Введение к работе
Актуальность темы. Методы математического и численного моделирования с использованием быстродействующих вычислительных систем получили широкое применение при решении научных и прикладных задач, связанных с исследованием неустановившихся процессов в деформируемых средах и элементах конструкций. Основное преимущество этих методов по сравнению с методом физического эксперимента состоит в возможности детального изучения протекающего процесса во времени при значительно меньших материальных затратах, а также в возможности исследования всего множества вариантов рассматриваемой задачи.
К настоящему времени для описания динамических процессов в твердых телах разработаны численные алгоритмы, обладающие достаточно высокой точностью. И тем не менее, численное решение реальных задач, как правило сопряжено с немалыми трудностями. Особые проблемы вызывает решение задач, связанных с ударным воздействием на среду или конструкцию, решение которых характеризуется наличием поверхностей разрыва. Как правило, здесь в противоречие вступают необходимая точность описания разрывов и возникновение при этом различных паразитных, не имеющих физического, смысла эффектов. Наиболее известным примером такого поведения численного решения является "немонотонность" - возникновение нефизичных осцилляции решения, локализованных в окрестности фронта ударной волны. На самом деле, к этим же явлениям следует отнести и "выбросы" решения вблизи точек разрыва граничных условий, немонотонность решения в окрестности оси или точки симметрии в задачах с осевой или сферической симметрией, несохранение схемой статического решения задачи, отсутствие асимптотической устойчивости в задачах, описывающих механические процессы с поглощением и т. д. Существенные сложности связаны и с многомерностью задачи.
Большей части указанных недостатков лишена, например, хорошо известная схема С. К. Годунова, имеющая, однако, только первый порядок аппроксимации. Для ряда задач использование этой схемы в вычислительном эксперименте вполне приемлемо и достаточно. Однако существуют задачи (к примеру, задачи сейсмики), решение ко-
торых принципиально возможно только в том случае, если численны] алгоритм, применяемый для их решения, обладает достаточно вьісокої точностью и в то же время лишен недостатков, связанных с возник новением нефизичных эффектов. Практическая важность этих зада* приводит к необходимости создания эффективных численных методов удовлетворяющих этим требованиям.
Цель работы. Диссертационная работа посвящена построении эффективных численных алгоритмов повышенной точности интегри рования одномерных и двумерных задач динамической упругости, мо делированию на их основе динамических процессов в твердых телах исследованию эффективности и целесообразности применения постро енных методов, созданию комплексов программ для решения научны} и прикладных задач.
Работа направлена на использование разработанных методов дл* исследования неустановившихся процессов в механике твердых деформируемых сред, геофизике, оптике и других областях, на проведение конкретных расчетов, результаты которых имеют практическое применение.
Научная новизна. Новыми в диссертации являются:
-
Схемы решения одномерных задач динамики неоднородных упругая тел, использующие аппроксимацию неизвестных функций полиномами первой и выше степени и независимую аппроксимацию младших членов уравнений. Подход к построению этих схем, основанный на явной записи искусственной диссипации решения и возможности управления ее величиной. Критерий монотонности подобного рода схем и предложенная на его основе монотонная схема второго порядка точности.
-
Методика расчета нестационарных процессов распространения плос ких электромагнитных волн в слоистых диэлектриках, обладающих сильной анизотропией диэлектрической проницаемости и одномерного динамического процесса деформирования слоисто-неоднородных, анизотропных упругих сред. Устойчивые относительно стационарного решения схемы решения задач с осевой и сферической симметрией и задач динамики тонких оболочек.
3. Явные монотонные схемы решения двумерных (плоских и осесим-
метричных) задач динамической теории упругости с минимальным (по
критерию Куранта) ограничением на шаг интегрирования по времени и с лучшими по сравнению с известными схемами диссипативными свойствами, оспованные на расщеплении исходной задачи на ряд независимых одномерных задач.
-
Процедура интегрирования двумерных задач динамики упругих тел, основанная на нескольких приближениях решения одномерных задач, на которые расщепляется исходная задача, обеспечивающая возможность расчета разрывных решений без размазывания разрывов. Алгоритм сопряжения численного решения между соседними подобластями при введении адаптированной к кусочно-неоднородной среде разностной сетки. Анализ точности схемы для модельной двумерной задачи.
-
Моделирование процесса множественного ударного воздействия жесткими ударниками на слоистую упругую плиту. Моделирование процесса распространения волн в слоистой вертикально-неоднородной среде (прямая задача сейсмики). Подход к решению обратной задачи определения механических характеристик и толщин трехслойной упругой среды, содержащей слой жидкости, основанный на заблаговременном создании банка решений прямых задач. Комплексы программ решения перечисленных задач.
Практическая ценность.
Разработанные программы расчета распространения волн в слоистых вертикально-неоднородных упругих средах применялись в процессе проведения исследований по созданию системы сейсмоакустиче-ского мониторинга бурящейся скважины при горизонтальном и наклонном бурении.
Предложенные разностные схемы в результате незначительной технической доработки любой существующей программы, основанной на решении динамических задач теории упругости методом "распада разрыва" могут без дополнительных затрат заметно повысить точность получаемого численного решения.
Результаты диссертации вошли в лекционные курсы кафедры "Математическое моделирование в механике" Красноярского госуниверситета и кафедры "Диагностика и безопасность технических систем и инженерных сооружений" Красноярского государственного техниче-
ского университета.
Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались на X, XI, XIII Всесоюзных и XV Международной конференциях "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности" (Красноярск, 1987 г., Волгоград, 1989 г., Новосибирск, 1993 и 1997 гг.), Всесоюзной школе молодых ученых "Вычислительные методы и математическое моделирование" (пос. Шушенское, 1986 г.), VJII Всесоюзном симпозиуме по распространению упругих и упругопласти-ческихволн (Новосибирск, 1986 г.), Всесоюзной школе молодых ученых "Численные методы механики сплошной среды" (Абакан, 1989 г.), I и П Сибирских школах по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Новосибирск, 1988 г.; Якутск, 1990 г.), Ш и IV Республиканских школах - семинарах молодых ученых и специалистов по теоретической и прикладной гидромеханике (Алушта, 1988 и 1990 гг.), III Всесоюзной Школе молодых ученых по "Численным методам механики сплошной среды (пос. Дюрсо, 1991 г.), VIII Всесибирской школе по вычислительной математике (пос. Шушенское, 1993 г.), Международной конференции "Проблемы обеспечения качества изделий в машиностроении" (Красноярск, 1994 г.), Международном симпозиуме "Аспекты использования углеводородных и минеральных ресурсов" (Красноярск, 1995 г.), Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошной среды" (Новосибирск, 1996 г.), II Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996 г.) и Международной конференции "Математические модели и методы их исследования (Красноярск, 1997 г.), а также на семинаре "Проблемы математического и численного моделирования" ВЦ СО РАН в г. Красноярске (руководитель - акад. Ю. И. Шокин, 1986 г.; член-корр. РАН В. В. Шайдуров, 1991, 1994 гг.), расширенном семинаре отдела "Нелинейных задач механики" ИВМ СО РАН (руководитель - профессор В. К. Андреев, 1997 г.), семинаре по механике деформируемого твердого тела в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН (руководитель - профессор О. В. Соснин, 1986, 1997 гг.), семинаре "Большие задачи математической физики" ВЦ СО РАН в г. Новосибирске (руководитель - член - корреспондент РАН А. Н. Коновалов, 1986 г.), на семинаре по динамике сплошной среды
Института проблем механики РАН (руководитель - профессор В. Н. Кукуджанов, 1986, 1991, 1998 г.г.), семинаре кафедры волновой и газовой динамики МГУ (руководитель - акад. РАН Е. И. Шемякин, 1998 г.), объединенном семинаре Института вычислительных технологий СО РАН и Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (руководители - акад. Ю. И. Шокин, проф. В. М. Ковеня и член-корр. РАН А. Н. Коновалов, 1997 г.), и на семинаре Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН (руководитель - проф. А. В. Забродин, 1998 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [27], в том числе в монографии [21].
Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, изложенных на 282 страницах, включает 79 рисунков. Список цитируемой литературы на 14 страницах содержит 156 наименований.
