Содержание к диссертации
Введение
1 Методы решения краевых задач механики композитных пластин и оболочек вращения 13
1.1 О сведении двумерных краевых задач к одномерным . 15
1.2 Особенности систем дифференциальных уравнений при решении краевых задан 18
1.3 Методы решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений 20
L3.1 Метод начальных параметров 21
L3.2 Метод дискретной орчтчзнадизации 23
1.3.3 Метод сплайп-коллокащш 27
2 Алгоритм решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений 30
2.1 Проблемы вычисления векторов начальных данных PI решения многоточечных задач 31
2.2 Обеспечение устойчивости расчетов 36
2.3 Схема алгоритма 46
2.4 Анализ эффективности алгоритма при решении задачи изгиба слоистых кольцевых пластин 49
2.5 Обеспечение точности расчетов с использованием неравномерных сеток 58
3 Определяющие соотношения статики упругих композитных оболочек вращения 66
3.1 Моделирование свойств и критерии прочности полиармированньгх композитов 68
3.1.1 Модель В.В. Болотина 69
3.1.2 Модели Ю.В. Немяровского 73
3.1.3 Критерии прочности и начального разрушения композиционных материалов 78
3.2 Сравнительный анализ расчетных характеристик композиционных материалов с экспериментальными данными , . 80
3.3 Исходные и разрешающие системы уравнений теории оболочек вращения 84
3.3.1 Исходные уравнения и соотношения 85
3.3.2 Разрешающие системы уравнений 92
Напряженно-деформированное состояние рефлектора параболической антенны 96
4.1 Постановка задали 97
4.2 Рефлектор под действием осесимметричного нагружения собственным весом и температурой 99
4.3 Рефлектор под действием собственного веса и ветровой па-грузки 105
4.4 Рефлектор под действием собственного веса, температурной и ветровой нагрузок 110
4.5 Анализ достоверности численных решений 114
Особенности поведения и начальное разрушение армированных куполов 116
5.1 Постановка задачи 116
5.2 Купол под действием осесимметричного нагружения собственным весом 118
5.3 Купол яод действием собственного веса и давления ветра 122
5.4 Купол под действием собственного веса, ветровой и температурной нагрузок 127
5.5 Анализ достоверности численных решений 129
6 Влияние анизотропии материала на деформирование резинокордной тороидальной оболочки 131
6.1 Влияние выбора модели композиционного материала и теории оболочек на результаты расчетов напряженно-деформированного состояния оболочки 132
6.2 Влияние анизотропии и неоднородности материала на поведение оболочки 136
G.3 Об использовании несимметричных схем армирования 138
Заключение 142
Литература
- Особенности систем дифференциальных уравнений при решении краевых задан
- Анализ эффективности алгоритма при решении задачи изгиба слоистых кольцевых пластин
- Сравнительный анализ расчетных характеристик композиционных материалов с экспериментальными данными
- Рефлектор под действием собственного веса и ветровой па-грузки
Введение к работе
Фундаментальная задача научных исследований — выявление причинно-следственных связей, общих тенденций и закономерностей. Так как проведение натурных экспериментов затрудняется их дороговизной и сложностью, проблемами при обеспечении исследователя желаемым количеством измеряемых параметров, а в ряде случаев невозможностью реализации, то моделирование процессов становится одним из наиболее распространенных методов исследования объектов и явлений различной природы. Особая роль при этом отводится вычислительному эксперименту.
Большинство задач математической физики приводит к необходимости численного решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными. При этом системы уравнений могут иметь высокий порядок, переменные коэффициенты, содержать малые и большие параметры, что приводит к появлению в структуре решений таких задач быстро изменяющихся функций, а сами решения приобретают ярко выраженный характер погранслоев. Кроме того, нелинейность моделируемых процессов приводит и к нелинейности краевых задач, описывающих эти процессы. Традиционные схемы и алгоритмы численного интегрирования при этом оказываются малопригодными. Поэтому, разработка и совершенствование численных методов и алгоритмов решения краевых задач, возникающих при математическом моделировании объектов и явлений, является важной и актуальной задачей фундаментальной науки.
Среди актуальных, практически важных задач, приводящих к решению краевых задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными, выделим задачи моделирования и расчета комдозит-
і-іьіх оболочечных систем. Тонкостенные пластины и оболочки являются важнейшими элементами многих современных конструкций. Они играют ведущую роль в авиационной и ракетно-космической технике, судо— и автомобилестроении, энергетическом и химическом машиностроение жилищном и промышленном строительстве. Значительное повышение требований, предъявляемых к современным конструкциям, заставило использовать при их изготовлении новые композиционные материалы (КМ), сочетающие высокую прочность и жесткость с другими ценными качествами. Это, в свою очередь, привело к необходимости выявления и более полного использования потенциальных возможностей, открывающихся при использовании КМ.
Таблица 1
Армирование высокомодульными волокнами широко применяется при создании легких, но прочных конструкций с заданными свойствами. В качестве связующего используются полимерные, углеродные, металлические или керамические матрицы. Армирующими элементами явля-
ются стеклянные, углеродные, борные или органические, а также ряд металлических волокон. Перспективно, также, использование в качестве арматуры нитевидных кристаллов (усов). В отличие от обычных волокон, обладающих прочностью не превышающей 1-3% от модуля упругости Еу усы, вследствие малых поперечных размеров и высокой степени совершенства, достигают прочности в 5-15% Е, В таблице 1 приведены механические свойства характерных представителей разных классов матриц и волокон [10, 68, 74], используемые в работе- Здесь р - удельная плотность, Е - модуль упругости, а - коэффициент линейного температурного расширения материала, ао*- предел прочности (текучести).
Свойства конструкций из слоисто-волокнистых композитов существенно зависят от технологии изготовления и структуры материала. При неудачном выборе компонентов и структуры КМ, армированная конструкция может проиграть изотропной, поэтому перед изготовлением конструкций из КМ очень важно решить вопрос о выборе материалов и схемах армирования.
Решение задач расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) композитных конструкции определение механизмов разрушения и выявление тенденций их поведения в зависимости от геометрии, структурных и механических характеристик материала, вида и параметров нагружепия способствует как выработке конкретных технологических решений, так и формулировке общих рекомендаций по вопросам проектирования конструкций.
Методами математического моделирования задачи определения НДС композитных элементов конструкций приводятся к решению пространственной задачи механики деформируемого твердого тела, сформулированной в виде краевых задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными. Решение таких задач в аналитическом виде возможно лишь в простейших случаях, а наиболее распространенным подходом является применение численных алгоритмов. Среди универсальных алгоритмов, позволяющих решать в пространственной постановке задачи механики сплошных сред, в том числе механики композит-
ных конструкций, выделяются методы конечных и граничных элементов. Они завоевывают все большую популярность, вследствие существенного прогресса, достигнутого в разработке высокопроизводительной вычислительной техники. Однако их использование приводит к очень большим объемам вычислений, особенно при решении задач механики композитных конструкций в пространственной постановке. Это обусловлено эффектами анизотропии материала, наличием в системах уравнений, описывающих НДС, малых и больших параметров, что приводит к появлению ярко выраженных краевых эффектов и заставляет существенно измельчать сетки элементов в областях погранслоев, Получаемые объемы вычислений столь высоки, что даже на современных высокопроизводительных системах для решения обозначенных задач требуется существенное количество времени, что, в частности, накладывает существенные ограничения на проведение вариантных расчетов- При этом, достоверность получаемых в результате расчета чисел бывает очень сомнительна [66].
Другой подход к решению задач механики композитных элементов конструкций — понижение размерности — применим в случае, когда хотя бы один из линейных размеров рассчитываемого элемента конструкции мал, в сравнении с остальными, как, например, толщина для пластин и оболочек. При данном подходе Рісходная трехмерная задача механики деформируемого твердого тела сводится к двумерной задаче с помощью метода гипотез, метода разложения в ряды по координате или малому параметру и др, Порядок систем уравнений теорий пластин и оболочек, получаемых при этом7 в общем случае много больше, чем порядок исходной системы. Кроме того, даже линейная задача пространственной теории упругости может привести к нелинейной задаче теории пластин и оболочек. С учетом того, что вдобавок к малым и большим параметрам, унаследованным от исходной задачи, в системах уравнений теория оболочек появляются новые, решения соответствующих двумерных краевых задач приобретают еще более ярко выраженный характер погранслоев, а их численное интегрирование сопряжено с едчцественными проблемами
по обеспечению устойчивости счета.
Цель диссертационной работы заключается в:
разработке эффективных алгоритмов решения краевых задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений и создании программного комплекса для решения задач расчета и анализа напряженно-деформированного состояния упругих слоистых армированных оболочек вращения;
исследовании особенностей деформирования упругих слоистых армированных оболочек вращения, выявлении зависимостей их поведения от структурных и механических характеристик композиционных материалов, геометрии оболочек и вида их нагружения.
Научная новизна и значимость работы определяются следующими результатами, которые выносятся на защиту.
Проведено численное исследование проблемы обеспечения точности и устойчивости расчетов при решении краевых задач методом дискретной ортогоиализации. Выработаны критерии контроля и способы обеспечения устойчивости счета. Предложена методика обеспечения и повышения точности расчетов с применением неравномерных сеток,
Разработан и реализован программно эффективный алгоритм решения многоточечных краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на методе .дискретной ортогонализации.
С помощью созданного программного комплекса решены новые краевые задачи расчета напряженно-деформированного состояния упругих композитных элементов конструкций, выполненных в виде замкнутых в окружном направлении оболочек вращения.
Проведен сравнительный анализ использования различных структурных моделей композиционного материала и различных вариантов геометрически линейных и нелинейных теорий пластин и обо-
дочек при расчете НДС композитных элементов конструкций. Исследовано влияние структурных и механических параметров композиционных материалов, геометрии оболочек и вида выгружения на поведение параболических рефлекторов, куполов и тороидальных оболочек вращения.
Практическая ценность работы. Разработанные алгоритмы могут быть использованы при решении широкого класса нелинейных многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученные с помощью созданного программного комплекса результаты исследования НДС композитных оболочечных элементов конструкций могут служить основой как при выработке конкретных технологических решений, так и при формуляровке общих рекомендаций по вопросам проектирования конструкций.
Исследования выполнялись в соответствии с планами научно-исследовательских работ Института вычислительных технологий СО РАН по теме "Теоретические исследования моделей и разработка эффективных численных методов решения нелинейных задан математической физики" (номер государственной регистрации 01. 2. 00 313336), поддерживались грантами: Федеральной целевой программы |ТИнтеграция" (грант № 274); Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ РФ (№ НШ-2314. 2003. 1).
Достоверность полученных результатов обеспечена корректностью постановок рассматриваемых задач и методов их решения, сравнением с известными дли частных случаев аналитическими решениями, с численными и экспериментальными результатами других авторов, совпадением решений, полученных двумя принципиально различными численными методами.
Апробация работы* Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: V Всероссийской научно-технической конференции "Механика летательных аппаратов и современные материалы11 (Томск, 1998); II и V Сибирских школах-семинарах " Математические проблемы механики сплош-
ных средт| (Новосибирск, 1998: 2001); XXXVII, XXXVIII Международных научных конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1999; 2000); V, VI и VII научных конференциях Т| Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф11 (Красноярск, 1999; 2001; 2003); XVI школе-семинаре "Информационные технологии в задачах математического моделирования" в рамках научных мероприятий "Вычислительные технологии — 2000" (Новосибирск, 2000); Конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, 2000); Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика1'? посвященной 80-летшо академика Н.Н. Яненко (Новосибирск, 2001); XVII, XVIII, XIX Межреспубликанских конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 2001; Кемерово, 2003; Бийск, 2005); Международных конференциях молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике (Новосибирск, 2001; 2002); Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Казахстан, Алматы, 2004).
В полном объеме материалы диссертации докладывались и обсуждались на Объединенном семинаре "Информационно-вычислительные технологии" Института вычислительных технологий СО РАН, Новосибирского государственного университета и Новосибирского государственного технического университета (руководители — академик Ю.И. ТТТо-кин и д.ф,-м.н., профессор В.М. Ковеяя; Новосибирск, 2005); семинаре гтПроблемы математического и численного моделирования" Института вычислительного моделирования СО РАН (руководитель — чл,-корр. РАН В.В. Шайдуров; Красноярск, 2005),
Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 статей в научных журналах и сборниках трудов конференций, а также тезисы докладов на научных конференциях [17]—[31]? [76], [77], [80].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и приложения. Общий объем диссертации составляет 164 стр,? включая 47 рисунков и 17 таблиц. Список литературы содержит 83 наименования:.
Содержание работы.
В первой главе диссертации описаны методы решения краевых задач, возникающих, в частности, при определении напряженно-деформированного состояния композитных оболочечных элементов конструкций. Сформулированы проблемы, возникающие при решении краевых задач для систем дифференциальных уравнений с малыми и большими параметрами. Изложены алгоритмы используемых в работе методов решения одномерных краевых задач.
Вторая глава посвящена разработке алгоритма реиюяия многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) на основе МДО. Предложено решение проблемы построения векторов начальных данных для многоточечных краевых задач. Описана соответствующая модификация МДО, Численно исследована проблема обеспечения устойчивости счета при использовании МДО. Выявлены различные механизмы потери устойчивости. Построены зависимости минимального числа узлов ортогоыализации, при котором счет становится устойчивым, от спектрального радиуса матрицы Якоби системы дифференциальных уравнений. Сформулированы критерии для контроля и обеспечения устойчивости расчета МДО и, на их основе, разработан алгоритм решения краевых задач для систем ОДУ с автоматическим выбором шага интегрирования и расстоянии между узлами ортогонализации. Проведено тестирование этого алгоритма на задачах с известными аналитическими решениями. Предложена методика обеспечения и повышения точности расчетов с применением неравномерных адаптивных сеток для процедуры численного интегрирования задач Коїли, возникающих в МДО,
Третья глава диссертации посвящена моделированию свойств композитов и описанию основных положений теории пластин и оболочек, вы-
воду разрешенных сметем уравнений, описывающих НДС круглых пластин и оболочек вращения. Приведены определяющие соотношения ряда структурных моделей КМ и структурных критериев прочности и начального разрушения композитов, которые используются в работе- Проведен сравнительный анализ расчетных характеристик однонаправлен-по и перекрестно армированных КМ с известными экспериментальными данными- Выписаны исходные pi получены разрешенные системы уравнений классической теории оболочек Кирхгофа — Ллва и теории типа Тимошенко, описывающие иеосесимметричное НДС оболочки враідеі-шя осесимметричгюго строения, С помощью метода разделения неременных получены одномерные краевые задачи для определения коэффициентов в разложении решения в ряды Фурье по окружной координате.
Четвертая глава посвящена моделированию поведения главного зеркала параболической антеш-хьт Исследовано влияние структурных и механических характеристик КМ иа НДС параболического рефлектора, выполненного в виде тонкой композитной оболочки и подверженного действию собственного веса, ветровой и температурной нагрузок и их комбинаций. Показано, что спектральные характеристики матриц систем ОДУ? полученные из исходной системы с частными производными методом разделения переменных, существенно зависят от механических и структурных параметры материала, номера рассчитываемых гармоник в разложении решения в ряды Фурье. Проведены параметрические исследования характера поведения рефлектора в зависимости от структуры КМ и механических характеристик фазовых материалов. Проведен анализ влияния вида нагруженшг на НДС рефлектора. Достоверность численных результатов обеспечена совпадением результатов, полученных двумя принципиально разными численными методами.
В питой главе исследованы особенности деформирования, определены нагрузки начального разрушения армированных куполов, находящихся под действием собственного веса, ветровой и температурной нагрузок. Исследована структура матрицы системы ОДУ в зависимости ог геометрии оболочки, структурных и механических характеристик
KMj номера рассчитываемой гармоники. Исследовано влияние формы купола и его линейных размеров, структурных и механических характеристик КМ на запас прочности. Выявлены характерные зависимости оптимальной высоты купола от типа его геометрии, структурных и механических характеристик КМ- Исследовано влияние структурных и механических характеристик КМ ыа прочность куполов различной формы, находящихся в условртях комбинированного нагружения. Определены нагрузки начального разрушения и построены гиперповерхности прочности в пространстве приращения температуры и давления ветра. Как и в четвертой главе достоверность численных решений обеспечена совпадением результатов, полученных двумя разными численными методами.
В шестой главе, изучено влияние неоднородности и анизотропии КМ на деформирование резинокордной тороидальной оболочки, влияние выбора модели КМ и теории оболочек на результаты расчетов напряженно-деформированного состояния оболочки. Показана необходимость учета нелинейных слагаемых при расчете резинокордных тороидальных оболочек. Показано существенное влияние на результаты расчетов выбора модели КМ. Рассмотрены схемы армирования оболочки с несимметричным, относительно меридиана, строением. Показано, что их применение позволяет реализовать значительно более широкий спектр НДС в оболочке, в сравнении симметричными схемами.
В заключении сформулированы основные результаты работы, В приложении приведены тексты основных процедур программной реализации разработанного алгоритма решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Особенности систем дифференциальных уравнений при решении краевых задан
Рассмотрим двумерную краевую задачу для системы дифференциальных уравнений с частными производными, разрешенной относительно производных по одному из направлений вида: - - = Афи ,2) gxf + f (у, хь.,,_), (1.1) где к немому индексу m применяется правило суммирования. К системам такого вида можно привести, например, исходные соотношения определяющие НДС композитных оболочек. При этом порядок системы уравнений и то, какие из производных по второму направлению будут входить в систему, зависит от используемой теории оболочек. Так для классической теории Кирхгофа — Лява порядок системы уравнений равняется 8-ми її в правой части присутствуют производные первого и второго порядков; для теории Тимошенко порядок системы ранен 10-ти, а в правой части присутствуют производные только первого порядка; для теории Андреева Немировского порядок разрешенной системы дифференциальных уравнений равен 12; для теории "ломаной линии" Григо-люка— Куликова — 4Х -Ь 6? где К — число слоев оболочки.
Рассмотрим несколько практически важных классов краевых задач расчета замкнутых в окружном направлении оболочек вращения и кру говых пластин. Первый — класс осесимметричных задач, когда граничные условия и вектор f не зависят от окружной координаты, а все компоненты матриц Am; m 0 равны нулю. В таком случае решение краевой задачи также не зависит от окружной координаты: у = y(s), где s — координата,, отсчитываемая по меридиану.
Другой важный класс задач — линейные задачи неосесимметрич-ыой деформации оболочек осесимметричного строения, что соответствует системам уравнений вида: = ) + AWy(S, V) + f (S, „), (1.2) где ip — координата в окружном направлении. Граничные условия по окружной координате — условия склейки11, условия по меридиональной координате запишем в виде: {Spy yGv. Ф)) - 9р{Ф) = 0, р = 1, - - -, 3, (1.3) где Si Si S2 - ss s ; si} sr — границы области решения задачи, 3 — порядок системы уравнений. Для этого класса краевых задач опишем метод разделения переменных для сведения двумерной краевой задачи к одномерным.
Итак, если участвующие в постановке краевой задачи (1.2), (1.3) вектор-функция свободных элементов системы f(s, ) и функция др{(р) допускают разложение в ряды Фурье вида: со f(з7 р) = f0(s) + 2 [f- (s) sin( ) + fn(s) cos(ny)], (1.4) CO 9Р{ф) = 9pfl + XI " sinCnvO + 9p n cos(n )] , то обобщенное решение соответствующей краевой задачи также можно представить в виде ряда Фурье; со y(s, tp) = y0{s) + \y-nis) sin(n ) + y„(s) cos(n )]. (1.5) Такое представление решения автоматически удовлетворяет условиям "склейки" по окружной координате.
Отметим, что если существует Am(s) т 0 где т — нечетное, то краевые задачи (1.9) и (1.10) для определения y_n(s) и yn(s) являются связанными, и, тем самым, порядок разрешающей системы ОДУ удваивается. Вследствие линейности исходной двумерной и разрешающих одномерных краевых задач, при использовании изложенного подхода необходимо рассчитывать лишь те гармоники, для которых отличны от нуля коэффициенты f-rc(s), $п($) или gPt7l. Это существенно сокращает объем необходимых для решения задачи вычислений.
К решению одномерных краевых задач сводится широкий класс задач математической физики и других областей науки, в частности — задачи расчета и анализа НДС композитных оболочечных конструкций. При этом, получаемые системы уравнений могут иметь высокий порядок, содержать большие и малые параметры, вследствие чего решения задач имеют ярко выраженный характер погранслоев. Проблемы численного интегрирования задач Коши для жестких систем ОДУ разработаны достаточно подробно, Б отличие от вопросов решения краевых задач. Рассмотрим основные отличия систем уравнений в краевых задачах от систем уравнений в задачах Коши.
В работах, посвященных проблемам численного интегрирования задач Коши для жестких систем ОДУ [47, 62, 67] и др., рассматриваются задачи, решение которых устойчиво относительно начальных данных. Для таких задач спектр матрицы системы лежит в левой комплексной полуплоскости, хотя допускается и существование собственных чисел с малой положительной действительной частью. Области устойчивости методов численного интегрирования задач Коши также лежат преимущественно в левой комплексной полуплоскости и не содержат действительных положительных собственных чисел. Для явных методов, кроме этого, области устойчивости ограничены.
Анализ эффективности алгоритма при решении задачи изгиба слоистых кольцевых пластин
На основе полученных данных можно также восстановить в тех же узлах векторы производных решения, которые можно использовать для построения интерполяционных сплайнов. Кроме того, в результате работы алгоритма на прямом ходе возникает служебная информация о структуре решения; наборы векторов-решений задач Коши и линейные операторы ортогонализации в соответствующих узлах, которые могут быть использованы для проведения уточняющих расчетов.
На первом этапе алгоритма на основе граничных условий на левом крае вычисляем начальные векторы, но алгоритму описанному в 2,1. Определяем исходные шаг интегрирования и расстояние до следующего узла ортогопализации, используя для этого соответствующие максимально допустимые значения. После этого переходим ко второму этапу алгоритма На прямом ходе алгоритма в цикле решаем задачи Коши от текущего до следующего предполагаемого узла ортогопализации. При решении задач Кошн автоматически строится сетка узлов интегрирующей процедуры. Производим поиск узла сетки интегрирующей процедуры, в котором ортогонализация проходит успешно и выполняется критерий (2.17). Определяем ноше расстоян ие до следующего предполагаемого узла оргогонализации и новый шаг интегрирования как длину последнего интервала интегрирования перед найденным узлом, в котором успешно прошла ортогонализация и выполнен соответствующий критерий- Продолжаем цикл до тех пор, пока не будет достигнут правый край интервала интегрирования, используя в качестве новых начальных векторов для задач Коши векторы, полученные в результате ортогонализации.
Третий, четвертый и пятый этапы не отличаются от алгоритма метода дискретной ортогонализации.
Опишем подробнее процедуру численного интегрирования задач Коши с автоматическим построением сетки и процесс выбора узла ортогопализации.
В качестве начального шага интегрирования выбирается полученный на основе предыдущих интегрирований. Производим два интегрирования с указанным шагом по процедуре Мерсона (1.26). Проверяем выполнение критерия (2.19) на втором из интервалов иытегрировагшя и выбираем новый шаг разделив текущий на 1СГ. Если, при этом, критерий яе удовлетворен, то повторно производим два интегрирования от начала интервала с новым шагом. Далее производим по одному интегрированию, каждый раз проверяя выполнение критерия и выбирая новый шаг путем деления текущего шага на 1СГ) при этом, в случае невыполнения критерия производится повторное интегрирование с новым шагом. В данном процессе яри выборе шага нужно контролировать, что новый шаг должен удовлетворять ограничениям на максимальную и минимальную величину, задаваемым через входные параметры алгоритма.
Выбор узла ортогонализации и расстояния до следующего производим следующим образом. В результате численного интегрирования задан Копій до предполагаемого узла ортогонализации имеются узлы сетки и наборы соответствующих векторов-решений. По умолчанию выбирается последний узел и в нем выполняется процедура ортогонализации- Если ортогонализация прошла неуспешно, т.е. набор векторов решений в узле линейно зависим, то выбирается другой узел сетки интегрирования — между первым и текущим — и снова производится ортогонализация. После успешной ортогонализации проверяется выполнение критерия (2.17) и определяется новое расстояние до предполагаемого узла ортогонализации путем домножения текущего на W ,/const из указанного критерия. Если критерий не выполняется, то выбирается новый узел из построенной сетки интегрирующей процедуры, такой, чтобы расстояние до пего от предыдущего узла ортогонализации было близко, но не превышало полученное новое расстояние до узла ортогонализации7 и для этого узла повторяется процедура ортогонализации и выбора нового узла начиная с этапа проверки успешности ортогонализации.
Алгоритм реализован программно, тексты основных процедур приведены в приложении.
Проверка алгоритма на использованной в тестах задаче изгиба длинной слоистой пластины показала, что применяемый способ контроля устойчивости позволяет автоматически строить сетки из узлов ортогонализа-ции и интервалов интегрирования, обеспечивая устойчивость и удовлетворительную точность расчетов (см. табл. 2.2, где А — спектральный радиус матрицы системы дифференциальных уравнений, є — полученная максимальная приведенная погрешность, J — общее число вызовов интегрирующей процедуры).
Отметим, что дифференциальные уравнения, описывающие изгиб длинной слоистой пластины, образуют систему с постоянными коэффициентами. Чтобы проверить работу алгоритма на краевых задачах для систем уравнений с переменными коэффициентами, применим его к решению задачи изгиба кольцевой пластины [5].
Сравнительный анализ расчетных характеристик композиционных материалов с экспериментальными данными
Проблемы прочности КМ разрабатывались многими авторами и получили в литературе широкое освещение. Так же как и при построении моделей КМ7 при установлении критериев прочности можно выделить два основных похода — феноменологический и структурный. В рамках первого из них КМ рассматривается как квазиоднородная упругая среда, для которой постулируется критерий прочности. Параметры, входящие в его математическую формулировку, определяются из экспериментальных данных. Среди феноменологических критериев прочности важное место занимает тензорно-полиномиальиый критерий [54], который обобщает практически все известные феноменологические критерии. Однако следует отметить, что даже для относительно простых видов напряженного состояния требуется реализовать весьма трудоемкие программы экспериментов и математической обработки полученных данных. Другой недостаток таких критериев — их формулировка в терминах средних напряжений, что не позволяет выявить механизм возникновения начального разрушения и исследовать направление его дальнейшего развития. Структурный подход свободен от указанных недостатков. Это направление базируется на изучении напряжений в элементах субструктуры, для каждого из которых принимается тот или иной критерий прочности. После определения средних характеристик НДС в конструкции, напряжения в элементах КМ восстанавливаются с помощью уравнений структурной модели- Таким путем вычисляются разрушающие интенсивности внешних нагрузок всех элементов композита, и наименьшая из них принимается за нагрузку начального разрушения. Этот подход позволяет выявить эффективность работы связующего и армирующих элементов, указать рациональные по прочности параметры армирования.
Рассмотрим структурный критерий прочности волокнистого КМ [5], который будет использован ниже в конкретных расчетах. Наряду с допущениями, сформулированными в предыдущем разделе, примем следующие два постулата: — адгезионная прочность связующего не ниже когезионной; — материалы связующего и армирующих элементов подчишпотся условиям прочности вида: F(V(afih г№ " О - 1, (3.21) где сг"1", а —- пределы прочности материала на растяжение и на сжатие соответственно. В качестве условий прочности можно принять, например, критерий Баландина [32], тогда аП + а22 + гг — 11 22 — #"11 33 — 22 33 + + Ъа\2 + 3rx23 + Зт22з - (сг+ - 0( п + 2 + зз)1 {a va )-\ (3.22) Если пределы прочности на растяжение и сжатие совпадают а+ = а = т } то из (3-22) получаем критерий Мизеса: М{ {а0), г(аЗ) СГ ) = 1- (3.23) При использовании критерия Мизеса удобно использовать приведенные интенсивности напряжений в матрице и волокнах г-го семейства арматуры bsc = max /sup FM{ 0)cV r 3)filJ r ), /sup -F (cr(a ,2; r(a3)c2, a ) , К - ф Ы т а ), (3.24) где V" — область занятая слоем. Начальное разрушение в матрице или волокнах произойдет в случае, когда bsc, bs = 1, соответственно.
Основываясь на приведенных зависимостях, линейная задача определения нагрузки начального разрушения армированного слоя решается следующим образом. Пусть рассматриваемая оболочка нагружена системой внешних нагрузок, интенсивности которых пропорциональны скалярному параметру Р. В силу линейности дифференциальных уравнений и граничных условий соответствующей краевой задачи статики обо лочечных конструкций напряжения в волокнах и связующем будут пропорциональны Р [5]. Тогда нагрузки начального разрушения обратно-пропорциональны интенсивностям напряжений в соответствующих элементах и равны для связующего, волокон n-го семейства и слоя в целом P:=P-Vsc\ РГ = Р-(КГ\ Р =тж{Р;,Р:п}, (3.25) где величины bsc, bsa соответствуют НДС при значении скалярного параметра Р = Р.
Для определения нагрузки начального разрушения в нелинейном случае можно использовать следующий итерационный процесс. 1) Задается начальное значение нагрузки Pf. 2) Решается задача определения НДС оболочки/пластины при значении скалярного параметра Р = Pf. 3) Вычисляется frs = max{6s, bsc} и Р по приведенным выше формулам. 4) Если 1 — 6s с 0, то задается новое значение величины Р! — Р и осуществляется возврат к пункту 2. 5) Искомое значение нагрузки начального разрушения равно F .
Рефлектор под действием собственного веса и ветровой па-грузки
Осесимметричыый случай поведения зеркала под действием собственного веса реализуется лишь для одного единственного положения антенны — с осью, направленной вертикально вверх, в то время как главным преимуществом использования ЗА является передача-приём узконаправленного сигнала, для чего необходимо иметь возможность менять наклон оси. Поэтому есть необходимость в проведении исследований для задачи в более общей, неосескмметричной постановке.
Использование ЗА на крышах высотных зданий и открытых площадках приводит к необходимости учёта сильных ветровых нагрузок. Рабочими ветровыми нагрузками для таких антенн являются давления в 600 4- 800 кг/м2, что соответствует скоростям ветра порядка 20 м/с. Кроме этого, антенны, используемые в подобных условиях, должны быть рассчитаны на нагрузки, соответствующие ураганным ветрам со скоростями 40 м/с и выше. С учетом того, что ураганные ветры несут по воздуху существенные пылевые взвеси, давление ветра может достигать 3000 кг/м2 и больше. Поэтому, проведение исследовании по применению зеркальных антенн на доступных таким ветрам площадках обязательно должно включать исследования прочности при сильных ветровых напруженнях.
Рассмотрим поведение зеркала параболической антенны, ось которой направлена под углом /3 = 30 к поверхности Земли. Такое положение может соответствовать, например, антенне, принимающей или передающей сигнал через искусственный спутник Земли. Сейчас большинство отечественных производителей ЗА изготавливают рефлекторы из конструкционного алюминия, так как алюминий является легким, доступным и относительно прочным металлом. Покажем, что такая кон струкция уступает и по прочности, и ло жесткости армированной. Итак, исследуется поведение конструкции, изготовленной из алюминия, армированного углеродным волокном, под действием собственного веса, что в общей, неосесимметричной постановке создает осесимметричное и антисимметричное нагружегшя, чему соответствуют разрешающие системы (3.78), (3,79), при т 0 и т = — 1 соответственно. Приведённые нагрузки при этом задаются выражениями QU о = 2/ipg cos/? sin в, 2, о = 0, Q3I о = 2Лр ? cos /3 cos в, Qi-i = —2hpg-smpca&8, q2-i —2hpg-sin/3, 3-1 = -2hpg-sin/ЗБІПО. Для сравнения рассматривается алюминиевое зеркало тех же размеров.
На рис. 4.6 представлены результаты расчетов зависимостей максимальных приведенных напряжений в матрице, окружном и спиральных семействах арматуры, а также максимальных прогибов от угла укладки спиральпых семейств ф. На графиках сплошные линии соответствуют и2 = 0, пунктирные — UJ2 = 0.4, штриховые - - и)2 0, 8, а штрих пунктирные — максимальным иитенсивностям напряжений и прогибам в изотропной алюминиевой конструкции. Видно, что армирование может как улучшить, так и ухудшить жесткостные и прочностные характеристики конструкции. Так, укладка всей арматуры вдоль меридианов снижает напряжения и прогибы по сравнению с алюминиевой конструкцией- С другой стороны, в случае укладки всей арматуры в окружное семейство или при армировании спиральными семействами с углами укладки близкими к 90 увеличиваются и прогибы, и напряжения. Напряжения в волокнах окружного семейства меняются незначительно по сравнению с напряжениями в матрице или спиральных семействах арматуры. Это служит ещё одним аргументом в пользу проведения предварительных исследований перед применением КМ для изготовления зеркал антенн, работающих в тех или иных условиях нагружения.
В целом, как и в осесимметричном случае, видно, что при воздействии только собственного веса конструкция недогружена и остается в упругом состоянии при любых параметрах армирования. И, как и ранее, в качестве основного критерия выбора материалов и структурных параметров КМ при изготовления зеркал антенн, основной нагрузкой которых является собственный вес, можно принять соответствие отклонений профиля зеркала предъявляемым техническим требованиям. Показано, что применением высоко модульных аршіруюгцих волокон можно добиться уменьшения прогибов зеркала, не увеличивая при этом веса конструкции. Для этого хорошо подходят углеродные волокна, обладающие высокими модулями упругости (350-1000 ГГТа), достаточно высокими пределами прочности (2-7 ГПа) и небольшими удельными плотностями (1.7-2.5-103 кг/м3).
Ветер, как и собственный вес, создает симметричное и антисиммет рвчиое напруження, по так как ШЮІ веса и ветра в ООХЦСІИ случае, могут будет сОіХгвогствоЕать іаржжикам с іабіхтатв шитиельнвши к новогжжк лшсти аптиси УС совпадал номерами ге. -ги составляю летрмн еоослштшого о иетрошш нагрудна J ЛІ. і, Булем пре ммті. магруокіт тогда fU,m дооавляютея елагшт\ше je гілт 4л иллюстрирует влшшие на поведение конструкция иарамет-я! нагруження. Здесь д угол между иаправдсиием ветра (в иред-їлож шш, что оно параллельно іК)верхноетд землі л ц плоскостью об равдтмон осью антенны я проекцией на поверхность дод.:цк Ш;шо, что влияние существенно - прогибы меняются Схшее чем в 10 ра д а жтшдьные интенсивности напряжений в 6 pax При этом легко виді деть, что мша р.шільпьіо гшачення и для МЯТСІІОІНІІІООТЄЙ шшряжоїшй, для прогибов достигаются когда, направление -ветра, перпендикулярно іоекопи. проходящей перга ог.ь аи тонны и вертикаль. Поіттоуу в даль-йших исследованиях мы будем рассматривать именно такую ветровую Расе отркм зеркало штлшьа уеташш;іешк.Ш вертукалыш (осъ на-оілельна поікджпоегн помди У под давлением ураганного ветра
