Введение к работе
Актуальность работы. Современная техника использует все более сложные механические конструкции, обеспечение прочности, надежности и высокой экономичности которых имеет первостепенное значение. Оптимальное и оперативное проектирование таких конструкций невозможно без создания математических моделей, позволяющих учитывать максимально возможное количество факторов, влияющих на их работоспособность. При этом достигаются значительное снижение веса, улучшение механических и тепловых характеристик летательных аппаратов и строительных сооружений.
Традиционно при математическом моделировании механических конструкций априори форма (конфигурация) конструкции считалась заданной и неизменной. Однако в последние годы все большее значение стали придавать поиску наилучшей конфигурации. Эти задачи требуют не только новых методов, но и новых понятий.
Данное направление получило принципиально новое развитие благодаря научным школам Н.В. Баничука, СБ. Виндергауза, В.П. Малко-ва, Ю.В. Немировского, Л.В. Петухова, В.А. Троицкого, А.Г. Угодчикова, Н.М. Хуторянского, Г.П. Черепанова и др.
Наиболее полно задачи определения оптимальной формы конструкций среди отечественных ученых рассмотрены в работах Н.В. Баничука и его учеников, в которых, по сути, впервые получены соотношения для анализа чувствительности интегральных функционалов, каковыми являются функционалы податливости, полной потенциальной энергии и др., при вариации формы упругих тел.
Дальнейшим шагом в развитии методов оптимизации формы конструкций стало применение этих методов к тепловым и термоупругим задачам.
В отдельное направление можно выделить работы, в которых форма тела оптимизируется по чисто тепловым и температурным показателям. Задача создания желаемых распределений температуры и (или) ее градиентов в твердом теле посредством граничных тепловых потоков либо распределения внутри тела источников тепла при минимальных затратах рассматривалась Ю.В. Немировским, Ю.В. Чеботаревским, Р.А. Мериком, В. Эдельманом и другими учеными.
Очевидным фактом необходимости одновременного учета температурных и механических нагрузок является задача термоустойчивости стержней. В связи с этой проблемой отметим работы Н. Албул, Н.В. Баничука, М.В. Барсука, П.А. Кунташева, В.М. Картвелишвили.
Задачи оптимизации режимов нагружения конструкции при совместном воздействии механической нагрузки и температуры рассматривали Я.И. Бурак, Ю. Гольдштейн, Э.Л. Григолюк, Б.Я. Кантор, В.М. Картве-лишвили, В. Прагер, Я.С. Подстригач, А.В. Ясинский, О.Н. Шаблий.
Долгое время считалось, что изменение формы в процессе оптимизации не влияет на распределение самого температурного поля. Для термоупругих конструкций чаще рассматривалось лишь управление источниками нагрева (правыми частями дифференциальных уравнений). Задачам оптимизации формы термоупругих тел уделялось существенно меньше внимания. Очень мало работ посвящено также вопросу существования решения в задачах оптимизации формы. Это связано с серьезными математическими трудностями из-за нелинейности условий оптимальности. Вопросы существования решения рассматривались В.Г. Литвиновым, Е. А. Рапоце-вич, D. Chenais, J.J. Blair и др.
Факты взаимодействия температурных и механических полей при оптимизации формы конструкции до сих пор являются малоизученными с теоретической точки зрения. Необходимость создания новых математических моделей для оптимального проектирования формы термоупругих тел, учитывающих одновременное изменение температурных и механических полей, подтверждается также научной программой в гранте 2006 - 2008 гг. РФФИ №06-0801357.
Предметом исследований диссертационной работы являются задачи оптимизации формы термоупругих тел, в рамках которых учитывается влияние всех термомеханических факторов на оптимальный проект, в том числе и взаимозависимость в процессе реализации проекта температурных и деформационных полей.
Цель диссертационной работы: построение математических моделей оптимизации формы внешних и внутренних границ термоупругих тел, учитывающих одновременную зависимость как температурных, так и механических полей от формы этих границ; доказательство существования оптимальных решений; разработка эффективного алгоритма и комплекса программ для оптимизации формы в задачах теплопроводности, упругости и термоупругости и проведение на их основе численных экспериментов по оптимизации формы для ряда конкретных задач.
Направление исследований. Построение функционалов общего вида, основанных на слабой формулировке задач термоупругости и методе сопряженных переменных, которые позволяют получать необходимые условия оптимальности в задачах управления участками внутренних и внешних границ термоупругих областей.
Изучение условий существования и особенностей оптимальных решений при учете температурного поля. Создание алгоритмов и комплекса программ для решения таких задач на базе метода граничных элементов.
Методы исследований. При решении поставленных задач в диссертации использовались методы термодинамики сплошных сред, математической физики, функционального анализа, теории дифференциальных уравнений и методы компьютерного моделирования.
Научная новизна:
-
Выдвинут и обоснован новый принцип анализа чувствительности (вычисление градиентов функционалов цели и ограничений), основанный на слабой формулировке задач оптимального управления системами с распределенными параметрами, отличающийся использованием вместо дифференциальных связей соответствующих им вариационных принципов термоупругости с целью понижения требований гладкости и упрощения численного решения этих задач.
-
Предложена математическая модель, учитывающая эффекты взаимодействия температурных и механических полей при оптимизации формы термоупругих тел, что позволяет получать необходимые условия оптимальности в задачах управления участками внутренних и внешних границ термоупругих областей и вычислять вариации функционалов цели и ограничений общего вида, заданных на этих областях.
-
Показано, что даже если за исходную взята модель несвязной термоупругости, то есть решается задача о температурных напряжениях, при анализе чувствительности температурные и механические поля становятся связанными через сопряженные переменные. Показано, что этот факт связан с перераспределением энтропии в системе, которая изменяется за счет трансформирования формы тела.
-
Доказано существование решения для задачи оптимального распределения слоя изоляции по границе области и задачи оптимального размещения точек разрыва граничных условий в задачах теплопроводности плоской области.
-
Для задачи теплопроводности доказано существование оптимальной внешней границы двусвязной области при новых, более низких требованиях к гладкости границы.
-
В результате использования построенной математической модели получены новые критерии оптимальности. Эти критерии отличаются от известных, таких как равнонапряженность конструкции или постоянство потока тепла на границе области, наличием дополнительных членов, определяющих взаимозависимость температурных и механических полей и совпадают с ними лишь в частных случаях отсутствия температурного на-гружения или определенного распределения поля температур.
-
Разработаны новый алгоритм и комплекс программ для решения задач оптимизации формы статических задач упругости, термоупругости и теплопроводности, основанные на методе граничных элементов и позволяющие точнее определить граничные значения производных функций состояния, необходимых при анализе чувствительности.
-
Получены оптимальные формы границ для нового класса задач: задача оптимального размещения термоизоляции по границе плоской области; задача оптимизации формы теплообменника; задача оптимизации формы поперечного сечения стержней максимальной жесткости при различных комбинациях тепловых полей; задачи минимизации концентрации напряжений и увеличения жесткости конструкции и др.
-
Показано, что учет изменяемости тепловых полей в процессе трансформации границы области существенно сказывается на оптимальной форме термоупругого тела.
10. Сформулирован новый класс задач оптимизации - задачи опти
мального размещения точек сопряжения граничных условий в задачах тер
моупругости.
Достоверность результатов работы. Достоверность и обоснованность научных положений и выводов обеспечивается строгим соблюдением законов сохранения механики сплошной среды и определяющих уравнений, строгим применением аппарата математического анализа, а также согласованием модельных результатов с известными теоретическими результатами других исследователей, полученными другими методами.
Научная и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы заключается в построении математической модели, учитывающей эффекты взаимодействия температурных и механических полей при оптимизации формы термоупругих тел, доказательстве существования оптимальных решений, получении соотношений чувствительности к изменению формы тел для широкого класса функционалов с учетом влияния всех факторов на оптимальный проект и новых критериев оптимальности.
Практическая значимость работы заключается в получении результатов, объясняющих наблюдаемые экспериментально явления потери жесткости на скручивание нагреваемых стержней и изменении прочностных свойств конструкций, подверженных нагреву, появлении новой возможности управления термонапряженным состоянием за счет температурных эффектов, что позволяет получать новые конструкции, форму которых не всегда можно предсказать.
Результаты использовались в совместных работах с ОАО НЛП «Контакт», имеется акт внедрения результатов работы. Кроме того, результаты работы используются: при подготовке кандидатских диссертаций (подготовлены два кандидата наук); в учебном процессе при чтении спецкурса в Саратовском государственном техническом университете.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Математическая модель трансформации области и выражения для первых производных различного вида функционалов, позволяющая проводить анализ чувствительности при управлении формой внешних и внутренних границ термоупругих областей.
2. Принцип анализа чувствительности функционалов цели и ограни-
чений, основанный на слабой формулировке задачи термоупругости, позволяющий учитывать одновременное изменение в процессе оптимизации как температурных, так и деформационных полей и получать значения производных для функционалов общего вида в более широких функциональных пространствах, когда все решения соответствующих краевых задач удовлетворяют лишь вариационным уравнениям или неравенствам.
-
Новые критерии оптимальности, полученные на основе построенной математической модели оптимизации формы термоупругих тел, которые учитывают вариативность температурного поля при изменении конфигурации конструкции.
-
Доказательство существования решения для задач оптимального распределения термоизоляции плоской области.
-
Использование для анализа чувствительности метода граничных уравнений позволяет точнее определять граничные значения производных, необходимых при анализе чувствительности.
-
Разработанный численный метод решения задач оптимизации формы тел, подверженных одновременному воздействию как механических, так и температурных нагрузок с ограничениями, наложенными одновременно на механические и температурные поля, позволяющий на основе единого алгоритма решать широкий круг задач оптимизации формы двумерных тел.
Апробация результатов работы. Основные результаты исследований, выполненных в диссертации, докладывались на научных конференциях: 4 Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах (Москва, ИПМ АН СССР, 1982), II Всесоюзной конференции «Численная реализация физико-механических задач прочности» (Горький, 1987), Int. Conf. " Optimization of Finite Element Approximations (St. Petersburg, Russia, 1995), XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Казань, 1996), «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (Воронеж, 2000), 19-й международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (С. Петербург, 2001), VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 22-28.08.2006); III Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2006); IV Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2007); систематически докладывались на научных семинарах госуниверситета и технического университета г. Саратова; применялись на договорных началах в НПО «ИСТОК» г. Фрязино, что отражено в совместных работах.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 43 научных работы, в том числе 12 работ в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, и одна монография.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Общее количество страниц 381. Диссертация содержит 96 рисунков и 6 таблиц.
