Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Исходная математическая модель 17
1.1 Ламинарный режим течения в пограничном слое 18
1.2 Турбулентный режим течения в пограничном слое 19
Глава 2. Осесимметричные течения 20
2.1 Моделирование теплообмена на сфере 20
2.1.1 Ламинарные тепловые потоки в критической точке 21
2.1.2 Выбор метода интегрирования 23
2.1.3 Результаты расчёта 28
2.2 Оценка погрешностей расчёта 31
2.2.1. Оценка погрешности вычислительного метода 32
2.2.2. Оценка влияния погрешности входных данных 33
2.2.3. Оценка влияния машинной погрешности округления 38
2.2.4 Обобщение ошибок расчётов тепловых потоков на сфере 39
2.3 Анализ вариантов повышения точности расчёта 40
2.3.1 Оценка погрешности интерполяции входных данных в промежуточных узлах 41
2.3.2 Влияние шага интегрирования 43
2.4 Верификация метода расчёта 44
2.4.1. Сфера 45
2.4.2. Конус 46
2.5 Расчёт тепловых потоков на сфере по распределению поверхностных газодинамических параметров, полученных на прямоугольной адаптивной сетке 49
2.5.1 Выбор метода интегрирования 50
2.5.2 Выбор соотношения размера расчётной ячейки с шагом интегрирования 52
Глава 3. Пространственные течения 54
3.1 Генерация поверхностной треугольной сетки 55
3.1.1 Способ триангуляции 56
3.1.2 Пример триангуляции на сфере 60
3.2 Основные положения. Алгоритм расчёта 61
3.2.1 Обратная линия тока 61
3.2.2 Шаг по времени 63
3.2.3 Критическая точка 63
3.2.4 Время расчёта 64
3.2.5 Быстрый способ расчёта 65
3.2.6 Расчёт радиуса эквивалентного тела вращения Ref 66
3.2.7 О точности определения эффективного радиуса R^f. 69
3.2.8 Повышение точности расчёта в окрестности точки растекания 71
3.2.9 Алгоритм расчёта 73
3.3 Расчёты тепловых потоков на сфере по табличным параметрам 75
3.3.1 Проецирование поля параметров на треугольную сетку 75
3.3.2 Расчёт тепловых потоков 75
3.3.3 Различие в результатах и времени расчёта по полным линиям тока и быстрому способу 77
3.4 Расчёты теплообмена по полям численного решения полученного на прямоугольной адаптивной сетке 79
3.4.1 Сфера 79
3.4.2 Конус под углом атаки 81
3.4.3 Экспериментальный аппарат Х38 82
3.4.4 Треугольное крыло 84
3.4.5 Космический корабль "Союз" 85
Глава 4. Исследование теплообмена крылатого аппарата с пониженным тепловым воздействием на кромки крыльев 88
4.1 Концепция построения геометрии аппарата 89
4.2 Анализ течения при разных углах атаки а 92
4.2.1 Структура течения 92
4.2.2 Теплообмен 95
4.2.3 Аэродинамическое качество 97
4.3 Пирамида с искривлёнными боковыми гранями 98
4.3.1 Геометрия 98
4.3.2 Структура течения 99
4.3.3 Теплообмен 102
4.3.4 Аэродинамическое качество 104
4.4 Крылатый космический аппарат "Клипер" 105
Заключение 108
Литература 109
Приложение
- Турбулентный режим течения в пограничном слое
- Оценка погрешности интерполяции входных данных в промежуточных узлах
- Расчёт радиуса эквивалентного тела вращения Ref
- Пирамида с искривлёнными боковыми гранями
Введение к работе
Определение внешних тепловых нагрузок, действующих на поверхность космических возвращаемых аппаратов, является важным этапом решения задачи создания их тепловой защиты и определения температурных режимов конструкции.
В настоящее время существует несколько подходов к оценке конвективного теплообмена сверхзвуковых летательных аппаратов. Одни обладают достаточно хорошей точностью, но требуют большого времени для вычислений. Другие основаны на упрощённых инженерных методиках, требуют малых затрат расчётного времени, но специфика существующих алгоритмов быстрого счёта позволяет оценивать тепловые потоки только на телах достаточно простой формы. Цель данной диссертационной работы - разработать удобный метод оценки конвективных тепловых потоков инженерными методами для тел произвольной формы.
Наиболее простой подход оценки тепловых потоков предполагает определение характеристик пограничного слоя методами локального подобия, т.е. для пограничного слоя на поверхности сложной формы создаётся аналогия с телом наиболее простой формы, например пластины или конуса. При этом для каждого участка сложной поверхности подбираются геометрические параметры простых тел, закономерности развития пограничного слоя на которых известны. Для определения тепловых потоков таким способом необходимо знать распределение газодинамических параметров на внешней границе пограничного слоя по поверхности обтекаемого тела, т.е. решить задачу невязкого внешнего обтекания.
Необходимо отметить, что такой подход правомерен только там, где толщина пограничного слоя достаточно мала, т.е., как правило, на наветренной стороне летательного аппарата. В отрывных зонах такой метод может давать качественно неверный результат, т.к. отрыв потока имеет вязкую природу.
В проектных работах для оперативных инженерных оценок теплообмена наиболее предпочтителен подход использования методов локального подобия. В данной работе для оценок теплового потока применяется метод эффективной длины, разработанный академиком B.C. Авдуевским. В этом методе в качестве геометрического параметра используется длина плоской пластины, пограничный слой на которой имеет те же характеристики, что и в интересуемом месте на поверхности исследуемого тела.
За последнее десятилетие появились на рынке и успешно развиваются программные комплексы с адаптивной прямоугольной расчётной сеткой Adaptive Mesh Refinement. Типичными представителями этого класса программ являются AeroShape3D (производитель фирма Nika) и FlowVision (производитель фирма ТЕСИС). Основным их преимуществом является быстрое автоматическое построение и адаптация расчётной сетки. Геометрия исследуемого тела может быть практически любой. При этом у пользователя, как правило, нет возможности тонкой настройки сетки в местах предполагаемых особенностей течения - скачков уплотнения, волн разрежения, пограничных слоев. Это обстоятельство неизбежно сказывается на точности получаемых результатов. Упомянутые выше программы наиболее эффективны при поисковых проектных работах, когда нужно оперативно получить результат для большого числа вариантов с достаточной для этого варианта точностью.
В данной работе для расчётов полей течения, в основном, используется программа AeroShape3D. Алгоритм программы основан на численном интегрировании полных уравнений Навье-Стокса, но возможности вычислительных средств в КБ не позволяют в нужной степени разрешать пограничные слои, так как для этого необходимо огромное количество расчётных ячеек. При недостатке расчётных ячеек для разрешения пограничного слоя, получаемое решение близко к невязкому полю обтекания. Таким
образом, AeroShape3D можно с успехом применять для получения распределения газодинамических параметров на поверхности обтекаемого тела и считать их параметрами на внешней границе пограничного слоя.
Объектом исследования является процесс конвективного теплообмена на поверхности гиперзвуковых летательных аппаратов.
Предметом исследования является математическая модель пограничного слоя -метод эффективной длины. При этом используются модели ламинарного и турбулентного пограничного слоя. Вопросы ламинарно-турбулентного перехода в работе не р ассматриваются.
Основной целью исследования является разработка метода расчёта теплообмена методом эффективной длины без существенных ограничений на геометрию исследуемого тела.
Актуальность данной диссертационной работы состоит в важной практической потребности в удобном методе быстрых оценок тепловых потоков без существенных ограничений на геометрию исследуемых тел, что необходимо для определения тепловых нагрузок на элементы летательных аппаратов, планирования трубных экспериментов и осмысления их результатов. Невязкие газодинамические параметры при этом с целью снижения трудозатрат целесообразно получать из решения в программных комплексах с прямоугольной адаптивной сеткой.
Научная новизна исследования заключается в применении автором диссертационной работы поверхностной треугольной неструктурированной сетки для оценок тепловых потоков методом эффективной длины, что позволяет исследовать аэродинамический нагрев на телах практически любой геометрии. Разработанная технология позволяет не вводить общую криволинейную систему координат для описания геометрии обтекаемого тела и газодинамических параметров на его поверхности, а получать значения тепловых параметров в каждой ячейке отдельно в своей собственной, независимой системе координат.
Научная новизна подтверждается отличием развитой автором технологии оперативной оценки тепловых потоков с использованием треугольной неструктурированной сетки от прежних, где необходимо "вручную" подстраивать систему координат под особенности геометрии и особенности течения на поверхности, что требует гораздо больших трудозатрат и времени.
Областью применимости разработанного метода оценки тепловых потоков являются задачи обтекания тел при достаточно больших числах Рейнольдса (Re > 10 ...10), в рамках модели тонкого пограничного слоя в областях с малым градиентом давления вдоль линии тока и при отсутствии зон отрыва.
Разработанная методика расчёта тепловых потоков на треугольной неструктурированной сетке имеет практический интерес для организаций и специалистов, занимающихся определением теплового воздействия газового потока на конструкцию технических систем.
Практическая значимость исследований подтверждается использованием разработанной технологии метода расчёта тепловых потоков в РКК "Энергия" для формирования облика гиперзвуковых аппаратов и тепловых расчётов аэродинамического нагрева космических аппаратов и их элементов.
Предложена концепция формирования нижней поверхности крылатого летательного аппарата с пониженным нагревом кромок крыльев. Ранее в мировой практике ракетостроения подобное решение не применялось. Решение оформлено в виде изобретения и получен патент РФ.
Программы для ЭВМ, созданные автором диссертационной работы, применяются для тепловых расчётов аэродинамического нагрева космических аппаратов и их элементов. В диссертации представлены результаты тепловых расчётов ряда проектируемых и существующих изделий. В результате систематических аэродинамических и тепловых
расчётов по разработанной технологии сформирована наветренная поверхность гиперзвукового летательного аппарата с пониженным нагревом кромок несущих аэродинамических поверхностей, которая легла в основу перспективного крылатого космического аппарата Клипер.
Применение разработанной технологии теплового расчёта в программах с автоматически адаптируемой прямоугольной сеткой, позволяет автоматизировать процесс расчёта обтекания и оценки параметров пограничного слоя.
Кроме оценок тепловых потоков, разработанный в диссертации алгоритм можно доработать и применять для оценок коэффициентов поверхностного трения и толщины пограничного слоя.
Предложенная методика может быть дополнена методом среднемассовых величин В.В. Лунёва, для учёта на толщине пограничного слоя неоднородности параметров во внешнем не вязком потоке (ударном слое).
При работе над диссертацией автором использованы результаты расчётов газодинамических параметров на поверхности обтекаемого тела в программном комплексе AeroShape3D и расчёты других авторов. В разработанном методе исходные данные на поверхности исследуемых тел могут быть получены любым известным из литературы способом, без привязки к какой-то конкретной программе.
Апробация. Основные результаты диссертации представлены в докладах на конференциях:
Труды 6-го международного симпозиума по аэрогазодинамике 3-7 ноября 2008 года. Версаль, Франция (1 доклад).
Материалы XIV международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС-2005). 25-31 мая, Алушта, Крым (1 доклад).
Научная конференциях МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (7 докладов).
Конференции молодых специалистов РКК "Энергия" (1 доклад).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ, из них: 4 в отечественных
рецензируемых журналах, 10 в материалах Российских и международных конференций, 1 патент РФ на изобретение. Автор выносит на защиту:
Алгоритм и его программную реализацию для расчёта тепловых потоков на треугольной неструктурированной сетке для исследования теплообмена на телах произвольной геометрии.
Повышение точности расчёта в окрестности критической точки за счёт использования способа "подсеточного" интегрирования вдоль линии тока внутри треугольной ячейки.
Метод расчёта эффективного радиуса внутри треугольной ячейки для определения радиуса эквивалентного тела вращения и оценивания тепловых потоков по методу эффективной длины.
Способ профилирования наветренной поверхности гиперзвукового крылатого летательного аппарата позволяющий добиться существенного снижения тепловых потоков к кромкам крыльев.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 122 страницах, содержит 91 рисунок, 3 таблицы и состоит из введения, четырёх глав, заключения, одного приложения, списка литературы из 59 наименований, списка использованных сокращений.
Турбулентный режим течения в пограничном слое
Второй способ расчёта тепловых потоков заключается в расчёте структуры пограничного слоя на основе уравнений Прандтля [36]. При больших числах Рейнольдса (Re 104...105) при отсутствии зон отрыва потока течение около тел можно разбить на две области: невязкую, основную по объему, течение в которой описывается уравнениями Эйлера, и пристеночный пограничный слой [4, 36]. Толщина пограничного слоя при этом составляет небольшую часть характерного размера обтекаемого тела и имеет порядок 5 L Re" ". Им можно пренебречь и получить невязкое поле течения в рамках системы уравнений Эйлера. Полученные газодинамические параметры на поверхности тела можно считать параметрами на внешней границе пограничного слоя. Развиты методы расчёта плоского и трёхмерного пограничного слоя [36, 56]. Таким образом, задача разбивается на несколько этапов расчёта, задания граничных условий, сопряжения расчётных сеток. Такой способ оценки тепловых потоков также является достаточно трудоёмким.
Наиболее простой (третий) подход оценки тепловых потоков предполагает определение основных характеристик пограничного слоя без определения его структуры методами локального подобия [2, 4, 25, 26, 54]. Для пограничного слоя на поверхности сложной формы создаётся аналогия с телом наиболее простой формы, например пластины или конуса. При этом для каждого участка сложной поверхности подбираются геометрические параметры простых тел, закономерности развития пограничного слоя на которых известны. Для определения тепловых потоков таким способом необходимо знать распределение газодинамических параметров на внешней границе пограничного слоя.
Необходимо отметить, что такой подход правомерен только там, где применима модель тонкого пограничного слоя. В отрывных зонах такой метод может давать качественно неверный результат, т.к. отрыв потока имеет вязкую природу [1, 36].
В литературе подробно описаны методы и результаты оценки конвективных тепловых потоков методами локального подобия [10, 11, 18, 25-27, 34].
Первые два способа обладают достаточно хорошей точностью, но требуют больших трудозатрат и времени для вычислений. В условиях КБ для оперативных оценок тепловых потоков предпочтителен третий способ.
Существующие алгоритмы [10, 11, 18, 25-27, 34] позволяют оценивать тепловые потоки только на телах, на которых можно однозначно задать сетку в криволинейных системах координат (цилиндрической или сферической), т.е. достаточно простой формы, близкие к цилиндру или сфере. Цель данной работы - разработать удобный метод оценки конвективных тепловых потоков инженерными методами локального подобия для тел сложной формы.
Расчёту тепловых потоков предшествует расчёт внешнего течения. За последнее десятилетие появились на рынке и успешно развиваются программные комплексы для аэродинамических расчётов с адаптивной прямоугольной расчётной сеткой Adaptive Mesh Refinement [55, 58]. Типичными представителями этого класса программ являются AeroShape3D (производитель фирма Mentor Graphics) и FlowVision (производитель фирма ТЕСИС). Основным их преимуществом является быстрое автоматическое построение и адаптация расчётной сетки. Геометрия исследуемого тела может быть практически любой. При этом у пользователя, как правило, нет возможности тонкой настройки сетки в местах предполагаемых особенностей течения — скачков уплотнения, волн разрежения, пограничных слоев. Это обстоятельство сказывается на точности получаемых результатов. Упомянутые выше программы могут быть эффективны при поисковых проектных работах, когда нужно оперативно получить результат для большого числа вариантов с достаточной для этого варианта точностью.
В данной работе для расчётов полей течения, в основном, используется программа AeroShape3D. Алгоритм программы основан на численном интегрировании полных уравнений Навье-Стокса, но возможности вычислительных средств в КБ не позволяют в нужной степени разрешать пограничные слои, так как для этого необходимо очень большое количество расчётных ячеек. При недостатке расчётных ячеек для разрешения пограничного слоя, получаемое решение близко к невязкому полю обтекания. Таким образом, AeroShape3D можно применять для получения распределения газодинамических параметров на поверхности обтекаемого тела и считать их параметрами на внешней границе пограничного слоя.
В проектных работах для оперативных инженерных оценок теплообмена наиболее предпочтителен подход использования методов локального подобия. В данной работе для расчёта теплового потока применяется метод эффективной длины, разработанный академиком B.C. Авдуевским [3, 4, 25, 35]. В этом методе в качестве геометрического параметра используется длина плоской пластины, пограничный слой на которой имеет те же характеристики, что и в интересуемом месте на поверхности исследуемого тела.
Метод эффективной длины является удобным средством для оперативной оценки теплообмена на поверхности тел, обтекаемых сверхзвуковым потоком. Он был доработан и усовершенствован коллективом центра исследования тепломассообмена ЩШИМаш [10, 11, 25-27, 34-36].
В работах Б.А. Землянского развит метод осесимметричной аналогии для расчёта теплообмена методом эффективной длины на телах сложной геометрии с помощью криволинейных систем координат, связанных с геометрией поверхности обтекаемого тела [25-27]. Чаще всего используют цилиндрическую или сферическую систему координат, в зависимости от того, в какой системе удобнее расположить исследуемое тело [10, 11]. При этом поверхность должна однозначно задаваться в этих системах координат. Большие трудности возникают, если геометрия исследуемого тела далека от цилиндра или сферы, например, если оно не односвязное, имеет крылья или другие выступающие элементы. В этом случае однозначно задать геометрию в цилиндрической или сферической системе координат трудно или даже невозможно. Приходится специальным образом корректировать и сопрягать дополнительные системы координат, что является достаточно трудоёмким процессом [18].
Оценка погрешности интерполяции входных данных в промежуточных узлах
Практическая значимость исследований подтверждается использованием разработанной технологии метода расчёта тепловых потоков в РКК "Энергия" для формирования облика гиперзвуковых аппаратов и тепловых расчётов аэродинамического нагрева космических аппаратов и их элементов. Программы для ЭВМ, созданные автором диссертационной работы, применяются для тепловых расчётов аэродинамического нагрева космических аппаратов и их элементов. В диссертации представлены результаты тепловых расчётов ряда проектируемых и существующих изделий [10, 11, 18, 20, 40]. В результате систематических аэродинамических и тепловых расчётов по разработанной технологии сформирована наветренная поверхность гиперзвукового летательного аппарата с пониженным нагревом кромок несущих аэродинамических поверхностей [9, 10, 20, 40], которая легла в основу перспективного крылатого космического аппарата Клипер.
Разработанная методика расчёта тепловых потоков на треугольной неструктурированной сетке имеет практический интерес для организаций и специалистов, занимающихся определением теплового воздействия газового потока на конструкцию технических систем.
Разработанная технология теплового расчёта может быть включена в качестве модуля в программы с адаптируемой сеткой, при этом процесс расчёта тепловых потоков не потребует специальных настроек, поскольку поверхностная сетка и направление счёта задаются автоматически.
Кроме оценок тепловых потоков, разработанный в диссертации алгоритм может быть доработан для оценок коэффициентов поверхностного трения и толщины пограничного слоя.
Предложенная методика может быть дополнена методом среднемассовых величин В.В. Лунёва [26, 34-36], для учёта на толщине пограничного слоя неоднородности параметров во внешнем невязком потоке (ударном слое).
При работе над диссертацией автор пользовался различными источниками газодинамических параметров на поверхности обтекаемых тел, например такими как: таблицы газодинамических функций [37], результаты расчётов в программном комплексе AeroShape3D и расчёты других авторов. В разработанном методе исходные данные на поверхности исследуемых тел могут быть получены любым известным из литературы способом, без привязки к какой-то конкретной программе.
Апробация. Основные результаты диссертации представлены в докладах на конференциях: Труды 6-го международного симпозиума по аэрогазодинамике 3-7 ноября 2008 года. Версаль, Франция [11] (1 доклад). Материалы XIV международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам 25-31 мая 2005 года, Алушта, Крым [6] (1 доклад). Научная конференциях МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" [17-23] (7 докладов). Конференции молодых специалистов РКК "Энергия" в 2008 году (1 доклад). Научно-техническая конференция молодых учёных и специалистов "Молодежь в ракетно-космической отрасли" в 2009 году [24] (1 доклад).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ, из них: 3 в отечественных рецензируемых журналах [7, 10, 16], 10 в материалах Российских и международных конференций [6, 11, 17-24], 1 патент РФ на изобретение [40].
Автор выносит на защиту: Алгоритм и его программную реализацию для расчёта тепловых потоков на треугольной неструктурированной сетке для исследования теплообмена на телах произвольной геометрии. Повышение точности расчёта в окрестности критической точки за счёт использования способа "подсеточного" интегрирования вдоль линии тока внутри треугольной ячейки. Метод расчёта эффективного радиуса внутри треугольной ячейки для определения радиуса эквивалентного тела вращения и оценки тепловых потоков по методу эффективной длины. Способ профилирования наветренной поверхности гиперзвукового крылатого летательного аппарата позволяющий добиться существенного снижения тепловых потоков к кромкам крыльев.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 122 страницах, содержит 91 рисунок, 3 таблицы и состоит из введения, четырёх глав, заключения, одного приложения, списка литературы из 60 наименований, списка использованных сокращений.
Первая глава содержит исходную математическую модель для оценок тепловых потоков методом эффективной длины. Основные соотношения [4, 36] в диссертации обобщены и приведены в виде, удобном для использования.
Во второй главе представлены результаты систематических расчётов теплообмена на сфере с использованием различных методов интегрирования вдоль образующей линии тока [37]. Исследованы погрешности численного расчёта, том числе: влияние погрешности задания входных данных, погрешности метода интегрирования для трёх способов (трапеций, Симпсона и с использованием сплайн интерполяции), накапливающейся машинной погрешности. Получено соотношение между размерами ячеек прямоугольной адаптивной сетки и треугольными ячейками на поверхности, позволяющее наиболее рационально с точки зрения достаточной точности и экономии машинных ресурсов оценивать тепловые потоки.
Расчёт радиуса эквивалентного тела вращения Ref
Третий способ интегрирования с использованием кусочно-кубических сплайнов, является наиболее точным из рассмотренных выше методов. Кроме того, он позволяет наиболее точно определить значение интеграла на втором узле слева (точность метода трапеций недостаточна, а метод Симпсона вообще не позволяет здесь получить значение).
Способы построения кубических сплайнов описаны в литературе [15, 48, 51]. При таком способе интерполяции таблично заданной функции накладываются условия непрерывности первой и второй производной при переходе от одного участка интерполяции к другому. Это значит, что сплайновая интерполяция обеспечивает сквозное (на всём отрезке интерполирования), гладкое приближение к функции f(x) в виде полиномов третьей степени S(x).
Выбор граничных (краевых) условий является одной из центральных проблем при интерполяции функций сплайнами. Он приобретает особую важность в том случае, когда необходимо обеспечить высокую точность аппроксимации функции f(x) сплайном S(x) вблизи концов отрезка интерполирования. Граничные значения оказывают заметное влияние на поведение сплайна вблизи концов интерполирования, и это влияние по мере удаления от них быстро ослабевает.
Итак, мы хотим интерполировать подынтегральные выражения в формулах (1.4) и (1.9) (Рис. 2.3-2.4). Для этих функций априори можно сказать, что в точке х = 0 первая производная нулевая (R = х, V = J3x). Это будет граничным условием на левом конце:
О поведении первой и второй производной на правом конце интерполирования ничего заранее сказать нельзя. В литературе [15, 51] в таких случаях рекомендуют применять условие 4-го рода. Это условие непрерывности третьей производной сплайна на предпоследнем узле:
Выбор граничных условий так, как описано выше, позволяет сохранить четвёртый порядок точности сплайн интерполяции [15, 51]. Погрешность интерполяции при этом можно определить [15] по формуле:
Если определены коэффициенты полиномов третьей степени на всех шагах интерполирования, то найти интеграл на каждом из них не составляет труда. Погрешность интегрирования на одном шаге можно грубо оценить с помощью формулы (2.14), домножив её на h:
Значения максимальных производных в формулах (2.8), (2.11), (2.14) и (2.15) на рассматриваемых элементарных отрезках интегрирования, строго говоря, нужно получать из аналитического представления f(x). Но в нашем случае функция задана таблично, и не остаётся ничего другого как искать необходимые нам производные, используя понятие разделённых разностей.
Значения интегралов на образующей сферы показаны на рис. 2.5-2.6. Для различных методов интегрирования значения в расчётных точках практически совпадают. На графиках отличие можно заметить только на первой слева точке для методов трапеций и сплайн интерполяции. По методу
Симпсона значение интеграла рассчитано, и показано на графиках, через два элементарных шага. Графики монотонно возрастают, для удобства они представлены в логарифмическом масштабе.
На рис. 2.7-2.8 показана оценка относительной погрешности определения интегралов. Для каждого элементарного шага погрешность определялась по формулам (2.8), (2.11) и (2.15) для соответствующего метода. Для определения погрешности на всём отрезке интегрирования необходимо просуммировать погрешности для каждого шага. Графики на рис. 2.7-2.8 монотонно убывают. Это объясняется быстрым ростом абсолютной величины интеграла и ограниченным изменением абсолютной погрешности на каждом шаге. Все методы дают наибольшую погрешность в окрестности критической точки. Для метода трапеций она порядка единицы. Для методов Симпсона и сплайн интерполяции составляет примерно 10"3. При движении вдоль отрезка интегрирования относительная погрешность быстро убывает. На последнем шаге она уменьшается примерно на два порядка относительно начального значения для всех методов интегрирования.
Пирамида с искривлёнными боковыми гранями
В главе 2 много внимания было уделено повышению точности расчёта тепловых потоков в окрестности точки растекания. Основной вклад в погрешность расчёта здесь вносит численное интегрирование. Самые большие погрешности даёт метод интегрирования трапеций. Примерно на два порядка меньшей погрешности можно достичь методами Симпсона и с помощью сплайн интерполяции подынтегральной функции (рис. 2.7-2.8, рис. 2.11-2.14).
В разделе 2.3 описывается способ повышения точности в окрестности точки растекания с помощью подсеточного интегрирования. Начальные шаги интегрирования разбиваются на несколько равных частей. Газодинамические параметры в промежуточных узлах получаем линейной интерполяцией. Измельчая шаг таким образом, можно получить практически любую точность интегрирования.
Этот способ подсеточного интегрирования реализуется при расчёте вдоль линии тока на треугольной неструктурированной сетке. Внутри каждой ячейки находится несколько шагов. Газодинамические параметры получаем здесь с помощью линейной интерполяции [43].
На рис. 3.9 показан график подынтегральной функции из (1.4) вдоль красной линии тока с рис. 3.5. Значения функции приведены в размерных единицах, так же как в главе 2 (рис. 2.3-2.4). Кривая монотонно возрастает на данном участке линии тока. Изменяющимся цветом фона графика показана принадлежность участка кривой различным фасеткам. На рис. 3.5 красная линия тока проходит в четырёх фасетках. Соответственно, четыре различных цвета фона показаны на графике рис. 3.9. О переходе из одной фасетки на другую можно также судить по заметным изменениям в размере шага.
На рис. 3.10 показаны графики распределения ламинарных тепловых потоков в окрестности точки растекания, полученные различными методами. Тепловые потоки нормированы на максимальное значение в точке растекания, полученное по формулам (2.2)-(2.3).
Синяя кривая получена с помощью сплайн интерполяции и является частью графика рис. 2.13. Будем считать её точной, к которой нужно стремиться.
Розовая и зелёная кривые получены интегрированием вдоль линии тока методами трапеций и Симпсона. Оба метода описаны в разделе 2.1.2. В методе Симпсона дополнительная точка берётся в середине каждого шага, газодинамические параметры в ней интерполируются линейно.
Также как рис. 3.9, область построения графиков рис. 3.10 разбита различным цветом фона на участки, принадлежащие различным фасеткам. В первой ячейке находится порядка десятка точек. Такого количества шагов интегрирования вполне достаточно, чтобы расчётные значения вышли на полку в пределах первой фасетки. Из этих соображений выбраны значения параметров Сі = 0.1 и Сг = 0.1 в выражениях (3.2), (3.3).
При подходе справа к нулю, точке растекания, расчётные кривые на треугольной сетке резко устремляются вверх, что объясняется здесь большой погрешностью интегрирования. Расчёт по всем шагам первой фасетки (ф 1) приближает кривые к точной (синей) с разницей менее 1%. Последующее интегрирование на других фасетках ещё более приближает расчётные кривые к точной. Из приведенного графика рис. 3.10 видно, что кривая, полученная по методу Симпсона, гораздо ближе подходит к точной, чем полученная по методу трапеций, что подтверждает большую точность первого метода. В дальнейшем будем применять его в расчётах.
На рис. 3.11 показана сильно упрощённая принципиальная блок-схема алгоритма расчёта. Каждый смысловой блок пронумерован, описание представлено ниже.
