Содержание к диссертации
Введение
1 Моделирование прямоточного парового котла с использованием дифференциально-алгебраических уравнений 20
1.1 Характеристика объекта моделирования 20
1.2 Модели радиционно-поверхностных теплообменников 23
1.3 Модель теплообмена в топке 26
1.4 Модели гидравлических цепей 28
1.5 Модель главного тракта 29
1.6 Сосредоточенная модель прямоточного парового котла 33
1.7 Распределенная модель теплообмена в прямоточном паровом котле 36
1.8 Распределенная модель прямоточного парового котла 37
2 Некоторые классы дифференциально-алгебраические уравне ния в частных производных 40
2.1 Отличия свойств дифференциально-алгебраических уравнений от систем типа Коши Ковалевской 40
2.2 Подходы к определению индекса
2.3 Расщепляемые линейные дифференциально-алгебраические уравнения в частных производных 49
2.4 Линейные дифференциально-алгебраические уравнения в частных производных с постоянными матрицами коэффициентов
2.5 Постановки начально-краевых задач для ДАУ уравнений в частных производных 59
2.6 Теорема разрешимости начально-краевых задач для квазилинейных систем 64
Численные методы решения дифференциально-алгебраических уравнений в частных производных 70
3.1 Разностная схема первого порядка 70
3.2 Разностные схемы на основе сплайн-коллокации 79
4 Анализ моделей прямоточного парового котла и численные эксперименты 91
4.1 Исследование стационарного случая сосредоточенной модели и разрешимости систем, описывающих распределенную модель 93
4.2 Численные исследования модели прямоточной котельной установки 97
Заключение 112
Основные обозначения 113
Литература
- Модели радиционно-поверхностных теплообменников
- Расщепляемые линейные дифференциально-алгебраические уравнения в частных производных
- Разностные схемы на основе сплайн-коллокации
- Численные исследования модели прямоточной котельной установки
Модели радиционно-поверхностных теплообменников
Цель моделирования: создание инструмента для проверки влияния тех или иных факторов при создании полных моделей большой размерности.
В технологической установке, называемой паровым котлом, вода в сети трубопроводов последовательно нагревается в устройствах, называемых теплообменниками (ТО), по ходу от насоса к турбине газами и лучевым теплом, получаемыми от сгорания топлива в топке. Все ТО имеют противоточный тип. Газы идут в противоположном направлении по отношению к ходу воды.
Для подачи питательной воды в котел установлены три электронасоса (ПЭН), развивающие давление до 250 кг/см2. В номинальных режимах давление имеет величину примерно 200кг/см2. Расчетная температура питательной воды при номинальной нагрузке блока составляет 228С. В двух ступенях ТО-конвективного экономайзера вода подогревается до температуры 308С и поступает в общий питательный трубопровод. На трубопроводе расположена измерительная диафрагма и регулирующий питательный клапан (РПК). Из питательного трубопровода перед измерительной диафрагмой производится отбор на впрыски:
Примененная схема отвода воды на впрыски обеспечивает минимальную температуру уходящих газов вследствие увеличения пропуска воды через конвективный экономайзер.
После РПК вода проходит через нижнюю ТО-радиационную часть топки (НРЧ). В НРЧ вода закипает, и пароводяная смесь поступает в ТО-переходную зону (ПЗ). ПЗ вынесена в конвективную шахту. За ПЗ слабо нагретый пар попадает в расположенную на стенках топочной камеры ТО-среднюю радиационную часть (СРЧ), а затем в верхнюю радиационную часть (ВРЧ).
Из ВРЧ перегретый пар с температурой 481С поступает в трубопровод и пар доводится до нужных параметров перегревом в ТО-потолочном экране (ПЭ) и ТО-конвективном пароперегревателе (КПП). Из выходной камеры КПП осуществляется отвод к двум предохранительным клапанам, настроенным на 147 и 151 кг/см 2.
Топочные газы, пройдя поворотную камеру, последовательно омывают размещенные в конвективной шахе поверхности КПП, ПЗ, второй ступени водяного экономайзера (ВЭ-2), второй ступени воздухоподогревателя (ВП-2), первой ступени водяного экономайзера (ВЭ-1), первой ступени воздухоподогревателя (ВП-1), орошаемые водой скрубберы и двумя дымососами (ДС-А, ДС-Б) выбрасываются через дымовую трубу в атмосферу. Подача наружного воздуха в котел осуществляется двумя дутьевыми вентиляторами ДВ-А и ДВ-Б. Нагретый в воздухоподогревателе воздух разделяется на поток вторичного воздуха к горелкам и поток, направляемый на мельницы.
Приведем схематическое изображение движения (см. ниже рис. 1.2) воды, пароводяной смеси, пара в котле из рисунка 1.1. Главный тракт
Для того, чтобы различать тракт от насоса до турбины и тракт промежуточного перегрева мы будем первый тракт называть главным трактом.
Энергетический блок тепловой электростанции состоит из большого количества взаимосвязанных элементов, обменивающихся материальными и тепловыми потоками. Значительный класс элементов составляют поверхностные ТО, в которых тепло греющей среды (топочные газы, горячий воздух) через теплопроводя-щую металлическую стенку передается нагреваемой среде (воде, пару, холодному воздуху). На ТО разбивается паровой и газовый тракты котельного агрегата. Границы разбиения определяются общей компоновкой котлоагрегата и его конструктивными параметрами.
По способу обогрева ТО разделяются на конвективные, радиационные и конвективно-радиационные. При решении исследовательских задач процессы в ТО представляются нестационарной пространственно одномерной математической моделью, содержащей уравнения с частным производными [68, 157]. Общим способом решения таких задач являются сеточные методы. Для решения задач моделирования динамики теплоэнергетического оборудования на тепловой элек тростанции в реальном масштабе времени с учетом экономичности использования ресурсов ЭВМ иногда целесообразно создавать модели ТО как объектов с сосредоточенными параметрами. Опыт применения подобных моделей показывает, что в большинстве случаев они обеспечивают приемлемую точность при описании системы ТО, инерционность тепловых процессов в которой существенно выше, чем в единичном элементе [142], [146].
Расщепляемые линейные дифференциально-алгебраические уравнения в частных производных
Особенности постановок начально-краевых задач для ДАУ в частных производных демонстрируют следующие примеры. можно показать, что при Ь ф \ численный процесс устойчив во всей области U при любой функции 7(#,) Более того, значения сеточной вектор-функции сходятся к решению. Итак, в общем случае мы не можем гарантировать сходимость разностных схем (даже для случая, когда решение краевых задач существует в области U). Только при определенных условиях, которые нужно еще сформулировать, мы получим работоспособные разностные схемы.
При анализе обыкновенных ДАУ выявлено наличие целочисленной характеристики системы, называемой ее индексом (см. Определение П4.1). Индекс определяет порядок производных входных данных, от которых зависит решение задачи. Возникает вопрос: как определить индекс для ДАУ в частных производных. В литературе известен ряд определений, которые не сводимы друг к другу и нашей задачей являются выбор наиболее подходящего определения.
Проведем некоторые наводящие рассуждения. Пусть имеется система с постоянными матрицами коэффициентов
Таким образом, мы построили оператор, сводящий исходную систему к системе интегро-дифференциальных уравнений, разрешенную относительно производных по t. Если матрица А1 и по t. В случае нерегулярности матрицы А2 (/І) процесс можно повторить. Вх О
Есл(/І) нерегулярна, то согласно лемме П4.1 найдется унимоду-лярная матрица Р\{ц) со свойством регулярна, то мы можем разрешить уравнение (2.2.5) относительно производных вектор-функции и на некотором шаге процесса / матрица А1(ц) регулярна, то будем говорить, что индекс системы (2.2.1) по t равен /.
Таким образом, мы построили оператор, сводящий исходную систему к системе интегро-дифференциальных уравнений, разрешенную относительно производных по х. Если матрица -В1 (А) нерегулярна, то согласно лемме П4.1 найдется унимоду-лярная матрица Р\ (А) со свойством регулярна, то мы можем разрешить ее относительно производных вектор-функции и по а;. В случае нерегулярности матрицы -В2(А) процесс можно повторить.
В общем случае для систем с переменными коэффициентами (2.2.10) процесс описанный выше не осуществим. ПРИМЕР 2.2.1. Пусть имеется система Для определения индекса систем (2.2.10) используем такой факт. Перемножая операторы, состоящие в правой части равенства (2.2.4), мы получим оператор вида
Если существует оператор R(x,t,Dx) с указанным свойством, то будем говорить, что индекс системы (2.2.10) по t равен к. Аналогично определяется и индекс системы по х. 2.3 Расщепляемые линейные дифференциально-алгебраические уравнения в частных производных Рассмотрим подкласс линейных ДАУ в частных производных, для которых определены ЛРО. Пусть определена система соответственно заданная и искомая вектор-функции, причем предполагается, что вектор-функции f(x,t),-ip(t), ф(х) обладают достаточной гладкостью и допускаются следующие виды
Здесь Q(x,t)—матрицант системы Dtv = — [А NQ]V, который является верхнетреугольной матрицей. Матрица Q(x,t)Q l(x, s)N верхнетреугольная с нулевой диагональю, так как произведение верхнетреугольных матриц, одна из которых имеет нулевую диагональ, является верхнетреугольной матрицей с нулевой диагональю. Произведение верхнетреугольных матриц, начиная с некоторого их количества (не превышающего их размерности) является нулевой матрицей. произвольные гладкие в области определения функции i(t), 2( )5 iQlit)- некоторые квазиполиномы с показателями экспонент, равными корням полинома щ\1 + 2/_iA/_1 + ... + 2о, K(t,s) -ядро интегрального оператора Вольтерра с нулевыми на диагонали t = s производными по t: включительно до порядка / — 1 [137]; в) пусть
Ввиду этого обстоятельства для полного описания множества решений системы (2.3.1) с постоянными матрицами коэффициентов нам потребуется наложить дополнительные условия на входные данные.
Предположим, что пучок матриц \А + \iB + С регулярен и существуют уни-модулярные матрицы P(Dt, Dx),Q(Dt, Dx) приводящие систему (2.3.1) с постоянными матрицами коэффициентов к виду (2.3.4), где и корни многочлена det(AAn + Вц) вещественны и различны. При наших предположениях пучки матриц ХАц + цВц + Сц,і = 1, 2,3,4 регулярны. Поэтому без ограничения общности можно считать матрицы Сц неособенными (см. доказательство леммы 2.4.1). Решение подсистемы A Dt, Dx)zA = /4 системы (2.3.4) при выполнении условия (2.4.5) единственно и имеет вид линейные комбинации производных компонент вектор-функции сз(ж), ({%)— известная функция (см. условие 4 теоремы 2.5.1). Итак, находим Сз,п3(ж) подставляем во второе (снизу) уравнение системы (2.5.2) и вычисляем Сз,п3-і(ж) и так далее. Аналогичные рассуждения проводим и для C2(t). Таким образом, вычисляем компоненты 2, Z3. Подставляем Z2, 3 в первое уравнение системы (2.3.4) и попадаем в условия теоремы существования начально-краевой задачи системы гиперболических уравнений [85]. Лемма доказана.
Вопросы разрешимости краевых задач для линейных и квазилинейных систем гораздо сложнее, чем для систем с постоянными коэффициентами.
Разностные схемы на основе сплайн-коллокации
Была написана программа в среде Delphi (рис. 3.2), допускающую задание систем различной структуры с известным решением. Генерация тестов производится автоматически по заданным параметрам. Задаются также /гиг. Для иллюстрации была сгенерирована система (10 х 10), в которой заданы диагональные блоки Aa(Dt, -Dx), і = 1, 2,3 (блок A (Dt, Dx) отсутствует) в формулах (3.1.4) имеют размерность (2 х 2), (4 х 4), (4 х 4) соответственно. Шаги интегрирования h и г = 0,01, U = [0,1] х [0,1]. Решение системы известно, и в каждой точке сетки вычисляется норма разности между точным решением и значением вычисленным с применением разностной схемы (3.1.2).
Поведение погрешности численного решения, соответствующее при h = т = 0,01. Решение сгенерированной краевой задачи зависит от производных начальных и краевых условий, а также свободного члена /(ж, t) до третьего порядка. Вблизи границы аппроксимации не хватает, так как производные в разностной схеме вычисляются по двум точкам. Поэтому сходимость наблюдается только в части области U. По теории при h,r — 0 величина ошибки в точках, отстоящих на 4т и 4/г от границ области стремится к оо.
Цвет точки на графике (рис. 3.2) показывает диапазон погрешности. Точки, которые изображены красным цветом имеют погрешности больше 50. Они соответствуют с пограничным слоем ошибок, и эти ошибки растут, при уменьшении шагов сетки.
Линейные системы с переменными матрицами коэффициентов и квазилинейные системы Рассматривается начально-краевая задача где А (ж, ), B(x,t) — (n x n)— матрицы с элементами, зависящими (x,t) Є U = X x T, U С V,X = [xo,xi],T = [o,i],V— открытая область в R2, f(x,t), C(u,x,t)- заданные n-мерные вектор-функции, и = u(x,t) — искомая п—мерная вектор-функция. где Mh = X\ — xo, NT = t\ — to] h,r - шаги полученной сетки. Точки с координатами (xj,ti) будем называть узлами коллокации. Приблизим решение задачи (3.1.14)-(3.1.16) многочленом от переменных ж, t степени к, к = 2,3,... и потребуем, чтобы в узлах коллокации этот многочлен удовлетворял уравнению (3.1.14). В этом случае производные в формуле (3.1.14) можно заменить линейными комбинациями значений многочлена в точках сетки. Это приведет нас к разностным схемам вида
Из соотношений (3.2.2) можно получить линейную алгебраическую систему размерности {кп х кп). Решив эту систему, мы находим приближение к искомой вектор-функции и(х, t) в точках. Опишем процесс вычислений в случае более подробно для к = 2. полагаются известными. При запуске процесса вычислений эти значения находятся из сеточных начальных и краевых условий: щ = Ф( ),г о = ф{%з)-Коэффициенты аппроксимации здесь имеют вид ai = -1/2, (12 = О, «з = 1/2, A = 1/2,/ = -2, / = 3/2. Из формул (3.2.3)-(3.2.6) в итоге получим систему для системы (3.1.Ц) выполнены условия леммы 2.5.2. Тогда, начиная с некоторых достаточно больших N} М (параметрах сетки Uj{), определитель матрицы система (3.2.7) не равен нулю.
Решив каким-то численным методом, например, методом Гаусса систему (3.2.7), переходим к следующим точкам сетки: полагаем j := j + 2 и двигаемся до исчерпания U по оси х и переходим на следующий слой: полагаем г := г + 2 до исчерпания области U. Описанный выше процесс можно записать в рекуррентной форме: (M(l) U{2) U(3) %)) = (1) U(2) Й(3) Й(4)) + Ф?Ъ и возникает задача исследования условий устойчивости этого процесса. В настоящее время удалось получить экспериментальное подтверждение устойчивости при выполнении условий теоремы 2.5.2. Подтверждено также, что метод имеет второй порядок сходимости. Равномерно по г, j выполняется оценка.
Если выполнены условия теоремы 2.6.1, то системы (3.2.3) - (3.2.6) разрешимы. Для решения квазилинейной системы (3.1.14) с условиями (3.1.15) и (3.1.16). Из отношения (3.2.2), расчетная схема имеет вид
Помимо системы из примера 3.2.1 решен достаточно большой набор тестовых примеров начально-краевых задач (3.2.1), (3.2.2), удовлетворяющих условиям теоремы 2.5.2, с известным аналитическим решением. Системы размерности (8 х 8) генерируются автоматически и все блоки в формуле (3.2.3) имеют размерность (2x2).
Уравнения, описывающие реальные модели (см. системы 1.7.1-1.7.4) являются обычно квазилинейными системами уравнений. Это класс уравнений изучен не полно даже для систем в форме Коши-Ковалевской. В данной главе сделаны первые шаги по изучению квазилинейных ДАУ. Как показано во Введении существование решения у ДАУ не гарантирует существования решения у разностной схемы. В главе выделены классы ДАУ, для которых имеет место такая ситуация: существование решений разностной схемы при достаточном уменьшении шага сетки.
Численные исследования модели прямоточной котельной установки
После нажатия кнопки "ВХОД»" открывается интерфейс модули ввода входных параметров и заданных параметров для автоматического регулятора. Реальные параметры представлены в таблицах 4.2, 4.3.
На группе "Заданные параметры для автоматического регулятора "необходимо задать реальные значения параметров из прямоточного парового котла типа ПК-24: разрежение в топке, расход питательной воды, содержание кислорода в дымо-вах газах, температура острого пара и вводить значения входных данных (входная энтальпия, входная температура газа, наборы вентиляторов, дымовой насос, давление, расход угля, коэффициент потерь, количество воздуха для сгорения 1 кг топлива, момент времени). Выбираются динамические величины для представления графиков и момент времени для смотра значения теплофизических свойств.
Для начала процесса реализации модели прямоточного парового котла необходимо нажатие кнопки "Принять данные". После этого необходимо нажать кнопки "Расчёт теплофизических свойств", "Проверка стационарного состояния моделей на устойчивость по Ляпунову", "Расчёт нелинейных динамических величин", "Распределенная модель" или "Графики"для просмотра результатов исследования.
Таким образом, основными достоинствами этой прогрммы являются: возможность расчётов с изменением в ходе процесса входных параметров; возможность сравнения результатов по распределенной и сосредоточенной модели. ПК имеет простой и интуитивно понятный интерфейс. Об особенности распределенной модели по сравнению с сосредоточенной моделью
В сосредоточенных моделях при возмущениях (изменениях расхода топлива, воды, температуры на входе теплообменников), расчет дает не всегда верные с физической точки зрения результаты (рис.4.4) [157].
Сравнение между сосредоточенной моделью и моделью в частных производных На рис. 4.4 показано, что на входе ТО 1 подается вода с энтальпией /вх и вытекает вода с энтальпией /вхд. Расчёт по сосредоточенной модели показывает, что в начале на выходе энтальпия резко падает и только потом выходит на стационарное значение [110, 111]. Физически это не верно, потому что когда повышение температуры на входе при неизменном подводе тепла, температура на выходе падает. Это очень серьезная проблема.
Если мы резко поменяем входную энтальпию по правилу /вхд /вх, то получим 1\ I, так как / является непрерывной функцией (решением дифференциального уравнения) и за время скачка входной энтальпии меняется мало, а расчёт по распределенной модели (модели в частных производных) энтальпия на выходе плавно выходит на стационарное значение.
При математическом моделировании всегда возникает вопрос о соответствии моделей реальным процессом. Здесь мы можем сказать, что стационарные значения динамических параметров соответствуют стационарным значениям реального котла ПК-24. А именно: при 12 кг/с расхода топлива (теплотворность Черемховского угля), модель имеет показатели функционирования: разрежение в топке равно 4 мм водяного столба, расход питательной воды равен 75 кг/с, содержание кислорода в дымовых газах 5%, температура острого пара равна 545С. времена установки (выхода на стационарные режимы) после внесения возмущений примерно соответствуют реальной установке. при отключении одного питателя (расход топлива равен 9 кг/с), автоматический регулятор выводит параметры котла на заданные значения.
Был рассмотрен пример применения разработанной методики для тестирования моделей реального котла ПК-24 на устойчивость при входных возмущениях. Начальные данные Vi(0),i = 1,28 мы берем из таблицы 4.1.
Ниже приведены в виде графиков результатов расчетов при заданных значениях регуляторов и других входных параметрах (см. табл. 4.2, 4.3). На этих графиках приведены результаты расчетов при шагах по времени интегрирования г = 0,05; 0,025. И полученные решения практически совпадают.
Старт модели осуществляется при начальных данных сильно отклоняющихся от стационарного состояния модели. В частности, расход питательной воды на 20% превосходит номинальный расход.
Автоматические регуляторы выводят параметры модели на заданные номинальные значения реального котла ПК-24.
На рис. 4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9 представлены процессы изменения температуры острого пара, содержания кислорода, разрежения газа в топке, расхода питательной воды, расхода на впрыск соответственно. На графиках 4.5 показаны, что при повышении расхода питательной воды, темпетарура на выходе резко падает и по мере регуляторов расход питательной воды температура острого пара выводится на номинальный уровень. На графиках 4.6, отражена работа регуляторов, поддерживающих заданный уровень содержания кислорода в топке. На графиках 4.7, отражена работа регуляторов, поддерживающих заданное разрежение в топке. создан комплекс программ, реализующих сосредоточенную и распределенную модель прямоточного парового котла. Произведено сравнение функционирования распределенной и сосредоточенной модели при внесении возмущений (изменения количества топлива, воды, энтальпии входной воды). Показано удовлетворенное совпадение финкционирования обоих моделей (совпадение по времени выхода на стационарное решение).
Таким образом, можно сделать такой вывод: расчет моделей, основанных на применение ДАУ в частных производных, дает некоторые улучшения по сравнению с моделями, основанных на применение обыкновенных ДАУ, но требует гораздо большего объема вычислительных ресурсов.
