Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Обзор и анализ методов построения математических моделей оболочек 9
1.1 Задачи моделирования формы оболочек вращения... 9
1.1.1. Математическое моделирование и оптимизация 9
1.1.2. Выбор математических критериев оптимизации 11
1.2. Минимальные поверхности и поверхности постоянной средней кривизны 14
1.2.1. Минимальные поверхности 14
1.2.2. Поверхности постоянной средней кривизны 18
1.2.3. Поверхности Делоне 22
1.2.4. Минимальные поверхности в природе 24
1.2.5. Жидкие мембраны и проблема Хельфриха (W. Helfrich) 28
1.2.5.1. Особенности строения жидких мембран 28
1.2.5.2. Вариационная проблема Хельфриха (W. Helfrich) 31
1.3 Поверхности наименьшей площади в строительстве и машиностроении 34
Выводы 39
ГЛАВА 2 Математическое моделирование образующих оболочек вращения экстремальных форм 40
2.1 Поверхности вращения 40
2.2. Постановка задачи и вывод уравнений образующих 44
2.2.1. Постановка задачи 44
2.2.2. Кривизна и радиусы кривизны поверхности 47
2.2.3. Краевые условия 48
2.2.4. Приведение основных соотношений к безразмерному виду 50
2.2.5. Интегрируемые случаи 52
2.3. Классификация экстремальных поверхностей 56
2.4 Приведение уравнения образующей общего вида к эллиптическим интегралам 56
2.5. Использование краевых условий для определения множителей Лагранжа.. 70
Выводы 73
ГЛАВА З Математические модели поверхностей при различных множителях лагранжа 74
3.1. Нодоидные и ундулоидные поверхности 74
3.1.1. Уравнение образующей безмоментной равнопрочной
оболочки вращения 75
3.1.2. Определение постоянных интегрирования 77
3.2.2. Приведение уравнений образующих к зллиптичесісим интегралам .. 78
3.2. Форма куполов храма Василия Блаженого 87
Выводы 92
ГЛАВА 4 Катеноид и поверхность катеноидного 93
4.1. Катеноид 93
4.2. Математическая модель поверхности катеноидного типа 98
4.2.1. Поверхность катеноидного типа, соединяющая два конуса 101
Выводы 105
ГЛАВА 5 Математическая модель поверхности «ПенКа» 106
5.1. Уравнение образующей и параметры поверхности 106
5.2. Определение постоянных С и А, 107
5.3. Приведение к эллиптическим интегралам 108
5.4. Интегрируемые случаи 121
5.5. Прямая 124
Выводы 124
Заключение 126
Литература
- Выбор математических критериев оптимизации
- Постановка задачи и вывод уравнений образующих
- Приведение уравнений образующих к зллиптичесісим интегралам
- Приведение к эллиптическим интегралам
Введение к работе
Актуальность темы.
Экстремальные условия работы элементов современных конструкций, сложность их формы и значительные габариты делают исключительно трудным и дорогим осуществление натурного эксперимента. Именно поэтому все большее распространение получают вычислительные комплексы, пакеты прикладных программ ANSYS, NASTRAN, Cosmos и др., основанные на применении метода конечных элементов. Эти пакеты программ математического моделирования позволяют решать задачи прочности, теплопроводности, гидромеханики и т.п.
При выполнении прочностных расчетов неизбежен выбор математической модели всей конструкции или отдельных ее частей. Этот выбор включает в себя несколько этапов:
построение физической модели материала, учет внешних нагрузок, различных подкреплений и т. д.;
выбор геометрии изделия - либо в виде чертежа, либо математического описания всего изделия, либо его части;
Выбор геометрической формы изделия - один из основных этапов проектирования строительных или машиностроительных конструкций.
Тело, обладающее минимальным значением площади поверхности при заданном объёме (минимальное тело), даже не являясь ёмкостью, имеет на практике ряд преимуществ. Так, например, при изготовлении оптимального тела требуется меньше материала. При нанесении защитного покрытия на тела с минимальной площадью поверхности сокращается расход материала, который во многих случаях оказывается намного дороже основного материала. Тела с минимальной площадью поверхности имеют и наименьшие тепловые потери.
Переходные оболочки вращения, соединяющие два трубопровода различных диаметров и имеющие минимальную поверхность, отличаются меньшим гидравлическим сопротивлением.
Очевидно, что масса полых тонкостенных геометрических тел будет пропорциональна площади их поверхности. Таким образом, задача минимизации и оптимизации массы оболочек сводится к задаче по минимизации площади поверхности этих оболочек при заданном их объёме и обеспечению необходимой прочности и жесткости.
Таким образом, актуальность работы не вызывает сомнений. Решаемые в диссертационной работе проблемы обусловлены первостепенным значением геометрических параметров для конструирования строительных и машиностроительных объектов. Вопросы прочности часто являются следствием оптимальной геометрии.
Цель и задачи исследований.
Цель диссертации - получение математических моделей оболочек, образованных вращением вокруг оси симметрии кривой заданной длины и ограничивающих наибольший объем при наименьшей площади поверхности.
Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:
Решить вариационную задачу на условный экстремум по условиям длины кривой, площади и объёма поверхности вращения.
Провести классификацию этих поверхностей по условиям экстремума и выбрать наиболее простые аналитические зависимости для представления образующих.
Выбрать методы математического описания исследуемых оболочек.
Удовлетворить условия гладкого сопряжения для переходных оболочек, соединяющих два конуса.
Научная новизна работы.
> При решении неклассической вариационной задачи со свободными
концами получено интегральное выражение для кривой, при вращении которой
вокруг оси OZ получаем спектр поверхностей, названных экстремальными. При
различных сочетаниях неопределенных множителей Лагранжа получаем такие
известные поверхности как тор, сфера, цилиндр, весь класс поверхностей Дело-
не и новый вид поверхностей, ограничивающих максимальный объем при заданной длине образующей. Получены уравнения кривых, выраженные посредством эллиптических интегралов.
В результате исследований поверхностей для образующих получены зависимости, выраженные через эллиптические интегралы, а также различные варианты плавного сопряжения поверхностей с двумя конусами.
Получено уравнение нодоидно-ундулоидных поверхностей из условий равнопрочности безмоментных оболочек вращения.
Показано, что купола храма Василия Блаженного являются оболочками наименьшей площади поверхности при заданном объёме.
Методы исследования.
> Классический аппарат вариационного исчисления, теория решения
дифференциальных уравнений, аппарат специальные функций, стандартные
математические программы MATHCAD и MAPLE.
Достоверность результатов
обусловлена применением классических методов вариационного исчисления, сравнением результатов, полученных разными методами и совпадением их с результатами других авторов;
физическим моделированием нодоидно-ундулоидных поверхностей мыльными пленками.
Основные положения, выносимые на защиту:
Математическая модель семейства оболочек вращения, удовлетворяющая экстремальным значениям длины образующей, объема и площади поверхности вращения.
Математическая модель образующих нодоидно-ундулоидного типа полученная из условий равенства окружных и меридианных напряжений, что позволяет исключить дополнительные подкрепления.
Математическая модель, описываемая уравнениями образующих нодоидно-ундулоидных поверхностей в соединении с двумя конусами.
Математическая модель образующих оболочек, ограничивающих максимальный объем при заданной длине образующей, и результаты исследования ее основных свойств.
Доказательство универсальности нодоидно-ундулоидных поверхностей в природе и строительстве.
Практическое значение диссертации
Переходники в виде прямых ундулоидов и оболочек, ограничивающих максимальный объем при заданной длине образующей, внедряются при строительстве газопроводов в ОАО «Уренгойтрубопроводстрой».
Полученные результаты используются в учебном процессе на архитектурном факультете и институте ПГС Пензенского государственного университета архитектуры и строительства.
Апробация работы. Материалы диссертации доложены и обсуждены на следующих конференциях:
III Всероссийской конференции с международным участием по теории упругости (Ростов - на - Дону, 2003 г)
Международной конференции «Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы» (Москва, 2001г.);
Международных форумах по проблемам науки, техники, образования. (Москва, 2001 и 2002 г). В 2001 работа «Купол русской церкви как оболочка оптимальной формы» удостоена «Золотого диплома» форума;
Международная конференция «Моделирование как инструмент решения технических и гуманитарных проблем» (Таганрог, 2002 г.);
XXI Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, 2005г.);
IV и V Всероссийских семинарах «Проблемы оптимального проектирования сооружений (Новосибирск, 2002 и 2005 г.).
Кроме того, материалы диссертации доложены и обсуждены на семинарах кафедр «Теоретическая механика» Казанского государственного университета, «Теоретическая механика и технология» Пензенского государственного университета, «Теория упругости и биомеханика» Саратовского государственного университета, научно - технических конференциях Пензенского государственного университета архитектуры и строительства.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 16 печатных работ.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, указателя использованной литературы и приложения на 2 страницах. Текст изложен на 137 страницах, проиллюстрирован 45 рисунками и 8 таблицами. В указателе литературы содержится 70 российских и 28 иностранных источников.
Работа выполнена на кафедре «Строительная и теоретическая механика» Пензенского государственного университета архитектуры и строительства под руководством доктора технических наук, профессора, заслуженного работника высшей школы Российской Федерации, советника РААСН Данилова A.M.
Выбор математических критериев оптимизации
Современная теория оптимизации-включает в себя две большие части. Первая из них, математическое программирование, имеет дело с оптимизацией в конечномерных пространствах. Вторая, которую называют теорией оптимальных систем или теорией оптимального управления, изучает экстремальные задачи в функциональных пространствах.
Большое влияние на развитие теории оптимальных систем оказало стремление создать конструкции, обладающие наилучшими, с том или ином смысле, характеристиками. Возникающие при этом задачи в большинстве своем являются задачами вариационного исчисления [15, 16, 69, 70]. От обычных вариационных задач их отличает наличие соотношений, задающих замкнутые области допустимых изменений всех или некоторых переменных, которыми описываются технические ограничения на параметры изучаемых систем. Такие задачи называют неклассическими задачами вариационного исчисления [5], хотя в вариационном исчислении таким системам внимание уделялось [1].
В теории пластин и оболочек часто встречается подход, который позволяет свести задачу оптимального проектирования к задаче математического программирования [11, 8, 52]. Сторонники этого подхода считают, что в конечном итоге в процессе численного решения все равно неизбежен подход к конечномерной проблеме. Такой подход считается правомерным. В обзоре В. Прагера [34] прямо говорится: «оптимальное проектирование в упругой стадии приводит к задаче нелинейного программирования». Однако получение качественных результатов при анализе решения в задаче оптимального управления, как правило, возможно, в случае, если используется аппарат функционального анализа. Наиболее общей задачей оптимального проектирования механических - конструкций является проектирование трехмерных упругих конструкций [34].
При проектировании трехмерной механической конструкции управление может осуществляться или ее свободной поверхностью [34, 53], или упругими модулями материала [9]. В некоторых случаях управление может осуществляться поверхностной нагрузкой, действующей на упругое тело [68]. Задачи оптимизации теории деформируемых тел можно разбить на две большие группы: 1. Задачи оптимизации внешних воздействий на заданные деформируемые тела или конструкции. 2. Задачи оптимизации формы деформируемых тел, в которых осуществляется управление основными характеристиками деформируемого твердого тела или системы. Эти задачи называют обычно задачами оптимального проектирования механических систем (конструкций). Первая задача оптимального проектирования была поставлена и решена ещё Лагранжем. Это была задача о минимуме веса колонны, сжимаемой приложенной к её свободному концу силой. При решении задачи находилась форма колонны, отвечающая минимуму веса при заданной критической силе. Критерием качества или целевой функцией здесь являлся вес колонны. Эта задача вот уже более двухсот лет привлекает внимание исследователей.
При оптимальном проектировании конструкции целевой функцией может служить не только масса или объём материала системы, но и её жёсткость, собственные частоты колебаний, критическая сила или другая функция, определяющая разрушение системы.
При решении задач оптимального проектирования большое значение имеет выбор математической модели самой системы и модели её материала. Конкретизация модели системы или её отдельных частей часто проводится на основании анализа соотношений между размерами системы. Так, если один из размеров много меньше двух других, мы приходим к представлению о тонкой оболочке или тонкой пластине [10, 31]. В случае, когда один из размеров существенно больше двух других - приходим к модели тонкого стержня [14]. Для определённых соотношений размеров приходим к моделям плоских или симметричных задач теории упругости.
Большое значение имеет и выбор модели материала конструкции. Материал может быть упругим, упруго - пластическим и т.п. [30, 48, 67]. Кроме этого, материал может быть изотропным, анизотропным, ортотропным. Математическая модель материала может быть линейной или нелинейной.
Все эти факторы делают задачи оптимального проектирования весьма разнообразными, а при учете нескольких управляющих параметров - очень сложными.
В механике вообще, а при решении задач оптимизации, в частности, широко используются различные вариационные принципы. Использование экстремальных вариационных принципов положено в основу исследования в целом ряде работ [33, 68, 56]. Задача оптимизации формы может сильно упроститься, если в ограничение входит величина или функция, с помощью которой формулируется экстремальный принцип [34].
В современной технике широкое применение при проектировании находят тонкостенные оболочечные конструкции. Кроме традиционно используемых оболочек вращения (цилиндр, конус) все большее распространение получают оболочки с заранее заданными свойствами - как прочностными, так и геометрическими. Архитектурой и прочностным расчетом оболочек сложных форм много и успешно занимается школа В.Г. Рекача - С.Н. Кривошапко [18, 19,49].
При проектировании оболочечных конструкций необходимо учитывать не только большое число различного рода ограничений, но и назначение используемой конструкции. Здесь в первую очередь можно выделить ограничения на прочность, геометрические ограничения, ограничения на поведение конструкции и т.д. В зависимости от назначения конструкции определяется целевая функция, которая определяет качество проектирования.
Наиболее часто применяемой целевой функцией являются общая стоимость изделия конструкции, включая затраты на материал, масса конструкции и ее прочностные характеристики.
Постановка задачи и вывод уравнений образующих
В классической теории пластинок и оболочек рассматривается срединная поверхность и её геометрия, а изгибная энергия берется по этой поверхности. Для многослойной пластины изгибную энергию считают равной сумме энергий отдельных слоев. HJ. Deuling и W. Helfrich в [84, 85] были сделаны следующие предположения: 1. Полученные поверхности имеют постоянную среднюю кривизну 2. Введен параметр с0 - отклонение средней кривизны от постоянного значения (spontaneous curvature), которую можно интерпретировать как постоянную Лагранжа; с0 часто называют кривизной Хельфриха. Равновесную форму двухслойной липидной мембраны определяют как функционал от поверхностной энергии - энергии, отнесенной к единице площади: F = -j{2-H + c0fdA + kJKdA + XJdA + pjdV. (1.2.6)
Здесь кс и к - изгибные жесткости мембраны в двух взаимно перпендикулярных направлениях, с0 - кривизна Хельфриха, X - напряжение при растяжении, р - осмотическое давление между слоями; Ни К- средняя и гауссова кривизны поверхности 5; dV- элемент объема, dA - элемент поверхности S. Многие авторы [76,77,79] считают \р, с0 постоянными Лагранжа и рассматривают полученный функционал как трехпараметрическое семейство поверхностей.
Уравнением Эйлера - Лагранжа принимает вид 2ксАН+кс(2Н+с0)-(2Н2-с0Н-2н)-2Ш + р = 0. (1.2.7) где А - оператор Лапласа - Бельтрами по поверхности S. Если S - поверхность вращения, то уравнение Эйлера - Лагранжа для некоторых частных случаев сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Одно из семейств решений, полученных М Peterson в 1989 г. для красных кровяных телец [93] показано на рисунке 1.15. D. Bensimon в 1991 -1995гт. [71, 72, 82] показал, что замкнутая двухсторонняя поверхность (monolayer) может принимать форму тора В 1995 Н. Naito, М. Okuda, Z. Ou-Yang. в [92] показали, что для поверхностей вращения с одинаковыми изгибными жесткостями решениями будут поверхности Делоне: тор, нодоид, ундулоид. В 2002г. Zhang Yong, Zhou Xin, Zhou Jianium, Ou - Yang, Zhong - san в [98] нашли численные решения для звездчатых фигур, названных триноидом (Trinoid) и копланаром (Coplanar), показанными на рисунке 1.16.
Есть работы, в которых определяют форму оболочки исходя из действующих на оболочку сил и условий прочности. Например, в [12] описаны оболочки вращения, находящиеся в безызгибном напряженном состоянии под действием равномерного внутреннего давления.
В статье В.И. Гуревича и B.C. Калинина [12] показано, что под действием равномерного давления (при надлежащих граничных условиях) строго без изгиба деформируются не только сферическая и цилиндрическая оболочки но и безызгабные оболочки вращения, которые образуют бесконечное двухпарамет-рическое семейство, включающее в себя сферу и цилиндр.
Согласно [31], было выдвину-то предположение, что параметры кривизны при осесимметричной деформации равны нулю, если все нормали к срединной поверхности не поворачиваются. То есть в основу расчета были положены геометрические условия (в рамках гипотез Кирхгофа-Лява).
На рисунке 1.17 из всего бесконечного семейства меридианов безызгибных оболочек вращения L (вокруг оси ординат J/ ) представ лены лишь те, у которых при X = ±rj угол 0j = % (гг радиус «опорной» окружности); интегральное уравнение левой ветви меридиана: (1.3.1)
Этот интеграл можно привести к совокупности эллиптических интегралов. Радиусы кривизны определяются формулами:
Представленные на рисунке 1.17 безызгибные оболочки делятся сферой на замкнутые и незамкнутые в вершине. Последние, в свокі очередь, разделяются круговым цилиндром на оболочки с положительной и і отрицательной гауссовой кривизной вблизи опорного круга.
Очевидно, что масса полых тонкостенных геометрических тел будет пропорциональна площади поверхности. Таким образом, задача минимизации и оптимизации массы оболочек сводится к задаче по минимизации площади поверхности этих оболочек при заданном их объёме и обеспечению необходимой прочности и жесткости. Рисунок 1.18
В монографии сотрудников РФЯЦ - ВНИИТФ В.В. Корпейкина и Е.Н. Петрова [17] дано приближенное решение задачи о нахождении оптимальных геометричес;шх размеров оболочек, ограничивающих заданный объём, с целью получения их минимальной массы. При этом оболочка вращения заменяется системой правильных много гранников (усечённых конусов) с числом боковых граней от трёх до бесконеч ности. Рассматривается составная оболочка, образованная двумя прямыми усеченными пирамидами, соединенными между собой по периметру открытых оснований (рисунок 1.18). Очевидно, что, изменяя соотношения размеров тела, можно получить различные по форме составные оболочки. (Некоторые из составных оболочек в форме тел вращения показаны на рисунке! 1.19. Объёмы этих тел определяются следующим выражениям:
Приведение уравнений образующих к зллиптичесісим интегралам
2 октября 1552 г. пала Казань, навсегда избавив Россию от угрозы татарского нашествия. Царь Иван Грозный для прославления "казанского взятия", заложил на Красной площади Собор Покрова "что на рву", позже прозванный в народе "Василием Блаженным (см. рисунки.3.3 и 3.4). Вначале был выстроен каменный собор "Покровский", который потом по повелению царя был обстроен семью деревянными церквами - приделами. Затем царю "Бог даровал двух мастеров русских по прозвищу Посник и Барма", которым царь повелел "сооружать каменные заветные восемь престолов..." Взявшись за строительство,
Барма и Постник улучшили общую композицию сооружения, придав ему более строгий геометрический план, для чего возвели вокруг собора ещё восемь приделов. В архитектуре Покровского собора многочисленные исследователи нашли строгие математические пропорции, в том числе и пропорции "золотого сечения".
Рисунок 3.2
Схемы куполов были взяты из [6], чертёж сканировался, помещался в среду AUTOCAD, в которой и считывались размеры. (Негладкости образующих обусловлены малым масштабом сканировавшихся чертежей и неровностями самих куполов.) Затем все величины делили на радиус большего основания и получали относительные радиус и высоту. На рисунке 3.2 введены следующие обозначения: г0=1 - радиус основания купола, г\ -верхний радиус, Н- высота, а0 и aj - углы наклона образующей в нижнем и верхнем сечениях, гтах - наибольший радиус, h - высота, на которой радиус купола достигает наибольшего значения. Полученные значения представлены в таблице 3.4. И в таблице 3.4, и на рисунках. 3.3 и 3.4 цифрами обозначены: 1. Центральный столп - церковь Покрова 2. Западный столп - придел Входа в Иерусалим 3. Северный столп - придел Киприана и Устиньи. 4. Восточный столп - придел Троицы. 5. Южный столп - придел Николы Великорецкого. 6. Северо-западный придел Григория-просветителя Армении. 7. Северо-восточный малый придел трёх патриархов. 8. Юго-восточный малый придел Александра Свирского. 9. Юго-западный малый придел Варлаамия Хутынского.
Как видно из таблицы 3.4 и рисунка 3.5, углы в верхнем сечении у всех образующих практически одинаковы, различны углы в нижнем сечении и верхние радиусы. Можно отметить три группы образующих:
1. Церковь Покрова (ri=0,13 и аі=16) и придел Николы Великорецкого (гі=0,11 и аі=17). Результат расчета образующей по формуле (3.2.3) (h=0,ll, ai=17) показан нарис 3.6.
2. Придел Входа в Иерусалим (r;=0,083 ,ао=43), придел Григория Армянского (г;=0,07 и Й0=43), придел Трех патриархов (r;=0,083, ао=44) и придел Киприана и Устиньи (г =0,08 и а/=49) Расчетная образующая при го=0,07 и «о=43 показана нарис. 3.7.
3. Придел Александра Свирского (r f=0,08 и сс/=26) и придел Варлаамия Хутынского (/о=0,07 и а/=24).
Расчетная образующая (r f=0,07 и а/=24) и образующие куполов, как это видно из рисунков 3.6, 3.7, достаточно хорошо согласуются; среднее квадратичное отклонение не превышает 5%; длины образующих - на 15 -18%.
4. Расчетная образующая для придела Троицы значительно отличается от реальной образующей (рис. 3.8).
Относительная длина всех расчетных образующих увеличена в верхней части.
Таким образом, русские зодчие при строительстве Покровского собора интуитивно спроектировали купола максимального объёма с наименьшей площадью поверхности, а следовательно, и наименьшим весом.
Выводы
1. Проведена классификация математических моделей образующих экстремальных поверхностей вращения в зависимости от параметров Лагранжа, «отвечающих» за длину кривой вращения, за площадь поверхности и объём поверхности вращения.
2. Получены уравнения образующих поверхностей вращения постоянной средней кривизны, выраженные через эллиптические интегралы.
2. Все уравнения приведены к безразмерному виду, то есть при одинаковых краевых условиях образующие и поверхности подобны.
3. Исследованы различные варианты плавного сопряжения переходной поверхности с конусами.
4. Показано, что поверхности нодоидно - ундулоидного типа получаем и из уравнений равнопрочности безмоментных оболочек вращения, то есть, оптимальная геометрия приводит оптимальному напряженно - деформированному состоянию.
5. Показано, что купола храма Василия Блаженного являются поверхностями наименьшей площади, ограничивающими наибольший объем.
Приведение к эллиптическим интегралам
Во всех вариантах при расчете амплитудный угол ф изменялся в строго указанных границах типа формулы (5.3.15). Если задавать значительно более широкий диапазон изменения угла, (в этом случае рассматривался промежуток [-Зл; Зл] и в=1, 6=0,2, а0=0, а!=45), можно получать кривые типа фигур Лиссажу (рис.5.7). Подобные фигуры были получены в работе Koiso Miyuki [89] при решении дифференциальных уравнений для поверхностей Делоне.
1. Получена математическая модель образующей поверхности, ограничивающей наибольший объем и получающейся при вращении линии заданной длины - [Пен(за)Ка(зань)]
2. Получено интегральное выражение двухпараметрического семейства линий. Показано, что эти выражения приводятся к совокупности эллиптических интегралов I и II рода.
3. Для двух частных случаев получены решения, выраженные посредством элементарных функций.
4. Рассмотрены различные случаи задания условий на краях, позволяющие, в некоторых случаях однозначно определить вид кривой.
5. Наибольший интерес представляет случай поверхности, соединяющей два цилиндра различного диаметра. Эти поверхности могут служить переходниками для соединения трубопроводов разных диаметров. По данным Центральной лаборатории А.О «Уренгойтрубопроводстрой», эти переходники, по сравнению с коническими, обладают значительно меньшим сопротивлением, что позволяет поддерживать большее давление в сети при тех же энергозатратах.
1. Выполнен обзор различных методов математического моделирования и оптимизации формы строительных и машиностроительных конструкций. Показано, что одним из основных параметров, по которым должна проводиться оптимизация, является геометрия изделия.
2. Поставлена и в общем виде решена задача математического моделирования образующих оболочек, получающихся при вращении вокруг оси кривой заданной длины и ограничивающих наибольший объём при наименьшей площади поверхности вращения. Определены коэффициенты I и II квадратичных форм, средняя и гауссова кривизны поверхностей.
3. Полученное четырехпараметрическое семейство сведено к безразмерной форме, зависящей от трех параметров. Установлены соотношения, связывающие краевые условия и множители Лагранжа, что позволяет привести уравнения к одному управляющему параметру. Найдены аналитические решения, задачи. Поверхностями, удовлетворяющими всем условиям экстремума, являются шар и тор.
6. Проведена классификация математических моделей экстремальных поверхностей вращения в зависимости от параметров Лагранжа, «отвечающих» за длину кривой вращения, площадь поверхности и объём поверхности вращения. Полученный класс поверхностей включает в себя все семейство поверхностей Делоне. Получены поверхности, образованные вращением кривой заданной длины, ограничивающие наибольший объем, и имеющие ряд интересных свойств.
7. Уравнения нодоидных и ундулоидных поверхностей получены из условий равнопрочности, то есть равенства окружных и меридианных усилий, приходящихся на единицу длины. Таким образом обеспечивается оптимальное напряженно-деформированное состояние.
8. Для всех полученных образующих найдены зависимости для плавного соединения на краях и определены условия, когда такое соединение возможно.
9. Показано, что купола храма Василия Блаженного являются поверхно стями наименьшей площади, ограничивающими наибольший объем.
10. Переходники ундулоидного типа, по сравнению с коническими, обла дают значительно меньшим сопротивлением, что, по данным Центральной ла боратории ОАО «Уренгойтрубопроводстрой», позволяет поддерживать боль
шее давление в сети при тех же энергозатратах.
