Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Аналитический обзор и постановка задачи 9
1.1. Основные сведения о проблеме изучения движения небесных
объектов 9
1.2. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 13
1.3. Этапы исследования движения больших планет 31
1.4. Основные сведения о короткопериодических кометах 34
1.5. Обзор кометных каталогов 39
1.6. Постановка задачи 40
Глава 2. Разработка математической модели и метода совместного решения дифференциальных уравнений движения Солнца, больших планет, Луны и комет на основе алгоритма Эверхарта 46
2.1. Дифференциальные уравнения движения 46
2.2. Выбор и обоснование метода решения дифференциальных уравнений движения. Модифицированный метод Эверхарта 50
2.3. Интегрируемость и устойчивость в задачах небесной механики 57
2.4. Негравитационные эффекты в эволюции короткопериодических комет 61
2.5. Обоснование выбора пространственно-временных систем для описания движения небесных объектов 64
2.5.1. Время в задачах небесной механики 64
2.5.2. Основные параметры, описывающие траекторию движения короткопериодических комет 66
2.5.3. Основные системы координат, используемые при решении задач небесной механики .67
2.5.4. Вычисление элементов гелиоцентрической орбиты по положению и скорости в начальный момент 71
2.5.5. Вычисление прямоугольных координат и компонент скорости по элементам орбит 73
Глава 3. Разработка, анализ алгоритмов и информационной среды, применяемых для исследования эволюции орбит короткопериодических комет 76
3.1 Создание банков данных координат и скоростей больших планет (Меркурий-Плутон), Луны, Солнца и короткопериодических комет в барицентрической системе координат 76
3.2 Исследование эффективности метода Эверхарта при численном интегрировании уравнений движения короткопериодических комет .. 80
3.3 Исследование устойчивости метода Эверхарта при вычислении орбитальной эволюции короткопериодических комет 86
3.4 Учет негравитационных эффектов для короткопериодических комет 90
3.5 Распределение и классификация короткопериодических комет по значениям критерия Тиссерана 102
3.6 Анализ эволюции орбит короткопериодических комет на интервале времени с 1900 по 2100 годы 104
3.7 Короткопериодические кометы, имеющие тесные сближения с Юпитером 109
3.8 Оценка точности расчетов орбитальной эволюции короткопериодических комет 114
Глава 4. Разработка программного обеспечения и его компьютерная реализация при математическом моделировании движения короткопериодических комет и составление каталога 120
Заключение 135
Список использованных источников и литературы 137
Приложение 1 150
Приложение 2
- Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- Выбор и обоснование метода решения дифференциальных уравнений движения. Модифицированный метод Эверхарта
- Исследование эффективности метода Эверхарта при численном интегрировании уравнений движения короткопериодических комет
- Разработка программного обеспечения и его компьютерная реализация при математическом моделировании движения короткопериодических комет и составление каталога
Введение к работе
Актуальность темы. Разработка, исследование, обоснование адекватности математической модели движения небесных тел, в частности больших планет и короткопериодических комет, а также совершенствование методов, алгоритмов, программного обеспечения для ее реализации важны как для развития численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для создания эффективной информационной технологии получения, накопления, прогнозирования новых знаний в теоретической и прикладной астрономии.
При исследовании эволюции орбит комет точность полученных результатов зависит от ряда факторов, основными из которых являются: учет в математической модели основных действующих сил; точность, устойчивость, сходимость применяемого метода численного интегрирования. Все вышеперечисленные факторы не являются окончательно изученными в настоящее время и требуют дальнейшего развития.
Характерной особенностью современных численных методов, применяемых в небесной механике, является высокий порядок аппроксимирующих формул. Алгоритмы должны обеспечивать получение большого количества верных значащих цифр с целью уменьшения ошибок округления. Таким образом, разработка методов более высокого порядка, по сравнению с существующими, позволяет увеличить точность, эффективность вычислений и расширить интервал интегрирования.
Концентрировано, результаты моделирования и накопленный информационный банк данных можно представить в виде электронного каталога кометных орбит. В существующих на сегодняшний день каталогах (Н.А. Беляев, А. Карузи, Л. Кресак и другие авторы) данные получены на основе решения стандартной задачи п тел с учетом гравитационных сил и негравитационных эффектов, с использованием методов численного интегрирования не выше 19-го порядка, при этом динамические параметры приводятся на
дискретные моменты времени с интервалами в несколько десятилетий. Поэтому учет влияния релятивистских эффектов в совокупности с повышением порядка аппроксимирующих формул численного метода позволяет не только увеличить точность и эффективность вычислений, но и разработать усовершенствованную информационную технологию при создании электронного каталога кометных орбит.
Вышеперечисленное и определяет актуальность темы диссертации.
Цель работы.
1. Усовершенствование численного метода Эверхарта решения обык
новенных дифференциальных уравнений с целью повышения порядка ап
проксимирующей формулы.
Создание программного обеспечения для реализации модифицированного метода Эверхарта.
Разработка математической модели движения небесных объектов (больших планет, короткопериодических комет) с учетом в дифференциальных уравнениях основных действующих сил.
Разработка комплекса программ и его применение для вычисления орбитальной эволюции короткопериодических комет, создание информационной среды в виде кометного каталога в электронном и печатном вариантах.
Научная новизна.
Разработан модифицированный алгоритм метода Эверхарта, позволяющий увеличить порядок аппроксимирующей формулы при численном интегрировании систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Разработана модифицированная математическая модель, описывающая движение небесных тел с учетом гравитационных и релятивистских эффектов.
Создан комплекс нового программного обеспечения для реализации модифицированного метода Эверхарта и его применения при математическом моделировании движения небесных объектов.
Проведено исследование сходимости, устойчивости и погрешности аппроксимирующей формулы модифицированного метода Эверхарта для различных порядков и шагов интегрирования.
На основе усовершенствованной информационной технологии создан и издан новый каталог орбитальной эволюции 164 короткопериодиче-ских комет с 1900 по 2100 гг. в электронном и печатном вариантах.
На защиту выносятся следующие положения.
Модификация метода Эверхарта численного интегрирования дифференциальных уравнений движения небесных тел.
Алгоритм, методика и комплекс программного обеспечения для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе усовершенствованного метода Эверхарта.
Модифицированная математическая модель движения небесных объектов с учетом гравитационных и релятивистских эффектов.
Практическая значимость работы заключается в том, что, с одной-стороны, она вносит определенный теоретический вклад во внутреннюю завершенность вычислительной математики и вычислительного эксперимента, поскольку разработанный высокоточный численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений достаточно универсален. С другой стороны, на основе предложенного метода разработаны алгоритмы и комплексы программ для решения конкретных прикладных задач небесной механики, результатом применения которых явилось создание и издание каталога орбитальной эволюции короткопериодических комет. Кроме этого результаты работы служат развитию информационных технологий получения, накопления и применения новых знаний в небесной механике и космической навигации.
Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность полученных результатов исследований проверена путем комплексного исследования модифицированного метода численного решения обыкновенных дифференциальных уравне-
ний на сходимость, устойчивость, погрешность; сопоставлением расчетных значений координат и скоростей тел, элементов орбит с эмпирическими значениями, вычисленными по наблюдениям, а также с численными расчетами других исследователей.
Связь диссертационной работы с планами научных исследований. Работа выполнялась в рамках плана НИР Самарского государственного технического университета (тема «Математическое моделирование движения небесных объектов, разработка высокоточных численных методов интегрирования уравнений движения небесных тел и их программного обеспечения») и гранта Ученого совета Самарского государственного технического университета 2005 года.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на второй, третьей, четвертой и пятой Международных конференциях молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2001, 2002, 2003, 2004 гг.), на двенадцатой, тринадцатой Межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2002, 2003), на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004), на Всероссийской астрономической конференции «Горизонты Вселенной» (Москва, МГУ: ГАИШ, 2004), на Международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2004), на шестой Международной Петрозаводской конференции «Вероятностные методы в дискретной математике» (Петрозаводск, 2004), на пятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004), на Международном симпозиуме «Астрономия -2005: состояние и перспективы развития» (Москва, МГУ: ГАИШ, 2005), на второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2005), на Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, 2005), на Международном форуме молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2005), на научном семинаре «Механика и прикладная мате-
матика» Самарского государственного технического университета (рук. проф. Радченко В.П., 2003-2005 гг.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 24 работы, список которых приведен в конце автореферата.
Личный вклад автора. Автору во всех работах, опубликованных в соавторстве, в равной степени принадлежат как постановки задач, так и результаты выполненных исследований.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих выводов, списка литературы и двух приложений, в которых приведены выдержки из печатного варианта каталога орбитальной эволюции корот-копериодических комет и листинги разработанных программ. Общий объем диссертации 149 страниц, включая 24 рисунка и 20 таблиц. Библиографический список включает 143 наименования.
Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Решение задач небесной механики связано с нахождением решения задачи п тел численными методами [10, 11]. Метод тейлоровских разложений в настоящее время широко используется при решении задачи п тел. Он имеют высокую точность, т.к. производные, входящие в формулу (1.3), вычисляются с максимально возможной степенью точности. Однако данный метод не является универсальным, так как при введении в правые части уравнений движения дополнительных членов требуется строить алгоритм решения заново.
Следует отметить, что явные методы Рунге-Кутты сравнительно редко применяются при решении задач в небесной механике в связи тем, что они не относятся к классу устойчивых методов. Неявные методы в настоящее время являются наиболее перспективными, так как являются устойчивыми и позволяют получать решение с высокой степенью точности.
К классу методов Рунге-Кутты также относится метод Эверхарта [118], который является неявным одношаговым методов, что обеспечивает его сходимость и устойчивость [80]. Основным достоинством одношаговых методов является то обстоятельство, что для них разработаны надежные оценки локальной погрешности дискретизации. Более подробно алгоритм метода Эверхарта рассматривается во второй главе настоящей диссертационной работы.
Методы Адамса-Мултона [80] широко применяются для решения общего класса задач, описываемых дифференциальными уравнениями, а методы экстраполяции относятся к классу наиболее точных. Поэтому мы рассмотрим эти алгоритмы более подробно.
Многошаговые методы порождают трудности, которых не возникает при использовании одношаговых методов. Эти трудности становятся понятными, если, например, обратиться к методам Адамса-Бэшфорта пятого порядка (1.14). Нам задано начальное значение у0, но при п = 0 для счета по формуле (1.14) необходима информация в точках х_{, х_2, х_3, х_4, которая отсутствует. Поэтому многошаговые методы в начале работы нуждаются в дополнительной информации. Выход из данной ситуации заключается в использовании какого-либо одношагового метода того же порядка точности, например метода Рунге-Кутты, до тех пор, пока не будет получено достаточно значений для работы многошагового метода. Или же можно на первом шаге использовать одношаго-вый метод, на втором двухшаговый и так далее, пока не будут получены все стартовые значения. При этом существенно, чтобы эти стартовые значения были вычислены с той же степенью точности, с какой будут вычисляться значения в одношаговом методе. Поскольку стартовые методы имеют более низкий порядок точности, вначале приходится считать с меньшим шагом и использовать больше промежуточных точек.
Вывод методов (1.11)-(1.14) основан на замене функции f(x,y) интерполяционным полиномом Р(х). Известно, что имеет место теорема, доказывающая существование и единственность интерполяционного полинома [78]. Если узлы х0, !,...,хп различны, то для любых /o,/i,...,/w существует единственный полином Р{х) степени не выше п такой, что Р(х() = /{, i = 0, 1, ...,w. Хотя интерполяционный полином является единственным, имеется несколько способов представления этого полинома. Чаще всего используются полиномы Ла гранжа, но и они оказываются неудобными, если к набору данных нужно добавить (или удалить из него) какой-либо узел.
На первый взгляд может показаться, что явный многошаговый метод является самым простым методом с точки зрения вычислений. Однако на практике явные методы используются очень редко. Неявный метод Адамса-Мултона является более точным, чем явный метод Адамса-Бэшфорта. Например, вычислительная схема для метода Адамса-Мултона 5-го порядка имеет следующий вид:
Выбор и обоснование метода решения дифференциальных уравнений движения. Модифицированный метод Эверхарта
Применяемые ранее в решении многих задач небесной механики явные многошаговые методы Коуэлла не позволяли увеличить интервал интегрирования более чем на 500 лет из-за быстрых накоплений ошибок округления [65]. Разработанный Эверхартом метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет расширить этот интервал.
Метод Эверхарта является одной из разновидностей методов Рунге-Кутты. Он относится к числу неявных одношаговых методов [12, ПО], что обеспечивает его сходимость и устойчивость [80]. Основным достоинством одношаговых методов является то обстоятельство, что для них разработаны надежные оценки локальной погрешности дискретизации. Кроме того, метод Эверхарта показал себя как самый эффективный по точности и быстродействию во Всесоюзном эксперименте по исследованию алгоритмов и программ численного прогнозирования движения небесных тел [12].
Вследствие того, что повышение порядка аппроксимирующей формулы в большинстве случаев улучшает основные свойства методов, разработка методов Эверхарта более высокого порядка, по сравнению с существующими, является актуальной задачей с целью создания более точного и эффективного алгоритма численного интегрирования.
Алгоритм и программа численного интегрирования методом Эверхарта ранее были разработаны до 27 порядка, однако использование этих алгоритмов свыше 19-го порядка не приводило к повышению точности вычислений. В данном параграфе рассматриваются разработанные нами модифицированные алгоритмы для метода Эверхарта до 31 порядка включительно, позволяющие повысить эффективность программы при увеличении порядка метода [44, 45, 46, 47, 50, 51, 52].
Использование этих узлов позволяет получить решение уравнения (2.6) с точностью до седьмого порядка для обеих компонент х и х. Полученные по формуле (2.27) узлы разбиения h совпадают с узлами квадратурной формулы Гаусса-Радо. Область изменения h заключена в пределах 0 h 1. Таким образом, порядок метода, определяющий точность интегрирования, зависит от количества разбиений основного шага h на подшаги ht.
Добиться сходимости и увеличения точности метода при повышении его порядка нам удалось с помощью следующей модификации алгоритма.
Необходимым условием сходимости степенного ряда является стремление и-го члена ряда к нулю при п -» оо. Однако при практической реализации в данном алгоритме это условие не выполняется (при и 19) из-за различного рода ошибок, основную из которых дает способ вычисления коэффициентов At разностным методом.
Добиться сходимости временных рядов (2.8) и (2.9) удалось с помощью введения дополнительного условия, приравняв Ап к нулю, когда порядок метода выше 19-го, что влекло выполнение необходимого условия сходимости степенных рядов. С учетом сделанного допущения, производится пересчет коэффициентов Ai при і п, которые находятся по формулам (2.13).
Использование данного приема позволило разработать алгоритм и программу численного интегрирования для решения уравнений (2.1)-(2.3) методом Эверхарта до 31 порядка, включительно, эффективность и точность которых возрастает, применительно к планетной задаче, при увеличении порядка свыше 19.
Модифицированный нами метод Эверхарта позволяет учитывать в аппроксимирующей формуле различное количество членов в зависимости от требуемой точности. Перед обращением к программе численного интегрирования необходимо задать порядок (11, 15, 19, 23, 27 или 31), определяющий точность метода. Применение данной программы к решению систем дифференциальных уравнений движения небесных объектов выявило преимущество увеличения порядка аппроксимирующих формул в алгоритме по сравнению со способами, основанными на процедуре уменьшения шага интегрирования. В частности, уменьшение шага интегрирования вдвое, увеличивает время вычислений в 2 раза, а увеличение порядка метода при сохранении величины шага, увеличивает время вычислений лишь в 1.2 раза. Основным требованием при использовании любого численного метода является выполнение условий устойчивости и сходимости метода.
Исследование эффективности метода Эверхарта при численном интегрировании уравнений движения короткопериодических комет
Основными критериями эффективности численного алгоритма решения обыкновенных дифференциальных уравнений являются его точность и быстродействие. Улучшения точности можно добиться либо путем увеличения порядка метода, либо изменением шага интегрирования. На ограниченных интервалах времени уменьшение шага интегрирования при постоянном порядке, как правило, ведет к повышению точности, но с увеличением интервала интегрирования при малом шаге растет ошибка округления. Повышение порядка метода позволяет увеличить шаг, тем самым расширить интервал интегрирования, однако сколь угодно повышать порядок метода не представляется возможным вследствие того, что производные высоких порядков, вычисленные по разностной схеме теряют смысл.
Нахождение оптимального шага и порядка существенно зависит как от самого метода, так и от задачи Коши, поэтому при массовых расчетах однородных объектов этот вопрос требуется тщательно исследовать. Полиномы (3.1) и (3.2) не являются рядами Тейлора, а коэффициенты Ai вычисляются из условия наилучшего приближения хиіс помощью конечных разложений (3.1) и (3.2). Нами разработан алгоритм и программа, реализующая метод Эверхарта до 31 порядка включительно. Однако ожидаемого повышения эффективности, начиная с 19-го порядка, не последовало. Как выяснилось, главная причина заключалась в способе нахождения Ai. Необходимым условием сходимости степенного ряда является стремление к нулю л-го члена, т.е. с увеличением порядка метода коэффициент Ап должен уменьшаться. Вследствие того, что коэффициенты А( вычислялись с помощью разностной схемы при больших порядках, Ап вычислялось на уровне шумов и не наблюдалась тенденция его убывания. В алгоритм метода Эверхарта нами было введено дополнительное условие: начиная с 19-го порядка значение коэффициента Ап приравнивали к нулю, в соответствии с этим условием коэффициенты At также принимали другие значения. Таким образом, необходимое условие сходимости степенных рядов (3.1) и (3.2) выполнялось и этот прием позволил разработать алгоритм и программу на языке C++, эффективность которых возрастала применительно к планетной задаче при увеличении порядка до 31 [46, 47, 49].
Касаясь некоторой математической нестрогости введенного условия сходимости рядов (3.1) и (3.2), можно процитировать следующее утверждение А.А.Самарского [77, С. 10]: «Представители прикладного направления в вычислительной математике работают на несколько другом («физическом») уровне строгости, для которого характерны такие нестрогие понятия как «практическая сходимость», «реальные сетки» и т.д. Безусловное требование полной строгости при прикладном математическом моделировании ни к чему хорошему не приводит».
Модифицированный нами метод Эверхарта позволяет учитывать в аппроксимирующей формуле различное количество членов в зависимости от требуемой точности. Перед обращением к программе численного интегрирования необходимо задать порядок, определяющий точность метода. Данная программа позволяет проводить вычисления со следующими величинами порядка: 11, 15, 19,23,27,31.
Начальный шаг интегрирования выбирается пользователем и зависит как от задачи Коши, так и от порядка метода. В программе также предусмотрено использование переменного шага интегрирования. При использовании переменного шага, достаточно лишь задать параметр, определяющий требуемую точность на каждом шаге. Пользователь освобождается от заботы изменять шаг интегрирования при существенном изменении константы Липшица в процессе решения, программа успешно выполняет эту работу сама. Однако, с другой стороны, пользователь лишается возможности оценить погрешность на конце интервала интегрирования методом экстраполяции. Как известно, метод экстраполяции является одним из самых точных методов для оценки погрешности при решении задачи Коши.
Численное интегрирование с постоянным шагом также не свободно от недостатков. Для жестких систем дифференциальных уравнений величина шага интегрирования играет определяющую роль, что может породить трудности при выборе его начального значения. Тем не менее, эту трудность можно преодолеть, применяя метод более высокого порядка. В этом случае основной шаг интегрирования делится на большее число подшагов и вычисления проводятся с более высокой степенью точности, чем при малом порядке. В идеальном случае для жестких систем дифференциальных уравнений следует проводить двойной расчет: как с постоянным, так и с переменным шагами интегрирования.
Для определения оптимальных параметров (шага и порядка) в методе Эверхарта при решении уравнений движения короткопериодических комет, необходимо отобрать объекты с характерными особенностями элементов орбит. Из 164 короткопериодических комет для исследования нами были отобраны 10 комет. В их число вошли кометы с обратным движением, с прямым движением, имеющие тесные сближения с планетами, кометы с тесными сближениями с Юпитером, с малыми периодами обращения и т.д. Совместное численное интегрирование уравнений движения больших планет, Луны, Солнца и кометы в барицентрической системе координат проводилось от момента последнего прохождения кометы через перигелий до ближайшего к 1900 году момента, на который известны элементы орбит. Исследование проводилось для трех порядков метода Эверхарта - 19, 23 и 27. Метод будем считать оптимальным, если при заданном порядке и шаге получен результат, удовлетворяющий требуемой точности и обеспечивающий максимальное быстродействие программы.
Таким образом, полученная апостериорная информация позволяет научно-обоснованно выбирать порядок метода Эверхарта и шаг интегрирования при одной и той же величине погрешности. В частности, исходя из соображений точности и быстродействия при численном интегрировании уравнений движения короткопериодических комет, можно применить метод Эверхарта с порядками 19, 23, 27, при этом величину шага для порядков 19 и 23 необходимо оценивать, в то время как для 27 порядка шаг 6 дней является оптимальным.
Разработка программного обеспечения и его компьютерная реализация при математическом моделировании движения короткопериодических комет и составление каталога
Рассмотрим вопрос о программной реализации алгоритмов, разработанных и исследованных во второй и третьей главах настоящей диссертационной работы.
Исследование движения короткопериодических комет с учетом возмущающего действия от больших планет сопряжено с большим объемом вычислений. Это обстоятельство накладывает повышенные требования на применяемые методы численного интегрирования уравнений движения и программное обеспечение, используемое при проведении данных исследований. Успешное выполнение расчетов существенным образом зависит от эффективности алгоритмов и программ, используемых при решении систем дифференциальных уравнений. Для этого на предварительном этапе необходимо было решить ряд вопросов, основными из которых являлись: 1) разработка высокоэффективных алгоритмов численного интегрирования уравнений движения небесных тел с учетом влияния гравитационных сил, релятивистских эффектов, несферичности больших планет и т.д.; 2) создание программного обеспечения для решения поставленной задачи.
В качестве метода численного интегрирования нами выбран метод Эверхарта, относящийся к числу неявных одношаговых методов, что обеспечивает его сходимость и устойчивость. Путем модификации алгоритма, описанной во второй главе настоящей диссертационной работы, нами разработан модифицированный метод Эверхарта, позволяющий существенно увеличить порядок аппроксимирующей формулы.
Существенную роль в реализации данной задачи играет выбор языка программирования. В связи с тем, что планировалась разработка двух вариантов каталога орбитальной эволюции короткопериодических комет - электронного и печатного, в качестве языка программирования был выбран C++. Программы, написанные на языке C++, предоставляют пользователю, например в среде Builder, удобный интерфейс для получения необходимой информации о динамических параметрах исследуемого объекта с высокой степенью точности. C++Builder является типичной системой объектно-ориентированного программирования - методики, которая концентрирует основное внимание программиста на связях между объектами, а не на деталях их реализации. Под объектом понимается совокупность данных и способов работы с ними. Свойства объекта - это данные, методы обращения с данными объекта, события, на которые объект может реагировать. Данные объекта представляются полями или записями.
Все объекты компонентов в C++Builder размещаются в объектах - формах. Для каждой формы C++Builder создает отдельный модуль. Именно в модулях и осуществляется программирование задачи. В обработчиках событий объектов - форм и компонентов, помещаются алгоритмы. В основном они сводятся к обработке информации, содержащейся в свойствах одних объектов, и задании по результатам обработки свойств других объектов.
Исследование эволюции короткопериодических комет основывается на совместном решении систем дифференциальных уравнений движения больших планет и конкретной кометы. Данные дифференциальные уравнения, являющиеся нелинейными уравнениями второго порядка, отнесенными к экваториальной системе координат, приведены во второй главе настоящей диссертационной работы.
Рассмотрим основные этапы исследования эволюции комет. На рис 4.1 представлена структурная схема, согласно которой реализован первый этап решения поставленной задачи. 1. Задание начальных данных - координат, скоростей, масс больших планет, Луны и Солнца 2. Численное интегрирование уравнений движения модифицированным методом Эверхарта 27 порядка с шагом 6 дней 3. Формирование банка данных координат, скоростей больших планет, Луны и Солнца на интервале 540 лет 6. Формирование банка данных координат и скоростей 164 короткопериодических комет на интервале 200 лет 5. Совместное численное интегрирование уравнений движения больших планет, Луны, Солнца и комет методом Эверхарта 27 порядка с шагом 6 дней 4. Задание начальных данных -элементов орбит короткопериодических комет Схема составления банков данных координат и скоростей больших планет, Луны, Солнца и комет Так как для решения дифференциальных уравнений движения необходимо иметь начальные данные координат и скоростей больших планет и кометы на заданный момент времени, указанные сведения вычислены нами заранее и сформированы в виде банков данных. Для нахождения координат и скоростей больших планет, Луны и Солнца в барицентрической экваториальной системе координат, создан банк данных, согласованный с DE 405 на интервале времени с 1660 по 2200 гг. В качестве начальных значений, используемых при составлении банка данных, были взяты координаты и скорости планет, Луны и Солнца в барицентрической системе координат, отнесенные к эпохе ./ED=2440400.5 (28 июня 1969), опубликованные в работе [139] (п.1 на рис.4.1). Далее, на основании программы численного интегрирования модифицированным методом Эверхарта 27 порядка с шагом 6 дней произведен расчет координат и скоростей больших планет, Луны и Солнца на интервале времени с 1660 по 2200 гг. (п.2 на рис.4.1). Полученные результаты записаны в текстовый файл через каждые 100 дней от начального момента интегрирования (п.З на рис.4.1). Моменты времени, на которые получены координаты и скорости в дальнейшем будем называть стандартными моментами времени. В табл. 4.1 приведен пример организации банка данных координат и скоростей планет, Луны и Солнца на юлианскую дату 2456000.5
Начальные данные координат комет требовалось получить по известным элементам орбит, приведенным в каталоге Марсдена [128] (п.4 на рис.4.1) на различные моменты времени. С этой целью разработан ряд алгоритмов и программ, в частности, алгоритм получения координат небесных объектов по известным элементам орбит, а также алгоритм решения обратной задачи - получения элементов орбит по известным координатам. Кроме того, разработан ряд вспомогательных программ, к их числу относятся программы перевода всемирного времени в юлианские дни и обратный перевод, решение уравнения Кеплера и т.д.
Банк данных координат и скоростей на те же моменты времени (стандартные моменты времени), что и для планет, создан для 164 короткоперио-дических комет путем совместного интегрирования уравнений движения больших планет, Луны, Солнца и комет на интервале времени с 1900 по 2100 гг. (п.6 на рис.4.1)
Программа совместного численного интегрирования (п.5 на рис.4.1) уравнений движения небесных объектов модифицированным методом Эвер-харта реализована следующим образом. Процесс вычисления организует управляющая программа, которая в зависимости от поставленной задачи привлекает к работе подпрограммы в определенной последовательности. Опишем работу программы численного интегрирования для получения координат и скоростей короткопериодической кометы на стандартные моменты времени. На рис. 4.2 приведена структурная схема работы указанной программы.
