Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математический аппарат для исследования обобщенной математической деформации однородного тела 28
1. Математические модели процесса линейной деформации однородного тела на основе краевых задач и сингулярных интегральных уравнений для бианалитических функций 28
2. Задача Римана для аналитической функции и сингулярные интегральные уравнения 34
3. Система сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши. , 44
4. Краевые задачи для аналитических функций с сопряженными предельными значениями 49
5. Сингулярные интегральные уравнения со сдвигом Карлемана и комплексно сопряженными значениями 60
Глава 2. Двухэлементные задачи для полианалитических функций со сдвигом на основе первой задачи теории упругости 65
6. Краевые задачи со сдвигом для полианалитических функций, построенные на основе первой основной задачи теории упругости 65
7. Задача типа Газемана для полианалитических функций 68
8. Первая задача типа Газемана для полианалитических функций произвольного порядка 77
9. Теоремы о разрешимости задачи Газемана, Карлемана и типа Карлемана для полианалитических функций 87
Глава 3. Обобщенная модель линейной деформации однородного тела и ее свойства 87
10. Сингулярные интегральные уравнения Шермана 87
11. Системы сингулярных интегральных уравнений специального вида 89
12. Системы сингулярных интегральных уравнений для п-мерного вектора 104
13. Системы сингулярных интегральных уравнений специального вида со сдвигом Карлемана 105
14. Многоэлементная задача для полианалитических функций со сдвигом Карлемана 113
15. Системы сингулярных интегральных уравнений специального вида со сдвигом Карлемана и комплексно сопряженными значениями неизвестной функции 123
16. Многоэлементная задача для полианалитических функций со сдвигом Карлемана и комплексно сопряженными предельными значениями 127
Приложение 143
Выводы и предложения 151
Литература
- Задача Римана для аналитической функции и сингулярные интегральные уравнения
- Сингулярные интегральные уравнения со сдвигом Карлемана и комплексно сопряженными значениями
- Первая задача типа Газемана для полианалитических функций произвольного порядка
- Многоэлементная задача для полианалитических функций со сдвигом Карлемана
Введение к работе
Современные тенденции развития строительной, авиационной и космической техники ставят задачи автоматизации расчетов напряжений и деформаций по известным граничным условиям для систем сложной конфигурации.
Одним из методов решения указанных задач является формирование достаточно общей математической модели, объединяющей все возможные варианты процесса линейной деформации как частные случаи.
В работах Г.В.Колосова и Н.И.Мусхелишвили было показано, что математическая модель линейной деформации может быть представлена в виде краевых задач для бианалитических функций вида F(z) = y(z) + z (p(z), где Y[/(z) и q (z) - аналитические в некоторой заданной области функции (аналитические компоненты), z = х - і у - неаналитические компоненты.
В дальнейшем Д.И.Шерману удалось свести основные задачи теории упругости к сингулярным интегральным уравнениям (назовем их уравнениями Шермана). Несмотря на то, что краевые задачи для бианалитических функций и системы сингулярных интегральных уравнений Шермана являются математическими моделями одного и того же процесса линейной деформации, между ними существуют значительные различия, на которые указывалось в работах Н.И.Мусхелишвили [46], а именно, основным недостатком моделей, основанных на краевых задачах, является то, что численное решение можно получить без применения интегральных уравнений только для областей простейшего вида. Модель, построенную с использованием интегральных уравнений Шермана, можно использовать при решении задач теории упругости для областей сложной формы. К тому же такие вопросы, как установление устойчивости модели, условий нетеровости систем сингулярных уравнений или краевых задач, важные для дальнейшего применения приближенных численных методов, решаются только с использованием ин тегральных уравнений.
Большой вклад в развитие теории сингулярных интегральных уравнений в приложении к задачам теории упругости внесли Д.И.Шерман, Г.Н.Савин, Г.С.Лехницкий, С.Г.Михлин и другие отечественные и зарубежные ученые. Ими были получены важные теоретические результаты о единственности и устойчивости решений основных задач теории упругости. В частности, в работах Г.С.Лехницкого было показано, что для математических моделей упругих тел с сильно выраженными анизотропными свойствами характерно появление в качестве неаналитической компоненты функции сдвига. Также было установлено, что для описания обобщенной плоской деформации необходимо помимо двух аналитических компонент рассматривать третью аналитическую функцию.
Надо отметить, что в случае изотропного тела, как и в случае явно выраженной анизотропии, уравнения задачи теории упругости в области линейной деформации относятся к эллиптическому виду. В то же время общего подхода к численному решению задач данного класса долгое время предложено не было. Поэтому в 50-х годах Ф.Д.Гаховым были сформулированы краевые задачи для полианалитических функций, которые являлись обобщенной моделью линейной деформации упругого изотропного тела.
В работах Ф.Д.Гахова, М.П.Ганина, В.Дамияновича, B.C.Рогожина, К.М.Расулова был предложен ряд алгоритмов решения коаевых задач для полианалитических функций, приспособленных для достаточно широкого класса областей. В работах С.А.Редкозубова и А.В. Юденкова задачи для полианалитических функций были обобщены на случай неаналитического сдвига, который возникает при работе с анизотропными средами. Были рассмотрены численные варианты решения задач со сдвигом с использованием конформных отображений. Это дало возможность выработать единый подход к численному решению задач теории упругости в случае линейной деформации. В то же время аналогичная математическая модель линейной деформации, ос нованная на системах сингулярных уравнений, не изучалась.
На сегодняшний момент актуальной научной задачей в дальнейшем развитии математического моделирования процесса линейной деформации упругого тела является построение модели, основанной на системе сингулярных интегральных уравнений, соответствующих краевым задачам для полианалитических функций.
Задача Римана для аналитической функции и сингулярные интегральные уравнения
Определение 2.1. Простую гладкую кривую назовем кривой Ляпунова, если она удовлетворяет следующему условию: касательная к кривой образует с постоянным направлением угол, удовлетворяющий условию Гельдера относительно дуги s кривой.
Пусть L - контур, состоящий из конечного числа простых непересекающихся замкнутых кривых Ляпунова и ограничивающий на плоскости некоторую связную область D+, конечную или бесконечную. Обычно будем полагать, что конечная область D+ содержит точку z = 0. Через D" обозначим - i область в общем случае несвязную, дополняющую D+ u L до полной плоскости комплексного переменного. Положительной будем считать ориентацию контура L, оставляющую область D+ слева.
Изучаемые в работе задачи будут рассматриваться в пространстве функций, удовлетворяющих на L условию Гельдера с показателем u, (H (L)). Норма в этом пространстве определяется следующим образом [36] р -тахр(1)+8ир — —-L (0 ц 1). (2Л) teL t.teL Т — tj т- Рассмотрим интеграл типа Коши _, ч 1 rp(x)dT Ф(г) = -1 -, zeu\ (2.2) 1 rp(T)dx и оператор сингулярного интегрирования /с лил l fp(-c)dT (Sp)(t) = -1 - teL (2.3) 1 ср(х)йт L где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, функция p(t) (плотность), принадлежит пространству НЦ(Ь) [36], [16].
Перечислим основные свойства оператора S в пространстве H (L): 1) S - линейный ограниченный оператор, действующий из НЦ(І ) в Нд(Ь), если (і 1, и действующий из Hi(L) в Hj_e(L), где с - сколь угодно ма лое положительное число, если ц. = 1. 2) S2 = J, где J - единичный оператор. 3) оператор D = Sa - aS вполне непрерывен в H (L), если a(t) є H (L).
Если p(t) є H (L), то при z — t (t є L) по любому пути, целиком лежащему внутри области D+ (соответственно внутри D ), и представимой интегралом типа Коши аналитической вне L функции Ф(г) всюду на L существуют конечные предельные значения Ф+(х) и Ф (і) соответственно. Эти предельные значения выражаются формулами Ю.В.Сохоцкого - Й.Племеля 0+(t) = [(Jp)(t) + (Sp)(t)], : (2.4) "(t) = -[-(JpXt)+(Sp)(t)].
Функцию Ф(г), определяемую выражением (2.2) назовем кусочно аналитической с линией скачков L. Из условий (2.4) получим Ф+(0-ф-(0 = р(0, 4- (8р)(і) = Ф+(0 + Ф (1). (2 5) Для того чтобы функция p(t) є HM(L) была граничным значением аналитической в D+ функции, необходимо и достаточно выполнения условия (J p)(t)-(Sq Xt) = 0. (2.6) В свою очередь, условие (Jq Xt) + (Sq Xt) = 0. (2.7) является необходимым и достаточным условием аналитичности функции p(t) у в области D . Свойство 2) оператора S можно обобщить следующим образом (перестановка Пуанкаре - Бертрана) lfJL.lfMlibfe=(p(M)+lfdT г Kt.T.)dT 7И L Т -1 ТІЇ LJ Т0 - Т 7С1 LJ LJ (г - t)(x0 - т) где ф(т, т0) є H (L) по обеим переменным (H (LxL)). Интеграл в правой части формулы (2.8) существует как несобственный.
Определение 2.2. Линейный ограниченный оператор А, действующий из пространства Хі в пространство Хг называется нетеровым, если: 1) оператор А нормально разрешим; 2) конечно число линейно независимых решений уравнений Ах = 0; (2.9) А и = 0, (2.10) где А - оператор, сопряженный с А. Определение 2.3. Индексом Jnd А нетерова оператора называется целое число JndA = a, -a ., А Л где аА и а.. - число линейно независимых решений уравнений (2.8), (2.10) соответственно. Сформулируем основные свойства нетеровых операторов. 4- 1. Оператор А нетеров тогда и только тогда, когда нетеровым является сопряженный оператор А , причем Jnd А = - Jnd А . 2. Для любого нетерова оператора А существует положительное число d(A) такое, что для всех линейных операторов В, для которых В d(A), оператор А + В является нетеровым, причем Jnd (А + В) = Jnd А. и_ 3. Если оператор А - нетеров, а D - вполне непрерывный оператор, то оператор A + D является нетеровым, причем Jnd (A + D) = Jnd А. 4. Если оператор А: Хг — Хз и В: Х — Х2 нетеровы, то и их произведение является нетеровым оператором, причем Jnd (А В) = Jnd A + Jnd В. Напомним, что фредгольмовым оператором называется нетеров оператор с индексом равным нулю.
Сингулярные интегральные уравнения со сдвигом Карлемана и комплексно сопряженными значениями
Одним из основных объектов исследования данной работы будут являться системы сингулярных интегральных уравнений специального вида со сдвигом и комплексно сопряженными значениями. Их изучение будет основано на теории двух видов сингулярных уравнений.
. Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение в пространстве HM(L) X 7ti LJ t лі Lt-a(t) /5 j4 w ч ,4,4 , , 4 r , 4п CC0 rP( c)dx d(t) с p(x)dT (ApXO = a(t)p(t) + b(t)p[a(t)] + - J - + - J:f 77: + /K(t,T)p(T)dT = g(t). L Здесь функция a(t) гомеоморфно отображает контур L, состоящий из конечного числа простых непересекающихся замкнутых кривых Ляпунова, на себя; a(t) удовлетворяет на L условию Карлемана a[a(t)]=t (5.2) Если K(t, т) = 0, то уравнение (5.1) назовем характеристическим. Используя интеграл типа Коши с плотностью p(t), характеристическое уравнение можно привести к равносильной краевой задаче нахождения исчезающей на бесконечности функции Ф±(г) a,(t) D+(t) + Ь,(і)Ф+[а(і)] + Cl(t) Xr(t) + (і)ФІа(і)] = g(t), (5.3) где x a,(t) = a(t) + c(t), c,(t) = c(t) - a(t), b,(t) = b(t) + d(t), d,(t) = d(t) - b(t). (5.4) Используя соотношение (5.2) перепишем уравнение (5.1) в следующем виде ( p)(a(t)) = a[a(t)]p[a(t)] + b[a(t)]p(t) + Л _p(x)dx + Я1 Ll"a(t (5 іа) + dKt)] j(x)dT+ K[a(t))T]p(T)dT = g[a(t)L Введем новые неизвестные функции Pi(t) = p(t), p2(t) = p[a(t)].
Из уравнений (5.1) и (5.1 а) получим систему сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши относительно неизвестной вектор функции (Pi(t),p2(t)}: ч г. / ч /,ч і /л c(t) гр.(т)с1т d(t) га (т)р,(х)с1т a(t)p,(t) + Ъ(ф2(1) + \я — + у-±!- J , f2 ,ч + тії L т jti і a(x)-a(t) + jK(t,T)pt(T)dT = g(t)f L (5.5) t r , .. . л r , ., , ч d[a(t)] (-p. dx c[a(t)l еаЧх)рЛт)6і b[a(t)]p,(t) + a[a(t)]p:(t) + -L- p --- + y-LJ I J v/PiV ; + га L т ти L a(x)-a(t) + yK[a(t) a(t)]a,(x)p2(T)dT = g[a(t)]. L Здесь коэффициент у принимает значение +1 или - 1, если a(t) прямой или обратный сдвиг соответственно. Справедливо следующее утверждение относительно уравнения (5.1). Теорема 5.1. Для нетеровости уравнения (5.1) необходимо и достаточно выполнения неравенств c tKta -d d.Kt)] , a.Wa. tM-b.Wb.HtM O, если a(t) сохраняет ориентацию; Л(іНЧ ХіН[а(і)] + сХФМі)] (5.7) если a(t) изменяет ориентацию.
Предположим, что условие теоремы 5.1 соблюдены. Тогда имеет место следующее утверждение относительно индекса уравнения (5.1).
Теорема 5.2. При выполнении условий нетеровости индекс сингулярного интегрального уравнения (5.1) вычисляется по формуле А. если a(t) сохраняет ориентацию, то 2тгі\ EA2(t) Б. если a(t) изменяет ориентацию, то L (5.8) JndX = J-{argA(t)}L. (5.9) 271
П. 2. Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение со сдвигом Кар-лемана и комплексносопряженными значениями неизвестных №)(t),a(,)p(t) + b(t)p[a(t)] + eft)! J + W J-PW + - -. raLJ т ra LT-a(t) (5.10) + JK, (t, T)p(T)di + JK2 (t, i)p(T)dT = g(t). L L Действуя также как в предыдущем пункте, получим систему для определения Pi(t)=p(t), p2(t) = p[a(t)]: a(t)p, (t) + b(t)p2 (t) + Jm(t, х)т 2 (a)p, (x)dx + у Jn[ot(t), a(x)]a (x)p2 (x)dx = g(t), k. b[a(t)]p1(t) + a[a(t)]p2(t)+Jn(t,TKI( y)P,(t)dT + yJm[a(t))a(T)]a,(x)p2(T)dT = g[a(t)l где m(t,T)- —+ K2(t,x), n[a(t),x] d(t) + K,(t,x). JH X 7C1 XВведем обозначения ai(t) - a(t) + c(t), d(t) = c(t) - a(t), b,(t) = b(t) + d(t), d,(t) = d(t)-b(t), (O a.tOc.HOJ-b.Ht Xt), (5.11) G. -a. a.Cad -b.WbJaO)], л. O-c.Wc.HtM-d.taWJd.Ct). Справедливы следующие утверждения. Теорема 5.3. Для нетеровости сингулярного уравнения (4.10) необходимо и достаточно выполнения условий 0(t) Ф 0 в случае прямого сдвига a(t), (5.12) @i(t) Ф 0, 02(t) Ф 0 в случае обратного сдвига a(t).
Первая задача типа Газемана для полианалитических функций произвольного порядка
Решая данную задачу на классе функций, имеющих на бесконечности ноль п-го порядка, определим функцию q _,(z). Далее, поступая как в 7, подставим краевые значения функции ф _,(2) и ее производных в краевое условие задачи типа Газемана относительно кусочно аналитической [ф _3(г)]ш и т.д. Сами аналитические компоненты можно определить по формулам. (n-v-Ш & ф (z) = / An./(z" ф:( П"Р"2Їd + " zk zєDI Ф; (Z) = -——- Uz - г;)—2 [Ф; ( )] n"v"2) d , z є D", (n-v-l)!TJ где v = 0,l,...,n-2; akp,b[p - заданные комплексные постоянные (j = 1, 2, ..., p, где p - связность области); y + - произвольная гладкая кривая, принадлежащая D + l и соединяющая точки О и z (D + I - односвязная область, полученная из D+ разрезами); yj"(j = l,2,...,p) - произвольные гладкие кривые, соединяющие точки Zj и z (Zj,z eDj"), у - произвольная гладкая кри . вая, соединяющая z и х , ZG D Q .
По найденным аналитическим компонентам определим искомую полианалитическую функцию по формуле F±(z) = ]z4 (z). (8.16) k=0 Сформулируем полученный результат.
Теорема 8.1. Решение задачи типа Газемана для полианалитических функций порядка п (Н, n) сводится к последовательному решению (п - 1) задач типа Газемана для аналитических функций Ф _,(г), & _2(z),..., Ф (г) с интегральными членами и одной обычной задачи типа Газемана от носительно Фо(2) соответственно, где 0 (z)-[9 (z)](n"k"l), 0-(z)-z-+1 [9:(2)]1 .
Из теоремы 8.1 непосредственно следует, что задача Н]п является не теровой. Несложно также показать, что индекс задачи вычисляется по формуле х = -5Х, (8.17) k = l где х = Jnd Gk(t) + n - 1. Рассмотрим несколько частных случаев.
Теорема 8.2. Пусть D+ конечная односвязная область. В этом случае решение задачи Н, п сводится к последовательному решению п — 1 задачи Газемана с интегральными членами и одной обычной задачи Газемана для кусочно аналитических функций на окружности. Теорема 8.3. Пусть для коэффициентов краевого условия (19.1) выполняются условия Gk(t) = G(t). (8.18)
В этом случае решение задачи Н, п сводится к решению п обычных задач типа Газемана для кусочно аналитических функций.
В заключение укажем, что изложенными методами может быть исследована и задача Н2 а. 9. Теоремы о разрешимости задачи Газемана, Карлемана и типа Карлемана для полианалитических функций
Для основных задач для полианалитических функций методом, рассмотренным на примере решения задачи типа Газемана для полианалитических функций, были получены следующие результаты [88], [63]. 1) Задача Газемана для полианалитических функций. Теорема 9.1. Решение задачи НП для полианалитических функций сводится к последовательному решению п-1 обобщенных задач Газемана и одной обычной задачи Газемана для аналитических функций Ф _,(г),Ф _2(г),...,Ф±(г) соответственно, где ФЦг) = [ф(г)}п к_,), Из теоремы 9.1 непосредственно следует, что задача Hljn является нете-ровой. Назовем числа xk = хк -n + 1 - Jnd[Gk(t)] - п+1 приведенными индексами задачи (к= 1, 2,..., п).
Используя метод конформного склеивания можно получить результат. Теорема 9.2. Задача Газемана для полианалитических функций, заданная на контуре L области D+ плоскости комплексного переменного z, конформно эквивалентна векторной задаче Римана на контуре Г области А+ плоскости комплексного переменного w, где w[a(t)] = a (t). 2) Задача Карлемана для полианалитических функций. Теорема 9.3. Пусть в краевом условии (6.5) Gj[a(t)]Gj(t) l, j = l,2,...,s,(s n), Gi[a(t)] Gs(t) = 1, gi[a(t)] + G;[a(t)] g j(t) = 0, і = n- s, n + 1,..., n.
Многоэлементная задача для полианалитических функций со сдвигом Карлемана
Рассмотрим следующую краевую задачу. Требуется определить кусочно полианалитическую функцию F (z) порядка п, исчезающую на бесконечности, которая непрерывно продолжается на контур L вместе со своими производными по dz и dz порядка (п - 1) включительно, по следующим краевым условиям: . (i/ O ь mg "F [a(t)] f. 8-F-(t) (14.1) где ak(t), bk(t), ck(t), dk(t) (k = 1,...,n) - заданные на L функции класса H 2n" k " (L); f k(t) - известные на L функции, f k(t) e H 2" и(Ь), a(t) - сдвиг Карлемана ([a(t)] = t), a (t) Ф 0, a(t) є H 2"" I}(L).
По поводу контура L будем полагать, что он принадлежит С(2п .
Задача (14.1) равносильна характеристической части системы сингулярных уравнений (13.16), поэтому условия, характеризующие нетеровость задачи, можно получить, используя теорему 13.2.
Рассмотрим несколько случаев задачи (14.1). П. 1. Пусть a(t) - обратный сдвиг Карлемана. Положим, что Ak(t) 0, (14.2) где Ak(t) = bk(t) dk[a(t)] - ak[a(t)] ck(t). Кроме того, всюду на L выполняются условия Aik(t) = ck(t)ck[a(t)]-dk(t)dk[a(t)]sO, A2lk(t) = ak(t)ak[a(t)]-bk(t)bk[a(t)]S0, 14"3) Заметим, что используя условия (14.2) и (14.3) можно показать, что со k(t) ck(t) . , отношения — - и —— можно доопределить так, чтобы они не обращались bt(t) dk(t) 113 V в нуль на контуре L. Пусть, например, bk(t0) = 0 в некоторой точке to є L. Из условий (14.3) следует, что ak(to) = 0 или ak[a(t0)] = 0. Однако, если выполняется последнее равенство, то в силу условия a[a(to)] = t, Ak(to) = 0, что противоречит условию (34.2). Поэтому, если bk(to) 0, то ak(to) = 0. Из равенства кОо) = 0 следует, что bk[cc(to)] 0. Тогда из условия для Alik(t) получим lima ) = bk[a(t0)] - bk(t) ak[a(t0)] с (t) Аналогично, используя условие для ДгкОО получим, что 0. dk(0 Присоединим к условиям (14.1) п краевых условий, полученных из (14.1) заменой t на a(t), получим b,Ht)] + а Ja(t)] + ck[a(t)] + + Мч 1Ф)Ъ (14.4) ь()&-к5ук-1 k() ах-эу- +Ск(1)эх-ау-1 + ,y- F-[a(t)] ахп-кэуь + dk(t) = fk(t), (k = l,...,n). Используя соотношения для Aj,k(t), исключим из системы (14.4) крае вые значения и Получим внешнюю задачу Карлемана Эхп-к5ук"] 5хп к5укч У У F для полианалитических функций порядка п + Sx"-kayk- ab[a(t)]dk(t)-bk(t)ck[a(t)]ax kayk4 ak[a(t)]fk(t)-bk(t)fk[g(t)] enlFla(t)] a,[a(t)]ck(t)-bk(t)dk[a(t)]5nlF(t) (14.5) + ak[a(t)]dk(t)-bk(t)ck[cc(t)] Запишем следующие соотношения Дк(і) Ak[a(t)] - Vk(t) Vt[a(t)l = A,,k(t) A2,k(t), где Vk(t) = bk(t) ck[a(t)] - ak[cc(t)] d k(t). В силу условий (14.3) получим, что 114 .-MO Ak[ot(t)] = Vk(t) Vk[a(t)]. Значит, Vk(t) Ф 0. Кроме того справедливо равенство: Vk[a(t)] = Ak[a(t)]. (14.6) Преобразуем выражение (14.5) к следующему виду: a"- F-[a(t)] ct(t) g- F-(t) ak[a(t)jfk(t)-bk(t)fk[a(t)] axn-k5yk- dMdx dy -1 Vt(t) (14.7) (k = l,2,-,n)
Выражение (14.7) представляет собой внешнюю задачу Карлемана для полианалитических функций. Заметим, что ck(0 cja(t)] = 1, dk(t) d t)] ab(t)fk[a(t)]-bt[a(t)]fb(t) ct[a(t)]at[a(t)]fk(t)-bt(t)fk[a(t)] = 0 Vk[a(t)] dk[a(t)] Vk(t) Следовательно, для задачи (14.7) справедлива теорема 9.3. Исключим теперь из системы (14.4) граничные значения - и 5n- F-[a(t)] — .——т-, получим внутреннюю задачу Карлемана для полианалитических дхп-кау функций порядка п: anlF+[a(t)]= ak(t) g- F+ft) ct[a(t)]fk(t)-dt(t)ft[a(t)] ах-кЭук_1 K{t)dx"-kdyk- ck[a(t)]bt(t)-dk(t)ak[a(t)] (M.9) (k = l,...,n). В этом случае также выполняются условия, аналогичные (14.8). Таким образом, полианалитические функции F+(z) и F (z), составляющие решение задачи (14.1) при выполнении дополнительных условий (14.2) и (14.3) являются решениями внутренней и внешней задачи Карлемана для полианалитических функций соответственно. Если же подставить выражения 115 (14.9) и (14.7) в краевое условие (14.1), то получится тождество. Сформулируем полученный результат.
Теорема 14.1. Многоэлементная задача (14.1) для полианалитических функций порядка п при выполнении условий (14.2), (14.3) равносильна системе из внутренней и внешней задач Карлемана (14.9), (14.7) для полианалитических функций порядка п. Причем задача (14.9) и (14.7) являются независимыми.
Из теоремы 14.1. следует. Что число условий разрешимости р и число / решений краевой задачи (14.1) можно получить суммированием числа условий разрешимости и числа решений краевых задач (14.9) и (14.7). Следовательно многоэлементная задача (14.1) является нетеровой.
Рассмотрим частный случай задачи (14,1), при котором удается указать точное число р и /. Ограничимся для наглядности случаем n = 2.
