанных граничных условий (ГУ) на линейное НДС оболочки. У верхнего края гиперболоида 9=0, ставились условия (1.4.5) или (1.4.6), у основания оболочки - ГУ (1.4.6)-(1.4.10). Далее, для краткости опустив номер главы и раздела, дополним номер, определяющий ГУ при 0 = 0, , индексом «1», например (5)i вместо (1.4.5) при 9 —9j ,и индексом «н» - для ГУ при 9 = 0Я , например (6)н вместо (1.4.6) при 9 = 0 . Вычисления показали, что напряженное состояние (НС) оболочки для ГУ (6)ь (б)н и (5)ь (6)н является практически безмоментным. На рис. 1.14 представлена эпюра интенсивности напряжений сгу = ст,! +CF22 — су,,а22 +3ст,2J по меридиану (р = 0. Видно, что для ГУ (9)н и (10)н (рис. 1.146), при которых условие отсутствия перемещений накладывается только на одно из касательных перемещений (v2 = 0, v, 0), возникает существенная концентрация напряжений у основания оболочки Э = 9Я , многократно превышающая напряжения при ГУ (6)н , (8)н и даже (7)н (рис. 1.14а), когда нижний край оболочки закреплен от перемещений в двух касательных направлениях: v2 = 0, v, = 0. Отметим, что в данной задаче при ГУ (6)і, (6)ц наблюдается наименьшая интенсивность напряжений среди всех рассмотренных ГУ.
Как показали результаты вычислений, наибольшее, близкое к осесимметричному полное перемещение точки срединной поверхности un(si(p,0) = (vi +v2+w ) наблюдается у верхнего 0 = 8, свободного края оболочки, в основном, за счет изгиба оболочки как консольной балки. При этом (рис.1.15) наибольшие ип возникают при ГУ (5), (9)ii, а наименьшие - при ГУ (6)і, (6)н.
Рассмотрим способ снижения концентрации напряжений, возникающей у основания гиперболоида постоянной толщины (штриховые линии (13),(14),(15), соответственно) обратно пропорционально снижает уровень напряжений на соответствующем участке меридиана по сравнению с оболочкой постоянной толщины, поскольку НС оболочки при ГУ (5)i, (6)н практически безмоментное и около основания 6 = 0// гиперболоида не наблюдается краевого эффекта. Утолщение по линейному закону (1.4.16) (штриховая линия (16)) в небольшой окрестности вертикально опертого основания (9)н приводит к снижению интенсивности напряжений при G = QH в 7,8 раз по сравнению с оболочкой постоянной толщины (1.4.12) (сплошная линия (12), рис. 1.16).
Рассмотрим влияние на НДС гиперболоида его высоты И при сохранении формы меридиана для ГУ (5)h (б)ц. На рис. 1.17, 1.18 представлены эпюры интенсивности напряжений а,- и перемещения ип на меридиане р = 0 для трех значений параметра относительной высоты H=H/D (//=1,1; 1,4; 1,6). Здесь Н - высота оболочки, D - диаметр основания. В расчетах принято при Н = 1,1: //1// = 200, HH/hQ = -600, при И = 1,4: Hl/h0=3Q0,HH/hQ=-9QQ, при її = 1,6: Hl/ho=A0Ot HHjhQ = -1200, остальные параметры имеют значения (1.4.11). Видно, что с ростом Н существенно возрастают значения а,- и перемещения ип. Исследуем влияние искривленности меридиана, характеризующейся отношением полуосей гиперболоида Ь/а, на напряженное состояние оболочки при ГУ (5), (6)и. На рис. 1.19 представлены значения интенсивности напряжений сг(-, меридионального а(1 и окружного а22 напряжений в наиболее напряженном месте оболочки (меридиан ф = 0, у нижнего края 9 = 0Я ) в зависимости от параметра Ь/а при сохранении остальных данных из (1.4.11). Видно, что с уменьшением искривленности меридиана оболочки (рост Ь/а), при b/a 2 ui уменьшается, а затем возрастает, что объясняется характером изменения напряжений стц,а22 (ст12=0 при (р 0) при рассмотренных значениях параметра Ь/а. При значительном росте отношения Ь/а форма оболочки приближается к цилиндрической. Выполнен расчет НДС с учетом геометрической и физической нелинейностей (ГФ-расчет) гиперболоидальной оболочки постоянной толщины h = h0. На оболочку действует неосесимметричное нормальное давление (1.4.4). Материал оболочки изотропный, следует закону линейного упрочнения с параметром упрочнения X и пределами текучести интенсивностей деформаций es и напряжений GS. Рассматривались ГУ (6)i либо (5)t и (6)н, (7)н или (10)н. В расчетах принималось: afk0 — 300, bja 3, Я,/Л0 = 300,Я //?0=-900, E = 2-W6Kr/cM2,v = 0,3, es = 9,967 10"4, A, = 0,9. На рис. 1.20, 1.21 изображены эпюры прогиба w и интенсивности напряжений а,- по параллелям 6 = 1,46, 6 = 6 при значении параметра нагрузки Р/Е = -1,2 10 6 для ряда ГУ. Видно, что для ГУ (б)г(6)н и (6)г(7)н наибольший по модулю прогиб наблюдается на меридиане ф = 0 (параллель 6 = 1,46), для ГУ (6)-(10)н - на меридиане ф = я у основания оболочки. Наибольшая а,- для ГУ (6)г(6)и и (6)г(7)н достигается на меридиане ф = я/4 у основания оболочки; для ГУ (6)г(10)ц— на меридиане ф = я у основания оболочки, где отмечается концентрация напряжений, существенно превышающая уровень предела текучести материала. Результаты вычислений показали, что в рассматриваемой оболочке, когда на ее краях выполняются условия опирання (6)і, (6)н, возникает практически безмоментное НС. Хорошо известно [100], что усилия Тік (а значит, и напряжения) в безмоментной задаче являются статически определимыми, определяются из линейных уравнений равновесия в недеформированных осях, линейно зависят от параметра действующей нагрузки и не зависят от характеристик (в том числе диаграммы деформирования) материала. Зависимость интенсивности напряжений at от параметра нагружения Р, близкая к линейной, наблюдается на рис. 1.23 (линия (6)i - (6)н ). Такой результат важен для определения значений напряжений в ГФ-задаче по результатам решения соответствующей линейной задачи. Естественно, что деформации и перемещения существенно определяются характеристиками материала и нелинейными зависимостями от параметра нагружения (рис. 1.22). При других вариантах ГУ ((6)ь(7)н; (6)],(10)н; (5)ь(10)ц) картина НС меняется, и оно становится моментным. Соответственно, зависимости а((Р)} P(w) будут существенно нелинейными (рис. 1.23, 1.22).
Расчет напряженно - деформированного состояния крупногабаритного бака для криогенной жидкости при неосесиметричном термосиловом нагружении с учетом геометрической и физической нелинейностей
Из приведенных результатов видно, что в тонкой оболочке наиболее опасная ситуация наблюдается в варианте 5: без подкрепления в окрестности полюса (Л) и утолщения в окрестности линии сопряжения (С) оболочек. Здесь возникают опасные по устойчивости сжимающие кольцевые усилия Тггс [50] для цилиндрической опоры HCDK уже на первом этапе нагружения при Р=0, когда еще отсутствует действие «ветровой» нагрузки (2.2.1),(2.2.2). С ростом параметра нагружения Р все характеристики НДС нарастают, появляются области, в которых материал достигает и переходит за предел текучести JS .
В вариантах 2 и 6 введены утолщения до 5Л0 в малой окрестности линии сопряжения для сферических оболочек HFFXA{BC, HFFXAA BC и цилиндрической опоры HCDK. Видно (рис.2.5-2.9, 2.11), что такое мероприятие эффективно снижает напряжения и перемещения, особенно в варианте б по сравнению с вариантом 5. Однако оно не снижает сжимающие кольцевые усилия Г22С до безопасного уровня в цилиндрической опоре. В вариантах 3,7 удвоена толщина для оболочек HFFiAiBC, HFFsAAxBCn HCDK (Rj(2hQ) = 160,7, рис.2.7-2.9,2Л 1, табл.2.5,2.6). Здесь наиболее безопасное НДС как по устойчивости, так и по напряжениям наблюдается в конструкции 3, имеющей подкрепление Аі в окрестности полюса. Данные для конструкций с более толстыми элементами HFFiAlBC , HFFXAAXBC и HCDK с толщиной Л = 5/ (Яц jh = 64,5) и при значительном росте параметра нагружения Р представлены на рис. 2.10,2.12, табл. (варианты 4,8). Здесь отсутствие подкрепления А( (вариант 8) соз дает опасную ситуацию как по устойчивости, так и по величине интенсивности напряжений; в цилиндрической опоре потеря несущей спо : собности по этим факторам может наступить почти одновременно. Введение подкрепляющего ребра А препятствующего консольному повороту конструкции, существенно снижает напряжения, но не снимает опасных кольцевых сжимающих усилий Т21С в цилиндрической опоре HCDK . Таким образом, для конструкции рассмотренного вида желательно введение подкрепления, препятствующего консольному повороту под действием нагрузки типа «ветровой». Утолщение в окрестности линии сопряжения элементов конструкции невсегда снижает сжимающие усилия до безопасного уровня. В рассмотренной задаче в интервале изменения параметра нагружения Р по табл.2.5 рациональной по расходу материала и щ соответствующей ему несущей способности (по устойчивости или дости жению предела текучести материала) можно считать конструкцию 3 (табл.2.4). Проведено исследование влияния на НДС конструкции (вариант 7 табл.2.4 ) учета зависимости характеристик материала от температуры. Нарис. 2.13-2.18 изображены следующие результаты: 1) сплошная линия на рис. 2.13-2.18 (основной вариант)- решение задачи с учетом зависимости характеристик материала от температуры (табл.2.2, табл.2.3), при этом в соотношениях участвует средний коэффициент линейного температурного расширения аг(Т) на интервале [Т0,Т]; 2) "звездочки" - решение задачи без учета зависимости характеристик ма щ териала от температуры, когда Е = Е(Т0) -1,262-106кг/см2, аг=аг(Г0) = 9,15-10"61/град; 3) « квадраты» - решение задачи с учетом зависимости характеристик материала от температуры (табл.2.2, табл.2.3), при этом в соотношениях участвует коэффициент линейного температурного расширения аг(Т). На рис.2.13,2.14 приведены эпюры по меридиану р = л полного перемещения ип для оболочек HFF{AAXBC и HCDK при отсутствии нагрузки (Р=0) и при действии нагрузки (2.2.1),(2.2.2) с параметром Р - -2,22 10" . Видно, что при неучете зависимости характеристик материала от температуры получаются завышенные перемещения, а при решении задачи с коэффициентом линейного температурного расширения а7(Г) - заниженные перемещения на оболочке HFF AAXBC по сравнению с основным вариантом. То же самое можно сказать относительно интенсивности напряжений о,- , эпюры которой по меридиану р = к на внешней и внутренней поверхностях оболочек HFF\AAXBC, HCDK при Р =0 и Р =-2,22-10-7 приведены на рис. 2.15-2.18. Видно, что особенно существенно влияние зависимостей а (Т) и а (Г) на напряженное состояние оболочки HFFlAAlBC на охлажденной поверхности {z hil) (рис.2.15, 2.16). Была решена задача расчета НДС сферических оболочек HFFXAAXBC {HFFXA{BC) постоянной толщины h = 2h0 (варианты 3,7, табл.2.4) под действием внутреннего давления Х,Хз ж , температурного поля, описанного выше, и внешнего давления (2.2.1).
Малые прогибы нетонкой полусферической оболочки с полюсом под действием неосесимметричного термосилового нагружения
Вычисления показали, что относительная разность между значениями тригонометрических интерполяционных полиномов (1.2.1)-(1.2.3) в точках, не являющихся узловыми, при «=4 и «=16 для нагрузки составляет 11-18%, температуры - 3-4%. Та же разность при п =8 и п =16 для полиномов нагрузки составляет, в основном, 6%, температуры- 3%.
На рис. 3.5, 3.6 указаны коэффициенты неосесимметричности нагрузки и температуры А: на параллели 0=1,05: кр = max , к = max . Здесь - р0СуТ0С осреднённые (осесимметричные, к = 0) значения нагрузки и температуры. На рис.3.7 представлены эпюры максимальной по толщине интенсивности напряжений по параллели 8=1,05 для «=4,8,16. Через ас обозначено значение интенсивности напряжений ct на параллели 0=1,05, полученное при решении осесимметричной задачи (к=0), соответствующей данной неосесимметричнои задаче. Далее приведены решения при л=16. На рис. 3.8, 3.9 приведены эпюры максимальной по толщине интенсивности напряжений ст,-, по меридиану ф = 0 для нагретой и ненагретой оболочек, полученные при решении неосесимметричнои и соответствующей ей осесимметричной (к 0) задач. Через Ка обозначено отношение от//а?с, причем Ка вычислены в полюсе, на параллели 6=1,05, на параллели заделки. Из приведенных данных следует, что в рассматриваемой термосиловой задаче преобладает влияние температуры. Характер ее поведения определяет поведение решения (рис. 3.6, 3.8): К кт=\,2. В отсутствие температуры характер поведения решения определяется нагрузкой: max/С0 &кр «3 (рис. 3.9, 3.5). е Рассмотрим концентрацию напряжений в окрестности центрального отверстия в зависимости от радиуса отверстия и граничных условий (ГУ) на его краю. На рис.3.10 приведены эпюры наибольшей по толщине интенсивности напряжений а,- по меридиану оболочки ср = 0 для ГУ (3.2.1) - (3.2.4) на краю отверстия 9, , где 9, = 0,044, 0,152, 0,304, 0,455. При этом на рис. 3.10-3.12 для обозначения ГУ в тройной нумерации формул оставлена только последняя цифра. Кривая со соответствует оболочке, замкнутой в полюсе. По графикам рис. ЗЛО видно, что в нагретой оболочке в окрестности жестко заделанного или шарнирно закрепленного отверстия напряжения возрастают многократно по сравнению с оболочкой, замкнутой в полюсе. Причем влияние отверстия сказывается на всей оболочке, за исключением окрестности жестко заделанного основания. При увеличении радиуса отверстия с жестко заделанным краем концентрация напряжений несколько снижается, а затем вновь возрастает. Если край отверстия защемлен (3.2.4) или свободен (3.2.3), то интенсивность напряжений возрастает в 2-3 раза по сравнению с оболочкой, не имеющей отверстия.
На рис. 3.11 приведены результаты для ненагретой оболочки. Видно, что в этом случае область влияния отверстия сужается. При увеличении радиуса отверстия с жестко заделанным краем напряжения снижаются, но уже для отверстия 9) =0,304 наблюдается повышение напряжений. В осесимметричной задаче для ненагретой оболочки (рис. 3.12) отверстие б, —0,152 с защемленным (3.2.4) или шарнирно закрепленным краем (3.2.2) дает увеличение напряжения на 27% и 13%, соответственно, по сравнению с оболочкой, замкнутой в полюсе. Таким образом, в осесимметричном случае для ненагретой оболочки можно подобрать такое отверстие и такие ГУ на его краю, при которых нет существенного изменения напряженного состояния по сравнению с напряженным состоянием оболочки, замкнутой в полюсе. Геометрически и физически нелинейное деформирование сферической и эллипсоидальных оболочек с полюсом пол действием неосесимметричного нагружения [33,38]. На основе методики, представленной в разделе 1.2, численно исследуется напряженно-деформированное состояние гибких оболочек вращения с полюсом, выполненных из термочувствительного упругопластического материала и находящихся под действием неосесимметричного термосилового нагружения. Представлены результаты решения задач о НДС сферической, сплюснутой и вытянутой вдоль оси вращения эллипсоидальных оболочек, находящихся под действием неосесимметричного внешнего давления. В разделе 3.1 представлено полученное в работах [24],[27] в окрестности полюса общее решение уравнений равновесия нетонкой оболочки вращения при неосесимметричном термосиловом нагружении. В данном разделе разложения разрешающих функций (3.1.12)-(3.1.19) в малой окрестности полюса [0(zt?] используются в процессе последовательных приближений при решении нелинейной краевой задачи. При этом опробованы следующие приближенные подходы использования однородного решения (ЗЛ.16) системы дифференциальных уравнений 10-го порядка (3.1.6) (антисимметричная задача) для уравнений Кирхгофа-Лява.
